等差数列等比数列学案

等差数列等比数列学案（通用11篇）

1.等差数列等比数列学案 篇一

友好三中高一数学学案设计人：刘磊组长审核：设计时间：2009-3-1 讲授时间：

等差数列复习

一、学习目标：

1、通过学案能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定项，并通过通项公式再次认识等差数列的性质。

2、通过等差数列的习题培养学生的观察力及归纳推理能力。

3、理论联系实际，激发学生学习积极性。

二、学习重难点：

重点：等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式。

难点：等差数列的性质及应用，“等差”的特点。

三、学法指导：

研读学习目标，了解本节重难点，精读教材，查找资料，独立完成学案，通过小组学习解决部分疑难问题，再通过课堂各小组展示及质疑对抗，共同提高，完成学习任务。

四、知识链接：

1.等差数列的通项公式：

3.等差数列的判定方法：

五、学习过程：

问题（1）：已知{an}是等差数列.请证明2a5=a3+a7和2a5=a1+a9.问题（2）：①证明2an=an-1+an+1（n>1）②证明2an=an-k+an+k（n>k>0）

A1.已知等差数列{an}中，a7﹢a9=16，a4=1，则a12的值是（）

A.15B.30C.31D.6

4B2.设{an}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13等于（）

A.120B.105C.90D.7

5B3.已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+„+a101 =0,则有（）

A.a1+a101>0B.a2+a100<0C.a3+a99=0D.a51=5

1A4.已知数列{an}满足an－1+an＋1=2an(n≥2),且a1=3,a2=5,则数列的通项公式为.A5.在数列{an}中，若a1=1，an+1= an+2（n≥1），则该数列的通项an=.B6.等差数列{an}中，a1+3a8+a15=120，求2a9－a10

B7.在等差数列{an}中，已知a2+a5+a8=9，a3 a5 a7 =﹣21，求数列{an}的通项公式

六、达标训练：

B1.等差数列{an}中,a2+a5+a8=9,那么关于x的方程x+(a4+a6)x+10=0()

A．无实根B．有两个相等实 C．有两个不等实根D．不能确定有无实根

2B2.等差数列{an}中，已知ak+ak+1+ak+2+ak+4+ak+4=A，则ak-1+ak+5（k≥2）等于

A.AB.A3C.A2A

5D.5A3.在等差数列{an}中，已知am﹣n=A，am+n=B，则am=.A4.已知数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=60，则a2+a8=.）（1B5.在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a100+a12=120,求a9－a11。

3B6.在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a100+a12=120,则2a9－a10.七、课堂小结：

八、课后反思：

2.等差数列等比数列学案 篇二

求证:(1)这个数列是等比数列;

(2)这个数列中任意一项是它后面第5项的1/10;

(3)这个数列中任意两项之积仍然在这个数列中.

教完这个例题后,很容易提出下面的问题,是否任意一个等比数列都具有性质:数列中的任二项之积仍是这个数列中的项?

经过思考,大多数学生都能举出反例.如在等比数列{an}中,a1=3,q=2,或a1=2,q=-1/2,等.这就说明不是任意一个等比数列都具有这一性质.

那么,怎样的等比数列才具有所述性质呢?

注意到开头所提列题中a1=1,经过思考,有的学生提出命题:“若等比数列{an}中,a1=1而公比q为任意非零实数,则{an}中任二项之积仍是这个数列中的项.”并很容易地给出了证明.

至此,问题并未彻底解决“.a1=1,q为非零实数”仅是等比数列{an}具有性质“数列中任二项之积仍是这个数列中的项”的充分条件,而非必要条件.如在等比数列{an}中,取a1=8,q=2,则此数列也具有上述性质.

笔者经过研究,提出一个等比数列具有上述性质的充要条件.

命题1:一个公比为q的等比数列{an}中任二项之积仍是这个数列中的项的充要条件是:存在非负整数m,使得a1=qm.

证完命题1后,考虑到等差数列与等比数列在结构上的某种类似,容易猜想出关于等差数列的性质。

命题2一个公差为d的等差数列{an}中,任二项之和仍是这个数列中的项的充要条件是:存在非负整数m,使得a1=md

3.第18讲 等差数列、等比数列 篇三

等差数列和等比数列与高中数学的有些章节具有相应的应用与交汇.各地以往的高考中一般在选择题、填空题中考查等差（比）数列的定义、基本量的运算和特有性质，而在解答题中考查等差（比）的判断与证明、求通项公式、与函数及不等式的综合考查等.

统计表明，各地高考试卷大多设置一大一小两题，涉及该讲知识的大约10分.其中的小题，并多在选择题居中的位置，或填空题靠后的位置，一般为基本运算或类比推理等.而大题位置靠前，并设置在本道题的第一小问，一般以考查等差（比）基础知识和基本运算为主，更多地是为第二问及以后的运算解答提供支持与铺垫.

各地文、理科试卷在选择部分与大题中出现时的差别不大，往往文理科试卷题完全一样，而若以填空题出现时文理通常以姊妹题的方式出现.

命题特点

等差、等比数列是一个重要的数列类型，高考命题主要考查等差、等比数列的概念、基本量的运算及由概念推导出的一些重要性质，灵活运用这些性质解题，可达到避繁就简的目的.解等差、等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法，即运用条件转化成关于[a1]和[d]（或[q]）的方程（组）；②巧妙运用等差、等比数列的性质.

1. 等差、等比数列的基本运算

例1 等比数列[x，3x+3，6x+6，…]的第四项等于 （ ）

A.-24 B.0

C.12 D.24

解析 因为[x，3x+3，6x+6，…]成等比，则[（3x+3）2=x（6x+6）]，解得：[x=-3].由等比数列性质[a1?a4=a2?a3]得：[-3×a4=-6×（-12）]，解得第四项等于-24.

点拨 解决特殊数列——等差或等比数列的基本运算问题的关键是利用好公式.以本题为例，首先利用等比中项知识建立了关于未知数[x]的方程，再利用等比的性质：当正整数[p，q，r，s]满足[p+q=r+s]时，[ap?aq=ar?as]，从而获解.

例2 已知[△ABC]的一个内角为[120°]，并且三边长构成公差为4的等差数列，则[△ABC]的面积为________.

解析 设三边长分别为[a-4，a，a+4（a>4）]，显然边[a+4]所对的内角为[120°]，由余弦定理得：[（a+4）2=a2+（a-4）2-2a（a-4）cos120°?a=10]，即三边长为[6，10，14]，因此[SΔABC=12×10×6sin120°=153].

点拨 本题对三角形三边赋值时采用了常用的技巧——对称设法，此时三个数成等差时设为：[a-d，a，a+d；]四个数成等差可设为：[a-3d，a-d，a+d，a+3d]等.

例3 对于整数数列[an]，如果[ai+i][（i=1，2，3，…）]为完全平方数，则称数列[an]具有“高大上品质”.不论数列[an]是否具有“高大上品质”，如果存在与[an]不是同一数列的[bn]，且[bn]同时满足下面两个条件：①[b1，b2，b3，...，bn]是[a1，a2，a3，...，an]变换次序后的另一个排列；②数列[bn]具有“高大上品质”，则称数列[an]具有“高大上潜质”.下面三个数列：①数列[an]的前[n]项和[Sn=n3（n2-1）]；②数列1，2，3，4，5；③1，2，3，…，11.具有“高大上品质”的为________；具有“高大上潜质”的为___________.

解析 对于①，当[n≥2]时，[an=Sn-Sn-1=n2-n，]又[a1=0]，[所以an=n2-n（n∈N*）].所以[ai+i=i2（i=1，2，3，…）]是完全平方数，数列[an]具有“高大上品质”.对于②，数列1，2，3，4，5具有“高大上潜质”，数列[bn]为3，2，1，5，4.对于③，数列1，2，3，…，11不具有“高大上潜质”，因为11，4都只有5的和才能构成完全平方数，所以数列1，2，3，…，11不具有“高大上潜质”.故具有“高大上品质”的为①；具有“高大上潜质”的为②.

点拨 本题是由数列的基础知识引出的一种探索问题，构思起点高，但解决问题的手段很常规.考生在碰到此类问题时要细致品味个中涵义，不能被表面的文章所禁锢.

2. 等差、等比数列的判定

等差、等比数列的判定通常作为解答题的第1问来考查，一般用下面的基本方法来判定：①利用定义：[an+1-an=]常数，或[an+1an=]常数；②利用中项的性质：[2an=an-1+an+1（n≥2）]或[a2n=an-1?an+1（n≥2）].

例4 已知数列[an]满足：[a1=1，a2=3]，且[an+2=3an+1-2an]，令[bn=an+1-an].

（1）证明：数列[bn]是等比数列；

（2）求数列[an]的通项公式.

解析 （1）因为[an+2=3an+1-2an]，

∴[an+2-an+1=2（an+1-an）].

又因为[a1=1，a2=3]，所以[b1=a2-a1=2]，则[bn+1bn=2].

故数列[bn]是首项为[2]，公比为2的等比数列.

（2）由（1）得，[bn=2n]，

所以[an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1]

[=bn-1+bn-2+b1+a1][=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1].

点拨 本题主要考查等比数列的判定及数列求和，同时考查推理论证能力及转化化归能力.

3. 创新与拓展

例5 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1，3，6，10，[1，a1，a3]，第[n]个三角形数为[n（n+1）2=12n2+12n]. 记第[n]个[k ]边形数为[N（n，k） （k≥3）]，以下列出了部分[k ]边形数中第[n]个数的表达式：

nlc202309032100

三角形数 [N（n，3）=12n2+12n]，

正方形数 [N（n，4）=n2]，

五边形数 [N（n，5）=32n2-12n]，

六边形数 [N（n，6）=2n2-n]，

…

可以推测[N（n，k）]的表达式，由此计算[N（10，24）=]_________.

解析 三角形数[N（n，3）=12n2+12n]，正方形数[N（n，4）=n2=（12+12︸2×12）n2+（12-12）n，]，五边形数[N（n，5）=32n2-12n=（12+12+12︸3×12）n2+（12-12-12）n]，六边形数[N（n，6）=2n2-n=（12+12+12+12︸4×12）n2+（12-12-12-12︸2×（-12））n]，

…

推测[k]边形

[N（n，k）=（12+12+...+12+12︸（k-2）×12）n2+（12-12-12-12-...-12︸（k-4）×（-12））n][=12（k-2）n2-12（k-4）n].

所以[N（10，24）=12×（24-2）×102-12×（24-4）×10]

[=1100-100=1000].

点拨 对课本上出现的三角形数、四边形数加以引申与拓展，利用类比和推理的方式思考问题，展现出数学学习中不断深化、不断提高、循序渐进的理念.对问题的不断探求有助于加深我们对基础知识的认知.

备考指南

（1）要把握基础知识， 在复习时，首先要把握好等差、等比数列的概念与通项公式的推导方法，熟练掌握它们基本量与其他量间的互化关系.同时要熟练并准确掌握与之相关的等差、等比中项概念与运算公式等.

（2）重点掌握等差、等比数列各自特殊的性质，并达到准确熟练运用的能力.

（3）善于利用类比和归纳推理的方法将非等差（比）数列，通过适当变形、换元等方式，从而转化变成等差（比）数列，达到从一般到特殊的转化目标.

限时训练

1.在等差数列[an]中，[a3+a4+a5=12]，那么[a1+a2+…+a7=] （ ）

A.14 B.21 C.28 D.35

2.在[a，b]之间插入[n]个数构成等差数列，则其公差为 （ ）

A.[b-an] B.[a-bn+1] C.[b-an+1] D.[b-an-1]

3. 在等比数列[an]中，已知[a1=19，a5=9] ，则[a3=] （ ）

A.1 B.3 C.[±1] D.[±3]

4. 数列[an]是公差不为0的等差数列，且[a1，a3，a7]为等比数列[bn]的连续三项，则数列[bn]的公比为 （ ）

A. [2] B. [4] C. [2] D. [12]

5. 如果[-4，a，b，c，-9]成等比数列，那么 （ ）

A. [b=6，ac=36] B. [b=-6，ac=36]

C.[b=±6，ac=-36] D. [b=±6，ac=36]

6. 数列[an]的首项为3，[bn]为等差数列且[bn=an+1-an]，若[b3=-2，b10=12]，则[a8=] （ ）

A. 0 B. 3 C. 8 D. 11

7. 两个正数[a，b（a>b）]的等差中项是[52]，[-6]是它们的等比中项，则双曲线[x2a2-y2b2=1]的离心率[e]= （ ）

A. [52] B. [132] C. [53] D. [133]

8. 已知方程[（x2-2x-m）（x2-2x+n）=0]的四个根组成一个首项为[14]，公差为正的等差数列，则[m-n=] （ ）

A. [-118] B. [±118] C. [±12] D. [12]

9. 已知等比数列[an]，记[bn=am（n-1）+1+am（n-1）+2+...][+am（n-1）+m]，[cn=am（n-1）+1?am（n-1）+2?...?am（n-1）+m（m，n∈N*）]，记公比为[q]，则一定正确的是 （ ）

A. 数列[bn]为等差数列，公差为[qm]

B. 数列[bn]为等比数列，公比为[q2m]

C. 数列[cn]为等比数列，公比为[qm2]

D. 数列[cn]为等比数列，公比为[qmm]

10.已知数列[an]满足[3an+1+an=0，a2=-43，]则[an]的前10项积等于 （ ）

A.[31-3-10] B.[31+3-10]

C.[-410345] D.[410345]

11.若[2，a，b，c，9]成等差数列，则[c-a=]_________.

12.设等比数列[an]的首项为[1]，公比为[-2]，则[a1+|a2|+a3+|a4|=]_________.

13.等差数列[an]中，公差[d≠0]，且[2a3-a72+2a11=0]，数列[bn]是等比数列，且[b7=a7]，则[b6b8]=___________.

14.观察下列等式：

（1+1）=2×1

（2+1）（2+2）=[22×1×3]

（3+1）（3+2）（3+3）=[23×1×3×5]

照此规律， 第[n]个等式可为________.

15.已知等差数列[an]的公差[d=1]，前[n]项和为[Sn].

（1）若[1，a1，a3]成等比数列，求[a1]；

（2）若[S5>a1a9]，求[a1]的取值范围.

16. 已知数列[an]满足：[a1=1，a2=a（a>0）.]数列[bn]满足[bn=anan+1].

（1）若[an]是等差数列，且[b3=12，]求[a]的值及[an]的通项公式；

（2）当[bn]是公比为[3a+4]的等比数列时，[an]能否能构成等比数列？若能，求出[a]的值；若不能，请说明理由.

17. 等差数列[an]的前[n]项和为[Sn]，已知[a1=2，][S6=22].

（1）求[Sn]；

（2）若从[an]中抽取一个公比为[q]的等比数列[akn]，其中[k1=1]，且[k1

18. 给定常数[c>0]，定义函数[f（x）=2|x+c+4|-|x+c|]，数列[a1，a2，a3，…]满足[an+1=f（an），n∈N*].

（1）若[a1=-c-2]，求[a2]及[a3]；

（2）求证：对任意[n∈N*，an+1-an≥c]；

（3）是否存在[a1]，使得[a1，a2，…an，…]成等差数列？若存在，求出所有这样的[a1]，若不存在，请说明理由.

4.等差数列等比数列学案 篇四

一．知识梳理

1.等比数列前n项和公式

2.错位相减

二．例题分析

例1.已知数列an满足;a11,a22,aanan1

n2,nN,(1)令bnan1an，证明：bn是等比数列；(2)求an的通项公式。

例2.求S1n234572n18162

n

例3.求S2

nx4x7x(3n2)xn

三．练习

1.在等差数列aan

n中，a20,a6a810，（1）求an；（2）求2

n1的前n项和

2.设an为等比数列，Tnna1(n1)a22an1an，已知T11,T24。（1）求数列an的首项和公比

（2）求数列

Tn的通项公式。

3.设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，ab13。（1）求aan

53n，bn的通项公式；（2）求数列b的前n项和Sn

5.等差数列等比数列学案 篇五

§2.4.1等比数列的概念及通项公式

【学习目标】

1.理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质； 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力； 3.体会等比数列与指数函数的关系.【重点难点】

重点：等比数列定义及通项公式；

难点：利用所给条件求解等比数列的通项公式.【自主探究】

一、等比数列的定义

思考以下四个数列有什么共同特征？

1①1，2，4，8，16，…②1，2，4，8，16，…

③1，20，202，20

3，204，…④5,5,5,5,5，…

等比数列：一般地，如果一个数列从第项起，一项与它的一项的等于

常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的，an通常用字母表示（q≠0），即：a

n1=（q≠0）

二、等比中项

1.等比中项:如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么称这个

数G称为a与b的________.即G=（a，b同号）.2.若______________________,则a，G，b成等比数列。

三、等比数列的通项公式

1.请写出等比数列的通项公式及推导过程：（累乘法）

2.通项公式的变形：anamqnm。（注：记住变形有时会给解题带来简便）你能利用通项公式证明出变形公式吗？

§2.4.1等比数列的概念及通项公式1我们如何判断一个数列是否为等比数列？试着找出几种不同的方法。

【合作交流】

1.等比数列的通项公式类似于我们学过的什么类型的函数？其图像什么样？ 2.思考：等比数列的增减是由什么决定的？填写下列空白：

当首项和公比是下面情况时，数列是递增、递减、摆动、常数列中的哪种？ ⑴当a10,q >1时, {an}是______数列；⑵当a10,0q1, {an}是______数列；⑶当a10,0q1时, {an}是______数列； ⑷当a10,q >1时,{an}是______数列；⑸当q0时,数列{an}是______数列；⑹当q1时,数列{an}是______数列.【典型例题】

例1：{an}为等比数列,求下列各式的值。

(1)a36,a

13a64a718，an

2,求n.(2)a2a836，a3a715，求通项公式..(3)a3a2a17,a3a2a18,求an.例2：已知数列{an}中，lgan3n5，试用定义证明数列{an}是等比数列.§2.4.1等比数列的概念及通项公式2

白城实验高中高二数学 必修5导学案第二章 数列

及时练兵

1.已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝()A．64B．81C．128D．2

432.一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q（）.3.在an为等比数列，a112，a224，则a3（）.A.36B.48C.60D.72

4.等比数列的首项为9，末项为1，公比为2833，这个数列的项数n＝（）.A.3B.4C.5D.6 5.已知数列a，a（1－a），a1()a2，…是等比数列，则实数a的取值范围是（）.A.a≠1B.a≠0且a≠1C.a≠0D.a≠0或a≠1

6.某数列既是等差数列又是等比数列，那么这个数列一定是（）

A、公差为0的等差数列B、公比为1的等比数列 C、常数列 1.1.1…D、以上都不是

7.等比数列{an}的公比q<0，且a2＝1－a1，a4＝4－a3，则a4＋a5等于()A．8B．－8C．16D．－16

8.设aa30

n

是由正数组成的等比数列，公比q2，且1a2a3a302，那么

a3a6a9a30的值是（）A210

B220

C216

D215

9.在等比数列{an}中，a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，那么a4＋a5＝()

A．27B．27或－27C．81D．81或－81

10.(11辽宁)若等比数列{an}满足anan+1=16n，则公比为()A．2B．4C．8D．16

11.(09·四川)等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则

数列{an}的前10项之和是()

A．90B．100C．145D．190

§2.4.1等比数列的概念及通项公式312.在等比数列{an}中，2a4a6a5，则公比q＝

13.各项为正数的等比数列{an}中，若a4，a5，a6三项之积为27，则log3a1＋log3a2＋

log3a8＋log3a9＝________.14.(11广东)已知{an}是等比数列，a2

=2,a4

-a3

=4,则此数列的公比q=______

15.(11浙江）已知公差不为0的等差数列{an}的首项为a(aR)，且a1，a2，a4成等比数列,求数列{an}的通项公式.16.已知数列{a的前n项和为SS1

n}n,且n3

(an1),（1）求a1，a2；(2)证明{an}是等比数列。

6.等差数列与等比数列的证明方法 篇六

高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？

证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。

一、定义法

10.证明数列是等差数列的充要条件的方法：

an1and(常数)an是等差数列

a2n2a2nd(常数)a2n是等差数列

a3n3a3nd(常数)a3n是等差数列

20.证明数列是等差数列的充分条件的方法：

anan1d(n2)an是等差数列

an1ananan1(n2)an是等差数列

30.证明数列是等比数列的充要条件的方法：

an1q(q0且为常数，a10)an为等比数列 an

40.证明数列是等比数列的充要条件的方法：

anq（n>2，q为常数且≠0）an为等比数列 an

1注意事项：用定义法时常采用的两个式子anan1d和an1and有差别，前者必须加上“n≥2”，否则n1时a0无意义，等比中一样有：n≥2时，有（常数0）；②nN时，有an1． q（常数0）ananqan1

例1.设数列a1,a2,,an,中的每一项都不为0。

证明：an为等差数列的充分必要条件是：对任何nN，都有

111n。a1a2a2a3anan1a1an1

证明：先证必要性

设{an}为等差数列，公差为d，则

当d=0时，显然命题成立 当d≠0时，∵

1111

 anan1danan1

∴

再证充分性：

∵

1n111

„„„① 

anan1a1an1a1a2a2a3a3a

411n1111

„„„② 

anan1an1an2a1an2a1a2a2a3a3a4

∴

②﹣①得：

1n1n 

an1an2a1an2a1an1

两边

anan1a1得：a1(n1)an1nan2 „„„③

同理：a1nan(n1)an1„„„④ ③—④得：2nan1n(anan2)

即：an2an1an1anan为等差数列

例2.设数列{an}的前n项和为Sn，试证{an}为等差数列的充要条件是

Sn

n(a1an),(nN*)。

2证：）若{an}为等差数列，则

a1ana2an1a3an2……，故

2Sn(a1an)(a2an2).......(ana1)

Sn(a1an)

n

（）当n≥2时，由题设，Sn1)(a1an1)n(a1an1



(2,Sn)

n2

所以a(a1a2)(n1)(a1an1)nSnSn1

n22

同理有a1)(a1an1)n(a1ann1

(n2)

从而a(n1)(a1an1)(n1)(a1an1an

2n(aan1)

1n)2

整理得：an+1－an=an－an－1，对任意n≥2成立.从而{an}是等差数列.例3.已知数列an是等比数列（q1），Sn是其前n项的和，Sk，S2kSk，S3kS2k，„，仍成等比数列。

证明一：

（1）当q=1时，结论显然成立；（2）当q≠1时，Sa11qk1q2ka11q3kk

1q,S2k

a11q,S3k

1q

Sq2ka11qka1qk1qk2kSk

a111q



1q



1q 3kSa11q11q2ka1q2k1qk3kS2k

1q



a1q



1q

2kk2

S2

1q21qSa11qka1q2k1qka22k1q12kSk

a(1q)2

k(S3kS2k)1q1q

qk

(1q)2

∴S2

2kSk

=Sk(S3kS2k)

∴Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列.则

证明二：S2k－Sk=(a1a2a3a2k)－(a1a2a3ak)=ak1ak2ak3a2k=qk(a1a2a3ak)=qkSk0 同理，S3k－S2k=a2k1a2k2a2k3a3k= q2kSk0 ∴Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列。

二、中项法

(1).(充要条件)

若2an1anan2an是等差数列

(注：三个数a,b,c为等差数列的充要条件是:2bac)(充分条件)2an

an1an1(n2){an}是等差数列，（2）.(充要条件)

若 anan2an12(an0){an}是等比数列(充分条件)

2anan1an1（n≥1）

{an}是等比数列，注:

b(ac0)是a、b、c等比数列的充分不必要条件

b是a、b、c等比数列的必要不充分条件

.b(ac0)是a、b、c等比数列的充要条件.任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.三、通项公式与前n项和法

1.通项公式法

（1）.若数列通项an能表示成ananb（a，b为常数）的形式，则数列an是等差数列。(充要条件)

(2).若通项an能表示成ancqn(c，q均为不为0的常数，nN)的形式，则数列an是等比数列．(充要条件)

2.前n项和法

(1).若数列an的前n项和Sn能表示成Snan2bn(a，b为常数)的形式，则数列an是等差数列；(充要条件)

(2).若Sn能表示成SnAqnA(A，q均为不等于0的常数且q≠1)的形式，则数列an是公比不为1的等比数列．(充要条件)

四、归纳—猜想---数学归纳证明法

先根据递推关系求出前几项，观察数据特点，猜想、归纳出通项公式，再用数学归纳法给出证明。

这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“nk时命题成立”到“nk1时命题成立”要会过渡．

五、反证法

解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．

六、等差数列与等比数列的一些常规结论

若数列{an}是公比为q的等比数列，则

（1）数列{an}{an}（为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；（2）若{bn}是公比为q的等比数列，则数列{anbn}是公比为qq的等比数列；（3）数列

11

是公比为的等比数列；

qan

（4）{an}是公比为q的等比数列；

（5）在数列{an}中，每隔k(kN)项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍

为等比数列且公比为qk1；

（6）若m，n，p(m，n，pN)成等差数列时，am，an，ap成等比数列；（7）Sn，S2nSn，S3nS2n均不为零时，则Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列；（8）若{logban}是一个等差数列，则正项数列{an}是一个等比数列．

若数列{an}是公差为d等差数列，则

（1）{kanb}成等差数列，公差为kd（其中k0，k，b是实常数）；（2）{S(n1)kSkn}，（kN，k为常数），仍成等差数列，其公差为k2d；（3）若{an}{，bn}都是等差数列，公差分别为d1，d2，则{anbn}是等差数列，公差为d1d2；

（4）当数列{an}是各项均为正数的等比数列时，数列{lgan}是公差为lgq的等差数列；

7.谈等差等比数列性质的推广应用 篇七

定理1.等差数列{an}, a1, a2, …, an中, 有as, as+1, as+2, an, …仍成等差数列, 且数列中的任意一项at=as+ (t-s) d。

例1:等差数列{an}中, 已知:a3=13, d=4, 求a10.

解:a10=a3+ (10-3) d=13+7×4=41

对比一般的求解思路避免了求a1, 并且, 当t比s小时, 此公式仍然成立。

定理2:等差数列{an}, a1, a2, …an中, 有as, a2s, a3s, …, ams (s为任意给定的正数) , 也成等差数列, 且公差为sd。即等差数列中相同间隔的项组成的数列仍是等差数列。

∴{ams}成等差数列

推论:等差数列{an}, a1, a2, …an中, 有as, as+t, as+2t, …, as+mt仍成等差数列, 且公差为td。

即:等差数列中, “下标成等差数列的项仍成等差数列”。

证明略。

例2:在等差数列中, 已知a3=3, a10=20, 求a24。

解:∵3, 7, 10, 17, 24成等差数列。

∴a3, a10, a17, a24也成等差数列。

且公差为d=a10-a3=20-3=17

解题方法简捷明了。

定理3:等差数列{an}, 若正整数p+q=s+l=2t, 则aP+aq=as+al=2at

证明:∵aP+aq=a1+ (p-1) d+a1+ (q-1) d=2a1+ (p+q-2) d

例3:在等差数列中, 已知a12+a13+a14=93,

求a15+a16+a17。

解:∵a12+a13+a14+a18+a19+a20=93+107=200

定理4:一般地等差数列{an}, a1, a2, …, an中, 有 (1) ma1, ma2, …, man, (2) a1+k, a2+k, …, an+k, (3) m a1+k, ma2+k, man+k均成等差数列。即等差数列同乘以一个常数或同加上一个常数或同乘以一个常数再加上一个常数仍成等差数列。

原题得证。

定理5:等比数列{an}中, am, am+1, am+2, …, an成等比数列, 且an=amqn-m

证明显然。

定理6:等比数列{an}中, 有at, a2t, …, amt成等比数列, 公比为qt。

证明:{an}为等比数列, 即

∴{amt}为等比数列.

即“等比数列间隔相同的项成等比数列”

推论:等比数列an中, 有as+t, as+2t, …, as+mt成等比数列.即“等比数列中下标成等差数列的项仍成等比数列”

例6:在等比数列中, 已知a4=3, a8=48, 求a16

解:∵4, 8, 12, 16成等差数列.

∴a4, a8, a12, a16成等比数列.

定理7:等比数列{an}中, 若s+l=m+n=2t (m, n, s, l, t, e∈N) , 有as, al=an, am=at2

证明∵asal=a1qs-1a1ql-1=a12qs+l-2

同理:aman=a12qm+n-2

例7:在等比数列中, 已知a3a9=64

求a6

解:∵3+9=2×6

定理8:等比数列{an}中, 有{kan} (k≠0)

{anm}也成等比数列。

例8:已知数列{an}是首项为2, 公比为3的等比数列, 求a12+a22+…+a102

解:∵{an}为等比数列

参考文献

[1]数学 (五年制高等职业教育文化基础课教学用书) [M].苏州:苏州大学出版社.

[2]数学 (全日制普通高级中学教科书) [M].北京:人民教育出版社.

8.等差等比数列性质的延伸 篇八

关键词： 等差子数列 等比子数列 性质

数列在整个高中教学中占着重要位置.等差数列等比数列在历年的高考与高职高考中都是非常重要的题型.同时，等差、等比数列又是一种高等数学计算方式，可用在计算机编程等语言里面.

一、等差数列的子数列性质

（1）等差数列a■，a■，…，a■，a■，a■，…，a■，…中，去掉前m-1项后组成一个新数列：a■，a■，…，a■，…仍然是一个等差数列.

（2）等差数列中每隔相等的“距离”取出的项依次组成的新的数列a■，a■，a■，…（k，m∈N■）仍然是公差为md的等差数列.如偶數列{a■}是公差为2d的子数列、奇数列{a■}是公差为2d的子数列.

（3）若数列{a■}是等差数列，则{a■+a■}，{a■-a■}，{a■+a■+a■，a■+a■+a■，a■+a■+a■，…}，…仍为等差数列，公差分别为2d，0，9d.

（4）若数列a■为等差数列，则依次每k项之和也是等差数列，即S■，S■-S■，S■-S■，…也是等差数列.

性质（4）将题目求解简化，看以下例题.

例题1：已知一个等差数列的前10项和为310，前20项和为1220，

1.由此可以确定求其前n项和的公式吗？

2.S■，S■，S■这三者之间有何关系？

3.求S■.

解：1.由性质（4）可知：d■=S■-S■=k■d其中k=10

有（1220-310）-310=100d

得d=6带入10a■+10×92d=310

得a■=4，S■=3n2+n

2.S■，S■，S■这三者之间的关系.由性质4知S■，S■-S■，S■-S■这三者是等差数列，

公差d■=k■d=100×6=600.

3.求S■.已知（S■-S■）-（S■-S■）=d■，

有S■=600+2S■-S■=600+2×1220-310=2730.

可见，利用性质（4）解题大大简化了运算步骤，减少了运算量.

二、等比数列的子数列性质

（1）在公比为q的等比数列a■，a■，…，a■，a■，a■，…，a■，…中去掉前m-1项后，所得的数列：a■，a■，…，a■，…还是等比数列.

（2）等比数列a■，a■，…，a■，…中每隔相等的“距离”取出项，依次组成的新的数列a■，a■，a■，…（k，m∈N■）仍为等比数列，公比为q■.

（3）若数列{a■}是等比数列，则{a■a■}，{a■a■}，{a■a■a■，a■a■a■，a■a■a■，…}仍为等比数列，公差分别为q■，q■，q■….

（4）若数列{a■}是等比数列，则依次每k项之和也是等比数列，即S■，S■，S■-S■，…也是等比数列.

例题2：已知公比是不为1的等比数列{b■}，若S■=48，S■=60，求S■.

解：S■，S■，S■这三者之间的关系由性质4知

S■，S■-S■，S■-S■是等比数，

公比q■=S■-S■S■-S■=S■-S■S■

于是S■-60×60-48=60-48×48

解得S■=63.

本文研究了等差、等比数列子数列的性质，便于学生在以后的学习过程中能从不同的角度看待问题、解决问题，从而提高学生的思维能力，培养学生的观察归纳能力.

参考文献：

[1]丁月娇.等差数列性质及其应用.南京师范大学泰州学院，2012.

9.数列练习2 等比数列 篇九

1、在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝__________.2、设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于()

3、等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an＝()

4、正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝72＋6，S7－S2＝142＋12，则公比q等于

5、等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝()

探究点2 等比数列的判定

1、已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－5an－85，n∈N.(1)求证：{an－1}是等比数列；

(2)求数列{Sn}的通项公式，并求出使得Sn＋1＞Sn成立的最小正整数n.122an是等比数列，－

12、已知数列{an}的首项a1＝an＋1，n＝1,2,3，…，求证：数列3an＋1an*S5S

2并求数列{an}的通项公式．

探究点3 等比数列的性质

1、已知等比数列{an}中, a1+a2+a3=－3，a1a2a3=8.则an2、各项都是正数的等比数列{an}的公比q1, a2=1，则a1a5a1a6=a4a

53.{an}是等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25则a3＋a5=

4.各项都是正数的等比数列{an}中,a1a2a3....a30230,则a2a5a8....a26a291、已知数列an通项公式：an4lg3n1lg9n1nN求证：数列an是等差数列

2、在等差数列{an}中，a2a810，log2a3log2a74，求an3、已知f(x)3x11，数列an满足 f()(n2)，且a11,求a8的值。x3anan

124、设数列{an}是等差数列，数列{bn}的前n项和为Sn＝3(bn－1)，若a2＝b1，a5＝b2.(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{bn}的前n项和Sn.5、已知等差数列{an}中的四项：1,a1,a2,4，等比数列{bn}中的四项：1,b1,b2,b3,4，（1）分别求出{an}与{bn}的公差和公比；（2）求出

6、已知数列｛an｝的前n项和为Sn，Sna2a1的值。b21(an1)(nN)3

（1）求a1,a2;（2）求证：数列{an}是等比数列，并求{an}的通向公式.11例1 已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an＋，求an.2n＋n

例2 设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn.2n例3已知数列{an}满足a13，an＋1＝a，求an.n＋1n

10.等差、等比数列性质类比 篇十

一、等差数列：

1.等差数列的证明方法：1.定义法：2．等差中项：对于数列则{an}为等差数列。2.等差数列的通项公式：

an，若2an1anan

2ana1(n1)d------该公式整理后是关于n的一次函数

Sn

n(a1an)n(n1)

2Snna1dSAnBn n223.等差数列的前n项和 1．2.3.abA

2或2Aab 4.等差中项: 如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即：

5.等差数列的性质:（1）等差数列任意两项间的关系：如果

an是等差数列的第n项，am是等差

aam(nm)d

数列的第m项，且mn，公差为d，则有n

（2）.对于等差数列

an，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq。

*SSSSk，S3kS2kakNnn（3）若数列是等差数列，是其前n项的和，那么k，2k

S3k

a1a2a3akak1a2ka2k1a3k

成等差数列。如下图所示：

（4）．设数列

SkS2kSkS3kS2k

an是等差数列，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和，S偶S奇

S奇nn1dSSa偶中，S偶n.2，○2当n为奇数时，则奇

则有如下性质： ○1当n为偶数时，二、等比数列：

1.等比数列的判定方法:①定义法若数列。

an

1q(q0)an

2an是等比aaann2n1，则数列②等比中项：若

n1

aaaqqann12.等比数列的通项公式:如果等比数列的首项是1，公比是，则等比数列的通项为。

3.等比数列的前n项和:○1

Sn

a1(1qn)

(q1)

1q

○

2Sn

a1anq

(q1)

1q

○3当

q1时，Snna1 ab。

4.等比中项:如果使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。那么G5.等比数列的性质:

（1）．等比数列任意两项间的关系：如果

an是等比数列的第n项，am是等差数列的第m项，且mn，qanamqnm

公比为，则有

（2）对于等比数列an，若nmuv，则anamauav也就是：a1ana2an1a3an2。

（3）．若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数

S3ka1a2a3akak1a2ka2k1a3k

列。如下图所示：SkS2kSkS3kS2k

基础练习

一、选择题：

1．已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（）

(A)4(B)5(C)6(D)7

2．设｛an｝是公比为正数的等比数列，若a11,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为（）

A.63B.64C.127D.128

3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9（）

A．63B．45C．36D．274、设等比数列{an}的公比q2，前n项和为SS

4n，则a（）

A.2B.4 C.15D.17

25.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过3个小时,这种细菌由1个可繁殖成-（A.511个B.512个C.1023个D.1024个

6．已知等差数列｛an｝中，a2=6, a5=15.若bn=a2n,则数列｛bn｝的前5项和等于（）

(A)30（B）45(C)90(D)186

7．已知数列an*

对任意的p，qN满足apqapaq，且a26，那么a10等于（）

A．165B．33C．30D．2

18．设{an}是等差数列，若a23,a713，则数列{an}前8项和为（）

Ａ．128Ｂ．80Ｃ．64Ｄ．56

9．设｛an｝是公比为正数的等比数列，若a1＝1,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为（）

A.63B.64C.127D.128

10．记等差数列an的前n项和为Sn，若S24，S420，则该数列的公差d=（）

A．7B.6C.3D.2

11．记等差数列an的前n项和为Sn，若a11

2，S420，则S6()

A．16B.24C.36D.48

a2,aa1

1n1nln

12．在数列an中，1n，则an＝（）

2)

A．2lnnB．

二、填空题：

1．等差数列{an}中，a5=24，S5=70，则S10=___

2．等比数列{an}的前n项和为Sn=32n1lnnC．2nlnnD．1nlnn +t，则t=________

3．等比数列{an}中，an>0，a2·a4+2a3·a5+a4·a6=25，则a3+a5=_______

4．设{an}中，an=20－4n，则这个数列前__或____项和最大。

5．已知：两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为An和Bn，且An3n1 n

Bn2n

3求：（1）a15b15=_________（2）an=___________ bn

6.等差数列{an}的公差d1，且前100项和S100=100,则a1+a3 +a5+…a99=__

27．在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数个数是________________

8．在数列{an}在中，an4n52*2，a1a2ananbn，nN,其中a,b为常数，则ab

52an4n{a}aaaanbn，nN*,其中a,b为常数，则2n2，19．在数列n在中，linanbnanbn的值是_____________

10．已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a5 = ____

三、解答题：

1．已知数列

n项和

11111S与SSS与S43453a设Snn345342.是等差数列的前n项和，已知的等比中项为，的等差中项为1，{an}是一个等差数列，且a21，a55。（1）求{an}的通项an；（2）求{an}前Sn的最大值。

求数列

an的通项．

3.等差数列{an}的前n

项和为Sn，a11S39求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

11.构造“另类数列”求数列通项公式 篇十一

一、基本题型

例1 已知数列{an}中,a1=2,n≥2时,an=3an-1+2,求an

分析:数列{an}不是等差数列或等比数列,但递推式an=3an-1+2可变形为an+1=3(an-1+1),则构造了一个另类数列{an+1}为等比数列,可先行解决an+1的通项,再求an.

解 设n≥2时,an=3an-1+2可化为an+λ=3(an-1+λ),即an=3an-1+2λ,

由2λ=2,∴λ=1.即an=3an-1+2可化为an+1=3(an-1+1).

∴{an+1}为首项为a1+1=3,公比为3的等比数列,∴an+1=3•3n-1=3n,∴an=3n-1

当n=1时也适合,∴an=3n-1.

说明 一般地,若递推式为an=pan-1+q(p≠1,q≠0),则可构造另类等比数列{an+λ},其中λ=qp-1,先行解决an+λ,再求an.

例2 数列{an}中,各项均不为零.a1=2,an+3anan-1-an-1=0(n≥2),求an.

分析 {an}不是等差或等比数列,由递推式形状,考虑同除以anan-1,化为1an=1an-1+3,则构造了一个另类等差数列{1an},先求出1an,再求an.

解 (略)

说明:一般的,若数列递推式是an+panan-1-an-1=0或an=an-1pan-1+1(p为常数),则可构造另类等差数列{1an},先解决1an,再求an.

所以,若一个数列不是等差或等比数列,可将递推式变形,构造形如{an+λ}、1an、{a2n}、{an}等的等差数列或等比数列,先解决此类式子,再求出an的通项表达式.

例3 正项数列{an}中,sn为其前n项的和.an2-2ansn+1=0,求an

分析 原式是sn与an的混合式子,须用an=sn-sn-1化为只含有an或sn的递推式再加以解决.

解 n≥2时an=sn-sn-1

∴原式可化为(sn-sn-1)2-2(sn-sn-1)sn+1=0即sn2-sn-12=1

又n=1时a1=s1,∴a12-2a12+1=0,∴a1=s1=1,∴{sn2}是一个首项为s12=1,公差为1的等差数列.

∴sn2=n即sn=n.

又n≥2时,an=sn-sn-1=n-n-1,也适合n=1.

∴an=n-n-1.

说明 一般地,若递推式是含有an与sn的混合式子,则先利用an=sn-sn-1把原式化为只含有an或sn的递推式子,再构造另类数列解题.

二、推广

例4 已知数列{an}中,a1=2,an+1=4an+2n+1,求an.

解 (法1)an+1=4an+2n+1可化为an+1+2n+1=4(an+2n)

则{an+2n}为首项是a1+2=4,公比为4的等比数列,

∴an+2n=4•4n-1=4n即an=4n-2n.

解 (法2)an+1=4an+2n+1两边同除以2n+1得an+12n+1=2•an2n+1,

化为an+12n+1+1=2•(an2n+1)∴an2n+1为首项为a12+1=2,公比为2的等比数列,

∴an2n+1=2•2n-1=2n即an=4n-2n.

说明 若递推式中还含有含n的代数式的时候,可考虑构造另类数列{an•f(n)+g(n)}为等差或等比数列来解决.

例5 已知数列{an}中满足a1=32,且an=3nan-12an-1+n-1(n≥2,n∈N*),求数列{an}的通项公式.

解an=3nan-12an-1+n-1变形为1-nan=13(1-n-1an-1),

∴1-nan为首项为1-1a1=13,公比为13的等比数列,

∴1-nan=13n即an=n•3n3n-1.

总之,在解决由递推式求数列通项公式的问题时,若数列不是等差或等比数列,可将递推式适当变形,构造另类数列,使之成为等差或等比数列,先解决另类数列的通项,再进一步求出{an}的通项.