柯西中值定理的证明

柯西中值定理的证明（共9篇）

1.柯西中值定理的证明 篇一

积分中值定理（开区间）的几种证明方法

定理：设f在[a,b]上连续，则(a,b)，使得

b

af(x)dxf()(ba)。

[证一]：由积分第一中值定理（P217），[a,b]，使得

于是

bbaf(x)dxf()(ba)。[f(x)f()]dx0.a

由于函数F(x)f(x)f()在[a,b]上连续，易证（可反证）：

(这还是书上例2的结论)

(a,b)，使得F()f()f()0，即f()f()。

[证二]：令F(x)x

af(t)dt，则F(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件，故

(a,b)，使得F(b)F(a)F()(ba)，即结论成立。

（注：书上在后面讲的微积分基本定理）

[证三]：反证：假设不(a,b)，使得 b

af(x)dxf()(ba)，由积分第一中值定理，知只能为a或b，不妨设为b，即

x(a,b),f(x)f(b)1bf(x)dx。aba)f(x)f(b)）由于f连续，故x(a,b),f(x)f(b（或，（这一点是不是用介值定理来说明）

这样

（上限x改为b）xbaf(x)dxf(b)dxf(b)(ba).a

（这个严格不等号不太显然要用书上例2结论来说明）

矛盾。

[证四]：设f在[a,b]上的最大值为M，最小值为m。若mM，则fc，可任取。

若mM，则x1[a,b]，有Mf(x1)0，故

[Mf(x)]dx0，即 abb

af(x)dxM(b).a

同理有

m(ba)f(x)dx.ab

由连续函数的介质定理知：(a,b)，使得 f()1bf(x)dx.。aba

注：以上方法有的能推广到定理9.8的证明，有的不能，再思考吧！

2.柯西中值定理的证明 篇二

一、曲线有水平切线———导出罗尔定理

首先观察图1，在平面直角坐标系里有一条连续的曲线ACB，其函数y=f (x） (x∈[a, b]），两个端点分别记为A, B，这条曲线除端点外处处有不垂直于x轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，即f (a）=f (b）.不难看出在曲线的最高点C处（还有最低点），曲线有水平的切线，这条切线正好与端点的连线AB平行（弦AB的斜率kAB=0）.如果记C点的横坐标为ξ，那么由导数的几何意义可以得f'（ξ）=0.用分析的语言来描述这一几何现象就可得到———

罗尔定理若函数f (x）满足条件：

(1）在闭区间[a, b]上连续；

(2）在开区间（a, b）上可导；

(3) f (a）=f (b），则在（a, b）内至少存在一点ξ，使得f' (ξ) =0.

证：因为f (x）在[a, b]上连续，所以由连续函数的最大最小值原理知，f (x）在[a, b]上可取到最大值M和最小值m，现在分两种情况分别讨论如下：

1. 若M=m，则f (x）≡M（或m），此时该函数f (x）为常数函数，故其导数恒等于零。于是在（a, b）上任意取一点ξ，都有f'（ξ）=0.

2. 若m<M，即最大值与最小值不相等，而两个端点的函数值相等，从而至少有一个最值不在端点取得。不妨设最大值不在端点取得。从而知存在ξ∈（a, b），使得f（ξ）=M.以下来证明f'（ξ）=0.

由于f（ξ）=M是最大值，所以恒有f（ξ+Δx）-f（ξ）≤0, ξ+Δx∈ (a, b) .

由于式（1）、（2）同时成立，从而有f'（ξ）=0.

综合以上两种情况，罗尔定理得证。

从罗尔定理的导出可以看出，利用几何直观对于问题的条件与结论都易于理解。就经济管理类专业而言，其证明即使未完全掌握，也完全可以弄清罗尔定理的条件与结论。

二、曲线有倾斜切线———导出拉格朗日中值定理

以下再来观察图2，在平面直角坐标系里有一条连续的曲线ACB，其函数为y=f (x） (x∈），两个端点分别记为A、B，这条曲线除端点外处处有不垂直于x轴的切线，不难看出在曲线的C处（图中还有一处）有切线平行于两端点的连线AB.如果记C点的横坐标为ξ，那么由导数的几何意义知ξ处的切线斜率为f'（ξ），而弦AB的斜率为

综上所述可知，平面内以A、B为端点的连续曲线弧处处有不平行于y轴的切线时，则在曲线内至少有一点，其切线平行于弦AB.用分析的语言来描述这一几何现象就得到下面微分学中十分重要的———

拉格朗日中值定理若函数f (x）满足下列条件：

(1）在闭区间[a, b]上连续；

(2）在开区间[a, b]上可导；

则在（a, b）内至少存在一点ξ，使得f'（ξ）=

分析将坐标系绕原点在平面内的旋转，使得在新坐标系“XOY”下，线段AB平行于新坐标系的X轴，于是就有了F (a）=F (b）.F (x）的几何意义，正是曲线y=f (x）与直线之差，这样就有了作辅助函数的方法。

证：作辅助函数，易知，F (a）=F (b）=0，且F (x）在[a, b]上满足罗尔定理的另外两个条件，故存在点ξ∈（a, b），使得，即定理得证。

从拉格朗日中值定理的导出同样可以看出，利用几何直观对于问题的条件与结论都易于理解。就经济管理类专业而言，证明过程中辅助函数的作法一般不易想到，但定理的条件与结论是直观的，而且是不难接受的。

关于拉格朗日中值定理，再作以下几点说明：

(1）从几何直观上看，易知罗尔定理是拉格朗日中值定理当f (a）=f (b）时的特例；

(2）该问题是将一般情况转化为特殊情况，将复杂问题转化为简单问题的论证思想，它是数学中重要而常用的数学思维方法。这里又是通过几何直观来提供一个构造辅助函数的方法的思路，使得粗象的构造辅助函数的思想变得直观而易于理解；

(3）拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式，它有几种常用的等价形式，可根据不同问题的特点，在不同场合灵活采用：

(4）以下推论1实际上是利用拉格朗日中值定理研究函数的典型例子之一，从几何图形上看又是直观的：如图3，在平面直角坐标系中连续的曲线AMB的切线处处是水平的（即斜率满足f'（ξ）堍0），则该曲线必定是一条水平的直线（即函数必为常数函数y=f (x）堍c， (x∈[a, b]）.此时曲线上任意一点处切线与曲线重合。

推论1若函数f (x）在区间（a, b）上的导函数f'（x）堍0，则f (x）是一个常数函数。

证：对于区间（a, b）上的任何两点x1, x2，不妨设x1>x2则在f (x）在[x1, x2]上满足拉格朗日中值定理的条件。根据该定理，有f (x2）-f (x1）=f'（ξ）（x1, x2）=0，这就是说，f (x）在区间（a, b）上的任何两个值都相等，所以为常数函数。

(5）以下推论2是利用拉格朗日中值定理研究函数的另一个典型例子之一，从几何图形上看同样是直观的：如图4，平面直角坐标系中的两条连续的曲线A MB、A'M'B'在区间 (a, b) 内处处有不垂直x轴的切线, 且两曲线的切线处处是平行的 (即斜率满足f' (ξ) =g' (ξ) (ξ∈a, b) ) , 则两条曲线中的一条曲线y=f (x) 是由另一条曲线y=g (x) 轴方向平移得到的 (即满足f (x) =g (x) +C) .

推论2若函数y=f (x）和y=g (x）均在区间（a, b）上可导，且f'（x）=g'（x），其中x∈（a, b），则在区间（a, b）上，函数f (x）与g (x）只差一个常数，即存在常数C，使得f (x）=g (x）+C.

证：令F (x）=f (x）-g (x），由推论1, F (x）=C，所以有f (x) =g (x) +C.

三、曲线由参数方程表示有切线———导出柯西中值定理

类似地，利用拉格朗日中值定理的几何意义及参数方程的知识可推出柯西中值定理。如图5，设该曲线的参数方程为∈Y=f (x) X=g (x） (a≤x≤b），其中x为参数。

那么曲线上的点（X, Y）处切线的斜率为，弦AB的斜率为，假设点C对应于参g'（x) g (b）-g (a) 数x=ξ，那么曲线上点C处的切线平行于弦AB，可以表示为.用分析的语言表示即为———

柯西中值定理若满足条件：

(1）函数f (x）, g (x）在闭区间[a, b]上连续；

(2）函数f (x）, g (x）在开区间（a, b）上可导；

(3）在开区间g'（ξ）内不为零；则在（a, b）内至少存在一点ξ，使得.

证：首先由拉格朗日中值定理，知g (b）-g (a）=g（ξ）（b-a）≠0，类似于证明拉格朗日中值定理时分析作辅助函数的方法，作辅助函数：

显然，F (x）满足罗尔定理的条件，所以存在点ξ∈（a, b），使得F' (ξ) =0,

不难看出，拉格朗日中值定理是柯西中值定理当g (x）=x时的特例，柯西中值定理最重要的应用是导出求不定式极限的非常好用的洛必达法则。

有了微分中值定理，一些从几何现象上看并不直观的函数关系的数学命题，运用微分中值定理容易给出其理论证明，显示出了微分中值定理运用导数知识去研究函数性态的桥梁的重要作用，仅举以下几例：

例1证明：当a>b>0时，

证令f (x）=lnx, x∈[a, b]，则f (x）在[a, b]上连续，在（a, b）内可导，由拉格朗日定理得 (a<ξ<b），由于得故

例2证明：当x>0时，成立不等式

分析：注意到x>时，则对于f (t）=lnt，在区间[x, 1+x]上，有f (1+x）-f (x）=ln (1+x）-lnx，可考虑运用拉格朗日定理进行证明。

证明：令f (t）=lnt，则f (t）在[x, 1+x]（x>0）上满足拉格朗日定理条件，从而有f (1+x）-f (x）=f'（ξ）（1+x-x）， (0<x<ξ1+x），即ln (1+x）-lnx=.

例3当x>0时，试证：若ex=1+xexθ（x）（其中0<θ（x）<1），则lxi→m0θ（x）=.

分析：移项可得ex-1=xexθ（x），易知，等式左边为函数f (t）=e'在[0, x]上的增量形式，而右边与θ（x）有关，可考虑运用拉格朗日定理进行证明。

证明：令f (t）=e'，则当x>0时，f (t）在区间[0, x]上满足拉格朗日定理条件，因此有f (x）-f (0）=f'（0+（x-0）θ（x） (x-0））， (0<θ（x）<1），由上式，解得，即θ故

摘要：本文结合经济管理类专业的实际, 给出从几何问题出发证明微分中值定理的思维过程, 使得所讨论的问题的条件与结论都易于理解, 证明中值定理过程中通常认为不易想到的作辅助函数的困难也变得易于接受。

关键词：微分中值定理,几何现象,辅助函数

参考文献

[1]柴慧琤.微分中值定理证法的几何解释[J].数学通报, 1991, (2) .

[2]同济大学应用数学系.高等数学上册 (第5版) [M].北京:高等教育出版社, 2003.

3.柯西中值定理的证明 篇三

【关键词】不等式 中值定理 单调性 驻点

证明： 。

证明方法一：（利用罗尔定理）令

顯然 在 上连续， 内可导，且有 ，

由罗尔定理可知

取 ，则有 ，

所以当 则有 即 ；

同理取 ，则有下列等式 ，

当 时，则有 ，即 ，即 ；

当 时， ，

综上所述，当 时，有 恒成立。

证明方法二：（利用拉格朗日中值定理）设函数 ，

令 ，得驻点 ，

显然当 时，有 ；

当 时，有 。

我们先考虑 ， 在 上连续， 内可导，且有 ，

由拉格朗日中值定理可知 ，

由于 ，由上式推出 ；

再考虑 ， 在 上连续， 内可导，且有 ，

由拉格朗日中值定理可知 ，

由于 ， ，由上式推出 ；又已知 ，

综上所述，当 时，有 ，即 。

证明方法三：（利用柯西中值定理）取定函数 ， ， ，设 ，

显然 ， 在 上连续， 内可导，由柯西中值定理可知

，即 ，即 ；

又设 ，显然 ， 在 上连续， 内可导，

由柯西中值定理可知 ，

即 ，即 ；又已知 ，

综上所述，当 时，有 。

证明方法四：（利用函数单调性判别法）设函数 ，驻点 ，显然 在 上连续， 内可导，在 内显然有 ，由函数单调性判别法可知， 在 上单调增加，即有 ；

同理 在 上连续， 内可导，在 内显然有 ，由函数单调性判别法可知， 在 上单调减少，即有 ；又已知 ，

4.关于柯西不等式的证明 篇四

王念

数学与信息学院 数学与应用数学专业 07 级 指导老师：吴明忠

摘要：研究柯西不等式的多种证明方法，得到一些有用的结论，并简单介绍一些它的应用。

关键词：柯西不等式、数学归纳法、二次型正定、欧式空间向量内积、詹森不等式，二维随机变量的数学期望。

Cauchy inequality is an important inequality.It has aroused people’s interest and its widespread application.In this paper、quadratic form、European space inner product、and the relation between Cauchy inequality.Wang Ni an

Xxxxxxxxxxx Grade 07 Instructor: Wu Ming Zhong

Abstract: The paper discusses the certifying ways of Cauchy inequality then gets some useful conduction and introduces some appliances.Key words: Cauchy inequality;quadratic form;inner product;Jensen inequality;mathematic Expectation.柯西不等式是大家熟知的一个重要不等式，它的结构和谐对称、以及广泛的运用引起了人们的兴趣和讨论。本文运用高等代数、微积分的基本内容来证明柯西不等式。柯西不等式的内容 1.1

(a1b1a2b2....anbn)2(a12a22....an2)2(b12b22....bn2)2(aibiR,i1,2......n)

等号当且仅当a1a2.....an0或bikai时成立（k为常数，i=1,2…..n）.1.2 设a1,a2,.....an及b1,b2,.....bn为任意实数则不等式(aibi)(a)(bi2)成2

i1

i1

i1

n

n

n

立，当且仅当bikai（i=1,2…..n）取等号。1,2这两种形式就是著名的柯西不

等式。柯西不等式的证明 2.1构造二次函数，证明柯西不等式。(其关键在于利用二次函数0时函数f(x)0

f(x)(a1xb1)2(a2xb2)2....(anxbn)2

(a12a22....an2)x22(a1b1a2b2....anbn)x (b12b22....bn2)显然f(x)0

又a12a22....ann0则利用0可得

4(a1b1a2b2.....anbn)24(a12a22....ann)(bb2.....bn)0即

n

(a1b1a2b2....anbn)2(a12a22....an2)(bb2....bn)

当且仅当aixbi0(i1,2....n)即

aa1a2

.......n是等号成立。b1b2bn

2.2 利用数学归纳法进行证明。（关键把握由特殊到一般情况的严密性）

（1）当n1时左式=a1b1右式=a1b1

显然左式=右式 当

n2

时，右式

a12a2b12b22a1b1a2b2a22b12a12b22

a1b1a2b22a1a2b1b2a1b2a2b2左式

仅当即 a2b1a1b2 即

a1a2

时等号成立 b1b2

故n1,2时 不等式成立

（2）假设nkk,k2时，不等式成立

2kak即 a1b1a2b2akbka12a2b12b22bk2

当 bikai，k为常数，i1,2n 或a1a2ak0时等号成立

a12a2....ak

设Bb12b22....bk2

Ca1b1a2b2....akbk

222222则ak1bk1bk1ak1bk1Bak1 22C22Cak1bk1ak1bk1Cak1bk1 2222a1a2akak1



b12

b2

k

b2

k

b

a1b1a2b2akbkak1bk1

当 bikai，k为常数，i1,2n 或a1a2ak0时等号成立

即nk1时不等式成立 综上所述原柯西不等式得证。

2.3 利用基本不等式（均值不等式）进行证明（关键在于利用它 “形式”）由于xy2xy(x,y

R)，令x

y



ai22ak2

k1

n

n



bi22bk2

k1n

(i1,2.......n)

将N

不等式相加得：

ab

ii

aibi

i1n



a

i1

nk1

n

i



b

i1nk1

n

i

1

2ak22bk2

n

n

n

i1

k1

即(aibi)(ai)(bk2)

i1

原柯西不等式得证。

2.4 利用二次正定型理论进行证明（关键在于理解二次型正定的定义）正定二次型定义：R上一个n元二次型q(x1,x2,....xn)可以看成定义在实数域上n个变量的实函数。如果对于变量x1,x2,....xn的每一组不全为零的值，函数值

q(x1,x2,....xn)都是正数，那么就称q(x1,x2,....xn)是一个正定二次型。

(aix1bix2)ai2x12bi2x222aibix1x20(i1,2,.....n)

n

n

n

有(ai)x(bi)x2(2aibi)x1x20

i1

i1

i1

设二次型 f(x1,x2)(ai)x(bi)x2(2aibi)x1x20

i1

i1

i1

nnn

故f为正定必有二次型矩阵

n2aii1

An



aibii1

n

abiii1

正定 n

2bii1

n

n

n

(ai)(bi)(aibi)20

则A0,即

i1

i1

i1

(aibi)2(ai2)(bi2)

i1

i1

i1

nnn

当

aa1a2

.......n时等号成立。b1b2bn

故原不等式成立，及柯西不等式得证。2.5 利用欧式空间中内积的性质进行证明。

定理：在一个欧式空间里，对于任意向量,，有不等式：

,2,,;当且仅当与线性相关时，才取等号。

证 如果与线性相关，那么或者0，或者a，不论哪一种情况都有

,2,,.现在设与线性无关。那么对于任意实数t来说，t0，于是

t,t0,即 t2,2t,,,0.最后不等式左端是t的一个二次三项式。由于它对于t的任意是数值来说都是正数，所以它的判别式一定小于零，即

,2,,0或,2,,.又在Rn里，对于任意两个向量

(x1,x2,....xn),(y1,y2,....yn),规定（必须规定）,x1y1x2y2.....xnyn.容易验证，关于内积的公理被满足，因而R对于这样定义的内积来说作成一个欧式空

n

间.再由不等式,2,,;推出对于任意实数a1,a2,....an,b1,b2,....bn,有不等式

(a1b1....anbn)2(a12....an2)(b12....bn2).即柯西不等式得证。2.6 利用行列式进行证明

n

n

n

证 (ai)(b)(aibi)

i1

i1

i1

a

i1ni1

n

i

ab

i1n

2ii1

n

ii

abb

iin

n



i1j1

ai2aibi

ajbjbj2



1ijn



(aibjajbi)20

若令a(a1,a2,an),b(b1,b2bn)则可以得到：

(aibi)(a)(b)1i 即柯西不等式得证。

i1

i1

i1

n

n

n

2.7 利用詹森不等式进行证明

考察函数(x)x2,(x0),(x)2x,(x)20,故(x)x2是(0,)上的凸函数，詹森（Jensen）不等式

n

PkXkk1n

Pkk1

n

n

2PkXkk1n(其中，P,2,n),得 k0,k1Pk

k1

n

n

(PkXk)(Pk)(PKxk2)

k1

k1

k1

nnn

ak22

上式中令Pkbk,Xk即（PkXk)(bk)(ak2)

bkk1k1k1

从而不等式成立。

2.8 利用二维随机变量的数学期望证明

表格 2

1n1n21n222

E()aibi，Eai,Ebi

ni1ni1ni1

由E()E2E2

1n1n21n22

所以有(aibi)(ai)(bi)

ni1ni1ni1

即(aibi)(ai)(bi2)

i1

i1

i1

nnn

5.柯西中值定理的证明 篇五

一，罗尔（Rolle）中值定理费马（Fermat）引理：设fx在点x0取得极值，且f/x0存在则f/x0=0。解析：几何意义：曲线在极值点处的切线是平行于x轴的。

2罗尔（Rolle）中值定理：函数fx在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导（每一点都具有导数）并且在闭区间a,b的端点函数值相等，即：fafb，那么在开区间a,b内至少有一点使得f/0。

解析：⑴该定理是奠定一系列中值定理的基础。

⑵此定理反映了由区间端点函数值的情况来表现区间内导函数值的变化情况，给出了点的具体位置和计算方法（与Lagrange中值定理的区别）。

⑶几何意义：若连接曲线两端点的弦是水平的，则曲线上至少有一点的切线是水平的。⑷两个推论：①推论1：如果函数fx在区间a,b内的导数恒等于零，那么函数fx在区间a,b内是一个常数。②推论2：如果函数fx在区间a,b内处处有

。f/xg/x，则在此区间内fxgxC（常数）

二，拉格朗日（Lagrange）中值定理

设函数fx在闭区间a,b上连续且在开区间a,b内可导（每一点都具有导数）那么在开区间a,b内至少有一点ab使等式fbfaf

该定理的其它几种表示形式：⑴f//ba成立。fbfa ba

AB解析：反映其几何意义：如果连接曲线yfx的弧上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，那么这弧上至少有一点，使曲线在处的切线平行于弦AB。

⑵令aba,01则fbfaf/ababa,01。解析：由于的特定取值范围，所以在证明不等式时较常用，若令ax0,bx0h那么有：fx0hfx0f/x0hh,01。

⑶有限增量公式：如果用x表示ba则函数增量yfbfa，这时该定理变成yf/x。

解析：⑴从理论上与微分的区别：该公式准确的表明了函数增量与自变量增量（不要求其趋第1页

于零或比较小而仅要求其为有限增量）的关系，而微分只能近似的表示这一关系，并且要求

x比较小，而且当x0时dy表示y的误差才趋于零。但在实际应用中仍常用微分去

近似表示函数值的改变量。⑵类比与上式，则还可表示为yf三，柯西(Cauchy)中值定理

设两个函数fx和gx在闭区间a,b上连续且在开区间a,b内可导（每一点都具有导数）且g/x在a,b内每一点均不为零，则在a,b内至少存在一点使得

/

xxx,01。

fbfaf/,ab成立。gbgag/解析：⑴要求分子与分母中的是同一个值。⑵

类

比

于

Lagrange

定

理，此

定

理

可

表

示

为

fx0hfx0f/x0h

,01。

gx0hgx0g/x0h四，Rolle,Lagrange,Cauchy中值定理间的关系

xxfafb

CauchygLagrangeRolle

五，泰勒(Taylor)中值定理定义：若fx在a,b上有直到n阶连续的导数，在开区间a,b上n1阶导数存在，则

对

于

任

意的x,x0a,b

有：

fxfx0

f

/

x0

1！

xx0

f

//

x0

2！

xx0

fnx0xx0nRnx其中

n！

fn1称为余项（与误差估计有关）。其中当x0xx0n1（介于x与x0之间）Rnx

n1！

取零时的泰勒(Taylor)公式称为麦克劳林（Maclaurin）公式。

解析：使复杂函数成为简单函数的有效方法。2 各种形式的泰勒(Taylor)公式

⑴带有皮亚诺（Peano）余项的泰勒

(Taylor)公式：

f/x0f//x0fnx02nn

Taylor:fxfxxxxxxxxx,xx000000

1！2！n！///n

Maclaurin:fxf0f0xf0x2f0xnxn,x01！2！n！





⑵带有Lagrange余项的泰勒(Taylor)公式：

f/x0f//x0fnx0fn12nn1

Taylor:fxfxxxxxxxxx00000

n11！2！n！

///nn1

xxn1,01Maclaurin:fxf0f0xf0x2f0xnf

n11！2！n！

⑶

带

有

Cauchy

余

项的泰

勒

(Taylor)

公

式

：

nfkx0

xx0kfxn1

xnm,xxm!fk！k0Taylor:0m

gkx0n!gn1k

xx0gx 

k！k0

nxx0xnn1fkx0k

xx0fCauchy:令gxx,m0则fxk！n！k0

⑷带有积分余项的泰勒(Taylor)公式：

n

fkx01xn1kn

Taylor:fxxxftxtdt0x0

k！n！k0

kn1n1f0kxnn1Maclaurin:fxxfxt1tdt0k！n！k0常见函数的麦克劳林（Maclaurin）展式

⑴带有皮亚诺（Peano）余项的麦克劳林（Maclaurin）展式：

n

x3x5x2n1x2k1n1k12n

sinxx1x1x2n

2n12k13！5！！k1



2n2kn

x2x4nxkx2n

cosx11x1x2n

2n2k2！4！！k0



kn

xx2xnk1xn

e1x1xn

1！2！n！k！k0x





nkn

x2x3n1xk1xn

ln1xx1x1xn

23nkk1



1x



n

1212n1nnkk

1xxxx1Cxxn2！n！k1

⑵带有Langrange余项的麦克劳林（Maclaurin）展式：

sinx1

k1n

n

k1

x2k1ncosx

1x2n1,012k12n1！

x2kn1cosx

cosx11x2n2,01

2k2n2！k0

k

xkex

exn1,01

！k0k！n1x

n

ln1x1`

k1

n

k1

xkxn1n

1,x1,01n1kn11x

1x



kk

1Cx

k1

n

1n1xn1xn1,x1,01

n1！Taylor公式的应用

⑴求极限。⑵近似计算，误差估计。⑶与幂级数的关系。⑷不等式证明。六，罗比塔（L”Hospital）法则解决问题的情况：

00

。

解析：不是以上两种型的转化为以上型。例如：

“0”型，“”型，“00”型，“0”型，“1”型。需注意的问题：⑴只有未定式才能应用罗比塔（L”Hospital）法则，不是未定式，则不能用罗比塔（L”Hospital）法则，且分子与分母分别求导。

⑵只有

法则。

00

未定式才能直接应用罗比塔（L”Hospital）

00



未定

⑶求其他类型未定式的值时，就首先将其转化为

式，然后才能应用罗比塔（L”Hospital）法则。

⑷可以对未定式反复应用罗比塔（L”Hospital）法则，直到求出确定的极限值为止。⑸用对数方法求极限时还要将结果还原为指数形式。

6.柯西中值定理的证明 篇六

1.1 假设条件

假设1：无摩擦市场假设

 不考虑税收；

 公司发行证券无交易成本和交易费用，投资者不必为买卖证券支付任何费用；  无关联交易存在；

 不管举债多少，公司和个人均无破产风险；

 产品市场是有效的：市场参与者是绝对理性和自私的；市场机制是完全且完备的；不存在自然垄断、外部性、信息不对称、公共物品等市场失灵状况；不存在帕累托改善；等等；

 资本市场强有效：即任何人利用企业内部信息都无法套利，没有无风险套利机会；  投资者可以以企业借贷资金利率相同的利率借入或贷出任意数量的资金。

假设2：一致预期假设

 所有的投资者都是绝对理性的，均能得到有关宏观、行业、企业的所有信息，并且对其进行完全理性的前瞻性分析，因此大家对证券价格预期都是相同的，且投资者对组合的预期收益率和风险都按照马克维兹的投资组合理论衡量。

1.2 MM定理第一命题及其推论

MM定理第一命题：

有财务杠杆企业的市场价值和无财务杠杆企业的市场价值相等。

第一命题的含义：

即公司的市场价值（即债权的市场价值+股权的市场价值，不含政府的税收价值）与公司的资本结构无关，而只与其盈利水平有关。这说明未来具有完全相同的盈利能力的公司市场价值相同，但由于其负债程度不同等因素，故它们的净资产可能有很大差异。

MM定理第一命题证明过程：证明方法是无套利均衡分析法。

基础假定：我们假定有两家公司—公司A和公司B，它们的资产性质完全相同但资本结构完全不同。A公司没有负债（这是一种极端假设，但作为比较基准更能说明问题）；B公司的负债额度是D，假设该负债具有永久性质，因为可持续盈利的公司总可以用新发行的债券来偿还老债券（这与宏观经济学中的庞兹计划完全不同，那是没有收入来源且信息不对称下导致的终生借债消费计划无效）。

细节假设：

 B公司当前债务利率为r（固定值）；  A、B两公司当前的股本分别是SA和SB（固定值）；

 A、B两公司当前权益资本预期收益率（即市场的资本化率，也就是其股票的预期收益率）分别是rA和rB（固定数值，因为仅指当前的预期收益率）；

 A、B两公司任何年份的息税前利润（EBIT）相同，数额都为EBIT（随机变量，每年的数值都是它的一个数据点）；  A、B两公司当前的市场价值分别记为PVA和PVB（固定值）；

 A、B两公司当前股票的市场价格与其真实价值完全一致，分别为MPA和MPB（固定值）；

 A、B两公司当前的股东权益分别记作SEA和SEB（固定值）。

注：假定中固定值较多是因为静态考察公司当前价值。

考虑一个套利策略：卖出A公司1%的股票；同时买入B公司1%的股票和1%的债券（上述比例可任意假定，但必须均为同一值）。这种套利策略产生的即时现金流和未来每年的现金流见表1。

表1 上述套利策略的现金流

头寸

即时现金流

未来每年现金流

卖出1%A股票

0.01* PVA

-0.01*EBIT

买入1%B股票

-0.01*SB*MPB

0.01*（EBIT-D*r）买入1%B债券

-0.01*D

-0.01* D*r 净现金流

NC

0

首先，任何公司的资产都等于账面的负债加权益，A公司无负债，因此有

PVASEA;PVBDSEB

其次，任何公司的股票价格都等于其股东权益与股本的比值：

MPAPVA/SA;MPB(PVBD)/SB①

再次，市场不应该存在无风险套利机会，故NC=0，也就是

0.01*PVA0.01*SB*MPB0.01*D0 MPB(PVAD)/SB②

由①②推得：PVAPVB③，命题证毕。

MM定理第一命题推论一：

债转股后如果盈利未变，那么企业的股票价格也不变。

证明：假设B公司的债务权益比为k，则：

kD/SEB

1k(SEBD)/SEBPVB/SEBPVA/SEBSA/SB④

将③④代入①得：

MPAPVA/SAPVB/(SB(1k))(DSEB)/(SB(1k))SEB(1k)/(SB(1k))MPB

证毕。

MM定理第一命题推论二：

股东期望收益率会随财务杠杆的上升而上升。

含义：正常情况下B公司在债转股之后会降低其股票的预期收益率，或者说A公司的股票预期收益率小于B公司的股票的预期收益率。

证明：B公司的资产负债率（RDA）和股东权益比率（REA）分别为：

RDABD/PVBD/(DSEB)k/(1k)REABSEB/PVBSEB/(DSE)1/(1k)

由于公司所有税前收益均优先用于分派股息，而且市场有效性保证了股票的价格反映股票价值。则由股票收益现值模型可得A、B两公司的股票预期收益率rA和rB分别满足：

MPAEBIT/SAEBIT jSA*rAj1(1rA)(EBITR*D)/SBEBITR*D j(1rB)SB*rBj1MPB同时EBIT>r*PVB，因为这表示即使公司全部举债经营，公司产生的税息前收益也足够支付利息，也就是说股票的收益率大于债券的收益率，由于系统风险和预期收益相匹配的结果导致这个不等式必然成立。故可推导出：

rBEBITr*DEBITr*DEBITEBITEBITrA，证毕。

SEBPVBDPVBPVASA*MPAMM定理第一命题推论三：

股东每股盈利也会随着财务杠杆的上升而上升。

含义：正常情况下，债券转为股票之后，公司股东的每股盈利也会下降。证明：A、B两公司每股盈利分别为：

EAEBIT(EBITR*D);EB⑤ SASB将④代入⑤的第二式得： EB(EBITR*D)(1k)(EBITR*D)k*EBIT(1k)*R*D⑥ EASBSASA由于EBIT>r*PVB，再将前面RDAB定义式代入，可以推得：

kEBITk*EBIT(1k)*R*D(1k)(EBITR*D)(1k)*D(r)0⑦

1kPVB由⑥⑦得：EBEA，证毕。

注：数学基础非常少的人有可能会觉得上述三个推论感性理解上有相互矛盾的地方，故须深入思考现实过程。

1.3

MM定理第二命题：

公司加权平均资本成本（WACC）与公司的资本结构无关。

证明：由于公司A仅有股权融资，故WACCArA MM定理第二命题及其推论

WACCBrBSEBDEBITEBITrrA①，证毕。PVBPVBPVBPVAMM定理第二命题推论：

有负债的公司的权益资本成本等于同一风险等级的无负债公司的权益资本成本加上风险补偿，风险补偿的比例因子是负债权益比k。

（是不是和CAPM、多因子模型、套利定价和单证券定价模型有点像啊，呵呵）

证明：由①（重新编号）得：

rB2 PVBr*DDrArA(rAr)rAk(rAr)，证毕。SEBSEBSEB有税收条件下的MM定理 2.1

假设条件

考虑税收，其他假设与前面相同。有税收条件下的MM定理仅一个定理，有四个推论。

2.2 MM定理第一命题及其推论

MM定理第一命题：

在考虑税收的情况下，有财务杠杆的企业的市场价值等于无财务杠杆的企业的市场价值加上“税盾”的市场价值。

证明：假定A、B两公司的所得税税率都是T（固定税率制，累进税率制等也一样的），那么两公司的税后收益（EAT）分别为：

EATA(1T)*EBIT

EATB(1T)*(EBITr*D)r*D(1T)*EBITT*r*DEATA，证毕。

其中T*r*D即税盾效应，与A公司税后盈利相比，这是B公司多出来的部分，这是由于B公司的财务杠杆起作用了：公司价值是股权市价加债权市价，A公司每年产生的现金流EBIT都要交所得税，而B公司中EBIT仅有一部分交所得税，故省出一部分价值计入到公司的债权价值中。或者也可以理解为没有负债的公司举债时，政府需要把原来征的税的一部分退给公司的债主，或者说举债成本里T*r是政府买单的（机会成本的角度讲），而公司举债的成本仅是(1T)*r，这是从金融的角度或者说机会成本的角度讲的，就如经济利润和会计利润的差别一样，而证券定价的基准正是从金融的角度给出才能准确。

显然A、B两公司的税前价值仍然一样，相当于不考虑税收。我们用带撇号的字母表示考虑税收的变量，则有税收情况下A、B两公司的市场价值分别为：

PVA/PVA(1T)

(1T)r*PVBr*D)DPVA/D(1)PVA/① EBITEBIT(1T)r*PVB)叫做税盾的市场价值。其中D(1EBITPVB/PVB(1T)(1

MM定理第一命题推论一：

在考虑税收情况下，股东的期望收益率仍然会随着财务杠杆的上升而上升。即在考虑税收的情况下，不考虑税收时MM定理的命题一的推论二仍然成立。

证明：考虑税收，A公司股票预期收益率为：

/rAEBIT(1T)EBIT(1T)EBIT(1T)rA② //SA*MPAPVA(1T)PVA由不考虑税收推论二证明的最后一个公式和①（重新编号）得B公司股票的预期收益率为：

rD(EBITrD)(1T)rD(EBITrD)(1T)rD(EBITrD)(1T)rD1TrB///(1T)*rD*PVBrDSB*MPBPVBDPVA(1)PVA/EBITEBITEBITrD//再由②得：rBrArDrDPVA(1T)(1)EBIT③，由于EBIT>rD（盈利足够付利息，保//证不破产），故rB，证毕。rA

MM定理第一命题推论二：

考虑税收情况下，股东的每股收益也仍然会随着财务杠杆的上升而上升，即在考虑税收情况下，不考虑税收MM定理命题一推论三仍然成立。

证明：A、B两公司每股盈利分别为：

/EA(1T)EBIT/(1T)(EBITrD)rD④;EBSASB将第一部分第一命题推论一下面的④代入④得：

/EB(1k)(1T)(EBITrD)rDSA/EATrDk(1T)(EBITrD)rDSA/EA

因EBIT>rD，故上不等式成立，证毕。

MM定理第一命题推论三：

在考虑税收情况下，WACC与公司资本结构有关。（证略）

根据CAPM模型，有税收后的贝塔系数/和无税收情况下的贝塔系数的关系为/(1(1T)D)（证明从略），由此得出股权预期收益，然后再根据公司计算出SEWACC，显然WACC是受资本结构影响的。MM定理第一命题推论四：

在考虑税收情况下，有负债的公司的权益资本成本仍然大于同一风险等级的无负债公司的权益资本成本，风险补偿的形式也更复杂（证明如③）。

注：一个延伸，PV/PV(1(1Tc)(1Ts))D，Tc表示企业所得税率，Ts表示股票收入的税

1Td率，Td表示利息收入的税率，个人可试着证明一下子。

公司税MM定理命题二

在考虑所得税情况下，负债企业的权益资本成本率(KSL)等于同一风险等级中某一无负债企业的权益资本成本率(KSU)加上一定的风险报酬率。风险报酬率根据无负债企业的权益资本成本率和负债企业的债务资本成本率(KD)之差和债务权益比所确定。其公式为：

7.柯西中值定理的证明 篇七

在全国高等学校教学研究中心组织的“科学思维、科学方法在高校数学课程教学创新中的应用与实践”活动的背景下, 内蒙古科技大学投百万巨资启动了一项具有应用型大学特色的理科教学基地建设工程, 高等数学作为大学数学基础课程的重要课程之一当然在建设之列.在建设过程中发现, 数学证明的教学内容、体系与方法的改革不仅是争议最多而且也是难度最大的问题之一.

从培养创新人才的目标看, 在数学证明教学过程中既要给出命题的真假依据, 又要启发学生更深刻地理解命题, 还要导致发现.这就需要突破传统教学中对数学证明的观念, 创造数学证明教学的高附加值, 即文化价值和思维价值.因此, 证明教学的目标是训练和培养学生的逻辑和非逻辑的思维能力.为了实现这一目标, 在科学思维、科学方法的精神指导下, 在已有的教学成果基础上, 对微分中值定理一元与多元情形进行一体化的教学设计, 探究一种以教学过程和内容建设为核心的教学模式.

二、Rolle分项

(1) 在有界闭区域D上连续;

则在D内至少有一点ξ, 使得gradf (ξ) =0.

只需简单地把定理中的函数拆分为两个函数的差, 即F (x) =f (x) -g (x) , 就得到下面的推论:

(1) 在有界闭区域D上连续;

推论1的几何意义是:两片连续光滑的曲面, 只要能够上下平移使其边界重合, 那么在D内至少存在一点使两片曲面上对应的点处有平行的切平面.

(2) 在线段]x1, x2[内具有连续偏导数;

(3) f (x1) =f (x2) ,

则在]x1, x2[内至少有一点ξ, 使得gradf (ξ) T[x2-x1]=0.

同理可由推论1得到:

(2) 在线段]x1, x2[内具有连续偏导数;

则在]x1, x2[内至少有一点ξ, 使得

三、方案设计

根据推论3, 可进行如下教学设计.

1.启发学生发现Lagrange中值定理

在推论3中, 取g (x) =cTx+d, 则结论变为在]x1, x2[内至少有一点ξ, 使得

2.启发学生发现Cauchy中值定理

由推论3知, 在]x1, x2[内至少有一点ξ, 使得

四、结语

上述教学模式的创新点是把微分中值定理一元与多元情形进行一体化的教学设计.期望效果是:不仅使学生对微分中值定理的学科结构和本质属性有更深刻的理解, 而且能够提高学习效率、扩展学生视野、拓宽应用领域[5].进行这样的尝试, 确实有其教育价值和现实意义.

摘要：数学证明教学的内容、体系与方法对培养创新人才具有重要作用.在科学思维、科学方法的指导下, 按照培养创新人才的目标要求, 在已有的教学成果基础上, 对微分中值定理一元与多元情形进行一体化的教学设计, 探究一种以教学过程和内容建设为核心的教育教学新模式.

关键词：教学模式,数学证明,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理

参考文献

[1]王申怀.数学证明的教育价值[J].课程·教材·教法, 2000 (5) :24-26.

[2]熊惠民, 虞莉娟.从数学证明的二重性看其教育价值[J].数学教育学报, 2007, 16 (1) :17-20.

[3]同济大学数学系.高等数学 (第六版) 上册[M].北京:高等教育出版社, 2007:128-133.

[4][苏]卡尔塔谢夫, 罗吉斯特维斯基.数学分析[M].曹之江, 倪星堂, 译.呼和浩特:内蒙古大学出版社, 1991:123-123.

8.柯西中值定理的证明 篇八

【关键词】拉格朗日中值定理 导数 单调性

1. 拉格朗日中值定理及其几何意义

拉格朗日中值定理是高等数学的一个重要定理，把该定理与高中数学的知识联系起来，这样不仅可以使我们加深对相关数学问题的理解，而且有助于我们更好的把握中学数学的本质，从而可以居高临下的处理教材，达到事半功倍的效果.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M]. 北京：高等教育出版社，2001.

[3]鲁凤娟.拉格朗日中值定理在高中数学证明不等式中的巧妙运用[J].数学通讯，2012，（2）：：31-32.

9.韦达定理推广的证明 篇九

当Δ＝b^2-4ac≥0时,方程 ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个实根,设为x1,x2.由求根公式x＝(-b±√Δ)/2a,不妨取 x1＝(-b-√Δ)/2a,x2＝(-b+√Δ)/2a, 则：x1+x2 =(-b-√Δ)/2a+(-b+√Δ)/2a =-2b/2a =-b/a, x1*x2=[(-b-√Δ)/2a][(-b+√Δ)/2a] =[(-b)^2-Δ]/4a^2 =4ac/4a^2 =c/a.综上,x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a.烽火TA000DA 2014-11-04

若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根

若b^2-4ac<0 则方程没有实数解

韦达定理的推广

韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的，对一个一元n次方程∑AiX^i=0

它的根记作X1,X2…,Xn

我们有

∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

…

ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)

其中∑是求和，Π是求积。

如果一元二次方程

在复数集中的根是，那么

由代数基本定理可推得：任何一元 n 次方程

在复数集中必有根。因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积：

其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的，韦达的16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。

(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是

x2-(x1+x2)x+x1x2=0．

3.二次三项式的因式分解(公式法)

在分解二次三项式ax^2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根是X1,x2，那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．

另外这与射影定理是初中必须

射影定理图

掌握的.韦达定理推广的证明

设x1，x2，……，xn是一元n次方程∑AiX^i=0的n个解。

则有：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=0

所以：An(x-x1)(x-x2)……(x-xn)=∑AiX^i（在打开(x-x1)(x-x2)……(x-xn)时最好用乘法原理）

通过系数对比可得：

A（n-1）=-An(∑xi)

A（n-2）=An(∑xixj)

…

A0==(-1)^n*An*ΠXi

所以：∑Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n)

∑XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n)

…

ΠXi=(-1)^n*A(0)/A(n)

其中∑是求和，Π是求积。

有关韦达定理的经典例题

例1 已知p＋q＝198，求方程x2＋px＋q＝0的整数根．

(’94祖冲之杯数学邀请赛试题)

解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得

x1＋x2＝－p，x1x2＝q．

于是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198，即x1x2－x1－x2＋1＝199．

∴(x1－1)(x2－1)＝199．

注意到x1－

1、x2－1均为整数，解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0．

例2 已知关于x的方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的两个根都是正整数，求m的值．

解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得

x1＋x2＝12－m，x1x2＝m－1．

于是x1x2＋x1＋x2＝11，即(x1＋1)(x2＋1)＝12．

∵x1、x2为正整数，解得x1＝1，x2＝5；x1＝2，x2＝3．

故有m＝6或7．

例3 求实数k，使得方程kx2＋(k＋1)x＋(k－1)＝0的根都是整数．

解：若k＝0，得x＝1，即k＝0符合要求．

若k≠0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，由韦达定理得

∴x1x2－x1－x2＝2，(x1－1)(x2－1)＝3．

因为x1－

1、x2－1均为整数，所以

例4 已知二次函数y＝－x2＋px＋q的图像与x轴交于(α，0)、(β，0)两点，且α＞1＞β，求证：p＋q＞1．

(’97四川省初中数学竞赛试题)

证明：由题意，可知方程－x2＋px＋q＝0的两根为α、β．由韦达定理得

α＋β＝p，αβ＝－q．

于是p＋q＝α＋β－αβ，＝－(αβ－α－β＋1)＋1

＝－(α－1)(β－1)＋1＞1(因α＞1＞β)．

映射定理