数学三角函数和数列

数学三角函数和数列（共10篇）

1.数学三角函数和数列 篇一

1.本专题是高中数学的重要内容之一，在高考试题中一般有2～3个题 (1～2个选择、填空题，1个解答题)，共计20分左右，约占总分的13%.选择题、填空题的难度一般是中等，解答题时常会出现与函数、三角、不等式等知识交汇的问题，故多为中等偏上乃至较难的问题.

2.数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏，有关数列的试题一般是综合题，经常把数列与不等式的知识综合起来考查，也常把数列与数学归纳法综合在一起考查.探索性问题是高考的热点，常有数列解答题中出现.

3.近两年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面：(1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式. (2)数列与其他知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合.(3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主.试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，有一些地方用数列与几何的综合，或与函数、不等式的综合作为最后一题，难度较大.热点，常有数列解答题中出现.

2.数学三角函数和数列 篇二

一、等差数列与函数的综合运用

我在对等差数列知识的研究中发现, 由等差数列的通项公式an=a1+ (n-1) ×d, 可得an=dn+ (a1-d) 。如果p=d, q=a1-d, 那么an=pn+q, 其中p, q都为常数, 当p≠0时, an是关于n的一次函数, 即 (n, an) 在一次函数y=px+q的图像上。因此, 在进行等差数列解题时, 可以有效运用这一内在关系, 进行两者之间问题知识的解答。

案例:已知二次函数f (x) =x2+2 (10-3n) x+9n2-61n+100 (n∈N) 。 (1) 设函数y=f (x) 的图像的顶点的横坐标构成数列{an}, 求证数列{an}为等差数列; (2) 设函数y=F (x) 的图像的顶点到y轴的距离构成数列{dn}, 求数列{dn}的通项公式, 并求{dn}中第几项最小, 其值是多少?

教师可引导学生进行分析发现, 此题考察的是等差数列与函数知识的综合运用。因此在解题时, 可以把握数列与函数定义域的联系和区别。同时二次函数的图像是抛物线, 其顶点的横坐标为x=-b/2a, 由此可以写出关于n的函数表达式。

其解题过程为:

证明: (1) 函数f (x) =x2+2 (10-3n) x+9n2-61n+100 (n∈N) , ∴顶点的横坐标为x=-b/2a=3n-10, ∴数列{an}的通项为an=3n-10 (n≥2, n∈N) , ∵an-an-1= (3n-10) -[3 (n-1) -10]=3, ∴数列{an}是等差数列。

解: (2) 函数f (x) =x2+2 (10-3n) x+9n2-61n+100, 顶点的横坐标为x=3n-10, 则顶点到y轴的距离为13n-101, 即数列{dn}的通项公式为dn=13n-101。令3n-10≥0, n≥10/3 (n∈N) , ∴n≥4。故通项公式为dn=10-3n (1≤n≤3) 和3n-10 (n≥4) 。设数列{dn}中第n项最小, 则dn≤dn+1, 和dn≤dn-1, ∴求得51≤18n≤69, ∴3≤n≤3, 故当n=3时, 即数列{dn}的第三项最小, d3=10-3×3=1。

二、等比数列与函数的综合运用

等比数列用函数的眼光看待, 就可以将等比数列改写成的形式, 通过分析, 就可以看出, 等比数列{an}的图像时函数的图像上的一群孤立的点。所以在教学中, 教师可以采用这种联系, 进行问题的解答。

案例:已知函数f (x) =abx的图像上的点和B (5, 1) 。 (1) 求函数F (x) 的解析式; (2) 设an=log2f (n) , n是正整数, Sn是数列{an}的前n项和, 解关于n的不等式anSn≤0。

教师要引导学生抓住函数与数列之间的内在关联点, 分析出它们之间的深刻联系, 进行问题的有效解答。学生在观察、思考、分析后, 进行解答过程如下。

(2) 由题意可得到:

三、等差、等比数列与函数的综合运用

等差数列、等比数列, 都可以看作是特殊的函数, 因此我们在解决问题时, 可以运用前移和联系的数学思想, 把解决函数问题的思想融入到数列中方程、不等式等知识解决数列中的有关问题, 这种形式的解题方式形式新颖、思维创新、结构巧妙, 是现在高考中的热点命题形式之一。

如在数列章节知识复习时, 教师可以设置这一问题。

已知数列{an}是等差数列, 且a1=50, d=-0.6, (1) 从第几项开始有an<0; (2) 求此数列的前n项和最大值。

对于这一问题, 教师在进行习题分析时, 要深刻认识到, 第一小题实际上是接一个不等式, 但要注意n∈N。对于第二小题, 实际上是研究Sn随n的变化规律, 由于等差数列中的Sn是关于n的二次函数, 因此在学生解答问题时, 教师可以引导学生采用用二次函数的方法进行最值的求解, 或可以采用由an的变化来进行推测Sn的变化。教师进行示范解答过程如下:

解: (1) ∵a1=50, d=-0.6, ∴an=50-0.6 (n-1) =-0.6n+50.6。令-0.6n+50.6≤0, ∴n≥84.3。由n∈N, 故当n≥85时, an<0, ∴从第85项开始有an<0。

(2) ∵d=-0.6<0, a1=50>0, 由 (1) 知a84>0, a85<0, ∴S1S85>…>Sn, ∴此数列的前n项和的最大值为S84=2108.4。

3.数学三角函数和数列 篇三

关键词： 数列 函数性质 教学内容 教学效果

“数列”一节是苏教版高中教材必修五第二章第一节的内容，教材内容安排的顺序是：数列的定义；数列的通项公式；数列的表示；数列的函数性质.数列的定义和通项公式是本节的重点，数列的函数性质是本节的难点，教材首先从日常生活中常见的一些数的问题抽象出数列的定义，然后通过对数列定义的理解比较数列与函数之间的关系.所以数列和函数之间有着彼此相互利用的关系.随着新一轮课程改革的深入，高中数学知识点在实际中的应用，在不同知识模块间的渗透应用随处可见.所以数列作为一类特殊的函数，函数性质在数列中的考查有着一一体现.由于本节知识点较多，教材仅是将主要内容进行概括说明，而数列的函数性质是学生第一次接触，在讲解过程中，教师有必要进行延伸和拓展才能取得较好的教学效果.下面就将我在教学“数列的函数性质”一节教学内容时延伸和拓展的内容总结如下.

1.数列与函数的关系

1.1相同点

在数列{a■}中，对于每一个正整数n（或n∈{1，2，…，k}），都有一个数a■与之对应，因此数列可以看成以正整数N■（或它的有限子集{1，2，…，k}）为定义域的函数a■=f（n），当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值y=f（x）.反过来，对于函数，如果f（i）（i=1，2，3，…）有意义，那么我们可以得到一个数列：f（1），f（2），f（3），…，f（n），….

1.2不同点

数列可以看成是一个定义域为正整数N■（或它的有限子集{1，2，…，k}）的函数按自变量从小到大依次取值，即数列是一种特殊的函数，定义域有限制，所以在用函数性质解决数列问题时尤其要注意.

1.3例题讲解

例1.数列{-2n■+29n+3}中最大项的值为？摇 ？摇.

解析：错解：由已知得a■=2n■+29n+3=-2（n-■）■+108■，所以数列{-2n■+29n+3}中最大项的值为108■.

错解分析：数列是一种特殊的函数，定义域是正整数集，n取不到■，所以最大项也不能为108■.这一个约束条件很容易被忽略.

正解：a■=-2n■+29n+3=-2（n-■）■+108■，∵n∈N■，∴当n=7时，a■有最大值为108.∴数列{-2n■+29n+3}中最大项的值为108.

2.数列的通项公式

2.1知识链接

在数列{a■}中，如果数列{a■}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式a■=f（n）表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.从函数的观点看，数列的通项公式实际上是一个以正整数N■（或它的有限子集{1，2，…，k}）为定义域的函数的解析式.

2.2例题讲解

例2.在数列{a■}中，a■=2，a■=66，通项公式是项数n的一次函数.

（1）求数列{a■}的通项公式；

（2）88是否为数列{a■}中的项.

解析：（1）设a■=an+b，由题意得：2=a+b66=17a+b，解得：a=4b=-2，∴a■=4n-2.

（2）令4n-2=88，解得n=■？埸N■，所以88不是数列{a■}中的项.

2.3延伸理由

教师的教学应该遵循学生的认知规律，虽然我们知道数列的通项公式实际上就是数列的解析式，但是由于学生刚刚开始学习数列，对这一点的认识肯定不是十分清楚.但由于学生已经熟练掌握了函数的概念和解析式的内容，因此如果能带领或引导学生从函数解析式的角度理解数列的通项公式，学生肯定能进一步认识清楚数列通项公式与n之间的关系，达到事半功倍的教学效果.

3.数列的图像

3.1知识链接

由于数列可以看成是一个定义域为正整数N■（或它的有限子集{1，2，…，k}）的特殊函数，因此数列的图像是相应的曲线（或直线）上横坐标为正整数的一群孤立的点.数列用图像表示时，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图表示一个数列.在画图时，为了方便起见，在平面直角坐标系中，两条坐标轴上取的单位长度可以不同.

3.2例题讲解

例3.数列{a■}：1，1，3，3，5，5，7，7…

（1）写出它的一个通项公式；

（2）若把其中的偶数项去掉，求余下的数按原来的顺序组成的新数列的通项公式.

（3）作出（2）中新数列的图像.

解析：（1）a■=n（n为奇数）n-1（n为偶数）或a■=n-■（n∈N■）

（2）a■=2n-1.

（3）{a■}的图像如右图所示：

3.3延伸理由

《新课标》指出：“要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。”课堂上，教师如果能带领学生一起作某一个数列的图像，当学生发现到黑板上所作出来的数列的图像是一群孤立的点的时候，可以更直观地让学生发现到数列确实是一个函数，但它是一个特殊的函数，即n的取值的特殊性.这正好和前面所讲到的数列通项公式中n的特殊性呼应起来，这种教学效果估计是任何语言都替代不了的.

4.数列的单调性

4.1知识链接

数列作为一种特殊的函数，同样具备函数的单调性性质.对于数列{a■}来说：①若a■a■（n∈N■），则称{a■}为递减数列；③若a■与a■的大小关系不定，交替变化，则称数列{a■}为摆动数列；④若a■=a■，则称数列{a■}为常数列.判断函数单调性的方法同样适用于数列.

4.2例题讲解

例4.已知函数f（x）=2■-2■，数列{a■}满足f（log■a■）=-2n.

（1）求数列{a■}的通项公式；

（2）证明数列{a■}是递减数列.

解析：（1）由已知条件有2■-2■=-2n，所以a■-■=-2n，即a■■+2na■-1=0，所以a■=-n±■，因为a■>0，所以a■=-n+■.

（2）由于a■>0，要比较a■与{a■}的大小，可以作差也可以作商.

因为■=■=■<1，所以a■

4.3延伸理由

教学不仅是一个实践过程，还是一个心理过程.古人云：“不愤不启，不悱不发.”我们不让学生思考，学生就不会有“愤”和“悱”的冲动.既然教师在课堂上反复地提到数列其实就是一种特殊的函数，但是拿什么东西让学生相信这一点呢？我想当学生从上面的例子中体会到也可以用函数的单调性的知识处理数列的单调性时，那么就会对学生理解数列的函数性质起到锦上添花的作用.

5.数列的最值

5.1知识链接

数列是一种特殊的函数，由于函数可以通过解析式求函数的最值，因此数列也可以由通项公式确定数列中的最大（小）项.研究数列的最值问题有两种途径：一是数列是特殊的函数，可以沿用函数求最值的方法，但是要注意使{a■}取最值的n值必须是正整数，二是有的时候数列并不一定有最大（小）项.

5.2例题讲解

例5.已知数列{a■}的通项公式a■=（n+1）（■）■（n∈N■），试问数列{a■}有没有最大项？若有，求最大项的项数；若没有，说明理由.

解析：∵a■-a■=（n+2）（■）■-（n+1）（■）■=（■）■·■，

∴当n<9时，a■-a■>0，即a■>a■；

当n=9时，a■-a■=0，即a■=a■；

当n>9时，a■-a■<0，即a■

故a■a■>a■>…，所以数列中最大的项为第9、10两项.

5.3延伸理由

新课程下课堂教学的一个重要变革就是要把传统教学的“一维目标”（知识与技能）转变为“三维目标”（知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观）.而关注学生的全面发展，就必须要强调数学教学活动中三维目标的整体实现.所以在这个知识点上，教师如果能够引导学生探索掌握如何根据函数求最大值的方法去类比求数列中最大项的求法，这样学生就可能经历如下思维过程：“提出问题”—“分析问题”—“经历失败”—“汲取信息”—“解决问题”.

4.数学三角函数和数列 篇四

数列和不等式是高考的两大热点也是难点，数列是高中数学中一个重要的内容，在高等数学也有很重要的地位，不等式是高中数学培养学生思维能力的一个突出的内容，它可以体现数学思维中的很多方法，当两者结合在一起的时候，问题会变得非常的灵活。所以在复习时，我们在分别复习好两类知识的同时，一定要注意它们的相互渗透和交叉，培养灵活的思维能力。

数列和证明不等式的交叉，是这两大块知识的主要交叉点，它在数列的特殊情景下，巧妙的融合了不等式的证明，它所涉及的问题往往是灵活的应用了数列和不等式的知识，把这两者完美的结合在了一起。

例1设an和bn分别是等差数列和等比数列，且a1b10，a2b20，若a1a2，试比较an和bn的大小。

分析：这两个通项大小的比较，它们的未知量比较多，比容易直接完成。因通过它们的项数n把他们组合在一起。设an的公差为d，bn的公比为q。显然q0，因为a2b20，所以有，a1da1q，即a1q1d。anbna1n1da1qn1a1a1n1q1a1qn1。又因为a1a2，所以

1qn1a2q1。若q1时，anbna11qn1= a11q

=a11q1qq2qn2n1。因为1qq2qn1n1，1q0，所以有：anbn。若0q1时，1qq2qn1n1，1q0，所以也有： anbn。综上所述，当nN，且n2时，anbn。在证明过程，对等比数列求和公式的逆用，是本题证明的一个转折点，它避免了一些不必要的分类讨论，时问题得以简化。

例2已知递增的等比数列an前三项之积为512，且这三项分别减去1，3，9后成等差数列，求证：123n1。a1a2a3an

分析：要想证明这个不等式，首先要求出左边的和式。根据题意，an是等比数列，2所以左边的和式可以利用错位相减法来求和。先确定这个等比数列。由a1a3a2可

得，a1a2a3a2512，所以a28。再设等比数列an的公比为q。则根据条件可

a14

得：818q9283，解得，q2或q1（舍去）。所以，因此，q2q2123n

an2n1。令Sn123n=234n1----------①，则

a1a2a3an222

21S123n--------------②，2n2324252n2由①-②得，1S1111n，即，2n2223242n12n2

1111n11n

1= Sn

222232n2n12n2n1

例3在某两个正数x，y之间，若插入一个数a，使x，a，y成等差数列；若另插入两个数b，c，使x，b，c，y成等比数列，求证：a12b1c1

分析：不等式左边有字母a，右边有不同字母b、c，要比较两边的大小，必须寻找

xy，bx2y，cxy2。a、b、c三者之间的联系，利用数列的关系可得：a2为计算方便，我们再令mx0，n

33

mn则a，bm2n，cmn2，y0，m3n32

1m2n1mn21= 那么，a1b1c1

2m3n3

=m2n2mn0，得a12b1c1。

2

例4设an0，且ananan1，求证：对一切自然数n，都有an。





n

22分析：因为ananan1，所以an1ananan1an，由已知an0，所以有，an1an0，即0an1。又因为an1an1an，111，所以1111。则有，1

an1an1anan1anan1an1an

在上式中取n1,2,,n1，得n1个不等式，把它们相加得，11n1，于

ana1

是，1n11n11n，因此，an1。在此题的证明过程中，我们巧妙的nana1

利用了数列求和的累加法，时问题的解决有一种全新的感觉。本题由于和自然数有关，也可以利用数学归纳法来证明。

例5 设a2，给定数列xn，其中x1a，且满足xn1

xn1

1。xn

2xn

。

2xn1求证：xn2且

分析：这是1984年的高考题，当时难倒了绝大部分的学生，大家觉得无从着手。它给定的是数列，求证的是不等式，而且都是和通项有关，所以我们可以考虑求出数列的通项再来观察。

xnxn1xn1x1因为2，又因为2xn12xn4xn4xn2x2x11n1

xn

xnax1a，所以有，xn2a2

n1

2n，则xn

2a21a

2n1

。而a2，则有，a20a21，所以01

aa因此，xn2且

xn1

1。xn

2n1

a21，那么01a

2n1

a21a

2n

1，1例6求证：1352n1。

2462n3n1

分析：这是一道不等式的证明题，若我们总是在不等式的圈子里转悠，问题不能圆满的解决。跳出这个圈子，我们不难发现这是一个自然数有关的命题，那么，解决它的方法不外乎两种，一是利用数学归纳法；二是构造数列。我们来构造一个数列

a2n23n1=

an。令an1352n1n1，则n1

2462n2n123n4an

12n28n20n41。所以，aa，从而有，aaaa1。=n1nnn1n2112n328n219n4

因此原不等式得证。

lgSnlgSn2

lgSn1。

分析：这是在数列情景下的不等式证明，所以要交叉使用数列的性质和不等式的证

例7设an是正项的等比数列，Sn是其前n项的和.证明：

明技巧。要证不等式等价于SnSn2Sn1，因为an0，所以Sn1Sn0。

由等比数列的定义可得：

aaa2a3

n1n2。a1a2anan1

再用等比定理得：

SnSn2Sn1。

Sn2Sn1an2a2a3an1Sn1a1Sn1，因此有：

Sn1Snan1a1a2anSnSn

例8 数列an和bn都是正项数列，对任意的自然数都有an，bn，an1成等差数列，22，an1，bnbn1成等比数列。

(1)问：bn是不是等差数列？为什么？

222(2)求证：对任意的自然数p和q（pq），bpqbpq≥2bp。

分析：对于第(1)题，我们不难证明它一定是等差数列。问题(2)的证明方法很多，我们可以直接利用等差数列的通项公式，通过作差比较来完成。但是若我们仔细分

222

析题意，观察bp，bbqpqp的特点，我们不难发现它们三者之间有等量关系：

bpqbpq≥

bpqbpq2bp，所以bpqbpq

。此题充分体现了数列和2bp

不等式知识的交叉运用。

例9数列an中，前n项之和为Snan2bn，其中a和b为常数，且a0，ab1，nN。

(1)求数列an的通项公式an；并证明an1an1。(2)若cnloganan1，试判断数列cn中任意两项的大小。

分析：此题的已知条件，前n项之和为Snan2bn 告诉我们，数列an是一个等差数列，要证明an1an1成立，只要证明该数列是一个递增的数列，且a11即可。(1)由Snan2bn可知，a1S1ab1，anSnSn12anab，所以an1an2a0，即数列an是一个单调递增的数列，那么an1ana11。

cn1logan1an2

(2)由(1)可知，数列cn各项都为正。则=logan1an2logan1ancnloganan1

logan1an2logan1an≤2=1logan1an124

2aan

1logaan2an21logan1n2= n1424





1，所以cn1cn.例10 已知数列an中，对一切自然数n，都有an0,1且anan 12an1an0。

求证：(1)an11an；

(2)若Sn表示数列an的前n项之和，则Sn2a1。

分析：从题目的结构可以看出，条件anan12an1an0是解决问题的关键，必2须从中找出an1和an 的关系。(1)由已知anan可得an12an1an0，2an1

1an1，12

又因为an0,1，所以有，01an11,因此an2an1，即an1an。2

1a1aa(2)由结论(1)可知，an1an112an2n，即1n1，于是有，22212n1112112a1，即Sn2a1。Sna1a2ana1a1n1a1a1

12212

5.数学三角函数和数列 篇五

泉州七中

教师：伍建家

在教学设计时，虽然我把教学等比数列前n项和公式作为重点来处理，但着墨并不多，因为我把更多的心思放在了练习的设计与安排上，期望在课堂教学中，能够在练习这一环节上绽放精彩。没想到，到头来却成了有心栽花花不开，无意插柳柳成行。

那天上课时，一开始先进行常规复习，接着为了烘托课堂气氛，激发学生的求知欲望，我用故事激趣导入新课（为表述方便，以下片断中的教师即指称笔者自己）：

我：上节课我们学习了等比数列的概念与通项公式，谁来说一说怎样的数列叫做等比数列？判断等比数列的方法有哪几种？……。听说有些同学喜欢国际象棋，关于国际象棋有一个很有趣的故事，大家想听吗？……，谁知道有多少粒麦子呢？

学生：（学生议论纷纷，大多认为不会太多吧）

我：这个问题就归结为今天要学习的等比数列的求和问题。等比数列的前n项怎么表示？如何求出结果？

学生：有的学生默不作声，有的由于预习了教材而脱口说出了求解思路，教师投以赞许的目光。

我：请一名学生板书出公式的推导过程：

（1）

（2）

由（1）－（2）得

（*）

我：这种方法叫做“错位相减法”，并解释为什么称之为“错位相减法”。问：公式涉及到等比数列的哪几个基本量？大家对公式有什么要补充吗？

学生：公式（*）中，此公式还可写成 ；当 时，是常数列，我：这是一个重要的公式，应用时要注意什么？（）大家对于它还有什么问题吗？

不问不打紧，一问还真问出了问题。这时，只见坐在前排的一个学生抛出了一句：“老师，这个„错位相减法‟是怎么被想出来的呢？”

我愣了一愣：是呀，这个方法是怎么被想出来的呢？在以往的教学中，并没有学生问起这个问题，自己也没有留意过这个问题，当然更没有研究过这个问题。面对着全班学生，在众目睽睽之下，我真的心虚。

风暴乍起，晴天霹雳，躲又没处躲，退也没法退，进又进不得，怎么办？索性与之较量一番吧！置之死地而后生。嘿！这样一想，心情反而平静了下来。我：这位同学提了一个很好的问题，是呀，这个方法是怎么被发现的呢？我们能不能自己来发现公式的推导方法呢？

于是我要求每前后两桌的4个学生组成一组，进行探究活动，一旦有了想法就推举一名代表发言，陈述想法。

大约6、7分钟后，就有个小组报告说，他们利用倒序相加法来求，但无论怎么试都不可行。（评注：等差数列前n项和是利用倒序相加法求得的，他们想用这个办法来试试，他们的这种想法，于情于理都很自然）

接着又有一个小组报告了他们的发现：

学生：我们发现…中的每项都有…，所以首先想到的可能是提取…，即…，但是我们无法求出…。后来我们又发现除第一项外，也可以提取…，也就是……（**）

但我们不知道这样做有没有用。（以上内容均予以板书出来）

我眼睛一亮，嘿！还真有戏了，不露声色地微微一笑：大家再仔细观察（**），还能发现什么？

有学生说：括号内是数列的前n-1项求和，也就是…，这样…

（评注：这离真正的求和公式仅一步之遥了）

我：请学生继续思考，希望他们能发现 与 之间的关系。果然几分钟后就有下文了。

学生：…，…，这样代入上式就可以求出…。

我：很好！大家再仔细看看，这个方法与错位相减法有什么关系呢？

一经提醒，大家可开心了，每张脸上都写满了兴奋：是呀，他们自己发现了错位相减法，这能不欢呼雀跃吗！

一看时钟，课已经进行了30多分钟，显然原先的例题教学与练习安排不可能按照原计划完成了，于是我对例题教学进行了压缩，对练习也重新做了调整。

……

下课铃响了，学生们似乎还意犹未尽，我带着些许的不安离开了教室。

6.数学三角函数和数列 篇六

用途：返回某一参数的绝对值，

语法：ABS(number)

参数：number是需要计算其绝对值的一个实数。

实例：如果A1=-16，则公式“=ABS(A1)”返回16。

2.ACOS

用途：返回以弧度表示的参数的反余弦值，范围是0~π。

语法：ACOS(number)

参数：number是某一角度的余弦值，大小在-1～1之间。

实例：如果A1=0.5，则公式“=ACOS(A1)”返回1.047197551(即π/3弧度，也就是600);而公式“=ACOS(-0.5)*180/PI()”返回120°。

3.ACOSH

用途：返回参数的反双曲余弦值。

语法：ACOSH(number)

参数：number必须大于或等于1。

实例：公式“=ACOSH(1)”的计算结果等于0;“=ACOSH(10)”的计算结果等于2.993223。

4.ASIN

用途：返回参数的反正弦值。

语法：ASIN(number)

参数：Number为某一角度的正弦值，其大小介于-1～1之间。

实例：如果A1=-0.5，则公式“=ASIN(A1)”返回-0.5236(-π/6弧度);而公式“=ASIN(A1)*180/PI()”返回-300。

5.ASINH

用途：返回参数的反双曲正弦值。

语法：ASINH(number)

参数：number为任意实数。

实例：公式“=ASINH(-2.5)”返回-1.64723;“=ASINH(10)”返回2.998223。

6.ATAN

用途：返回参数的反正切值。返回的数值以弧度表示，大小在-π/2～π/2之间。

语法：ATAN(number)

参数：number为某一角度的正切值。如果要用度表示返回的反正切值，需将结果乘以180/PI()。

实例：公式“=ATAN(1)”返回0.785398(π/4弧度);=ATAN(1)*180/PI()返回450。

7.ATAN2

用途：返回直角坐标系中给定X及Y的反正切值。它等于X轴与过原点和给定点(x_num，y_num)的直线之间的夹角，并介于-π～π之间(以弧度表示，不包括-π)。

语法：ATAN2(x_num，y_num)

参数：X_num为给定点的X坐标，Y_num为给定点的Y坐标。

实例：公式“=ATAN2(1，1)”返回0.785398(即π/4弧度);=ATAN2(-1，-1)返回-2.35619(-3π/4弧度);=ATAN2(-1，-1)*180/PI()返回-1350。

8.ATANH

用途：返回参数的反双曲正切值，参数必须在-1～1之间(不包括-1和1)。

语法：ATANH(number)

参数：number是-1

实例：公式“=ATANH(0.5)”返回0.549306144;=ATANH(-0.1)返回-0.10034。

9.CEILING

用途：将参数Number沿绝对值增大的方向，返回一个最接近的整数或基数significance的最小倍数。

语法：CEILING(number，significance)

参数：number为待返回的数值，Significance为待返回的最小倍数。

注意:无论number的正负如何，都是按远离0点的方向返回结果。如果number是Significance的倍数，则返回的数值是其自身。

实例：如果A1=3.1416，则公式“=C

7.用函数解数列问题 篇七

一、从函数角度看数列

例1.数列{an}满足求{an}的最大项与最小项.

分析:通过有限项找规律, 方法不完备.利用函数的图象, 结合数列特殊性, 问题较简单.

知当时函数单减.而{an}中n∈N*, 所以a9为最小项, a10为最大项.

二、函数与等差数列的前n项和

例2.等差数列{an}中, Sn为其前n项和, S100=10, S10=100, 求S110.

分析:方法一:利用求和公式需求首项, 公差并反复用求和公式, 较繁.而注意等差数列的前n项和是关于n的二次函数并不含常数项.令Sn=an2+bn, 待定a与b后, 顺利得解.

解:令Sn=an2+bn, 则

方法二:又是关于n的一次函数, 利用一次函数性质解决更简单.

所以S110=-110.

三、具体函数与数列综合题

例3.已知f (n) =S2n+1-Sn+1试确定m的值的范围, 使对一切大于1的正整数n, 不等式

分析:使不等式恒成立, 可联想函数中恒成立问题, 利用函数单调性, 求函数最值, 即a>b恒成立, 则a的最小值大于b, 将问题转为求a的最小值, 这时可用a的单调性进一步得其最小值.此题中数列f (n) 是特殊函数, 故可将f (n+1) -f (n) 与0比较, 得f (n) 单调性.这是数列单调性特殊性.

四、函数与数列特殊性结合

例4.数列{an}为递增数列, 对任意有an=n2+λn恒成立.求实数λ的取值范围.

分析:方法一:考查数列与二次函数, 将二次函数性质与数列特殊性结合, 要重视数列的特殊性.方法二:用类似函数单调性的方法, 注意后一项与前一项关系, 利用an+1>an对任意n∈N*恒成立, 将问题转为函数恒成立问题.

方法二:数列{an}为递增数列, 所以an+1>an对一切自然数n恒成立,

即an+1-an=[ (n+1) 2+λ (n+1) ]- (n2+λ·n) =2n+1+λ>0恒成立,

所以λ>-2n-1.

因为n∈N*, 所以-2n-1的最大值-3,

8.浅谈数列的函数特征 篇八

关键词：通项公式 求和公式 递推公式

我们知道，数列是特殊的函数，它是定义在正整数集 （或其有限子集）上的特殊函数，从而数列也具有函数的一般特点．因此，巧妙的利用数列的函数特点（比如解析式特点，图像特点，单调性特点），解决数列问题，将会得到奇妙的效果．

一、巧妙利用数列的通项公式的函数特点．

1、由等差数列的通项公式 知an 是n的一次（或常函数）函数，所以等差数列项的变化具有一次函数的特征。当 时，此数列是增数列，当 时，此数列是减数列，当 时，此数列是常数列。利用此单调性可求等差数列的前n项和最值。如

例1.已知等差数列 ， ,，求此数列前n项和 的最小值。

解析：由 得次数列单调递增，而 ，所以此数列从第9项开始为正值，所以此数列前8项和最小，且最小是 。

2、由等比数列的通项公式 （ 知an 是n的指数型函数，所以等比数列项的变化具有指数函数的特征。当 时，此数列是增数列（或减数列），当 时，此数列是减数列（或增数列），该数列项的变化具有指数函数的变化趋势。当 时，此数列是摆动数列。

例2.已知等比数列 ， ，求此数列的前5项，判断该数列从第几项开始小于0.001？

解析：由通项公式得 且该数列为递减数列，从第11项开始小于0.001.

3、由非等差非等比数列得通项公式得该数列的一些性质。如：

例3.已知数列 的通项公式 ，求数列 的最大项。

解析：由通项公式 知an 是n的二次函数，且开口向下，对称轴是 ，而n取正整数，所以n=2时，项最大。

例4.判断数列 的增减性。

解析：由题知通项公式 ，an 是n的反比例型函数。

，在 上增函数，所以该数列为增数列，但它的项比1小。

二、巧妙利用数列的求和公式的函数特点。

（1）由等差数列的求和公式 知an 是n的二次（或常函数）函数，所以等差数列前n项和的变化具有二次函数的特征。若 ，则 具有最小值，若 ，则 具有最大值。

例5.数列 是等差数列，

（1）从第几项起开始有

（2）求此数列前n项和的最大值。

解析：对于（1）实质上是解不等式，但注意 ，对于（2）实际上是研究 随n的变化规律，由于等差数列中 是关于n的二次函数，可以用二次函数的方法处理，也可由 得变化推测 的变化。

（2）由等比数列的求和公式得，当公比q=1时，因为 ，所以 ，它是n的正比例函数；当公比 时， ，设 ，则上式可写成 。由此可见，等比数列的前n项和 是关于n的一个指数式与一个常数且该常数与指数式的系数互为相反数。

例6.已知数列 的前n项和 ，那么数列（ ）

A一定是等差数列 B或是等差数列，或是等比数列

C一定是等比数列 D既不是等差数列，也不是等比数列

解析：由等比数列等比数列的前n项和公式特点得： 时是等比数列， 时 =0，数列为等差数列。

三、巧妙利用数列的递推公式的结构特征。

例7.（2011广东理20） 设b>0,数列 满足 ，．

（1）求数列 的通项公式；

（2）证明：对于一切正整数n，

解析：观察递推公式 特点，式子右边分子与分母同时出现.且分子与分母同时出现项数n,而我们需要构造新数列 ，所以对递推公式两边同时求倒数会发现

左右两边有相似结构 .若把 看成 ，则 ，

①当 时，

②当 .

（2）当 时，（欲证 ,只需证 ）而

，

所以

例8.（2011全国大纲理20）

设数列 ，满足 且

（Ⅰ）求数列 的通项公式；

（Ⅱ）设 ， 证明：

解析：观察递推公式是等差数列定义，（把 看成一个整体）

即 是公差为1的等差数列

所以 .而

，

参考文献：

9.数学三角函数和数列 篇九

一次函数的图象和性质

一、目的要求

1.使学生能画出正比例函数与一次函数的图象。

2.结合图象，使学生理解正比例函数与一次函数的性质。

3.在学习一次函数的图象和性质的基础上，使学生进一步理解正比例函数和一次函数的概念。

二、内容分析

1、对函数的研究，在初中阶段，只能是初步的。从方法上，是用初等方法，即传统的初等数学的方法，而不是用极限、导数等高等数学的基本工具，并且，比起高中对函数的研究，更多地依赖于图象的直观，从研究的内容上，通常，包括定义域、值域、函数的变化特征等方面。关于定义域，只是在开始学习函数概念时，有一个一般的简介，在具体学习几种数时，就不一一单独讲述了，关于值域，初中暂不涉及，至于函数的变化特征，像上升、下降、极大、极小，以及奇、偶性、周期性，连续性等，初中只就一次函数与反比例函效的升降问题略作介绍，其它，在初中都不做为基本教学要求。

2、关于一次函数图象是直线的问题，在前面学习13.3节时，利用几何学过的角平分线的性质，对函数y=x的图象是一条直线做了一些说明，至于其它种类的一次函数，则只是在描点画图时，从直观上看出，它们的图象也都是一条直线，教科书没有对这个结论进行严格的论证，对于学生，只要求他们能结合y=x的图象以及其它一些一次函数图象的实例，对这个结论有一个直观的认识就可以了。

三、教学过程

复习提问：

1.什么是一次函数?什么是正比例函数?

2.在同一直角坐标系中描点画出以下三个函数的图象：

y=2x y=2x-1 y=2x+1

新课讲解：

1.我们画过函数y=x的图象，并且知道，函数y=x的图象上的点的坐标满足横坐标与纵坐标相等的条件，由几何上学过的角平分线的性质，可以判断，函数y=x，这是一个一次函数(也是正比例函数)，它的图象是一条直线。

再看复习提问的第2题，所画出的三个一次函数的图象，从直观上看，也分别是一条直线。

一般地，一次函数的图象是一条直线。

前面我们在画一次函数的.图象时，采用先列表、描点，再连续的方法.现在，我们明确了一次函数的图象都是一条直线。因此，在画一次函数的图象时，只要在坐标平面内描出两个点，就可以画出它的图象了。

先看两个正比例项数，

y=0.5x

与 y=-0.5x

由这两个正比例函数的解析式不难看出，当x=0时，

y=0

即函数图象经过原点.(让学生想一想，为什么?)

除了点(0，0)之外，对于函数y=0.5x，再选一点(1，0.5)，对于函数y=-0.5x。再选一点(1，一0.5)，就可以分别画出这两个正比例函数的图象了。

实际画正比例函数y=kx(k≠0)的图象，一般按以以下三步：

(1)先选取两点，通常选点(0，0)与点(1，k);

(2)在坐标平面内描出点(0， O)与点(1，k);

(3)过点(0，0)与点(1，k)做一条直线.

这条直线就是正比例函数y=kx(k≠0)的图象.

观察正比例函数 y=0.5x 的图象.

这里，k=0.5>0.

从图象上看， y随x的增大而增大.

再观察正比例函数y=-0.5x 的图象。

这里，k=一0.5<0

从图象上看， y随x的增大而减小

实际上，我们还可以从解析式本身的特点出发，考虑正比例函数的性质.

先看

y=0.5x

任取两对对应值. (x1,y1)与(x2,y2)，

如果x1>x2，由k=0.5>0，得

0.5x1>0.5x2

即yl>y2

这就是说，当x增大时，y也增大。

类似地，可以说明的y=-0.5x 性质。

从解析式本身特点出发分析正比例函数性质，可视学生程度考虑是否向学生介绍。

一般地，正比例函数y=kx(k≠0)有下列性质：

(1)当k>0时，y随x的增大而增大;

(2)当k<0时，y随x的增大而减小。

2、讲解教科书13.5节例1.与画正比例函数图象类似，画一次函数图象的关键是选取适当的两点，然后连线即可，为了描点方便，对于一次函数

y=kx+b(k,b是常数，k≠0)

通常选取

10.数学三角函数和数列 篇十

作为一位优秀的人民教师，总不可避免地需要编写教案，借助教案可以恰当地选择和运用教学方法，调动学生学习的积极性。那么优秀的教案是什么样的呢？下面是小编为大家整理的《三角形内角和》数学教案（通用6篇），希望能够帮助到大家。

《三角形内角和》数学教案1

教学目标

通过猜想、验证，了解三角形的内角和是180度。在学习的过程中进一步激发学生探索数学规律的兴趣，初步感知计算多边形内角和的公式。

教学重难点

三角形的内角和

课前准备

电脑课件、学具卡片

教学活动

一、计算三角尺三个内角的和。

出示三角尺中的一个，提问：谁来说说三角尺上的三个角分别是多少度？

引导学生说出90度、60度、30度。

出示另一个三角尺，引导学生分别说出三个角的度数：90度、45度、45度。

提问：请同学们任选一个三角尺，算出他们三个角一共多少度？

学生计算后指名回答。

师：三角尺三个角的和是180度。

二、自主探索，解决问题

提问：是不是任一个三角形三个角的和都是180度呢？请同学们在自备本上

任画一个三角形，量出它们三个角分别是多少度，再求出它们的和，然后小组内交流。

学生小组活动，教师了解学生情况，个别同学加以辅导。

全班交流：让学生分别说出三个角的度数以及它们的和。

提问：你发现了什么？

任何一个三角形三个角的和都是180度。利用三角形的这一性质，我们可以解决许多问题。

三、试一试

要求学生先计算，再用量角器量，最后比较结果是否相同？让学生说说计算的方法。

教师说明：即使结果不完全一样，是因为测量的结果存在误差，我们还是以

计算的结果为准。

四、巩固提高

完成想想做做的题目。

第1题

学生独立计算，交流算法。要求学生用量角器量出结果，和计算的结果想比较。

第2题

指导学生看图，弄清拼成的三角形的三个内角指的是哪三个角。计算三角形三个角的内角和，帮助学生进一步理解：三角形三个内角的和是180度。

第3题

通过操作、计算，使学生认识到：不管三角形的大小怎样变化，它的内角和是不会变化的。

第4、5、6

引导学生运用三角形的分类及三角形内角和的有关知识解决有关问题，重点培养学生灵活运用知识解决问题的能力。

《三角形内角和》数学教案2

教学内容：

人教版义务教育课程标准试验教科书数学四年级下册第67页。

设计理念：

遵循由特殊到一般的规律进行探究活动是这节课设计的主要特点之一。《数学课程标准》指出，让学生学习有价值的数学，让学生带着问题、带着自己的思想、自己的思维进入数学课堂，对于学生的数学学习有着重要作用。因此，我尝试着将数学文本、课外预习、课堂教学三方有机整合，在质疑、解疑、释疑中展开教学，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的探究能力。

教材分析：

三角形的内角和是三角形的一个重要特征。本课是安排在学习三角形的概念及分类之后进行的，它是学生以后学习多边形的内角和及解决其它实际问题的基础。学生在掌握知识方面：已经掌握了三角形的分类，比较熟悉平角等有关知识；能力方面：经过三年多的学习，已具备了初步的动手操作能力和主动探究能力以及合作学习的习惯。因此，教材很重视知识的探索与发现，安排了一系列的实验操作活动。教材呈现教学内容时，不但重视体现知识的形成过程，而且注意留给学生充分进行自主探索和交流的空间，为教师灵活组织教学提供了清晰的思路。概念的形成没有直接给出结论，而是通过量、算、拼等活动，让学生探索、实验、发现、讨论交流、推理归纳出三角形的内角和是180。

学情分析：

学生已经掌握三角形特性和分类，熟悉了钝角、锐角、平角这些角的知识，大多数学生已经在课前通过不同的途径知道三角形的内角和是180度的结论，但不一定清楚道理，所以本课的设计意图不在于了解，而在于验证，让学生在课堂上经历研究问题的过程是本节课的重点。四年级的学生已经初步具备了动手操作的意识和能力，并形成了一定的空间观念，能够在探究问题的过程中，运用已有知识和经验，通过交流、比较、评价寻找解决问题的途径和策略。

教学目标:

1.使学生经历自主探索三角形的内角和的过程，知道三角形的内角和是180°，能运用这一规律解决一些简单的问题。

2.使学生在观察、操作、分析、猜想、验证、合作、交流等具体活动中，提高动手操作能力和数学思考能力。

3.使学生在参与数学学习活动的过程中，获得成功的体验，感受探索数学规律的乐趣，产生喜欢数学的积极情感，培养积极与他人合作的意识

《三角形内角和》数学教案3

学习目标：

(1)知识与技能 ：

掌握三角形内角和定理的证明过程，并能根据这个定理解决实际问题。

(2)过程与方法 ：

通过学生猜想动手实验，互相交流，师生合作等活动探索三角形内角和为180度，发展学生的推理能力和语言表达能力。对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。逐渐由实验过渡到论证。

通过一题多解、一题多变等，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展。

(3)情感态度与价值观：

通过猜想、推理等数学活动，感受数学活动充满着探索以及数学结论的确定性，提高学生的学习数学的兴趣。使学生主动探索，敢于实验，勇于发现，合作交流。

一、自主预习

二、回顾课本

1、三角形的内角和是多少度?你是怎样知道的?

2、那么如何证明此命题是真命题呢?你能用学过的知识说一说这一结论的证明思路吗?你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗?与同伴进行交流。

3、回忆证明一个命题的步骤

①画图

②分析命题的题设和结论，写出已知求证，把文字语言转化为几何语言。

③分析、探究证明方法。

4、要证三角形三个内角和是180，观察图形，三个角间没什么关系，能不能象前面那样，把这三个角拼在一起呢?拼成什么样的角呢?

①平角，②两平行线间的同旁内角。

5、要把三角形三个内角转化为上述两种角，就要在原图形上添加一些线，这些线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线常画成虚线，添辅助线是解决问题的重要思想方法。如何把三个角转化为平角或两平行线间的同旁内角呢?

① 如图1，延长BC得到一平角BCD，然后以CA为一边，在△ABC的外部画A。

② 如图1，延长BC，过C作CE∥AB

③ 如图2，过A作DE∥AB

④ 如图3，在BC边上任取一点P，作PR∥AB，PQ∥AC。

三、巩固练习

四、学习小结：

(回顾一下这一节所学的，看看你学会了吗?)

五、达标检测：

略

六、布置作业

《三角形内角和》数学教案4

教学目标

⑴探索并发现三角形的内角和是180°，能利用这个知识解决实际问题。

⑵学生在经历观察、猜测、验证的过程中，提升自身动手动脑及推理、归纳总结的能力。

⑶在参与学习的过程中，感受数学独特的魅力，获得成功体验，并产生学习数学的积极情感。

教学重点：检验三角形的内角和是180°。

教学难点：引导学生通过实验探究得出三角形的内角和是180度。

教学环节：问题情境与

教师活动：学生活动媒体应用设计意图

目标达成导入新课

一、复习旧知，导入新课。

1、复习三角形分类的知识。

师出示三角形，生快速说出它的名称。

2、什么是三角形的内角？

我们通常所说的角就是三角形的内角。为了便于称呼，我们习惯用∠A、∠B、∠c来表示。

什么是三角形的内角和？

三角形“三个内角的度数之和”就是三角形的内角和。用一个含有∠A、∠B、∠c的式子来表示应该如何写？∠A+∠B+∠c。

3、今天这节课啊我们就一起来研究三角形的内角和。（揭题：三角形的内角和）

由三角形的内角引出三角形的内角和，“∠A+∠B+∠c”的表示形式形象的体现出三内角求和的关系

二、动手操作，探究新知

1、出示三角板，猜一猜。

师：这个三角形的内角和是多少度？熟悉这副三角板吗？请拿出形状与这块一样的三角板，并同桌互相指一指各个角的度数

把三角形三个内角的度数合起来就叫三角形的内角和。是不是所有的三角形的内角和都是180°呢？你能肯定吗？

我们得想个办法验证三角形的内角和是多少？可以用什么方法验证呢？

3.学生测量

4.汇报的测量结果

除了我们这节课大家想到的方法，还有很多方法也能验证三角形的内角和是180°到初中我们还要更严密的方法证明三角形的内角和是180°

5、巩固知识。

一个三角形中能不能有两个直角？能不能有2个钝角？

环节

三、应用所学，解决问题。

1、基础练习（课本第68页做一做）

在一个三角形中，∠1=140度，∠3=25度，求∠2的度数。

2、判断题

（1）大三角形的内角和大于180度。（）

（2）三角形的内角和可能是180度。（）

（3）一个三角形中最多只能有一个直角。（）

（4）三角形的三个内角分别可能是30度，60度，70度。（）

3、求出下面三角形各角的度数。

（1）我三边相等。

（2）我是等腰三角形，我的顶角是96°。

（3）我有一个锐角是40°。

四、总结：这节课你有什么收获？

《三角形内角和》数学教案5

尊敬的各位评委老师：

大家好！今天我很高兴也很荣幸能有这个机会与大家共同交流，在深入钻研教材，充分了解学生的基础上，我准备从以下几个方面进行说课：

一、教材分析

“三角形的内角和”是三角形的一个重要性质，它有助于学生理解三角形内角之间的关系，是进一步学习几何的基础。

二、教学目标

1、知识与技能：明确三角形的内角的概念，使学生自主探究发现三角形内角和等于180°，并运用这一规律解决问题。

2、过程和方法：通过学生猜、量、拼、折、观察等活动，培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。

3、情感与态度：使学生感受数学图形之美及转化思想，体验数学就在我们身边。

三、教学重难点

教学重点：动手操作、自主探究发现三角形的内角和是180°，并能进行简单的运用。

教学难点：采用多种途径验证三角形的内角和是180°。

四、学情分析

通过前面的学习，学生已经掌握了三角形的一些基础知识，会量角，部分学生已经知道三角形内角和是180°，但不知道怎样得出这个结论。

五、教学法分析

本节课采用自主探索、合作交流的教学方法，学生自主参与知识的构建。领悟转化思想在解决问题中的应用。

六、课前准备

1、教师准备：多媒体课件、三角形教具。

2、学生准备：锐、直、钝角三角形各两个，量角器、剪刀。

七、教学过程

（一）、创设情境，激趣导入

导入：“同学们，有三位老朋友已经恭候我们多时了。“（出示三角形动画课件），让学生依次说出各是什么三角形。

课件分别闪烁三角形三个内角，并介绍：“这三个角叫做三角形的内角，把三个角的度数加起来，就是三角形的内角和。请学生画一个三角形，要求：有两个直角。为什么不能画，问题在哪呢？这节课我们就一起来探究三角形的内角和。板书课题。

（二）、自主探究、合作交流

1、探索特殊三角形内角和

拿出自己的一副三角板，同桌之间互相说一说各个角的度数。

三角形内角和是多少度呢？指名汇报。90°+30°+60°=180°

90°+45°+45°=180°

从刚才两个三角形内角和的计算中，你发现了什么？

2、探索一般三角形的内角和

一般三角形的内角和是多少度？猜一猜。你们能想办法证明吗？接下来，我们采用小组合作的方式进行探究，看看哪个组的方法多而且富有新意。

3、汇报交流

请小组代表汇报方法。

1）量：你测量的三个内角分别是多少度？和呢？（有不同意见）

没有统一的结果，有没有其他方法？

2）剪―拼：把三角形的三个内角剪下来拼在一起，成为一个平角，利用平角是180°这一特点，得出结论。(学生尝试验证)

3）折拼：学生边演示边汇报。把三角形的三个内角都向内折，把这三个内角拼组成一个平角。所以得出三角形的内角和是180°。(学生尝试验证)

4）教师课件验证结果。

请看屏幕，老师也来验证一下，是不是和你们的结果一样？播放课件。我们可以得到一个怎样的结论？

学生回答后教师板书：三角形的内角和是180°

为什么有的小组用测量的方法不能得到180°？（误差）

4、验证深化

质疑：大小不同的三角形,它们的内角和会是一样吗?（一样）

谁能说一说不能画出有两个直角的三角形的原因？

（三）、应用规律，解决问题：

揭示规律后，学生要掌握知识，就要通过解答实际问题。

1、为了让学生积极参与，我设计了闯关的活动来激励学生的兴趣。闯关成功会获得小奖章。

第一关：基础练习，要求学生利用“三角形内角和是180°”这一规律在三角形内已知两个角，求第三个角（课件出示）

第二关，提高练习，①已知等腰三角形的底角，求顶角。

②求等边三角形每个角的度数是多少。直角三角形已知一个锐角，求另一个。

让学生灵活应用隐含条件来解决问题，进一步提高能力。

2、小组合作练习，完成相应做一做。

（四）、课堂总结，效果检测。

一节成功的好课要有一个好的开头，更要有一个完美的结尾，数学是使人变聪明的学科，通过这节课的学习，你收获了什么？学生们畅所欲言。接下来老师要检查大家的学习效果，学生完成答题卡，组长评判，集体汇报。

（五）作业课下继续探究三角形，看你有什么新发现。

八、板书设计

通过这样的设计，使学生不仅学到科学的探究方法，而且体验到探索的乐趣，使学生在自主中学习，在探究中发现，在发现中成长。以上便是我对《三角形的内角和》这一堂课的说课，谢谢大家！

《三角形内角和》数学教案6

教材分析

教材的小标题为“探索与发现”，说明这部分内容要求学生自主探索，并发现有关三角形内角和性质。

教材创设了一个有趣的问题情境，以此激发学生的兴趣，引出探索活动。首先，教师应使学生明确“内角”的意义，然后引导学生探索三角形内角和等于多少。大多数学生会想到用测量角的方法，此时就可以安排小组活动。每组同学可以画出大小、形状不同的若干个三角形，分别量出三个内角的度数，并求出它们的和，填写在教材提供的表中。最后发现，大小、形状不同的三角形，每一个三角形内角和都在180°左右。

三角形的内角和是否正好等于180°呢？教材中安排了两个活动：一是把三角形三个内角撕下来，再拼在一起，组成一个平角，因此三角形内角和是180°。二是把三个内角折叠在一起，发现也能组成一个平角。每个活动都要使学生动手试一试，加深对三角形内角和的认识，体验三角形内角和性质的探索过程。

另外，教材还从两个方面引导学生应用三角形的内角和：一是根据三角形中已知的两个角的度数，求另一个角的度数；二是直角三角形里的两个锐角和等于90°，钝角三角形里的两个锐角和小于90°。

学情分析

学生在前面的学习中已经认识了三角形的基本特征及分类，并且在四年级（上册）教材里已经知道了两块三角尺上的每一个角的度数，知道了平角是180°；学生通过前几年的学习，已具备了初步的动手操作能力和主动探究能力以及合作学习的习惯，所以在学生具备这些数学知识和能力的基础上，来引导学生探索和发现三角形内角和是180°这一性质。

要让学生明确一个三角形分成两个小三角形后，每个三角形内角和还是180°，两个小三角形拼成一个大三角形，大三角形的内角和也是180°。

教学目标

1、知识目标：让学生探索与发现三角形的内角和是180°，已知三角形的两个角度，会求出第三个角度。

2、能力目标：培养学生动手操作和合作交流的能力，促进掌握学习数学的方法。

3、情感目标：培养学生自主学习、积极探索的好习惯，激发学生学习数学应用数学的兴趣。

教学重点和难点

教学重点：掌握三角形的内角和是180°，会应用三角形的内角和解决实际问题。

教学难点:让学生经历探索和发现三角形的内角和是180°的过程。

教学过程：

(一)、激趣导入：

1、认识三角形内角

我们已经认识了什么是三角形，谁能说出三角形有什么特点？

(三角形是由三条线段围成的图形,三角形有三个角，…。)

请看屏幕(课件演示三条线段围成三角形的过程)。

三条线段围成三角形后，在三角形内形成了三个角，（课件分别闪烁三个角及它的弧线），我们把三角形里面的`这三个角分别叫做三角形的内角。（这里，有必要向学生直观介绍“内角”。）

2、设疑激趣

现在有两个三角形朋友为了一件事正在争论，我们来帮帮它们。（播放课件）

同学们，请你们给评评理：是这样吗?

现在出现了两种不同的意见，有的同学认为大三角形的内角和大，还有部分同学认为两个三角形的内角和的度数都是一样的。那么到底谁说得对呢?

这节课我们就一起来研究这个问题。(板书课题：三角形的内角和)

(二)、动手操作，探究新知

1、探究特殊三角形的内角和

师拿出两个三角板，问：它们是什么三角形？

(直角三角形)

请大家拿出自己的两个三角尺，在小组内说说每一个三角尺上三个角的度数，并求出这两个直角三角形的内角和。

（由于学生在四年级（上册）教材里已经知道了两块三角尺上的每一个角的度数，所以能够很快求得每块三角尺的3个角的和都是180°）

从刚才两个三角形内角和的计算中，你们发现了什么？

(这两个三角形的内角和都是180°)。

这两个三角形都是直角三角形，并且是特殊的三角形。

2、探究一般三角形内角和

（1）猜一猜。

猜一猜其它三角形的内角和是多少度呢？(可能是180°）

（2）操作、验证一般三角形内角和是180°。

所有三角形的内角和究竟是不是180°，你能用什么办法来证明，使别人相信呢？

（可以先量出每个内角的度数，再加起来。）

测量计算，是吗？那就请四人小组共同计算吧！

老师让每个同学都准备了直角三角形、锐角三角形和钝角三角形三种不同的三角形，并量出了每个内角的度数，下面就请同学们在小组内每种各选一个求出它们的内角和，把结果填在表中：

（3）小组汇报结果。

请各小组汇报探究结果

提问：你们发现了什么？

小结：通过测量计算我们发现每个三角形的三个内角和都在180°左右。

3、继续探究

（1）动手操作，验证猜测。

没有得到统一的结果。这个办法不能使人很信服，怎么办？还有其它办法吗？请同学们动脑筋想一想，能通过动手操作来验证吗？

（先小组讨论，再汇报方法）

大家的办法都很好，请你们小组合作，动手操作。

（2）学生操作，教师巡视指导。

（3）全班交流汇报验证方法、结果。

学生放在投影仪上展示给大家看。（剪拼、撕拼、折拼）

我们可以得出一个怎样的结论？（三角形的内角和是180°）

引导学生通过剪拼、撕拼和折拼的方法发现：各类三角形的三个内角都可以拼成一个平角，使学生证实三角形内角和确实是180°，测量计算有误差。

4、辨析概念，透彻理解。

（出示一个大三角形）它的内角和是多少度？

（出示一个很小的三角形）它的内角和是多少度？

一块三角尺的内角和180°，两块同样的三角尺拼成的一个大三角形的内角和又是多少呢?（学生有的答360°，有的180°.）

把大三角形平均分成两份。每个小三角形的内角和是多少度？（生有的答90°，有的180°。）

这两道题都有两种答案，到底哪个对？为什么？

（学生个个脸上露出疑问。）

大家可以在小组内用三角尺拼一拼，也可以画一画，互相讨论。

经过一翻激烈的讨论探究后，学生发现：三角形不论位置、大小、形状如何，它的内角和总是180°

（三）小结

刚才同学们用很多方法证明了无论是什么样的三角形内角和都是180°，现在让我们用自豪的、肯定的语气读出我们的发现：“三角形的内角和是180°”。

(四)、巩固练习，拓展应用

下面，我们就根据三角形内角和的知识来解决一些相关的数学问题。（课件）

1、求三角形中一个未知角的度数。

（1）在三角形中，已知∠1=85°，∠2=65°，求∠3。

（2）在三角形中，已知∠1=98°，∠2=49°，求∠3。

2、判断

（1）一个三角形的三个内角度数是：90°、75°、25°。（）

（2）一个三角形至少有两个角是锐角。（）

（3）钝角三角形的内角和比锐角三角形的内角和大。（）

（4）直角三角形的两个锐角和等于90°。（）

3、解决生活实际问题。

（1）爸爸给小红买了一个等腰三角形的风筝，它的一个底角是70°，它的顶角是多少度？

（2）交通警示牌“让”为等边三角形，求其中一个角的度数。

4、拓展练习。

利用三角形内角和是180°，求出下面四边形、六边形的内角和？（课件）

小组的同学讨论一下，看谁能找到最佳方法。

学生汇报，在图中画上虚线，教师课件演示。

请同学们自己在练习本上计算。

(四)、课堂总结