二次函数基本练习（精选10篇）
1.二次函数基本练习 篇一
§3.4二次函数
复习目标
1．二次函数的定义：形如〔a≠0，a，b，c为常数〕的函数为二次函数．
2．二次函数的图象及性质：
〔1〕二次函数的图象是一条抛物线．顶点为〔－，〕，对称轴x=－；当a＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x＞－，y随x的增大而增大，x＜－，y随x的增大而减小；当a＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x＞－，y随x的增大而减小，x＜－，y随x的增大而增大．
〔2〕当a＞0时，当x=－时，函数有最小值；当a＜0时，当x
=－时，函数有最大值
3．图象的平移：将二次函数y=ax2
(a≠0〕的图象进行平移，可得到y=a(x－h)2＋k的图象．
将y=ax2的图象向左〔h<0〕或向右(h＞0〕平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x－h)2
+k的图象，其顶点是〔h，k〕，对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同．
4.二次函数的图象与系数的关系：
(1)
a的符号：a的符号由抛物线的开口方向决定．抛物线开口向上，那么a＞0；物线开口向下，那么a＜0．
〔2〕b的符号出的符号由对称轴决定，假设对称轴是y轴，那么b=0；假设对称轴在y轴左侧，那么－＜0即＞0，那么a、b为同号；假设对称轴在y轴右侧，那么－＞0，即＜0．那么a、b异号．即“左同右异〞．
〔3〕c的符号：c的符号由抛物线与y轴的交点位置确定．假设抛物线交y轴于正半轴，那么
c＞0，抛物线交y轴于负半轴．那么c＜0；假设抛物线过原点，那么c=0．
〔4〕△的符号：△的符号由抛物线与x轴的交点个数决定．假设抛物线与x轴只有一个交点，那么△=0；有两个交点，那么△＞0；没有交点，那么△＜0
．
5．二次函数表达式的求法：
⑴假设抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得；
⑵假设抛物线的顶点坐标或对称轴方程，那么可采用顶点式：其中顶点为(h，k)对称轴为直线x=h；
⑶假设抛物线与x轴的交点坐标，那么可采用交点式：,其中与x轴的交点坐标为〔x1，0〕，〔x2，0〕
6．二次函数与一元二次方程的关系：
〔1〕一元二次方程就是二次函数当函数y的值为0时的情况．
〔2〕二次函数的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根．
〔3〕当二次函数的图象与
x轴有两个交点时，那么一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数的图象与x轴有一个交点时，那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；当二次函数y＝ax2+
bx+c的图象与
x轴没有交点时，那么一元二次方程没有实数根．
典例精析
【例1】(1)
抛物线的局部图象如图，那么
再次与x轴相交时的坐标是〔
〕
A．〔5，0〕
B。〔6，0〕
C．〔7，0〕
D。〔8，0〕
〔2〕二次函数的图象如下图，那么a、b、c满足〔
〕
A．a＜0，b＜0，c＞0
B．a＜0，b＜0，c＜0
C．a＜0，b＞0，c＞0
D．a＞0，b＜0，c＞0
【分析】〔1〕由，可知其对称轴为x=4,而图象与x轴已交于(1，0)，那么与x轴的另一交点为(7，0)。
〔2〕由抛物线开口向下可知a＜0；与y轴交于正半轴可知c＞0；抛物线的对称轴在y轴左侧，可知－
＜0．那么b＜0．应选A．
【解答】〔1〕C
〔2〕A
【例2】〔2006宁波〕如图，抛物线与x轴相交于B〔1，0〕、C〔-3，0〕，且过点A〔3，6〕。
（1）
求a，b，c的值。
（2）
设抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，连结CP、PB、BQ。试求四边形PBQC的面积。
【分析】此题第〔1〕小题考察用待定系数法求抛物线的解析式，结合条件可以考虑用交点式。第〔2〕小题关键是求出Q点的坐标，因为它是对称轴与线段AC的交点，所以要先求出直线AC的解析式。
【解答】〔1〕由题意可设：，把点A〔3，6〕坐标代入可得
所以，即
所以
（2）
顶点P的坐标为〔-1，-2〕，对称轴是直线
而直线AC的解析式为
所以对称轴与线段AC的交点Q的坐标为〔-1，2〕
设对称轴与x轴相交于点D，那么可得：DP=DB=DQ=DC=2
所以四边形PBQC的面积为8。
【例3】，≠0，把抛物线向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是〔－2，0〕，求原抛物线的解析式。
【分析】①由可知：原抛物线的图像经过点〔1，0〕；②新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。
【解答】可设新抛物线的解析式为，那么原抛物线的解析式为，又易知原抛物线过点〔1，0〕
∴，解得
∴原抛物线的解析式为：
【例4】如图是抛物线型的拱桥，水位在AB位置时，水面宽米，水位上升3米就到达警戒水位线CD，这时水面宽米，假设洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶？
【分析】此题关键是建立适宜的直角坐标系。
【解答】以AB所在直线为轴，AB的中点为原点，建立直角坐标系，那么抛物线的顶点M在轴上，且A〔，0〕，B〔，0〕，C〔，3〕，D〔，3〕，设抛物线的解析式为，代入D点得，顶点M〔0，6〕，所以〔小时〕
【例5】已抛物线〔为实数〕。
〔1〕为何值时，抛物线与轴有两个交点？
〔2〕如果抛物线与轴相交于A、B两点，与轴交于点C，且△ABC的面积为2，求该抛物线的解析式。
【分析】抛物线与轴有两个交点，那么对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，将问题转化为求一元二次方程有两个不相等的实数根应满足的条件。
【解答】〔1〕由有，解得且
〔2〕由得C〔0，－1〕
又∵
∴
∴或
∴或
课内稳固
1.〔2006临安〕抛物线y=3(x-1)+1的顶点坐标是〔
〕
A．〔1，1〕
B．〔-1，1〕
C．〔-1，-1〕
D．〔1，-1〕
2．直线y=x与二次函数y=ax2
－2x－1的图象的一个交点
M的横标为1，那么a的值为〔
〕
A、2
B、1
C、3
D、4
3．二次函数的图像向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到函数图像的解析式为，那么与分别等于〔
〕
A、6、4
B、－8、14
C、4、6
D、－8、－14
4．〔2006湖州〕二次函数y=x2－bx+1〔－1≤b≤1〕，当b从－1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动。以下关于抛物线的移动方向的描述中，正确的选项是〔
〕
A、先往左上方移动，再往左下方移动;
B、先往左下方移动，再往左上方移动;
C、先往右上方移动，再往右下方移动;
D、先往右下方移动，再往右上方移动
5．〔2006诸暨〕抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一局部如下图，那么该抛
物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是
（）
A．〔，0〕；
B．〔1，0〕；
C．〔2，0〕；
D．〔3，0〕
6．函数的图象如下图，给出以下关于系数a、b、c的不等式：①a＜0，②b＜0，③c＞0，④2a＋b
＜0，⑤a＋b＋c＞0．其中正确的不等式的序号为___________。
7．二次函数的图象如下图：
〔1〕这个二次函数的解析式是y=__________．
〔2〕当x=_______时，y=3；
〔3〕根据图象答复：当x______时，y＞0．
8．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图象〔局部〕刻画了该公司年初以来累积利润S〔万元〕与销售时间〔月〕之间的关系〔即前个月的利润总和S与之间的关系〕。根据图象提供的信息，解答以下问题：
〔1〕由图象上的三点坐标，求累积利润S〔万元〕与时间〔月〕之间的函数关系式；
〔2〕求截止到几月末公司累积利润可到达30万元；
〔3〕求第8个月公司所获利润是多少万元？
9．四边形DEFH为△ABC的内接矩形，AM为BC边上的高且长为8厘米，BC长为12厘米，DE长为x，矩形的面积为y，请写出y与x之间的函数关系式，并判断它是不是关于x的二次函数.课外拓展
A组
1.〔2006舟山〕二次函数y=x2+10x-5的最小值为〔
〕．
A．-35
B．-30
C．-5
D．20
2.〔2006绍兴〕小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=的一局部(如图)，假设命中篮圈中心，那么他与篮底的距离是（）
A．3.5m
B．4m
C．4.5m
D．4.6m
3.函数y=
x2－4的图象与y
轴的交点坐标是〔
〕
A.〔2，0〕
B.〔－2，0〕
C.〔0，4〕D.〔0，－4〕
4.〔2006苏州〕抛物线y＝2x2+4x+5的对称轴是x=_________
．
5.〔2006浙江〕如图，二次函数的图象开口向上,图像经过点〔-1，2〕和〔1，0〕且与y轴交于负半轴．
〔1〕给出四个结论：①＞0；②＞0；③＞0；
④a+b+c=0 其中正确的结论的序号是
．
〔２〕给出四个结论：①abc＜0；②2a+＞0；③a+c=1；
④a＞1．其中正确的结论的序号是。
6.二次函数的图象开口向下，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数解析式：_______________.7.假设抛物线的最低点在轴上，那么的值为。
8.抛物线过三点〔－1，－1〕、〔0，－2〕、〔1，l〕．
〔1〕求这条抛物线所对应的二次函数的表达式；
〔2〕写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
〔3〕这个函数有最大值还是最小值？
这个值是多少？
9．(2006盐城)：抛物线y=-x2+4x-3与x轴相交于A、B两点(A点在B点的左侧)，顶点为P．
(1)求A、B、P三点坐标；
(2)
在如图的直角坐标系内画出此抛物线的简图，并根据简图写出当x取何值时，函数值y大于零；
(3)确定此抛物线与直线y=-2x+6公共点的个数，并说明理由.10.〔2005枣庄〕抛物线的图象的一局部如下图，抛物线的顶点在第一象限，且经过点A(0，-7)和点B.(1)求a的取值范围；
(2)假设OA=2OB，求抛物线的解析式．
B组
11．〔2005常州〕抛物线的局部图象如图,那么抛物线的对称轴为直线x=,满足y＜0时的x的取值范围是,将抛物线
向
平移
个单位,那么得到抛物线.12．〔2006大连〕如图是二次函数y1＝ax2＋bx＋c和一次函数y2＝mx＋n的图象，观察图象写出y2≥y1时，x的取值范围______________。
13．阅读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化．
例如：由抛物线①，有y=②，所以抛物线的顶点坐标为〔m，2m－1〕，即当m的值变化时，x、y的值随之变化，因而y值也随x值的变化而变化，将③代人④，得y=2x—1⑤．可见，不管m取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y和横坐标x都满足关系式y=2x－1。答复以下问题：〔1〕在上述过程中，由①到②所用的数学方法是________，其中运用了_________公式，由③④得到⑤所用的数学方法是______；〔2〕根据阅读材料提供的方法，确定抛物线顶点的纵坐标与横坐标x之间的关系式_________.14．〔2006台州〕如图，抛物线y=ax2+4ax+t〔a＞0〕交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点B的坐标为〔－1，0〕.〔1〕求此抛物线的对称轴及点A的坐标；
〔2〕过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP是什么四边形吗？请证明你的结论；
x
y
〔3〕连结AC，BP，假设AC⊥BP，试求此抛物线的解析式.15．〔2006大连〕如图，抛物线E：y＝x2＋4x＋3交x轴于A、B两点，交y轴于M点，抛物线E关于y轴对称的抛物线F交x轴于C、D两点。
〔1〕求F的解析式；
〔2〕在x轴上方的抛物线F或E上是否存在一点N，使以A、C、N、M为顶点的四边形是平行四边形。假设存在，求点N的坐标；假设不存在，请说明理由；
〔3〕假设将抛物线E的解析式改为y＝ax2＋bx＋c，试探索问题〔2〕。
16．〔2006嘉兴〕某旅游胜地欲开发一座景观山．从山的侧面进行堪测，迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成，其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下，BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上．以过山脚〔点C〕的水平线为x轴、过山顶〔点A〕的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图〔单位：百米〕．AB所在抛物线的解析式为y＝－x2＋8，BC所在抛物线的解析式为y＝(x－8)2，且B〔m，4〕．
〔1〕设P〔x，y〕是山坡线AB上任意一点，用y表示x，并求点B的坐标；
〔2〕从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶．这种台阶每级的高度为20厘米，长度因坡度的大小而定，但不得小于20厘米，每级台阶的两端点在坡面上〔见图〕．
①分别求出前三级台阶的长度〔精确到厘米〕；
②这种台阶不能一起铺到山脚，为什么？
〔3〕在山坡上的700米高度〔点D〕处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站．索道站的起点选择在山脚水平线上的点E处，OE＝1600〔米〕．假设索道DE可近似地看成一段以E为顶点、开口向上的抛物线，解析式为y＝(x－16)2．试求索道的最大悬空高度．
反思纠错
1．如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙〔墙的最大可利用长度a为10米〕围成中间隔一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为米，面积为平方米。
（1）
求与的函数关系式；
（2）
如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长是多少米？
（3）
能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。
解：〔1〕花圃宽米，长为米，那么它的面积与的函数关系式为。
〔2〕
当时，所以，当AB长为3米或5米时花圃的面积为45平方米。
〔3〕
所以，能围成面积比45平方米更大的花圃，它的最大面积为48平方米。
上述解法正确吗？为什么？
2.二次函数基本练习 篇二
1. 铺垫式练习:
求y=x2-3x+2的图像与y轴的交点坐标.
师:函数图像与y轴的交点是一个几何特征, 能否直接由图得到?
生:不能准确地得到.
师:那可否由函数解析式用代数方法得到?
生:可以, y轴上的点满足条件x=0, 因此将x=0代入可得y=2, 从而函数图像与y轴交点坐标为 (0, 2) .
师:从本题可以看出, 当函数图像的几何特征用几何方法难以求出时可以用函数表达式借助代数方法来解决, 函数图像本身是满足函数关系式的 (x, y) 所对应点的集合, 这时必须清晰它们之间的转化.
【点评: (1) 通过铺垫问题解决探究的过程引导, 渗透了函数问题解决中的数形结合思想, 这在二次函数教学中也是一个重要任务; (2) 辅助理解, 分散难点.相对函数图像与x轴的交点来说, 函数图像与y轴的交点较易理解, 有了这样的铺垫, 借助正迁移能帮助学生解决理解函数图像与x轴交点这一难点.】
2. 例题练习:
求y=x2-3x+2的图像与x轴的交点坐标.
师:上题中函数图像与x轴交点转化为函数y=x2-3x+2中当x取0时对应的y值, 那么类比上题, 函数图像与x轴交点是什么?
生:同样由图像难以得到, 由于x轴上的点满足y=0, 故对应于函数y=x2-3x+2中当y取0时的点.
师:那如何求?
生:和上面类似, 将y=0代入得x2-3x+2=0, (x-1) (x-2) =0, 解得x1=1, x2=2, 从而得到所求交点为 (1, 0) , (2, 0) .
师:本题的解决包含了哪些转化问题?
生:与上题一样有几何到代数的转化, 还有是函数到方程的转化.
【点评:有前面问题解决做铺垫, 学生容易理解函数图像与x轴交点即为纵坐标 (函数值) 取0时所对应的点, 又有上题的转化铺垫, 学生也自然想到将问题转化为代数解方程来解决, 后面的引导性问题渗透了数学思想的运用.】
3. 理解性变式练习:
求y=x2-3x+2的图像与直线y=2的交点坐标.
师:此问题与上题有何关系?
生:就是将上题的y=0改为y=2, 因此转化也是类似的, 即是函数y=x2-3x+2图像中函数值 (纵坐标) 取2时对应的点.
师:具体如何求呢?
生:将y=2代入转化为方程x2-3x+2=2, 即x2-3x=0, 方程的解为x=0, x=3, 因此函数图像与x轴的交点为 (0, 0) , (3, 0) .
【点评:通过将函数图像与x轴的交点变式为与直线y=2的交点, 更从一般意义上让学生理解到函数图像上的具体点即是纵 (横) 坐标已知下求横 (纵) 坐标, 从而将几何问题转化为代数问题, 将函数转化为方程来解决.】
4. 探究式变式练习:
求y=x2-3x+3的图像与x轴的公共点个数.
师:如何求与x轴公共点个数呢?
生1:与x轴公共点即满足y=0, 也就转化为先求方程x2-3x+3=0的解.
生2:方程是无解的, 因为b2-4ac=-3<0.
师:对, 那公共点个数怎么样?
生2:应该是没有公共点的.
师:不错, 从这里我们知道了利用方程的工具来解决函数问题.那么你能否得到y=ax2+bx+c (a≠0) 的图像与x轴的公共点个数?
生3:同样可转化为方程ax2+bx+c=0的根的个数, 得到b2-4ac>0时有两个公共点, b2-4ac=0时有一个公共点, b2-4ac<0时有没有公共点.
【点评:通过变式问题的探究过程, 更突出了函数图像与x轴公共点即为函数值为0时对应方程的根的问题, 并且能全面地认识函数图像与x轴公共点的情况.】
5. 拓展化变式练习:
(1) 下列命题:若b2-4ac>0, 则二次函数y=ax2+bx+c的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3, 该命题正确吗?
【分析:题中条件可以推出方程有两个不等实数根, 对应到函数的图像则与x轴有两个公共点, 再加上它与y轴的公共点得到结论成立.】
(2) y=ax2+bx+c (a≠0) 的图像与坐标轴的公共点个数?
【分析:在分类讨论中把握二次函数图像与坐标轴的公共点问题.】
(3) 利用图像解一元二次方程x2+x-3=0时, 我们采用的一种方法是:在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2和直线y=-x+3, 两图像交点的横坐标就是该方程的解.利用图像解一元二次方程x2+x-3=0, 也可以这样求解:在平面直角坐标系中画出抛物线y=____和直线y=-x, 其交点的横坐标就是该方程的解.
【分析:两个函数图像的交点即为两个函数图像上纵坐标相等时所对应的同一横坐标, 此即为代数形式中的方程.方程x2+x-3=0的解可以将其转化为函数y=-x和y=-x2-3的图像交点的横坐标.】
(4) 已知二次函数y1=ax2+bx+c (a≠0) 与一次函数y2=kx+m (k≠0) 的图像相交于点A (-2, 4) , B (8, 2) (如下图所示) , 则能使y1>y2成立的x的取值范围是____.
【分析:即使将A、B两点坐标代入也不能求出其中二次函数解析式, 但观察图像可直接得到不等式的解为x<-2或x>8.】
3.二次函数基本练习 篇三
（1）确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）当x=
时，抛物线有最
值，是。
（3）当x
时，y随x的增大而增大；当x
时，y随x的增大而减小。
（4）求出该抛物线与x轴的交点坐标及两交点间距离；（5）求出该抛物线与y轴的交点坐标；
（6）该函数图象可由y3x2的图象经过怎样的平移得到的
二、通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：
11（1）yx22x1；
（2）y3x28x2；
（3）yx2x4
三、以x为自变量的函数yx2(2m1)x(m24m3)中，m为不小于零的整数，它的图象与x轴交于点A和B，点A在原点左边，点B在原点右边.(1)求这个二次函数的解析式；(2)一次函数y=kx+b的图象经过点A，与这个二次函数的图象交于点C，且SABC=10,求这个一次函数的解析式.四.(10分)已知二次函数y=x2-4x+3.(1)用配方法求其图象的顶点C的坐标,并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况;(2)求函数图象与x轴的交点A,B的坐标及△ABC的面积..(画图)
五.(12分)抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于点(0,3).(1)求m的值、抛物线与x轴的交点坐标、顶点坐标;(2)当x取什么值时,抛物线在x轴上方?(3)当x取什么值时,y的值随x的增大而减小.(画图)
4.二次函数基本练习 篇四
（二次函数与线段、面积最值综合题型）
一．
突破与提升策略：
1．面积最大值
（1）三角形有一条边在坐标轴上：
以在坐标轴上的边为底边，过不在坐标轴上的顶点作垂线；
（2）三角形的三边都不在坐标轴上：
过其中一个顶点作平行于坐标轴的直线(应用最多)；
（3）四边形有两边在坐标轴上：
过不在坐标轴上的顶点作坐标轴的垂线.2.面积倍数关系：先求出其中一个图形的面积，再用含未知数的式子表示所求图形(另一个图形)的面积，根据两图形间的面积关系，列方程求解；或用含相同的未知数分别表示两个图形的面积，再用题中等量关系列方程求解．
二．典型题提升练习
1.如图，已知二次函数的图象的顶点坐标为A(1,4)，与坐标轴交于B，C，D三点，且B点的坐标为(－1,0)，(1)求二次函数的解析式；
(2)在二次函数的图象位于x轴上方部分有两个动点M，N，且点N在点M的左侧，过点M，N作x轴的垂线交x轴于点G，H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
2.如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是多少？
3.如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A(－1,0)，B(3,0)两点，与y轴相交于点C(0，－3)．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC交于点M，连接PC.求线段PM的最大值；
4.如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（－1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E.（1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；
5.在平面直角坐标系中，顶点为A的抛物线与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，已知A(1,4)，B(3,0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)探究：如图①，连接OA，过点D作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由；
(3)应用：如图②，P(m，n)是抛物线在第四象限的图象上的点，且m＋n＝－1，连接PA，PC，在线段PC上确定一点N，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标．
提示：若点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段AB的中点坐标为.6.如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y
轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横
坐标为m．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
7.如图，抛物线与x轴交于点A（－1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，－3）．点P、Q是抛物线上的动
点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．
（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．
8.已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，其图象与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C（0,3）．
（1）求b，c的值；
（2）直线l与x轴交于点P．
①如图1，若l∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E、F，点C关于直线x＝1的对称点为D，求四边形CEDF面积的最大值；
②如图2，若直线l与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线l的表达式．
9.如图①，抛物线y＝－x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将
直线AB绕点A逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D．
（1）求直线AD的函数解析式；
（2）如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点
①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；
②当点P到直线AD的距离为时，求sin∠PAD的值．
10.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，OA=2，OC=6，连接AC和BC.(1)
求抛物线的解析式；
(2)
点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为；
(3)
点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE,求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；
(4)
若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.11.如图所示，抛物线过点A（－1，0），点C（0，3），且
OB=OC．
（1）求抛物线的解析式及其对称轴；
（2）点D，E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边
形ACDE的周长的最小值，（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5
两部分，求点P的坐标．
12.如图,已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A(－5,0),B(－4,－3)两点,与x轴的另一个交点为C,顶点为D,连接CD.(1)求该抛物线的表达式;
(2)点P为该抛物线上一动点(与点B,C不重合),设点P的横坐标为t.①当点P在直线BC的下方运动时,求△PBC的面积的最大值;②该抛物线上是否存在点P,使得∠PBC＝∠BCD?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.13.如图，已知抛物线经过点（-1,0）、（5,0）.（1）求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；
（2）若点在抛物线上，且点的横坐标为8，求四边形的面积
（3）定点在轴上，若将抛物线的图象向左平移2各单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，点在新的抛物线上运动，求定点与动点之间距离的最小值（用含的代数式表示）
14.如图，抛物线与轴交于、两点在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，点为抛物线上一动点（不与、重合）．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）当点在直线l上方的抛物线上时，过点作轴交直线l于点，作轴交直线l于点，求的最大值；
5.二次函数 篇五
一．选择题〔36分〕
1、以下各式中，y是的二次函数的是
（）
A．
B．
C．
D．
2．在同一坐标系中，作+2、-1、的图象，那么它们
（）
A．都是关于轴对称
B．顶点都在原点
C．都是抛物线开口向上
D．以上都不对
3．假设二次函数的图象经过原点，那么的值必为
（）
A．
0或2
B．
0
C．
D．
无法确定
4、点〔a，8〕在抛物线y=ax2上，那么a的值为〔
〕
A、±2
B、±2
C、2
D、－2
5．把抛物线y=3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是〔
〕
〔A〕y=3〔x+3〕2
〔B〕y=3〔x+2〕2+2
〔C〕y=3〔x-3〕2
〔D〕y=3〔x-3〕2+2
6．抛物线y=x2+6x+8与y轴交点坐标〔
〕
〔A〕〔0，8〕
〔B〕〔0，-8〕
〔C〕〔0，6〕
〔D〕〔-2，0〕〔-4，0〕
7、二次函数y=x2＋4x＋a的最大值是2，那么a的值是〔
〕
A、4
B、5
C、6
D、7
8．原点是抛物线的最高点，那么的范围是
（）
A．
B．
C．
D．
9．抛物线那么图象与轴交点为
〔
〕
A．
二个交点
B．
一个交点
C．
无交点
D．
不能确定
10．不经过第三象限，那么的图象大致为
〔
〕
y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
O
x
A
B
C
D
11．对于的图象以下表达正确的选项是
〔
〕
A
顶点作标为(－3，2)
B
对称轴为y=3
C
当时随增大而增大
D
当时随增大而减小
12、二次函数的图象如下图，那么以下结论中正确的选项是：〔
〕
A
a>0
b<0
c>0
B
a<0
b<0
c>0
C
a<0
b>0
c<0
D
a<0
b>0
c>0
二．填空题：〔每题4分，共24分〕
13．请写出一个开口向上，且对称轴为直线x
=3的二次函数解析式。
14．写出一个开口向下，顶点坐标是〔—2，3〕的函数解析式；
15、把二次函数y=－2x2＋4x+3化成y=a〔x+h〕2+k的形式是________________________________.16.假设抛物线y=x2
+
4x的顶点是P，与X轴的两个交点是C、D两点，那么
△
PCD的面积是________________________.17.(-2,y1),(-1,y2),(3,y3)是二次函数y=x2-4x+m上的点,那么
y1,y2,y3从小到大用
“<〞排列是
.18．小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一局部(如图)，假设命中篮圈中心，那么他与篮底的距离是________________________.三．解答题(共60分)
19.〔6分〕假设抛物线经过点A〔，0〕和点B〔-2，〕，求点A、B的坐标。
20、(6分)二次函数的图像经过点〔0，－4〕，且当x
=
2，有最大值—2。求该二次函数的关系式：
21．〔6分〕抛物线的顶点在轴上，求这个函数的解析式及其顶点坐标。
25米x22、〔6分〕农民张大伯为了致富奔小康，大力开展家庭养殖业，他准备用40米长的木栏围一个矩形的鸡圈，为了节约材料，同时要使矩形面积最大，他利用了自己家房屋一面长25米的墙，设计了如图一个矩形的羊鸡圈。请你设计使矩形鸡圈的面积最大？并计算最大面积。
23、二次函数y=－〔x－4〕2
+4
〔本大题总分值8分〕
1、先确定其图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，再画出草图。
2、观察图象确定：X取何值时，①y=0，②y﹥0，⑶y﹤0。
24．〔8分〕某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，假设每千克涨价一元，日销售量将减少20千克。
〔1〕现要保证每天盈利6000元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
〔2〕假设该商场单纯从经济角度看，那么每千克应涨价多少元，能使商场获利最多。
25．〔8分〕某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流〔在各个方向上〕沿形状相同的抛物线路径落下〔如下图〕。假设OP＝3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米。
〔1〕求这条抛物线的解析式；
〔2〕假设不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外。
26．〔12分〕二次函数的图象与x轴从左到右两个交点依次为A、B，与y轴交于点C，〔1〕求A、B、C三点的坐标；
〔2〕如果P(x，y)是抛物线AC之间的动点，O为坐标原点，试求△POA的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
6.小结二次函数 篇六
(1) 一般式:f (x) =ax2+bx+c (a≠0)
(2) 顶点式:f (x) =a (x-m) 2+n (a≠0)
(3) 两根式:f (x) =a (x-x1) (x-x2) (a≠0)
求二次函数解析式的方法:待定系数法.根据所给条件的特征, 可选择一般式、顶点式或两根式中的一种来求.
已知三个点的坐标时, 宜用一般式;
已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大 (小) 值有关时, 常使用顶点式;
已知抛物线与x轴有两个交点, 且横坐标已知时, 选用两根式求更方便.
2.二次函数的图象和性质
二次函数f (x) =ax2+bx+c (a≠0) 的图象是一条抛物线, 对称轴方程为, 顶点坐标是
3.二次项系数是正数的二次函数、一元二次方程和一元二次不等式间的主要关系
二次函数f (x) ax2+bx+c (a≠0) , 当Δ>0时, 图象与x轴有两个交点M1 (x1, 0) 、M2 (x2, 0) ,
4.二次函数f (x) =ax2+bx+c (a≠0) 在区间[m, n]上的最值, 一般分为三种情况讨论.
5.二次方程f (x) =ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根的分布问题, 一般情况需要从三个方面考虑
(1) 判别式
(2) 区间端点函数值的正负
(3) 对称轴与区间端点的关系
设x1, x2是实系数二次方程ax2+bx+c=0 (a>0) 的两实的分布范围与二次方程系数之间的关系如下表所示根.
思考:若a<0, 则上述性质3、4、5该如何改变
[典型范例]
题型一:二次函数解析式的求法
例1:若二次函数f (x) 满足f (2) =-1, f (-1) =-1且f (x) 的最大值是8, 试确定此二次函数.
分析:确定二次函数可采用待定系数法, 有三种形式, 可根据条件灵活运用。
解:方法一, 设f (x) =ax2+bx+c=0 (a≠0) , 依题意有
方法二, 设f (x) =a (x-m) 2+n (a≠0) .
方法三, 依题意知:f (x) +1=0的两根为x1=2, x2=-1
故可设f (x) +1=a (x-2) (x+1) ,
即f (x) =ax2-ax-2a-1.
又函数有最大值ymax=8, 即
解之, 得a=-4或a=0 (舍去) .
∴函数解析式为f (x) =-4x2+4x+7.
点评:二次函数的解析式有三种形式:
(1) 一般式:f (x) =ax2+bx+c (a≠0)
(2) 顶点式:f (x) =a (x-h) 2+k (a≠0)
(3) 两点式:f (x) =a (x-x1) (x-x2) (a≠0)
具体用哪种形式, 可根据具体情况而定.
题型二:二次函数的值域和最值
例2:已知函数的最大值为2, 求a的值.
分析:令t=sinx, 问题就可转化二次函数的区间最值问题
解:令t=sinx, t∈[-1, 1],
点评:
(1) 要注意抛物线的对称轴所在位置对函数最值的影响.
(2) 解二次函数求最值问题, 分三种类型:
(1) 顶点固定, 区间固定;
(2) 顶点含参数, 区间固定;
(3) 顶点固定, 区间变动.题型三:一元二次方程根的分布
例3:已知函数f (x) =x2- (2a-1) x+a2-2与非负x轴至少有一个交点, 求a的取值范围.
分析:由题知关于x的方程x2- (2a-1) x+a2-2=0至少有一个非负实根, 应分情况处理.
解法一:由题知关于x的方程x2- (2a-1) x+a2-2=0至少有一个非负实根, 设根为x1, x2
∴函数f (x) =x2- (2a-1) x+a2-2与非负x轴至少有一个交点时, 其取值范围为.
点评:本题利用根与系数的关系和二次函数的图象特征将方程的根的分布问题转化为不等式进行处理。
题型四:与二次函数有关的恒成立问题
例4.是否存在实数a, b, c, 使函数f (x) =ax2+bx+c的图象经过M (-1, 0) , 且满足条件“对一切实数x, 都有.
分析:可以从求值和恒成立的角度剖析本题.
(1) 从求值的角度讲, 欲求a, b, c的值需建立关于.
(2) 从恒成立的角度讲ax2+bx+c≥0 (a≠0) 恒成立, 只要a>0, Δ≤0即可ax2+bx+c≤ (a≠0) 恒成立, 只要a<0且Δ≤0即可.
解:因为图象经过M (-1, 0) , 所以a-b+c=0
又因为∴当x=1时, 1≤f (1) ≤1, 所以f (1) =1即a+b+c=1从而
点评:
(1) 利用1≤f (1) ≤1得出f (1) =1是本题的巧妙之处。
(2) 若ax2+bx+c>0 (a≠0) 恒成立, 只要a>0, Δ<0即可
若ax2+bx+c<0 (a≠0) 恒成立, 只要a<0, Δ<0即可
若ax2+bx+c≥0 (a≠0) 恒成立, 只要a>0, Δ≤0即可
7.对数函数中与二次函数的问题 篇七
对数函数中与二次函数有关的问题
教学目的：通过一些例题的讲解 , 对对数函数的性质、图象及二次函数的一些问题进行复习，使学生加深对函数的认识 , 能够对一些有难度的题进行分析。教学难点：复合函数中定义域及值域的求解。 换元后新变量的定义域的确定。教学过程：在前段时间中我们学习了对数函数和它们的一些性质 , 下面我们就先来复习一下有关知识 ( 点击性质 , 见幻灯片 2) 。 下面我们来做两道复习巩固题。 1. 求 的定义域。 （要求一个比较复杂的函数的定义域，首先要看清这个复杂函数是由哪几个简单函数构成的．在此是三个以十为底的对数函数，所以我们只要考虑其真数部分要大于0即可．由此可列出三个不等式．习惯上用大括号括起来，表示要同时满足．） 分析： x>0 0可以写成 lg1 ，而该函数为单调递增函数，由此可解出． 综上所述 x>10 。 2. 试比较 与 的大小。 对于一般的比较大小问题，我们可以通过函数的增减性来解决．这道题目显然也是通过此途径来解决．但是其给出的条件不是很明确，那么我们就只能先从对数函数本身的条件作为着手点． 解： 由这个条件，可以知道这个函数是单调递增的，即真数大的函数值就大． （请学生口述，屏幕显示．第三条可能不会考虑） 则有：当 x-1>3 即 x>4 时， ＞ 当 0
8.如何学好二次函数 篇八
一、理解二次函数的定义
一般地,形如y = ax2+ bx + c( a,b,c是常数,≠0) 的函数叫做二次函数. 例如都是二次函数. 在理解二次函数的概念时,要注意以下几点: ( 1) 任何一个二次函数的表达式都可以化为y = ax2+ bx + c( a,b,c是常数,a≠0) 的形式,它叫做二次函数的一般式; ( 2) 在二次函数的一般式中,y和x是变量,a,b,c是常量 ,ax2叫做二次项,a叫做二次项系数; bx叫做一次项,b叫做一次项系数; c叫做常数项. 特别要注意的是,二次项系数a是不为零的实数,b,c可以是任意实数( 包括零) ,当b = c = 0时,二次函数y = ax2是最简单的二次函数; ( 3) 二次函数自变量的取值范围是全体实数,但对于实际问题中的二次函数,自变量的取值范围要受实际问题的限制,有特定的取值范围; ( 4) 要注意区别二次函数y = ax2+ bx + c( a,b,c是常数,a≠0) 与函数y = ax2+ bx + c,后者不一定是二次函数,因为它没有规定a≠0,解题时切忌忽视这些区别; ( 5 ) 一个函数是否是二次函数,要化简整理后,对照定义才能下结论,例如y = x2- x( x - 1) 化简后为y = x,故它不是二次函数.
二、会画二次函数 y = ax2+ bx + c 的图象
因为二次函数的图像是抛物线,是轴对称图形,所以作图时常用简化的描点法和五点法,其步骤是:
1. 先找出顶点坐标,画出对称轴;
2. 找出抛物线上关于对称轴对称的两对对称点( 如与坐标轴的交点等) ;
3. 把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连接起来.
三、掌握二次函数的性质
1. 二次函数的图象: 二次函数y = ax2+ bx + c( a≠0) 的图象是抛物线,它的开口方向和大小是由a决定的,而位置则是由a,b,c共同决定的.
( 1) a > 0,抛物线开口向上; a < 0,抛物线开口向下.
( 2) | a |越大,开口越小; | a |越小,开口越大.
( 3) c是抛物线与y轴交点的纵坐标. c = 0,抛物线经过原点; c >0,抛物线与y轴正半轴相交; c < 0,抛物线与y轴负半轴相交.
2. 二次函数的性质;
四、掌握二次函数顶点坐标的求法
五、注意二次函数解析式的几种形式
1. 一般式: y = ax2+ bx + c( a、b、c 为常数且 a≠0) ;
2. 顶点式: y = a( x - h)2+ k ( a、b、k 为常数且 a ≠0 ) ,顶点为( h,k) ;
3. 交点式: y = a( x - x1) ( x - x2) ( a≠0,x1、x2是抛物线与x轴的交点的横坐标)
例1已知: 抛物线的图象过A( 1,0) 、B( 5,0) 、C( 3,4) 三点,
求这个抛物线的解析式.
解法1. ( 选用一般式y = ax2+ bx + c)
设抛物线解析式为y = ax2+ bx + c,然后将三点坐标代入得:
说明: 若已知条件是图象经过的三点,常可用一般式求解.
解法2. ( 选用交点式y = a( x - x1) ( x - x2) )
∵抛物线过A( 1,0) 、B ( 5,0 ) ,∴设抛物线解析式为y = a( x - 1 )( x - 5) ,
将C( 3,4) 代入得4 = a( 3 - 1) ( 3 - 5) ,∴a = - 1,∴y = - ( x-1) ( x - 5) ,即 y = - x2+ 6x + 5.
说明: 若已知条件是图象与x轴的两交点时,选用交点式比较简便.
解法3. ( 选用顶点式y = a( x - h)2+ k )由已知: 点A、B为抛物线与x轴的交点,由图象特征知: 抛物线对称轴为x = 3,
∴ ( 3,4) 为抛物线顶点. ∴可设抛物线y = a( x - 3)2+ 4. 又∵抛物线过点( 1,0) ,∴0 = a( 1 - 3)2+ 4,∴a = - 1,∴抛物线解析式为y
说明: 若已知条件与二次函数顶点或对称轴或函数最大( 小) 值有关时,选用顶点式易解.
六、注意二次函数的顶点功能
二次函数的顶点能清楚地显示抛物线的所有性质以及能准确迅速地作出函数图象.
将一般式y = ax2+ bx + c化为顶点式y = a( x - h)2+ k后,从三个常数a,h,k,能直接看出下列性质:
( 1) 开口方向: a > 0,开口向上; a < 0,开口向下;
( 2) 对称轴: 直线x = h;
( 3) 顶点坐标: ( h,k) ;
( 4) 最大( 小) 值: 当a > 0,x = h时,y有最小值k; 当a < 0,x = h时,y有最大值k;
( 5) 函数的增减性: 1当a > 0时,若x < h,y随x增大而减小; 若x> h,y随x增大而增大; 2当a < 0时,函数变化情况正好与上述情况相反.
上述性质可以用下列“口诀”帮助同学们记忆:
9.二次函数综合题 篇九
如图所示，在直角坐标系中，A(-1，0),B(3,0),C(0，3)
1.用三种方法求出经过A B C三点的抛物线解析式
2.抛物线的顶点坐标为D（）3.求△ABC的面积，求四边形ACDB的面积，求△DCB的面积
4.证明△DCB是直角三角形（两种方法）
5.证明：△DCB∽△AOC
6.在直线BC的下方是否存在一点G，使得△GCB的面积等于△ACB的面积
7.在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△ACP的周长最小，若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由。
8.设Q为抛物线第一象限内一点，是否存在点Q使得△BCQ的面积最大，若存在，求出Q点的坐标及最大面积，若不存在，请说明理由。
9.设Q为抛物线第一象限内一点，过 Q向x轴引垂线交BC于I。若抛物线对称轴与直线BC交于点E,是否存在点Q,使得以点D,Q,I,E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由。
10.求△ABC外接圆圆心O’的坐标
11.抛物线上是否寻在点M，使得CM垂直于CA，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由。
12.在对称轴上是否存在点N，使得△CDN是直角三角形，请求出所有符合条件的N点的坐标
10.二次函数复习教案 篇十
设计：余亚明
2010年12月
课题：二次函数的复习
【教学目标】
1．理解二次函数的概念，会画二次函数的图象，能从图象上认识其性质。2．会用待定系数法求二次函数的解析式。3．会利用二次函数的最值解决实际问题。【教学重点】
二次函数的图象性质的运用 【教学难点】
实际问题转化为二次函数问题 【教学过程】
一、揭示课题
二、复习过程
活动一：回忆二次函数的概念、图象和性质（先独立完成，后小组交流）1．已知函数y(m1)xm23m44x3是关于x的二次函数，求m值。
2．画出上述二次函数的图象，回忆其相关性质，尽可能多地说出相关结论.（一个小组具体展示，其他小组适当补充、归纳，教师点拨。）
活动二：会用待定系数法求二次函数的解析式.已知关于x的二次函数y=ax2＋bx＋c的图象过点（2，0），（0，3），对称轴为直线x=－1，求该二次函数的解析式.（先独立完成，后小组交流、归纳）
（一个小组具体展示，其他小组适当补充、归纳方法及解题步骤等，教师点拨。）如皋市实验初中九年级（下）数学教案
设计：余亚明
2010年12月
活动三：会利用二次函数的最值解决实际问题.某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满。当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费20元的各种费用。
（1）写出该宾馆每天的利润y(元)与每间客房涨价x(元)之间的函数关系式。（2）房价定为多少时宾馆利润最大？
（两学生板演，其他同学独立完成后，小组交流，全班交流解题方法，思想，注意点等等）
三、师生共同谈本课的体会。
四、课堂检测
【二次函数基本练习】推荐阅读：
二次函数增减性问题07-20
二次函数教案word08-24
二次函数压轴题专题09-02
二次函数教学教案参考10-02
《二次函数的应用》教学反思07-15
二次函数听课评课评语06-19
二次函数测试题及答案08-28
二次函数复习课说课稿11-03
9下26.4《二次函数》教学反思09-04
初三数学二次函数单元测试题及答案11-02