考研数学知识点：函数的定义

考研数学知识点：函数的定义（共11篇）

1.考研数学知识点：函数的定义 篇一

考研数学知识点：闭区间连续函数的性质

(1)(最值定理)闭区间上的连续函数必取得最大值，最小值。

(2)(介值定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的`函数值f(a)=A及f(b)=B，那么，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点，使得.

(3)(零点定理)闭区间上的连续函数如果两个端点函数值异号，则至少存在一点的函数值为0.

(4)(有界性)闭区间上的连续函数在该闭区间上必有界。

2.考研数学知识点：函数的定义 篇二

一、在函数表达式采用图象法的时候,x的取值范围即图象在x轴上投影

二、在函数表达式采用列表法的时候,x所在的行所有元素构成的集合

例题2已知函数由下表给出,

则该函数的定义域为集合1<,2,3,4,5∈或者x|<1≤x≤5,x∈N∈.

三、在函数表达式采用解析式法的时候,分为以下几种情况

(一)如果函数表达式含有分式,那么该分式的分母不等于0才有意义

(二)如果函数表达式含有(偶次)根式,那么被开方数(式子)为非负值才有意义

(三)如果函数是指数为0的幂函数,那么底数不为0才有意义

(四)如果函数是对数函数,那么真数大于0才有意义

(五)如果是分段函数,那么求并集

(六)如果是正弦型函数,定义域没有限制

(七)如果是整式函数,定义域没有限制

例题10整式函数y=2x3+3x2+x+1的x是没有任何限制要求,其定义域为R.

四、在应用题中,实际问题要考虑实际意义

例题11一个摩托车制造厂引进一条流水线,这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与产生的利润y(元)满足关系式y=10x2-700x.若这家工厂希望每天用这条流水线创造不低于8000元的利润,那么该流水线每天至少需要生产多少辆摩托车?

解:函数y=10x2-700x中自变量x表示摩托车的数量,考虑到实际意义,摩托车不会有十分之一辆,三分之一辆等小数,也不会有负数,则定义域x∈N,即摩托车数量只能取到所有自然数.

参考文献

[1]周新华.江苏省职业学校学业水平考试复习用书:数学[M].江苏凤凰教育出版社,2016.

3.考研数学知识点：函数的定义 篇三

[注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.

②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥;所以

⑴①正棱锥定义：底面是正多边形;顶点在底面的射影为底面的中心.

[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.(不是等边三角形)

ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等

iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形(即侧棱相等);底面为正多边形.

②正棱锥的侧面积：

(底面周长为，斜高为

③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：

(侧面与底面成的二面角为

附：以知

⊥

为二面角

则

①②③得

注：S为任意多边形的面积(可分别多个三角形的方法).

以上内容由独家专供，希望这篇关于棱锥定义与公式的高中数学知识点总结能够帮助到大家。

高中数学公式：圆周长计算椭圆面积公式_高中数学公式

【摘要】鉴于大家对十分关注，小编在此为大家整理了此文“高中数学公式：圆周长计算椭圆面积公式”，供大家参考!

本文题目：高中数学公式：圆周长计算椭圆面积公式

圆周长的计算公式：L=2πr (r为半径)

椭圆面积公式

椭圆的面积公式

S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的半长轴,半短轴的长).或S=π(圆周率)×A×B/4(其中A,B分别是椭圆的长轴，短轴的长).

c1c2clone依据某定理，

定理内容如下

如果一条固定直线被甲乙两个封闭图形所截得的线段比都为k，那么甲面积是乙面积的k倍。

那么x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的面积为π * a^2 * b/a=πab

c1c2clone在此倡议网友编辑公式的其他推导

因为两轴焦点在0点，所以椭圆的面积可以分为4个相等的部分，分别是+x+y、-x+y、-x-y、+x-y四个区域，所以只要求出一个象限间所夹的面积，然后再乘以4就可以得到整个椭圆的面积。拣最简单的来吧，先求第一象限所夹部分的面积。 根据定积分的定义及图形的性质，我们可以把这部分图形无限分为底边在x轴上的小矩形，整个图形的面积就等于这些小矩形面积和的极限。现在应用元素法，在图 形中任找取一点，然后再取距这点距离无限近的另一个点，这两点间的距离记做dx，然后取以dx为底边，两点分别对应的y为高，与曲线相交够成的封闭的小矩 形的面积s，显然，s=y*dx 现在求s的定积分，即大图形的面积S，S=∫[0:a]ydx 意思是求0 到 a上y关于x的定积分 步骤：(第一象限全取正，后面不做说明) S=∫[0:a]ydx=∫[0:a]sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)dx 设 x^2/a^2=sin^2t 则 ∫[0:a]sqr(b^2-b^2*x^2/a^2)dx=∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint) pi=圆周率 ∫[0:pi/2]b*cost d(a*sint)=∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt cos^2t=1-sin^2t ∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt 这里需要用到一个公式：∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[0:pi/2]f(cosx)dx 证明如下 sinx=cos(pi/2-x) 设u=pi/2-x 则 ∫[0:pi/2]f(sinx)dx=∫[pi/2:0]f(cosu)d(pi/2-u)= -∫[0:pi/2]f(sinu)d(pi/2-u)=∫[0:pi/2]f(sinu)du=∫[0:pi/2]f(sinx)dx 则∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt =[a*b*t](0:pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*sin^2t dt=a*b*(pi/2)-∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt 那么 2*∫[0:pi/2]b*a*cos^2t dt=a*b*(pi/2) 则S=a*b*(pi/4) 椭圆面积S_c=a*b*pi 可见椭圆面积与坐标无关，所以无论椭圆位于坐标系的哪个位置，其面积都等于半长轴长乘以半短轴长乘以圆周率

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高中数学函数部分的知识点归类总结

1. 函数的奇偶性

(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x) ;

(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则 f(0)=0(可用于求参数);

(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0);

(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;

(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;

2. 复合函数的有关问题

(1)复合函数定义域求法：若已知 的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即 f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;

3.函数图像(或方程曲线的对称性)

(1)证明函数图像的对称性,高中英语，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;

(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;

(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;

(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;

(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称;

4.函数的周期性

(1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;

(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2?a?的周期函数;

(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4?a?的周期函数;

(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2 的周期函数;

(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2 的周期函数;

(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，则y=f(x)是周期为2 的周期函数;

5.方程k=f(x)有解 k∈D(D为f(x)的值域);

6.a≥f(x) 恒成立 a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成立 a≤[f(x)]min;

7.(1) (a>0,a≠1,b>0,n∈R+); (2) l og a N= ( a>0,a≠1,b>0,b≠1);

(3) l og a b的符号由口诀“同正异负”; (4) a log a N= N ( a>0,a≠1,N>0 );

8. 判断对应是否为映射时，抓住两点：(1)A中元素必须都有象且唯一;(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;

9. 能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。

10.对于反函数，应掌握以下一些结论：(1)定义域上的单调函数必有反函数;(2)奇函数的反函数也是奇函数;(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;(4)周期函数不存在反函数;(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;(5) y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A).

11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;

12. 依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题

13. 恒成立问题的处理：(1)分离参数法;(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解;

高一数学学习：数学学习从学会到会学一

你还在为高中数学学习而苦恼吗?别担心，看了“高一数学学习：数学学习从学会到会学一”以后你会有很大的收获：

高一数学学习：数学学习从学会到会学一

好多同学数学成绩每每止步于120分左右，找其原因，是因为对数学的学习仅是学会，而没有到达会学，怎样才能让成绩更上一层楼呢?

很多同学在期末考试时取得了较好的成绩，可开家长会时，却听老师告诫这部分同学的的家长说：“要让孩子会学习，而不仅仅学会了就行!”此话乍一听似乎不明其意，然细想要使成绩再上层楼，则必须迈出从“学会”到“会学”这一步。可以四“小步”中加大迈出这一大步的力度。

抓住课堂，配合好教师的教学

应做到课前做好各种准备并利用课前两分钟的预习时间想一想前一节课的内容;上课时专心致志，积极思考，尽量使自己的思路与教师的思路过程合拍，做到耳目并用，手脑结合，提高听课的效率;课后及时复习，使知识再现，形成永久性记忆;最好能将老师所讲的内容与课本作一比较，从中获得更多知识;作业仅限于课堂练习是远远不够的，要利用课外资料拓宽知识领域，补充课内不足，更重要的是促进课内学习。

通过阅读“高一数学学习：数学学习从学会到会学一”这篇文章，小编相信大家对高中数学又有了更进一步的了解，希望大家学习轻松愉快!

如何听数学课

如果你课前做了预习，在预习中，有哪些知识点你不懂或一知半解，你带着这些疑问去听课，将收到较好的效果。在听课中还要针对每个知识点进行比较，你原来理解了多少要点，老师讲了多少个要点，弄清楚哪些要点你没有发现，还有那些知识点你理解不正确，这样你的印象就比较深，记忆时间也较长。

如果你课前未做预习，千万不要被动地接受知识，应该主动地去思考。老师在讲每个知识点时，会设计一些问题让学生思考，你应该紧跟老师的设问去积极考虑，从而主动地发现新的知识点(或定理或公式等)。

听讲例题时，一方面按老师的设问去思考，获得解题途径，另一方面要有自己的见解，能否按自己的想法把题做出来。若能做得出来是极有价值的，就是做不出来，要分析错在哪里，也是有收获的。这对培养发散思维能力大有益处的，使我们的思维能力达到一个较高的层次。

听讲例题时，要从老师的分析过程学会分析问题的方法。要观察老师是如何剖析每个已知条件的，又如何剖析求解的结论的，在已知与结论之间是如何沟通的。思考如果你再遇到这样同类型的问题，你将如何摆布这些已知与结论的关系。

听讲例题时，不仅要通过例题巩固本节课所学知识，也要学会一些解题的技巧与方法，以后再遇到这样同类型的问题，你就有办法来处理。

听完课后，要善于做好课后总结，这个环节很重要。你要罗列出以下几个方面的信息：

①本节课有多少个知识点，每个知识点有什么要点。哪些是你能预习到的，哪些是你在预习中未能发现的;

②本节课的重点在哪里，重要在什么地方;

③难点在哪里，突破难点的关键是什么;

④例题中体现了什么样的解题技巧;

⑤本节课出现了那些新的题型，对应的解法是什么。

高一数学知识点总结之函数定义域 值域

编者按：小编为大家收集了“高一数学知识点总结之函数定义域 值域”，供大家参考，希望对大家有所帮助!

定义域

(高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域。

值域

名称定义

函数中，应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域，在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合。

常用的求值域的方法

(1)化归法;(2)图象法(数形结合);(3)函数单调性法;(4)配方法;(5)换元法;(6)反函数法(逆求法);(7)判别式法;(8)复合函数法;(9)三角代换法;(10)基本不等式法等

关于函数值域误区

定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄皮，何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难，实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函的理解，从而深化对函数本质的认识。

“范围”与“值域”相同吗?

“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念，许多同学常常将它们混为一谈，实际上这是两个不同的概念。“值域”是所有函数值的集合(即集合中每一个元素都是这个函数的取值)，而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都满足这个条件)。也就是说：“值域”是一个“范围”，而“范围”却不一定是“值域”。

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平面向量、平面向量的坐标运算

一、教学内容：平面向量、平面向量的坐标运算

二、本周教学目标：

要求：

1、了解平面向量的基本定理 理解平面向量的坐标的概念，会用坐标形式进行向量的加法、减法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件;

2、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.

3、学会使用分类讨论、函数与方程思想解决有关问题.

三、本周要点：

1、平面向量的坐标表示：一般地，对于向量 ，当其起点移至原点O时，其终点的坐标(x,y)称为向量

在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 .

(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量.

(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关.

2、平面向量的坐标运算：

(1)若 ，则

(2)若

(3)若 =( x, y)

(4)若 ，则

(5)若 ，则

若 ，则

运算类型

几何

坐标方法

运算性质

向

量

的

加

法

1、平行四边形法则

2、三角形法则

向

量

的

减

法

三角形法则

向

量

的

乘

法

是一个向量,

满足:

>0时, 与<0时, 与 =0时, =

向

量

的

数

量

积

或 =0

时,

【典型例题

例1、平面内给定三个向量 ，回答下列问题

(1)求满足 的实数m,n;

(2)若 ，求实数k;

(3)若 满足 ，且 ，求

解：(1)由题意得所以 ，得

(2)

(3)

由题意得

得 或

例2、已知 ;(2)当 与解：(1)因为所以

则

(2) ，

因为平行

所以

此时 ，

则 ，即此时向量

例3、已知点 及<6“>,试问:

(1)当 为何值时, 在<9” style=“”>轴上? 在 轴上? 在第三象限?

(2)四边形 若不能,说明理由.

解：(1) ，则若 在 轴上，则 ，所以 ;

若 在 轴上，则 ;

若 在第三象限，则 ，所以

(2)因为若所以 此方程组无解;

故四边形

例4、如图，设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F 经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明直线AC经过原点O.

解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),F( ,0)，则C(则∵ 与 共线

∴

即 (*)

而代入(*)式整理得，y1?y2=-p2

因为

∴ 与 是共线向量，即A、O、C三点共线，

也就是说直线AC经过原点O

解法二：设A(x1,y1)，C( ,y2)，B(x2,y2)

欲证A、O、C共线，只需且仅需 ，即

又∴ 只需且仅需y1y2=-p2，用韦达定理易证明.

点评：两向量共线的应用非常广泛，它可以处理线段(直线)平行，三点共线(多点共线)问题，使用向量的有关知识和运算方法，往往可以避免繁杂的运算，降低计算量，不仅方法新颖，而且简单明了.

例5、已知向量 表示.

(1)证明：对于任意向量 成立;

(2)设 ，求向量 的坐标;

(3)求使 的坐标.

解：(1)设 ，则

，故

∴(2)由已知得 =(0，-1)

(3)设 ，

∴y=p，x=2p-q，即

例6、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(-1,3)，若点C满足 且

解法一：设

由

于是

先消去 ，由

再消去 所以选取D.

解法二：由平面向量共线定理，

当 时，A、B、C共线.

因此，点C的轨迹为直线AB，由两点式直线方程得小结：

1、熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算.

2、两个向量平行的坐标表示.

3、运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合.

【模拟

1、若向量 与向量A、x=1,y=3 B、x=3,y=1 C、x=1,y= -5 D、x=5,y= -1

2、点B的坐标为(1,2)， 的坐标为(m,n)，则点A的坐标为( )

A、B、

C、D、

3、已知向量 与 共线，则 等于( )

A、D、1

4、已知 反向，则 等于( )

A、(-4,10) B、(4,-10) C、(-1 , ) D、(1, )

5、向量 =(-4,1) 则 = ( )

A、(-2,0) B、(6,-2) C、(-6,2) D、(-2,2)

6、设向量 ，则“ A、充分不必要条件 B、必要不充分条件

C、充要条件 D、不充分不必要条件

7、平行四边形ABCD的三个顶点为A(-2,1)、B(-1,3)、C(3,4)，则点D的坐标是( )

A、(2,1) B、(2,2) C、(1,2) D、(2,3)

8、与向量 不平行的向量是

A、B、C、=(2,5)， 坐标为 ， 坐标为 ， =(x1,y1)， =(x2,y2)，线段AB的中点为C,则 的坐标为 .

12、已知A(-1,-2)，B(4,8)，C(5,x)，如果A，B，C三点共线，则x的值为 .

13、已知向量

【试题答案

1、B 2、A 3、C 4、B 5、C 6、C 7、B 8、C

9、; ;

12、

4.数学必修一函数的零点知识点 篇四

1、函数零点的概念：对于函数))((D__fy，把使0)(_f成立的实数_叫做函数))((D__fy的零点。

2、函数零点的意义：函数)(_fy的零点就是方程0)(_f实数根，亦即函数)(_fy的图象与_轴交点的横坐标。 即：方程0)(_f有实数根函数)(_fy的图象与_轴有交点函数)(_fy有零点.

3、函数零点的求法：

代数法)求方程0)(_f的实数根;

(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(_fy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.

有理数命名由来

“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。

但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思(这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同)。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。

学习方法

在预习的时候，应当把定理、定律、公式、常数、特定符号这些内容单独汇集在一起，每抄录一遍，则加深一次印象。上课的时候，老师讲到这些地方时，应把自己预习时的理解和老师讲的相对照，看自己有没有理解错的地方。预习可以用“一划、二批、三试、四分”的预习方法。

一划：就是圈划知识要点，基本概念。

二批：就是把预习时的体会、见解以及自己暂时不能理解的内容，批注在书的空白地方。

三试：就是尝试性地做一些简单的练习，检验自己预习的效果。

5.考研数学知识点：函数的定义 篇五

函数关系式包括定义域和对应法则, 所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域, 否则所求函数关系式可能是错误.

例1 某单位计划建筑一矩形围墙, 现有材料可筑墙的总长度为100 m, 求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式?

解 设矩形的长为x m, 则宽为 (50-x) m, 由题意得:

S=x (50-x) .

故函数关系式为:S=x (50-x) .

如果解题到此为止, 则本题的函数关系式还欠完整, 缺少自变量x的范围.也就说学生的解题思路不够严密.因为当自变量x取负数或不小于50的数时, S的值是负数, 即矩形的面积为负数, 这与实际问题相矛盾, 所以还应补上自变量x的范围:0<x<50.

即函数关系式为:S=x (50-x) , (0<x<50) .

这个例子说明, 在用函数方法解决实际问题时, 必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响.若考虑不到这一点, 就体现出学生思维缺乏严密性.若注意到定义域的变化, 就说明学生的解题思维过程体现出较好的思维严密性.

二、函数最值与定义域

函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大 (小) 值的问题.如果不注意定义域, 将会导致最值的错误.

例2 求函数y=x2-2x-3在[-2, 5]上的最值.

解 ∵y=x2-2x-3= (x2-2x+1) -4= (x-1) 2-4,

∴当x=1时, ymin=-4.

初看结论, 本题似乎没有最大值, 只有最小值.产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路, 而没有注意到已知条件发生变化.这是思维呆板性的一种表现, 也说明学生思维缺乏灵活性.

其实以上结论只是对二次函数y=ax2+bx+c (a>0) 在R上适用, 而在指定的定义域区间[p, q]上, 它的最值应分如下情况:

(1) 当$-\frac{b}{2a}<p$时, y=f (x) 在[p, q]上是单调递增, 函数f (x) min=f (p) , f (x) max=f (q) ;

(2) 当$-\frac{b}{2a}>q$时, y=f (x) 在[p, q]上是单调递减函数, f (x) max=f (p) , f (x) min=f (q) ;

(3) 当$p\le -\frac{b}{2a}\le q$时, y=f (x) 在[p, q]上的最值情况是:

$f(x){}_{\min }=f\left(-\frac{b}{2a}\right)=\frac{4ac-b{}^2}{4a}‚f(x){}_{\max }=\max \{f(p),f(q)\}$.即最大值是f (p) , f (q) 中最大的一个值.

故本题还要继续做下去:

∵-2≤1≤5, ∴f (-2) = (-2) 2-2× (-2) -3=-3, f (5) =52-2×5-3=12.

∴f (x) max=max{f (-2) , f (5) }=f (5) =12.

∴函数y=x2-2x-3在[-2, 5]上的最小值是-4, 最大值是12.

这个例子说明, 在函数定义域受到限制时, 若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响, 并在解题过程中加以注意, 便体现出学生思维的灵活性.

三、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合, 当定义域和对应法则确定, 函数值也随之而定.因此在求函数值域时, 应注意函数定义域.

例3 求函数$y=4x-5+\sqrt{2x-3}$的值域.

错解 令$t=\sqrt{2x-3}$, 则

$\begin{array}{l}2x=t{}^2+3.\\ \therefore y=2(t{}^2+3)-5+t=2t{}^2+t+1=2\left(t+\frac{1}{4}\right){}^2+\frac{7}{8}\ge \frac{7}{8}.\end{array}$

故所求的函数值域是$\left[\frac{7}{8},+\infty \right).$

剖析 经换元后, 应有t≥0, 而函数y=2t2+t+1在[0, +∞) 上是增函数, 所以当t=0时, ymin=1.

故所求的函数值域是[1, +∞) .

以上例子说明, 变量的允许值范围是何等的重要, 若能发现变量隐含的取值范围, 精细地检查解题思维的过程, 就可以避免以上错误结果的产生.也就是说, 学生若能在解好题目后, 检验已经得到的结果, 善于找出和改正自己的错误, 善于精细地检查思维过程, 便体现出良好的思维批判性.

四、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时, 函数值随着增减的情况, 所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行.

例4 指出函数f (x) =log2 (x2+2x) 的单调区间.

解 先求定义域:

∵x2+2x>0, ∴x>0或x<-2.

∴函数定义域为 (-∞, -2) ∪ (0, +∞) .

令u=x2+2x, 知在x∈ (-∞, -2) 上时, u为减函数,

在x∈ (0, +∞) 上时, u为增函数.

又∵f (x) =log2u在[0, +∞]是增函数.

∴函数f (x) =log2 (x2+2x) 在 (-∞, -2) 上是减函数, 在 (0, +∞) 上是增函数.

即函数f (x) =log2 (x2+2x) 的单调递增区间是 (0, +∞) , 单调递减区间是 (-∞, -2) .

如果在做题时, 没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性, 就说明学生对函数单调性的概念一知半解, 没有理解, 在做练习或作业时, 只是对题型, 套公式, 而不去领会解题方法的实质, 也说明学生的思维缺乏深刻性.

五、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性, 应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称, 如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称, 则函数就无奇偶性可谈.否则要用奇偶性定义加以判断.

例5判断函数y=x3, x∈[-1, 3]的奇偶性.

解∵2∈[-1, 3]而-2[-1, 3], ∴定义域区间[-1, 3]关于坐标原点不对称,

∴函数y=x3, x∈[-1, 3]是非奇非偶函数.

若学生像以上这样的过程解完这道题目, 就很好地体现出学生解题思维的敏捷性.

如果学生不注意函数定义域, 那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论:

∵f (-x) = (-x) 3=-x3=-f (x) , 3

∴函数y=x3, x∈[-1, 3]是奇函数.

错误剖析因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成, 这是学生极易忽视的步骤, 也是造成结论错误的原因.

综上所述, 在求解函数关系式、最值 (值域) 、单调性、奇偶性等问题中, 若能精细地检查思维过程, 思辨函数定义域有无改变 (指对定义域为R来说) , 对解题结果有无影响, 就能提高学生的质疑辨析能力, 有利于培养学生的思维品质, 从而不断提高学生的思维能力, 进而有利于培养学生思维的创造性.

摘要：函数作为高中数学的主线, 贯穿于整个高中数学的始终.函数的定义域是构成函数的两大要素之一, 函数的定义域 (或变量的允许值范围) 似乎是非常简单的, 然而在解决问题中不加以注意, 常常会使人误入歧途.数学中有许多有关函数的题目, 求解的思路很容易想到, 入手并不困难, 但不少同学求解时, 往往由于忽视了函数的定义域而导致错解.在解函数题时, 应透彻理解函数定义域与函数其他性质之间的关系和相互作用, 强调定义域对解题结论的作用与影响, 这对提高学生的数学思维品质是十分有益的.

6.初中数学函数知识点 篇六

一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得

到(当b>0时，向上平移;当b<0时，向下平移)

6、正比例函数和一次函数及性质

7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

(1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式;

(2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程;

(3)解方程得出未知系数的值;

7.考研数学之高等数学知识点 篇七

高等数学第一章求极限，极限的计算方法，这个地方可以说是每年必考，不管是大题小题。比方考的大题，考小题。

第二章重点内容是导数的计算和应用，以及微分中值定理的应用。尤其是导数的应用特别重要。20考了两个大题，一个题是考利用导数研究方程的根，另一个是用导数证明不等式。20也考查了导数应用，考大家用导数研究单调性与极值。

第三章最重要的是积分的计算和应用，今年数1数2的同学考了一个大题，考积分的应用来求做功。重点说一下关于数2的同学，积分的物理应用特别重要。数1、数2、数3共同掌握的是积分几何应用。

第五章多元微分学重点掌握多元复合函数求偏导、多元隐函数求偏导，多元函数求极值、条件极值与最值。今年考了一个复合函数求偏导的大题，年考的是多元隐函数求偏导的小题，考了多元函数求极值。

第六章多元函数积分学重点说一下，数2、数3的.同学不考曲线积分，不考曲面积分，也不考什么格林公式，需要掌握二重积分的计算，这是重点，可以说每年必考。年考的是二重积分，数1、数2、数3都考了。数1的同学，除了二重积分掌握以后，三重积分、一类线积分、二类线积分、一类面积分、二类面积分，以及相应的高斯公式、格林公式，斯托克斯公式，这些也是重点。比方2010年考了一个一类面积分的计算。

第七章非常重要的一个考点是幂级数收敛半径，收敛区间，收敛域的判定，另一个考点就是幂级数展开与求和。2011年考了一个幂级数收敛域的判定。2010年考了一个大题，考的是幂级数的求和。

第八章微分方程重点两个内容，一阶微分方程，二阶常系数微分方程。这地方可能考大题，可能考小题。今年考了一个小题一阶微分方程求解，2010年考了一个大题，二阶常系数非齐次线性微分方程。

8.初中数学函数方程知识点 篇八

2、任何一个一元一次方程都可以转化成ax+b=0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方 程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值(从数的角度);从图像上来看， 就相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴的交点横坐标的值(从形的角度)。

3、利用函数图像解方程：-2x+2=0，可以转化为求一次函数y=-2x+2与x轴交点的横坐标。而 y=-2x+2与x轴交点的横坐标为1，所以方程-2x+2=0的解为x=1。 注意：解一元一次方程ax+b=0(a≠0)与求函数y=ax+b(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标是同一个 问题。不同的是前者从数的角度来解决问题，后者从形的角度来解决问题。

4、每个二元一次方程组都对应两个一次函数，从数的角度来看，解方程组相当于考虑自变量为 何值时两个函数的值相等，以及这个函数是何值;从形的角度来看，解方程组相当于确定两条直 线交点的坐标，从而使方程组得出答案。

5、解答一次函数的作法最简单的就是列表法，取一个满足一次函数表达式的两个点的坐标，来 确定另一个未知数的值。还有一个描点法。一般取两个点，根据“两点确定一条直线”的道理， 也可叫“两点法”。通常情况下y=kx+b(k≠0)的图象过(0，b)和(-b/k，0)两点即可画出。

初中数学如何审题

(1)这个题目有哪些个已知条件?我能不能把已知条件分开?

(2)求解的目标是什么?对求解有什么要求?

(3)能不能画一个图帮助思考?好多问题是没有看清楚题意致错。审题不清，你做得越多，可能错的就越多。

(4)所给出的已知条件相互之间有什么关系?能不能从中发现隐含条件?

9.考研数学知识点：函数的定义 篇九

一、几个易混概念：连续，可导，存在原函数，可积，可微，偏导数存在他们之间的关系式怎么样的?存在极限，导函数连续，左连续，右连续，左极限，右极限，左导数，右导数，导函数的左极限，导函数的右极限。

二、罗尔定理：设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续(其中a不等于b)，在开区间(a，b)上可导，且f(a)=f(b)，那么至少存在一点ξ∈(a、b)，使得f‘(ξ)=0。罗尔定理是以法国数学家罗尔的名字命名的。罗尔定理的三个已知条件的意义，①f(x)在[a，b]上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线;②f(x)在内(a，b)可导表明曲线y=f(x)在每一点处有切线存在;③f(a)=f(b)表明曲线的割线(直线AB)平行于x轴;罗尔定理的结论的直几何意义是：在(a，b)内至少能找到一点ξ，使f’(ξ)=0，表明曲线上至少有一点的切线斜率为0，从而切线平行于割线AB，与x轴平行。

三、.泰勒公式展开的应用专题：相信很多同学看到泰勒公式就哆嗦，因为咋一看很长很恐怖，瞬间大脑空白，身体失重的感觉。其实在我搞明白一下几点后，原来的症状就没有了。1.什么情况下要进行泰勒展开;2.以哪一点为中心进行展开;3.把谁展开;4.展开到几阶?

四、应用多次中值定理的专题：大部分的考研题，一般要考察你应用多次中值定理，最重要的就是要培养自己对这种题目的敏感度，要很快反映老师出这题考哪几个中值定理，我的敏感性是靠自己多练习综合题培养出来的。我会经常会去复习，那样我对中值定理的题目早已没有那种刚学高数时的害怕之极。要想对微分中值定理这块的题目有条理的掌握，看我这个总结定会事半功倍的。

五、对称性，轮换性，奇偶性在积分(重积分，线，面积分)中的综合应用：这几乎每年必考，要么小题中考，要么大题中要用，这是必须掌握的知识，但是往往不是那么容易就靠做3，4个题目就能了解这知识点的应用到底有多广泛。我们做积分题，尤其多重积分和线面积分，死算也许能算出结果，但是要是能用以上性质，那可真是三下五除二搞定，这方面的感觉相信大家有过，可是或许仅仅是昙花一现，因为你做出来了以为以后就一定会在相似的题目中用，其实不然，因为仅仅靠几道题目很大程度上不能给你留下太深刻的印象，下次轮到的时候或许就是考场上了，你可能顿时苦思冥想，最终还是选择了最傻的办法，浪费了宝贵时间。说这些其实就是说明，考场上的正常或超常发挥是建立在平时踏实做，见识广，严要求的基础上。

10.高中数学函数周期知识点总结 篇十

1、定义法：利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1

②作差f(x1)-f(x2)，并适当变形(“分解因式”、配方成同号项的和等);

③依据差式的符号确定其增减性。

2、导数法：

设函数y=f(x)在某区间D内可导。如果f′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数;如果f′(x)<0，则f(x)在区间D内为减函数。

补充

a.若使得f′(x)=0的x的值只有有限个，则如果f ′(x)≥0，则f(x)在区间D内为增函数;如果f′(x) ≤0，则f(x)在区间D内为减函数。

b.单调性的判断方法：定义法及导数法、图象法、复合函数的单调性(同增异减)、用已知函数的单调性等。

二、单调性的有关结论

1、若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)+g(x)仍为增(减)函数。

2、互为反函数的两个函数有相同的单调性。

3、y=f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数;若f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数，简称”同增异减”。

11.高中数学函数知识点 篇十一

高中数学函数知识一、一次函数定义与定义式：

自变量x和因变量y有如下关系：

y=kx+b

则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx(k为常数，k≠0)

二、一次函数的性质：

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)

2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：

1.作法与图形：通过如下3个步骤

(1)列表;

(2)描点;

(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)

2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。

3.k，b与函数图像所在象限：

当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;

当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b>0时，直线必通过一、二象限;

当b=0时，直线通过原点

当b<0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。

这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：

已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。

(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。

(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……②

(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。

(4)最后得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用：

1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。

六、常用公式：

1.求函数图像的k值：(y1-y2)/(x1-x2)

2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2

3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2

4.求任意线段的长：√(x1-x2)’2+(y1-y2)’2(注：根号下(x1-x2)与(y1-y2)的平方和)

高中数学函数知识2

二次函数

I.定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

y=ax’2+bx+c

(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)

则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式

一般式：y=ax’2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)

顶点式：y=a(x-h)’2+k[抛物线的顶点P(h，k)]

交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?，0)和B(x?，0)的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

h=-b/2ak=(4ac-b’2)/4ax?,x?=(-b±√b’2-4ac)/2a

III.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x’2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

2.抛物线有一个顶点P，坐标为

P(-b/2a，(4ac-b’2)/4a)

当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b’2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;

当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0，c)

6.抛物线与x轴交点个数

Δ=b’2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ=b’2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ=b’2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-b±√b’2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)

V.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数(以下称函数)y=ax’2+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，即ax’2+bx+c=0

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

高中数学函数知识3

反比例函数

形如y=k/x(k为常数且k≠0)的函数，叫做反比例函数。

自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数图像性质：

反比例函数的图像为双曲线。

由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。

另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。

如图，上面给出了k分别为正和负(2和-2)时的函数图像。

当K>0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数

当K<0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数

反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。

知识点：

1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。

2.对于双曲线y=k/x，若在分母上加减任意一个实数(即y=k/(x±m)m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。(加一个数时向左平移，减一个数时向右平移)

对数函数

对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：

可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。

(2)对数函数的值域为全部实数集合。

(3)函数总是通过(1，0)这点。

(4)a大于1时，为单调递增函数，并且上凸;a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。

(5)显然对数函数无界。