考研数学：微积分

考研数学：微积分（13篇）

1.考研数学：微积分 篇一

考研数学复习:微积分理论与解题技巧点拨

考研数学中高等数学的确是一门学起来比较难的课程，高数课本上的内容多，而且学了后面易把前面的知识点忘了。有大量的定理与重要结论，需要考生们系统地对知识进行层次化的归类，微积分这个子系统非常重要，它是其它各子系统的基石，而且在概率统计中大量会用到微积分的`理论与解题技巧，请大家一定要牢记。

一、有针对性复习，提高常见题型解题技巧

考研不是数学竞赛，不会出现这类题目，因此完全没必要浪费时间。每年许多考生容易在看似不起眼的选择题和填空题上失很多分。其实选择与填空题在数学考卷中所占的比重很大，这些题目的解答往往会“一失足成千古恨”，稍不留神，一步做错就全军覆没。在现阶段一定要有针对性地进行复习，所做题目的难度不能太小，当然也不能过于偏，而且复习要形成系统的知识体系结构。将做过的题目进行总结。目前阶段不要过于钻研偏题怪题。复习中，遇到比较难的题目，自己独立解决确实能显著提高能力。但复习时间毕竟有限，在确定思考不出结果时，要及时寻求帮助。一定要避免一时性起，盯住一个题目做一个晚上的冲动。要充分借助老师、同学的帮助，将题目弄通搞懂、下次自己会做即可，不要耽误太多时间。另外无论是大题还是小题，都要细心。不能说只要考场上认真，仔细地做题就不会有“会做但做错”的情况出现，应该平时做题就态度认真。

二、真正消化知识点 练就解题的内功

如何才能真正吸收消化这些知识以成为自己的知识呢?根据自己的总结或在权威考研辅导机构的帮助下，考生可以知道常规的题型和解题方法与技巧，考生要进行相当量的综合题型的练习。因为在复习过程中，不少考生会渐渐地有能力解答一些考研的基本题目，但如果给他一道较为综合的大题，就无从下手了。所以要做一定量的综合题。

不要现看到没做过的题就犯怵，一些大题目都是可以分解为若干个小题目去分别解答的。考生要掌握的东西就显然被分为了两个大方向。一是小题目，实质上也就是基础知识点的掌握与常规题型的熟练掌握;二是要能够将大题目拆分为小题目，也就是说能够逆出题专家的思维方式来推测此大题目是想考我们什么知识点。这两个方面的知识是考生平时复习整个过程中要加以思考的问题，因为基础知识点要不断地巩固加强，平时要多多积累将大问题细分的能力是平时的日积月累而形成的能力。祝愿考生们2014考研一切顺利，取得自己理想的成绩!加油!

2.考研数学：微积分 篇二

大学高等数学教学中的微积分是关于研究微分学与积分学的一门学科。古代早期的微积分理论主要是在几何学、力学以及天文学等方面解决其中的计算问题。而后来, 人们也将微积分学称为分析学, 指用无穷大或无穷小的极限分析处理一些计算问题的学问, 可以说极限就是整个微积分学科的基础。微积分学的微分学包括微分和求导的计算, 它主要用来计算加速度、速度、曲线斜率以及函数问题等。而积分学则包括定积分和不定积分, 它主要用来计算和定义体积、面积、周长等问题。而现代大学高等数学教学中的微积分教学则是对微积分学更加深入的探讨学习, 它包括函数、无穷数列等等。在这一深入的微积分学习中, 我们还常常将微积分称之为分析学, 并将它定义为研究函数问题的一门科学。

二、大学高等数学微积分教学中存在的问题

大学微积分教学是大学高等数学教学中的重要组成部分, 微积分学可以为我们提供很多解决数学问题的方法, 但其本身的难度使得大学微积分教学的实施效果并不是十分理想。笔者认为, 大学高等数学微积分教学中存在的问题主要有以下点:

(一) 大学微积分教学缺少针对性, 不利于大学生的发展。

现代我国的大学中, 高等数学微积分教学几乎是所有专业都必须进行的基础教学。而大学高等数学教学中的微积分教学内容几乎是大同小异的。但是, 实际上, 每个学校都包含多个不同的学院或系, 而每个学院或系又有很多个专业。由于学生选择的专业不同, 而不同的专业对微积分学的需求也不一样, 例如学前教育的学生和土木工程的学生, 因此, 就很容易出现学而无用或学习不足等现象。

(二) 大学微积分教学过程理论化, 缺少实践创新。

在我国, 大学高等数学中的微积分教学大多是纯理论的教学。而理论教学由于缺少实践, 其过程往往十分的枯燥。加之大学的微积分学其本身的难度大, 教学过程又十分枯燥, 这两点大大影响了学生的学习兴趣, 降低了学生的学习效果。由此可见, 大学的微积分教学采用灌输式的理论化教学方法, 往往会影响大学生的学习兴趣, 降低学习效果。

(三) 大学微积分教学的评价体系不完整, 无法对学生进行有效的评价。

大学微积分教学采用的评价方式普遍都是试卷考试的方式进行考核。该考核方式仅仅是对微积分理论学习的检查, 而缺少了实践性。我们学习微积分, 并不仅仅是为了计算, 更多的是为了应用。而且, 由于专业的不同, 学生对于微积分知识的需求也就不同, 例如会计专业学习微积分主要是进行简单的统计和函数计算, 而物理专业的学生学习微积分则主要是应用微积分解决一些物理方面的实际问题。因此, 采取统一的微积分考试这种考核方式是不合理的。

(四) 缺少高素质的微积分教学人员, 无法满足现代大学微积分教学的需要。

大学高等数学微积分本来就是一门比较难的学科, 并且随着时代的进步与改革, 人们对于微积分的需求也在不断的改变, 因此, 微积分教学对教师的要求也是十分严格。但是, 在现代的许多大学中, 教师要么过于年轻缺少实践教学经验, 要么就是年龄大的教授, 缺少先进的思想。而且由于微积分教学属于大学教学中的基础课程, 教师往往并没有根据各个专业学生的需求进行备课, 导致其教学内容对学生的专业可能并没有太大的帮助。

三、解决大学高等数学微积分教学问题的有效对策

高等数学中的微积分教学对发展大学生的逻辑思维能力、运算能力、概括能力等都有十分重要的作用。为了更好地解决大学微积分教学中的问题, 笔者认为, 可以采取以下几点措施:

(一) 针对不同的院系、专业采取不同的教学内容与方法。

不同的院系、专业对微积分的需求情况是不同的。因此, 学校在进行微积分教学以前应该对各学科对微积分知识的需要有充分的了解, 并根据其需要制定针对性的教学目标与内容。同时, 根据大学生的实际情况, 制定不同的微积分课程, 因材施教, 也是十分必要。

(二) 将理论与实践将结合, 提高学生的学习兴趣与效果。

过多的理论教学只会降低学生的学习兴趣, 影响学生的学习效果。因此, 在大学微积分教学中, 我们应该将理论与实践相结合, 在实践中学习, 这样不仅可以激发学生的积极性, 还能加强学生对知识点的理解能力, 保证微积分教学的效果。

(三) 完善微积分课程的考核方式和评级体系。

学校进行微积分教学不是为了考试, 而是为了应用。因此, 大学的微积分课程其考核方式并不仅仅只能是考试, 我们应该根据实际情况, 采取课堂考察、实践等多种方式进行综合考核, 这样不仅可以保证学生的学习效果, 还能有效提升学生的学习积极性。

(四) 招聘高素质的微积分教育人才。

优秀的教师是进行微积分教学的基础。因此, 学校必须招聘大量专业的微积分教育人才, 并加强在校教师的培训, 使其能更好的进行微积分教学, 满足现代大学与社会的需求。

总结

微积分教学不仅在现代大学高等数学教学中占有重要的位置, 而且还是众多的交叉科学中的重要组成部分。因此, 采取有效的教学对策进行高等数学微积分教学, 提高微积分教学的效果是十分必要的。就目前而言, 虽然我国高校的微积分教学中还存在着许多问题, 但是只要我们能在实践中不断探究学习, 寻求微积分教学的有效措施, 我国的高校微积分教学一定能取得更好的效果, 并为我国培养复合型人才打下良好的基础。

摘要：高等数学教育是现代大学教学中的一项基础的课程, 并在大学教学体系中占有十分重要的地位, 而微积分教学又是高等数学教学中不可缺少的部分。因此, 微积分教学在大学教学中的开展效果受到了越来越多的关注。但是, 在现代许多高等院校的微积分教学的具体实施中还存在着诸多问题。本文就将通过对高等数学微积分教学的内容、特点、现状问题等进行研究分析, 并对改善微积分教学现状的有效对策进行探究阐述。

关键词：大学高等数学,微积分,问题,教学对策

参考文献

[1]朱春浩.微积分教学的现状与对策[J].辽宁教育行政学院学报, 2001年06期.

[2]李振祥.中美微积分教学改革的比较研究[J].浙江工商职业技术学院学报, 2006年02期.

[3]徐永琳.在微积分中开展探究性学习的现状及其对策研究[D].天津师范大学, 2008年.

3.高职数学中微积分的教法讨论 篇三

摘 要： 在高职数学教学中教师应联系实际，注重理论，深入浅出，在有限的课时内搞好微积分的教与学.

关键词： 高职数学课 现状 微积分教学

微积分是高等数学的重要内容，是研究函数的微分、积分，以及有关概念和应用的数学分支.极限和微积分的概念可以追溯到十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨在许多先辈数学家的理论基础上，分别独立地建立了微积分学，但他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，理论基础并不是很牢固.直到十九世纪中期，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化.微积分的基本概念和内容主要包括微分学和积分学.微分学的主要内容包括：极限、导数、微分等；积分学的主要内容包括：不定积分、定积分等.促使微积分产生的因素，归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是求变速运动的即时速度问题；第二类是求曲线的切线问题；第三类是求函数的最大值和最小值问题；第四类是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心等问题.

根据“以应用为目的，以必需够用为度”的大纲要求，对高职学生，只需要把微积分的基本概念、基本定理交代清楚，无需过多关注理论的推导和证明，重点在于如何利用这些理论和公式法则解决问题，切实教会学生如何求极限，如何求导数微分，如何求积分.对于目前高职院校中学生的特殊情况和师资及课程的特点，如何更好地开展数学教学，充分学好微积分呢？笔者有如下几方面的设想.

一、介绍理论，归纳解法

1.极限理论应当理清的问题和方法

介绍有关极限的理论之后，可以总结求极限的方法大致有几种：观察法，利用极限的四则运算法则，利用两个重要极限，利用无穷小的性质和等价无穷小的替换，利用罗比塔法则，换元法，等等.笔者仅举两例.

二、介绍微积分的初步应用，提高学生学习数学的兴趣

理论来源于实践，又服务于实践，详细介绍下微积分在数学上的一些应用，略谈谈其在物理、化学、生物学、天文学等应用，让学生感受到数学的实用性，提高对数学学习的兴趣.

1.导数的应用

（1）研究函数的性质，作函数的图像.函数的性质包括单调性、极值、最值、凹凸性、拐点、渐近线、最终作出函数比较精确的图形.这是一个重点内容；

（2）利用导数求函数的极限，即利用洛比达法则求极限，这也是学生必须掌握的；

（3）导数在经济问题中的简单应用，这一点在经济类专业中要重点介绍.

2.微分的应用

（1）利用Δy≈dy计算函数改变量的近似值；

（2）利用f（x+Δx）≈f（x）+f′（x）Δx或f（x）≈f（0）+f′（0）·x[x→0]计算函数的近似值.

3.积分的应用

（1）利用定积分计算平面图形的面积；

（2）利用定积分计算几何体的体积；

（3）利用定积分计算平面曲线的长；

（4）利用定积分计算某些物理量，比如液体的压力、变力做的功、物体的引力、几何体重心的测定和质量的计算等.

总之，高职学生是个特殊群体，数学基础比较差，接受能力相对较弱，这就要求教师因材施教，有针对性地制订授课计划，既要保证学生能够接受，又要保证在以后的工作和进一步学习中够用，这是高职教育中的新课题，有待进一步认真研究.

参考文献：

[1]华中师范大学.高等数学[M].高等教育出版社，1988.

[2]同济大学等.高等数学[M].高等教育出版社，2001.

4.2016考研数学：定积分的证明 篇四

定积分及其应用这部分内容在历年真题的考察中形式多样，是考试的重点内容。启航考研龙腾网校老师希望同学们要加以重视！

定积分的证明是指证明题目中出现积分符号的一类题目，一般的解题思路和常见的证明题大同小异，但是由于积分符号的出现，往往使得同学们有这样那样的不适应，在这里呢，和同学们一起总结下关于这类题目的一般解题思路。常见的关于定积分的证明，主要包括以下几

类

问

题。

2、定积分中值定理命题的证明。一般利用连续函数的介值定理、微分中值定理、积分中值定理等来证明，其关键是构造辅助函数。

3、定积分不等式的证明。一般有三种方法。①利用被积函数的单调性、定积分的保序性和估值定理证明。

②将定积分的上(下)限改为变量，从而将定积分不等式化为函数不等式，再用微分学方法证明。

5.考研数学：微积分 篇五

1.定义：b

af(x)dxlimf(k)xk 0k1n

2.可积性：

1）必要条件：f(x)有界；

2）充分条件:f(x)连续或仅有有限个第一类间断点；

3.计算1）b

af(x)dxF(b)F(a)

2）换元法

3）分部积分法

4）利用奇偶性，周期性

5）利用公式 n1n31,n偶nnnn222(1)2sinxdx2cosxdx 00n1n32,n奇nn23

(2)

4.变上限积分：π0xf(sinx)dx20f(sinx)dx x

af(t)dt

1)连续性：设f(x)在[a,b]上可积，则

2）可导性：设f(x)在[a,b]上连续，则

变上限求导的三个类型： xaxaf(t)dt在[a,b]上连续。f(t)dt医学考研论坛在[a,b]上可导且(f(t)dt)f(x).ax

(x)(1)f(t)dtf((x))(x)f((x))(x)(x)

(x)x(2)f(x,t)dt例1:F(x)(tx)f(t)dx 0(x)

bdx2(3)f(x,t)dt例2:sin(xt)dt0adx

3）奇偶性：i）若f(x)为奇函数，则x

0f(t)dt为偶函数。

ii）若f(x)为偶函数，则5.性质：



x0

f(t)dt为奇函数。

1)不等式：i)若f(x)g(x), 则



ba

f(x)dxg(x)dx.a

b

ii)若f(x)在[a,b]上连续，则m(ba)iii)



ba

f(x)dxM(ba).

ba

f(x)dx|f(x)|dx.a

b

2)中值定理： i）若f(x)在[a,b]上连续，则



ba

f(x)dxf(c)(ba),acb

g(x)不变号，则

ii）若f(x),g(x)在[a,b]上连续医学考研论坛，

ba

f(x)g(x)dxf(c)g(x)dx,acb.a

b

【例1】I



n0

x dx;

【解法1】原式=n=n=n=n





sin2







(cossin)2 cosxsinx

(cosxsinx)dx(sinxcosx)22n.

40



【解法2】原式=n

54



54

sin2xdx

=n





(cosxsinx)2dx

454

=n





(sinxcosx)dx2.ex4

sinxdx;【例2】 I

1ex2

xt

ee44

sinxdx2sintdt【解析】I2

xt1e1e22



(xt)



sin1ettdt





12ex1442sinxdxsinxdx

1ex221ex

2

2sinxdx

22









sin4xdx

313

海文考研钻石卡 

42216

【例3】 已知f(x)连续，【解析】令xtu得



x0



tf(xt)dt1cosx,求2f(x)dx的值.

x

tf(xt)dt(xu)f(u)duxf(u)duuf(u)du，xxx

xxxdx，从而有tf(xt)dtf(u)duxf(x)xf(x)f(u)duf(u)dusinx 0000dx

令x





得



f(u)dusin



1.1n

12n

【例4】 求 lim121n21n2nn

11222n212n

(2)ln1(2)ln1(2) 【解析】令yn(12)(12)(12)，则lnynln1nnnnnnn

n

2x2

ln22(1)limlnynln(1x)dxxln(1x)001x20n4

原式e

ln22(1

)



2e

2

.【例5】 求证:【解析】



sinx2dx0.2



2

sinxdx =



sint20

（令x2t）





sint2t



2

sint2t



而



2

2

sinusint

=du（令tu）

2u

则



sinxdx

0

sint11

dt0.2t

【例6】 设f(x)在[a,b]上连续，单调增。求证:【证法1】令F(x)

bab

axf(x)dx2af(x)dx

b



xa

tf(t)

xax

f(t)dt a2

只要证明F(b)0，显然F(a)0

2a1x

f(x)f(t)dt 22a

x1

=(xa)f(x)f(t)dt

a2

=(xa)f(x)(xa)f(c)(acx)

而F(x)xf(x)0 则F(b)F(a)0 原式得证.【证法2】由于f(x)在[a,b]上单调海文考研钻石卡增，则

(x

abab)(f(x)f())0 22

从而有即又则即

b



ba

(x

abab)f(x)f()dx0 22

ababbab

(x)f(x)dxf()(x)dx0 a

22a2bab(x)dx0 a

2bab(x)f(x)dx0 a

6.数学建模思微积分数学论文 篇六

数学文化是国内外研究的热点课题，也是目前教育界积极探索实践的问题。它的内涵在于数学作为文化的一种类型，具有普遍性和特殊性，其特殊性也是作为数学所独有的，如数学思想的高度抽象性、数学精神的深度概括性、数学语言的完美简洁性、数学方法的独特灵活性。它的外延在于数学作为文化同时与经济、科技、人文、历史、美学等各个领域紧密联系，而这种联系都促进人类文明的进步与发展。

1 数学文化是贯穿高职微积分有效教学的必由之路

1.1 数学文化是高职微积分有效教学的重要前提

有效教学的理论源于20世纪上半叶西方教学科学化运动。通常有效教学指“教师遵循教学活动的客观规律，以尽可能少的时间、精力和物力投入，取得尽可能多的教学效果，从而实现特定的教学目标，满足社会和个人的教育价值需要。”同时笔者认为所谓有效教学是教师有效的教学与学生高效的学习的完美结合，即教师的“教”与学生的“学”都达到事半功倍的效果。数学文化是微积分进行有效教学的重要前提条件，因为数学文化渗透高职微积分的各个方面。

数学文化贯穿于微积分发展历史中。虽然微积分做为正式学科产生于近代，但是微积分的思想却始于古代。古希腊阿基米德的《圆的测量》与春秋庄子“一尺之捶，日取其半，万世不竭”等都体现了微积分的思想。17世纪伟大科学家牛顿和莱布尼兹创设了微积分的系统理论，并广泛的应用于天文学、物理学等领域，但其中的过程细节存在逻辑矛盾，由此产生了第二次数学危机。19世纪柯西等数学家从理论上解决“无穷小量”问题，从而结束了长达两个世纪的第二次数学危机。目前微积分的应用则更加广泛。

数学文化贯穿于微积分的思想方法中。微积分的学习不仅是知识的学习，也不仅是培养逻辑思维能力、综合计算能力、创新发展能力，更要从思想方法的高度来正确把握微积分，理解微积分思想中蕴涵的辩证法思想、美学思想、科学哲学思想、人类思维发展的艰辛曲折过程。微积分思想的理解不是依靠做题目解答出来的，而是必须依托数学文化的诠释和解读。

1.2 数学文化是促进教师对微积分有效教学的助推剂

数学文化帮助教师更有效的使学生理解微积分。在具体的高职微积分教学实践中，高职学生对极限、微积分的概念和符号(如“lim”、“df(x)”、“∫”)若仅从教科书来解读，往往不理解，甚至死记硬背都记不下。而如果在教学中从数学文化的角度来解读，则可以极大帮助学生理解微积分。如极限可以从微积分发展历史来加以介绍;积分的概念可以适当解读为最早为解决不规则图形的面积(如同学们熟知的圆面积公式来源)进而解决体积、质量等问题;“∫”则是“Sum”首字母的拉长体现了数学符号的简洁概括美。

数学文化帮助教师更有效的组织教学。通过数学文化贯穿高职微积分有效教学中，可以使教师在教学手段、教学形式、教学方法等方面都有新的突破，从而更有效的组织教学。在教学手段方面，可以在传统教学中适当穿插介绍微积分发展史的多媒体资料、通过多媒体动画效果展示极限的“无限接近”过程、适当运用Matlab软件计算微积分等。在教学形式方面，在班级授课的基础上可以围绕极限、微积分在日常生活中的应用进行分组讨论，然后将每组的结果予全班同学分享，从而提高教学的趣味性。在教学方法方面，高职微积分教学如果仅仅使用讲授法教学，其结果必然不佳。由于数学文化的博大精深，更由于数学文化与微积分的紧密联系，数学文化给予高职微积分教学提供了多种教学方法的选择，如讨论法可以应用在求极限的几种方法，探究法可以应用在从数学文化的角度探索出积分的概念。

1.3 数学文化是促进高职学生对微积分高效学习的发动机

数学文化激发学生学习高职微积分的兴趣。学生学习兴趣对于高效学习的实现起着重要的作用。笔者经过调查发现，大部分高职学生并非初始就对微积分缺乏兴趣，而是认为微积分课程缺少生动有趣。数学文化贯穿高职微积分有效教学中可以使原本感觉乏味的课程变得生动有趣，因为学生从微积分中的数学史感受人类发展道路的曲折，学生从微积分中的数学美学会欣赏自然的和谐美，学生从微积分中的数学思想领悟思想方法的重要性，学生从微积分中的人文价值理解学习数学的目标。

数学文化激发学生学习高职微积分的学习动机。学习动机是引起和维持个体的学习行为以满足学习需要的心理倾向。在目前激烈社会竞争情况下，高职学生有着强烈的专业发展动机，渴望升学成为他们最直接的目的。因此，高效学习微积分、高效学好微积分成为大部分高职学生的迫切需要。若仅仅通过题目练习，则往往在一知半解的情况下并不能达到良好的效果。高职微积分中蕴涵的数学文化，它的丰富的内涵和外延往往能够满足学生学好微积分的需要。因为它能够从辩证法的高度揭示微积分概念的本质，它能够从历史美学的方向把握微积分课程的总体脉络，它能够从思想方法的角度启发解决微积分问题的思路。

2 数学文化贯穿高职微积分有效教学的实践策略

2.1 数学史贯穿高职微积分有效教学

数学史是数学理论的建构发展史，同时也是人类理性思维的探索历程史。教师通过数学史的解读可以让学生理解微积分是不断进步的生动有趣的课程。首先，通过数学史创设的情境让学生感受数学的魅力。教师可以介绍微积分概念的起源和发展、数学家的趣闻逸事、古今数学思想方法的比较等。具体如：函数教学时介绍康托、集合论引起的悖论以及第三次数学危机，极限连续教学时介绍柯西、古代极限思想，导数微分教学时介绍符号的演变、第二次数学危机等。其次，数学历史故事、事件、过程培养学生创新意识和探索精神。如可以介绍瑞士数学家欧拉，在其双目完全失明的情况下，他凭借惊人的毅力和记忆对微积分研究达之久，期间还口述了几本书和几百篇论文，使微积分有了里程碑式的发展。

2.2 数学美贯穿高职微积分有效教学

数学美具有美的特性，教师通过数学美的诠释使学生学会感受美、欣赏美。因为数学美更体现在具有简洁、对称、和谐的特性。首先，微积分符号体现数学美的简洁性。微积分符号的简洁性增进思维敏捷度，将相对复杂的含义简单的表示出来，促进微积分的发展。如：函数的导数只需使用f’(x)即可，但若沿用极限来表示，则显得复杂并难以理解。其次，微积分解题应用体现数学美的.对称体性。微积分中数形对称颇为常见，这也常常能给理解记忆和解题带来帮助。如：导数的积的公式(uv)’=u’v+uv’，分部积分公式∫udv = uv-∫vdu可变形为：∫udv +∫vdu=uv+C。再次，微积分公式体现数学美的和谐性。和谐性贯穿于微积分之中。微积分基本定理中微分的局部性质与积分的整体性质是统一的。如：由于微分与积分互为逆运算，从基本导数公式可以直接推出基本积分公式;又如：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理之间密切联系体现了微分中值定理的统一与和谐。

2.3 联系实际贯穿高职微积分有效教学

微积分是高等数学的基础，同时也是解决其他自然科学的基础。教师通过将联系实际贯穿微积分使学生充分认识到其解决实际问题的价值和意义。微积分联系实际的应用，可以通过对物理(特别是运动与力学)、几何、经济、生物中数量变化关系的分析，建立简单的数学模型并通过微积分计算加以解决，从而丰富教学内容、调动学生积极性、拓宽学生思路，逐步将学生引导到微积分的学习中来。

2.4 强调过程贯穿高职微积分有效教学

7.微积分在中学数学中的应用 篇七

一、恒等式的证明

有些恒等式, 用初等方法证明, 往往需要较高的解题技巧, 而用微积分的方法, 则很简单.

【例1】证明:arctanx+arccot x=2π, x∈R.

二、极值问题

初等数学能解决的极值问题是有限的, 且方法不一, 难以寻找, 如果用微分的方法, 有的问题解决起来就很简便.

【例2】求函数f (x) =xne-n2x (n是自然数, 且n≥2) 在[0, +∞) 的最大值与最小值.求极限

列表如下:

三、函数单调性的讨论

中学数学中函数的单调性一般用定义判别, 计算繁琐, 对某些函数甚至无法判别, 而在微积分中根据“若x∈区间I, 有f (x) ′>0 (<0) , 则f (x) 在区间I严格增加 (严格减少) ”容易判别函数的单调性.

【例3】求函数

8.浅谈高等数学中微积分的经济应用 篇八

[关键词]微积分；经济应用；高中生审视角度

近年来，国民生产总值不断提高，现代经济的发展也较为快速，这就要求有相应的理论基础来支持不断与时俱进的经济的发展。高等数学是现代经济管理的基础知识，其中的微积分对现代经济彰显得尤为重要，微积分与现代经济两者互相作用、互相促进。结合教学现状，高中数学起着承上启下的过渡性作用，这要求高中生不仅提高对高等数学的微积分在现代经济管理中的应用的意识，还要不断提高学习能力，彻底掌握基础知识，不断将所学运用于实际经济生活当中。

一、高等数学中的微积分与经济学的联系

1.微积分思想在经济学中具有重要作用

微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支，包含了极限、微分学、积分学及其应用，是数学的一个基础学科。而经济学是研究价值的生产、流通、分配、消费的规律的理论，通过数学知识及微积分思想实现稀缺资源的有效分配和最大分配，满足人类的经济活动和生产需求。

（1）拓宽了经济学的研究领域。经济学的研究领域非常广泛，研究了个人、企业、政府及相关组织如何在社会生活中进行选择，以及这些选择将会对稀缺资源产生怎样的决定的一门科学。这种特性就决定了经济学在学科分支上与其它学科有着必然的联系和交叉点。微积分思想在经济学中的运用恰好可以发挥着桥梁的作用，将经济学与其它学科紧密联系起来，很大程度上拓展了经济学领域在生活中的应用。

（2）提供了科学的指导方法。微积分中的微分学和积分学将经济问题通过数学函数及方法表示出来，可以帮助国家或政府制定符合社会经济背景的经济政策，在解决经济问题、达到一定的经济目的层面上有一定的指导作用。同时，微积分思想的严谨性、科学性及准确性也对多样化和复杂化的经济学问题起着规范作用，实现经济学问题中如效益最大化、收支平衡、供求匹配等等问题评判的相对准确性。

2.经济的发展反作用于高等数学中的微积分的拓展

快速发展的经济需要与时俱进的理论指导的支持，不仅需要经济学理论的不断发展，同时作为经济学的基础，即高等数学也要不断延伸和拓展，如此才能跟上不断进步的社会。现实生活中越来越多的经济问题具有高难度、涉及知识面广的特性，所以在高等数学领域也不断发现和探索，特别是微积分的探索与延伸。因此，现代经济的发展反作用于高等数学以及微积分知识的延伸与拓展、发现与创新。

3.两者相互作用、互相促进

高等数学中微积分思想在经济学中的运用促进了经济学问题的有效解决和逻辑思维的严谨性，而不断发展的经济又反作用于微积分知识的探索与延伸，促进了知识的全面性和综合性。因此，现代经济与微积分知识相互作用、互相促进。

二、高等数学中的微积分在经济领域的应用

1.微分学的应用

（1） 极限理论在经济学中的应用。极限理论普遍运用于经济学中，利用其极限值或最优值，对经济问题进行分析、预测，以达到资源的最优配置或利润的最大化。例如，利用微积分中的极限值可以预估需求价格弹性中在一定时期内一种商品的需求量的相对变动对于该商品的价格的相对变动的反应程度，预测后进行分析，对商品与价格的关系做出相应的平衡。在边际收益递减规律中，利用极限理论知识，通过转换为数学方法求解，求出在生产中不断增加某一种可变要素的投入量的极限值，使得每增加一单位可变投入所带来的总产量的增加量达到最优。还可以利用极限值理论处理国际收支平衡中一国在一定时期内全部对外交易所引起的收入总额与支出总额的对比平衡关系。

（2）导数和微分在经济学中的应用。在将经济学中复杂的问题转换为对数学建模的处理时，必然会反复并且大量地用到导数和微分知识。因此，导数和微分在经济学中发挥着必不可少的作用。

2.积分学的应用

积分学主要包括定积分和不定积分两个层面，积分是微分的逆运算，在经济学中的应用主要是通过已知的数学函数来积分求得原函数，简化函数的建立与求解，快速而又高效的解决问题。例如经济学中的金融利率、贷存款问题以及医疗保险问题等等都会用到积分学的知识，可谓是必不可少的基础应用。

三、站在高中生的角度审视微积分在经济领域的应用

随着学生年龄的增加，知识的不断积累和丰富，其接受能力、理解能力、思考能力以及逻辑思维能力也随着提高。然而，高中数学难度自然也增加，知识的抽象性越来越大，知识的密度越来越大，知识综合性也越来越大。同时，微积分是高等数学中的一个重点知识，要求学生具有高强度的思考能力、演算能力和推导能力。常常出现学生基础较差，学习习惯较差，对知识的不理解和不会运用。学生对高中数学知识在现代经济管理中的作用认识度不够高，对知识的运用较为局限，因此需要老师及家长耐心的循循诱导，增强学生对高等数学中微积分的知识在现代经济管理中的应用的认识，促进其高效学习能力的培养，增强其数学知识学习的透彻性和运用的广泛性意识。学以致用，理论结合现实，将学习中的微积分与现实问题更多的联系起来运用。

四、结语

当今，高等数学知识在现代经济中的应用具有普遍性和广泛性，而微积分在经济中的作用也彰显得越来越重要。高中生是学好微积分的关键期，在此阶段须得在老师耐心的辅导下好好学习，学会将所学所得运用的发展快速的经济当中。

参考文献：

[1]陆振刚.高等数学中的微积分经济应用探究[J].高等教育与专家论坛，2015-05-11.

[2]赵军健.微积分在经济分析中的应用[J].科技风，2014-08-12.

[3]于何.浅谈微积分在经济分析中的应用[J].辽宁对外贸易学院，2014-09-10.

9.大学数学微积分怎么学 篇九

事实上，数学三考微积分相关内容的题目都不是太难，但是出题老师似乎对基本计算及应用情有独钟，所以对基础知识扎扎实实地复习一遍是最好的应对方法。阅读教材虽然是奠定基础的一种良方，但参考一下一些辅导资料，如《微积分过关与提高》等，能够有效帮助同学们从不同角度理解基本概念、基本原理，加深对定理、公式的印象，增加基本方法及技巧的摄入量。对基本内容的复习不能只注重速度而忽视质量。在看书时带着思考，并不时提出问题，这才是好的读懂知识的方法。

二、关注重点知识

在看教材及辅导资料时要依三大块分清重点、次重点、非重点。阅读数学图书与其他文艺社科类图书有个区别，就是内容没有那么强的故事性，同时所述理论有一定抽象性，所以在此再一次提醒同学们读书需要不断思考其逻辑结构。比如在看函数极限的性质中的局部有界性时，能够联系其在几何上的表现来理解，并思考其实质含义及应用。三大块内容中，一元函数的微积分是基础，定义一元函数微积分的极限及微积分的主要研究对象——函数及连续是基础中的基础。这个部分也是每年必定会出题考查的，必须引起注意。多元函数微积分，主要是二元函数微积分，这个部分大家需要记很多公式及解题捷径。无穷级数和常微分方程与差分方程部分的重点很容易把握，考点就那几个，需要注意的是其与实际问题结合出题的情况。

三、适度做题

10.大学如何学好高等数学微积分 篇十

学习高等数学时，还要多加注意问题与问题之间的联系，做到自觉灵活地分析和解决问题。

对于1/x的不定积分，其一个原函数为lnx，这是一个大家都很熟悉的公式，再有我们还熟知f(x)导数的不定积分=f(x)+c。如果将这两个知识点联系起来，便可组成一个求解不定积分的问题。解决不定积分的根本出路是用公式积分，教材中列出了13个基本积分公式。但直接套用公式的积分问题是很少的。我们所遇到的大多数问题与积分表中所列公式存在差异，因此求解不定积分的基本方向是改变被积分的形式，从而达到能够运用基本积分公式的目的。于是教材中列出了三种常用的基本积分法。一是直接积分法;二是换元积分法，具体地又分为第一换元法(又称为凑微分法)和第二换元法;三是分部积分法。积分时选用哪一种方法，这就要根据题目的特点来定，当然学习者平时的经验积累与敏锐的观察力也是必不可少的。就此例来说，被积函数中含有1/x和lnx，联系它们之间的关系，我们可选用换元法中的凑微分法，将(1/x)dx写成d(lnx)，此类问题即可迎刃而解。

11.考研数学：微积分 篇十一

1GCE考试及A水平考试简介

英国的GCE(General Certificate of Education的缩写)考试中的高级水平考试或A水平考试(Advanced Level). 相当于中国的高考,考生年龄多为18岁,英国习惯上称之为“18岁考试”,主要由五个考试机构(CIE、OCR、AQA、EDEXCEL、CCEA均非官方机构)分区独立组织实施,依据GCE考试结果,独立选拔学生.选拔标准各校、各系都不一样.英国GCE考试科目很多,高级水平考试(Advanced Level)有40科左右.既有语言、历史、地理、数学、统计学、计算机科学、物理、化学等学术性科目,也有木材加工、机械制造、工艺创作等技术性科目.GCE的各个考试机构每年考试科目都不完全相同,考生不受居住地限制,可以到任何一个GCE考试机构申请考试.考生可以根据自己的兴趣、爱好,任意选考各种科目.不过,为了升人向往的大学,考生还要考虑大学在录取条件中对考试科目的要求.考试合格发给的合格证(单科),在所有采用GCE考试成绩的大学通用.其中英语、数学和综合理科等一些核心课程是考生必考科目,其余各科可以任选,每个考生平均选考六、七门. 1987年再次增加补充水平考试(AS-level), AS-level考试的课程和同类Advanced Level课程相比,难度、内容、学习时间只相当于Advanced Level课程的一半,因此也称为半水平考试,两门AS-level课程的考试成绩被看作一门Advanced Level课程成绩.各个考试局对数学考试分类不同,但是总体可以分为数学、应用数学和概率论,如AQA考试局就分Advanced Level数学考试为进一步的纯数学(Further pure maths)、纯核心数学(Pure core maths)、概率论(statistics)等. 纯核心数学中包括二重积分、向量、微分方程等高等数学内容,进一步的纯数学大都主要考察高等数学内容.

“注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”。

12.考研数学：微积分 篇十二

高职数学应该重视数学思想的应用, 强化其在微积分教学中的运用效果, 采取渗透方式激发学生的参与性。在微积分教学过程中应该有意识地引导学生, 注重理论与实践相结合。将数学思想与教学内容进行结合引导学生开展教学活动。

多媒体技术的应用能够创新数学思想方法, 提升微积分教学效果。极限概念的学习是微积分当中最为基础的部分, 保证极限概念教学的有效性是微积分学习得到强化的关键。利用多媒体对极限概念进行展示, 体现无限逼真的效果, 这样能够使高职学生对极限概念有一个感性认识, 使学生能够积极参与到极限概念的学习中。设计可控式动画参数, 保证学生能够自由对参数进行设定, 明确无限与有限之间的关系。导数是曲线中某一点切线或者是运动事物在某一时刻产生的瞬时速度。因此, 在导数学习中应该注重对瞬时速度的了解。切线斜率充分说明了导数几何意义, 也是意义上的导数瞬时速度, 对于导数瞬时速度进行充分确认能够培养学生对微积分直觉能力。对高职微积分理论教学进行研究应该了解学生的实际情况, 对导数定义进行讲解的时候利用多媒体技术, 保证示意图的正确性, 同时设计动画对无线趋向进行展示说明。这样学生通过动画直观地感受到无限接近数学思想的实际情况, 明确导数的概念意义。教师在讲曲边梯形的面积时, 如果能形象地显示当分割越细时, 曲边梯形的面积的近似值越接近曲边梯形的真实面积S, 自然可用其极限值代替S。教师在微积分教学过程中应该及时引导学生对概念知识的了解, 使学生深刻体会到微积分知识的魅力, 灵活掌握微积分学习方法, 创新思维模式, 转化成为数学能力。

数形结合方法能够根据微积分学习, 利用直观形象体现数学的规范性特点, 这是数学思想与数学方式相互结合的充分体现。微积分是函数学习的重要内容, 对函数进行图像化发展能够更加直观地反映数学性质。在微积分学习过程中采取数形结合的方法, 是对数学教学特点的说明, 能够及时地引导学生对微积分知识的掌握, 也是对数形知识的整理。数形的内在转换能够培养学生微积分整体意识, 形成良好的思维习惯, 加深对微积分知识的理解能力, 优化整体知识结构, 应用能力的提升使学生充分掌握解决问题的能力。

构建模型是学习高等数学重要方法, 能够将抽象的数学概念, 利用实际问题进行说明。保证解决问题强化研究对象。在高职微积分教学过程中知识点的学习应该注重构建模型思想方法的应用。在实际问题中利用函数关系进行变量处理, 建立函数模型能够更好地解决函数问题。引导学生对微积分知识背景等进行了解, 明确其中的本质含义。学生建模能力的提升将会更加全面掌握微积分知识, 增强对数学的分析能力。

化归转换思想的方法是对研究对象利用现有条件进行转化总结, 实现两种思维相互转化的方法。在微积分教学过程中, 教师应该注重利用这种思想方法引导学生解决遇到的问题。这样才能够在微积分学习的过程中树立主动学习思维, 采取灵活多变的方式解决问题。在对曲线中某一切线进行计算的时候可以利用函数导数对切线点进行转化, 这样能够保证问题更好地解决。针对平面图形等, 可以采用定积分方式对问题进行解决。将抽象的数学问题转换成为实际问题, 利用特殊情况总结规律性问题, 这是化归转换思想方法的重要体现, 将会实现学生思维的创新。化归思想方法是微积分教学过程中应用最为广泛的方法, 不但能够使学生的思维目标得到确定, 同时还能够避免盲目性的学习, 在根本上提升学生的数学学习效率, 符合高职学生学习微积分的实际情况。

在高职数学教学中强化数学思想方法, 能够为学生建立系统的数学知识体系, 使学生形成完整的数学观念。微积分教学应该注重引入实际生活, 这样能够激发学生的学习兴趣。利用实际案例指导学生思维创新, 学生综合素质提升将会使分析能力进一步得到强化。

摘要：高职数学教学应该重视特色基础教学, 利用丰富的教学思想引导学生开展数学活动。在微积分教学过程中培养学生的思维能力, 降低学生学习微积分的难度。在掌握知识技巧的同时, 推动学生数学素质的进一步提升。

关键词：数学思想,微积分教学,思维能力

参考文献

[1]韦国燕.浅谈微积分教学中数学思想方法及应用[J].教育与职业, 2006 (29)

13.考研数学：微积分 篇十三

高等数学是初等数学的延续和发展，而初等数学是高等数学的基础。作为学习和研究数学的途径，无疑应该先学习和掌握初等数学，然后才能学习和掌握高等数学。反之，学习高等数学能加深加宽对初等数学的理解，可以提高我们的数学修养，开阔思路，提高解决问题的能力。而在初等数学与高等数学的研究与发展中微积分都占有重要的地位。

一．用微积分知识直接用来处理初等数学的问题而达到简便的目的。

在初等数学中有些不能或不易解决的问题，运用高等数学的理论和方法可以得到圆满的解决.例如：中学数学中证明某些恒等式时的恒等变形过程相当繁杂，稍不小心就会出错。如果题目再复杂一些，就更困难。使用微积分的知识，可以避免繁杂的工作。

例1（方程根的讨论）

求证(xa)(xab)1有两个相异实根，并且一个根大于a，令一个根小于a． 证法一（采用初等方法证明）

证明将方程(xa)(xab)1整理的22x2abxaab10

22ab4aab12

2224a4abb4a4ab4

2b40 

所以方程有两个相异的实根

2abb242abb24x1,x222

2abb24bb24x1aa22

2abb24b24x2aa22

因为 b24b2,所以b24b.因此x1a,x2a.证法二（采用微积分方法证明）

证明设fxxaxab1

则

x0fa10因为limfx，所以在区间,a和a,内分别存在和，使

f0,f0

由连续函数的介值性定理，在区间,a和a,内分别存在x1和x2，使的fx10,fx20

这表明x1和x2是方程的两个相异实根，x1a,x2a.不仅如此，根据这一证法，我们还可以深化和拓广对这一方程的研究，获得新的结论．因为fab10 所以ab同样介于方程的两根之间，我们还可以看到，方程xaxab1的右端对于本题的结论来说并非是至关重要的，关键是方程的右端必须是一个正数．于是综合以上两点可以得到更为一般的结论：设c0，则方程xaxabc必有两个相异实根，且均介于方程的两根之间．

注：本题用初等数学的方法证明必须分为两步：先利用判别式证明方程有两个相异实根，再利用求根公式求出方程的两个根，并与a比较其大小，这样做具有一定的计算量，显得麻烦．而采用微积分的方法，可将两步并为一步，显得简捷，而且还可以得到更为深层的结论。

例2（不等式的证明）

若x0，求证：xln1xx 1x

证明设fxln1x则fx在0,x上满足拉格朗日中值定理，故存在0,x使f

即 fxf0 x01ln1x 1x

111 1x10x,

1ln1x1 1xx

xln1xx 即1x

注 不等式的证明方法多种多样，没有统一的模式，初等数学常用的方法是恒等变形、数学归纳法、利用二次型、使用重要不等式等，往往有较高的技巧．利用微积分的方法证明不等式，常利用函数的增减性、微分中值定理等有关知识，它可使不等式证明的过程大大简化，技巧性降低，但也没有固定模式． 例 3（代数式的化简）

化简xyzxyzyzxzxy.3333

解把x看作变量，y与z看作常量．令

fxxyzxyzyzxzxy.3333

对求导得

fx3xyzxyzyzxzxy24yz 2222

上式两端取不定积分得 fx24yzdx24xyzC

xyzxyzyzxzxy24xyzC 3333

令x0得Cyzyzyzzy0 3333

故原式24xyz

注 对于代数式的化简，初等数学常采用的方法是把各项展开然后合并同类项，计算量比较大，比较繁琐。利用微积分方法可使解题过程简化。

二．微积分可以为初等数学中常用的数学方法提供理论依据。

例如：在中学数学中，我们经常用的一些定理、公理都不加以证明，只用其结论。这些在高等数学中，利用微积分等知识就可以进行推理，例如：祖恒定理的证明。我们可以用这些方法解决用其他数学方法难于处理的许多问题。祖恒定理的证明

高中立体几何中的祖恒定理只是作为公理进行应用，事实上，它无法用中学知识证明，而在高等数学中，用积分的理论可很容易地给出它的理论证明。

证明 在夹两个立体的两平面的任一平面上，任取一点为原点O，过O且垂直于这个平面的直线取为x轴，并把射向另一个平面的方向记为x轴的正向，把两平行平面的距离记为h，设夹在这两个平面之间的平行于这两个平面的平面，截坐标轴于x，且截两立体所得的截面面积分别为S1x与S2x，显然S1x与

设两立体的体积分别为V1和V2，由定积分定义得： S2x都是0,h上的连续函数，V1S1xdxV2S2xdx 00hh

S1xS2xx0,h

S1xdxS2xdx 00hh

V1V2

总之，高等数学与初等数学有着千丝万缕的联系，其中微积分都扮演着重要的角色，它不但能解决初等数学中的诸多问题，而且成为高等数学发展的基础。用微积分的知识解决初等数学难以解决的问题。微积分的理论是研究高等数学与中学数学关系时不可或缺的部分，它对中学数学有重要的指导作用。将高等数学的理论应用于初等数学，使其内在的本质联系得以体现，进而去指导初等数学的教学工作。