关于角平分线的证明题

关于角平分线的证明题（通用7篇）

1.关于角平分线的证明题 篇一

《角平分线的性质(一)》教学设计

兰西县兰河乡第一中学 王正秋

教材分析：

角平分线的概念是曾经教材中介绍过的内容,它的性质很重要,在几何里证明线段或角相等时常常用到它,同时在作图中也运用广泛,有了角平分线的性质,学生可以直接应用定理,无需再证明两个三角形全等了,简化了知识的繁琐性,为学生今后的学习开辟了新的途径.同时,通过定理得初步应用,培养了学生多恶逻辑推理能力及创新能力.学情分析：

处于八年级上学期阶段的初中学生，在心理及生理上都已经趋向于成熟,对知识的获得能力已经有了多种途径,其推理能力和创新能力已提高了很多，此时的学生对于学习充满了期待同时也很有信心，因此学生在上课时会有很浓厚的学习兴趣，但学生的能力水平参差不齐，并且不善于合作学习，由于部分学生的基础很差,现在对于数学已经失去了兴趣，而本节课的内容与生活是从实际生活引入的,所以利用这个条件，多给学困生一些机会，及时鼓励他们参与到活动中来，使他们的学习兴趣得到增强，使学生能力得到一定的提高。教学目标： 知识目标: 角平分线的画法、角平分线的性质

（一）教学过程和方法: 会用尺规做一个已知角的平分线。情感目标: 在利用尺规作图的过程中，培养学生动手能力与探索精神。教学重难点：

重点：利用尺规作已知角的平分线。角平分线的性质

（一）难点：角平分线的性质

（一）教学准备：

学生课前预习，准备折纸和剪刀，教师准备多媒体课件。

教学过程：

（一）组织教学

师生互相问好

（二）提出问题，创设情境

学生观测课件，回答问题：图中哪些线段的长可以表示点P到直线L的距离？（师生共同观察课件中的图形，学生思考并回答问题。）

如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮忙设计一个作角的平分线的操作方案吗？（引发学生的好奇心，激起学生学习新课的愿望。）

（三）合作交流，探究新知 探究1：

下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？

1.播放多媒体课件，演示角平分仪器的操作过程。2.学生观看课件并口述平分角的仪器原理。

3.通过上述的探究，能否总结出尺规作已知角平分线的一般方法。4.讨论结果展示。

（学生自己动手做图，然后与同伴交流。教师用幻灯片播放学生写的解题步骤，然后进行交流。）

5.教师根据学生的叙述，进一步整理作已知角的平分线的步骤。已知：∠AOB．

求作：∠AOB的平分线． 作法：

（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．

（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．

21（3）作射线OC，射线OC即为所求．

探究2：

1.已知角的平分线，能推出什么结论？

已知：∠AOB的角平分线是射线OC，且PD⊥OC，PE⊥OC； 求证：线段PD 与线段PE的关系。

（学生小组合组探究结果。）

2.得出结论：

在角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 几何表示形式：

∵ OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE．

（四）习题巩固

例题：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P． 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．

（五）知识小结

谈谈今天你的收获？

（六）布置作业 练习1、2、3题 板书设计

角平分线的性质

（一）1.角平分线的画法：

2.角平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等.教学反思

《角平分线的性质(一)》教案

王正秋

兰西县兰河乡第一中学

2009年12月15日

2.角平分线的判定教学反思 篇二

一、自我评价

在实施高效课堂教学的过程中，我用新课程的理念、高效课堂教学模式,要求对曾经被视为经验的观点和做法进行了重新审视，对自己过去的教学思想和行为进行了反思。现将在反思中得到的体会总结出来，以求与同行共勉。

二、成功之处

1、重视情境创设，以学生为主体，让学生经历求知过程。本节课引入问题教学的模式，其目的是引导学生积极参与课堂，积极投入到解题思路的探索过程中，通过合作学习引导学生深层次参与，倡导同学们要学会用大脑去思考，用耳朵去倾听,用眼睛去观察，用双手去操作，使学生言语与行动逐步起到自觉调控的作用，促进思维的“内化”，从而发展学生的独立思考能力。

2、锻炼学生用几何语言表述定理，淡化语言叙述定理的抽象性，培养学生逻辑思维能力和角决实际问题打下良好的基础。

回顾本节课,我觉得在一些教学设计和教学过程的把握中还存在着一些问题：

1、学生缺乏具体的自主探究几何的机会，只是培养了学生的几何证明思路。

四、教学改进方案

3.角平分线的性质教学设计 篇三

【设计理念】

数学课堂是以学生为中心的活动的课堂，通过学生动手实践、自主探索、合作交流的过程，达到知识的构建，能力的培养和意识的创新及情感的陶冶，这也是实现数学教育从“文本教育”回归到“人本教育”。

【教材分析及教法】

《角平分线的性质》是人教版八年级数学上第十一章《全等三角形》第三节第一课时。它是在学生已经掌握全等三角形的性质与判定基础上继续探究的一节新授课。学好本节内容是进一步学习轴对称和直角三角形知识的基础，在教材中起承前启后的作用。

本课以教师为指导，以学生的活动为主线，以突出重点、突破难点、发展学生数学素养为目的，采用以探究式教学法和直观演示法为主的教学方法，注重数学与生活的联系，创设一系列有启发性、挑战性的问题情景激发学生学习的兴趣，引导学生用数学的眼光思考问题、发现规律、验证猜想。【学情分析及学法】

因为学生课前已经自学了本节课的内容对本节课的知识已经有了初步的了解，并且已经掌握了角分线的定义，全等三角形等知识。这样有利于他们类比学习本节内容。初二学生有一定的观察分析能力、逻辑思维能力和数形结合的能力，但对于角分线的特点具有的性质及逆定理比较模糊。在教学中通过分组讨论和多媒体演示能有效解决上述问题。

本节力图转变学生以往只是认真听讲、单纯记忆、练习巩固的被动学习方式。引导学生在动手实践、自主探索、合作交流活动中发现新知和发展能力，与此同时教师通过适时的点拨使观察、猜想、验证、归纳、推理贯穿整个学习过程。【教学目标】

知识与技能：掌握角平分线的性质和判定，并能利用这些方法解决简单的数学问题和实际问题．

过程与方法：经历探究角平分线性质判定的过程，发展学生合情推理能力和演绎推理力．了解角平分线的性质在生活、生产中的应用，进一步发展学生的推理证明意识和能力。

情感、态度、价值观：结合实际，创造丰富的情境，提高学生的学习兴趣，让他们在活动中获得成功的体验，培养学生的探索精神，树立学习的信心。【教学重难点】

重点：角平分线性质和判定的应用．

难点：运用角平分线性质和判定证明及解决实际问题.【课时安排】 2课时

【教学设计策略】

依据教学目标和学生的特点，依据教学时间和效率的要求，在此课教学方法和教学模式的设计中我主要体现了以下的设计思想和策略：

1、回归学生主体，一切围绕着学生的学习活动和当堂的反馈程度安排教学过程。

2、原则性和灵活性相结合，既要完成教学计划，在教学过程中又可以根据现实的情况，安排问题的难度，体现一些灵活性。

3、教学的形式上注重个体化，充分给予学生讨论和发表意见的机会，注重学习的参与性，努力避免以教师活动为主体的教学过程。【教学效果预测】

本课设计力求让学生参与知识的发现过程，体现以学生为主体，以促进学生发展为本的教学理念，变知识的传授者为学生自主探求知识的引导者、指导者、合作者。并利用多媒体，直观教具演示，营造一个声像同步，能动能静的教学情景，给学生提供一个探索的空间，促使学生主动参与，亲身体验探索过程，从而锻炼思维、激发创造，优化课堂教学。努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变，使学生真正成为学习的主人，培养了学生的素质能力，达到了良好的教学效果。

【教学过程】

一、导入新课

创设情境，提出问题

如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米。这个集贸市场应建在何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？

问题：

1、集贸市场建于何处？ 比例尺为

1：20000是

2、比例尺为1：20000是什么意思？

什么意思？ 你能在图上找出S点的位置吗？

〖答案〗

1、这个集贸市场应该建在公路

与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．

2、在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，•这就涉及一个单位换算问题了．1m=100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中1cm•表示实际距离200m的意思．作图如下： 第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．

第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．

〖设计意图〗通过实际问题的引入，让学生从生活中发现数学问题，激发学生的求知欲．通过对数学问题的讨论使学生知道数学来源于生活,生活离不开数学,激发学生学习的积极性．

二、探索新知

1、问题：角平分线性质逆命题是否正确呢？你能

B给出证明吗？

E〖答案〗已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．

Q求证：点Q在∠AOB的平分线上 证明：∵QD⊥OA，QE⊥OB OD ∴∠QEO=90°,∠QDO=90°

又∵QD＝QE，OQ=OQ ∴Rt△QEO≌Rt△QDO ∴∠QOE=∠QOD ∴点Q在∠AOB的平分线上．

〖设计意图〗通过该问题让学生确信逆命题的正确性，并让学生试口述该性质，加深学生的印象．这个提问设置为学生区分用哪个性质给出了说明，同时又验证了学生猜想的正确性，使学生获得成功的体验．

2、揭示课题，整理概念，板书点在角的平分线上． 用符号语言表示为：

角的内部到角的两边距离相等的

∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．

A

∴点Q在∠AOB的平分线上．

角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上

∴ QD＝QE．

总结:应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，•使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题．

3、出示例题

如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P． 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．

〖点拨方法〗点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．

证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F． ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上． A∴PD=PE．

D同理PE=PF． NP∴PD=PE=PF．

即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．

BF探究：连接AP，请问AP平分∠BAC吗？（能否给出简单证明）．

〖设计意图〗该例题运用了角平分线的两个性质，起到巩固新

知的作用．

三、课堂反馈训练

1、已知：如下图，在△ABC的外角∠CBD

l1和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点Fl3S2在∠DAE的平分线上.S4S1l2 A S3G BCN MDE

F

EMC

〖点拨方法〗要证明点在角平分线上，那就是要证明点到角两边的距离相等，那应该用用什么方法呢? 〖答案〗

证明：过点F作FG⊥BC,FM⊥AE,FN⊥AD垂足分别为G、M、N.∵FB、FC分别为∠CBD、∠BCE的角平分线

∴FG = FN, FG =FM ∴FN =FM ∴点F在∠DAE的平分线上.2、如下图所示，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有：()A.一处 B.两处 C.三处 D.四处

〖点拨方法〗如上图此题可以用教科书115页第6题的方法来解决，但没有“三条公路围成的一块平地上修建”的限制，因此满足要求的地址共有四处.〖答案〗D.〖设计意图〗引导学生对问题进行变式，既培养学生发散性思维能力，同时也培养学生的辨别能力，让学生学会比较，养成良好的学习习惯，培养严谨的思维能力．

四、小结归纳

今天你又学到了哪些新的知识?有什么收获? 〖设计意图〗发挥学生的主体意识，培养学生的归纳能力.五、堂堂清练习

1、必做题：教科书第22页习题11.3第3、5题.2、选做题：

(1)与相交的两条直线距离相等的点在：()A.一条直线上 B.两条互相垂直的直线上 C.一条射线上 D.两条互相垂直的射线上 〖答案〗 B

3、备选题：

如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分

别为E、F，下面给出四个结论：①DA平分∠EDF；②AE=AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等，其中正确的结论有：()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 〖答案〗D A

FE CD

六、板书设计 【教学反思】

在设计这节课时，我想如果在一节课的时间里把性质和判定学完，那只能是把本节课设计为探究课，而对于性质与判定的应用只能放在下一节课，于是我把这节课设计为探究课，把对角平分线的性质与判定定理的探索作为本节课的重点。本节课的教学方法是启发探究式。为了增加课堂密度和教学效果以及突破本节课的教学难点，我运

2、遵循从特殊到一般再到特殊的认知规律，精心创设问题和反馈练习，由浅入深、循序渐进地引导学生在获取知识的过程中体验成功的喜悦。

用几何画板和幻灯片制作了课件，以增加学生对角平分线上任意一点的理解。在学生探究角平分线的性质与判定时，我分别创设了情境，一是为了给学生的探究搭建平台，培养学生的动手操作能力。二是为使学生感受到数学知识来源于实际并应用于实际。同时也体现了新课程标准下的课堂应体现学生的主体性。【教学评价】

1、本节课以学生已学知识为载体，以展示思维过程为主线，以探索猜测为途径，突出能力培养和数学思想方法的渗透。

2、遵循从特殊到一般再到特殊的认知规律，精心创设问题和反馈练习，由浅入深、循序渐进地引导学生在获取知识的过程中体验成功的喜悦。

4.cad教程：角平分线的正确画法 篇四

1、          首先看几个特殊的角吧。

2、          对于这种再特殊不过的角，画个角平分线是很简单的。

3、          分析1：由于角的一条边是水平的，并且角度值也是具体的值，那么我们只需要做个倾斜角度为其一半的就OK了。

4、          利用相对坐标的方法或者旋转的方法都可以完成。

5、          上面的会画之后，再看看这个吧。

6、          分析2：这样的角和上一步对比，发现只有角的两条边不是特殊的了。

7、          借鉴上一个的画法，我们可以利用旋转了做，

8、          选择旋转时的转动基点。

9、          旋转的同时，要保留起始边的，所以要先复制边。

10、在旋转的时候，还是要遵循CAD的逆时针为正的原则。

11、接下来，我们看看一般的图形吧。

12、分析3：这样的三个角，边是一般的、角也不是特殊的没有数值，测量一下又不一定是特殊值。即便是特殊值，我们还是不好做的。

13、      接下来，要讲的是今天的重点，也是CAD中画角平分线的正确画法。

14、依次点击【绘图】【构造线】。

15、指定角的顶点。

16、选择角的起点。

17、选择角的端点。

18、完成后的构造线，也就是角的平线。

5.八年级角的平分线的性质教学设计 篇五

教材分析

1．角的平分线性质是初中阶段几何证明中重要的内容，为证明三角形全等提供更多的方法和条件；

2、在利用全等三角形的基础上更进一步推理出角的平分线性质；

3、在这节课中，也能让学生更多的.动手作图，练习学生的尺规作图能力，把数学运用到实际生活中去；

学情分析

1．学生对数学学习兴趣不够高，基础知识参差不齐，特别是对作图方法难以掌握；

2．学生对做角的平分线、角平分线到两边的距离作图不够规范，达不到垂直的要求；

3．学生对如何动手作角平分线和证明角平分线的性质过程感到比较难掌握。

教学目标

1、掌握作已知角的平分线的方法；

2、掌握角平分线的性质，掌握角平分线性质的推导过程；

3、角平分线性质的运用。

教学重点和难点

重点：角的平分线性质的证明及运用；

6.关于角平分线的证明题 篇六

湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学 张昌林

在中考和一些竞赛题目中常有与三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的．下面来一起学习一下．

命题1 如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90°

+

证明：如图１：

∠A．

∵∠1＝∠，∠２＝∠，∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°①

∠1＋∠2＋∠D=180°②

①－②得：

∠1＋∠2＋∠A＝∠D③

由②得：

∠1＋∠2=180°－∠D④

把③代入④得：

∴180°－∠D＋∠A＝∠D

∠D=90°+∠A．

点评 利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明.命题2 如图２，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠D=90

°－∠A．

证明：如图２：

∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线，∴∠D=180°－∠1－∠

2=180°－（∠DBE+∠DCF）

=180°－（∠A+∠4+∠A+∠3）

=180°－（∠A+180°）

=180°－ ∠A－90°

=90°－

∠A；

点评 利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，可以证明

.命题3 如图3，点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠

E=

A．

证明：如图3：

∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠A+2∠1=2∠4①

∠1+∠E=∠4② ∠

①×代入②得：

∠E=

明

.∠A． 点评 利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证

命题4 如图４，点E是△ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE的交点，证明:AE是△ABC的外角平分线.证明：如图3：

∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EF

CE是∠ACD的平分线, 可得：EG=EF

∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.即EF=EG=EH

∵EG=EH

∴AE是△ABC的外角平分线．

点评 利用角平分线的性质和判定能够证明．

应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看．

例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线．

①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数.②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？ 解析：①由命题2的结论直接得：∠P=90°－

∠A=90°－

×60°=60°

②根据命题2的结论∠P=90°－

∠A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形．

点评 此题直接运用命题2的结论很简单．同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．

例２ 如图6，在△ABC中，延长BC到D,∠ABC与∠ACD的角平分线相较于

∠BC

与∠CD的平分线交与点，以此类推，„，若∠A=96

°，则∠点，= 度．

解析：由命题③的结论不难发现规律∠∠A． 可以直接得：∠=×96°=3°．

点评 此题是要找出规律的但对要有命题③的结论作为基础知识．

例３（2011湖北鄂州市中考第一大题填空题第八小题，此题３分）如图7，△ABC的外角∠ACD的平分线CP的内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．

解析：此题直接运用命题４的结论可以知道ＡＰ是△ABC的一个外角平分线，结合命题３的结论知道∠BAC=2∠BPC, CAP=(180°－∠

BAC)=(180°－2∠BPC)=50°．

点评 对命题3、4研究过的读者此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目．

例４(2003年山东省“KLT快乐灵通杯”初中数学竞赛试题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交与E点，连接AE，则∠AEB= 度．

解析：有题目和命题４的结论可以知道AE是△ABC的一个外角平分线, 结合命题2的结论知道∠AEB=∠ACB

－∠ACB=90

°－×90°=45°

7.关于角平分线的证明题 篇七

教学目标：

1、掌握两个直角三角形全等的条件：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

2、了解并掌握角平分线的性质(角平分线上的点到角两边的距离相等)及其逆定理(角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上)及其简单应用。

3、提高综合运用知识能力。

教学重点：角平分线性质定理及逆定理

教学难点：角平分线性质定理及逆定理的应用 教学方法：观察、比较、合作、交流、探索.教学过程：

一、导入新课

AD是△ABC的高，AD把△ABC分成两个直角三角形，这两个直角三角全等吗？

问题1：图中的两个直角三角形有可能全等吗？什么情况下这两个直角三角形全等？

学生根据图形的直观，认为这两个直角三角形全等的条件可能情况有四个:BD＝CD,∠BAD＝∠CAD；∠B＝∠C；AB＝AC。

问题2：你能说出上述四个可判定依据吗？

说明：1．从问题2的讨论中，可以使学生主动发现判定两个直角三角形全等时，直角相等是一个很重要的隐含条件，所以判定两个直角三角形全等只要两个条件。

2．当“AB＝AC”时，从图形的直观可以估计这两个直角三角形全等，这时两个直角三角形对应相等的元素是“边边角”，从而有利于学生形成新的认知的冲突──在上学期中我们知道，已知两边及其一边的对角，画出了两个形状、大小都不同的三角形，因此得到“有两边及其一边的对角对应相等，这两个三角形不一定全等”的结论，那么当其中一边的对角是特殊的直角时，这个结论能成立吗？

二、新授

探究1 把两个直角三角形按如图摆放，已知，在△OPD与△OPE中，PD⊥OB，PE⊥OE，∠BOP=∠AOP，请说明PD =PE。

思路：证明Rt△PDO≌Rt△PEO, 得到PD=PE。归纳结论：角平分线上的点到角两边的距离相等。探究2 把两个直角三角形按如图摆放，已知，在△OPD与△OPE中，PD⊥OB，PE⊥OE，PD =PE，请说明∠BOP=∠AOP。

请学生自行思考解决证明过程。

归纳结论：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。（板书）

三、例题讲解

0P23 例题1 如图1-28，∠BAD=∠BCD=90, ∠1=∠2.(1)求证：点B在∠ADC的平分线上(2)求证：BD是∠ABC的平分线 教师指定一名学生上台板演，师生共评结果。

四、巩固练习： 课本P24 练习1、2

五、小结：角平分线性质定理及逆定理表述。

六、布置作业： P26习题1.4 A组1、2、3