动态几何教案

动态几何教案（共8篇）

1.动态几何教案 篇一

动态几何测量教学案例两则

彭翕成

华中师范大学教育信息技术工程研究中心，武汉 430079

几何学是数学最古老的分支之一，相传起源于土地测量。近些年，测量之风在中学教学中相当盛行。有些老师采用原始工具，主要是三角板、量角器；有些老师则先进一些，采用动态几何软件。所谓动态几何，是指在计算机屏幕上画出各种各样的动态几何图形，且几何图形在变化过程中保持几何属性不变；通过几何图形的动态变化，使人能更直观地深刻理解图形中的几何规律，从而达到真正理解几何原理的目的。到目前为止，全世界已经有几十种动态几何软件，我国主要使用超级画板和几何画板，一些图形计算器也具备动态几何功能。

笔者认为测量之风盛行原因有二。一方面是与这些年高调提倡的教学方式、教学理念接轨，依据是“老师让学生测量，有益于学生的动手能力的培养，有益于学生协作精神的形成”；而另一方面是由于传统测量非常简单，基本上就是不教自会，即使是学习动态几何的测量功能，也不过是几分钟的事情。学会之后，则是一本万利，从初一的三角形内角和定理、中位线定理到高三的正、余弦定理，都是可以用测量来教学的案例。正因为如此，很多老师不单自己在教学演示的时候喜欢用测量，有条件的学校还极力鼓励学生动手。

对于测量，近几年批评的意见也不少，而且相当尖锐。李大潜院士指出：“老是量，就倒退到尼罗河时代去了，当初古希腊学者不是‘量’出来的”。张奠宙教授说得更加具体，他以正弦定理的教学为例，认为让学生通过测量发现

abc、、之间的关系,sinAsinBsinC是一个败笔，是一个忽略数学实质的设计。

三角板、量角器，我们使用已经上千年了，已经成为学习数学必备的工具，而动态几何软件是这些古老工具的延伸与发展。照道理来说，这些工具都应该是好的，但为什么老师们使用这些工具，还会被专家指责呢？笔者认为这是一个值得探讨的问题。首先，我们来看两个案例，看看从中能否给我们启示。案例一：中位线定理的教学

一位老师在讲授中位线定理这一内容时，准备利用超级画板作两次测量：一次是验证三角形中位线定理，另一次是验证顺次连接四边形的中点所围成图形为平行四边形。这位老师发现，当他让学生动手测量的时候，有一小部分学生懒散地坐着不动，远没有刚开始接触超级画板那样积极。课后向几位学生调查情况，学生们说，这两道题，书上都有结论，我们早就看过了，再去测量不是有点傻么？对未知的东西充满好奇，对已知的东西熟视无睹，这是绝大多数人存有的心态。这位老师经过反思，觉得不能怪学生；不过，这些学生仅仅满足于记住书上的结论，而没有进一步思考，这对于学习数学是很不利的。

于是在另外一个班上课时，他首先让学生探究这么一个问题。五边形ABCDE中，点F、G、H、I分别是AB、BC、CD、DE的中点，点J、K分别是FH、GI的中点，AE和JK有什么关系？学生们积极性很高，马上打开超级画板进行测量，很快发现AE4JK（图1）。老师问：还发现什么？学生没有其他的发现。能不能证明发现的结论呢？学生们没有一点头绪。老师提示说，当遇到难题解决不了的时候，我们是不是退一步，先解决容易的题目；大家还记得如何求多边形的内角和么？学生说，记得，将多边形分割成三角形来解决。于是，这位老师就顺势引导学生去研究三角形中位线定理和顺次连接四边形的中点所围成图形为平行四边形这两个问题。等到快下课时，老师又将学生引回到五边形中点的问题。但学生还是反应不过来，因为他们都老想着如何将五边形分割成三角形。这是思维定式造成的。老师给出提示，也不一定要分割成三角形啊，我们今天不是还学了四边形么？这一提示，不少学生就作出这道题了，辅助线如图2所示（点L是AD的中点）；而且还有学生高兴地发现AE和JK还存在平行关系。

图1 图2 案例二：勾股定理的教学

勾股定理的数学表示形式是abc，从数的“方”（平方）联想形的“方”（正方），不难想到要以RtABC的各边作正方形ABDE，CBFG和ACHI（图3），于是有不少老师让学生利用超级画板测量面积，验证SABDESCBFGSACHI。但有一个老师在这个环节遇到了问题。学生作好图3后，老师让学生测量面积，自主探究。大多数学生都得出了老师想要的那个答案。但有一个学生说，他发现的有所不同，他发现了SABCSBDFSCGHSAIE（注：超级画板测量面积与几何画板不同，只需依次选择多边形顶点即可，并不一定要作出该多边形）。

这位老师感到很吃惊，这是备课时没有想到的。仔细一看，这不正是三角形面积公式

222SABC111absinCbcsinAcasinB么，只不过用了一次互补的两个角正弦相等222而已。但学生还没学过正弦，该怎么解释呢？

图3 图4

一想，其实也不难，SABCSHCG是显然的。而证SABC与SBDF相等也只需以AB和BD为底边，作出对应的高线CJ和FL即可，而这两条边的相等又可转化为求证CJBFLB（图4）。由于JBCLBF（与同角互余的两角相等），根据HL定理，易证CJBFLB。同样地，可以证明SABCSAIE。如果作出更多的垂线段，就会得到一个类似于赵爽弦图的图形（图5），由此我们可以得到另一种证明。

如图6，就是分别过点A和D作BC的平行线，分别过点B和E作AC的平行线，四条直线交于M、J、K和L。易证ABC与正方形AEDB中的四个三角形都全等，从而BJBCBF，从而SABCSDBJSBDF。同理可证SABCSAELSBDF。

特别有意思的是，即使ABC不是直角三角形，所得4个三角形面积相等的结论也是成立的。证明的过程也一样，因为上述两种证明都没有用到ACB90这一条件。学生们

听完老师的分析，觉得不可思议，马上又重新作图进行验证。

图5 图6 对于案例一，笔者认为虽然是同一个老师讲同一个内容，而且都是使用超级画板的测量功能，其中的变化仅仅是加了一个例题而已，但后一次课的效果明显要好很多。前一节课的测量，好像有点“为测量而测量”的味道；而后一节课的测量，是真正的探究式测量，因为学生即使提前预习，也较难作出该题，此时的测量落到了实处。需要指出的是，所增加的例题非常有内涵，包括了该节课的两个重要的结论。例题的选取，则不是靠信息技术了，而是靠老师的专业水平；也许不少老师也做过此题，但可能并没有留意。

对于案例二，笔者感慨很深。我们的老师花费大量的时间精心备课，设计好一个又一个的环节，但有时候难免也会遇到设计之外的情况。特别是现代社会的信息来源多元化，中学生不再像过去那样，单纯地从老师那里吸取知识，而是通过各种渠道来获取信息，譬如说网络，图书馆等，超级画板一类的软件也能够提供给学生信息。从某种角度来说，信息技术并没有给老师带来轻松，而是带来压力，对老师的要求更高了。但老师的付出是有回报的，本节课从勾股定理引出赵爽弦图是如此地自然，没有人为的做作，甚至三角形面积公式、正弦定理也呼之欲出。笔者甚至想：正弦定理的教学，能否就由此而来呢？

本文的两个案例是笔者近年举行超级画板讲座时与一线教师闲谈所得。一位中学老师很有感慨：俗话说“人强不如家伙强”，但使用了信息技术，教学效果也并不见得就一定好。笔者非常认同这一点：技术是先进了，但最后决定成败的关键因素还是在于教师的数学素质和教学设计。

2.动态几何教案 篇二

人脸识别具有非常重大的理论意义和应用价值。人脸识别的研究对于图像处理、模式识别、计算机视觉、计算机图形学等领域的发展具有重大的推动作用, 同时在生物特征识别、视频监控、安全等各个领域也有着广泛的应用。人脸识别的研究已经有相当长的历史, 发展至今, 在用静态图像或用视频做人脸识别的领域中, 国际上形成了以下几种方法:基于几何特征的人脸识别方法;基于相关匹配的方法;基于子空间的方法;基于统计的识别方法;基于神经网络的方法;弹性图匹配方法;基于三维模型的方法。后面六种方法原理复杂, 实现困难, 且难以与其他应用程序相结合。鉴于此, 本文选用了其中最为通俗易懂的基于几何特征的识别方法。

人脸识别通常分为三步:第一步是人脸检测, 接着是提取人脸特征, 最后是将该特征与已存特征相比较, 以达到人脸识别的目的。其中第一步是很关键的一步, 目前已有不少算法可以达到人脸检测的目的, 文献[1]结合小波分析和几何特征实现了准确率较高的人脸检测算法;文献[2]则利用分类器克服了以上缺点, 但其误断率比较大, 同时在第二步特征提取环节, 其采用了分类器提取7组特征点:左眼的宽度、鼻尖与双眼连线的垂直距离、人脸左右边界的距离、嘴巴的宽度、两眼中心与左嘴角水平距离、两眼外侧的水平距离、右眼的外侧眼角与鼻项的水平距离、左眼的内侧眼角与鼻顶的水平距离、嘴巴中点与鼻尖的垂直距离、鼻尖与嘴角的距离, 并且将这些距离特征值与眼睛中点到嘴巴中点之间的垂直距离之比定义为标准化特征向量。但是, 文献[1]要求人脸位置端正, 因此只能用于检测特定图片, 无法适应动态检测;而文献[2]其所提取的特征点过于细致, 对分类器要求极高, 实现困难。

针对以上问题, 本文在前人的基础上提出了两个改进方法。在人脸检测部分, 本文利用各种分类器, 提取较大的特征 (如五官) 之后, 采用级联反馈的方式来最后确认人脸, 无需考虑人脸的位置, 同时提取特征所需分类器容易实现, 并可直接利用提取的特征值, 将第一、二步结合起来, 提高了效率;在人脸识别部分, 同时对人脸的数据采集也做出相应的处理措施, 提高辨识速度的同时亦降低了误识率。

1 使用技术简介

基于几何特征的方法是早期的人脸识别方法之一[3], 其优点是比较简单、容易理解。常采用的几何特征有人脸的五官, 如眼睛、鼻子、嘴唇等的局部形状特征, 脸型特征以及五官在脸上分布的几何特征。提取特征时往往要用到人脸结构的一些先验知识。识别所采用的几何特征是以人脸器官的形状和几何关系为基础的特征矢量, 本质上是特征矢量之间的匹配, 其分量通常包括人脸指定两点间的欧式距离、曲率、角度等。

2 五官距离识别人脸的算法

本文采用的方法是利用人脸五官之间的距离。本文特征点 (五官) 的选取相对于文献[2]来说, 特征强烈[4], 其分类器要求相对而言要低很多, 容易实现, 受背景环境和光照条件影响很小, 再辅以级联反馈, 使其定位更加准确。同时, 对人脸的数据采集也做出相应的处理措施, 提高判定阈值, 达到提高辨识速度目的的同时亦降低了误识率。

2.1 特征点选取

在人脸识别中, 人脸特征点的数目是一个关键的问题, 特征点的个数既要包含足够的信息, 又不能太多[5]。如果选取得少, 考虑到不同的人脸的五官距离有某一项会出现比较接近的情况, 则系统的误识率会很高, 无法达到识别的效果;如果选取得太多, 因为在每次采集人脸时会出现角度不同而导致各特征点距离有微小的差别, 难以与数据库匹配。本文为了达到准确识别的效果, 共采用了六组数据将人脸数字化, 这六组数据分别是:两眼间的距离, 左眼与鼻子的距离, 右眼与鼻子的距离, 左眼与嘴唇的距离, 右眼与嘴唇的距离以及鼻子与嘴唇的距离。

2.2 特征点的定位

首先训练各个人脸特征点分类器:人脸, 眼睛, 鼻子, 嘴唇, 这些分类器是基于样本图片训练得到, 其质量与其所用图片数量成正比, 使用图片越多, 其定位的质量越好, 但其效率仍然较低, 容易出现误判断的情况。如果使用单一分类器进行人脸定位 (如文献[2]) , 由于背景和光线的影响, 容易将背景错误定位成人脸或其特征, 从而对接着的识别程序造成负面的影响。为了弥补这一缺点, 本文将以上四个分类器结合起来使用, 提高其检测能力, 具体做法如下:全图片扫描, 先使用人脸分类器检测在图片范围内是否存在人脸, 如果检测到了, 则在该人脸范围内依次寻找左右眼睛, 鼻子, 嘴唇;接着对寻找到的各个特征进行位置检测, 如果全都符合五官在人脸上的分布则判定检测到的是一张人脸, 对其进行标记。级联反馈人脸定位流程图如图1所示.

2.3 动态人脸识别

本文采用摄像头获取用户人脸信息。由于以上人脸特征点定位算法只是针对静态图像进行, 因此, 为实现动态人脸识别, 我们可以隔一定的时间差, 抽取视频流的其中一帧, 对该帧采用基于静止图像的人脸识别方法[6]。虽然在微观上, 本文仍是采用静态分析, 但在宏观上, 本文利用摄像头获取信息, 在采样时间足够短的条件下, 我们仍可认为系统进行的是动态的人脸识别。本文数据获取所采用的方法也是基于摄像头采集, 当摄像头捕捉到图像且由上述特征点定位算法确定为一张人脸时, 系统将会保存各特征点在图像中的位置。由于本文是动态的人脸识别, 人脸与摄像头所成角度会直接影响到各特征点之间的距离, 同时, 就算是正视着摄像头, 人脸离摄像头的距离也会对上述距离造成直接的影响, 此时如果采用传统的绝对距离进行识别显然是不可行的, 为了适应这种动态识别, 本文采用了相对距离作为识别依据。

2.4 原始人脸数据获取与人脸数据匹配

经实验证明, 由于人的双眼在视线方向改变时, 瞳距基本不变, 因此同一人在不同的图像中该量提取的偏差极小[7]。本文先以人脸为基础建立一个直角坐标系, 如图2所示, 再以双眼间的距离为标准, 其余各特征点的距离与此标准做商, 得出其相对距离, 并保存进数据库中。计算公式如下:

$D{}_0=\sqrt{(x{}_1-x{}_2){}^2+(y{}_1-y{}_2){}^2}$ (1)

$D=\sqrt{(x-x\text{'}){}^2+(y-y\text{'}){}^2}$ (2)

式中, D0 表示两眼间的距离, (x1, y1) , (x2, y2) 分别表示左眼与右眼在图像中的位置, (x, y) , (x′, y′) 则表示任意两特征点的位置, 最后将上述式子得出的各个相对距离作为人脸数据化的结果保存进数据库中。

由摄像头获取的图像再经由上述特征点定位算法获得的各点坐标存在一定的偶然性, 因此, 由各点坐标计算得到的各相对距离会存在一定的偶然误差, 不同时刻得到的结果要达到完全一致的可能性很小, 此时需要设定一个阈值, 当各数据的匹配度均不小于这个阈值时才能判定匹配成功。

阈值的设定是一个十分困难的环节, 太小则由于不同人的特征点间的距离存在某一程度上的相似性而容易误断, 太大了则由于存在各种偶然性误差, 而可能使用户本身都难以识别。考虑到这个阈值的设定是由误差引起的, 我们可以考虑从数据采集的角度来消除此误差。目前可供考虑的方法有两种, 第一是改进分类器, 利用更多的图片训练出更精确的分类器;第二是对同一个用户, 其当作数据存进数据库的图像尽可能的多, 以包含大部分出现的情况。本文采用的是第二个方法, 这样子既可以消除偶然误差, 同时也能将阈值设置得比较高, 在降低误识率的同时也能提高系统的识别速度。

人脸数据获取与匹配过程总结如下:

(1) 获取:

① 利用摄像头获取人脸信息, 并利用特征点定位算法得到各个坐标;

② 利用式 (1) 和式 (2) 计算得到各相对距离D并存储;

③ 重复以上两步, 得到十组数据。

(2) 匹配:

① 利用摄像头获取人脸信息, 并利用特征点定位算法得到各个坐标;

② 利用式 (1) 和式 (2) 计算得到各相对距离D1;

③ 从数据库中读取数据D与实时得到的距离D1比较, 若大于阈值则匹配成功, 否则与下一组数据比较, 直至最后;

④ 若最后一组数据仍未匹配成功则判定为匹配失败, 该用户不存在。

综合以上各点, 我们可以得出系统总体算法流程图如图3所示。

3 实验结果

为了验证算法的有效性, 分别对人脸检测, 特征提取以及人脸识别进行了仿真, 并与文献[2]所给出的方法做比较。

此次实验中, 我们各用了100张图片训练了各个分类器, 将其应用于人脸检测程序中, 可得实验结果如图4所示。

从实验结果我们可以看出, 对于一幅图片, 我们可以准确地定位出其人脸部分, 并对其五官进行标记, 证明此算法是具有可行性的。

本系统测试图片是对同一用户采用不同时刻获取的10张图片作为数据库录入数据, 接着, 我们启动另一个程序, 即识别程序 (客户端程序) , 其主要功能是通过摄像头实时采集用户信息, 并与数据库中已有数据进行匹配。在进一步的实验当中, 我们随机挑选了二十个人做为实验个体, 比较了一个用户只用一张图片存入数据库中与一个用户用十张不同的图片在不同阈值G下识别时间 (时延) 与误识率, 其比较结果如表1所示。

实验结果表明, 选用10张图片存入数据库中做为数据时, 系统的识别时间要明显比用单一图片的短, 但是在阈值G比较小时, 其误识率则要高一些。随着阈值G的增大, 其识别时间的优势越发明显, 其识别率亦逐渐趋于相同。

最后, 我们各用一百张图片训练出文献[2]所需要的分类器, 仿真得到的结果与本文算法进行比较 (为方便起见, 将本文算法称为新算法, 文献[2]称为原算法) , 得到比较结果如图五所示。从图中可以看出, 在使用相同数量的图片训练分类器的条件下, 新算法利用级联反馈检测人脸和定位特征的准确率要明显高于文献[2], 同时, 新算法通过改进数据采集, 消除偶然误差后识别率亦比原算法有显著提高。

4 结论

本文分析了基于几何特征的人脸识别方法, 选取人脸五官作为特征点, 以各特征点相互之间的距离为依据识别用户身份。经实验证明, 该程序确实可行。在提高程序辨识速度及降低误识率上, 本文利用改进数据采取的方法及数量, 同时提高其判决阈值, 取得了预期中的效果, 证实该改进方法也是可行的, 但仍存在一定的误认率, 而且其识别时间也远未达理想状态, 通过大量文献的结论发现, 要想对任何人脸情况都能达到非常理想的识别效果就目前的理论技术还很难达到。

目前, 人脸识别仍处于实验阶段, 尚未在社会上大量投入使用, 本文作者希望以后可以在这一领域继续深入研究, 探索出更加实际可行的识别方法, 缩短其识别时间的同时也降低其误认率, 并与实际生活中的各种设施相连接, 更加方便日常生活。

摘要：针对当下人脸识别算法复杂、实现困难, 提出了一种基于几何特征的动态人脸识别算法。该算法首先进行人脸特征的定位, 以反馈形式为基础, 提高其准确率。同时对数据采集功能进行了改进。对同一用户采用了不同时刻下的10张图片, 减小特征定位引起的偶然误差, 提高了识别速度的同时也降低了误识率。

关键词：人脸识别,几何特征,动态

参考文献

[1]胡占奇, 刘洪玮.基于小波分析和几何特征的人脸识别方法研究.微型机与应用, 2009;28 (15) :21—24

[2]姜贺.基于几何特征的人脸识别算法的研究.大连:大连理工大学硕士论文, 2008

[3]Cheng Yongqing, Liu Ke, Yang J Y.et al.Human face recognition method based on the statistical model of small sample size.SPIE Pro-ceedings Vol.1607Intelligent Robots and Computer Vision X:Algo-rithms and Techniques Meeting Date:11/10/91, Boston, MA, USA.1992

[4]蔡雪君, 谢松云, 张波.一种改进的利用五官特征的人脸识别方法.计算机仿真, 2009;26 (11) :228—230, 303

[5]孙羽, 董洪斌.人脸图象的模糊识别方法.哈尔滨师范大学自然科学学报, 1997;13 (1) :65—68

[6]严严, 章毓晋.基于视频的人脸识别研究进展.计算机学报, 2009; (5) :878—886

3.动态几何中的函数问题 篇三

1 图形运动中的函数问题

图形运动变化的过程中，探求两个变量之间的函数关系，并根据实际情况确定自变量的取值范围，利用函数关系去解决有关的几何问题.

例1 已知：如图1，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t(s)，解答下列问题：

(1)当t为何值时，△PBQ是直角三角形?

(2)设四边形APQC的面积为y(cm²)，求y与t的关系式；是否存在某一时刻t使四边形APQC的面积是△ABC面积的23?如果存在，求出相应的t值，不存在请说明理由.

(3)设PQ的长为x(cm)，试确定y与x之间的关系式.

图1 图2略解 (1)由题意，得AP=tcm，BQ=tcm，在△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，所以BP=(3-t)cm，在△PBQ中，BP=(3-t)cm. BQ=t，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°，当∠BQP=90°，BQ=12BP时，即t=12(3-t)，t=1(s).

当∠BPQ=90°时，BP=12BQ. 3-t=12t，t=2(s)，故当t=1s或t=2s时，△PBQ是直角三角形.

(2)如图2，过点P作PM⊥BC于点M，y与t的关系式为：y=34t²-334t+934，假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的23，则S四边形APQC=23S△ABC，所以34t²-334t+934=23×12×3²×32，但该方程无实数解. 所以无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的23.

(3)y与x的关系式为：y=312x²+323.

评析 此类问题在试题中出现的较多，结合几何与代数的知识，综合考查利用几何图形的基本性质和列一元一次方程、一元二次方程解决问题，并根据方程根的情况判断t值的存在性，对分类讨论思想和问题转化思想有一定的要求.

例2 有一根直尺，短边长2cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长12cm，如图3，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB部分重合，且点D与点A重合，将直尺沿AB方向平移，如图4，设平移的长度为xcm(0≤x≤10)，直尺和三角形纸板的重叠部分(图中阴影部分)的面积为Scm².

⑴当x=0时(如图3)，S=，当x=10时，(如图3)，S=；

⑵当0

⑶当4

⑷当6

⑸求出当x为何值时，阴影部分S的面积为11cm²?

图3 图4答案 ⑴2cm²，2cm²；⑵S=2x+2；⑶S=-x²+10x-14⑷；S=22-2x；⑸x=5时.

评析 此是以图形的平移为载体，蕴含着分段函数关系，考查学生对图形运动中的变量关系的理解，学会用运动变化的观点和分类讨论考虑问题.

2 坐标平面内图形运动中的函数问题

解决此类问题借用坐标系中的几何图形，由图形中的动点引出两个变量之间的函数关系，进而利用探索的函数关系求图形在符合某个条件时动点的坐标或者解决其它有关问题.

图5例3 如图5，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为(3，0)、(3、4).动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动. 过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连结MP，已知动点运动了x秒.

⑴P点的坐标为(，)；(用含x的代数表示)

⑵设△MPA的面积为y，试求x为何值时y最大，最大是多少?

⑶请你探索，当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形?你发现了几种情况?并求P点坐标.

略解 ⑴P(3-x，43x)；

⑵S△MPA=12MA·h=12(3-x)·43x=23x²+6x，当x=32时，y最大为32.

⑶MA=3-x，要使△MPA为等腰三角形.

则有当PA=PM，BN=x，BN=12MA，所以x=12(3-x)，所以x=1. 当AP=AM时，3-x=x·53，所以x=98，当AP=MA时，3-x=(3-2x)²+(43)²，x=0(舍去)，x=5443，因此有三种情况.

评析 此题的条件既相互关联又相互制约，在解题中“由数思形”“以形促数”可以开辟多角度，多层次的解题思维途径，考查学生的运算能力和对复杂图形的解构能力.

图6例4 如图6所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB=3，AD=5. 若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动. 同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A—B—C—D的路线作匀速运动，当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动.

⑴求P点从A点运动到D点所需的时间；

⑵设P点运动时间为t(秒).

①当t=5时，求出点P的坐标；

②若△OAP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式(并写出相应的自变量t取值范围).

略解 ⑴P点从A点运动到D点所需的时间为(3+5+3)÷1=11(秒)，⑵①当t=5时，P点从A点运动到BC上，此时OA=10，AB+BP=5，所以BP=2.过点P作PE⊥AD于点E，则PE=AB=3，AE=BP=2，所以OE=OA+AE=10+2=12.所以点P的坐标(12，3).

②分三种情况：(Ⅰ)当02.

(Ⅱ)当3

(Ⅲ)当82+11t.综上所述，S与t之间的函数关系式是：当02；当32+11t.

评析 本题是动点动图相结合的动态几何中的函数问题.

此类题目应从相关图形的性质和数量关系分类讨论来解决. 用动态的观点看待分段函数和图形结合问题.

3 函数图象中的图形运动问题

解决此类问题先求函数解析式，然后在函数图象上探求符合几何条件的点. 运用待定系数法和数形结合思想，求出函数的解析式，再利用解析式解决有关几何问题.

图7例5 如图7所示，已知二次函数图象的顶点坐标为C(1，0)，直线y=x+m与该二次函数的图象交于A，B两点，其中A点的坐标为(3，4)，B点在y轴上.

(1)求m的值及这个二次函数的关系式；

(2)P为线段AB上的一个动点(点P与A，B不重合)，过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(3)D为直线AB与这个二次函数的图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形?若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由.

略解 ⑴由题意可知4=3+m，所以m=1. 设函数关系为y=a(x-1)²，所以4=a(3-1)²，所以a=1，所以y=(x-1)²=x²-2x+1.

⑵设P、E纵坐标分别为yP和yE，所以PE=h=yP-yE=(x+1)-(x+1)²=-x²+3x，

即h=-x²+3x(0

⑶存在，四边形DCEP为平行四边形则有PE=DC，因为D在y=x+1上，所以D(1，2)，-x²+3x=2，x1=2，x2=1(舍去).

所以当点P坐标为(2，3)时，四边形DCEP是平行四边形.

评析 此题以二次函数为对象，考查满足条件的二次函数形式，而动点P在一次函数图象上运动，应从相关图象图形的性质、数量关系进行分析，探求新的函数关系式，考查学生综合应用能力.

图8例6 矩形OABC在直角坐标系中的位置如图8所示，A，C两点的坐标分别为A(6，0)，C(0，3)，直线y=34x与BC边相交于点D.

⑴求点D的坐标；

⑵若抛物线y=ax²+bx经过D，A两点，试确定此抛物线的表达式；

⑶P为x轴上方(2)中抛物线上一点，求△POA面积的最大值；

⑷设(2)中抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点Q为对称轴上一动点，以Q、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的Q点的坐标.

答案 ⑴D(4，3)；

⑵y=-38x²+94x；

⑶S△POA的最大值=12×6×278=818；

⑷符合条件的点有两个：

Q1(3，0)、Q2(3，-4).

评析 本题仍以二次函数为载体，把确定解析式作为突破口，其中构造的基本图形也是动态几何图形，解此类问题也应从图形图象的性质入手，探求变量之间的关系，继而探求图形在符合某个条件时动点的坐标.

4.初三几何教案 篇四

第10课时：圆周角

（二）教学目标：

1、本节课使学生在掌握圆周角的定义和圆周角定理的基础上，进一步学习圆周角定理的三个推论；

2、掌握三个推论的内容，并会熟练运用推论

1、推论2证明一些问题．

3、通过推论

1、推论2的教学，培养学生动手操作能力和独立获得知识的能力．

4、结合例2的教学进一步培养学生观察、分析及解决问题的能力及逻辑推理能力． 教学重点：

圆周角定理的三个推论的应用． 教学难点：

理解三个推论的“题设”和“结论”． 教学过程：

一、新课引入：

同学们，上节课我们学习了圆周角的概念及圆周角定理，请两位中等学生回答这两个问题． 接着请同学们看这样一个问题：

已知：如图7-34，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，求证：AE·EB=DE·EC．

师生共同分析：欲证明AE·EB=DE·EC，只有化乘积式为比例

角形相似条件为∠AED=∠CEB．

当学生分析得到∠AED=∠CEB，发现两个三角形相似条件不充分，只有一对角相等，不符合相似三角形的判定，这时教师补充到：如能填加∠A=∠C这个条件，能不能得到这两个三角形相似呢？请同学观察∠A、∠C是什么角呢？这节课我们继续学习“7．5圆周角

（二）”本节课我们就来解决∠A=∠C的问题．教师利用一道题创设问题的情境，有意制造一种悬念，就是为了以需要激发学生的情趣，用需要这个动力源泉激发学生的积极性．

二、新课讲解：

为了把教师的教变成学生自己要学习．学生们带着要解决∠A=∠C的问题，思维处于积极探索状态时，教师及时提出问题：

请同学们画一个圆，以B、C为弧的端点能画多少个圆周角？

这时教师要求学生至少画出三个，要求学生用量角器度量一个这三个角有什么关系？

请三名同学将量得答案公布于众．得到结果都是一致的，三个角均相等．通过度量我们可以知道∠A=∠A1=∠A2，想一想还有没有别的方法来证明这三个角相等呢？

学生分析证明思路，师生共同评价．教师概括总结出方法：要证明∠A=∠A1=∠A2，只要构造圆心角进行过渡即可．

接下来引导学生观察图形；在⊙O中，若 否得到

若 = =

=，能否得到∠C=∠G呢？根据什么？反过来，若∠C=∠G，是呢？学生思考，议论，最后得到结论．，则∠C=∠G，反过来当∠C=∠G，在同圆或等圆中，可得若

=，否则不一定成立．

这时教师要求学生举出反面例子： 若∠C=∠G，则 ≠，从而得到圆周角的又一条性质．

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． 强调：同弧说明是“同一个圆”；

等弧说明是“在同圆或等圆中”．

“同弧”能否改成“同弦”呢？同弦所对的圆周角一定相等吗？教师提出这样的问题后，学生通过争论得到的看法一致．

接下来出示一组练习题：

1．半圆所对的圆心角是多少度？半圆所对的圆周角呢？为什么？ 2．90°的圆周角所对的弧是什么？所对的弦呢？为什么？ 由学生自己证明得到了推论2：

推论2：半圆或（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径． 巩固练习1：判断题：

1．等弧所对的圆周角相等；（）

2．相等的圆周角所对的弧也相等；（）3．90°的角所对的弦是直径；（）4．同弦所对的圆周角相等．（）

这组练习题的目的是强化对圆周角定理的推论

1、推论2的理解，加深对推论

1、推论2的理解，掌握并准确运用．

接下来出示幻灯片：

形呢？

O上．

∴∠ACB=90°，∴△ACB是直角三角形．于是得到推论3．

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 数学表达式：

教师告诉学生这是证明一个三角形是直角三角形的判定定理．

这时教师提醒学生开课时的问题能否解决：学生回答出解决思路和方法，最后教师强调． 接下来教师给出例1

已知：如图7-41，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径． 求证：AB·AC=AE·AD．

由学生分析证明思路，教师把分析过程写在黑板上：

有证明△ABE～△ADC即可．

引导学生总结：在解决圆的有关问题中，常常需要添加辅助线，构成直径上的圆周角． 接下来教师提示，把例1中的AD延长交⊙O于F，求证：BE=FC． 由学生分析，两名同学证明出两种不同方法写在黑板上．（法一）：连结EF．

EF∥BC = BE=FC ∠BAE=∠FAC

=

BE=FC．（法二）：△ABE～△ACF 巩固练习P．95中1、2、3．

三、课堂小结： 本节课知识点：

本节课所学方法：

常用引辅助线的方法①构造直径上的圆周角；②构造同弧所对的圆周角．

四、布置作业

5.几何图形教案 篇五

一、课题：4.1.1 立体图形与平面图形

二、教学目标：

⒈ 知识与能力目标：能从现实物体中抽象得出几何图形，正确区分立体图形与平面图形。⒉ 过程与方法目标：发展空间观念，培养提高观察、分析、抽象、概括的能力。⒊ 情感与态度目标：丰富学生对几何图形的概念，激发学生兴趣。

三、教学重难点

1.重点：立体图形和平面图形的概念。2.难点：从实物的外形中抽象出几何图形。

四、教学方法：启发式教学法

五、课型：概念新授课

六、教学过程

1、创设情境，引入新知

同学们，前几章我们学习了“数与代数”的相关知识，今天我们就进入“空间几何”的学习。利用多媒体，播放08年奥运水立方图形，学生认真观看。提问：你能从中找到一些你熟悉的图形吗? 播放一些图片，让学生了解图形世界是多姿多彩的。并通过西瓜和篮球的对比图，明确物体的形状、大小和位置关系是几何研究的内容。2识别图形，直观感知

（1）从整体上看，它的形状是______ ；看不同的侧面，得到的是______

或

______ ；看棱得到的是 ______ ；看顶点得到的是______.（2）类似地观察罐头、足球或篮球的外形，可以得圆柱、球、圆等.长方体、圆柱、球、长（正）方形、圆、线段等，以及小学学过的三角形、四边形等，都是从物体外形中得出的.（3）给出几何图形概念：从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。（4）播放图片，引导学生从实物的外形中抽象出几何图形。（5）说一说下面这些几何图形有什么共同特点？

立体图形概念：有些几何图形的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形． 出示图片，让学生思考下列实物的形状分别对应给出的哪个立体图形？ 3.类比探究，发现新知

生活中除了立体图形，还有平面图形，出示图片。提出问题：下面各图中包含哪些简单的平面图形？

类比立体图形的概念生成，让学生小组合作自主探究平面图形的概念。讲解常见的平面图形：线段、角、长方形、正方形、三角形、圆、梯形等 4.知识应用，巩固新知（1）如下图所示，这些物体所对应的图形分别是什么?并对它们进行分类。

（2）图中实物的形状对应哪些立体图形？把相应的实物与图形用线连接起来。

（3）.课本116页的练习

.如图，说出下图中的一些物体的形状所对应的立体图形？

图中的各立体图形的表面包含哪些平面图形?试指出这些平面图形在立体图形中的位置.通过练习，强调立体图形与平面图形的联系：虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但它们是相互联系的。立体图形中某些部分是平面图形，例如长方体的侧面是长方形。5.复习小结，深化新知

提出问题：这节课我们学习了哪些知识？学了这些知识，同学们觉得有哪些应用？ 学生讨论后教师总结 6.作业布置

6.解析几何教案 篇六

教学目的：

1、理解矢量的有关概念，掌握矢量线性运算的法则及其运算性质;

2、理解矢量的乘法运算的意义，熟悉它们的几何性质，并掌握它们的运算规律;

3、利用矢量建立坐标系概念，并给出矢量线性运算和乘法运算的坐标表示;

4、能熟练地进行矢量的各种运算，并能利用矢量来解决一些几何问题。教学重点：矢量的概念和矢量的数性积，矢性积，混合积。教学难点：矢量数性积，矢性积与混合积的几何意义。教学时数：18学时

§1.1~§1.3

矢量的概念,矢量的加法,数量乘矢量

由于这部分内容已下放到高中教材中,学生基本上已掌握,因此我们这里就不作重点讲解,只对某些基本知识作简单复习.§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解

教学要求:掌握矢量线性组合的定义,共线矢量,平面矢量,空间矢量用其基底表示的方法,线性相关,线性无关的概念以及相关的重要定理.前面已学过矢量的加法和数与矢量的乘法,它们称为矢量的线性运算,且我们知道有限个矢量通过线性计算,它的结果仍然是一个矢量,下面首先给出 1线性组合

定义1.4.1 由矢量a1,a2,...,an与数1,2,...,n所组成的矢量a1a12a2...nan

称为矢量a1,a2,...,an的线性组合.注:线性组合也可说成线性表示,线性分解,a也称为a的线性组合.2 线性关系

(1)线性相关和无关性：(定义1.4.2)对于n(n1)个矢量a1,a2,...,an,如果存在不全为零的n个

.nan0

(1.4.1)数1,2,...,n,使得：

1a12a2..那么n个矢量a1,a2,...,an叫做线性相关。a1,a2,...,an

推论:一个矢量a线性相关的充要条件为a0

a1,a2,...,an线性无关, 当且仅当：

1a12a2...nan0时12...n0

例：判断下列向量组是相关还是无关？

(2)一些基本性质:

定理1.4.1 在n2时,矢量a1,a2,...,an线性相关的充要条件是其中有一个矢量是其余矢量的线性组合.证明：

定理1.4.2 如果一组矢量中的一部分矢量线性相关,那么这一组矢量就线性相关.推论:一组矢量如果含有零矢量,那么这组矢量必线性相关.定理1.4.3 矢量a1,a2,...,an线性相关, a1,a2,...,an1线性无关，则an可写成

a1,a2,...,an1的线性组合。

即an1a1n1an1，且系数由a1,a2,...,an唯一确定。

3线性组合及关系的几何意义：

定理1.4.4 矢量r与矢量e共线的充要条件r和e线性相关。

推论：如果矢量e0,那么r可写成e的线性组合,即

rxe

(1.4-2)并且系数x被r,e唯一确定

定理1.4.5三矢量共面的充要条件是它们线性相关

证明：

若r与e1,e2共面

若e1//e2 由定理1.4.4以及定理1.4.2结论显然。

若e1,e2不平行如图。

反过来若r与e1,e2线性相关

推论：如果矢量e1,e2不共线,那么矢量r与e1,e2共面的充要条件是r可分解成e1,e2的线性组合,即 rxe1ye

2(1.4-3)并且系数x,y被r,e1,e2唯一确定 这里e1,e2称为共面(平面)矢量的基底.定理1.4.6

空间任何四个或以上矢量总是线性相关

推论：如果矢量e1,e2,e3不共面,那么空间任意矢量r可由e1,e2,e3线性表示或r可分解成e1,e2,e3的线性组合,即 rxe2ye2ze(1.4-3)并且系数x,y,z被e1,e2,e3,r唯一确定 这里e1,e2,e3称为空间矢量的基底.总结:这一节我们应重点把握好矢量的几个线性分解式和线性相关,线性无关的应用定理 例题见书上

课堂练习：P24

7，8，9 作业:P24,10题

1.5 标架与坐标

教学要求:了解各种标架的定义,掌握坐标的定义,掌握坐标在标架中各个卦线的符号,掌握矢量的坐标运算.引言

前面我们已知道空间中任何矢量可由三个不共面的矢量来线性表示,于是在空间中任取一点O,再引出三个不共面的矢量e1,e2,e3,那么空间中任何矢量r可由e1,e2,e3线性表示,即

rxe1ye2ze3

（1）

并且这里的x,y,z是唯一的一组有序实数.我们把0,e1,e2,e3的集合称为仿射标架,记作0;e1,e2,e3的坐标。标架分为右手系和左手系标架.如果eiej,且eii，j=1…3 称0;e1,e2,e3右手直角坐标系.例： 点关于坐标面、坐标轴、原点的对称点，设P(x,y,z)

关于0点的对称点为x,y,z

关于xoy面的对称点为x,y,z

关于x轴的对称点为x,y,z

1矢量的基本坐标运算

(1)矢量的坐标分量等于其终点的坐标减去其始点的坐标。., x,y,z称为向量r在该标架下

为直角标架，常用0;i,j,k表示空间



 

特别OP称为点P的径矢 P1x1,y1,z1,P2x2,y2,z2，则P1P2x2x1,y2y1,z2z1

(2)aX1,Y1,Z1(3)设aX,Y,Z,bX2,Y2,Z2，则abX1，则aX,Y,Z

X2,Y1Y2,Z1Z2 例：用坐标方法证明：四面体对边中点连线交于一点且互相平分

2共线和共面向量的坐标性质

(1)

aX1,Y1,Z1,bX2,Y2,Z2共线X1X2Y1Y2Z1Z

2当分母为0时，约定分子也为0 推论： 三个点A（x1,y1,z1），B（x2,y2,z2）和C（x3,y3,z3）共线的充要条件是

AB//ACx2x1x3x1y2y1y3y1z2z1z3z

1(2)三个非零矢量aX1,Y1,Z1,bX2,Y2,Z2和cX3,Y3,Z3共面的充要条件是

X1XX23Y1Y2Y3Z1Z20

Z3证明：

复习：平面向量aX1,Y1,bX2,Y2共线 X1X2X1Y1Y2Y1Y2Y30

Z1Z2称为三向量张成的有向体积

Z3四维向量共空间是否可以类似讨论？

事实上X2X3推论：四个点Aixi,yi,zii1,2,3,4共面的充要条件是

x2x1x3x1x4x1y2y1y3y1y4y1z2z1z3z10

z4z1x1x2x1x3x1x4x1y1y2y1y3y1y4y1z1z2z1z3z1z4z110000

或

x1x2x3x4y1y2y3y4z1z2z3z411110

(1.5-7’)3定比分点

对于有向P1P2(P1P2)线段，如果点P满足P1PPP2，则称点P为P1P2的分点（定比分点）定理1.5.6 设有向线段P1P2的始点P1x1,y1,z1，终点为P2x2,y2,z2,则分P1P2成定比1的分点P的坐标是

x1x21y1y21z1z21x,y,z

(1.5-8)

推论：设Pixi,yi,zii1,2，那么线段P1P2的中点坐标是 xx1x22,yy1y22,zz1z22

(1.5-9)总结：本节重点掌握用坐标进行矢量的运算，三矢量共面，两矢量共线的条件，有向线段的分点的坐标公式，应注意点和矢量坐标的区别和联系。课堂练习：P33，4，10题 作业：P34，7(2),8(2)题 例题见书上

1.6

矢量在轴上的射影

教学要求：了解射影的定义，掌握射影的公式。1 基本概念

① 点在有向直线l上的射影定义：设有空间中的一点和轴l，过A作垂直轴l的平面交l与A点，则称A为A在轴l上的射影。② 矢量在有向直线上的射影矢量及射影：设A,B两点在轴l上的射影分别为A,B，则矢量AB称为AB在l上的射影矢量，记为射影矢量lAB。

规定l方向为正向，称线段AB的有向长度为AB在l上的射影，记为射影lAB。或射影eAB，显然上述射影满足：ABxe

e为l方向的单位矢量

③ 矢量在矢量上的射影：设e是向量a方向的单位矢量，向量bxe，称x 为b在a上的射影记为射影ab 2 两向量的角

规定两矢量夹角在0到之间，即0(a,b)，若a,b同向a,b0，a,b反向，则a,b，在平面上，还可以定义方向角 下面给出射影公式。

定理1.6.1 矢量AB在轴l上的射影等于矢量的模乘以轴与该矢量的夹角的余弦： 射影lABABcos, =(l,AB).(1.6-2)

注：定理1.6.2和1.6.3表明矢量的射影满足加法和数乘两种运算。总结：本节内容相对简单，重点掌握矢量在轴l上的射影的计算公式。作业：P38，1题

1.7

两矢量的数性积

教学要求：掌握两矢量数性积的定义，两矢量垂直的充要条件，数性积的运算律，利用矢量的坐标（分量）表示数性积，两点距离公式，方向余弦，两矢量的夹角余弦。0引言

前面我们已学过矢量的加法和数乘运算，这两种运算的结果仍然是矢量，这一节我们将进行两矢量的一种乘积运算，这种运算的结果是一个数，一个非常典型的例子是物理学上一个外力，经过一定的位移所作的功Wfscos 定义：两个矢量a和b的模和它们夹角的余弦的乘积叫做矢量a和b的数性积（也称内积），记或，即ab或ab

ababcosa,b

注：数性积是一个数，零矢量与任何矢量的数性积为0。由上一节射影公式，ab=a射影ab=b射影ba

若be，则，ae射影ea

2若ab，则aaa，记作a，为a的数量平方。2下面给出

定理1.7.1 两矢量a与b互相垂直的充要条件是ab0 该定理有许多应用，值得重视。

定理1.7.2 矢量的数性积满足下面的运算规律 1）交换律

abba

2）关于数因子的结合律

(a)b(ab)a(b)3）分配律

(ab)cacbc 推论：(ab)c(ac)(bc)

我们在这里指出，矢量的数性积运算可以像数的乘法那样进行。现在给出数性积的坐标表示。

定理1.7.3 设aX1iY1jZ1k,bX2iY2jZ2k 那么abX1X2Y1Y2Z1Z2

(1.7-6)推论：设aXiYjZk，那么 下面给出几个重要的公式 1）两点距离公式

定理1.7.4 设aXiYjZk，那么 aa2X2Y2Z2

(1.7-8)

定理1.7.5 空间两点P1X1,Y1,Z1,P2X2,Y2,Z2间的距离是 d(x2x1)(y2y1)(z2z1)

(1.7-9)2222）矢量的方向余弦：矢量与坐标轴所成的角叫方向角，而方向角的余弦叫矢量的方向余弦，我们有 定理1.7.6 非零矢量aXiYjZk的方向余弦是

XaYaZaXXXX2cosα=YY2Z2

cosβ=2YZ2Z2

(1.7-10)cosγ=2Y2Z2

且cos2α+cos2β+cos2γ=1

(1.7-11)这里α,β,γ分别为矢量a与x轴，y轴，z轴的交角，即矢量的三个方向角。特别地，a0={cosα,cosβ,cosγ}

(1.7-12)3）两矢量的交角

定理1.7.7 设空间中两个非零矢量a{X1,Y1,Z1}和b{X2,Y2,Z2}，那么它们夹角的余弦是 cos(a,b)ababXX1X2Y1Y2Z1Z221Y1Z221X22Y22Z22

(1.7-13)推论：矢量a{X1,Y1,Z1}和b{X2,Y2,Z2}相垂直的充要条件是

X1X2Y1Y2Z1Z20

(1.7-14)平面的两矢量有类似的结论。

总结：这一节重点掌握数性积的定义，利用分量表示数性积及其应用。作业：P48，5题 例题见书上。

1.8 两矢量的矢性积

教学要求：掌握矢性积的定义，几何意义，运算律，坐标表示。引言

前面已学过数性积，它表示一个数，这一节我们将引入两矢量的饿乘积运算的另一种形式，它的结果是一个新的矢量。首先看一下它的定义：

定义1.8.1 两矢量a与b的矢性积（也称外积）是一个矢量，记做ab，它的模是 ababsin(a,b)，(1.8-1)它的方向与a,b都垂直，且按a,b, ab的顺序构成右手标架{O;a,b, ab} 由平行四边形面积公式，我们有

定理1.8.1 两不共线矢量a与b的矢性积的模等于以a与b为边所构成的平行四边形的面积。这个定理刻画了矢性积的饿几何意义。定理1.8.2 两矢量共线的充要条件是ab=0 该定理的应用也相当广泛，需重视。

定理1.8.3 矢性积是反交换的，即

ab=-(ba)

(1.8-2)定理1.8.4 矢性积满足关于数因子的结合律，即

(ab)(a)ba(b)

(1.8-3)推论 设,为任意实数，那么

(a)(b)()(ab)

(1.8-4)

定理1.8.5 矢性积满足分配律，即

(ab)cacbc

(1.8-5)

推论

c(ab)cacb

(1.8-6)值得注意的是，矢性积在运算过程中，如果顺序发生改变，一定要变号 下面用分量来表示矢性积

定理1.8.6 如果aX1iY1jZ1k,bX2iY2jZ2k，那么

Y1Y2iabZ1Z2ijY1Y2Z1Z2kX1X2jX1X2Y1Y2k

(1.8-7)或abX1X2Z1

(1.8-8)Z2总结：本节重点掌握矢性积的定义，几何意义和分量表示形式。作业：P54，5题 例题见书上。

1.9 三矢量的混合积

教学要求：掌握混合积的定义，几何含义，三矢量共面的充要条件，分量表示。引言

我们在前面两节学习的是两个矢量的乘积运算，但三个矢量的乘积运算还未涉及，总的来说有下面几种情况，矢量a,b作数性积再与c作积，即(ab)c，此时结论为与c共线的矢量，没必要讨论，另外一种是，矢量a,b作矢量积再与c作数性积，即(ab)c，此时为一个数，还有一种是，a,b作矢性积再与c作矢性积，即(ab)c，我们在这一节只讨论第二种情况，首先给出

定义1.9.1 给定空间的三个矢量a,b,c,如果先做前两个矢量a与b的矢性积，再做所得矢量与第三个矢量c的数性积，最后所得的这个数叫三矢量a,b,c的混合积，记做(ab)c，或(a,b,c)，或(abc)定理1.9.1 三个不共面矢量a,b,c的混合积的绝对值等于以a,b,c为棱的平面六面体的体积V，并且当a,b,c构成右手系时混合积是正数；当a,b,c构成左手系时，混合积是负数，也就是有(abc)=εV

(1.9-1)当a,b,c是右手系时ε=1，反之ε=-1 定理1.9.2 三矢量a,b,c共面的充要条件是(a,b,c)=0 定理1.9.3 轮换混合积的三个因子，并不改变它的值，对调任何两个因子要改变符号，即(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)

(1.9-2)推论

(ab)ca(bc)

(1.9-3)下面用分量表示矢性积

定理1.9.4 如果aX1iY1jZ1k,bX2iY2jZ2k,cX3iY3jZ3k，则

X1(abc)X2X3Y1Y2Y3Z1Z2

(1.9-4)Z3三矢量a,b,c共面的充要条件是 X1X2X3Y1Y2Y3Z1Z20 Z3总结：本节重点掌握混合积的定义，几何意义，三矢量共面的充要条件，混合积的特点，分量表示。

作业：P60，5题

例题参见书上。

第二章

轨迹与方程

教学目的：

1、理解曲面与空间曲线方程的意义；

2、掌握求轨迹方程（矢量式与坐标式参数方程及普通方程）的方法；

3、会判断已知方程所表示的轨迹名称。教学重点：曲面和空间曲线的方程求法。

教学难点：判断已知的参数方程或普通方程所表示的图形。教学时数：6学时

2.1平面曲线的方程

这一节的内容不在课堂上讲，由学生在课后自学，因为后面要讲的空间曲线的方程包含了这一节内容。

2.2 曲面的方程

教学要求：掌握曲面方程的定义，求曲面方程的方法，曲面参数方程的定义、形式。引言

曲面方程的意义与平面曲线一样，即点所满足的式子，曲面方程通常由下列形式来表示： F(x,y,z)=0或z=f(x,y)求曲面方程的方法通常是：利用轨迹的性质，列出曲面上的点所满足的条件建立等式，再把坐标代入化简即可得曲面方程，举例如书上 曲面的矢量式参数方程为

r(u.v)x(u,v)e1y(u,v)e2z(u,v)e3

其中u,v(aub,cvd)为参数，e1,e2,e3为空间矢量的基底。曲面的坐标式参数方程为 xx(u,v)yy(u,v)zz(u,v)这里u,v同上。

总结：这一节重点掌握曲面方程的形式，参数方程的形式。作业：P88，5题 例题见书上

2.3 母线平行于坐标轴的柱面方程

这类方程比较特殊，分别有下面三种形式 F(x,y)=0，母线平行于z轴 F(x,z)=0，母线平行于y轴 F(y,z)=0，母线平行于x轴 例如：xya, 圆柱面（轴为z轴）2.4 空间曲线的方程

教学要求：掌握空间曲线方程的定义，了解它的求法，掌握曲线射影柱面的求法。引言

空间曲线方程的意义与曲面一样，我们把空间曲线看作是两个曲面的交线，于是方程为 222F1(x,y,z)0

(2.4-1)L:F(x,y,z)02具体举例见书上。

对于空间曲线L(2.4-1)的射影柱面，就是以L为准线，作母线分别平行于三坐标的柱面，在代数上就是在方程(2.4-1)中分别消去三个坐标x,y,z，就可得L对于yoz面，xoz面，xoy面三坐标面的射影柱面 例子见书上

作业：P97，3题，8题

第三章

平面与空间直线 教学目的：

1、深刻理解在空间直角坐标系下平面方程是一个关于x,y,z的三元一次方程；反过来任何一个关于x,y,z的三元一次方程都表示一个平面。直线可以看成两个平面的交线，它可以用两个相交平面的方程构成的方程组来表示；

2、掌握平面与空间直线的各种形式的方程，明确方程中常数（参数）的几何意义，能根据决定平面或决定直线的各种导出它们的方程，并熟悉平面方程的各种形式的互化与直线各种方程形式的互化；

3、能熟练地根据平面和直线的方程以及点的坐标判别有关点、平面、直线之间的位置关系与计算它们之间的距离和交角。

教学重点：平面与空间直线的方程求法及点、平面、直线之间的相关位置。教学难点：平面与空间直线各种形式方程的互化。教学时数：10学时 3.1平面的方程

教学要求：掌握平面方程的几种形式，包括参数方程，点位式方程，截距式方程，法式方程以及一般方程，平面的一般方程的法式化。

引言

我们知道，平面可以由一个点和不共线的两方向矢量决定，于是可得如下的矢量式参数方程。

rr0a

其中,为参数，a,b为两不共线矢量，r0为定值

(3.1-1)变形又可得坐标式参数方程

xx0x1x2yy0y1y2

(3.1-2)zzzz012消参可得点位式方程 xx0X1X2yy0Y1Y2zz0Z1Z20

(3.1-4)或(rr0,a,b)0，共面三矢量的条件

(3.1-3)平面也可由三点决定，于是有下面的三点式方程

rr1(r2r1)(r3r1)

(3.1-5)xx1(x2x1)(xx1)yy1u(y2y1)v(y3y1)

(3.1-6)zz1u(z2z1)v(z3z1)(rr1,r2r1,r3r1)0

(3.1-7)xx1x2xx3x1xx1x2x3xayy1y2y1y3y1zz1z2z3zczz1z2z10

(3.8-8)z3z1yy1yy3yb11110

(3.8-8)特别地，我们还有截距式方程

1

abc0

(3.1-9)平面的一般方程是下面的三元一次方程

AxByCzD0

(3.1-10)其中，A,B,C不全为0 对于一些特殊情形，必须非常熟悉。

对于平面，还可由一点和垂直于已知非0矢量的矢量决定,平面的方程为下面的点法式方程

n(rr0)0

(3.1-11)即

A(xx0)B(yy0)C(zz0)0

(3.1-12)如果取单位法矢量ncos,cos,cos0，则

nrP0

(3.1-13)0即

xcosycoszcosP

(3.1-14)这里的P表示原点到平面的距离P0 对于平面的一般方程(3.1-10)，用1ABC222

可以法式化，符号的造取须使P0 具体的一些例子参见书上。

总结：本节重点掌握平面的几个方程形式和法式化。作业：P109，5，6，7题 3.2平面与点的相关位置 3.3两平面的相关位置

教学要求：掌握离差的定义，点与平面的距离公式，两平面位置关系的判定条件。引言

点与平面只有两种位置关系，点在平面上即点满足平面方程，由前一节可得，于是我们只考虑点在平面外的情形，离差的定义为 =射影n0QM0

(3.2-1)以及

n0r0Px

(3.2-2,3)0cosy

0cosz0cosP

点M0(x0,y0,z0)与平面AxByCzD0间的距离为

dAx0By0Cz0D

(3.2-4)A2B2

C2 两平面的关系有相交，平行，重合，具体的条件决定于下述方程组 A1xB1yC1zD10,(1)A2xB2yC2zD 20,(2)的解的情况。

平面(1)与(2)相交的充要条件是

A1:B1:C1A2:B2:C2

(3.3-1)平行的充要条件是 A1B11A

(3.3-2)2BC12CD2D 2重合的充要条件是 A1AB1C11

(3.3-3)2B2CD2D

2两平面夹角的余弦

cos(A1A2B1B2C1C21,2)cosn1n2n1n2A2B2222211C1A2B2C2由此可得，两平面垂直的充要条件是

A1A2B1B2C1C20

(3.3-6)总结：这两节重点掌握点到平面的距离公式，两平面位置关系的判定条件。(3.3-5)

作业：P113，10题，P115，6题

3.4 空间直线的方程

教学要求：掌握直线的几种方程形式，包括参数方程，标准方程，两点式方程，一般方程，射影方程。引言

我们知道，直线可以由一个点和一个方向矢量决定，于是得到直线的参数方程。

rr0t

(3.4-1)或

xx0tXyy0tY

zz0tZ再消去参数t，即得直线的标准方程 xx0yy0zz0XYZ

直线的两点式方程为 xx1y1x

2xyzz11y2y1z

2z1如果取V0cos,cos,cos，则

trr0MM0

参数t的绝对值是l上两点M0与M间的距离 用X:Y:Z表示方向数

直线的一般方程是下面的三元一次方程组

A1xB1yC1zD10xB

A22yC2zD20其中A1:B1:C1A2:B2:C2 它的射影式方程为

xazc

ybzd

其中

aXZ,bYZ,cx0XZz0,dy0YZz0

由(3.4-11)可得直线的标准方程

(3.4-2)

(3.4-3)

(3.4-6)

(3.4-11)(3.3-12)

xx0B1B2C1C2yy0C1C2A1A2zz0A1A2B1B2

其中

B1x0B2A1A2D1D2B1B2,y0D1D2A1A2A1A2B1B2,z01 另外，直线的方向矢量v可取n1n2

具体的例题见书上

总结：本节重点掌握直线的方程形式及求解方法。作业：P123，4题

3.5 直线与平面的相关位置 3.6空间两直线的相关位置 3.7 空间直线与点的相关位置 3.8平面束

教学要求：掌握直线与平面位置关系的判定，两直线相关位置的判定，两直线夹角的余弦，两异面直线间的距离，公垂线方程，点到直线的距离公式，有轴平面束，平行平面束的方程及其应用。引言

直线与平面有相交，平行，直线在平面上三种关系。判定要求是：

(1)相交AXBYCZ0(2)平行AXBYCZ0

(3)直线在平面上AXBYCZ0，Ax0By0Cz0D0

xx0Xyy0Yzz0Z其中l:,平面:AxByCzD0

直线L与平面的交角为0到nvnv2之间，有

sinAxByCzABCyy1Y1yy2Y2222X2Y2Z2

(3.5-4)直线L1:xx1X1xx2X2zz1Z1

直线L2:zz2Z2

相关位置的充要条件是 异面: 0x2x1X1X202 相交: y2y1Y1Y2z2z1Z1Z20

(3.6-1)0,X1:Y1:Z1X2:Y2:Z2

(3.6-2)30平行: 0,X1:Y1:Z1X2:Y2:Z2(x2x1):(y2y1):(z2z1)

重合: X1:Y1:Z1X2:Y2:Z2(x2x1):(y2y1):(z2z1)

空间两直线的夹角余弦 cos(1X2Y1Y2Z1Z21,2)X

X222

1Y1Z1X22Y22Z22垂直的充要条件: X1X2Y1Y2Z1Z2

异面直线1与2间的距离为

x1x2y1y2z1z2X1Y1Z1dX2Y2Z2Y222

1Z1YZ1X1X1Y12Z2Z2X2X2Y2公垂线0的方程为

xxyy11zz1X1Y1Z10XYZ

xx2yy2zz

2X2Y2Z20XYZ其中XY1Z111Y1YYZ1X2Z,2Z2X,ZX2X2Y

2(3.6-3)

(3.6-4)

(3.6-5)

(3.6-6)

(3.6-7)

(3.6-8)

点到直线的距离公式为

vM1Mdvy0y10z0z1Z2Yz0z1ZX2x0x1X2x0x1Xy0y1Y2Y2Z2

(3.7-1)以直线L为轴的有轴平面束的方程是

(A1xB1yC1zD1)m(A2xB2yC2zD2)0，(3.8-1)由平面AxByCzD0决定的平行平面束的方程是

AxByCz0,为任意实数

(3.8-2)相关例题参见教材

总结：重点掌握直线与平面，直线与直线的判定条件，点到直线的距离公式，平面束的方程以及应用。

7.动态几何教案 篇七

根据图示, 由平行线的比例关系, 学生不难解答出函数关系式是:, 并求出函数最大值为:当x=4时, ymax=10。

但接下来有同学提出这一问题:以点P为顶点的矩形不一定如图示位置, 如果过点P作平行于AB且与y轴相交的平行线, 然后过点P与这一交点向AB作垂线段, 也可以作出内接矩形。这时会是什么样的呢?

这一问题立即引起全班学生的注意, 也引起了笔者的兴趣。于是, 笔者决定用超级画板来制作这一新的情况。课件制作完毕后, 笔者和同学们发现一个新大陆:这两个矩形的面积从直觉上看似乎是一样的。于是我动用测量菜单测量了这两个矩形的面积, 结果引起一片哗然:这两个矩形的面积在点P移动过程中竟然保持一致。于是同学们很容易猜想到:这两种情境下的函数关系式应该是一样的。

有同学通过数学推理计算出第二种情况下的关系式同样是, 但是计算过程复杂。但是笔者想, 既然它们的面积是一样的, 那么是否可以通过几何法来先证明这两个矩形的面积相等, 从而不通过计算得出第二种情况下的函数关系式呢?笔者把这个问题交给学生来思考。很快, 学生通过添加辅助线, 验证了这一结论, 辅助线添加如图2所示。

如图2, 两矩形中△PCM重合, △PCE≌△G AF, △PQM≌△PCM≌△CM N。因此, 欲证两矩形面积相等, 需证S矩形O Q M D=S平行四边形G M N A, 即O Q×O D=G M×G F (O D=PC=G A) <=DM×AG=G M×G F<=△DM G∽△F G A, 得证。

对于这一发现, 要归功于超级画板对动态作图以及动态中保持数学关系的支持。

当我们掌握了这一结论后, 在全体同学的努力下, 笔者又和同学们一起完成了这一课件的制作, 效果如图3～5所示 (原课件见h ttp://www.nettim e.net.cn/itedu/new s/2008117/20081171214544350.h tm) 。

单击“动画”, 演示其中一种内接矩形的位置变化情况以及函数曲线的同步变化;单击“切换多边形”演示另一种位置关系下的面积变化与曲线变化;单击“同台演出”, 同时演示两种位置关系下的矩形面积与曲线变化;单击“最高点”显示矩形面积极大值时的情境。

这样, 此题的价值就不仅是一道综合数学题, 它的真正意义在于发现、在于创新学习;不论是从学生的知识掌握还是从学生的思维方式, 其价值都不可估量, 它直接影响了学生的学习手段与方式的变化。

8.解读高考中的空间动态几何问题 篇八

1、曲面上的动态问题——短程线问题

短程线问题在高考中比较常见，在求折线长最小或求几何体面上线段长的最小值时，常以直代曲，将立体图形展开成平面图形，化空间问题为平面问题。如：

例1（05年江西理科15題）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BC=，BB1=2，，E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为 。

简析：将上底面沿A1B1与面A1B展平，求出线段EF长度，将面BC1沿BB1与面A1B展平，求出线段EF的长，比较两个值中较小的为最短路径。本题容易不作比较直接给出错误的答案。

同类题比较：06年江西文科15题，06年江西理科15题等，可采用同样的方法来解决。

2、平面图形的翻折问题

将平面图形翻折成空间图形，既是实际应用问题的需要，又具有考察学生空间想象能力、逻辑推理、数学实践、综合分析问题能力的功能，因此，它是高考中的一种常见题型。如：

例2（08年重庆理科19题）如图，在中，B=，AC=，D、E两点分别在AB、AC上，使，DE=3，现将沿DE折成直二角角，求：

（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；

（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函数表示）。

求解策略：此类问题总的难度并不太大，最关键的是要了解翻折前后的点、线、面之间的位置关系的变化情况。应注意以下几点：（1）翻折后，若线与线同在一个平面内，则它们的位置关系不发生任何变化；（2）若翻折后，线与线由同在一个平面转为不在同一平面内，则其位置关系应注意变化的结果是什么。

同类题比较：07年湖南理科18题，06年辽宁理科18题，山东理科12题，05年湖南理科17题，江西理科9题，浙江理科12题等。

3、几何体在平面上的动态投影及三视图问题

在运动变化中有一些特殊（或极限）位置，从特殊（或极限）位置着手，再动态观察其变化过程，将直觉猜想与逻辑推理结合，可快捷流畅解决问题，体现一般与特殊的辩证关系。在新课程中引入三视图的内容后，以三视图为考点的题也会越来越常见。如：

例3（08年理科海南12题）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则+的最大值为（ ）

A、 B、 C、4 D、

简析：本题考查三视图的概念及平均值不等式。设棱为AB，取A（0，0，0），B（，，），则，正视图中投影长为，，同理，，可得，，，所以+，故选C。

例4（02年北京理科15题）关于直角AOB在定平面α内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角。其中正确判断的序号是 _______（注：把你认为是正确判断的序号都填上）

简析：这是考查空间想象能力的一个优美试题，“把空间想象能力的考查与逻辑推理、模型化方法相结合，体现了运动变化的解题方法”（北京卷命题者原话）。

例5（06年浙江理科14题）正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 。

简析：本题考查正四面体、点在平面内的射影、线面关系等基础知识，空间想象能力和推理能力。由已知得当CD⊥α时，所求面积最小为，当CD//α时，所求面积最大为。

演变题：平行光线照到一个棱长为1的正方体上，在正方体后面的平面上的投影的面积为S，则S的最大值为___________。

简析：如图，正方体的影子由三个平行四边形（有的平行四边形可能因光些的某些照射方向而蜕化成线段）组成，其面积等于2△A1BC1，当正方体的截面A1BC1与照射方向垂直时，正方体的投影的面积最大，易知此最大值为。

4、以探索为主的动态几何题

探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。

（1）条件追溯型：这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件，有时运算量会很大，这时也需通过判断后大胆猜测，常见的猜想有：点的位置常为中点或三等分点，比值常为1或2等。

在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。

例6（05年浙江理科18题）如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC。

（Ⅱ）当取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？

简析：由已知及待求（证）进行合理的空间想象，是解决问题的关键，必要时可逆向分析倒推，寻找求解问题的切入点。

nlc202309020506

法一：OF⊥平面PBC，∵D是PC的中点，若点F是△ABC的重心，则B、F、D三点共线，∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD。∵OB⊥PC，∴PC⊥BD，∴PB=BC，即=1。

反之，当=1时，三棱锥O-PBC为正三棱锥，所以O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心。

法二：利用重心分高线的比为1：2，结合方程思想可求解。

法三：建立空间坐标系利用空间向量来解。

同类题比较：（1）08年浙江理科18题：如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=，AD=，EF=2。

（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为？

该题难度不大，解题过程略过不提。

（2）2000年全国理科18题：如图，已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形，且==。

（III）当的值为多少时，能使平面？请给出证明。

简析：本题参考答案的两种解法都是先猜想出比值为1，然后再证明线面垂直，该题若从结论出发，执果索因，也可以做出来，但就不一定合适了，因为运算量是相当的大。

（2）存在判断型

这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象（数值、图形、函数等）是否存在或某一结论是否成立。解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在（或结论成立）或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论。其中反证法在解题中起着重要的作用。如：

例7（08年福建理科18题）如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点。

（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。

简析：假设Q点存在，设QD，利用体积自等法求出，所以存在，且。

同类题比较：06年湖北理科18题，04年湖南理科19题。“存在”就是有，证明有或者可以找出一个也行。“不存在”就是没有，找不到。这类问题常用反证法加以认证。“是否存在”的问题，结论有两种：如果存在，找出一个来；如果不存在，需说明理由。这类问题常用“肯定顺推”。

（3）条件重组型

这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题。此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要要联想等手段。一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求。应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力。

例8（07年上海理科10题）平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合。已知两个相交平面与两直线，又知在内的射影为，在内的射影为。试写出与满足的条件，使之一定能成为是异面直线的充分条件 。

简析：（1）考虑到两条异面直线在同一平面内的射影不可能是两条重合直线，这样，两对射影的位置应有三种可能，平行与平行，相交与相交，平行与相交。那么，哪个位置关系能推出与异面呢？现逐一验证，可排除平行与平行及相交与相交，故正确答案应为一对平行，一对相交。

（2）记所求充分条件为A，则原命题A=>与异面，现考查它的逆否命题：与共面=>┐A。若与平行，则在两个相交平面内的射影平行或重合；若与相交，则在两个相交平面内的射影相交或重合，故所求充分条件A应为一对相交，一对平行。

本题立意深远、编制新颖，对空间想象、逻辑推理及分析能力都提出了较高要求，具有明显的区分功能。

5、与其它学科交汇的空间动态几何题

（1）活跃在空间图形中的轨迹问题

在知识网络交汇点处设计试题是这几年高考命题改革的一大趋势。而以空间图形为素材的轨迹问题，由于具有其独特的新颖性、综合性与交汇性，创新能力与数学思想方法要求高，所以倍受命题者的亲睐。例如：

例9（08年浙江理科8题）如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得△ABP的面积为定值，則动点P的轨迹是（）

（A）圆（B）椭圆（C）一条直线（D）两条平行直线

简析：P到AB距离为定值，则P在以AB为轴的圆柱面上，圆柱面被平面斜截，所得交线为椭圆，故选B。

同类题比较：（04年北京理科第4题）如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1，点P在平面ABB1A1内运动，且点P到直线BC与直线A1B1的距离相等，则P点的轨迹是下图中的（）

简析：不难发现BC与面ABB1A1垂直，则P点到直线BC的距离就等于P点到B点的距离。

于是，在面ABB1A1内，P点到直线A1B1的距离等于到点B的距离。由抛物线的定义知，P点的轨迹是以A为顶点，B为焦点的抛物线，考虑到轨迹取上半部分，故选C。

同类题比较：（04重庆理科12题）若三棱锥A—BCD的侧面ABC内一动点P到平面BCD距离与到棱AB距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成的图形可能是（）

简析：设二面角A—BC—D大小为θ，作PR⊥面BCD，R为垂足，PQ⊥BC于Q，PT⊥AB于T，则∠PQR=θ，且由条件PT=PR=PQ·sinθ，∴为小于1的常数，故轨迹图形应选D。

演变题：已知P是正四面体S-ABC的面SBC上一点，P到面ABC的距离与到点S的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

简析：设二面角S-BC-A大小为θ，易得P到S与到BC的距离之比为sinθ，是一个小于1的常数，所以动点P的轨迹所在的曲线是椭圆。

同类题比较：04年天津文科第8题。求解策略：这类问题常常要借助于圆锥曲线的定义来判断，常见的轨迹类型有：线段、圆、圆锥曲线、球面等。在考查学生的空间想象能力的同时，又融合了曲线的轨迹问题，是一种创新题。

（2）与函数及导数交汇的试题

近年来新教材引入了导数，在应用导数求单调性、最值方面的应用也突显出来，在空间动态几何问题上的应用也逐步提高。例如：

例10（07广东理科19题）如图6所示，等腰△ABC的底边AB=6，高CD=3，点E是线段BD上异于点B、D的动点。点F在BC边上，且EF⊥AB。现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE。记，V（x）表示四棱锥P-ACFE的体积。

（1）求V（x）的表达式；

（2）当x为何值时，V（x）取得最大值？

（3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值。

简析：本题以平面图形折叠为背景，融空间动态最值问题、导数、异面直线所成角的计算于一体，编制颇有新意，通过函数与导数思想即可解决。

同类题比较：06江苏理科18题帐篷体积问题。

涉及空间动态几何也还有其他一些类型，如几何体的拼、用平面图形裁剪围成几何体的体积等等，不再一一列举。面对空间动态几何问题，要让学生学会找到思维的切入点，一方面要培养空间想象能力，另一方面要把握运动变化的实质，即动中有静的规律，便可做到举一反三，事半功倍了。