《图形的放缩》教学设计

《图形的放缩》教学设计（通用3篇）

1.《图形的放缩》教学设计 篇一

教学目标：

1.通过观察、操作、体会比例尺产生的必要性和按相同的比扩大或缩小的实际意义。

2.通过图形的放缩，结合具体情境，感受图形的相似。

教学重点：目标1、2。

教学难点：目标2。

教学过程：

活动一、创设情境

同学们做了一张贺卡，准备母亲节的时候送给妈妈们，这张贺卡长是6厘米，宽是4厘米。笑笑、淘气、小斌分别在方格纸上画了贺卡的示意图，现在请同学们观察谁画的像。

1.出示图。

2.观察图，同桌互相交流。

3.汇报。

4.小组讨论：为什么同样大小的贺卡，却画出大小不同的长方形，而且有的像有的不像呢?他们是怎么画的?

5.小组汇报

笑笑：我画的图，宽1厘米相当于实际的4厘米，长1.5厘米相当于实际的6厘米。

淘气：卡片的长和宽的比是6：4、也就是3：2，所以，我画的图长和宽的比也是3：2。

小斌：只要长比宽长一些就行。

6.画的图的长和宽与原来的长和宽有什么关系?

得出：只要长和宽都按相同的比(可以有两个意思，一是图中的长与实际的长的比和图中的宽与实际的宽的比相等，二是图中的长和宽的比与实际的长和宽的比相等)来画，画的图才像。长方形画成较小的长方形，首先可以量出原来的长和宽，再将它们的长和宽缩小相同的倍数，才能画的像。

活动二、画一画

把下面的图放大，比一比谁画得像。

1.理解题意。

2.学生独立完成。

3.小组内交流。

4.汇报，全班交流。

活动三、探究活动

1.学生独立完成。

2.小组交流，汇报。

图形的放缩数学教案范文

2.《图形的放缩》教学设计 篇二

例1（2015年高考广东卷理科第21题第（3）问改编）已知n∈N+且n≥2，求证：12+13+…+1n

解令f（x）=1x，（x>0），则f（x）在（0，+∞）

内单调递减，如图1，由定积分的几何意义知

每个小曲边梯形的面积大于对应的矩形的面积，

即∫k+1kf（x）dx>f（k+1），即ln（k+1）-lnk>1k+1，

再令k=1，2，…，n-1，然后累加即得

12+13+14+…+1n

点评由于定积分概念的形成过程是以矩形的面积来逼近曲边梯形的面积，此时取区间的左端点还是右端点的函数值决定这些小矩形的面积是“大于”还是“小于”其本来曲边梯形的面积，利用这个性质来证明与“和式”相关的数列不等式特别有效、简捷，让人赏心悦目.

例2（2013年高考大纲版全国卷理科第22题第（2）问）设数列{an}的通项an=1+12+…+1n，证明：a2n-an+14n>ln2.

证明a2n-an+14n>ln2

1n+1+1n+2+…+1n+n+14n>ln2

1n+1n+1+…+12n-1>ln2+14n.

设g（x）=1x，如图2，Sk=1k=1×g（k）表示

矩形ABCD的面积，其中A（k，0），B（k+1，0），C（k+1，g（k）），D（k，g（k）），E（k+1，g（k+1）），Sk′=∫k+1kg（x）dx表示曲边梯形ABED的面积，

由于函数g（x）=1x在（0，+∞）上是下凸函数，所以矩形ABCD的面积大于对应曲边梯形ABED的面积与右上角的小直角三角形CDE的面积之和，即Sk>Sk′+12×1×g（k）-g（k+1），即1k>∫k+1k1xdx+12（1k-1k+1）.

令k=n，n+1，…，2n-1，并相加得1n+1n+1+…+12n-1>

∫2nn1xdx+12（1n-12n）=（lnx）2n

n+14n=ln2+14n.

所以，原不等式成立.

例3（2012年高考天津卷理科第21题第（3）问）证明：∑ni=122i-1-ln（2n+1）<2（n∈N+）.

证明当n=1时，不等式左边=2-ln3<2=右边，所以原不等式成立.

当n≥2时，原不等式等价为∑ni=222i-1

设f（x）=22x-1，如图3，

Si=22i-1=1×f（i）表示矩形ABCD的

面积，其中A（i，0），B（i-1，0），C（i-1，f（i）），

D（i，f（i）），E（i-1，f（i-1））.

Si′=∫ii-1f（x）dx表示曲边梯形ABED的面积，因为f（x）为减函数，所以Si

∑ni=222i-1<∫n122x-1dx=ln（2x-1）n1=ln（2n-1）-ln1=ln（2n-1）

所以原不等式成立.

例4（2010年高考湖北卷理科第21题第（3）问）证明：1+12+13+……1n>ln（n+1）+n2（n+1）（n≥1）.

设f（x）=1x，如图4，Sk=1k=1×f（k）表示矩形ABCD的面积，其中A（k+1，0），B（k，0），C（k+1，f（k）），D（k，f（k）），E（k+1，f（k+1）），

Sk′=∫k+1kf（x）dx表示曲边梯形ABDE的面积，

由于函数f（x）=1x在（0，+∞）上是下凸函数，

所以矩形ABCD的面积大于对应曲边梯形

ABDE的面积与右上角的小直角三角形CDE

的面积之和，即Sk>Sk′+12×1×f（k）-f（k+1），

令k=1，2，…，n，并相加得

11+12+…+1n>∫n+111xdx+12（1-1n+1）

=（lnx）n+1

1+n2（n+1）=ln（n+1）+n2（n+1），

故原不等式成立.2分母是二次型

例5（2014年高考广东卷文19（3））已知an=2n，证明：对一切正整数n，有1a1（a1+1）+1a2（a2+1）+…+1an（an+1）<13.

分析因为1an（an+1）=12n（2n+1），构造公差为2的等差数列{bn}，使12n（2n+1）<1bnbn+1=12（1bn-1bn+1），

则1a1（a1+1）+1a2（a2+1）+…+1an（an+1）

<12（1b1-1b2）+（1b2-1b3）+…+（1bn-1bn+1）=12（1b1-1bn+1）<12b1=13，只须取b1=32即可.

证明令bn=32+（n-1）×2=2n-12，则bn+1=2n+32，bnbn+1=4n2+2n-34，

因为2n（2n+1）=4n2+2n>4n2+2n-34=bnbn+1，

所以1an（an+1）=12n（2n+1）<1bnbn+1=12（1bn-1bn+1），

所以1a1（a1+1）+1a2（a2+1）+…+1an（an+1）

<1b1b2+1b2b3+…+1bnbn+1=12（1b1-1b2）+（1b2-1b3）+…+（1bn-1bn+1）

=12（1b1-1bn+1）<12b1=13.

例6（2008年高考辽宁卷）已知an=n（n+1），bn=（n+1）2，证明：1a1+b1+1a2+b2+…+1an+bn<512.

分析因为1an+bn=1（n+1）（2n+1）=2（2n+1）（2n+2），构造公差为2的等差数列{bn}，使2（2n+1）（2n+2）<2bnbn+1=1bn-1bn+1，

则1a1+b1+1a2+b2+…+1an+bn

<（1b1-1b2）+（1b2-1b3）+…+（1bn-1bn+1）=1b1-1bn+1<1b1=512，只须取b1=125即可.

证明令bn=125+（n-1）×2=2n+25，

则bn+1=2n+125，bnbn+1=4n2+28n5+2425<4n2+6n+2=（2n+2）（2n+1），

所以2（2n+1）（2n+2）<2bnbn+1=1bn-1bn+1，

所以1a1+b1+1a2+b2+…+1an+bn

<（1b1-1b2）+（1b2-1b3）+…+（1bn-1bn+1）=1b1-1bn+1<1b1=512.

例7（2013年高考广东卷理19（3））已知an=n2，证明对一切正整数n，有1a1+1a2+…+1an<74.

分析当n=1时，不等式显然成立，当n≥2时，问题等价于1a2+1a3…+1an<34.

因为1an=1n2=1n×n，构造公差为1的等差数列{bn}，使1n×n<1bnbn+1=1bn-1bn+1，则1a2+1a3…+1an

<（1b2-1b3）+（1b3-1b4）+…+（1bn-1bn+1）=1b2-1bn+1<1b2=34，只须取b2=43即可.

证明当n=1时，不等式显然成立，

当n≥2时，令bn=43+（n-2）×1=n-23，

则bn+1=n+13，bnbn+1=n2-n3-29

所以1a2+1a3+…+1an

<（1b2-1b3）+（1b3-1b4）+…+（1bn-1bn+1）=1b2-1bn+1<1b2=34.3分母是指数型

例8（2014年高考全国卷Ⅱ理17（2））已知an=3n-12，证明：1a1+1a2+…+1an<32.

要证的不等式中，左边是n项的和，而右边仅是一个常数32，这样不等式左右两边的结构不和谐，不利于问题的解决，为了解决问题，要么左边能够直接求和（显然左边不能直接求和），要么右边的常数32能够分解为一个数列的前n项和，那右边能分解为一个数列的前n项和的形式吗？

容易想到的是等比数列前n项和，即考虑构造一个公比为q的等比数列{bn}，其前n项和为Tn=b1（1-qn）1-q，希望得到1a1+1a2+…+1an≤b1（1-qn）1-q

所以令b11-q=32，b1=1a1=1，则q=13，bn=（13）n-1，

因此只须证明1an≤bn，即23n-1≤（13）n-1，只须证明2·3n-1≤3n-1，即3n-1≥1，

而3n-1≥1显然成立，所以1an≤13n-1，

所以1a1+1a2+…+1an≤1+13+…+（13）n-1=1-（13）n1-13<32.

例9（2012年高考广东卷理19（3））已知an=3n-2n，证明：对一切正整数n，1a1+1a2+…+1an<32.

分析因为1an=13n-2n，构造公比为13的等比数列{bn}，使1an=13n-2n≤bn，则1a1+1a2+…+1an

证明令bn=（13）n-1，则1an-bn=13n-2n-（13）n-1=2（2n-1-3n-1）3n-1（3n-2n）≤0，

所以1an≤（13）n-1，所以1a1+1a2+…+1an≤1+13+…+（13）n-1=1-（13）n1-13<32.

3.数列不等式结合的题的放缩方法 篇三

2011-4-6 11:51 提问者：makewest | 悬赏分：20 | 浏览次数：559次

2011-4-6 11:53 最佳答案

放缩法一般来说是高考的难点 要求又比较强的观察力计算能力分析能力等 个人感觉高考压轴题出个放缩法再结合构造函数估计就是难倒一片了

放缩法的规律性说有也有 比如说常见的数列的裂项相消可以说是一种放缩

需要掌握一些比较简单的放缩 具体的我在下面会为你提供一个百度文库的资料 专门讲放缩的

其实个人感觉放缩难点一是是否能够正确地寻求提供放缩的不等式 基本不等式应用要熟练 二是要放得合适 放缩范围大了小了就都得不出答案 三是观察能力 通过合并拆项 舍弃部分项（这个二项式定理用的多 不过近几年二项式定理证明的比较少 我们这边的模拟题倒是有几份出了）等等 再就是由过硬的计算了

这些在这个文档中都有提到 你参考下http://wenku.baidu.com/view/c42786eb6294dd88d0d26bf1.html

下面就这这个题我给你讲下我的思路

第一问没问题吧 一个简单的配凑

第二问的关于b(k+1)-根2 大于0的证明也好办 关键是右边的小于的那个证明

b(k+1)-根2>(3-2根2)(bk-根2）/（2bk+3)分母上尽量不要有bk 因为你证明的b(k+1)-根2>a(4k+1)-根2 所以右边就必须去分母 而且要把bk换成与ak有关的

注意到数学归纳法要用上归纳假设 我们已经假设 bk>根2 你最好看着这个题答案同时再看我的说明

bk>根2 那么分母中2bk+3就大于2根2+3 所以b(k+1)-根2就小于

(3-2根2）^2（bk-根2）而bk-根2 又可以换成n=k时我们假设的 bk<=a(4k-3)原式化为(3-2根2）^2【a(4k-3)-根2】 这两个式子的积

下面要求一定的观察能力 注意到(3-2根2）^2=（根2-1）^4

你会问了 怎么会想到它呢？

因为你看 题目中要证明的与ak有关 而它的通项公式与根2-1有关系 而且后面出了【a(4k-3)-根2】这个因式 因此必定要寻求要证明的式子与数列通项的关系 观察出这一点了(3-2根2）^2=（根2-1）^4 那么把它再换上 要证明的就是 b(k+1)-根2<=（根2-1）^4【a(4k-3)-根2】

到了这一步 接下来的事就好办多了 你把a(4k-3)换成数列an的通项表示出来 就会发现(根2-1）^4【a(4k-3)-根2】=根2乘以（根2-1）的4k+1次幂 结合an的通项 你可以看出这个就是a(4k+1)-根2 所以原式b(k+1)-根2<=a(4k+1)-根2就得到了证明 即n=k+1 时 也成立 综上 要证明的就成立

不知道我这样你看明白没有 没法编辑公式讲起来只能用语言加数字叙述比如（根2-1）^4 看起来怪费劲的总之这个题要比单纯的放缩法还稍要来得简单 因为有数学归纳法帮助你寻求解题的突破口 因为你必定要用上归纳假设 否则就不是数学归纳法了 这样一来它还是给你提供了一定的思路的本题的难点可能在观察不出来(3-2根2）^2=（根2-1）^4 卡住

本人做这个题用了30分钟做出来

后来对照答案看的差不多 但是估计在考场上就做不出来了 因为最后很可能没有这么多时间 加上紧张啊等等可能思路就得受限制