等差等比数列综合运用

等差等比数列综合运用（共11篇）

1.等差等比数列综合运用 篇一

四年级等差数列练习题（1）

1．找出规律后填出下面数列中括号里的数：

(1)1，3，5，7，()，11，13，()，…(2)1，4，7，10，()，16，19，…(3)1，3，6，10，15，()，28，…(4)l，2，4，5，7，8，()，()，…(5)5，7，11，19，35，()，131； 259，…

2.已知等差数列2，7，12，…，122，这个等差数列共有_____项。

3.请问13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37共有（）项？

4.那么126,128,130, ……,148,150共有（）项？

5.那么16,18,20, ……,162,164共有（）项？

6.那么120,124,138, ……,280,284共有（）项？

7.练习5（1）1+2+3……+998+999+1000

8、求等差数列46，52，58，……，172共有（）项？ 9、6＋7＋8＋9＋……＋74＋75＝ 10、2＋6＋10＋14＋……＋122＋126＝ 11、1＋2＋3＋4＋……＋2007＋2008＝

12.小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30看了78 页正好看完。这本书共有()页？

13.文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。文丽在这些天中共学会了()个英语单词？

14.李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。这批零件共有()个？

15.建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有()根。

四年级等差数列练习题二 1、7个连续奇数的和是105，写出这7个数。

2、6个连续自然数的和是69，求这六个数3、8个连续奇数的和是144，求这八个数4、11个连续奇数的和是231，写出这11个数中的最大数和最小数各是多少？

5、有一列数：2,5,8,11,14,17,……（1）它的第十三个数是几？

（2）47是它的第几项？

6、求数列2,2,4,6,6,10,8,14,10,18……的第20项和第25项。

7、在数列4,9,16,25,36,……中，第79个数是多少？

8、等差数列2，6，10，14…..求第98项是多少？

9、工地上将粗细均匀的圆木，堆成一堆，最上面一层有6根圆木，每向下一层增加一根，共堆了28层，最下面一层有多少根圆木？

10、14+23+32+41+……求等差数列前32项的和

11、等差数列1、4、7…1000中共有多少项？

12、等差数列4、9、14…109中共有多少项？

13、一个等差数列的公差是5，第21项是104，求这21项的和

14、等差数列1001、994、987…14中共有多少项？

15、在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？

16、在等差数列1、5、9、13、17……401中，401是第几项？第50项是多少？

17、有一堆钢管，最上一层有10根，最下一层有50根，而且每层之间相差2根，这些钢管一共有多少根？

18、有一本故事书，小红第一天读了7页，以后每天比前一天多读3页。他读到第9天刚好读完。这本故事书一共有多少页？

19、某市举行数学竞赛,比赛前规定,前15名可以获奖,比赛结果第一名1人;第二名并列2人;第三名并列3人;……;第十五名并列15人.用最简便方法计算出得奖的一共有多少人?

20、等差数列3，9，15，21…..303是第几项21、2、5、8、11，……302，这个数列共有多少项

22、一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,已知最下面一层有70根。一共有多少根圆木？

23、省工人体育馆的12区共有20排座位，呈梯形。第1排有10个座位，第2排有11个座位，第3排有12个座位，……这个体育馆的12区共有多少个座位？

四年级等差数列提高题

1、一个钟，一点钟敲1下，两点钟敲2下，……十二点钟敲12下，分钟指向6敲1下，这个钟一昼夜敲多少下？

2、求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。

3、在1949,1950,1951,…1997,1998这五十个自然数中,所有偶数之和比所有奇数之和多多少?

4、求自然数中被10除余1的所有两位数的和？

5、按一定的规律排列的算式：3＋1，4＋7，5＋13，6＋19＋……,那么，第100个算式是什么？

6.在13与49之间插入3个数，使这5个数构成等差数列。

7、在4和25中间添上6个数变成一个等差数列，公差是多少？写出这个数列。

8、一个等差数列的公差是6，第45项是268，求这45项的和。

9如果一个等差数列的第4项为21,第6项为33,求它的第8项。

10、等差数列的首项是3，第41项是83，求公差

11、等差数列的公差是5，第31项是158，求首项

2.等差等比数列综合运用 篇二

数列在函数和极限的学习过程中，起着承上启下的作用，一方面，数列是一种特殊的函数，能刻画函数的离散现象.另一方面，为进一步学习数列极限奠定了基础.

数列还是培养学生数学能力的良好素材，学习数列要经过观察、分析、归纳、猜想、验证的过程，这些都有助于学生能力的提高.

正是因为数列在数学中占有相当重要的位置，所以中职生掌握一定的数列知识是完全必要的，而学好数列知识的关键是正确而熟练地掌握数列的性质.灵活地运用数列的性质解题，常常会收到事半功倍的效果.

例如，我们由等差数列的定义可以得出如下结论：在等差数列中，若n, m是正整数，且n>m，则有：an=am+(n-m) d或am=an-(n-m) d.这个关系式揭示了等差数列中任意两项an, am之间的内在联系，有时在解题过程中应用这种关系会给问题的解决带来便利.

例：在等差数列{an}，已知a5=2, a10=12，求a20=?

解法一：∵an=a1+(n-1) d, a5=2, a10=12

解法二：由等差数列性质可得：

由于第二种方法运用了等差数列的性质，因此方便、快捷地解决了问题.

若三个数成等差数列，则常将这三个数设成a-d、a、a+d，这样设的好处是这三个数的和正好等于3a，很容易将a求出来.

例：在等差数列{an}中，已知s3=36，则a2=?

解法一：

又∵a3=a1+2d

∴a1+a1+2d=24

即a1+d=12

∴a2=12

解法二：∵a1=a2-d

a3=a2+d

∴ (a2-d) +a2+ (a2+d) =s3

即3a2=36

∴a2=12

两种解法一对照，我们会发现第二种方法既简便又好理解

在等差数列或等比数列的相关计算中，运用高斯的配对思想能使计算过程变得简洁明了.

高斯的配对思想是：在一个等差数列中，若m, n, k, l均为正整数，且有m+n=k+l，那么就一定有am+an=a+a1.

例：在等差数列{an}中，已知a2=2, a14=26，求s15=?

解法一：∵an=a1+(n-1) d, a2=2, a14=26

根据题意可得:

解得:

解法二：∵{an}为等差数列

显然解法二比解法一快捷，计算方便.

3.浅谈等差数列的灵活运用 篇三

一、从等距的角度开展等差数列的教学

根据等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。理解等差数列的关键在于理解“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”这句话，教学中必须让学生充分理解后一项与前一项都相差d，即an+1-an=d（常数）。

例如：下面的算式是按某种规律排列的：1+1，2+3，3+5，4+7，1+9，2+11，3+13，4+15，1+17，…问：（1）第1998个算式是（）+（）；（2）第（）个算式的和是2000。

解析：（1）第1个加数依次为1，2，3，4，1，2，3，4，…，每4个数循环一次，重复出现。1998÷4=499……2，所以第1998个算式的第1个加数是2。第二个加数依次为1，3，5，7，9，11，…，这是个首项为1，公差为2的等差数列。根据等差数列的通项公式可求出第1998个算式的第二个加数：1+（1998-1）×2=3995，所以第1998个算式是2+3995。

（2）由于每个算式的第二个加数是奇数，所以和是2000的算式的第1个加数一定是奇数，不会是2和4。只有1+x=2000或3+x=2000。其中，x是1，3，5，7，9……中的某个数。

若1+x=2000，则x=1999。根据等差数列的项数公式可得：（1999-1）÷2+1=1000，这说明1999是数列1，3，5，7，9…中的第1000个数。因为1000÷4=250，说明第1000个算式的第1个加数是4，与假设1+x=2000矛盾，所以x不等于1999。

若3+x=2000，则x=1997。与上同理，（1997-1）÷2+1=999，说明1997是等差数列1，3，5，7，9…中的第999个数。由于999÷4=249……3，说明第999个算式的第一个加数是3，因此第999个算式为3+1997=2000。

点评：第二个加数为等差数列，那么第n项的值an=首项+（项数-1）×公差，项数=（末项-首项）÷公差+1。利用这些公式，可以快速得到答案，而且还能确保正确率，运用起来十分灵活、方便。

等差数列是一个特殊的函数，因此在解决数列问题时，要灵活利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题。

二、从推导通项公式展开等差数列教学

教师在授课时要注重从具体生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

例如：水库管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m.那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位（单位：m）组成一个什么数列？

教师：以上三个问题中的数蕴涵着三列数。

学生：18，15.5，13，10.5，8，

5.5。

教师：引导学生思考这三列数具有的共同特征，然后让学生抓住数列的特征，归纳得出等差数列概念。

学生：分组讨论，可能会有不同的答案：前数和后数的差符合一定规律；这些数都是按照一定顺序排列的……只要合理教师就要给予肯定。

教师引导归纳出：等差数列的定义；另外，教师引导学生从数学符号角度理解等差数列的定义。

点评：通过对一定数量感性材料的观察、分析，提炼出感性材料的本质属性；使学生体会到等差数列的规律和共同特点；一开始抓住“从第二项起，每一项与它的前一项的差为同一常数”，落实对等差数列概念的准确表达。

三、从一次函数角度理解等差数列的通项公式

从函数的角度来理解等差数列，合理运用数形结合思想直观简化问题，在解决等差数列的问题时，能事半功倍。函数思想是重要的数学思想，教师需要在平常教学时逐步渗透，如若在等差数列的教学过程中，对学生进行函数思想的熏陶，能拓展思维，使学生的知识网络不断优化与完善，使学生的思维能力不断发展与提高。

4.等差、等比数列性质类比 篇四

一、等差数列：

1.等差数列的证明方法：1.定义法：2．等差中项：对于数列则{an}为等差数列。2.等差数列的通项公式：

an，若2an1anan

2ana1(n1)d------该公式整理后是关于n的一次函数

Sn

n(a1an)n(n1)

2Snna1dSAnBn n223.等差数列的前n项和 1．2.3.abA

2或2Aab 4.等差中项: 如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即：

5.等差数列的性质:（1）等差数列任意两项间的关系：如果

an是等差数列的第n项，am是等差

aam(nm)d

数列的第m项，且mn，公差为d，则有n

（2）.对于等差数列

an，若m+n=p+q，则am+an=ap+aq。

*SSSSk，S3kS2kakNnn（3）若数列是等差数列，是其前n项的和，那么k，2k

S3k

a1a2a3akak1a2ka2k1a3k

成等差数列。如下图所示：

（4）．设数列

SkS2kSkS3kS2k

an是等差数列，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和，S偶S奇

S奇nn1dSSa偶中，S偶n.2，○2当n为奇数时，则奇

则有如下性质： ○1当n为偶数时，二、等比数列：

1.等比数列的判定方法:①定义法若数列。

an

1q(q0)an

2an是等比aaann2n1，则数列②等比中项：若

n1

aaaqqann12.等比数列的通项公式:如果等比数列的首项是1，公比是，则等比数列的通项为。

3.等比数列的前n项和:○1

Sn

a1(1qn)

(q1)

1q

○

2Sn

a1anq

(q1)

1q

○3当

q1时，Snna1 ab。

4.等比中项:如果使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。那么G5.等比数列的性质:

（1）．等比数列任意两项间的关系：如果

an是等比数列的第n项，am是等差数列的第m项，且mn，qanamqnm

公比为，则有

（2）对于等比数列an，若nmuv，则anamauav也就是：a1ana2an1a3an2。

（3）．若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数

S3ka1a2a3akak1a2ka2k1a3k

列。如下图所示：SkS2kSkS3kS2k

基础练习

一、选择题：

1．已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于（）

(A)4(B)5(C)6(D)7

2．设｛an｝是公比为正数的等比数列，若a11,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为（）

A.63B.64C.127D.128

3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9（）

A．63B．45C．36D．274、设等比数列{an}的公比q2，前n项和为SS

4n，则a（）

A.2B.4 C.15D.17

25.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过3个小时,这种细菌由1个可繁殖成-（A.511个B.512个C.1023个D.1024个

6．已知等差数列｛an｝中，a2=6, a5=15.若bn=a2n,则数列｛bn｝的前5项和等于（）

(A)30（B）45(C)90(D)186

7．已知数列an*

对任意的p，qN满足apqapaq，且a26，那么a10等于（）

A．165B．33C．30D．2

18．设{an}是等差数列，若a23,a713，则数列{an}前8项和为（）

Ａ．128Ｂ．80Ｃ．64Ｄ．56

9．设｛an｝是公比为正数的等比数列，若a1＝1,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为（）

A.63B.64C.127D.128

10．记等差数列an的前n项和为Sn，若S24，S420，则该数列的公差d=（）

A．7B.6C.3D.2

11．记等差数列an的前n项和为Sn，若a11

2，S420，则S6()

A．16B.24C.36D.48

a2,aa1

1n1nln

12．在数列an中，1n，则an＝（）

2)

A．2lnnB．

二、填空题：

1．等差数列{an}中，a5=24，S5=70，则S10=___

2．等比数列{an}的前n项和为Sn=32n1lnnC．2nlnnD．1nlnn +t，则t=________

3．等比数列{an}中，an>0，a2·a4+2a3·a5+a4·a6=25，则a3+a5=_______

4．设{an}中，an=20－4n，则这个数列前__或____项和最大。

5．已知：两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为An和Bn，且An3n1 n

Bn2n

3求：（1）a15b15=_________（2）an=___________ bn

6.等差数列{an}的公差d1，且前100项和S100=100,则a1+a3 +a5+…a99=__

27．在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数个数是________________

8．在数列{an}在中，an4n52*2，a1a2ananbn，nN,其中a,b为常数，则ab

52an4n{a}aaaanbn，nN*,其中a,b为常数，则2n2，19．在数列n在中，linanbnanbn的值是_____________

10．已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a5 = ____

三、解答题：

1．已知数列

n项和

11111S与SSS与S43453a设Snn345342.是等差数列的前n项和，已知的等比中项为，的等差中项为1，{an}是一个等差数列，且a21，a55。（1）求{an}的通项an；（2）求{an}前Sn的最大值。

求数列

an的通项．

3.等差数列{an}的前n

项和为Sn，a11S39求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

5.等差等比数列综合运用 篇五

一：考试要求

1、理解数列的概念、2、了解数列通项公式的意义

3、了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项 二:知识归纳

（一）主要知识：

有关等差、等比数列的结论 1．等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2mSm,S3mS2m,仍为等差数列．

2．等差数列{an}中，若mnpq，则amanapaq 3．等比数列{an}中，若mnpq，则amanapaq

4．等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2mSm,S3mS2m,仍为等比数列．

5．两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{anbn}仍为等差数列．

an1

6．两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{anbn}、、仍为等比数

bnbn

列．

（二）主要方法：

1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d(q)的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n项和公式的内在联系是解题的关键．

三：例题诠释，举一反三

例题1(2011佛山)在等差数列{an}中，a1＋2a8＋a15＝96，则2a9－a10＝()A．24B．22C．20D．－8

变式1：(2011广雅)已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为()A

3变式2：（2011重庆理11）在等差数列{an}中，a3a737，则a2a4a6a8

________

B3

A3

3A3

例题2 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为()

A．130B．170C．210D．260

变式1:（2011高考创新）等差数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,则数列{的前11项和为（）

A.-45B.-50C.-55D.-66 变式2：（2011高考创新）等差数列{an}中有两项am和ak满足am=

Snn

}

1k,ak=

1m,则该数列前mk

项之和是.例题3(1)已知等比数列{an}，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，则an＝________.(2)已知数列{an}是等比数列，且Sm＝10，S2m＝30，则S3m＝________(m∈N*)．(3)在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝56，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝_______.变式1：(2011佛山)在等比数列{an}中，若a3·a5·a7·a9·a11＝32，则

a9

a1

1的值为()

A．4B．2C．－2D．－

4变式2（2011湛江）等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，前n项的和Sn＝126，求n和公比q.变式3（2011广州调研）等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=6，S4=30，则S6.1

例题4 已知数列{an}，an∈N*，Sn＝(an＋2)2.8(1)求证：{an}是等差数列；

(2)若bn＝n－30，求数列{bn}的前n项和的最小值．

变式1已知数列{an}中，a1

3

5，an

2

1an1

(n2,nN

)，数列{bn}满足bn



1an1

(nN

)

（1）求证：数列{bn}是等差数列；

（2）求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由

变式2设等差数列an的前n项和为sn，已知a324,s110，求： ①数列an的通项公式②当n为何值时，sn最大，最大值为多少？

变式3(2011·汕头模拟)已知数列{an}中，a1＝，数列an＝2－，(n≥2，n∈N*)，数列an-1{bn}满足bn＝

(n∈N*)．an-1

(1)求证数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}中的最大项与最小项，并说明理由．

32a例题5(2008·陕西)(文)已知数列{an}的首项a1＝，an+1=n∈N*an+11

(1)求证数列－1}是等比数列；

ann

(2)求数列{前n项的和

an

变式1 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)证明数列{an－n}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn；(3)求证对任意n∈N*都有Sn＋1≤4Sn

变式2设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，且cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．

变式3.在数列an中，a11,an12an2（1）设bn

n

an

2n1,证明bn是等差数列;（2）

求数列an的前n项和Sn。

当堂讲练： 1．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有项；

（2）已知数列{an}是等比数列,且an>0,nN,a3a52a4a6a5a781，则

a4a6

*

（3）等差数列前m项和是30，前2m项和是100，则它的前3m项和是．

2．若数列{an}成等差数列，且Smn,Snm(mn)，求Snm．

3．等差数列{an}中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为77，偶数项之和为66，a11，求其项数和中间项.4．若数列{an}（nN*）是等差数列，则有数列bn

a1a2an

n

（nN*）也为

等差数列，类比上述性质，相应地：若数列{cn}是等比数列，且cn>0（nN*），则有

d

n

nN*）也是等比数列．

5．设Sn和Tn分别为两个等差数列的前n项和，若对任意nN，都有则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是．说明：

anbn

S2n1T2n1

*

SnTn



7n14n27，．

四：课后练习

1基础部分

1已知各项均为正数的等差数列an中，a1a1136，则a6的最小值为（）

A、4B、5C、6D、7

2.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）

A.3B.4C.5D.23.等差数列{an}中，a13a8a15120,则2a9a10

（）

A．24 B．22 C．20 D．-8

4{an}是等差数列，a1>0，a2009＋a2010>0，a2009·a2010<0，使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是（）A．4019B．4018C．4017D．4016

5.在等差数列{an}中,前n项和为Sn,若a75,S721,那么S10等于（）

A．55 B．40 C．35 D．70

6.(2009山东卷文)在等差数列{an}中,a37,a5a26,则a6____________.7设Sn是等差数列an的前n项和，已知S636,Sn324,Sn6144,则n=__________.S2007

S2005200

52

aSa20088在等差数列n中，1，其前n项的和为n．若2007

S2008_________，则

2提高部分

1、（2010惠州 第三次调研理 4）等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2a8a1130，那

么S13值的是（）A．130

B．6

5C．70D．以上都不对

2．（2010揭阳市一模 理4）数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1,a3,a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为

A

B．4C．2D．

3、(2009安徽卷文 2）已知{an}为等差数列，于A.-1

12，则

B.1C.3D.7

等

4.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项, S832,则S10等于

A.18B.24C.60D.90

5．（2011佛山一检）在等差数列an中，首项a10,公差d0，若

aka1a2a3a7，则k()

A．22 B．23 C．24D．25

6.（2010全国卷1文）（4）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则

aaa=

(A)

7.（2010湖北文）7.已知等比数列{am}中，各项都是正数，且a1，则

a9a10a7

a8

A.1

a3,2a2成等差数列，B.1

C.3

D3

8（2010福建理）3．设等差数列an的前n项和为Sn,若a111,a4a66,则当Sn取最小值时,n等于

A．6

B．7

C．8

D．9

9.（广东省佛山市顺德区2010年4月普通高中毕业班质量检测试题理科）在等比数列{an}中，若a1a2a32，a2a3a416, 则公比q10．（2010年3月广东省广州市高三一模数学理科试题）在等比数列an中，a11，公比

q2，若an前n项和Sn127，则n的值为．

11．(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S981，则a2a5a8．

12．若Sn和Tn分别表示数列{an}和{bn}的前n项和，对任意自然数n，有an

2n32

*，（1）求数列{bn}的通项公式；（2）设集合A{x|x2an,nN}，4Tn12Sn13n，B{y|y4bn,nN}．若等差数列{cn}任一项cnAB,c1是AB中的最大数，且

*

6.等差、等比数列证明的几种情况 篇六

在高中数学教材中，对等差，等比数列作了如下的定义：一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于一个常数d，则这个数列叫等差数列，常数d称为等差数列的公差。一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于一个常数q，则这个数列叫等比数列，常数q称为等比数列的公比。在涉及到用定义来说明一个数列为等差数列或等比数列时，很多时候往往容易忽略定义的完整性，现举一些例子来加以说明。

1、简单的证明

例 ：已知数列前n项和snn22n，求通项公式an，并说明这个

数列是否为等差数列。

解：n1时，a1s1123；

n2时，ansnsn1n22nn122n1

2n

1因为n1时，a1211

3所以an2n1

因为n2时，anan12为常数，所以an为等差数列。

2、数列的通项经过适当的变形后的证明

例： 设数列an的前n项的和为Sn，且a11,Sn14an2,nN*。

（1）设bnan12an，求证：数列bn是等比数列；

（2）设cnan，求证：数列cn是等差数列； 2n

证明：（1）n2时

an1Sn1Sn4an4an1，an12an2an2an1，bn2bn

1又b1a22a1S23a1a12

3bn是首项为3，公比为2的等比数列。

（2）bn32n1,an12an32n1,cn1cnan1an113n1a2a32, n1n42n12n2n12n1

又c1a11，2

213cn是首项为，公差为的等差数列。243、证明一个数列的部分是等差（等比）数列

例3：设数列an的前n项的和Snn22n4,nN，⑴写出这个数列的前三项a1,a2,a3；

⑵证明：数列an除去首项后所成的数列a2,a3,a4是等差数列。

S1(n1)解：⑴由sn与an的关系an得到 SS(n2)n1n

a1S1122147

a2S2S1222247

5a3S3S232234757

⑵当n2时，anSnSn1n22n4n12n142n1 2

an1an2n112n12,对于任意n2都成立，从而数列a2,a3,a4是等差数列。

注：由于a2a12，故an1an2不对任意nN成立，因此，数列an不是等差数列。

4、跟椐定义需要另外加以补充的等差（等比）数列的证明。例4：设数列an的首项a11，前n项和sn满足关系3tsn2t3sn13t，求证an为等比数列。

（错证）由题意：3tsn2t3sn13t

3tsn12t3sn23t

两式相减得：3tsnsn12t3sn1sn20

即：3tan2t3an10

所以：an2t3为定值，所以an为等比数列。an13t

由于在证明的过程没有注意到各符号有意义的条件，从而忽略了n的取值范围，导致证明不符合定义的完整性。

正确的证明如下：n3时：

3tsn2t3sn13t

3tsn12t3sn23t

两式相减得：3tsnsn12t3sn1sn20

即：3tan2t3an10 所以：an2t3 an13t

（这只能说明从第二项开始，后一项与前一项的比为定值，所以需要

对第二项与第一项的比另外加以证明，以达到定义的完整性。）

又因为n2时：

3ts22t3s13t

即3ta1a22t3a13t

又因为a11，所以3t3ta2(2t3)3t

所以a2

所以2t3 3ta22t3 a13t

an2t3为定值，所以an为等比数列。an13t所以对任意n2都有

总之，在用定义证明一个数列为等差数列或等比数列的时候，一定要注意下标n的取值范围，不管是anan1aan还是an1an2;n1

an2an1

7.小谈等差等比数列在生活中的应用 篇七

一、有关等差等比数列的知识

等差数列, 是指的是如果一个数列从第二项起, 每一项与它的前一项的差等于同一个常数, 这个数列就叫做等差数列, 这个常数叫做等差数列的公差, 公差常用字母d表示。等差数列的通项公式为:an=a1+ (n-1) d;前n项和公式为:Sn=na1+n (n-1) d/2 (以上n均属于正整数。)

而等比数列, 如果一个数列从第2项起, 每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比, 公比通常用字母q表示 (q≠0) 。

等比数列的通项公式是:an=a1qn-1, (a1≠0, q≠0) , 求和公式:Sn=a1· (1-qn) / (1-q) = (a1-anq) / (1-q) , (q≠1)

这让我想到了著名的马尔萨斯人口论, 他认为人口增长有超过食物供应增长趋势, 人口有几何增长的趋势, 而食物供应只有算术增长的趋势, 实际上就是把粮食增长比喻为等差数列, 而把人口增长比喻为等比数列, 这些理论和生活实例, 都有助于我们认识和理解数列知识。

二、等差等比数列的实际应用

比如现在有个亲戚准备买新房, 但是他拿不准到底一次付款划算还是分期付款划算, 这里就可以用等差等比数列的知识来比较。假如他买一套新房需15万元, 如果一次性将款付清可优惠25%;但是如果因为钱不够, 则可以采用连续5年分期付款, 不过需在每年相同的月份内支付3万元, 如果银行1年期存款年利率为8%, 按本利累进计算 (即每年的存款与利息之和转为下年的存款) 。那么这样算来, 那到底哪种方式划算呢。

可以这样来计算, 首先因为一次性付清到第5年本利和为S1=15*3/4 (1+8%) 4 (万元) ;

分期付款到第5年后本利和S2=3 (1+8%) 4+3 (1+8%) 3+3 (1+8%) 2+3 (1+8%) +3=75/2[ (1+8%) 15-1] (万元) ;

S2-S1=15/4[ (1+8%) 4 (7+10*8%) -10]>15/4[ (1+4*8%) * (7+10*8%) -10]=15/4[40 (1+8%) 2+38 (1+8%) -3]>15/4 (38*8%-3) =3/20.

由于S2>S1, 因为我建议他采用一次性将房款付清比较有利。

另外一个方面, 随着房价越来越高, 很多人没办法像这样一次性将房款付清, 总是要向银行借钱, 既可以申请公积金也可以申请银行贷款, 但是如果还款到一定时间后想了解自己还得还多少本金时, 也可以利用数列来自己计算。

众所周知, 按揭贷款 (公积金贷款) 中一般实行按月等额还本付息。下面就来寻求这一问题的解决办法。

若贷款数额a0元, 贷款月利率为p, 还款方式每月等额还本付息a元, 设第n月还款后的本金为an, 那么有:a1=a0 (1+p) -a;a2=a1 (1+p) -a;a3=a2 (1+p) -a;......

an+1=an (1+p) -a, ....将其变形, 得 (an+1-a/p) / (an-a/p) =1+p.

由此可见, {an-a/p}是一个以a1-a/p为首项, 1+p为公比的等比数列。

其实类似的还有零存整取、整存整取等银行储蓄借贷, 甚至还可以延伸到生物界的细胞细胞分裂。

三、启示

8.等差数列与等比数列新题速递 篇八

数列是刻画离散现象的数学模型，学好本章对进一步理解函数的概念，体会数学的应用价值具有重要的意义。在高考中数列承载着对高中数学抽象概括能力、运算能力、建模能力、类比与化归能力等多种数学能力的考查。因此数列试题为必考题且属于中、高档难度。

近年江苏高考每年均出现一道数列填空题（或涉及数列知识）和一道数列解答题，江苏《考试说明》中将等差数列、等比数列定位为C级要求，即要系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题。因此数列是江苏数学高考的一个重要的内容。题型在常规中出现变化，在注重基本能力要求的同时，又注重探究创新能力的考查。试题如果出现在客观题中，一般考查两种常见题型：1. 等差等比数列求通项或求和等问题，主要涉及基本量思想；2. 数列的探索性问题，如周期数列、数表等。如果数列出现在解答题的前几题中，往往考查等差等比数列的性质及基本量运算，如果数列问题出现在最后一两题，则是综合性很强的问题，大多以数列为考查载体，综合运用函数、方程、不等式、简单数论等知识，通过运用递推、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类整合等各种数学思想方法，考查学生灵活运用数学知识分析问题、解决问题的能力和数学探索创新的能力。

nlc202309021154

9.等差数列专题 篇九

【方法总结1】

(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．

(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．

【方法总结2】

1.一般地，运用等差数列的性质，可以化繁为简、优化解题过程．但要注意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，需要当序号之和相等、项数相同时才成立．

2.将性质mnpqamanapaq与前n项和公式Sn

题过程．

3.等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．

(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．

(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．

(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)若n为偶数，则S偶－S奇ndn为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)． 2n(a1an)结合在一起，采用整体思想，简化解

2【方法总结3】

1.公差不为0的等差数列，求其前n项和的最值，一是把Sn转化成n的二次函数求最值；二是由an≥0或an≤0找到使等差数列的前n项和取得最小值或最大值的项数n，代入前n项和公式求最值．求等差数列前n项和的最值，2.常用的方法：

(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；

(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；

(3)利用等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)为二次函数，根据二次函数的性质求最值． 与其他知识点结合则以解答题为主.【规律总结】

一个推导：利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：

Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，①Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②①＋②得：Sn

n(a1an)

.2

两个技巧：已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．

(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．

四种方法：等差数列的判断方法

(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立；(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．

热点一 等差数列基本量的计算

1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）】设Sn为等差数列an的前n项和，S84a3,a72，则a9=（）

（A）6（B）4（C）2（D）2

2,【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）理】 在等差数列an中,已知a3a810,则3a5a7 _____.3．（2012年高考辽宁文）在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=（）A．12

B．16

C．20

D．24

4．（2012年高考北京文）已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1,Sa3,则 22

a2________;Sn=________.5.（2012年高考重庆理）在等差数列{an}中,a21,a45,则{an}的前5项和S5=（）A．7B．15C．20D．25

6．（2012年高考福建理）等差数列an中,a1a510,a47,则数列an的公差为

A．1

B．2C．3

D．4

（）

27．（2012年高考广东理）已知递增的等差数列an满足a11,a3a24,则an______________.8.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国理科】

2等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S3a2，且S1,S2,S4成等比数列，求{an}的通项公式.9.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科】已知等差数列an的公差d=1，前n项和为Sn(I)若1,a1,a3成等比数列，求a1；

10．（2012年高考（山东文））已知等差数列{an}的前5项和为105,且a202a5.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)对任意mN*,将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm.

(II)若S5a1a9，求a1的取值范围。

热点二 等差数列性质的综合应用

11.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文】在等差数列an中，若a1a2a3a430，则

a2a3．

12．（2012年高考辽宁理）在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11=（）

A．58

B．88

C．143

D．176

13．（2012年高考江西理）设数列an,bn都是等差数列,若a1b17,a3b321,则a5b5__________ 14．（2012年高考四川文）设函数f(x)(x3)x1,{an}是公差不为0的等差数列,f(a1)f(a2)f(a7)14,则a1a2a7（）

A．0 B．7 C．14 D．21

15.（2012年高考大纲理）已知等差数列an的前n项和为Sn,a55,S515,则数列（）A．



1

的前100项和为

anan1

B．

101

C．

100

D．

16．（2012年高考山东理）在等差数列an中,a3a4a584,a973.(Ⅰ)求数列an的通项公式;

(Ⅱ)对任意mN*,将数列an中落入区间(9,9)内的项的个数记为bm,求数列bm 的前m项和Sm.m

2m

17.【2013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】已知等差数列｛an｝的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列.（Ⅰ）求an的通项公式；（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n-2.热点三 等差数列的定义与应用

18.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）理科】下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题：

p2:数列nan是递增数列； p1:数列an是递增数列；

a

p4:数列an3nd是递增数列； p3:数列n是递增数列；

n

其中的真命题为（）

（A）p1,p2（B）p3,p4（C）p2,p3（D）p1,p4 19．（2012年高考四川理）设函数f(x)2xcosx,{an}是公差为

f(a1)f(a2)f(a5)5,则[f(a3)]a1a3（）

的等差数列, 8

A．0

B．

 16

C．

D．

132

 16

20．（2012年高考浙江理）设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和,则下列命题错误的是（）．．A．若d<0,则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项,则d<0

C．若数列{S n}是递增数列,则对任意的nN*,均有S n>0D．若对任意的nN*,均有S n>0,则数列{S n}是递增数列

10.等差数列教案 篇十

等差数列的通项公式. 能力目标 明确等差数列的定义.

掌握等差数列的通项公式，并能运用其解决问题. 情感目标 培养学生的观察能力.

进一步提高学生的推理、归纳能力.

培养学生的应用意识. 教学重点 等差数列的定义的理解和掌握.

等差数列的通项公式的推导和应用. 教学难点 等差数列“等差”特点的理解、把握和应用. 教学过程 教学环节和教学内容 设计意图 【复习回顾】(2分钟)

数列的定义以及数列的通项公式和递推公式。

【引入】(3分钟)

某人要用彩灯装饰圣诞树，这个人做事喜欢按一定的规律去做，他在圣诞树的顶尖装上1个彩灯，在第一层装上4个，第二层装上7个，第三层装上10个，第四层装上13个。如果有第五层，你能猜得出他要装上多少个彩灯吗?他的规律是怎样的?

你能根据规律在( )内填上合适的数吗?

(1)1， 4， 7，10，13，( )

(2)21， 21.5， 22， ( )， 23， 23.5，…

(3)8，( )， 2， -1， -4， …

(4)-7， -11， -15， ( )， -23

共同特点：从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。这样的数列叫做等差数列。

【讲授新课】(16分钟)

一、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

用符号表示：

教师活动：分析定义，强调关键的地方，帮助学生理解和掌握。

问题：1.数列(1)(2)(3)(4)的公差分别是多少?

2.(5)1， 3， 5， 7， 9， 2， 4， 6， 8， 10

(6)5， 5， 5， 5， 5， 5 ……是等差数列吗?

3.求等差数列 1， 4， 7，10，13，16，…的第100项。

师生一起讨论回答。

二、等差数列的通项公式

如果等差数列 的首项是 ，公差是d，则据其定义可得：

即：

即：

即：

由此归纳等差数列的通项公式可得：

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项 和公差d，便可求得其通项

思考：已知等差数列的第m项 和公差d，这个等差数列的通项公式是?答：

11.对等差数列的教学设计 篇十一

一、问题设计

在现实生活中，经常会遇到下面的特殊数列：

我们经常这样数数，从0开始，每隔5个数一次，可以得到数列：

0，5，_，_，_，_，。。。

水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼，如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m，那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：

18，_，_，_，_，5.5

我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息，按照单利计算本利和的公式是：

本利和=本金€？1+利率€状嫫？

例如，按活期存入1000元钱，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末的本利和组成的数列是：

_，_，_，_，_。

问题：上面的数列有什么共同特点？你能用数学语言（符号）描述这些特点吗？

二、建立模型

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示，即an+1-an=d

问题：

如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫a，b的等差中项，你能用a，b表示A吗？

你能猜想出问题情境中的3个数列各自的通项公式嗎？

一般地，对于等差数列{an}，你能用基本量a1、d来表示其通项吗？

解法：（1）：归纳：a1=a1，a2=a1+d，a3=a1+2d，…

an=a1+（n—1）d

解法（2）：累加：a2—a1=d，a3—a2=d，…，an+1-an=d，各式相加

得an—a1=（n—1）d

∴an=a1+（n—1）d

〔思考〕

（1）这个通项公式有何特点？是关于n的几次式的形式？d可以等于0吗？

（2）此公式中有几个量？

〔结论〕

（1）等差数列通项公式是关于n的一次式的形式，n的系数为d。当d=0时，该数列为常数列。

（2）此公式中有四个量，即 n，d，知道其中任何三个可求另外一个，所以，通项公式实质上是四个量之间的关系。

三、解释应用

1、（1）求等差数列8，5，2，…的第20项。

（2）—401是不是等差数列—5，—9，—13，…的项？如果是，是第几项？

2、某市出租车的计价标准为1.2元/千米，起步价为10元，即最初的4km（不含4km）计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，须要支付多少车费？

解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客须要支付1.2元，所以，可建立一个等差数列{an}来计算车费。

令a1=11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。那么，当出租车行至14km处时，n=11，此时须要支付车费a11=11.2+（11—1）€？.2=23.2（元）。

答：须要支付车费23.2元。

3、已知数列{an}的通项公式为an=pn+q，其中p、q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？

分析：判定{an}是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看an-an-1（n>1）是不是一个与n无关的常数。

解：取数列{an}中的任意相邻两项an与an-1（n>1），求差，得

an-an-1=（pn+q）-〔p（n-1）+q〕=pn+q-（pn-p+q）=p

四、拓展延伸

在直角坐标系中，画出通项公式为an=3n-5的数列的图像，并说出这个数列的图像有什么特点，该图像与y=3x-5的图像有什么关系？据此，你能得出一般性的结论吗？

通项公式的四个量中知道其中三个量可求另一个量，你能据此编出一些不同的题目吗？

对于两个次数相同的等差数列{an}和{bn}，{an+bn}，{an·bn}·{}（bn=0）是否为等差数列？

总之，教师能否调动学生的积极性和能否真正培养学生能力，提高课堂效率，很大程度上取决于教师能否设计出既符合教材要求又符合学生的认知水平的问题，通过设计一些列问题，层层递进，使问题得到了全面解决，这样不仅锻炼了学生的思维，培养了能力，而且体现了新课程的理念。