《三角形的分类》教案设计

2024-10-07

《三角形的分类》教案设计（精选8篇）

1.《三角形的分类》教案设计篇一

《三角形的分类》教学设计

河西堡第二小学邱玉红

教学内容：人教版四年级数学下册第63—66页内容。教学理念：让学生在探究的过程中，感受到学习数学的乐趣，体验成功的喜悦，从而激发学生学好数学的热情，同时懂得合作可以提高效率的道理。

亮点特色：通过观察、实际操作、探究等活动，提高学生的探索精神、归纳概括能力、逻辑思维能力和空间想象能力。

教学目标：

1.使学生认识锐角三角形、直角三角形、钝角三角形和等腰三角形、等边角三角形，知道这些三角形的特点并能够辨认和区别它们。

2.经历分类的过程，渗透分类的数学思想，培养学生的空间观念和初步的逻辑思维能力。

教学重点：会按角的特征及边的特征给三角形进行分类。教学难点：能够掌握各种三角形的特征以及各类三角形之间的内在联系。

教学用具：多媒体课件。

学生学具：量角器、直尺、各种三角形。教学过程：

一、创设情境，复习旧知 1.分别指出各是什么角。2.什么样的角是锐角？直角呢？钝角呢？ 3.猜一猜（课件出示）形状似座山，稳定性能坚。三竿首尾连，学问不简单。（打一几何图形）

它是什么呢？你是怎样猜出来的？

4.如果把三角形进行分类，你觉得应该按什么样的标准来分呢？这节课我们就一起来研究三角形的分类。（板书：三角形的分类）

二、探究新知: 1.按角给三角形分类。

（1）组织学生拿出准备好的各种形状的三角形，观察每个三角形的3个角，在小组中互相交流它们的特征。

（2）小组汇报。课件出示

① 通过观察发现，有些三角形的三个角都是锐角。

②有些三角形有一个直角、两个锐角。

③有些三角形有一个钝角、两个锐角。（3）引导学生按角的不同，给三角形命名。

三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形。

（4）三角形按照角进行分类，可以分为三类，它们的关系可以用图来表示：如果把所有的三角形看做一个整体，那么锐角三角形、直角三角形和钝角三角形都可以分别看作是这个整体的一部分。（课件出示三种三角形的关系图）

（5）猜角游戏，一个三角形的纸袋，只露出一个角，你能猜出它是拿种三角形吗？并让学生说出理由。

2.按边给三角形分类。（课件出示）

（1）学生拿出各种三角形，按边的长短分一分。（2）学生汇报。

①有的三角形的三条边都不相等。

②有的三角形有两条边相等。

③有的三角形三条边都相等。（3）教师讲解：

①有两条边相等的三角形叫等腰三角形。相等的两条边叫做三角形的腰，另一条边叫等腰三角形的底，两腰的夹角是等腰三角形的顶角，腰和底边的夹角是三角形的底角。

②有三条边相等的三角形叫等边三角形，又叫正三角形。在等边三角形中，三条都相等的边都叫三角形的边。

（4）分别量一量等腰三角形和等边三角形的各个角，你发现了什么？

通过测量等腰三角形和等边三角形的角发现：等腰三角形的两个底角相等；等边三角形的各个角都相等。

（5）仪一仪：等边三角形是等腰三角形吗？等边三角形师特殊的等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形。

（6）三角形按照边进行分类，可以分为三类，它们的关系可以用图来表示：

三、巩固练习： 1.填一填.2.判断题． 3.连线

四、全课总结本节课你有什么收获？

五、布置作业

课本65页的第4题，第5题。

六、板书设计

2.《三角形的分类》教案设计篇二

一、激趣导入

1.男同学起立,女同学起立。我是按什么标准给学生分类的?

2.住校生请坐,走读生请坐。我又是按什么标准给学生分类的?

3.今天我带来了6个图形,它们是_____ ?

4.三角形有哪几种角?

(设计意图:引导学生复习与新知识有密切联系的旧知识,为学习新知识做好迁移铺垫,为突破难点打下基础。情境导入使学生对本节课所学知识产生浓厚的兴趣和亲切感,激发学生主动探索的欲望。)

二、探索新知

1.出示学习任务。

2.引导学生小组合作:看—分—贴—说—评—结。

(设计意图:揭示课题的同时让学生明确新课的学习任务,使学生学有目标,克服了盲目性。通过独立思考、小组交流、共同创造出三角形分类方法这一活动,能激发学生的学习兴趣,能真正让学生用眼观察、用手操作、用口表达、用脑创造,参与获取知识的全过程,使不同的学生在数学上得到不同的发展。学生的互评、老师的点评体现了新课程标准中评价方法的多样化。)

欣赏按角分类的课件后,让学困生再次汇报按角分类的三角形,板书:

引导学生用集合图表示三角形按角分的关系。

(设计意图,让学生在听取他人汇报—再次自己动手—欣赏反思中多次感知,照顾到学困生。这样人人都能获得良好的数学教育,大面积地培养学生分析问题和解决问题的能力,有效地突破了难点。)

练习:

A.三角形按角的大小来分,可以分为()、()、()。

B.一个三角形中,最多有()个锐角,最少有()个锐角。

C.一个三角形中,最多有()个钝角。

独立把三角形按边分,欣赏按边分类的课件后,让学困生汇报,板书。

等边三角形也是等腰三角形吗?

引导学生用集合图表示三角形按边分的关系。

(设计意图:注重发挥学困生的主体性,培养他们良好的数学学习习惯,帮助他们掌握恰当的数学学习方法。)

三、深化理解

判断

(1)等腰三角形一定是锐角三角形。()

(2)直角三角形一定不是等腰三角形。()

(3)等腰三角形都是等边三角形。()

(4)一个直角三角形中只有一个直角。()

游戏

我在信封里装一个三角形,只露出一个角,你猜是什么样的三角形?

(设计意图:通过基础练习、趣味活动,达到了巩固新知,形成技能,缓解疲劳,持续发展的目的。)

四、课堂总结

这节课你有什么收获?

3.《三角形的分类》教学设计篇三

教学内容：

人教版小学数学四年级下册第83—84页的内容。

教学目标：

1.通过观察、操作与交流，会根据三角形的角和边的特点进行分类，掌握各种三角形的特征。

2.在活动中渗透分类和集合的数学思想，培养学生动手操作能力和归纳概括能力，进一步发展学生的空间观念。

3.激发学生的主动参与意识、自主探索意识，培养学生的创新精神和合作学习精神。

教学重点：

理解并掌握各种三角形的特征。

教学难点：

理解等腰三角形和等边三角形的关系。

一、课前谈话，感受分类

师：今天我们一起来探讨一个话题——分类（板题），听说过吗？把你所知道的分类跟大家介绍一下。

……

师：如果要把全班同学分一下类，可以怎么分？（男生、女生）

师：这是按什么标准分的？（性别）

师：除了按性别分，还可以怎么分？（年龄、身高、体重、衣着等）

师：看来在分类之前，我们要有一个标准。

（板书：统一标准）像上面的性别、年龄、体重等就是一个标准。

师：那分类还应注意什么呢？还应注意不能重复，不能遗漏。（板书：不能重复，不能遗漏）

师：这一些，都是我们平时生活或学习中分类时应该掌握的原则。通过刚才的交流，你是不是对分类有了进一步的认识？

开始上课。

（设计意图：数学源于生活，在我们身边、在生活中，数学知识随处可见。在上课之前利用的本班同学按某一个标准来分类，让学生初步接触分类，分散了本节课的教学重难点。使数学课上得贴近生活，也激发了学生的兴趣，使抽象的数学变得形象。）

二、复习铺垫引入新知

1.出示锐角、直角、钝角。

提问：①同学们，还认识它们吗？②你知道它们之间的大小关系吗？③如果我在这些角上加上一条线段的话，那变成什么了呢？

2.出示加一条线段，变成了三个三角形。

提问：①请你认真观察，这三个三角形有什么共同的特征呢？（三个角，三条边。）②那这三个三角形又有什么不同呢？（角的大小，边的长短都不同。）③这些三角形有共同的特征，但他们也有许多不同之处，今天这节课，我们要利用分类的有关知识，把三角形进行分类。

3.揭示课题。

补充课题：三角形的分类。

（设计意图：复习角和三角形有关的知识，是为下面探究新知作好铺垫。创设问题情境，引出要探讨的问题，激发学生学习的兴趣。）

三、动手操作，探究新知

（一）合作探究

合作要求：①每个同学负责测量一个三角形的相关数据。②把测量的数据记录在三角形对应的位置上。③各小组按照自己讨论的方法去进行分类，并在桌子上分一分。

（二）汇报交流

学生对三角形分类可能会出现按按角分和按边分两种情况。

（1）按角分类

1.指名汇报交流并阐述理由。

2.有没有哪个小组也是这样分类的？需要补充吗？

3.你能给这三类三角形分别取个名字吗？

4.像这样的三类三角形我们是按什么方法分类的呢？按角分（板书）

5.概括三类三角形的概念。

6.三角形按角分成了这三类，下面我们用图来表示这三类三角形的关系，你们觉得可以怎样来表示呢？

（2）按边分類

1.刚才那一组是从角的角度进行分类，其他小组有没有用不同的方法进行分类的呢？（小组长展示交流成果）

2.请你说一说你们为什么会这样分类呢？

3.有没有哪个小组也是这样分类的？需要补充吗？

4.分别给它们取个名字。

（三）自主学习

要想进一步认识等腰三角形、等边三角形，请同学们打开课本第84页，看中间的图形等腰三角形、等边三角形部分，自学它们各部分的名称。学生看书。

课件出示各部名称。（学生回答后再逐一出示）

（四）自主探究

1.猜测

猜一猜，等腰三角形的角有什么特点？等边三角形呢？下面请用‘量一量’‘折一折’或其他方法验证一下它们的角是否有这些特征。

2.探究

在小组内找出等腰三角形和等边三角形，看看它们各个角的度数分别是多少，学生独立操作验证。

3.总结等腰三角形和等边三角形的特征。

（设计意图：交流学生自己发现的结果，获得数学学习的积极体验。通过动手、动口、动脑的过程，进一步认识等腰三角形和等边三角形，真实体验等腰三角形、等边三角形边和角的特点。）

4.我们来看看等腰三角形和等边三角形之间是否存在一定的关系。等边三角形是否具备等腰三角形的特征呢？

四、巩固练习，拓展提升

（一）判一判

1.有一个角是钝角的三角形是钝角三角形。（）

2.有两条边相等的三角形一定是等腰三角形。（）

3.等腰三角形的一个底角是50度，另一个底角的是60度。（）

4.等边三角形也属于等腰三角形。（）

5.所有的等腰三角形都是锐角三角形。（）

（二）猜一猜

教师的袋子中有几个三角形，只露出三角形的其中一个角，你能根据这个角，猜猜这个三角形是什么三角形呢？

（三）画一画。

在书上第132页的点子图上按照老师说的要求，画出相应的三角形。（锐角三角形，直角三角形，等腰直角三角形）并在展台上展示。

五、课堂小结

通过本节课的学习，你学到了什么？

（设计意图：通过课堂总结，提高学生的概括能力，培养学生学数学、用数学的意识）

六、布置作业

4.小学数学三角形的分类教案篇四

1、会根据三角形的边、角的特点给三角形分类，认识各种三角形。

2、在活动中渗透分类和集合的数学思想，培养学生的动手操作能力和归纳概括能力，进一步发展学生的空间观念。

3、养成良好的观察和分析的习惯，培养学生合作意识。教学重点：

会根据三角形的边、角的特点给三角形分类，认识各种三角形的特点教学难点：

按边的特点给三角形分类。教学准备：答题卡，教学过程：

一、创设情景，复习旧知

1、复习旧知

课件出示三种角，让学生说出名称，并说说什么是锐角、直角、钝角。师：如果把角的两边连起来会是什么图形呢?那它有什么特征?

2、揭示课题

师：你瞧，今天三角形王国的许多朋友来了(课件出示不同形状的三角形)，它们的形状一样吗?对，它们形态各异，各有各的特点。这节课咱们就根据它们的特点来分分类。(板书课题：三角形分类)

二、实践操作，探究分类

师：你能把这些三角形分分类吗?根据什么来分?

1、按角分类

(1)观察每个三角形的3个角，小组互相交流，合作探究，完成答题卡

要求：

1、小组各成员在组长的指挥下进行活动。

2、各成员充分发挥各自的聪明才智，想想怎样做既对又快就怎样做?

3、填好记录单，推举汇报人。

4、完成了就坐好。

表一：按角分类(填出各个三角形中各角的个数0、1、2、3)

观测角的大小时我们采用的是(目测、量角器量、直角比)(选择打√)的方法。

我们把号三角形放在一起，因为它们，命名为：三角形，我们把号三角形放在一起，因为它们，命名为：三角形，我们把号三角形放在一起，因为它们，命名为：三角形，我们发现所有的三角形都有个锐角。

教师引导学生按角的不同，给三角形命名三个角都是锐角的三角形是锐角三角形有一个角是直角的三角形是直角三角形有一个角是钝角的三角形是钝角三角形

教师：为什么这里说“有1个角是直角的三角形叫做直角三角形”，想一想，在一个三角形里面能不能有2个直角呢?在一个三角形里面能不能有2个钝角呢?如果有，会是什么样?我们一起来看看。

(2)课件出示集合图：让学生看一看，在这个三角形的大家庭时，包含几个小家庭?每一个小家庭各有什么特点? (3)比较直角三角形的直角边和斜边 (4)说一说，连一连 (5)猜角游戏

师：下面咱们做一个小游戏。纸袋子里有几个不同的三角形，只露出一个角，请你猜一猜，是什么三角形?(第一次露出一个直角，第二次露出一个钝角，第三次露出一个锐角)

师：为什么第一次、第二次我们都很顺利的猜对了，而第三次不是猜错了就是意见不统一呢?是什么原因呢? 2、按边分类

(1)通过折一折，量一量三角形的3条边，小组互相交流，合作探究，完成答题卡

表二：按边分类

我们将号三角形放在一起，因为它们，命名为：三角形。我们将号三角形放在一起，因为它们，命名为：三角形。我们将号三角形放在一起，因为它们，命名为：三角形。

教师引导学生按边的不同，给三角形命名三条边都不相等的三角形叫不等边三角形有两条边相等的三角形叫等腰三角形

三条边都相等的三角形叫等边三角形(或叫正三角形) (2)介绍等腰三角形的各部分名称 (3)介绍等边三角形的各部分名称 (4)议一议：等边三角形是等腰三角形吗? (5)课件出示按边分类的集合图 (6)动手操作

分别量一量等腰三角形和等边三角形的各个角，你发现了什么?

组织学生在小组里量一量或折一折，比较它们各个角的大小，然后组织汇报。学生通过测量会发现：等腰三角形中两个底角相等。

等边三角形中每个角都相等，都是60°。 (7)说一说生活中见过的等腰三角形和等边三角形，课件展示三、巩固练习，内化提高

1、在点子图中画一个自己喜欢的三角形(并介绍既是什么三角形又是什么三角形)

2、书65第5题(蚂蚁进洞)

3、判断题

5.《三角形的分类》教案设计篇五

三角形按角的分类

总课时数：第14课时

上课时间：2013年╳╳月╳╳日教学内容：p.26.27 教学重点：会按角的大小给三角形分类。

教学难点：集合图揭示了这3种三角形都是三角形这个整体的一部分。教学目标：

1.让学生在给三角形分类的探索活动中发现和认识锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

2.让学生在实际操作中发展空间观念。教学准备：三角板等教学过程：

一、交流展示

角是有大有小的，角按大小可以分成哪几类？

老师随学生回答依次板书：锐角、直角、钝角、平角、周角这些角有的度数是确定的？分别是多少度？

锐角和钝角的度数是不确定的，但有一个范围，谁来说一说？板书整理成：锐角、直角、钝角、平角、周角 1º~89º、90º、91º~179º、180º、360º

指出：89º、90º、91º这三种度数非常的接近很难判断，所以当看到接近直角的角时，都要用三角板上的直角量一量。

二、自主探索

1.老师画一个直角。再连接两点，问：这样画得到的三角形叫什么三角形？（板书：直角三角形）

老师再画一个钝角，并连接两点，问：这样画得到的三角形叫什么三角形？（板书：钝角三角形）

联想：刚才我们分别先画一个直角和钝角，再连接就得到了一个直角三角形和一个钝角三角形；如果我先画一个锐角，再连接是不是也会得到一个锐角三角形呢？

请你试一试。交流（有意识选择开始画的锐角较小的学生来交流）：（1）连接后可能得到的是一个钝角三角形。问：你怎么知道现在这个三角形是钝角三角形？

通过说理，使学生明白：判断的时候只要看其中最大的一个角，如果这个最大的角是钝角，那这个三角形就是钝角三角形。

（2）连接后可能得到一个直角三角形。

通过三角板的之间检验，确认其中最大的角是一个直角。使学生进一步明白

灌云实验小学数学四年级下册教案

判断方法：其中最大的一个角是直角，该三角形就是直角三角形。

比较、讨论：为什么刚才可以肯定的得到钝角三角形和直角三角形，而现在却不能肯定的得到锐角三角形呢？

（通过学生回答，使大家明白：钝角三角形中只有一个钝角，还有两个是锐角；直角三角形中只有一个角是直角，还有两个角也都是锐角；确定了钝角或直角后剩下的肯定是锐角了。而先画了锐角之后，剩下的角可能是三种角中的任意一种。）

（3）画锐角三角形比较保险的一种方法：

先画的锐角不能太小，可略小于直角；画的两条边长短比较接近，这样就能得到一个锐角三角形了。画完后为了保险起见，可找出其中最大的一个角，量一量是不是锐角。

学生分别在本子上画出这三种三角形。

三、精讲点拔

通过刚才的学习，你觉得三角形可以分为几类？用自己的话分别说说怎样的角是锐角三角形？怎样的角是直角三角形？怎样的角是钝角三角形？

画出示意图。

揭示课题：这节课我们学习三角形按角分类的方法。

四、运用提升

1.（第2题）你能连一连吗？

学生独立做，做完后把有疑问的几个选出来交流。

2.在钉子板上分别围出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。学生围好后，互相检查验证。

3.用一张长方形纸，折出两个完全一样的直角三角形。用一张正方形纸，折出四个完全一样的直角三角形。让学生动手折一折，在交流的时候用“对角线“来说一说。

4.把右边这样的平行四边形纸剪成两个完全一样的锐角三角形，应该怎样剪？剪成两个完全一样的钝角三角形呢？

5.你能在下面的三角形中分别画一条线段，把它分成两个直角三角形吗？通过交流使学生明白：画出的线段就是原来三角形的高。

6.在直角三角形中画一条线段，把它分成两个三角形。你分成了两个什么样的?三角形还可以怎样分？

老师可以在学生画的基础上，展示其中几种比较典型的画法，组织学生再交流。

五、达标作业

补充习题相关作业

灌云实验小学数学四年级下册教案

6.三角形的分类教学设计篇六

【学习内容】

人教版小学数学四年级下册第83—84页的内容。【学情与教材分析】

三角形对于学生来说是比较熟悉的，三角形的基本特征和各部分名称学生都已经掌握，而且学生已经学过了角的分类，认识了各种角的特征，这对于学生进一步学习三角形的分类打下了扎实的基础，在三角形分类的过程中，能沟通知识间的联系，掌握各种三角形的特征，培养学生的探究意识和合作意识。提高解决实际问题的能力，发展学生的空间观念。【课程标准】

认识三角形，认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。【学习目标】

1、通过观察、操作、比较，会根据三角形的角和边的特点进行分类，掌握各种三角形的特征。

2、在活动中渗透分类和集合的数学思想，学生通过动手操作和归纳概括，进一步发展空间观念。

3、在三角形分类的过程中，沟通知识间的联系，学生的探究意识和合作意识得到提高。【学习重点】

会根据角和边的特点给三角形分类。【学习难点】

掌握各种三角形的特征。【学习准备】

课件、各类三角形学具、实验报告单、量角器、尺子等。【学习过程】

课前互动：用手比角。

一、创设情境，复习旧知

1、猜谜，复习旧知

师：孩子们，喜欢猜谜吗？（喜欢）今天，老师给大家带来了一个谜语，猜猜看。课件出示：形状似座山，稳定性能坚。三竿首尾连，学问不简单。

——打一几何图形师追问：猜得真准！你是怎么猜出来的?

2、导入、揭示课题

师：三角形有三个角和三条边，它的稳定性在日常生活中有着广泛的应用。你瞧，今天三角形王国的许多朋友来了（课件出示：不同形状的三角形），它们的形状一样吗？（不一样）对,它们形态各异，各有各的特点。这节课咱们就根据它们的特点来分分类。（板书课题：三角形的分类）

（设计意图：趣味竞猜，引“生”入胜。通过竞猜，唤起学生对三角形的角和边的有意注意，激活学生的学习热情，做到“课伊始，趣亦生”。）

二、实践操作，探究分类

师：孩子们，认真想一想，你要根据什么来给这些三角形分类？有不

同意见吗？对，分类要按一定的标准进行，三角形可以按三个角和三条边的特点进行分类。接下来我们先按角来分。

（一）、按角分

1、师：老师把这些三角形放在小组长的1号信封里，在操作之前我们来看看学习提示，请位同学读一读。学习提示：

A、每个组员从1号信封里取出2个三角形，仔细观察或比一比、量一量三角形三个角的每个角分别是什么角，标在三角形上。B、有顺序地汇报，把同一类的三角形放在一起。C、组长填写好报告单。D、每组派一名代表汇报。

2、动手操作，合作分类。

3、全班汇报交流、评价。

师：你们组分成几类？哪几个分成一类？有什么特点？有不一样的分法吗?

4、课件展示，并根据各类三角形的特点起名称。

5、小结，师介绍三角形按角分的集合图并板书集合图。

6、比较三种三角形的异同点。

7、小结

（二）、按边分

1、师：学会了按角的特点给三角形分类，我们再来研究按边分的三角形。我把这些三角形放在小组长的2号信封里。操作之前请看学习

提示，请位同学读一读。学习提示：

A、每个组员从2号信封里取出1个三角形，用自己喜欢的方式研究三角形三条边的长度，你发现了什么？

B、有顺序地汇报，把同一类的三角形放在一起。C、每组派一名代表汇报。

2、动手操作，合作分类

3、全班汇报交流、评价。

4、课件展示，并根据各类三角形的特点起名称。

5、认识等腰三角形和等边三角形各部分的名称，以及等腰三角形两底角的关系和等边三角形的三个内角的关系。

6、说一说生活中见过的等腰三角形和等边三角形，课件展示。

7、小结。

（设计意图：“自主学习的过程实际就是教学活动的过程”。以活动促学习是本节的教学定位。在活动中，给学生足够的时间和空间，自由的、开放的探究数学知识的产生过程。通过看一看、想一想、议一议、分一分、猜一猜等多种形式的学习，为学生提供更多“数学对话”的机会，力求让学生真正地动起来，充分展现做中学，从而获得对三角形边、角特征的认识，进而学会给三角形分类，促进学生的分类、概括、推理以及动手操作能力的提高，使他们在活动的过程中感悟出数学的真谛，逐渐养成探索的习惯，培养学生合作意识和创新能力。）

三、巩固练习，内化提高

1、猜角游戏

师：把三角形藏起来，只露出一个角，你能猜出是哪种三角形吗？（课件分别出示：露出一个直角、一个钝角、一个锐角）追问：你是怎么猜出来的？

2、在点子图中画一个自己喜欢的三角形。

投影展示，介绍既是什么三角形又是什么三角形的知识。（设计意图：多形式、多层次的练习力求把学生带人一个活动场，一个思维场，一个情感场！学生在这个场域中游历，逐渐地内化知识、增长智慧、提升能力。）

四、全课总结，课外延伸

1、这节课你有什么收获和大家一起分享，说说吧！

2、完成课本第87页第5题。

3、用三角形拼一幅美丽的图案。

7.分类讨论在等腰三角形中的应用篇七

一、忽略角的位置, 引发结论不唯一

例1已知等腰三角形中有一个角等于50°, 则这个等腰三角形的顶角的度数为_________.

错解顶角为80°

剖析已知中没有明确该50°的角为顶角还是底角, 所以应分两种情况进行分析.

正解分两种情况:

若该角为底角, 则顶角为180°-2×50°=80°;

若该角为顶角, 则顶角为50°.

所以顶角是50°或80°.

点评对于等腰三角形中角的位置没有确定时, 要根据等腰三角形的性质分为顶角或底角两种情况进行分类讨论, 从而杜绝漏解现象.

二、忽略边的位置, 引发结论不唯一

例2等腰三角形的两边长为11 cm, 6 cm, 则它的周长是_________.

错解11+11+6=28 cm.

剖析题中没有指明两条边哪个是底边哪个是腰, 则应该分两种情况进行分析, 从而得到正确答案.

正解分两种情况讨论: (1) 三边是11, 11, 6时, 符合三角形的三边关系, 此时周长是28; (2) 当三边是11, 6, 6时, 也符合三角形的三边关系, 此时周长是23.

点评对于未明确已知边是底边还是腰的等腰三角形, 应先根据等腰三角形两腰相等的性质得出第三边长的两种情况, 再根据两边之和大于第三边来判断能否构成三角形, 从而求出周长.

三、忽略周长大小关系, 引发结论的不确定性

例3已知等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为18 cm和21 cm的两部分, 求等腰三角形三边的长.

错解如图1, 设等腰三角形的腰长为2x, 底为y, 则有

故三角形的三边长为12, 12, 15.

剖析此解默认了△ABD周长为18, △BCD的周长为21, 即△ABD的周长小于△BCD的周长, 因题中未指明大小关系, 故需要进行分类讨论.

正解 (1) 当底边大于腰长时, 解法同上;

(2) 当底边小于腰长时, 如图2, 设腰长为2x, 底为y, 则

因此三角形的三边长为12 cm, 12 cm, 15 cm或14 cm, 14 cm, 11 cm.

点评对于未指明腰与底边大小关系的, 要分情况讨论, 同时还要注意考虑三角形三边关系定理, 最终得到正确答案

四、忽略高的位置, 引发结论不唯一

例4等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为55°, 求这个等腰三角形顶角的度数.

错解顶角为35°.

剖析三角形的高是由三角形的形状决定的.对于等腰三角形, 当顶角是锐角时, 腰上的高在三角形内;当顶角是钝角时, 腰上的高在三角形外.

正解依题意可画出图3和图4两种情形.图3中顶角为35°, 图4中顶角为145°.

点评对于等腰三角形, 当顶角是锐角时, 腰上的高在三角形内;当顶角是钝角时, 腰上的高在三角形外.求解时一定要认真分析题意, 画出所有可能的图形, 注重数形结合思想的应用, 这样才能正确解题.

五、忽略点的位置, 引发结论的多变性

例5如图5, l是一段平直的铁轨, 某天小明站在距离铁轨100 m的A处, 他发现一列火车从左向右自远方驶来, 已知火车长200 m, 设火车的车头为B点, 车尾为C点, 小明站着不动, 则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中, 以A, B, C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有_________个.

错解3

剖析在火车自左向右运动的过程中, 车长BC可以是腰, 也可以是底边.点的位置既可以在小明所在位置的左边, 也可以在小明所在位置的右边.

正解如图6, 当车长为底时, 得到的等腰三角形是△ABC;当车长为腰时, 得到的等腰三角形是△AB1C1, △AB2C1, △AB3C2, △AC2B4.故得到的等腰三角形共有5个.

点评在实际应用问题中, 既要注重应用等腰三角形的性质进行分类讨论, 又要依据点的位置变化, 数形结合, 从而得出正确答案.所以学生一定要思维严密, 不可遗漏.

8.《三角形的分类》教案设计篇八

一、解三角形

1. 求三角形中的一些基本量

主要是指求三角形的三边、三角、面积等.

例1在△ABC中，A，B，C成等差数列，且tanA·tanC=2+3，又边c上的高等于43，求a，b，c.

解由已知得B=60°，A+C=120°.

因为tanAtanC=2+3，①

而tan(A+C)=tanA+tanC1-tanAtanC=-3，

所以tanA+tanC=3+3.②

由①、②，得tanA=1,tanC=2+3或tanA=2+3,tanC=1.

所以A=45°，C=75°或A=75°，C=45°.

若A=45°，C=75°，则a=43sin60°=8，b=43sin45°=46，c=asinCsinA=4(3+1).

若A=75°，C=45°，则a=43sin60°=8，b=43sin75°=4(32-6)，c=bsinCsinB=8(3-1).

2. 确定三角形的形状

由于条件不足，解这类问题时往往只要（也只能）求出三角形的各个内角，然后据此指出三角形的形状（等腰、直角、锐角、钝角等）；常用正弦定理、余弦定理、三角恒等变换公式等把条件转化成关于边或角的关系式，再通过代数式的恒等变形，得出结论.

例2在△ABC中，C=2B，且b，a，c成等差数列，判断△ABC的形状.

解由正弦定理，得cb=sinCsinB=sin2BsinB=2cosB.

由余弦定理，得cosB=a2+c2-b22ac.

所以cb=a2+c2-b2ac，化简得(a-b)[c2-b(a+b)]=0.

若a=b，则由b，a，c成等差数列，得b=c，与C=2B(C≠B)矛盾，所以a≠b，所以c2=b(a+b).

因为b，a，c成等差数列，所以2a=b+c，所以c2=bb+c2+b，即(3b-2c)(b+c)=0.

因为b+c＞0，所以3b-2c=0，所以cb=32，

所以cosB=c2b=34＞0，

所以cosC=cos2B=2cos2B-1=18＞0，

所以B，C都为锐角，且cosA=cos[180°-(B+C)]=-cos(B+C)=sinBsinC-cosBcosC=74×378-34×18=916＞0，

所以A也为锐角，且A,B,C两两不等，

所以可以得到的结论是：△ABC为锐角三角形.

点评高考题有什么特点？将多个知识点综合起来命题.例1、例2和我们在高一学习“解三角形”时常见的题目有何不同？将等差数列（例1还将三角恒等变换）的知识综合进了解三角形问题.这样使问题的条件变多，难度也加大了（有了综合度）.

二、以三角形为背景求三角函数式的值

合理应用正、余弦定理等与三角形有关的公式、定理，对三角函数式进行化简或求值.

例3在△ABC中，A=α，b=m，S△ABC=S，试求a+b+csinA+sinB+sinC的值(用α，m，S表示).

解由正弦定理，知asinA=bsinB=csinC，所以a+b+csinA+sinB+sinC=asinA.

因为S△ABC=12bcsinA，所以S=12mcsinα，故c=2Smsinα.

由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA=m2+4S2m2sin2α-4Scosαsinα，所以a=m2+4S2m2sin2α-4Scosαsinα.

所以a+b+csinA+sinB+sinC=m2+4S2m2sin2α-4Scosαsinαsinα

=m4sin2α-4m2Ssinαcosα+4S2msin2α.

例4已知△ABC的三边长a，b，c成等比数列，且sinB+cosB=m2，求m的取值范围.

解因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac，则由正弦定理，有sin2B=sinAsinC，

所以1-cos2B=-12[cos(A+C)-cos(A-C)]，

所以2cos2B+cosB-1=1-cos(A-C).

因为1-cos(A-C)≥0，所以2cos2B+cosB-1≥0，

解得cosB≥12或cosB≤-1(舍去)，所以0＜B≤π3.

又m2=sinB+cosB=2sinB+π4.

因为π4＜B+π4≤7π12，所以1＜2sinB+π4≤2，所以1＜m2≤2，

即1＜|m|≤42，故-42≤m＜-1或1＜m≤42.

点评本题（由于条件不足）无需(也不能)求出三角函数式的值，只要（也只能）求出其取值范围.

三、解三角形的实际应用

1. 间隔一定距离求物体的高

图1

例5如图1，为求河对岸某建筑物的高AB，在地面上引一条基线CD，测得CD=a,∠ACB=α，∠BCD=β，∠BDC=γ，求AB.

分析AB在△ABC（或△ABD）中.而△ABC中有两个角已知（∠ACB=α，∠ABC=90°），故只要能求出BC或AC即可.在△BCD中，已知∠BCD=β，∠BDC=γ，CD=a，故可由正弦定理求出BC.

解在△BCD中，由正弦定理，得CDsin(π-β-γ)=BCsinγ,故BC=CDsinγsin(β+γ)=asinγsin(β+γ).

在Rt△ABC中,AB=BCtanα=asinγtanαsin(β+γ).

点评本题实际上给出了在不能到达建筑物底部的情况下，测量计算建筑物高的一种基本方法.计算时利用了有公共边的一个直角三角形和一个任意三角形，在水平放置的任意三角形中求出公共边的长，再在垂直放置的直角三角形中用公共边的长求建筑物的高.请同学们思考：如果基线CD与建筑物底部B在同一条直线上（这时△BCD不存在），该如何测量和计算呢？

对于间隔一定距离求两地间的直线距离，或者是求有障碍物阻拦的两地间的直线距离，又该如何处理呢？请同学们做后面的巩固练习3.

图2

2. 运动物体与静止物体的（不）相遇问题

例6如图2，海中小岛A周围38n mile内有暗礁，某船以30n mile/h的速度向正南航行.船在B处时，测得小岛A在船的南偏东30°方向上；1h后，即船到达C处时，测得小岛A在船的南偏东45°方向上，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？

解由题意，在△ABC中，∠B=30°，∠ACB=180°-45°=135°，所以∠A=15°.

由正弦定理，可知BCsinA=ACsinB.

又BC=30n mile,所以AC=30sin30°sin15°=60cos15°=15(6+2)(n mile)，

所以A到直线BC的距离等于ACsin45°=15(6+2)·22=15(3+1)≈40.98(n mile).

而40.98＞38,所以无触礁的危险.

点评注意要弄清方位角等术语的含义；要画出示意图，分析与问题有关的三角形，利用正、余弦定理求解.和例4不同，本题是一个动态问题.对于与运动物体有关的问题，抓住“距离=速度×时间”是解题的关键.

如果要确定两个运动物体能否相遇（何时相遇），或如何使它们相遇呢？请同学们做巩固练习4.

巩固练习