立体几何中探索性问题的向量解法

2024-06-23

立体几何中探索性问题的向量解法（9篇）

1.立体几何中探索性问题的向量解法篇一

热点问题一利用空间向量证明垂直关系

例1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点.

(1)证明:平面AED⊥平面A1FD1;(2)在AE上求一点M,使得A1M⊥平面A1FD1.

剖析:证明面面垂直通常有两种方法,一是利用面面垂直的判断定理,转化为证明线面垂直、线线垂直的问题去证明,二是证明两个平面的法向量互相垂直.

解:(1)建立如图1所示的空间直角坐标系D-xyz,不妨设正方体的棱长为2,则A(2,0,0)、B(2,2,1)、F(0,1,0)、A1(2,0,2)、D1(0,0,2),设平面AED的法向量为n1=(x1,y1,z1),则

所以

因为n1·n2=0,所以平面AED⊥平面A1FD1.

(2)由于点M在直线AE上,设.可得M((2,2λ,λ),所以,要使A1M⊥平面A1FD1,需有A1M⊥AE.

故当时,A1M⊥平面A1FD1.

警示:平面的法向量是指所在直线与平面垂直的问题,它在解决立体几何问题中有着非常重要的应用.一个平面的法向量有无穷多个,一般来说,我们只需求出其中最简单的一个即可.求法向量的方法一般是用待定系数法,即设出平面法向量的坐标,然后根据与平面内的两个不共线的向量都垂直,即数量积为0,建立方程组进行求解.

热点问题二利用空间向量求线面角

例2如图2,l1、l2是互相垂直的异面直线,MN是它们的公垂线段.点A、B在l1上,C在l2上,AM=MB=MN.

(Ⅰ)证明AB⊥NB;(Ⅱ)若∠LACB=60°,求NB与平面ABC所成角的余弦值.

剖析:直线与平面所成的角就是直线与其在平面内的射影所成的夹角,也可以是直线与平面的法向量所夹的锐角的余角,由此可建立空间直角坐标系来加以解决.

解:如图3,建立空间直角坐标系M-xyz.令MN=1则有A(-1,0,0),B(1,0,0),N(0,1,0),

(Ⅰ)因为MN是l1、l2的公垂线,l1⊥l2,所以l2⊥平面ABN.l2平行于z轴.故可设C(0,1,m).于是,所以,所以AC⊥NB.

(Ⅱ)因为,所以,又已知∠ACB=60°,所以△ABC为正三角形,AC=BC=AB=2.在Rt△CNB中,,可得,故.连结MC,作NH⊥MC于H,设(λ>0).所以,

警示:利用向量求直线与平面所成的角,可以避免复杂的几何作图和论证过程,求线面角的问题,可以先找出角,再转化成线线角的问题加以求解,也可以找出平面的一个法向量,求出直线的方向向量与法向量的夹角,其余角就是所求的直线与平面所成的角.但要注意,直线与平面所成的夹角的范围是,而向量与向量所成的夹角的范围是(0,π],所以要注意二者之间的联系与区别.

热点问题三利用空间向量求二面角的平面角

例3如图4(1),已知ABCD是上、下底长分别为2和6,高为的等腰梯形,将它沿对称轴OO1折成直二面角,如图4(2).

(Ⅰ)证明:AC⊥BO1;

(Ⅱ)求二面角O-AC-O1的余弦值.

剖析:题干给出一个直二面角和一条对称轴OO1,易知OO1⊥OB,OO1⊥OA,故有着明显的建系条件;另外给出梯形的边长、高,则各点坐标较易求得.用坐标法求解,可避开二面角的寻找、推理等困扰,只需先求面O1AC与面OAC的法向量,再用公式计算便可.第(Ⅰ)问的作用在于证明O1B⊥面OAC也就找到了一个法向量;面O1AC的法向量可用与求得,只是解出x、y、z关系后,对z的取值要慎重,可先观察二面角的大小是锐角、直角,还是钝角.

解:(Ⅰ)证明:由题设知OA⊥OO1,OB⊥OO1,所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角,即OA⊥OB.故可以O为原点,OA、OB、OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图5所示),则相关各点的坐标是:A(3,0,0)、B(0,3,0)、.

所以AC⊥BO1.

(Ⅱ)因为,所以BO1⊥OC.

由(Ⅰ)MC⊥BO1,所以BO1平面是平面OAC的一个法向量.

设n=(x,y,z)是平面OAC的一个法向量.由

取得.二面角O-AC-O1的大小为θ,由n与的方向可知,于是.

即二面角O-AC-O1的余弦值为.

2.立体几何问题的向量解法探微篇二

【关键词】立体几何向量解法探微

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1674-4772（2014）03-078-03

用向量法解决立体几何问题，是高中数学的一大亮点。我们知道，几何发展的根本出路是代数化，引入向量正是几何代数化的需要。因为它既是代数的，又是几何的，因此，它理所应当成为架构“数”与“形”的桥梁。

对于学生来说，向量是不同于数的新的运算体系，学习向量几何，对于拓展他们的知识空间，发展他们的能力都是十分有意义的。特别是对立体几何主要研究的对象：点、线、面的位置关系和度量关系的解决拓宽了学生的解题思路。

下面，让我们一起来探索立体几何问题的向量解法吧：

一、垂直问题

1. 直线与直线垂直：a⊥b ■⊥■ ■·■=0

2. 直线与平面垂直：a⊥α ■·■=0

■·■ =0

（其中■、■ 为平面α内不共线的两向量）

3. 平面与平面垂直：α⊥β ■⊥■ ■·■ =0（ ■、■ 分别为平面α、的法向量）

二、平行问题

1. 直线a与直线b平行：a∥b ■∥■ ■=λ■=（λ∈R，■ ≠■ ）；

2. 直线a与平面α平行： ■·■ =0（■ 为平面α的法向量）

3. 平面α与平面β平行：α∥β ■·■ =0

■·■ =0

（■ 为平面α的法向量， ■、■ 为平面β内不共线的两向量）

三、夹角问题

1. 直线与直线的夹角：直线a与b的夹角为θ，则有

cosθ=■；

2. 直线与平面的夹角：直线a与平面α的夹角为θ，则有sinθ=■（为平面的法向量）；

3. 平面与平面的夹角：平面α与平面β的夹角为θ，则有cosθ=■；（■1、■2分别为平面α、β的法向量）。

例1. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点。

（I）求证：AC⊥PB；

（II）求证：PB∥平面AEC；

（III）求二面角E-AC-B的大小。

（I）证明：以AB、AC、AP分别为x、y、z的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系。设则AB=a，AC=b，则A（0，0，0），B（0，a，0），C（b，0，0），D（b，-a，0），E（■，-■，■），P（0，0，a），

∴■=（b，0，0），■=（0，a，-a）

∴■·■=0 ■⊥■即AC⊥PB.

（II）∵■=（■，-■，■），■=（b，0，0），设■=（x，y，z）为平面ABC的法向量，则： ■· ■=0 即 ■x-■y+■z=0

■· ■=0 bx=0

y=z

x=0 ∴ ■=（0，z，z）z≠0

（III）解：取平面AEC的法向量 ■=（0，1，1），平面ABC的法向量P■=（0，0，-a）则：cos■=■=-■

∴<■，P■>=■π

∴二面角E-AC-B的大小为■π.

四、距离问题

1. 空间任意两点的距离：A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则有■=■.

2. 点A到平面α，平面α的平行直线a到平面α，异面直线a、b，平行α、平面β的距离为：

3. 点到直线，平行直线的距离为：

d= ■）（转化为射影来解）

五、法向量的求法

设平面α的法向量为■=（x，y，z），取平面内不共线的向量■，■，则利用 ■·■ =0解出■.

■·■ =0

六、求二面角时，法向量的取法

二面角将空间分成两部分，两个面上法向量按穿过平面取，按轴的方向取，从空间第一部分穿到第二部分，另一法向量从空间第二部分穿到第一部分。

例2. 如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1（Ⅰ）求BF的长；（Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离。

解：以DA、DC、DF分别为x，y，z的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系。则A（2，0，0），B（2，4，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3），设F（0，0，c），则■=■，即（-2，0，2） =（-2，0，c） ∴F（0，0，2）

（Ⅰ）BF=■=■=2■）.

（Ⅱ）设■=（x，y，z）为平面AEC1F的法向量，■=（-2，0，2），■=（0，4，1）

∴ ■ ·■=0 -2x+2z=0 x=z

■· ■=0，即 4y+z=0 ∴ y=-■（z≠0）

∵■=（0，0，3）∴点C到平面AEC1F的距离为：

d=■·■=■=■.

例3. 如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1，已知AB=■，BB1=2，BC=1，∠BCC1=■，求：异面直线AB与EB1的距离；

解：在平面BCC1B1内过B作的垂线BB1交于F，以分别为x，y，z的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，■），B，0，2，0），C（■，-■，0），设点E（■，a，0）

∵EA⊥EB1 ∴ ■·■=0 即（■，-a，■）（-■，2-a，0）=0 ∴■-2a+a2=0 ∴a=■，a=■（在此与C1重合，舍去）

■=（0，0，■），■=（-■，■，0））

设■=（x，y，z）与■，■同时垂直，则 ■ ·■=0

■ ·■=0

即 -■z=0 z=0

-■x+■y=0 x=■y

即 ■=（■y，y，0）（y≠0）

∵■=（■，■，0）

∴异面直线AB与EB1的距离为：d=■·■=■=1.

七、共线、共面问题

1. A、B、C三点共线 ■=λ■；

2. A、B、C、D四点共面 ■·■=0（A、B、C、D无三点共线，由B、C、D定面，然后证点A到平面BCD的距离为0， ■为平面BCD的法向量）

例4. （2007年江苏高考）如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE=FC1=1，

（1）求证：E，B，F，D1四点共面；

（2）若点G在BC上，BG=■，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥面BCC1B1.

解：以DC，DA，DD1分别为x，y，z的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系。则F（3，0，2），D1（0，0，3），B（3，3，0），E（0，3，1），C（3，0，0），G（3，■，0），M（3，3，a），

（1）∵■=（-3，0，1），■=（-3，0，1） ∴■·■=0

∴FD1∥BE，故E，B，F，D1四点共面。

（2）设M（3，3，a）则■=（0，■，a），■=（0，-3，2）

∵■⊥■

∴ -2+2a=0 a=1即M（3，3，1） ∴■=（3，0，0）

∵■=（3，3，0）且DC⊥平面BCC1B1 ∴EM⊥面BCC1B1.

八、探索性问题

1. 动点在直线上，利用定比分点坐标公式去解决；

2. 动点在平面上，利用平面的法向量和点到平面的距离为0去解决。

例5. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点， CP=m （Ⅰ）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3■；（Ⅱ）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论。

解：以DA，DC，DD1分别为x，y，z的非负半轴，建立如图所示的空间直角坐标系。则A（1，0，0），A1（1，0，1），B（1，1，0），B1（1，1，1），C（0，1，0），C1（0，1，1），D1（0，0，1），P（0，1，m）。

（Ⅰ）∵■=（-1，1，0）为平面BDD1B1的法向量，■=（-1，1，m），设AP与平面BDD1B1所成的角θ，

则sinθ=■=■=■

∴cosθ=■ ∴tanθ=■ ∴m=■

（Ⅱ）设存在点Q，令■=λ，则Q（■，■，1）

∴■=（■，■，0）

由三垂线定理知：■⊥■

∴ ■·■=0 ∴■+■=0

∴λ=1即Q为A1C1的中点。

向量法在一定程度优越于几何法，对于几何法学得不好的人，运用向量法解决立体几何问题将起到意想不到的效果。

[ 参考文献 ]

[1] 普通高中课程标准实验教科书（数学必修2）》（人教A版），2007年2月第3版.

3.立体几何中探索性问题的向量解法篇三

（习题课）

（1）、三维目标

1．知识与能力：向量运算在几何计算中的应用．培养学生的空间想象能力和运算能力。

2．过程与方法：掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题． 3．情感目标

通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识.（2）教学重点：向量运算在解决空间角中的应用．（3）教学难点：向量运算在解决空间角中的应用．21 新课导入设计

一、复习引入

1、两条异面直线所成的角的定义及范围？

2、直线与平面所成角的定义及范围？

3、二面角定义及范围？

（和学生一起回忆定义，并且通过直线的方向向量及平面的法向量复习线线角，线面角及面面角的公式）

二、习题展示：教师给出正方体这个载体，由学生在正方体中构造空间角，展示自编题目，并由学生解答完成。

1、展示线线角习题：

（设计意图：使学生清楚如何将求两条异面直线所成角转化成求两个向量所成角，并且会用cos=|cos＜a,b＞|＝|ab|解决问题，但要注意异面直线所成角的范围与

ab两个向量所成角范围的不同）

2、展示线面角习题；（设计意图：使学生能将求线面角转化为求线线角，即求斜线与平面的法向量所成的角，进而转化为求两个向量所成角，这里关注学生在讲解过程中是否能讲清楚线面角的正弦即是线线角的余弦，即sincosAB,nABnABn）

4.立体几何中探索性问题的向量解法篇四

（一）——求空间两条直线、直线与平面所成的角

知识与技能：引导学生探索并掌握利用空间向量求线线角、线面角的基本方法。、过程与方法：通过对例题的研究求解，归纳总结，从中体会使用代数方法研究空间图形带来的方便，激发学生对数学学习的热情，提高数学素养，锻炼数学品质，发展数学思维。情感态度价值观：课堂中进行“师生交流”与“生生交流”，有利于提高学生的表达能力和总结概括的能力，让学生获得成功的体验，树立学好数学的信心教学重点、难点

重点：利用空间向量解决线线角、线面角问题的基本思路。难点：在解题中的灵活应用。

教学方法：课前预习、独立思考、课堂讨论、当堂训练、课后反思相结合。教学过程：

一、创设情境：

引例：（期中考试卷19题）在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD=AC=BD=6，点E、F、G分别为BC、CD、AD的中点。（1）证明直线AC直线BD；

（2）求异面直线EF与CG所成的角（结果用反三角表示）。二．探索与发现

1、空间两条直线所成的角

设空间直线a与b所成的角为(02)，它们的一个方向向量分别为d1l1,m1,n1和d2l2,m21,n2，d1与d2的夹角为(0).，根据空间两条直线所成角的定义，可知与的关系是

(0)2

()2于是得coscos

当ab时，0,0或，当ab时，0,

2、空间直线与平面所成的角

2。当直线l与平面相交且不垂直时，设它们所成的角为(02)，d是直线l的一个方向向量，n是平面的一个法向量，d与n的夹角为，那么与有如下关系：

(0)22 ()22当l或l时0,于是有sincos。三．学习应用

例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AD、AB的中点。（1）求异面直线B1E与C1F所成角的大小；（2）求证：异面直线AC1与B1C垂直；（3）求直线BC1与面EFB1D1所成角的大小。例2：讨论完成引例

例3：四面体ABCD中，AB、BC、CD两两互相垂直，AB=BC=2，E是AC的中点，异面直线AD和BE所成角的大小为arccos四．创新发展

例4：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中点。

（1）在棱BB1上是否存在一点M，使D1M平面B1AE，为什么？

（2）在正方体表面ABB1A1上是否存在点N，使D1N平面B1AE，为什么？五．课堂小结：

利用空间向量处理立体几何的问题，可以把一些复杂的逻辑推理过程转化为向量运算，有利于克服空间想象力的障碍和空间作图的困难，既直观又容易接受，降低了立体几何学习的难度，有利于丰富我们的思维结构，提高运用数学知识分析和解决问题的能力。

六、课后作业

1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AD、AB的中点。

D1A1B1C12;，当l时，2,0.1010，求直线DE与平面BCD所成角的大小。

（1）求异面直线B1E与C1F所成角的大小；（2）求证：异面直线AC1与B1C垂直；

D EAFBC（3）求直线BC1与面EFB1D1所成角的大小。

2、在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD=AC=BD=6，点E、F、G分别为BC、CD、AD的中点。

（1）证明：直线AC直线BD；（2）求异面直线EF与CG所成的角（结果

反三角表示）。

3、四面体ABCD中，AB、BC、CD两两互相垂直，AB=BC=2，E是AC的中点，异面直线AD和BE所成角的大小为arccos

CBEAD1010，求DE与平面BCD所成角的大小。

4、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中点。

（1）在棱BB1上是否存在一点M，使D1M平面B1AE，为什么？

（2）在正方体表面ABB1A1上是否存在点N，使D1N平面B1AE，为什么？

5.向量在解析几何中的应用篇五

第一章

引言

1.1

研究背景

向量（或矢量）,最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年前,古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量,两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.向量在解析几何整个知识体系中占有非常重要的地位,向量是数学中的一个重要概念.它可以使图形量化,使图形间关系代数化.向量是研究图形问题的有力工具.向量是一个具有几何和代数双重身份的概念,同时向量代数所依附的线性代数是高等数学中一个完整的体系,具有良好的分析方法和完整结构,通过向量的运用对传统问题的分析,可以帮助学生更好地建立代数与几何的联系,也为中学数学向高等数学过渡奠定了一个直观的基础．这方面的案例包括平面几何、立体几何和解析几何．

1.2

本课题的研究内容

本课题主要是对向量法在有关平面问题中的应用的进一步探讨.具体从以下几个方面进行探讨：

1、向量在建立平面方程中的应用.2、向量在讨论平面与平面、平面与直线的位置关系中的应用.3、向量在推导点到平面的距离公式中的应用.4、向量在推导两平面的夹角公式中的应用.5、向量在平面其它方面的应用.第二章

向量法在有关平面问题中的应用

2.1

向量的基础知识

1.向量分解定理

定理1

如果向量,那么向量与向量共线的充分条件是可以用向量线性表示,或者说是的线性组合,即,并且系数被,唯一确定.定理2

如果向量,不共线,那么向量与向量,共面的充要条件是可以用向量,线性表示,或者说可以分解成,的线性组合,即,并且系数，被，唯一确定.这时,叫做平面上向量的基底.2.向量平行、垂直的条件及夹角公式

设空间中两个非零向量为和

则(1)

(2)

∥

(3)即

3.向量乘法运算的有关内容:

设则

(1)数量积：1)

即

(2)向量积：1)

2)若不平行,则

图1

3)若∥即

(3)混合积：1)

2)若不共面,则

2.2向量在建立平面方程中的应用

2.2.1

平面的点法式方程

如果一非零向量垂直于一平面,这向量就叫做该平面的法向量.法向量的特征：垂直于平面的任一非零向量.已知平面上一点和该平面的法向量.设平面上的任一点

则有

图2

平面的点法式方程为

由点法式得到平面的一般是方程其中例1:

一平面过点和且垂直于平面,求此平面的方程.解:

平面的法向量

设所求平面的法向量

∵在所求平面上

∴

从而有

∵,图3

∴即

(1)

又∵所求平面垂直于平面,从而有

即

(2)

由(1)(2)解得：∴

∴所求平面的方程为即

另解：∵且

∴该平面的法向量为

图4

∴所求平面的方程为

即

从以上两例可以看出,在用向量建立平面方程时,首先要确定平面的法向量,熟记平面的几种特殊位置的方程,且需注意两平面的位置特征.2.2.2平面的参数式方程

图5

在空间,取仿射坐标系,并设点的向径,平面π上的任意一点的向径为(图4),显然点在平面π上的充要条件为向量与共面,因为不共线,所以这个共面的条件可以写成,又因为,所以有

其中为参数.即

则此方程叫做平面π的向量式参数方程,如果设点的坐标分别为那么

;

令,那么由平面π的向量式参数方程得,则此方程组叫做平面π的坐标式参数方程.2.3讨论平面与平面、平面与直线的位置关系中的应用

2.3.1平面与平面的位置关系

空间两个平面的位相关位置有三种情形,即相交、平行和重合,而且当且仅当两平面有一部分公共点时它们相交,当且仅当两平面无公共点时它们相互平行,当且仅当一个平面上的所有点就是另一个平面的点时,这两平面重合.因此如果设两平面方程为,（1）,（2）

那么两平面与是相交还是平行或是重合,就决定于由方程(1)与(2)构成的方程组是有解还是无解,或是方程(1)与（2）仅相差一个不为零的数因子,因此我们就得到了下面的定理.定理2.3.1.1:

平面（1）与（2）相交的充要条件是,平行的充要条件是,重合的充要条件是

定理2.3.1.2:两平面（1）与（2）相互垂直的充要条件是

;

证：设平面的法向量为,平面的法向量为

而与的位置关系直接影响与的位置关系.下面分几种情况来讨论.(如图2.3.1)

1.∥∥

特例：与重合（1）,（2）两方程同解

∥且

显然,∥,且与不重合2..将上面结果归纳起来可以得到2.3.1.1和2.3.1.2

2.3.2平面与直线的位置关系

空间直与平面的相关位置有直线与平面相交,直线与平面平行和直线在平面上的三种情况.下面给出直线与平面位置成立的条件：

设直线平面的方程分别为,（1）,（2）

则由定理2.3.2.1

直线（1）与平面（2）的相互位置关系有下面的充要条件:

1.相交：；

2.平行：

;；

3.直线在平面上：

;;

由于直线的方向向量为,而在直线坐标系下,平面的法向量为,因此在直角坐标系下,直线与平面的相互位置关系,从几何上看,直线与平面的相交条件

就是不垂直于；

直线与平面平行的条件

;

就是,且直线上的点不在平面上；

直线在平面上的条件

;

就是,且直线上的点在平面上.2.4向量在推导点到平面的距离公式中的应用

空间解析几何在空间点、直线与平面间相关位置的讨论中有一个重要问题是求这些图形间的距离,其中点到平面的距离尤为重要．本节将利用向量探讨点到平面的距离公式的推导．

文献[1,2]利用点与平面间离差的几何意义给出了点与平面：

（1）

之间的距离公式：

（2）

平面的点法式向量方程为,（3）

平面的向量式参数方程

（4）

其中是平面的法向量,、为参数，是平面的方位向量,是平面上定点的径矢,（5）

设

（6）

（7）,（8）

则平面的点法式向量方程（3）和平面的向量式参数方程（4）都可以转化为平面的一般式方程（1）,所以以下推导中,只要得到由向量表示的距离公式,那么将（6—8）代入,就可得距离公式（2）.证：1.与之间的距离是与上定点构成向量在平面的法向量上的射影的绝对值.设平面的点法式方程如（3）式,则

将（5）（6）（8）（9）式代入,即可得距离公式（2）

已知与之间的距离是以平面的方位向量,和为棱的平行六面体中,所在平面上的高

证：1.设平面的方程如（4）式,将,的始点移到点,则，不面.与之间的距离正好是以向量,和为棱的平行六面体中,所在面上的高如图6.平行六面体的体积,底面的面积

图6

所以,将（5）,（7）,（8）,（9）式代入,即可得距离公式（2）

评析：点到直线距离公式的推导有很多方法,本节利用向量法推导出了点到直线的距离公式,这种思路能更好的将向量与几何问题结合起来,展现了向量在解决几何问题中的重要作用.2.5

向量在推导两平面的夹角公式中的应用

现在让我们在直角坐标系下来研究两平面的交角.设两平面与间的二面角用来表示,而两平面的法向量与的夹角记为,那么显然有（图7）

或.因此我们得到

图7

例2:

如图8,在底面是直角梯形的四棱锥中,//，，,.求侧面与面所成的二面角的大小.解：以为原点如图8建立空间直角坐标系,A

图8

则，，∴,显然平面的一个法向量为,设平面的一个法向量为,则

∴

则

评析：因为所求的二面角的交线在图中较难作出,所以用传统的方法求二面角比较困难,向量法在这里就体现出它特有的优势.2.6向量在平面其它方面的应用

1．求点关于平面的对称点的坐标.例3.求点关于平面π:的对称点的坐标.解：设点关于平面对称点的坐标是平面π的法向量为.则有∥且点到平面的距离与点到平面的距离相等,即.得

解得,则点的对称点.2.求平面与坐标平面围成的四面体体积.例4.求平面与三个坐标平面所围成的四面体体积.解：如图9,则平面与坐标系的交点与原点构成的向量为，图9

则四面体体积为即四面体体积

评析：向量除了本文所罗列出来的相关问题之外,还有很多的解析几何问题可以利用向量来解决,所以向量在解决平面的相关问题中有着不可忽视的作用,值得我们认真学习和研究.2.7本章小结

总之,向量在整个解析几何中占有非常重要的地位,因此它的应用在解决几何问题时是最基础最普遍的方法,尤其是在几何的证明问题中,使用向量的分解定理和向量的基础知识以及向量的一些定理可以起到事半功倍的效果.除此之外,用向量可以将一些代数问题几何化,这样借助向量的性质可以快速明了的解决一些难题.另外,向量在推导一些几何公式时,使得问题简化了很多.参考文献

[1]吕林根,许子道.解析几何[M]．北京：高等教育出版社,1992．

[2]丘维声.解析几何[M]．北京大学出版社,1988．

[3]郑荣等.向量在几何中的应用举例[J].成都教育学院学报,2003,17

65~66.[4]李健群.谈向量方法在有关直线问题中的应用[J].数学通,2004,6~17.致谢

6.向量法求解动态立体几何问题篇六

1 平行的证明问题

例1:如图, 正方形ABCD、ABEF的边长都是1, 而且平面ABCD、ABEF互相垂直。.点M在AC上移动, 点N在BF上移动, 若CM=BN=a (0

解题思路:利用向量的共面定理证明线面

证法2:建空间直角坐标系B-xyz如图。点

2 垂直的证明问题

例2:已知正方体AC1中, 点P、Q分别是AA1、A1C1上任意一动点。求证:PQ⊥DB

解题思路:应用向量的数量积的性质 (a⊥ba·b=0) , 可证明线线垂直。

证明:建空间直角坐标系D-xyz如图。

设AB=1, 点B (1, 1, 0) , P (1, 0, a)

3 求动点的轨迹问题

解题思路:在立体图形中求符合某些条件的动点轨迹, 往往是一个难点.最基本的思路是将空间问题平面化。

例3:如图, 正方体AC1中, P是侧面BB1C1C内一动点, 若P到直线BC与直线C1D1距离相等, 则动点P的轨迹是 () .

A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线

解:建空间直角坐标系D-xyz如图。

设AB=1, 点P (x, 1, z) 、F (0, b, 1)

∴点P的轨迹为抛物线, 故选D

4 最值问题

立体几何题中经常会涉及到距离的最值的计算, 很多情况下, 我们可以把动态问

题转化为向量问题, 从而利用代数方法求最值。

例4:如图, 正方形ABCD、ABEF的边长都是1, 而且平面ABCD、ABEF互相垂直.点M在AC上移动, 点N在BF上移动, 若

(2) a为何值时, MN的长最小

解:建空间直角坐标系B-xyz如图。点

5 探索性问题

由于立体几何题中“动态”性的存在, 使有些问题的结果变得不可确定, 探索型问题正好通过这种“动态性”和确定性考查学生的发散性思维。

例5、已知矩形ABCD, PA⊥平面AC于点A, M, N分别是AB、PC的中点, 若平面PDC与平面ABCD所成的二面角为θ, 能否确定θ, 使得直线MN是异面直线AB与PC的公垂线?若能确定, 求出θ的值, 若不能确定, 说明理由。

解:建空间直角坐标系A-xyz如图, 显然=∠PDA

设点B (a, 0, 0) 、D (0, b, 0) 、P (0, 0, c) 、则点C (a, b, 0)

在解题过程中, 我们可以发现用向量处理动态几何问题最大特色:可以将严格几何演绎推理转化为简单代数推理方式, 化动为静, 大大缩短了教与学所花费的时间。同时用向量的方法处理立体几何的空间问题比传统的综合方法有着明显的优势, 可以避免构图和推理的复杂过程, 减少了解题琐碎的技巧, 降低了题目的难度。

参考文献

7.立体几何中探索性问题的向量解法篇七

向量在几何中的应用

（一）教学目标

1.知识与技能：

运用向量的有关知识，解决平面几何中线段的平行、垂直、相等等问题。

2.过程与方法：

通过应用举例，让学生体会用平面向量解决平面几何问题的两种方法——向量法和坐标法。

3.情感、态度与价值观：

通过本节的学习，让学生体验向量在解决平面几何问题中的工具作用，增强学生的探究意识，培养创新精神。

（二）教学重点、难点

重点：用向量知识解决平面几何问题。

难点：选择适当的方法，将几何问题转化为向量问题解决。

向量在物理中的应用

一、学习目标

（1）

（2）

（3）培养学生的探究意识和应用意识，体会向量的工具作用

力

二、重点难点

（1）

（2

（三）教学方法

本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的运用。教学中，教师创设问题情景，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合运用知识分析和解决问题的能力。

8.空间向量方法解立体几何教案篇八

【空间向量基本定理】

例1.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且M分

数x、y、z的值。成定比2，N分PD成定比1，求满足的实

分析;结合图形，从向量

用、、出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都表示出来，即可求出x、y、z的值。

如图所示，取PC的中点E，连接NE，则

点评：选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功，要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量。再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解。有分解才有组合，组合是分解的表现形式。空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组可以表示出空间任意一个向量，而且a,b,c的系数是惟一的。

【利用空间向量证明平行、垂直问题】

例2.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。

（1）证明：PA//平面EDB；

（2）证明：PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小。

点评：（1）证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．

（2）证明线面平行的方法：

①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；

②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线；

③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．

（3）证明面面平行的方法：

①转化为线线平行、线面平行处理；

②证明这两个平面的法向量是共线向量．

（4）证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直．

（5）证明线面垂直的方法：

①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；

②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直．（6）证明面面垂直的方法：

①转化为线线垂直、线面垂直处理；②证明两个平面的法向量互相垂直．【用空间向量求空间角】

例3.正方形ABCD—中，E、F分别是

（1）异面直线AE与CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。，的中点，求：

点评：（1）两条异面直线所成的角可以借助这两条直线的方向向量的夹角

求得，即。

（2）直线与平面所成的角主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即或

（3）二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角。

【用空间向量求距离】

例4.长方体ABCD—中，AB=4，AD=6，段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中点，求：

（1）异面直线AM与PQ所成角的余弦值；（2）M到直线PQ的距离；（3）M到平面AB1P的距离。，M是A1C1的中点，P在线

本题用纯几何方法求解有一定难度，因此考虑建立空间直角坐标系，运用向量坐标法来解决。利用向量的模和夹角求空间的线段长和两直线的夹角，在新高考试题中已多次出现，但是利用向量的数量积来求空间的线与线之间的夹角和距离，线与面、面与面之间所成的角和距离还涉及不深，随着新教材的推广使用，这一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点。现列出几类问题的解决方法。

（1）平面的法向量的求法：设，利用n与平面内的两个向量a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解。

（2）线面角的求法：设n是平面

向量，则直线与平面的一个法向量，AB是平面的斜线l的一个方向

所成角为则sin

（3）二面角的求法：①AB，CD分别是二面角面直线，则二面角的大小为。的两个面内与棱l垂直的异

②设分别是二面角的两个平面的法向量，则

就是二面角的平面角或其补角。

（4）异面直线间距离的求法：向量，又C、D分别是

是两条异面直线，n是。的公垂线段AB的方向

上的任意两点，则

（5）点面距离的求法：设n是平面平面的距离为。的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到

（6）线面距、面面距均可转化为点面距离再用（5）中方法求解。

练习：

12

1.若等边ABC的边长

为，平面内一点M满足CMCBCA，则

MAMB_________

2．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________。3.（本小题满分12分）

如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=

AD 2

(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II)证明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。

4．（本题满分15分）如图，平面PAC平面ABC，ABC

是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,O分别为PA，PB，AC的中点，AC16，PAPC10．

（I）设G是OC的中点，证明：FG//平面BOE；

（II）证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．

5.如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面AEC平面PDB；

（Ⅱ）当PD且E为PB的中点时，求AE与

9.立体几何中探索性问题的向量解法篇九

2.5.1平面几何中的向量方法（教学设计）

[教学目标]

一、知识与能力：

1.运用向量方法解决某些简单的平面几何问题.二、过程与方法：

经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题；体会向量是一种处理几何问题的工具；发展运算能力和解决实际问题的能力.三、情感、态度与价值观：

培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题；树立学科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点.[教学重点] 运用向量方法解决某些简单的平面几何问题.[教学难点]

运用向量方法解决某些简单的平面几何问题

一、复习回顾 1．向量的概念；

2．向量的表示方法：几何表示、字母表示； 3．零向量、单位向量、平行向量的概念；

4．在不改变长度和方向的前提下，向量可以在空间自由移动； 5．相等向量：长度（模）相等且方向相同的向量； 6．共线向量：方向相同或相反的向量，也叫平行向量.7．要熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能做出已知两个向量的和向量； 8．要理解向量加法的交换律和结合律，能说出这两个向量运算律的几何意义； 9．理解向量减法的意义；能作出两个向量的差向量.10．理解实数与向量的积的意义，能说出实数与一个向量的积这与个向量的模及方向间的关系； 11．能说出实数与向量的积的三条运算律，并会运用它们进行计算； 12．能表述一个向量与非零向量共线的充要条件； 13．会表示与非零向量共线的向量，会判断两个向量共线.二、师生互动，新课讲解

由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图像的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此可用向量方法解决平面几何中的一些问题.例1：证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》）

证明：设四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AOOC，BOOD.AB12AC1112DB，DC2DB2AC,ABDC, 即ABDC且AB//DC所以四边形ABCD是平行四边形，即对角线互相平分的四边形是平行四边形.变式训练1：已知DE是ABC的中位线，用向量的方法证明：DE12BC，且DE//BC.证明：易知AD12AB,AE12AC,所以DEAEAD12ACAB12BC.即DE12BC，又D不在BC上，所以DE//BC.例2：用向量方法证明：三角形三条高线交于一点.证明：设H是高线BE、CF的交点，且设ABa,ACb,AHh则有BHha,CHhb,BCba,BHAC,CHAB,ha·bhb·a0

化简得，h·ba0AHBC所以，三角形三条高线交于一点.变式训练2：证明勾股定理，在RtABC中，ACBC，BCa，ACb，ABc，则c2b2a2.证明：由ABACCB，得BAB·ABAC·AC2AC CBCBCB即|AB|2|AC|20|CB|2，故c2b2a2.CA

例3：（课本P109例1）已知平行四边形ABCD的对角线为AC、BD.求证：|AC|2|DB|22|AB|2|AD|2 2

SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》）

证明：由|AC|2ACABAD22|AB|2|AD|22AB AD|DB|2DBABAD2,2

|AB|2|AD|22AB AD得|AC|2|DB|22|AB|2|AD|2.变式训练3：用向量方法证明：对角线相等的平行四边形是矩形.解：如图，四边形ABCD对角线AC、BD交于点O，ABAOOB,ADAOOD,AB·ADAOOB·AOOD2DOC

AAOAO·ODOB·AOOB·OD0ABAD,即ABAD，四边形ABCD是矩形.B

三、课堂小结，巩固反思：

向量是沟通数与形的十分有效的工具，利用向量处理平面几何问题，最重要的是要先在平面图形中寻找向量的“影子”，然后合理引入向量，并通过向量的运算，达到快捷解题的效果.四、课时必记：

五、分层作业： A组：

1、（课本P118复习参考题 A组：NO：5）

2、（课本P118复习参考题 A组：NO：6）

3、（课本P118复习参考题 A组：NO：7）

4、（课本P118复习参考题 A组：NO：8）