几种常见函数的单调性（精选9篇）
1.几种常见函数的单调性 篇一
函数的单调性证明
一．解答题（共40小题）
1．证明：函数f（x）=在（﹣∞，0）上是减函数．
2．求证：函数f（x）=4x+在（0，）上递减，在[，+∞）上递增．
3．证明f（x）=
在定义域为[0，+∞）内是增函数．
4．应用函数单调性定义证明：函数f（x）=x+在区间（0，2）上是减函数．
第1页（共23页）
5．证明函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数．
6．证明：函数f（x）=x2+3在[0，+∞）上的单调性．
7．证明：函数y=
在（﹣1，+∞）上是单调增函数．
8．求证：f（x）=
在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增．
9．用函数单调性的定义证明函数y=
在区间（0，+∞）上为减函数．
第2页（共23页）
10．已知函数f（x）=x+．
（Ⅰ）用定义证明：f（x）在[2，+∞）上为增函数；（Ⅱ）若
＞0对任意x∈[4，5]恒成立，求实数a的取值范围．
11．证明：函数f（x）=
在x∈（1，+∞）单调递减．
12．求证f（x）=x+的（0，1）上是减函数，在[1，+∞]上是增函数．
13．判断并证明f（x）=
在（﹣1，+∞）上的单调性．
14．判断并证明函数f（x）=x+在区间（0，2）上的单调性．
第3页（共23页）
15．求函数f（x）=的单调增区间．
16．求证：函数f（x）=﹣
﹣1在区间（﹣∞，0）上是单调增函数．
17．求函数的定义域．
18．求函数的定义域．
19．根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式（1）f（x+）=x2+
（2）f（x）+2f（）=3x．
20．若3f（x）+2f（﹣x）=2x+2，求f（x）．
第4页（共23页）
21．求下列函数的解析式
（1）已知f（x+1）=x2求f（x）
（2）已知f（）=x，求f（x）
（3）已知函数f（x）为一次函数，使f[f（x）]=9x+1，求f（x）
（4）已知3f（x）﹣f（）=x2，求f（x）
22．已知函数y=f（x），满足2f（x）+f（）=2x，x∈R且x≠0，求f（x）．
第5页（共23页）
23．已知3f（x）+2f（）=x（x≠0），求f（x）．
24．已知函数f（x+）=x2+（）2（x＞0），求函数f（x）．
25．已知2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，求f（x）．
26．若2f（x）+f（﹣x）=3x+1，则求f（x）的解析式．
27．已知4f（x）﹣5f（）=2x，求f（x）．
28．已知函数f（+2）=x2+1，求f（x）的解析式．
第6页（共23页）
29．若f（x）满足3f（x）+2f（﹣x）=4x，求f（x）的解析式．
30．已知f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，求f（x）
31．求下列函数的解析式：
（1）已知f（2x+1）=x2+1，求f（x）；
（2）已知f（）=，求f（x）．
32．已知二次函数满足f（2x+1）=4x2﹣6x+5，求f（x）的解析式．
33．已知f（2x）=x2﹣x﹣1，求f（x）．
34．已知一次函数f（x）满足f（f（f（x）））=2x﹣3，求函数f（x）的解析式．
第7页（共23页）
35．已知f（x+2）=x2﹣3x+5，求f（x）的解析式．
36．已知函数f（x﹣2）=2x2﹣3x+4，求函数f（x）的解析式．
37．若3f（x）+2f（﹣x）=2x，求f（x）
38．f（+1）=x2+2，求f（x）的解析式．
39．若函数f（）=+1，求函数f（x）的解析式．
40．已知f（x﹣1）=x2﹣4x．（1）求f（x）的解析式；（2）解方程f（x+1）=0．
第8页（共23页）
第9页（共23页）
函数的单调性证明
参考答案与试题解析
一．解答题（共40小题）
1．证明：函数f（x）=在（﹣∞，0）上是减函数． 【解答】证明：设x1＜x2＜0，则：
；
∵x1＜x2＜0；
∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0； ∴f（x1）＞f（x2）；
∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数．
2．求证：函数f（x）=4x+在（0，）上递减，在[，+∞）上递增． 【解答】证明：设0＜x1＜x2＜，则f（x1）﹣f（x2）=（4x1+）﹣（4x2+）=4（x1﹣x2）+
=（x1﹣x2）（），又由0＜x1＜x2＜，则（x1﹣x2）＜0，（4x1x2﹣9）＜0，（x1x2）＞0，则f（x1）﹣f（x2）＞0，则函数f（x）在（0，）上递减，设≤x3＜x4，同理可得：f（x3）﹣f（x4）=（x3﹣x4）（又由≤x3＜x4，第10页（共23页）），则（x3﹣x4）＜0，（4x3x4﹣9）＞0，（x1x2）＞0，则f（x3）﹣f（x4）＜0，则函数f（x）在[，+∞）上递增．
3．证明f（x）=在定义域为[0，+∞）内是增函数．
【解答】证明：设x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，则：
=∵x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2； ∴∴f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）在定义域[0，+∞）上是增函数．
4．应用函数单调性定义证明：函数f（x）=x+在区间（0，2）上是减函数． 【解答】证明：任取x1，x2∈（0，2），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=
﹣（=
；
；
因为0＜x1＜x2＜2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＜4，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）=x+在（0，2）上为减函数．
5．证明函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数． 【解答】解：设x1＜x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）=2x1﹣﹣2x2+
=（x1﹣x2）（2+∵x1＜x2＜0，），第11页（共23页）
∴x1﹣x2＜0，2+
＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即：f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）=2x﹣在（﹣∞，0）上是增函数．
6．证明：函数f（x）=x2+3在[0，+∞）上的单调性． 【解答】解：任取0≤x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）==（x1+x2）（x1﹣x2）
因为0≤x1＜x2，所以x1+x2＞0，x1﹣x2＜0，故原式f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以原函数在[0，+∞）是单调递增函数．
7．证明：函数y=
在（﹣1，+∞）上是单调增函数．
=1﹣
在在区间（﹣1，+∞），【解答】解：∵函数f（x）=可以设﹣1＜x1＜x2，可得f（x1）﹣f（x2）=1﹣∵﹣1＜x1＜x2＜0，﹣1+=
∴x1+1＞0，1+x2＞0，x1﹣x2＜0，∴＜0
∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在区间（﹣∞，0）上为增函数；
8．求证：f（x）=在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增．
第12页（共23页）
【解答】证明：设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，﹣（﹣）=﹣=，∴若x1＜x2＜0，则x1x2＞0，此时f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），此时函数单调递增．
若0＜x1＜x2，则x1x2＞0，此时f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），此时函数单调递增． 即f（x）=
9．用函数单调性的定义证明函数y=【解答】解：∵函数y=可以设0＜x1＜x2，可得f（x1）﹣f（x2）=∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在区间（﹣∞，0）上为减函数；
10．已知函数f（x）=x+．
（Ⅰ）用定义证明：f（x）在[2，+∞）上为增函数；（Ⅱ）若＞0对任意x∈[4，5]恒成立，求实数a的取值范围．
﹣
=
＞0，在区间（0，+∞）上为减函数． 在（﹣∞，0）上递增，在（0，+∞）上递增．
在区间（0，+∞），【解答】（Ⅰ）证明：任取x1，x2∈[2，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（x1+）﹣（x2+）=，∵2≤x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＞4，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）=x+在[2，+∞）上为增函数；（Ⅱ）解：∵＞0对任意x∈[4，5]恒成立，第13页（共23页）
∴x﹣a＞0对任意x∈[4，5]恒成立，∴a＜x对任意x∈[4，5]恒成立，∴a＜4．
11．证明：函数f（x）=
在x∈（1，+∞）单调递减．
【解答】证明：设x1＞x2＞1，则：
；
∵x1＞x2＞1；
∴x2﹣x1＜0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0； ∴即f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）在x∈（1，+∞）单调递减．
12．求证f（x）=x+的（0，1）上是减函数，在[1，+∞]上是增函数． 【解答】证明：①在（0，1）内任取x1，x2，令x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（=（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（1﹣
；）﹣（）），∵x1，x2∈（0，1），x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1﹣
＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）=x+在（0，1）上是减函数． ②在[1，+∞）内任取x1，x2，令x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（）﹣（）
第14页（共23页）
=（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（1﹣），∵x1，x2∈[1，+∞），x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，1﹣
＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）=x+在[1，+∞]上是增函数．
13．判断并证明f（x）=【解答】解：f（x）=证明如下：
在（﹣1，+∞）上任取x1，x2，令x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=
﹣
=，在（﹣1，+∞）上的单调性． 在（﹣1，+∞）上的单调递减．
∵x1，x2∈（﹣1+∞），x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1+1＞0，x2+1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）=
14．判断并证明函数f（x）=x+在区间（0，2）上的单调性． 【解答】解：任意取x1，x2∈（0，2）且0＜x1＜x2＜2 f（x1）﹣f（x2）=x1+∵0＜x1＜x2＜2
∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜4，即x1x2﹣4＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．
第15页（共23页）
在（﹣1，+∞）上的单调递减．
﹣x2﹣=（x1﹣x2）+
﹣
=（x1﹣x2），所以f（x）在（0，2）上是单调减函数．
15．求函数f（x）=的单调增区间．
=1﹣的单调递增区间为【解答】解：根据反比例函数的性质可知，f（x）=（﹣∞，0），（0，+∞）
故答案为：（﹣∞，0），（0，+∞）
16．求证：函数f（x）=﹣
﹣1在区间（﹣∞，0）上是单调增函数．
【解答】证明：设x1＜x2＜0，则：
；
∵x1＜x2＜0；
∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0； ∴；
∴f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）在区间（﹣∞，0）上是单调增函数．
17．求函数的定义域．
【解答】解：根据题意，得，解可得，故函数的定义域为2≤x＜3和3＜x＜5．
18．求函数的定义域．
第16页（共23页）
【解答】解：由故函数定义域为{x|x＜}
．
19．根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式（1）f（x+）=x2+
（2）f（x）+2f（）=3x． 【解答】解：（1）f（x+）=x2+
=（x+）2﹣2，即f（x）=x2﹣2，（x＞2或x＜﹣2）（2）∵f（x）+2f（）=3x，∴f（）+2f（x）=，消去f（）得f（x）=﹣x．
20．若3f（x）+2f（﹣x）=2x+2，求f（x）． 【解答】解：∵3f（x）+2f（﹣x）=2x+2…①，用﹣x代替x，得：
3f（﹣x）+2f（x）=﹣2x+2…②； ①×3﹣②×2得：
5f（x）=（6x+6）﹣（﹣4x+4）=10x+2，∴f（x）=2x+．
21．求下列函数的解析式（1）已知f（x+1）=x2求f（x）（2）已知f（）=x，求f（x）
（3）已知函数f（x）为一次函数，使f[f（x）]=9x+1，求f（x）（4）已知3f（x）﹣f（）=x2，求f（x）
【解答】解：（1）∵已知f（x+1）=x2，令x+1=t，可得x=t﹣1，∴f（t）=（t﹣
第17页（共23页）
1）2，∴f（x）=（x﹣1）2．（2）∵已知f（）=x，令
=t，求得 x=，∴f（t）=，∴f（x）=
．
（3）已知函数f（x）为一次函数，设f（x）=kx+b，k≠0，∵f[f（x）]=kf（x）+b=k（kx+b）+b=9x+1，∴k=3，b=，或k=﹣3，b=﹣，求 ∴f（x）=3x+，或f（x）=﹣3x﹣．
（4）∵已知3f（x）﹣f（）=x2①，∴用代替x，可得3f（）﹣f（x）=由①②求得f（x）=x2+
22．已知函数y=f（x），满足2f（x）+f（）=2x，x∈R且x≠0，求f（x）． 【解答】解：∵2f（x）+f（）=2x① 令x=，则2f（）+f（x）=②，①×2﹣②得： 3f（x）=4x﹣，∴f（x）=x﹣
23．已知3f（x）+2f（）=x（x≠0），求f（x）． 【解答】解：∵3f（x）+2f（）=x，① 等号两边同时以代x，得：3f（）+2f（x）=，② 由①×3﹣2×②，解得 5f（x）=3x﹣，∴函数f（x）的解析式：f（x）=x﹣
24．已知函数f（x+）=x2+（）2（x＞0），求函数f（x）．
第18页（共23页）
②，．
．
（x≠0）．
【解答】解：∵x＞0时，x+≥2且函数f（x+）=x2+（）2=设t=x+，（t≥2）； ∴f（t）=t2﹣2；
即函数f（x）=x2﹣2（其中x≥2）．
=2，﹣2；
25．已知2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，求f（x）． 【解答】解：∵2f（﹣x）+f（x）=3x﹣1，∴2f（x）+f（﹣x）=﹣3x﹣1，联立消去f（﹣x），可得f（x）=﹣3x﹣．
26．若2f（x）+f（﹣x）=3x+1，则求f（x）的解析式． 【解答】解：∵2f（x）+f（﹣x）=3x+1…①，用﹣x代替x，得：
2f（﹣x）+f（x）=﹣3x+1…②； ①×2﹣②得：
3f（x）=（6x+2）﹣（﹣3x+1）=9x+1，∴f（x）=3x+．
27．已知4f（x）﹣5f（）=2x，求f（x）． 【解答】解：∵4f（x）﹣5f（）=2x…①，∴4f（）﹣5f（x）=…②，①×4+②×5，得：﹣9f（x）=8x+∴f（x）=﹣x﹣
第19页（共23页），．
28．已知函数f（【解答】解：令t=则由f（+2）=x2+1，求f（x）的解析式． +2，（t≥2），x=（t﹣2）2．
+2）=x2+1，得f（t）=（t﹣2）4+1．
∴f（x）=（x﹣2）4+1（x≥2）．
29．若f（x）满足3f（x）+2f（﹣x）=4x，求f（x）的解析式． 【解答】解：f（x）满足3f（x）+2f（﹣x）=4x，…①，可得3f（﹣x）+2f（x）=﹣4x…②，①×3﹣②×2可得：5f（x）=20x． ∴f（x）=4x．
f（x）的解析式：f（x）=4x．
30．已知f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，求f（x）【解答】解：∵f（x）=ax+b且af（x）+b=9x+8，∴a（ax+b）+b=9x+8，即a2x+ab+b=9x+8，即，解得a=3或a=﹣3，若a=3，则4b=8，解得b=2，此时f（x）=3x+2，若a=﹣3，则﹣2b=8，解得b=﹣4，此时f（x）=3x﹣4．
31．求下列函数的解析式：
（1）已知f（2x+1）=x2+1，求f（x）；（2）已知f（）=，求f（x）．
【解答】解：（1）令2x+1=t，则x=（t﹣1），∴f（t）=（t﹣1）2+1，第20页（共23页）
∴f（x）=（x﹣1）2+1；（2）令m=（m≠0），则x=，∴f（m）==，∴f（x）=（x≠0）．
32．已知二次函数满足f（2x+1）=4x2﹣6x+5，求f（x）的解析式． 【解答】解：（1）令2x+1=t，则x=则f（t）=4（）2﹣6•
；
+5=t2﹣5t+9，故f（x）=x2﹣5x+9．
33．已知f（2x）=x2﹣x﹣1，求f（x）． 【解答】解：令t=2x，则x=t，∴f（t）=t2﹣t﹣1，∴f（x）=x2﹣x﹣1．
34．已知一次函数f（x）满足f（f（f（x）））=2x﹣3，求函数f（x）的解析式． 【解答】解：设f（x）=ax+b，∴f（f（x）=a（ax+b）+b，∴f（f（f（x））））=a[a（ax+b）+b]+b=2x﹣3，∴，解得：，∴f（x）= x﹣．
第21页（共23页）
35．已知f（x+2）=x2﹣3x+5，求f（x）的解析式． 【解答】解：f（x+2）=x2﹣3x+5，设x+2=t，则x=t﹣2，∴f（t）=（t﹣2）2﹣3（t﹣2）+5=t2﹣7t+15，∴f（x）=x2﹣7x+15．
36．已知函数f（x﹣2）=2x2﹣3x+4，求函数f（x）的解析式． 【解答】解：令x﹣2=t，则x=t+2，代入原函数得 f（t）=2（t+2）2﹣3（t+2）+4=2t2+5t+6 则函数f（x）的解析式为f（x）=2x2+5x+6
37．若3f（x）+2f（﹣x）=2x，求f（x）【解答】解：∵3f（x）+2f（﹣x）=2x…①，用﹣x代替x，得：
3f（﹣x）+2f（x）=﹣2x…②； ①×3﹣②×2得：
5f（x）=6x﹣（﹣4x）=10x，∴f（x）=2x．
38．f（+1）=x2+2，求f（x）的解析式．
【解答】解：设∴x=（t﹣1）2； ∵f（+1）=x2+2+1=t，则t≥1，∴f（t）=（t﹣1）4+2（t﹣1），∴f（x）=（x﹣1）4+2（x﹣1），x∈[1，+∞）．
39．若函数f（【解答】解：令）=
+1，求函数f（x）的解析式．
=t（t≠1），则=t﹣1，第22页（共23页）
∴f（t）=2+（t﹣1）2=t2﹣2t+3，∴f（x）=x2﹣2x+3（x≠1）．
40．已知f（x﹣1）=x2﹣4x．（1）求f（x）的解析式；（2）解方程f（x+1）=0．
【解答】解：（1）变形可得f（x﹣1）=（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣∴f（x）的解析式为f（x）=x2﹣2x﹣3；
（2）方程f（x+1）=0可化为（x+1）2﹣2（x+1）﹣3=0，化简可得x2﹣4=0，解得x=2或x=﹣2
第23页（共23页）
3，
2.“函数的单调性”教学设计 篇二
认识目标：掌握函数单调性的概念；会判断一些简单函数的单调性。
能力目标：培养学生的分析、归纳和总结能力；培养学生运动变化和数形结合的数学思想；培养学生理论联系实际的辩证唯物主义思想。
情感目标：营造亲切、活跃的课堂气氛，实施多元化评价，激励学生，使学生尝试成功，以点燃学生的学习热情。
教学重点、难点
重点：函数单调性概念和函数单调性的判断。
难点：判断函数的单调性。
教学过程设计与分析
创设问题情境
多媒体：学校的简介。（利用Flash进行演示）
提出问题：学校准备建造一个长方形的花坛，面积设计为16平方米。由于周围环境的限制，其中一边的长度长不能超过10米，短不能少于4米，求花坛半周长的最小值和最大值。
教师说明：此环节为创设情境。我们学校是上海市投资新建的郊区四所寄宿制重点高中之一，有着一流的硬件设施，绿化建设正在进行之中。抓住这一点，我设计了这节课的引例，切合实际，让学生有种亲切感。提出问题后，让学生思考、讨论下列问题：如何把实际问题归结为数学问题？经过思考、讨论，估计学生可以把问题归结为：设受限制一边长为x米，4≤x≤10，则另一边为16/x米，求半周长y＝x＋16/x（4≤x≤10）的最小值和最大值。如何求最小值？——运用基本不等式。如何求最大值？经过思考、讨论，最后大家一致认为利用y＝x＋16/x（4≤x≤10）的图像可以得出结论。
多媒体：利用Flash演示y＝x＋16/x（4≤x≤10）的图像,如图1所示。
教师说明：利用Flash给出函数的图像，从函数图像可以直观地得出结论，但是缺乏理论依据。指出缺乏理论依据的结论是站不住脚的，所以问题转化为寻找其理论依据，从而引入课题。这样可以培养学生严谨的治学态度。
揭示课题，引入新课
1.几何画板演示，点明课题。
多媒体：利用几何画板演示y＝x＋16/x（4≤x≤10）的动态的变化过程。用鼠标从左向右缓慢拖动y＝x＋16/x（4≤x≤10）上的A点，引导学生观察A点的纵坐标的变化情况（随着自变量x的增大，函数值y也在增大），如图2所示。
2.请学生根据自己的理解给出增函数定义。
一般地，对于给定区间上的函数f(x)：如果对于属于这个区间的自变量的任意两个值x1和x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在这个区间上是增函数。
3.请学生通过类比得出减函数的定义。
教师说明：在减函数定义的教学过程中，我改变了以往“灌输结论”的做法，让学生通过对增函数定义的理解从而得到减函数的定义，培养了学生的类比的重要数学思想方法，对于学生学习新知识、新概念有很大的帮助。
巩固新知，深化扩展
1.一次函数的单调性问题。
[例1]证明函数f(x)＝3x＋2在区间(－∞，＋∞)上是增函数。
引申：探索一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)在区间(－∞，＋∞)上的单调性。
2.二次函数的单调性问题。
[例2]判断函数f(x)＝x2－2x的单调区间，并加以证明。
教师说明：例题的给出由简单的一次函数到二次函数，遵循了学生一般的认知规律，使学生容易接受，易于理解。在二次函数f(x)＝x2－2x的单调性的证明中，分工合作，第一、二组的学生完成函数在[1，＋∞)上的证明；第三、四组的学生完成函数在(－∞，1]上的证明，倡导自主学习、合作学习的新的学习方式。通过例1、例2的解决，让学生归纳判断函数单调性的基本步骤，培养学生分析、归纳和总结的能力。
判断函数单调性的基本步骤：
第一步，设x1、x2是区间内的任意两个实数，且x1＜x2。
第二步，比较f(x1)、f(x2)的大小。
第三步，给出结论。
自主解决——[引例]的解决
教师说明：有了上述理论作基础，一开始提出的问题就能迎刃而解：证明函数y＝x＋16/x在区间[4，10]上是增函数；得出结论，当x=10时，ymax=11.6。此环节起到了首尾呼应的作用，让学生体会到数学源于生活又服务于生活，体会到数学的魅力，并指出，函数单调性的研究为解决函数的最值问题提供了又一重要方法，可见研究函数的单调性是非常有必要的。那么我们为何不乘胜追击，探索更一般的情况，研究函数y=x+k/x(k∈Ｒ)的单调性。
多媒体：利用Authorware进行探索、总结y=x+k/x(k∈Ｒ)图像，寻找一般的结果。（从特殊到一般）如图3、4所示。
学生总结、教师归纳
教师说明：提出问题，这节课你学到了哪些数学知识？学生一一罗列：函数单调性的概念、判断函数单调性的常用方法、证明函数单调性的基本步骤。进一步提出问题：整堂课体现了哪些重要的数学思维？自问自答：从特殊到一般的研究方法；从大胆的猜想到严格的证明；数形结合、类比的思想。利用计算机使我们探索数学问题的过程更加直观、简洁和生动。
（作者单位：上海市南汇中学 201300）
点评
“问题是数学的心脏”。一个好的问题能引起学生兴趣，启迪学生的思考，将思维引向深刻。闵丽红老师的“学校花坛问题”是一个很好的实际问题：在学校绿化建设中，如何建造其费用最省？闵老师通过引导学生观察问题、发现问题、提出问题、探究和解决问题，使学生感受到数学源于生活又服务于生活，以培养学生形成科学观，培养学生的创新精神和实践能力。
这节课最大的特点是贯穿始终的现代软件技术的应用，娴熟地运用了PowerPoint、Authorware、Flash和几何画板等多种教学媒体和手段，通过直观的画面和动态的影像，将数学知识的发生和发展淋漓尽致地展现在学生面前。尤其在利用Authorware进行探索、总结图像的过程中，首先，研究特殊情况（当k=2时）,使用列表描点、几何绘图两种方法，利用计算机动态地绘画出它的图像。紧接着，探索、总结其一般结果：随机地输入k的值，随即电脑显示相应函数的图像。最后，显示所有情况，一目了然，使每位学生对于图像都有了清晰的、精确的认识。利用多媒体处理这一部分达到的效果，是传统教学所不及的，充分地体现了现代技术的优越性。
3.函数的单调性教学反思 篇三
函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据。对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．
1、新课标明确指出：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，不仅把函数看成是变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想将贯穿高中数学课程的始终《函数的单调性》的课标教学要求，从结合实际问题出发，让学生感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的间断问题。数学新课标还提到：要注重提高学生的数学思维能力，即“在学生学习数学运用数学解决问题时，应经历直观感知，观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”。所以在本节课的教学设计中在分析学生的认知发展水平和已有的只是经验的基础上，让学生通过观察函数图像的变化规律，然后归纳猜测，勇于实践探究式的教学方法，取得了较好的教学成果。
2、函数的单调性是函数的一个重要性质
在理解函数单调性的定义时，值得注意下列三点：(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.在讨论函数的单调性时，特别要注意,若f(x)在区间D1，D2上分别是增函数，但f(x)不一定在区间D1∪D2上是增函数，例如：函数
f(x)=(x-1)/(x+1)在(－∞,－1)上是增函数，在(－1，+∞)上也是增函数，但在(－∞,－1)∪(－1,+∞)上不是增函数，f(1) f(x1) 2.判断函数的单调性或单调区间时，可以结合函数的图象升降进行判定，对于一般函数需用增、减函数定义加以证明，用定义的证明函数的单调性学生还存在问题较多。 3.一次函数、二次函数、反比例函数及y=x+a/x(a>0)型的函数的单调性和单调区间要记熟，把它们作为性质，可应用到一般函数单调性的判断上. 函数的单调性（教案）二4.函数的单调性教案二 篇四
5.函数的单调性(教学设计) 篇五
1.知识与技能：从形与数两方面理解函数单调性的概念，掌握利用函数图象和定义判断、证明函数单调性的方法步骤。
2.过程与方法：通过观察函数图象的变化趋势上升或下降，初步体会函数单调性，然后数形结合，让学生尝试归纳函数单调性的定义，并能利用图像及定义解决单调性的证明。
3.情感、态度与价值观：在对函数单调性的学习过程中，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程，增强学生由现象猜想结论的能力。
【教学重点】 函数单调性的概念、判断。
【教学难点】 根据定义证明函数的单调性。
【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习。
【教学工具】 教学多媒体。
【教学过程】
一、创设情境，引入课题
师：同学们刚刚从楼下走到了教室，如果把每一个楼梯的台阶都标上数字，我们一起来描述一下从楼下走到教室这一过程中，同学们的位置变化。
生：随着楼梯台阶标号的增大，我们所处的位置在不断地上升。
师：(积极反馈，全班鼓掌表扬)反之，我们下楼时，我们的位置显然是在下降的。
师：(阅读教材，人教版节首内容，引导学生看图)结合上下楼的问题，引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考。
观察图中的函数图象，随着函数自变量的增大(减小)，你能得到什么信息?
二、归纳探索，形成概念
我们在学习函数概念时，了解了函数的定义域及值域，本节内容其实就是针对自变量与函数值之间的变化关系进行的专题研究之一──函数单调性的研究。
同学们在初中已经对函数随着自变量取值的变化函数值相应的变化情况有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务就是通过形象的函数图象变化情况，为函数单调性建立严格定义。
1.借助图象，直观感知
首先，我们来研究一次函数和二次函数的单调性。
师：在没有学习函数单调性的严格定义之前，函数的单调性可以理解为，师：根据图象，请同学们写出你对这两个函数单调性的描述。
生：(独立完成，小组内互相检查，然后阅读教材，对比参照)。
2.抽象思维，形成概念
函数的性质离不开函数的定义域，在研究函数单调性时，我们也必须充分考虑到这一点，在函数的定义区间上描述随着自变量值的变化，函数值的变化情况。
师：思考，如何利用函数解析式来描述函数随着自变量值的变化，函数值的变化情况?(注意函数的定义区间)
生：在上，随着自变量值的增大，函数值逐渐减小;在上，随着自变量值的增大，函数值逐渐增大。
师：如果给出函数，你能用准确的数学符号语言表述出函数单调性的定义吗?
生：(师生共同探究，得出增函数严格的定义)一般地，设函数的定义域为：
①如果对于定义域上某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数;
②如果对于定义域上某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数。
三、掌握证法，适当延展
【例1】下图是定义在区间上的函数，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数?
【例2】物理学中的玻意耳定律(为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积减小时，压强将增大。试用函数的单调性证明之。
师：在解决完成这个例题后，根据解题步骤归纳总结用定义证明函数单调性的一般性算法步骤：设元、作差、变形、断号、定论。
四、归纳小结，提高认识
学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，共同完成小结。
(1)利用图象判断函数单调性;
(2)利用定义判断函数单调性;
(3)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论。
五、布置作业，拓展探究
课后探究：研究函数的单调性。
六、板书设计
函数的单调性
一、创设情境，引入课题
二、归纳探索，形成概念
三、掌握证法，适当延展
四、归纳小结，提高认识
七、教学反思
6.如何利用导数研究函数的单调性 篇六
利用导数研究函数单调性，方法不一，选择恰当的方法，简洁明了；反之，虽然也可以进行到最后，但是需要大量的计算.本文将各类方法进行了总结，并点明了注意问题，分析了各方法的优点、缺点、适用范围.
一、 正用
例1求函数y=3x2-2lnx的单调递增区间.
解析：函数的定义域为（0，+∞）
∵ f′(x)=6x-2x=2(3x2-1)x
∴ 令f′(x)＞0，结合x＞0，得x＞33
∴ f(x)的单调递增区间为33,+∞
【方法总结】用导数方法求函数单调区间：首先，求函数定义域、求导f′(x)；然后令f′(x)＞0得到函数的递增区间，令f′(x)＜0得到函数的递减区间.
二、 逆用
例2已知函数f(x)=x2+mx(常数m∈R）在x∈［2，+∞）上单调递增，求m的取值范围.
【方法一】若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则f′(x)≥0在x∈(a,b)上恒成立，且f′(x)=0的点是孤立的；若函数f(x)在区间(a,b)上单调递减，则f′(x)≤0在x∈(a,b)上恒成立，且f′(x)=0的点是孤立的.恒成立问题可以转化成求最值问题.
解析：∵ 函数f(x)=x2+mx（常数m∈R）在x∈［2，+∞）上单调递增，
∴ f′(x)=2x3-mx2≥0在x∈［2，+∞）上恒成立
∴ m≤2x3在x∈［2，+∞）上恒成立
∴ m≤（2x3）min，x∈［2，+∞)
∵ 当x∈［2，+∞）时，y=2x3是增函数
∴ （2x3）min=16∴ m≤16
当m=16时，f′(x)≥0且f′(x)=0的点是孤立的（只有f′(2)=0），∴ m=16合题
∴ m的取值范围为（-∞，16］
适用性分析：这是解决“逆用”问题的基本方法.注意检验f′(x)=0的点是否孤立.
例如：（1） 已知函数g(x)=ax+1在［1，2］上是减函数，则a的取值范围是a＞0（a=0时，经检验不合题）.
（2） 若函数f(x)=cosx+px+q在x∈R上是减函数，则p的取值范围是p≤-1（p=-1时，f′(x)=0的点有无数个，但这些点是孤立的，故p=-1合题）
【方法二】首先用m表示出f(x)的单调递增区间（a,b），然后根据关系［2，+m）(a,b)得出m的取值范围.
解析：f(x)的定义域为{x|x≠0}
∵ f′(x)=2x3-mx2，令f′(x)＞0，得x＞3m2
∴ f(x)的单调递增区间为（3m2，+∞）
∵ f(x)在x∈［2，+∞）时单调递增
∴ 3m2≤2解得m≤16
∴ m的取值范围为（-∞，16］
适用性分析：该法思路清晰、简单明了，但有时涉及解无理不等式，需要分类讨论，运算量大.例如（例3）：已知函数f(x)=x3+mx2+x+1（a2＞3）在-23，-13上单调递减，求m的取值范围.利用该法需要解不等式组-a-a2-33≤-23
-a+a2-33≥-13，诸多不便.
那么，象上面的例3，该怎样解决呢？
【方法三】二次函数法，结合二次函数性质，寻求使得导数恒≥0（或恒≤0）成立的充要条件.
解析：∵ 函数f(x)=x3+mx2+x+1（a2＞3）在-23，-13上单调递减
∴ f′(x)=3x2+2mx+1≤0在x∈-23，-13上恒成立
∴ f′-23≤0
f′-13≤0即73-4m3≤0
43-2m3≤0解得m≥2
∴ m的取值范围是［2，+∞）
适用性分析：（1） 适用面窄，只有当f(x)是三次函数（此时，其导数为二次函数）时，才可用该法；（2） 列出的条件容易不充分（少条件）或不必要（多条件），需要进行严谨的分析.一般的解决二次函数问题可以从以下四个方面入手：① 开口方向② 对称轴③ 判别式④ 端点处函数值.
7.函数的单调性教学设计 篇七
1．设计构思： 1.1设计理念：
本设计基于学生的认知规律，在设计时将尽可能采用探索式教学，让学生自己观察，主动去探索。而教学时尽可能够顾及到全体学生，达到优生得到培养，后进生也有所收获的效果。同时在教学中将理论联系实际，让学生用所学的知识去解决问题（练习）。而教师在整个过程中充当引导者、组织者，注重培养学生的归纳发现能力、理论证明能力、多位拓展能力等。
1.2教材地位和作用：
函数单调性是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。掌握本节内容不仅是前面所学函数知识的延伸，更为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的思维能力，及分析问题和解决问题的能力。
1.3 教学目标的设计： 重点：函数单调性的概念； 难点：函数单调性的判定及证明； 关键：增函数与减函数的概念的理解。教学目标的确定及依据：
依据教学目标和教育原则，本节知识的特点以及学生已有的知识结构现状，我制定了如下教育教学目标。
（1）、知识目标：理解函数单调性的概念，掌握判断函数单调性的基本方法（作差比较法，作商比较法。主要是做差比较法）；了解函数单调区间的概念。
（2）、能力目标：培养学生阅读、自学、分析、归纳能力；抽象思维能力及推理判断的能力和勇于探索的精神。
（3）、情感目标：体会用运动变化的观点去观察、分析事物的方法。培养学生对数学美的艺术体验。在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离。培养学生对数学的兴趣。
1.4 教学方法：辅导自学法、讨论探究法、讲授法。
教学手段：根据本节内容的特点，为了更有效地突出教学重点，突破教学难点，展示知识的发生过程，提高课堂效率，使教学目标更完美地体现。我将运用现代信息技术辅助课堂教学。使用投影仪对学生探究的成果进行展示。
1．5教学过程： 课题引入（引入---设疑----激趣）-------新授概念（自主探究---成果展示---总结强调）概念应用1（总结探究-------延伸过渡调）概念应用2（引导探究----总结归纳）应用探究（实践-------总结提高）课后延展（再实践-------再提高）2．实施方案
设疑：观察给出的函数的图象，并指出在定义域内的上升与下降情况。激趣：如何用x与 f(x)来描述上升的图象？如何用x与 f(x)来描述下降的图象？
（意图：明确目标、引起思考。给出函数单调性的图形语言，调动学生的参与意识，通过直观图形得出结论，渗透数形结合的数学思想。用提问的方式，简单介绍本节课的主要内容，激发学习兴趣要求学生带着问题阅读教材，通过问题的解决掌握基本内容。有助于培养学生的观察能力、自学能力和解决问题的能力。）
成果展示 总结强调：
1、单调区间如何理解和划分？
2、增、减函数的定义用语言如何描述？（可以结合初中对函数的描述进行引导）
3、如何从图形上判断单调性？
（意图： 通过展示自学成果，加深对概念的多方理解，让部分学生体会学习的乐趣，从而激发和带动其他同学的学习积极性。另外强调两点：
1、必须在函数定义域上来讨论函数增减性；
2、对于定义域内的某个区间的任意两个自变量成立）
总结探究：对一次函数y=kx+b
1、k的正、负对函数的单调性有何影响？
2、b的变化对函数的单调性有何影响？
（意图：通过讨论使学生深入理解和掌握概念，培养学生的抽象思维能力，培养学生研究数学的能力，学会归纳总结。）
延伸过渡：一般函数除从图形上判断单调性，还有其它证明和判断方法吗？ 引导探究：在例2 的证明中在由x1>x2
时
判断f(x1)，f(x2)大小时 的基本方法是什么？还有其它方法吗？（作商法）
总结归纳：
1、作差时的基本变形有那些？（主要用：分解因式、配方等）
2、什么时候可以用作商法？（意图：学生难以从例题中归纳出判断(证明)方法及步骤，所以在详细讲解的过程中，通过分析、引导学生抽象、概括出方法及步骤，提示学生注意证明过程的规范性及严谨性。同时说明数学题型间的转化关系，使学生体验数学中的艺术美。另外通过探究加深对基本方法的掌握，拓宽解题思路使学生容易突破本节的难点，掌握本节重点）
应用探究；
1、函数f(x)=1的定义域什么？ x12、函数f(x)=在定义域上也是减函数吗？
x3、课堂实践（练习）
（意图：通过此题的探究、辅导、讲解，强化解题步骤，形成并提高解题能力。调动学生参与讨论，形成生动活泼的学习氛围，从而培养学生的发散思维，开阔解题思路，使学生形成良好的学习习惯）。
课后延展：、作业，思考
1、比较一次函数y=2x+3和二次函数y=x2的图象上有最低点和最高点吗？
2、通过图象观察函数值有最大或最小值吗？
8.能力提升 函数单调性 篇八
函数单调性
1.（1）已知函数f(x)＝x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，则实数a的取值范围是.（2）已知函数f(x)＝x2+2(a-1)x+2的递减区间是(-∞，4］，则实数a的取值范围是.ax12.函数f(x)在区间（-2，+∞）上是增函数，那么a的取值范围是（）x2
11A.0aB.aC.a<-1或a>1D.a>-2 22
ax4.判断f(x)2。(a0)在[1,)上的单调性并给出证明．．．．．x1
5.f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f（（1）求f(1)的值．
（2）若f(6)= 1，解不等式 f(x＋3)－f（(3)设f（2）=1，解不等式f(x)f(1)＜2 ． xx)= f(x)－f(y)y1)2x3
3.已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，2f(1)＝－3(1)求证：f(x)在R上是减函数；
9.浅谈高中数学函数的单调性 篇九
关键词：高中；函数；单调性
G633.6
函数是高中数学的函数学习当中的重点，所以在学习有关函数的知识时，我会从多个方面对函数进行认识与理解，包括函数的概念与定义、函数的性质等。其中很重要的一条性质便是函数的单调性，学好函数的单调性对于学好函数是必不可少的一步。函数的单调性在函数中具有很广泛的应用。比如，可以利用函数的单调性比较函数值的大小，也可以转化为比较自变量的大小；利用函数的单调性可以求函数的值域、最大值、最小值等等。
一、什么是函数的单调性
函数的单调性是函数的一条重要性质，它反映了函数值的变化规律。学习函数单调性的重点在于函数的单调性的有关概念。
1.增函数与减函数定义
对于函数 的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 ， ：若当 < 时，都有 < ，则说 在这个区间上是增函数；
若当 < 时，都有 > ，则说 在这个区间上是增函数。
因而，判断一个函数为增函数还是减函数，是相对于定义域内某个区间而言的。有的函数在某个区间上是增函数，而在另一个区间上可能变成减函数。有这样特性的最典型的函数便是函数 ，当 时为增函数，当 时是减函数。
2.单调性与单调区间
若函数 在某个区间是增函数或减函数，则就说函数 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
需要注意的是函数的单调区间是其定义域的子集，应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。
二、函数单调性的应用
函数的单调性在高考试卷上必不可少，而且对其的考查各式各样，考查的深度也远远高于课本。在考试中，对于函数单调性的考查难点往往在于证明或判断函数的单调性。在讨论函数单调性时必须在其定义域内进行，因此要研究函数的单调性就必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集。接下来我想谈谈函数单调性的应用。
1.函数单调性的判别
2.定义法
在数学中，解题过程中最基本的方法就是依靠定义。万变不离其宗，无论是什么解题方法，都是由最基本的定义衍生而来的。因此，函数单调性判别的定义法为，自变量增大函数值变小为减函数；反之，为增函数。
3.函数变换法
由上面的定义法我们可以得到单调函数运算后的一些结论：在同一个区间上，若 、 都是单凋增（减）函数，则 + 也是单凋增（减）函数；若 单凋递增， 单凋递减，则 - 单调递增；若 单凋递减， 单凋递增，则 - 单调递减.
4.复合函数法
设函数 由两个函数 与 复合而成，则 与 单调性相同时， 单调递增； 与 单调性不同时， 单调递减，这就是通常所说的同增异减。多层复合，依此类推。
4.作差比较法
根据定义证明函数单调性是判断函数单调性的最重要的方法。其步骤为：（1）设值：即在单调区间上设出两个不相等的自变量 、 ，且 < ；（2）比较：即比较 ）与 大小，通常采用作差或作商的方法；（3）判断：即根据定义结合前两个步骤得出结论。
5.等价变形法
三、函数单调性学习过程中的学习难点
了解了函数单调性的概念与定义，也知道了通过哪些方法可以判别函数的单调性，但是往往在应用中无法将这些定义与判别方法融会贯通，函数单调性经常是解题的关键点，如果无法将函数的这一性质运用得当，就无法轻松快速地解题，这也是我曾经在函数学习过程中遇到的一大困扰。我根据自己的理解，总结了一下这些问题的症结所在。
1.没有掌握数形结合的解题方法
華罗庚先生说过：“数无形，少直观；形无数，难入微。”数形结合的方法就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来解决问题，数形结合可以有效地解决许多数学问题。以形助数，以数辅形，可以使许多数学问题变得简易化，我觉得这也很关键。
因为函数的单调性只凭想象是不好理解的，所以需要依靠直观的几何图形，把数与形一一结合起来，才能使得抽象问题具体化，优化解题步骤，解出正确答案。而我们在学习数学过程中，尤其是学习函数时，总是没有数形结合的习惯和意识，这给我们学习带来不利的因素。培养数形结合的解题意识，掌握好数形结合的解题方法，不但可以使我们学习函数单调性时遇到的问题迎刃而解，更对我们在以后学习数学的过程有很大的帮助。
2.不能深刻理解定义域的内涵
定义域也是函数中非常重要的一部分，而定义域与函数的单调性也是密不可分的，因为定义域决定了函数的单调性。而在平时的学习过程中，我们对定义域的理解往往太过于抽象，没办法深刻理解定义域的内涵，就不能在解题过程中得到正确的答案。因此，深刻理解函数的定义域，对于我们更好得运用函数的单调性有重要的意义。
若是在学习函数单调性的过程中遇到瓶颈，大家可以在这两个方面找原因，找突破口，问题也就迎刃而解了。以上便是我自己对函数单调性的认识与理解。
.
【几种常见函数的单调性】推荐阅读：
函数的单调性证明09-10
函数奇偶性课件下载07-18
二次函数增减性问题07-20
函数奇偶性的学案07-30
英语As常见的几种用法09-08
对当前小学语文教学中几种常见现象的思考09-12
偷懒的办法处理拷贝构造函数与赋值函数07-28
EXCEL函数的使用09-15
初中《函数的使用》说课稿06-30
三角函数的教案设计08-02