微积分与数学建模

微积分与数学建模（共9篇）

1.微积分与数学建模 篇一

数学文化是具有内涵和外延的系统概念，由于数学文化是高职微积分有效教学的重要前提，同时也是促进教师有效教学和学生高效学习的源泉，因此数学文化在理论和教学实践中都是贯穿高职微积分有效教学的必由之路。

数学文化是国内外研究的热点课题，也是目前教育界积极探索实践的问题。它的内涵在于数学作为文化的一种类型，具有普遍性和特殊性，其特殊性也是作为数学所独有的，如数学思想的高度抽象性、数学精神的深度概括性、数学语言的完美简洁性、数学方法的独特灵活性。它的外延在于数学作为文化同时与经济、科技、人文、历史、美学等各个领域紧密联系，而这种联系都促进人类文明的进步与发展。

1 数学文化是贯穿高职微积分有效教学的必由之路

1.1 数学文化是高职微积分有效教学的重要前提

有效教学的理论源于20世纪上半叶西方教学科学化运动。通常有效教学指“教师遵循教学活动的客观规律，以尽可能少的时间、精力和物力投入，取得尽可能多的教学效果，从而实现特定的教学目标，满足社会和个人的教育价值需要。”同时笔者认为所谓有效教学是教师有效的教学与学生高效的学习的完美结合，即教师的“教”与学生的“学”都达到事半功倍的效果。数学文化是微积分进行有效教学的重要前提条件，因为数学文化渗透高职微积分的各个方面。

数学文化贯穿于微积分发展历史中。虽然微积分做为正式学科产生于近代，但是微积分的思想却始于古代。古希腊阿基米德的《圆的测量》与春秋庄子“一尺之捶，日取其半，万世不竭”等都体现了微积分的思想。17世纪伟大科学家牛顿和莱布尼兹创设了微积分的系统理论，并广泛的应用于天文学、物理学等领域，但其中的过程细节存在逻辑矛盾，由此产生了第二次数学危机。19世纪柯西等数学家从理论上解决“无穷小量”问题，从而结束了长达两个世纪的第二次数学危机。目前微积分的应用则更加广泛。

数学文化贯穿于微积分的思想方法中。微积分的学习不仅是知识的学习，也不仅是培养逻辑思维能力、综合计算能力、创新发展能力，更要从思想方法的高度来正确把握微积分，理解微积分思想中蕴涵的辩证法思想、美学思想、科学哲学思想、人类思维发展的艰辛曲折过程。微积分思想的理解不是依靠做题目解答出来的，而是必须依托数学文化的诠释和解读。

1.2 数学文化是促进教师对微积分有效教学的助推剂

数学文化帮助教师更有效的使学生理解微积分。在具体的高职微积分教学实践中，高职学生对极限、微积分的概念和符号(如“lim”、“df(x)”、“∫”)若仅从教科书来解读，往往不理解，甚至死记硬背都记不下。而如果在教学中从数学文化的角度来解读，则可以极大帮助学生理解微积分。如极限可以从微积分发展历史来加以介绍;积分的概念可以适当解读为最早为解决不规则图形的面积(如同学们熟知的圆面积公式来源)进而解决体积、质量等问题;“∫”则是“Sum”首字母的拉长体现了数学符号的简洁概括美。

数学文化帮助教师更有效的组织教学。通过数学文化贯穿高职微积分有效教学中，可以使教师在教学手段、教学形式、教学方法等方面都有新的突破，从而更有效的组织教学。在教学手段方面，可以在传统教学中适当穿插介绍微积分发展史的多媒体资料、通过多媒体动画效果展示极限的“无限接近”过程、适当运用Matlab软件计算微积分等。在教学形式方面，在班级授课的基础上可以围绕极限、微积分在日常生活中的应用进行分组讨论，然后将每组的结果予全班同学分享，从而提高教学的趣味性。在教学方法方面，高职微积分教学如果仅仅使用讲授法教学，其结果必然不佳。由于数学文化的博大精深，更由于数学文化与微积分的紧密联系，数学文化给予高职微积分教学提供了多种教学方法的选择，如讨论法可以应用在求极限的几种方法，探究法可以应用在从数学文化的角度探索出积分的概念。

1.3 数学文化是促进高职学生对微积分高效学习的发动机

数学文化激发学生学习高职微积分的兴趣。学生学习兴趣对于高效学习的实现起着重要的作用。笔者经过调查发现，大部分高职学生并非初始就对微积分缺乏兴趣，而是认为微积分课程缺少生动有趣。数学文化贯穿高职微积分有效教学中可以使原本感觉乏味的课程变得生动有趣，因为学生从微积分中的数学史感受人类发展道路的曲折，学生从微积分中的数学美学会欣赏自然的和谐美，学生从微积分中的数学思想领悟思想方法的重要性，学生从微积分中的人文价值理解学习数学的目标。

数学文化激发学生学习高职微积分的学习动机。学习动机是引起和维持个体的学习行为以满足学习需要的心理倾向。在目前激烈社会竞争情况下，高职学生有着强烈的专业发展动机，渴望升学成为他们最直接的目的。因此，高效学习微积分、高效学好微积分成为大部分高职学生的迫切需要。若仅仅通过题目练习，则往往在一知半解的情况下并不能达到良好的效果。高职微积分中蕴涵的数学文化，它的丰富的内涵和外延往往能够满足学生学好微积分的需要。因为它能够从辩证法的高度揭示微积分概念的本质，它能够从历史美学的方向把握微积分课程的总体脉络，它能够从思想方法的角度启发解决微积分问题的思路。

2 数学文化贯穿高职微积分有效教学的实践策略

2.1 数学史贯穿高职微积分有效教学

数学史是数学理论的建构发展史，同时也是人类理性思维的探索历程史。教师通过数学史的解读可以让学生理解微积分是不断进步的生动有趣的课程。首先，通过数学史创设的情境让学生感受数学的魅力。教师可以介绍微积分概念的起源和发展、数学家的趣闻逸事、古今数学思想方法的比较等。具体如：函数教学时介绍康托、集合论引起的悖论以及第三次数学危机，极限连续教学时介绍柯西、古代极限思想，导数微分教学时介绍符号的演变、第二次数学危机等。其次，数学历史故事、事件、过程培养学生创新意识和探索精神。如可以介绍瑞士数学家欧拉，在其双目完全失明的情况下，他凭借惊人的毅力和记忆对微积分研究达之久，期间还口述了几本书和几百篇论文，使微积分有了里程碑式的发展。

2.2 数学美贯穿高职微积分有效教学

数学美具有美的特性，教师通过数学美的诠释使学生学会感受美、欣赏美。因为数学美更体现在具有简洁、对称、和谐的特性。首先，微积分符号体现数学美的简洁性。微积分符号的简洁性增进思维敏捷度，将相对复杂的含义简单的表示出来，促进微积分的发展。如：函数的导数只需使用f’(x)即可，但若沿用极限来表示，则显得复杂并难以理解。其次，微积分解题应用体现数学美的.对称体性。微积分中数形对称颇为常见，这也常常能给理解记忆和解题带来帮助。如：导数的积的公式(uv)’=u’v+uv’，分部积分公式∫udv = uv-∫vdu可变形为：∫udv +∫vdu=uv+C。再次，微积分公式体现数学美的和谐性。和谐性贯穿于微积分之中。微积分基本定理中微分的局部性质与积分的整体性质是统一的。如：由于微分与积分互为逆运算，从基本导数公式可以直接推出基本积分公式;又如：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理之间密切联系体现了微分中值定理的统一与和谐。

2.3 联系实际贯穿高职微积分有效教学

微积分是高等数学的基础，同时也是解决其他自然科学的基础。教师通过将联系实际贯穿微积分使学生充分认识到其解决实际问题的价值和意义。微积分联系实际的应用，可以通过对物理(特别是运动与力学)、几何、经济、生物中数量变化关系的分析，建立简单的数学模型并通过微积分计算加以解决，从而丰富教学内容、调动学生积极性、拓宽学生思路，逐步将学生引导到微积分的学习中来。

2.4 强调过程贯穿高职微积分有效教学

笔者认为高职微积分有效教学必须强调过程教学，必须强调微积分知识发生、发展的过程。教师通过强调过程贯穿高职微积分，从而促使学生充分理解微积分的概念。如：导数教学中，若教师使用常规讲授法，即先直接讲导数的定义，而后给出基本导数公式，最后通过习题给学生练习巩固。则学生只能是机械的记忆公式然后解题，并未真正理解导数。因此，强调过程的有效教学应该是先例举如自由落体瞬时速度问题，让学生带着这个问题去主动探寻答案，而后通过极限计算简单函数的导数，再给出导数的定义，教师例举较复杂函数的导数计算，再给出基本导数公式，最后进行巩固练习。

2.微积分与数学建模 篇二

2016年3月我有幸参加了中国大学先修课程 《微积分 》的培训, 听了东北师范大学、清华大学、北京大学教授的讲座, 我感受颇深:有些学生高中数学考得非常好, 进了大学却一塌糊涂.用定理结论都会, 用定理手法证明的不会.高校数学系、物理系喜欢学习能力强的, 而不一定要高考成绩高的, 甚至高考数学140多分的, 在高校老师看来是否有能力他们第一节课就见分晓.

的确, 高中数学老师为了学生在高考中尽可能多地得到分数, 将题目归纳为类型题, 什么类型什么类型讲得很详细, 讲完学生反复练习, 练到差不多就可以进去考试, 只要听话又勤奋的学生总能考个百来分, 可是这样的学生将来进入大学或是走向社会又会有多少作为, 我们的确担心.而大学老师则从不会归纳什么类型, 还不会讲太细, 太细学生就没有自己的思考空间了, 这能说大学老师就不够尽责吗?这值得我们思考.我认为可以借鉴美国中学成功经验放手让我们的学生去做、去探索, 这样才能适应未来新型的社会需求.

那么如何培养新型的高中生, 适应现代化科技的发展? 根据高中生的认知特点, 要注重学思结合, 注重知行统一, 注重因材施教.我就高二数学人教A版第二章导数及其应用谈谈看法.

1.突出实际背景培养认知能力

教材用极限理论阐述导数定义之后, 给出了几个基本初等函数的导数公式, 学生在此时会长叹:导数定义好麻烦, 有公式真好。 实际上重视该课程的人文性, 而不过于强调其工具性, 重视学生数学思维的培养, 不是简单的计算, 而学生具有一定的演绎推理能力才是学习数学的真正目的.举例说明:

可见理解了导数的定义就能对此类运用自如.

2.关注知识的拓展应用

2016年福建省回归全国高考之后, 强调注意二阶导数的拓展应用, 虽然高中数学不涉及二阶导数的提法和应用, 但将函数的导数表示为新的函数, 并继续研究函数的性质的试题比比皆是, 尤其是课标卷.因此有必要关注二阶导数在研究函数中的拓展应用, 留意函数凸性的等价性, 但要注意过程性的学习, 而不是定理的记忆.

虽然福建省考试说明的修订与全国统一考试大纲一致, 我们研读的结果也发现没有太大差异, 但具体实施时, 有些知识内容的考查可能超出福建的要求, 造成颠覆性失误.需要引起我们的注意和重视, 比如二阶导数的应用、 反函数的概念等.以我之见, 一些定理性质只要遇到都是可以适时增加的.

定理:设函数f (x) 在x0处具有二阶导数且f′ (x0) =0, f″ (x0) ≠0, 那么

(1) 当f″ (x0) <0时, 函数f (x) 在x0处取得极大值;

(2) 当f″ (x0) >0时, 函数f (x) 在x0处取得极小值.

定理:设函数f (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 处具有一阶和二阶导数, 那么

(1) 若在 (a, b) 内f″ (x0) >0内时, 则f (x) 在[a, b]上的图形是凹的;

(2) 若在 (a, b) 内f″ (x0) <0时, 则f (x) 在[a, b]上的图形是凸的.

定理、结论很多人都知道, 都说得出来, 用文字叙述也没问题.很直观的东西用数学语言怎么描述出来就难了, 要联想到应用、证明就更难了.特别强调:鼓励学生学得深一些、广一些, 不断提升学科素养, 养成学习习惯, 提高自主学习能力, 为实现自身理想奠定扎实基础.以下例2的证明就需要考虑二阶导数的拓展应用.

例2. (2015年课标Ⅱ卷·理21) 设函数f (x) =emx+x2-mx

(1) 证明f (x) 在 (-∞, 0) 单调递减, 在 (0, +∞) 单调递增;

(2) 若对于任意x1, x2∈[-1, 1], 都有|f (x1) -f (x2) |≤e-1, 求m的取值范围.

再如例3, 有参加过竞赛培训的学生在处理第二小题的时候, 用了大学的知识拉格朗日中值定理巧妙地构造并完美地证明出来, 显然比用导数显得轻松得多, 然而我们不要表扬鼓励学生有这样的能力吗?

例3. (2016年福建省4月质检·理21) 已知函数f (x) =ax-ln (x+1) , g (x) =ex-x-1, 曲线y=f (x) 与y=g (x) 在原点处的切线相同.

(1) 求f (x) 单调区间;

(2) 若x≥0时, g (x) ≥kf (x) , 求k的取值范围.

3.注重概念的理解

例4.一辆汽车在笔直的公路上变速行驶, 设汽车在时刻t的速度为v (t) =2t-3, (0≤t≤2) (t的单位:h, v的单位:km/h) , 则这辆车在2小时内行驶的路程____km.

我们不幸地发现高中教学定积分部分基本上成了一种微积分基本定理的运算, 只追求怎样用这个定理, 却忽视了定理本身的内涵, 而实际上定理本身的内涵更重要.微积分作为一个强大的工具, 可以帮助我们解决一些用初等数学思想处理比较繁琐的数学问题.大学老师说过这样一句话:可微的力量比可导的力量强大得多, 千万别误导了学生.

显然微积分学在数学以至整个自然科学中占有重要地位, 微积分的思想方法不仅是学生以后学习许多数学分支的基础, 而且对于培养学生的数学思维, 增强学生的解题能力有很大的促进作用. 其中导数和积分是微积分学中最重要的两个概念, 它们是研究函数和解决实际问题的重要工具.如果中学数学还一味地追求怎么用这个定理, 怎么套入公式运算, 而忽视了定理本身的内涵, 一则对微积分强大的思想领域造成误解;二则对学生数学思维的培养有很大的局限性.

是的, 基于创新型人才培养理念, 我们作为高中数学老师, 要注重学思结合, 注重知行统一, 注重因材施教, 强调中学生自主学习, 不要采用题海方式, 要知道比知识更重要的是能力及渗透在能力中的解题策略, 只有注重能力的培养才是真正培养新型人才的途径.

摘要：基于对新型人才培养理念, 高中数学老师, 要注重学思结合, 注重知行统一, 注重因材施教, 强调中学生自主学习, 不要采用题海方式, 因为比知识更重要的是能力及渗透在能力中的解题策略, 只有注重能力的培养才是真正的培养新型人才的途径.

关键词：导数,概念,极限,微积分

参考文献

3.微积分与数学建模 篇三

数学建模思想大学生微积分一、前言

（一）研究背景

在这个越来越重视知识经济，学习微积分能力凸显的越来越重要的时代，如何有效学习微积分，轻松学习微积分，成为了大多人一直经久不息研究的话题。数学建模的思想最近就莫名其妙的火了起来，很多成人都在参加数学建模的思想的培训。也有很多作为家长的成人，去参加培训也就只是为了帮助孩子学习微积分。数学建模的思想越来越火爆，老师、学生和家长又该如何从中得到学习微积分的办法呢？

（二）研究意义与目的

在数学建模的思想越来越流行与火爆的情况下，很多大学的老师、大学生都开始试着去将数学建模的思想融入到微积分的学习当中，去提高微积分的学习效率。本文就以研究数学建模的思想在大学生学习微积分中的应用与影响，来对数学建模的思想与微积分进行讨论。

二、数学建模的思想含义与作用

数学建模的思想作为一种革命性的思维工具，不仅简单也很有效。数学建模的思想法也称为心智图法，是植基于认知心理学、语意学、组织结构、色彩学、图像学及脑神经微积分等相关理论，所发展出能够有效提升思考力与学习微积分的方法。简单地来说，数学建模的思想就是一份份帮助我们了解并掌握大脑工作原理的使用说明书。使用数学建模的思想，可以增强使用者的记忆力和理解力，通过一张张自我构建的模式图表能让使用者增强立体思维能力；可以把一长串枯燥、冗长的复杂信息变成彩色的、丰富的、容易记忆和理解的。总而言之，数学建模思想对于使用者都是一个能够帮助其有效学习微积分，有效规划的很好的方法。

三、数学建模思想在大学生学习微积分过程中的应用与影响

（一）数学建模的思想在学习微积分上的应用

对于很多大学生，特别是女学生，学习微积分是比较困难的。因为数学上有很多零散的知识点，而每个专题的知识点都是独立和系统的，需要运用理性的思维，也需要良好的逻辑能力。数学本身就是一种符号，一种特殊的数学符号。有些数学数量关系，借助于数学建模的思想，可以使抽象的数学图表，数学公式变得立体直观，更加有利于学生记忆和理解。将各个专题的知识点、数学公式系统地结合起来，由一个中心点展开，找到各个专题中的有联系的地方，或者在一个专题中，由一个知识点联系到另一个知识点，慢慢地拓展开来。比如，了解到三角形的面积体积算法后，能够听过专题知识点之间的联系，联想到正方形，长方形等面积体积的算法，然后可以利用这些零散的数学知识点去解决一些实际应用题。通过数学建模的思想，可以用生活中的实际问题、情景去研究、分析题意，让复杂抽象的数量关系清晰明朗地呈现在直观的模型上，同时做到举一反三，运用建立的模型知识去解决问题。那又该如何带领学生应用数学建模的思想法来解决数学问题呢？首先，老师应该帮助学生理解数学建模的方法，引导学生认识、了解数学建模的方法和作用。其次，在黑板上做出板书示范，如对于多边形的面积体积计算这一个专题。让学生对如何制作数学建模有了更清晰的认识。再次，鼓励学生自己动手制作模型。最后，对模型进行评价，探讨它的可行性。

学习微积分，需要日常的积累。相对于微积分的直观，似乎有些讲不清道不明。对于大学生来说，数学上的问题很多可以套用公式来解决，它的答案是唯一的。所以，很多学生都会觉得微积分很难，分数提高不上去，找不到学习微积分的技巧。但是，通过运用数学建模的方法，学习微积分也有了一定的捷径和技巧。比如，在复习的时候，老师首先可以做个示范。运用数学建模的基础方法，把以前学过的微积分利用建模的方法在进行题解，然后，指导学生自己去寻找归纳方法，对所学过的微积分等进行分类。这样学生在复习时可以通过这个模型方法，系统的、带着联系的观念去记忆。

（二）数学建模思想融入到微积分教学中的影响

虽然从大一开始就会相对地接触微积分，但是很多大学生至今还是没有能够摸清学习微积分的本质套路。因为微积分不像是高数，单独的高数将概念与应用进行了混合，而微积分并没有。对于大学生来说，在学习微积分的过程中，微积分中的积分起到了举足轻重的作用。老师可以在授课时，把积分要素根据主题思想，进行板块记忆，这样学生就可以更好地理解。学生曾经对于积分要素一贯的做法就是拿着微积分做过的题目对他们的过程进行死记硬背，或者机械抄写截图步骤，别说几十遍，或许连百遍都没太大作用。运用数学建模的思想，将整个微积分系统整理，还能帮助学生记住重点，连锁记忆。还有很多学生对微积分的理解十分具有抵触心理。因为微积分步骤繁琐比较长，积分次数又多，很多学生都表示看不懂，看不下去。这时，老师可以运用数学建模思想，对整个微积分进行一个大致的介绍，学生在对微积分题目进行阅读，感知数学建模思想呈现出的内容。老师再根据微积分的主要积分内容和主干思想进行提问，学生带着老师给出的问题，有目的性地去看微积分，既可以突出重点还能注意细节。

近年来，各国对学生微积分课程越来越重视，也都加大了对微积分课程课改的力度，注重培养大学生对微积分的兴趣，体验微积分过程，发展微积分精神。因为微积分这门课程涉及的内容比较广泛，要学的东西也有很多。而在微积分的教学时，方法尤为重要。应用数学建模思想方法，将各部分内容进行系统学习，为以后学习微积分化学、物理等打下坚实的基础，在脑海中留下一定的体系，建立一些可靠有用的模型。

在大学的学习微积分中，虽然分数很重要，但是树立一个健康正确的三观和拥有一个良好的思想，比成绩更加重要和必要，所以数学建模的思想在大学学习微积分中产生了影响。因为大学生刚刚接触微积分，所以思想方法是非常重要的。老师要应用好数学建模的思想法，帮助学生树立好正确地解决微积分的思想观念，必要时要让学生进行数学建模思想的课程培训，可以很好地让学生理解数学建模，促进他们把数学建模的思想当作首要解决微积分的方法，也可以很大程度上帮助到学生学习微积分。

四、总结

在数学建模的思维能力凸显的年代，能够找到适合自己，能够提高成绩和效率的办法实在是非常不容易。数学建模的思想法虽然是一个很有效且非常困难的办法，但是知道是一回事，做到又是另一回事了。数学建模在现代的数学学习中占据着很大的比例，建模的思想可以帮助学生主动建立一个案例模型，然后解决微积分。但是，平时靠着普通的方法解决微积分，低下的效率而以失败告终。有多少人想一探模型魅力而半途折返？很多人，败在了第一步；亦有很多人，败在了不坚持。实践是第一步，坚持则是最重要的一步。数学建模的思想如果能被很好地应用，那么它能帮助使用者更好地学习微积分，如果只是三分钟热度，那么再好的方法也提高不了成绩，提高不了效率。

参考文献：

[1]王文波.数学建模的思想在大学生学习微积分中的应用[J].北方教育学，2012，（07）.

[2]林瑞瑶，吴丹云，郭垂芸，陈妙钿.数学建模的思想在大学生学习微积分中效果观察[J].当代教育，2012，（20）.

[3]林鹏.数学建模的思想在教学模式的探索与实践[J].高教论坛，2008，（06）.

4.微积分与数学建模 篇四

2018考研数学：微积分如何复习？

微积分的基本内容可以分为三大块：一元函数微积分，多元函数微积分(主要是二元函数)，无穷级数和常微分方程与差分方程。一元函数微积分学的凯程是考研数学三微积分部分出题的重点，应引起重视。多元函数微积分学的出题焦点是二元函数的微分及二重积分的计算。无穷级数和常微分方程与差分方程考查主要集中在数项级数的求和、幂级数的和函数、收敛区间及收敛域、解简单的常微分方程等。下面从三个方面来谈微积分复习方法。

一、基本内容扎实过一遍

事实上，数学三考微积分相关内容的题目都不是太难，但是出题老师似乎对基本计算及应用情有独钟，所以对基础知识扎扎实实地复习一遍是最好的应对方法。阅读教材虽然是奠定基础的一种良方，但参考一下一些辅导资料，如《微积分过关与提高》等，能够有效帮助同学们从不同角度理解基本概念、基本原理，加深对定理、公式的印象，增加基本方法及技巧的摄入量。对基本内容的复习不能只注重速度而忽视质量。在看书时带着思考，并不时提出问题，这才是好的读懂知识的方法。

二、读书抓重点

在看教材及辅导资料时要依三大块分清重点、次重点、非重点。阅读数学图书与其他文艺社科类图书有个区别，就是内容没有那么强的故事性，同时所述理论有一定抽象性，所以在此再一次提醒同学们读书需要不断思考其逻辑结构。比如在看函数极限的性质中的局部有界性时，能够联系其在几何上的表现来理解，并思考其实质含义及应用。三大块内容中，一元函数的微积分是基础，定义一元函数微积分的极限及微积分的主要研究对象——函数及连续是基础中的基础。这个部分也是每年必定会出题考查的，必须引起注意。多元函数微积分，主要是二元函数微积分，这个部分大家需要记很多公式及解题捷径。无穷级数和常微分方程与差分方程部分的重点很容易把握，考点就那几个，需要注意的是其与实际问题结合出题的情况。

三、做题检测学习效果

大量做题是学习数学区别与其他文科类科目的最大区别。在大学里，我们常常会看到，平时不断辗转于各自习室占坐埋头苦干的多数是学数学的，而那些平时总抱着小说看，还时不时花前月下的同学多半是文科院系的。并不是对两个院系的同学有什么诟病，这种状况只是所学专业特点使然。在备考研究生考试数学的时候，如果充分了解其特点，就能对症下药。微积分的选择及填空题考查的是基本知识的掌握程度及技巧的灵活运用大家可以找一本相关习题多练练。微积分的解答题注重计算及综合应用能力，平时多做这方面的题目既可以练习做题速度及提高质量，也能检测复习效果。

其实看看凯程考研怎么样，最简单的一个办法，看看他们有没有成功的学生，最直观的办法是到凯程网站，上面有大量学员经验谈视频，这些都是凯程扎扎实实的辅导案例，其他机构网站几乎没有考上学生的视频，这就是凯程和其他机构的优势，凯程是扎实辅导、严格管理、规范教学取得如此优秀的成绩。

辨别凯程和其他机构谁靠谱的办法。

页 共 1 页

5.大学如何学好高等数学微积分 篇五

学习高等数学，注意自始至终要做到学习与思考相结合。整个学习的过程就是思考的过程。我们在中学就知道，“学而不思则罔，思而不学则殆”的道理。这句话提醒我们只有把学习与思考结合起来，才能不断发现问题，有所收获。遇到一些典型问题要多加考虑，追根溯源，这样不管问题如何变化，都能做到游刃有余。

对于有些函数在高等数学里被称为变上、下限的积分函数。这类函数在极限问题和微分问题中是常见的，由于该函数较为抽象，学习和理解起来难度相对来说大一点。教材中已给出当积分上限为变量x时，有公式，我们可以进一步考虑到当积分下限为变量x时，应该有对应的公式成立。再往深处思考，我们还能想到当积分上限为变量x的函数b(x)，积分下限为变量x的函数a(x)时，应该有更相对应的公式成立。通过思考若能掌握这些要点，那么再次遇到有关变上、下限的积分函数的问题，都可轻松解决了。

6.微积分与数学建模 篇六

新大纲发布之后,网上有不少大纲解析文章。当然, 关于考研后期复习及复习策略,才 是同学们最关注的。选哪些资料,现阶段看几遍书,做题效率慢,二战如何把握节奏等,凯 程考研的辅导专家就以问答的形式回答部分考生的疑问。

1.市面或网上的考研数学复习资料很多:考纲、各类文章、真题、各阶段的模拟题, 那么考研数学复习的基本依据是什么 ? 基本依据是考纲和历年真题。考试大纲是命题依据, 考生可以通过考纲获得考研的最基 本也是最权威的信息, 如考试范围和考试要求。而历年真题在所有试题中含金量最高, 可以 通过对真题的分析获得多方面的信息,如试题难度,核心考点等。

2.能否简单概括考研数学的要求 ? 我们依据什么来回答这个问题呢 ? 我认为是对考纲和真题的分析。从考纲看,考研数学 对考生有掌握程度的要求,分为“了解”、“理解”和“掌握”;从考研真题看,考研数学 的要求如果用三个关键字概括,即:“基础”、“方法”和“熟练”。

3.您说的“基础”、“方法”和“熟练”具体指什么 ? 考生可任选一道考研真题, 该题可能有一定难度和综合性, 但其分解之后的考点都在考 纲规定的考点范围内,说明考研数学重基础。

那么打牢基础是否能轻松应对考试呢 ? 不够,还需要在此基础上总结方法。比如中值定 理相关的证明题是令不少考生头痛的一类题。考生把基础内容(闭区间上连续函数的性质、费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理 掌握好后(定理内容能完整表述,定理本身 会证 ,直接做真题,很可能没什么思路,不知道朝哪个方向想。

知识从理解到应用有一个过程:理解了不代表会用, 应用还有个方向问题——在哪方面 应用呢 ? 这时真题的价值就显现出来了:真题是很好的素材,通过对历年真题的分析总结, 可以对真题的具体应用有直观认识, 对真题的命题思路有全面认识。

换句话说, 通过对真题 “归纳题型, 总结方法” 可以让考生知道拿到题目往哪个方向想。以中值定理相关的证明这 类题型为例,如果总结到位了, 就能达到如下效果:拿到一道此类型的题目,一般可以从条 件出发进行思考,看要证的式子是含一个中值还是两个。若是一个,再看含不含导数, 若含 导数,优先考虑罗尔定理,否则考虑闭区间上连续函数的性质(主要是两个定理——介值定 理和零点存在定理;若待证的式子含两个中值,则考虑拉格朗日定理和柯西定理。

4.后面的时间如何安排,如何规划 ? 一般来说,一个完整的考研复习周期为近一年的时间——从 3月到 12月,可以划分为 “考研四季”:考研之春(3-6月 ,考研之夏(7-8月 ,考研之秋(9-10月 和考研之冬(11-12月。前三季对应考研数学的三个要求——“基础”、“方法”和“熟练”,第四季的任务 是模拟演练,查漏补缺。

以上是大的规律性的东西。每位考生可以根据自身的情况制定自己的复习计划。

5.您提到的“基础”、“方法”我相对完整地过了一遍,那接下来怎么达到“熟练” 呢 ? 考生可能对考研没有透彻的理解, 但一定对高考有较全面的把握。而考研数学和高考数 学有不少相似之处, 那么大家如何达到高考数学的 “熟练” 的要求呢 ? 多做题是有效的途径。

做什么题 ? 真题和模拟题。优先选真题,市面上有十几年的真题解析,网上也有一些资料。此外, 假设考生考数学三,那么不光做数三的历年真题, 数一数二,只要在数三的考试范围 内的真题,也要做。最后,想要达到“熟练”,分享一句卖油翁的话, “无他,唯手熟尔”。6.刚做了两套测试卷,感觉不理想,您说的“基础”、“方法”我好像都没掌握好, 受打击呀。

李开复说过“挫折不是惩罚,而是成长的契机”。测试成绩不理想,感觉受打击也是人 之常情。但更积极的态度是将其看成完善、提升的机会。暴露出问题不可怕, 甚至是必要的。我们还有相对充足的时间,完全可以有大幅度的提升。

你这种情况也不少。那既然发现了自己基础不牢, 方法也未完全掌握, 那怎么做其实自 己也明白了。数学是很“诚实”的学科,有的文科自己没有什么思路,还可以写点自己的认 识,但数学没有思路,真的写不出什么来。所以从头做起,扎扎实实是必不可少的。当然, 也不要忘记“考研之秋”的任务。

一、历年微积分考试命题特点

微积分复习的重点根据考试的趋势来看,难度特别是怪题不多,就是综合性串题。以往考试选择填空题比较少,而今年变大了。微积分一共 74分,填空、选择占 32分。第一 是要把基本概念、基本内容有一个系统的复习,选择填空题很重要。几大运算,一个是求极 限运算,还有就是求导数,导数运算占了很大的比重,这是一个很重要的内容。当然,还有 积分, 基础还是要把基本积分类型基础搞清楚, 定积分就是对称性应用。二重积分就是要分 成两个累次积分。三大运算这是我们的基础, 应该会算, 算的概念比如说极限概念、导数概 念、积分概念。

二、微积分中三大主要函数

微积分处理的对象有三大主要函数, 第一是初等函数, 这是最基础的东西。在初等 函数的基础上对分段函数, 在微积分的概念里都有分段函数, 处理的一般方法应该掌握。还 有就是研究生考试最常见的是变限积分函数。这是我们经常遇到的三大基本函数。

三、微积分复习方法

微积分复习内容很多, 题型也多, 灵活度也大。怎么办呢 ? 这其中有一个调理办法, 首先要看看辅导书、听辅导课, 老师给你提供帮助,会给你一个比较系统的总结。老师总结 的东西, 比如说我在考研网辅导课程中总结了很多的点, 每一个点要掌握重点, 要举一反三 搞清楚。从具体大的题目来讲, 基本运算是考试的重要内

容。应用方面,无非是在工科强调 物理应用,比如说旋转体的面积、体积等等。在经济里面的经济运用,弹性概念、边际是经 济学的重要概念,包括经济的函数。还有一个更应该掌握的, 比如集合、旋转体积应用面等 等,大的题目都是在经济基础上延伸出的问题,只有数学化了之后,才能处理数学模型。还有中值定理, 还有微分学的应用, 比如说单调性、凹凸性的讨论、不等式证明等 等。应用部分包括证明推断的内容。

简单概括一下就是三个基本函数要搞清楚, 三大运算的基础要搞熟, 概念点要看看 参考书地都有系统的总结,哪些点在此就不一一列了。计算题、应用题、函数微分学延伸出 的证明题都要搞熟。

凯程教育: 凯程考研成立于 2005年,国内首家全日制集训机构考研,一直从事高端全日制辅导,由李 海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩 教授等一批高级考研教研队伍组成, 为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。

凯程考研的宗旨:让学习成为一种习惯;凯程考研的价值观口号:凯旋归来,前程万里;信念:让每个学员都有好最好的归宿;使命:完善全新的教育模式,做中国最专业的考研辅导机构;激情:永不言弃,乐观向上;敬业:以专业的态度做非凡的事业;服务:以学员的前途为已任,为学员提供高效、专业的服务,团队合作,为学员服务,为学 员引路。

如何选择考研辅导班: 在考研准备的过程中, 会遇到不少困难, 尤其对于跨专业考生的专业课来说, 通过报辅导班 来弥补自己复习的不足, 可以大大提高复习效率, 节省复习时间, 大家可以通过以下几个方 面来考察辅导班,或许能帮你找到适合你的辅导班。

师资力量:师资力量是考察辅导班的首要因素, 考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经 验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价,询问往届学长然后选择。判断师资力量 关键在于综合实力, 因为任何一门课程, 都不是由

一、两个教师包到底的, 是一批教师配合 的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集, 李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构 只是很普通的老师授课,对知识点把握和命题方向,欠缺火候。

对该专业有辅导历史:必须对该专业深刻理解, 才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班 中,从来见过如此辉煌的成绩:凯程教育拿下 2015五道口金融学院状元,考取五道口 15人,清华经管金融硕士 10人,人大金融硕士 15个,中财和贸大金融硕士合计 20人,北师 大教育学 7人, 会计硕士保录班考取 30人,翻译硕士接近20人,中传状元王园璐、郑家威 都是来自凯程,法学方面,凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩 获多个法学和法硕状元, 更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜, 成功学 员经验谈视频特别多, 都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩, 凯程集训营班主任邢 老师说,凯程如此优异的成绩, 是与我们凯程严格的管理,全方位的辅导是分不开的, 很多 学生本科都不是名校, 某些学生来自二本三本甚至不知名的院校, 还有很多是工作了多年才 回来考的, 大多数是跨专业考研,他们的难度大, 竞争激烈, 没有严格的训练和同学们的刻 苦学习,是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。

建校历史:机构成立的历史也是一个参考因素,历史越久,积累的人脉资源更多。例如,凯 程教育已经成立 10年(2005年,一直以来专注于考研,成功率一直遥遥领先,同学们有 兴趣可以联系一下他们在线老师或者电话。

7.高中数学解题中微积分的应用 篇七

微积分是数学发展过程中的重要转折点, 为近代数学的过渡提供了有利条件, 使人们在研究函数以及相关变量时拥有了新的方法与手段. 与之前的教学大纲不同的是, 最新的教学大纲将基础的微积分知识放到了高中, 使学生能够对微积分有简单的了解, 为大学所学习的高等数学做准备.

一、高中学习微积分知识的优点

1. 帮助学生理解学习数学知识的价值

学生对微积分进行简单的学习, 能够帮助学生更好地解决数学问题, 甚至于将来在社会生活也能够运用微积分进行问题的处理, 例如, 能够帮助学生解决好速度、加速度、边际成本与利润、表面面积与体积、切线、极值等数学问题, 使学生们能够在问题的解决过程中发现数学知识的科学文化以及实际应用价值.

2. 提高学生的思维能力, 掌握变量思想

学习微积分知识能够帮助学生提高自身的思维能力, 使学生能够以动态的变量思想来看待数学问题, 使其能够不再将问题看为静态的, 在自身的学习中能够逐步了解变量和常量、动态与静态之间的区别, 能够更好地发现数学量所存在的不同, 将高中学生的思维能力进一步提高, 为日后学习高等数学做准备.

3. 为大学高等数学中的微积分学习做准备

当高中生进入大学学习时, 高等数学中所包含的微积分知识则会变得更加困难, 如果高中不能对其进行了解的话, 日后学习便会吃力. 高等数学所涉及的微积分知识偏理论化、科学化, 教师在进行讲解的时候也都是从公式着手, 然后让学生进行逻辑上的理解, 学生无法知道其实际的运用意义. 不仅如此, 很多学生都会认为微积分是仅供数学家娱乐的, 对于学生没有多大作用, 因此就会造成学生对微积分的学习没有兴趣. 在高中进行微积分的学习, 能够帮助学生了解微积分的背景, 为大学的学习做好准备工作.

二、微积分知识在高中数学解题中的具体运用

1. 对不等式进行证明

如今高考考查方向已经走向了对知识的灵活运用及综合使用上, 而数学知识的考查当中, 最常见的题型之一就是运用微积分对不等式和函数进行运算. 对涉及三角函数、指数函数以及对数函数的不等式使用微积分知识进行解题, 能够更好地得出答案, 同时还能够避免出错的可能性. 在对不等式进行证明的时候, 首先要先将需要证明的不等式进行适当的变形, 使其变为能够通过计算而判断出大小的函数, 接着构建出相应的辅助函数, 对辅助函数进行必要的求导, 画出相对的区间, 使其能够进行正负的判断, 然后就能够根据正负确定函数在具体区间内的单调性, 最后就可以通过单调性对函数进行判断, 并最终对不等式进行证明.

2. 证明多种函数的单调性

在高中教学中, 对三角函数等多种函数的单调性进行有效证明, 一直都是重要的知识点, 单调性就是在特定的区间[m, n]上, 看自变量在变化的过程中, 因变量会产生怎样的变化情况.然而, 在没有使用微积分进行单调性的证明时, 基本上都需要根据单调性的相关定义才能够进行单调性的判断, 因变量的变化是根据自变量的变化而变化着的, 随之变大的函数称之为增函数, 反之, 随着变小的函数就称为减函数, 可是, 单调性的定义也只能对简单的函数进行证明, 复杂的函数只能用微积分来证明. 如果相应的函数在进行求导工作之后, 导数在对应的区间上求出的数据大于零, 说明此函数在区间上是单调递增的函数, 反之, 如果所求出的导数数据小于零的话, 则说明此函数在区间上是单调递减的函数.

3. 求解函数的最值

对函数进行最值的求解方法有很多种, 其中使用微积分的知识对其进行求解则是最简单的方法, 能够为学生的解题提供新的思路与方法. 以二次函数进行最值的求解为例, 函数在特定区间里面是有求解最值的参数的, 因此就需要先求出参考值, 然后对二次函数进行画图的话, 这一系列的求解过程显得特别麻烦. 然而, 如果使用微积分进行求解的话, 只需要将函数的单调性画出, 然后将其与最值进行比较, 这样就能够很方便的将二次函数的最值求解出来. 不仅仅是二次函数, 微积分能够对多种复杂的函数进行最值的求解.

4. 对特殊曲线的切线进行求解

由于高考中对于微积分知识的考查比重增加, 教师在教学的过程中对于特殊曲线的切线求解也就会更加重视, 其中包括三角曲线、对数曲线以及指数函数等. 对于这些复杂的曲线进行切线的求解, 如果使用以前的方法就会导致工作量的加大, 甚至是无法得到正确的答案, 因此就必须使用微积分知识进行切线的求解. 使用微积分知识时, 只需要将切线的斜率求出来, 就能够很好的解决问题.

8.微积分在中学数学中的应用 篇八

一、恒等式的证明

有些恒等式，用初等方法证明，往往需要较高的解题技巧，而用微积分的方法，则很简单.

【例1】 证明：arctanx+arccotx=π2，x∈R.

证明：因为x∈R，有(arctanx+arccotx)′=11+x2 -11+x2 =0,

所以arctanx+arccotx=C （C是常数）.

为了确定C，令x=0，有C=arctan0+arccot0=π2 ，

因此arctanx+arccotx=π2 ，x∈R.

二、极值问题

初等数学能解决的极值问题是有限的，且方法不一，难以寻找，如果用微分的方法，有的问题解决起来就很简便.

【例2】 求函数f(x)=xne-n2x（n是自然数，且n≥2）在［0,+∞)的最大值与最小值.求极限(x≥0）limx→∞f(x).

解：f′(x)=nxn-1e-n2x-n2xne-n2x=nxn-1e-n2x(1-nx).

令f′(x)=nxn-1e-n2x(1-nx)=0，得到两个稳定点0、1n ，其中，0是区间［0,+∞)的左端点，讨论f′(x)在稳定点1n 的情况.

列表如下：

函数f(x)的极大值f(1n )=1nnen ，f(0)=0.从表中可以看到fn(x)在1n 取最大值，有f(x)=xne-n2x≥0.

又f(0)=0，

即函数f(x)在0处取得最小值是0.

于是，x∈［0,+∞)，n∈N，

有0≤f(x)≤f(1n )=1nnen0(n∞) .

于是，x≥0，有limx→∞f(x)=0.

三、 函数单调性的讨论

中学数学中函数的单调性一般用定义判别，计算繁琐，对某些函数甚至无法判别，而在微积分中根据“若x∈区间I，有f(x)′＞0(＜0)，则f(x)在区间I严格增加（严格减少）”容易判别函数的单调性.

【例3】 求函数

f(x)=2(1-t+t2-t3)（0＜t＜12 ），

12 (t+1t )（t≥12 ）

的严格单调区间.

解：当0＜t＜12 时，

由f(x)=2(1-t+t2-t3)，得f′(x)=-2(1-2t+3t2)＜0；

当t≥12 时，

由f(x)=12(t+1t ) 得f(x)′=12(1-1t2) ，

当12≤t≤1时，f(x)′＜0；

当t＞1时，f(x)′＞0.

因此f(x)在（0，1）严格单调减少，在（1，+∞)严格单调增加.

9.微积分与数学建模 篇九

高等数学是初等数学的延续和发展，而初等数学是高等数学的基础。作为学习和研究数学的途径，无疑应该先学习和掌握初等数学，然后才能学习和掌握高等数学。反之，学习高等数学能加深加宽对初等数学的理解，可以提高我们的数学修养，开阔思路，提高解决问题的能力。而在初等数学与高等数学的研究与发展中微积分都占有重要的地位。

一．用微积分知识直接用来处理初等数学的问题而达到简便的目的。

在初等数学中有些不能或不易解决的问题，运用高等数学的理论和方法可以得到圆满的解决.例如：中学数学中证明某些恒等式时的恒等变形过程相当繁杂，稍不小心就会出错。如果题目再复杂一些，就更困难。使用微积分的知识，可以避免繁杂的工作。

例1（方程根的讨论）

求证(xa)(xab)1有两个相异实根，并且一个根大于a，令一个根小于a． 证法一（采用初等方法证明）

证明将方程(xa)(xab)1整理的22x2abxaab10

22ab4aab12

2224a4abb4a4ab4

2b40 

所以方程有两个相异的实根

2abb242abb24x1,x222

2abb24bb24x1aa22

2abb24b24x2aa22

因为 b24b2,所以b24b.因此x1a,x2a.证法二（采用微积分方法证明）

证明设fxxaxab1

则

x0fa10因为limfx，所以在区间,a和a,内分别存在和，使

f0,f0

由连续函数的介值性定理，在区间,a和a,内分别存在x1和x2，使的fx10,fx20

这表明x1和x2是方程的两个相异实根，x1a,x2a.不仅如此，根据这一证法，我们还可以深化和拓广对这一方程的研究，获得新的结论．因为fab10 所以ab同样介于方程的两根之间，我们还可以看到，方程xaxab1的右端对于本题的结论来说并非是至关重要的，关键是方程的右端必须是一个正数．于是综合以上两点可以得到更为一般的结论：设c0，则方程xaxabc必有两个相异实根，且均介于方程的两根之间．

注：本题用初等数学的方法证明必须分为两步：先利用判别式证明方程有两个相异实根，再利用求根公式求出方程的两个根，并与a比较其大小，这样做具有一定的计算量，显得麻烦．而采用微积分的方法，可将两步并为一步，显得简捷，而且还可以得到更为深层的结论。

例2（不等式的证明）

若x0，求证：xln1xx 1x

证明设fxln1x则fx在0,x上满足拉格朗日中值定理，故存在0,x使f

即 fxf0 x01ln1x 1x

111 1x10x,

1ln1x1 1xx

xln1xx 即1x

注 不等式的证明方法多种多样，没有统一的模式，初等数学常用的方法是恒等变形、数学归纳法、利用二次型、使用重要不等式等，往往有较高的技巧．利用微积分的方法证明不等式，常利用函数的增减性、微分中值定理等有关知识，它可使不等式证明的过程大大简化，技巧性降低，但也没有固定模式． 例 3（代数式的化简）

化简xyzxyzyzxzxy.3333

解把x看作变量，y与z看作常量．令

fxxyzxyzyzxzxy.3333

对求导得

fx3xyzxyzyzxzxy24yz 2222

上式两端取不定积分得 fx24yzdx24xyzC

xyzxyzyzxzxy24xyzC 3333

令x0得Cyzyzyzzy0 3333

故原式24xyz

注 对于代数式的化简，初等数学常采用的方法是把各项展开然后合并同类项，计算量比较大，比较繁琐。利用微积分方法可使解题过程简化。

二．微积分可以为初等数学中常用的数学方法提供理论依据。

例如：在中学数学中，我们经常用的一些定理、公理都不加以证明，只用其结论。这些在高等数学中，利用微积分等知识就可以进行推理，例如：祖恒定理的证明。我们可以用这些方法解决用其他数学方法难于处理的许多问题。祖恒定理的证明

高中立体几何中的祖恒定理只是作为公理进行应用，事实上，它无法用中学知识证明，而在高等数学中，用积分的理论可很容易地给出它的理论证明。

证明 在夹两个立体的两平面的任一平面上，任取一点为原点O，过O且垂直于这个平面的直线取为x轴，并把射向另一个平面的方向记为x轴的正向，把两平行平面的距离记为h，设夹在这两个平面之间的平行于这两个平面的平面，截坐标轴于x，且截两立体所得的截面面积分别为S1x与S2x，显然S1x与

设两立体的体积分别为V1和V2，由定积分定义得： S2x都是0,h上的连续函数，V1S1xdxV2S2xdx 00hh

S1xS2xx0,h

S1xdxS2xdx 00hh

V1V2

总之，高等数学与初等数学有着千丝万缕的联系，其中微积分都扮演着重要的角色，它不但能解决初等数学中的诸多问题，而且成为高等数学发展的基础。用微积分的知识解决初等数学难以解决的问题。微积分的理论是研究高等数学与中学数学关系时不可或缺的部分，它对中学数学有重要的指导作用。将高等数学的理论应用于初等数学，使其内在的本质联系得以体现，进而去指导初等数学的教学工作。