不等式性质练习题

不等式性质练习题（共11篇）

1.不等式性质练习题 篇一

不等式性质教案

西南大学2010级4班 孙丹 【课标要求】

1．不等关系

通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；

2不等式的性质

了解不等式的性质，并会用其证明不等式；

【教学重难点】

1、教学重点：掌握不等式性质的三条公理，并运用公理进行比较大小。

2、教学难点：正确运用不等式的三条公理进行不等式变形。

【教学目标】

1、探索并掌握不等式的基本性质；

2、会用不等式的基本性质进行简单化简。

【教学方法】

通过观察、分析、讨论，引导学生归纳总结出不等式的三条公理，从具体上升到理论，再由理论指导具体的练习，从而加强学生对知识的理解和掌握。【命题走向】

不等式历来是高考的重点内容。对于本将来讲，考察有关不等式性质的基础知识、基本方法，而且还考察逻辑推理能力、分析问题、解决问题的能力。本将内容在复习时，要在思想方法上下功夫.预测高考命题趋势：

1．从题型上来看，选择题、填空题都有可能考察，把不等式的性质与函数、三角结合起来综合考察不等式的性质、函数单调性等，多以选择题的形式出现，解答题以含参数的不等式的证明、求解为主；2．利用基本不等式解决像函数f(x)x

考察的重点和热点，应加强训练。a,(a0)的单调性或解决有关最值问题是x

【教学过程】

一、创设情境 复习引入

（设计说明：设置以下习题是为了温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备．）问题：

1、什么是等式?等式的基本性质是什么?

2、什么是不等式?

1．不等式的性质比较两实数大小的方法——求差比较法

公理： abab0；

abab0；

abab0。

性质1：若ab，则ba；若ba，则ab．即abba。

说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性。性质2：若ab，且bc，则ac。

说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数，定理2称不等式的传递性。

性质3：若ab，则acbc。

说明：（1）不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向；

（2）定理3的证明相当于比较ac与bc的大小，采用的是求差比较法；

（3）定理3的逆命题也成立；

（4）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边。

推论1：不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边。（移项法则）

推论2：若ab,且cd,则acbd。

说明：（1）推论2的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（3）同向不等式：两个不等号方向相同的不等式；异向不等式：两个不等号方向相反的不等式.定理4．如果ab且c0，那么acbc；如果ab且c0，那么acbc。推论1：如果ab0且cd0，那么acbd。

证明：∵ab0,c0,acbc，又∵cd0,b0,bcbd，∴由传递性，有acbd，得证。

说明：（1）不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变；（2）两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向；（3）推论1可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘。这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向。

nn推论2：如果ab0，那么ab(nN且n1)。

推论3：如果ab0，那么ab(nN且n1)。【典例解析】

例1：应用不等式的性质，证明下列不等式：

（1）已知a>b，ab>0，求证：1/a>1/b；

（2）已知a>b，cb－d；

（3）已知a>b>0，0 b/d

证明：

（1）因为ab>0，所以 1/ab>0又因为a>b，所以 a.1/ab>b.1/ab即1/b>1/a因此 1/a>1/b

（2）因为a>b，cb，－c>－d，根据性质3的推论2，得a+(－c)>b+(－d)，即a－c>b－d.（3）因为01/d>0 又因为a>b>0，所以a.1/c>b.1/d即a/c>b/d

例2.已知a>b，不等式:（1）a2>b2；（2）1/a>1/b ；（3）1/(a-b)>1/a

成立的个数是（）

（A）0（B）1（C）2（D）

3答案：A

例3．设A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R，则A，B的大小关系是。

答案：A≥B

例4．（1）如果30

（2）若－3

答案：（1）18

（2）因为－4

例5．若-π/2 ≤a＜b≤π/2，求(a +b)/2 ,(a-b)/2的取值范围。

-π/2＜(a +b)/2＜π/2,-π/2 ≤(a-b)/2＜0

练习1已知函数f(x)= a x²-c,-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围。

解：因为f(x)= a x²-c，所以f(1)= a-c,f(2)=4 a-c解得a=1/3[f(2)=-f(1)],c=1/3f(2)-4/3f（1）

所以f(3)=9a－c=8/3f(2)-5/3f(1)

因为-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,所以8/3≤8/3f(2)≤40/3,5/3≤-5/3f(1)≤20/3

练习2已知－4≤a－b≤－1，－1≤4a－b≤5，求9a－b的取值范围。

解：设9a－b=m(a－b)+n(4a－b)=(m+4n)a－(m+n)b，令m+4n=9，－(m+n)=－1，解得，m=-5/3,n=8/3

所以9a－b=-5/3(a－b)+8/3(4a－b)

由－4≤a－b≤－1，得 5/3≤-5/3(a-b)≤20/3

由－1≤4a－b≤5，得由－1≤4a－b≤5，得-8/3≤8/3(4a-b)≤40/3

以上两式相加得－1≤9a－b≤20.五．【思维总结】

1．不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法。

（1）比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述：如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证；

（2）综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野。

2．不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等。换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性。放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查。有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”、“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.

2.不等式性质练习题 篇二

(Ⅰ) 若f (x) ≥0, 则Δ=b2-4ac≤0;

(Ⅱ) 若Δ=b2-4ac≤0, 则f (x) ≥0;

(Ⅲ) 若二次函数f (x) =ax2+bx+c与x轴有两个交点, 则Δ=b2-4ac>0;

(Ⅳ) 二次函数y=ax2+bx+c (a>0) 的图象的对称轴为直线, 且是唯一的一条对称轴, 函数在区间上单调.

一、用性质 (Ⅰ) 来证不等式, 即设法构造一个二次项系数为正数的二次函数, 并使得f (x) ≥0, 从而由Δ≤0推出所需证的不等式.

例1 (柯西不等式) 设a1, a2, ……, an和b1, b2……bn为任意实数, 则 (a1b1+a2b2+……+anbn) 2≤ (a12+a22+……+an2) (b12+b22+……+bn2) 当且仅当时, 等号成立.

解题思路:先构造一个二次函数, 并让其大于等于零, 再利用性质 (Ⅰ) 来证.

证明:作关于x的二次函数f (x) = (a12+a22+……+an2) x2-2 (a1b1+a2b2+……+anbn) x+ (b12+b22+……+bn2)

1) 若a12+a22+……+an2=0, 则a1=a2=……=an=0, 显然不等式成立.

2) 若a12+a22+……+an2≠0, 则有f (x) = (a1x-b1) 2+ (a2x-b2) 2+……+ (anx-bn) 2≥0且a12+a22+……+an2>0,

∴Δ=b2-4ac=4 (a1b1+a2b2+……+anbn) 2-4 (a12+a22+……+an2) (b12+b22+……+bn2) ≤0,

二、应用性质 (Ⅱ) 来证明不等式, 即把要证的不等式表示成关于某一字母的二次三项式 (使二次项系数大于零) , 再证其Δ≤0, 由此判定所要证的不等式成立.

例2设x、y、z∈R, 且α+β+γ=π, 则x2+y2+z2≥2 (xycosα+yzcosβ+zxcosγ) .

解题思路:要证x2+y2+z2≥2 (xycosα+yzcosβ+zxcosγ) , 只须证x2+y2+z2-2 (xycosα+yzcosβ+zxcosγ) ≥0.

证明:设f (x) =x2+y2+z2-2 (xycosα+yzcosβ+zxcosγ) =x2-2 (ycosα+zcosγ) x+ (y2+z2-2yzcosβ)

于是f (x) 可看作是关于x的二次函数, 且二次项系数大于零, 则Δ=4 (ycosα+zcosγ) 2-4 (y2+z2-2yzcosβ) =-4[y2 (1-cos2α) +z2 (1-cos2γ) -2yzcosαcosγ+2yzcos (α+γ) ]=-4 (ysinα-zsinγ) 2≤0, ∴f (x) ≥0, ∴x2+y2+z2≥2 (xycosα+yzcosβ+zxcosγ) .

三、应用性质 (Ⅲ) 来证明不等式, 即构造一元二次函数, 再证明一元二次函数与x轴有两个交点, 由Δ=b2-4ac>0判定所要证的不等式成立.

例3实数a, b, c满足 (a+c) (a+b+c) <0, 求证: (bc) 2>4a (a+b+c) .

解题思路:所证不等式 (b-c) 2>4a (a+b+c) 酷似判别式, 可以通过构造一元二次函数投石问路, 再通过观察的情况得到答案.

证明:由已知得:当a=0时, b≠c, 否则与 (a+c) (a+b+c) <0矛盾, ∴a=0时, (b-c) 2>4a (a+b+c) , 当a≠0时, 构造一元二次函数f (x) =ax2+ (b-c) x+ (a+b+c) .

∴f (0) =a+b+c, f (-1) =2 (a+c) ,

又∵f (0) ·f (-1) =2 (a+c) (a+b+c) <0,

∴二次函数f (x) =ax2+ (b-c) x+ (a+b+c) 与x轴有两个交点,

∴Δ= (b-c) 2-4a (a+b+c) >0, 即 (b-c) 2>4a (a+b+c) .

四、应用性质 (Ⅳ) 来证明不等式, 即找二次函数y=ax2+bx+c (a>0) 的图象的对称轴为, 再根据函数在区间上的单调性及相应一元二次方程的根与系数的关系以及二次函数的图象来判断.

例4设二次函数f (x) =ax2+bx+c (a>0) , 方程f (x) -x=0的两个根x1, x2满足, 当x∈ (0x1) 时, 证明x

解题思路:由题中所提供的信息可以联想到:方程f (x) -x=0可变为ax2+ (b-1) x+1=0, 然后可得它的两根x1, x2, 与a、b、c之间的关系式, 因此解决此题可考虑应用性质 (Ⅳ) .

证明:令F (x) =f (x) -x, 因为x1, x2是方程f (x) -x=0的根, f (x) =ax2+bx+c, 所以F (x) =a (x-x1) (x-x2)

因为00.又a>0, 因此F (x) >0, 即f (x) >x.根据韦达定理, 有.

又c=f (0) , ∴f (0) f (0) , ∴当x∈ (0, x1) 时, f (x)

3.点击不等式的基本性质 篇三

一、正确理解基本性质的含义

1． 不等式的基本性质1：在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变．这里的整式包含单独的一个数、字母以及由字母和数组成的单项式或多项式．例如：若a＞b，那么有a＋5＞b＋5，a－c＞b－c，a＋m＞b＋m，a－＞b－等．

2． 不等式的基本性质2：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．例如：若a＞b，且c＞0，那么有ac＞bc或

＞

．

3． 不等式的基本性质3：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变．对此性质中加黑点的词的含义要认真领会，重点理解．例如：若a＞b，且c＜0，那么有ac＜bc或

＜

．

4． 由于0既不是正数也不是负数，因此，在运用性质2和性质3时，不等式两边所乘以（或除以）的同一个数（或式子）不能为0．否则，不等式的性质不成立．

二、灵活运用基本性质解题

1． 直接运用

例1 利用不等式的性质，用“＞”或“＜”填空．

（1） 若a＞b，则a－2 007b－2 007．

（2） 已知x＞y，且k≠0，那么k2x k2y．

（3） 已知m＞n，那么－m－n．

解析：（1）因a＞b，运用基本性质1，两边同减去2 007，得a－2 007＞b－2 007．所以应该填“＞”．

（2）因k≠0，故k2＞0．又x＞y，运用基本性质2，两边同乘以k2，得k2x＞k2y．所以应该填“＞”．

（3）因m＞n，运用基本性质3，两边同乘以－，得－m ＜ －n．所以应该填“＜”．

例2已知a＜0＜b，则下列式子中错误的是（）．

A． a＋c＜b＋cB． ac＜bcC． ＜D． －99a＞－99b

解析：因为a＜0＜b，由基本性质1，得a＋c＜b＋c．由基本性质3，得－99a＞－99b．所以A、D都正确．

又c2≥0，所以c2＋1＞0．由基本性质2，得＜ ．故C也正确．

由于c为任意实数，因此，当c＝0时，ac＜bc不成立．所以B是错误的.应选B．

2． 逆向应用

例3 已知关于x的不等式（k－2 008）x＞k－2 008可以化为x＜1的形式，求k的取值范围．

解析：由题设条件，原不等式（k－2 008）x＞k－2 008可以化为x＜1，知此时不等号的方向改变了．根据基本性质3，说明不等式的两边同除以的k－2 008必为负数．故k－2 008＜0，所以k＜2 008．

点评：在运用不等式的性质时，一定要记住“一变两不变”：性质1和性质2中不等号的方向不变，性质3中不等号的方向改变．

<\192.168.0.129本地磁盘 (d)王玲霞数据八年级数学北师大08年1-2期版式+图jjgg.TIF>[想一想，练一练]

1． 用“＞”或“＜”填空．

（1） 若a＞b，则9a＋19b＋1．

（2） 若a＜b，且c＞0，则ac＋cbc＋c．

（3） 已知a＞0，b＜0，c＜0，那么（a－b）c 0．

2． 如果a＜b，那么下列不等式中，正确的个数是（）．

①－8＋a＜－8＋b；

②－7a－9＜－7b－9；

③－a＋2 008＜－b＋2 008；

④2 007－a＞2 007－b．

A． 1个B． 2个 C． 3个D． 4个

3． 若关于y的不等式（m＋7）y＜2（m＋7）可以化为y＞2的形式，求m的取值范围．

参考答案

1．（1） ＞ （2） ＜ （3） ＜2．B3． m＜－7．

4.不等式的性质2 篇四

异向不等式          证明          证明         推论

2．定理1 证明           说明          说明         证明

第三课时

教学目标

1．熟练掌握定理1，2，3的应用；

2．掌握并会证明定理4及其推论1，2；

3．掌握反证法证明定理5.

教学重点：定理4，5的证明.

教学难点：定理4的应用.

教学方法：引导式

教学过程（）：

一、复习回顾

上一节课，我们一起学习了不等式的三个性质，即定理1，2，3，并初步认识了证明不等式的逻辑推理方法，首先，让我们来回顾一下三个定理的基本内容.

（学生回答）

好，我们这一节课将继续推论定理4、5及其推论，并进一步熟悉不等式性质的应用.

二、讲授新课

定理4：若

若

证明：

根据同号相乘得正，异号相乘得负，得

当

说明：（1）证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘得负”来完成的；

（2）定理4证明在一个不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变.

推论1：若

证明：

①

又

∴     ②

由①、②可得 .

说明：（1）上述证明是两次运用定理4，再用定理2证出的；

（2）所有的字母都表示正数，如果仅有 ，就推不出 的结论.

（3）这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向.

推论2：若

说明：（1）推论2是推论1的特殊情形；

（2）应强调学生注意n∈N 的条件.

定理5：若

我们用反证法来证明定理5，因为反面有两种情形，即 ，所以不能仅仅否定了 ，就“归谬”了事，而必须进行“穷举”.

说明：假定 不大于 ，这有两种情况：或者 ，或者 .

由推论2和定理1，当 时，有 ；

当 时，显然有

这些都同已知条件 矛盾

所以 .

接下来，我们通过具体的例题来熟悉不等式性质的应用.

例2    已知

证明：由

例3  已知

证明：∵

两边同乘以正数

说明：通过例3，例4的学习，使学生初步接触不等式的证明，为以后学习不等式的证明打下基础.在应用定理4时，应注意题目条件，即在一个等式两端乘以同一个数时，其正负将影响结论.接下来，我们通过练习来进一步熟悉不等式性质的应用.

三、课堂练习

课本P7练习1，2，3.

课堂小结

通过本节学习，大家要掌握不等式性质的应用及反证法证明思路，为以后不等式的证明打下一定的基础.

课后作业

课本习题6.1 4，5.

5.不等式的概念和性质 篇五

1、实数的大小比较法则：

设a，b∈R，则a>b；a＝b；a

定理1（对称性）a>b 

定理2（同向传递性）a>b，b>c

定理3a>ba＋c > b＋c推论a>b，c>d

定理4a>b，c>0a>b，c<0

推论1(非负数同向相乘法)a>b≥0，c>d≥0

推论2a>b＞0 anbn(nN且n>1)

定理5a>b＞0(nN且n>1)

例1.（2010 黄冈模拟）设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0，x≠1．比较f(x)与g(x)的大小.训练1：不等式log2x+3x2＜1的解集是____________.例2.设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0，x≠1．比较f(x)与g(x)的大小.例3.函数f(x)＝ax2＋bx满足：1≤f(1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(2)的取值范围．

训练3：若1＜α＜3，－4＜β＜2，则α－|β|的取值范围是.例4.已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，当p、q满足p＋q＝1时，试证明：pf(x)＋qf(y)≥f(px＋qy)对于任意实数x、y都成立的充要条件是o≤p≤1.变式训练4：已知a＞b＞c，a＋b＋c＝0，方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根为x1、x2．

(1)证明：－＜12b22222＜1；(2)若x1＋x1x2＋x22＝1，求x1－x1x2＋x2；(3)求| x1－x2|．a

算术平均数与几何平均数

1．a>0，b>0时，称为a，b的算术平均数；称为a，b的几何平均数．

2．定理1如果a、bR，那么a2＋b22ab（当且仅当 取“＝”号）

3．定理2如果a、bR，那么ab≥（当且仅当a＝b时取“＝”号）即两个数的算

2术平均数不小于它们的几何平均数．

4．已知x、yR，x＋y＝P，xy＝S.有下列命题：

(1)如果S是定值，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值 ．

(2)如果P是定值，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值．

211ab≤ab≤a2b2abab2≤(当且仅当a＝b时取“＝”号)．说明：题中的、ab、、11222ab

a2b2分别叫做正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数．

222abab例11）设a,bR，已知命题p:ab；命题q:，则p是q成 222

立的A．必要不充分条件

C．充分必要条件B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

（2）若a,b,c为△ABC的三条边，且Sa2b2c2,pabbcac，则（）

A．S2pB． pS2pC．SpD．pS2p

（3）设x > 0, y > 0,axyxy, b，a 与b的大小关系（）1xy1x1y

A．a >bB．a

（4）b克盐水中，有a克盐（ba0），若再添加m克盐（m>0）则盐水就变咸了，试根据这一事实提炼一个不等式.例2.已知a，b，x，y∈R+（a，b为常数），a

xb1，求x＋y的最小值.y

ab1，若 x＋y的最小值xy训练2：已知a，b，x，y∈R+（a，b为常数），a＋b＝10，为18，求a，b的值．

例3.已知a, b都是正数，并且a  b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2

变式训练3：比较下列两个数的大小：（1）21与23；（2）23；

（3）从以上两小项的结论中，你否得出更一般的结论？并加以证明

例4.甲、乙两地相距S（千米），汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度最大不得超过c（千米

/小时）．已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分与固定部分组成．可变部分与速度v

（千米/小时）的平方成正比，且比例系数为正常数b；固定部分为a元．

(1)试将全程运输成本Y(元)表示成速度V(千米/小时)的函数.(2)为使全程运输成本最省，汽车应以多大速度行驶？

变式训练4：为了通过计算机进行较大规模的计算，人们目前普遍采用下列两种方法：

第一种传统方法是建造一台超级计算机．此种方法在过去曾被普遍采用．但是人们逐渐发现

建造单独的超级计算机并不合算，因为它的运算能力和成本的平方根成正比．

另一种比较新的技术是建造分布式计算机系统．它是通过大量使用低性能计算机(也叫工作

站)组成一个计算网络．这样的网络具有惊人的计算能力，因为整个网络的计算能力是各个

工作站的效能之和．

假设计算机的计算能力的单位是MIPS(即每秒执行百万条指令的次数)，一台运算能力为

6000MIPS的传统巨型机的成本为100万元；而在分布式系统中，每个工作站的运算能力为

300MIPS，其价格仅为5万元．需要说明的是，建造分布式计算系统需要较高的技术水平，初期的科技研发及网络建设费用约为600万元．

请问：在投入费用为多少的时候，建造新型的分布式计算系统更合算？

不等式证明

（一）1．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，分比差、比商两种形式．

ab0ab

(1) ab0ab ab0ab

它的基本步骤：作差——变形——判断，差的变形的主要方法有配方法，分解因式法，分子有理化等．

(2)作商比较法，它的依据是：若a>0，b>0，则

a1abba1ab ba1abb

基本步骤是：作商——变形——判断商与1的大小．它在证明幂、指数不等式中经常用到．

2．综合法：综合法证题的指导思想是“由因导果”，即从已知条件或基本不等式出发，利用不等式的性质，推出要证明的结论．

3．分析法：分析法证题的指导思想是“由果索因”，即从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够确定这些充分条件都已具备，那么就可以判定所要证的不等式成立．

例1.已知a0,b0，求证：a

bb

aa

训练1：已知a、b、x、y∈R+且xy11＞，x＞y.求证：＞． abxayb

例2.已知a、b∈R+，求证：(ab)(ab1)22(abba)

训练2：已知a、b、cR，求证：a2b2c24ab3b2c

例3.已知△ABC的外接圆半径R＝1，SABC

sabc，t1，a、b、c是三角形的三边，令4111．求证：ts abc

222变式训练3：若a,b,c为△ABC的三条边，且Sabc,pabbcac，则（）

A．S2pB． pS2pC．SpD．pS2p

1． a

x1． 2例4.设二次函数f(x)ax2bxc(a0)，方程f(x)x0的两个根x1、x2满足0x1x21)当x∈(0，x1)时，证明：x

训练4：设f(x)=3ax2+2bx+c.若a+b+c=0,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：(1)a＞0且-2＜a＜-1；(2)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.b

不等式证明

（二）证明不等式的其它方法：反证法、换元法、放缩法、判别式法等．

反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原命题是正确的证明方法．

换元法：对结构较为复杂，量与量之间关系不甚明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原命题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式的证明方法．

放缩法：为证明不等式的需要，有时需舍去或添加一些代数项，使不等式的一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证题的目的，这种方法叫放缩法．

判别式法：根据已知的式子或构造出来的一元二次方程的根，一元二次不等式的解集，二次函数的性质等特征，确定其判别式所应满足的不等式，从而推出所证的不等式成立． 例1.已知f(x)＝x2＋px＋q，(1)求证：f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；

(2)求证：｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜中至少有一个不小于．

训练1：设a、b、cR，那么三个数a111、b、c（）bca1

2A．都不大于2B．都不小于2

C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2

解:D

例2.（1）已知x2＋y2＝1，求证:a2yaxa2.（2）已知a、b∈R，且a2＋b2≤1，求证:a22abb22.训练2： 设实数x，y满足x2＋(y－1)2＝1，当x＋y＋c≥0时，c的取值范围是（）)A.[21，)D.(21] B.(21] C.[1，解:A

例3.若nN，且n2，求证：

1211111 n123n1，则f(n)，g(n)，(n)的大小顺2n训练3：若f(n)＝n21－n，g(n)＝n－n21，(n)＝

序为____________．

解:g(n)>φ(n)>f(n)

1x2x13． 例4.证明：22x1

2训练4：设二次函数f(x)ax2bxc(a、b、cR且a0)，若函数yf(x)的图象与直线yx和yx均无公共点．

(1)求证：4acb21

6.《不等式的性质》教学反思 篇六

1、类比法讲解让学生更易把握

类比一元一次方程的解法来学习一元一次不等式的解法，让学生非常清楚地看到不等式的解法与方程的解法只是最后未知数的系数化为1不同，其它的步骤都是相同的，还特别能强调最后一步“负变，正不变”。

2、少讲多练起效果

减少了教师的活动量，给学生足够的活动时间去探讨。教师只作出适当的引导，做到少讲，少板书，让学生有足够的时间和空间进行自主探究，自主发展，促使学生学会学习。

3、数形结合更形象

通过画数轴，并把不等式的解集用数轴表示出来体现了“数形结合”的数学思想。

二、不足和遗憾之处

1、内容过多导致学生灵活应用时间少

一堂40分钟的课要容纳不等式三条性质的探索与应用，显然在时间上是十分仓促的。实践也表明确实如此，在探索好三条性质后，时间所剩无几，只能简单的应用所学知识解决一些较为简单的问题，学生灵活运用知识的能力没有很好地体现出来。

2、教学过程中的小毛病还需改正

7.不等式性质练习题 篇七

一、习题课教学应紧扣教材教学要义

教育学认为, 习题课教学的一个重要任务, 就是强化巩固所学数学知识内容. 众所周知, 习题是数学教材内涵精髓的“代言”, 习题课教学应该服务服从于教材目标要求. 教师在习题课讲解进程中, 应将习题课作为教学要义巩固强化的有效载体, 抓住章和节的教学重点、学习难点以及所设置的教学目标以及情感要求等, 进行有的放矢的习题讲解活动, 引导高中生进一步认知和掌握数学教材知识要点和目标要求, 提高高中生数学知识素养. 在一元二次不等式习题课教学中, 一元二次不等式的解法是本节课教学的重点, 同时, 也是学生学习的难点, 在习题课讲解活动中, 教师紧扣住这一关键要义, 并将其融于习题课讲解之中, 设置“x2+ax + 1 > 0”习题, 组织高中生进行解析该不等式案例活动, 高中生通过对问题条件的梳理和分析, 认识到该问题的解答方法是: “应先判断判别式的符号, 如果判别式大于等于0, 则求出对应方程的根, 如果判别式中有字母系数, 需要进行分类讨论, 然后写出解集. 这一题中, 需要对a进行分类讨论, 其原因是因为它的判别式符号不能确定”. 此时, 教师以此为契机, 引导回顾总结一元二次不等式的解法内容, 同时, 已设置的这一不等式问题为样板, 进行解一元二次不等式解法的一般步骤的总结活动. 教师和高中生在共同努力下, 归纳总结出奇解题步骤为, 现对不等式进行变形, 让其一端为0 并且二次项系数大于0, 然后求出对应方程的根, 并根据所求结果画出二次函数的图像, 最后观察图像, 根据图像内容写出不等式的解集.

二、习题课教学应重视主体技能锤炼

习题课教学, 不是教师一个人的“任务”, 而是教师与学生二者之间的共同“工程”. 教育功效学认为, 习题课是学习对象学习技能、学习素养锤炼的有效“载体”, 同时, 也是教师践行新课改标准要求的重要“途径”. 教师直接灌输、自问自答的单边教学, 不利于教学活动的深入开展, 利于学生技能的有效锤炼. 高中数学教师习题课教学, 要遵循“学生为主、能力为要”的教学理念, 把高中生课堂“主人翁”地位充分展现, 成为解答分析问题的“中坚力量”, 鼓励和组织高中生进行自主解析问题的实践活动, 逐步锻炼其解题技能和学习品质. 如“已知有一个函数, 其解析式为f ( x) = x2+ ( lga + 2) x + lgb, 该函数满足f ( - 1) = - 2, 并且他对于任意x∈R, 都有f ( x) ≥2x成立. 试求出实数a, b的值, 并且解不等式f ( x) < x + 5”习题讲解中, 教师采用“生析为主、师点为辅”讲解方式, 开展以下教学活动:

生: 解析习题, 梳理条件关系, 推导其解题路数为: “根据不等式的解法, 以及二次函数的相关性质, 要求实数ab的值, 可以采用代入法, 将f ( - 1) = 2 代入到函数解析式中, 得到lga, lgb的等式, 然后进行化简, 得到关于a, b的等式, 根据问题条件中f ( x) ≥2x成立, 从而令判别式大于小于0, 得到关于lga, lgb的不等式, 然后根据平方大于等于0, 从而求出a, b的值. 解不等式时, 可以将所求的a, b的值代入到函数的解析式中, 以此确定f ( x) 的解析式, 然后将其代入f ( x) < x + 5 中, 进行一元二次不等式的求解, 得到其解集即可”.

师: 对学生推导内容进行指点, 强调指出: “要正确掌握不等式恒成立时所所满足的条件, 并且能够会使用求不等式的解集方法”.

生: 进行解答问题活动, 过程略.

师: 组织学生根据解题思路以及过程, 总结归纳解题方法.

值得注意的是, 教师在充分让高中生自主解析习题的同时, 要做好实时“点”和“引”的工作, 及时解决高中生解析习题进程中的不足, 在生探师点的共同作用下, 提升习题教学实效.

三、习题课教学应策应时代发展脉络

笔者发现, 有不少高中数学教师习题课教学, 存在“就题讲题”, 时代性不强、与高考政策不配套的缺陷. 教育实践学指出, 习题讲解, 其主要目的是适应新课改要求, 与高考政策要求相衔接. 这就要求, 教师开展高中数学习题课讲解活动, 要策应时代发展脉络, 认真梳理总结近年来数学高考中试题呈现的类型以及考察的方向, 并将高考政策内容渗透于习题讲解之中, 以题为媒, 引导高中生逐步感知和明晰高考政策对解题能力素养方面的要求和标准, 使高中生对历年来的高中数学习题设计以及能力要求有大体掌握和了解, 提供其数学综合素养.

总之, 习题课教学, 随着时代的发展, 所肩负的责任更加繁重. 教师在其教学进程中, 要丰富其教学内涵, 渗透课改要义, 融入高考要求, 实现教和学在有效习题讲解中共同升华.

参考文献

[1]王振肃.新课标下数学习题课教学的设计与实践[J].数学教学研究;2011年01期.

8.解读一元一次不等式及其性质 篇八

一、不等式

1． 概念

像<，x>50这样用不等号表示大小关系的式子叫做不等式．应注意，像a+2 ≠ a-2这样用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．

理解不等式的概念应抓住两点：一是含有不等号；二是不等号两边是数或式子．

2． 常见的不等号的类型

（1）“≠”读作“不等于”，表示两个量之间的关系是不等的，但不知道谁大谁小；

（2）“>”读作“大于”，表示左边的量比右边的量大；

（3）“<”读作“小于”，表示左边的量比右边的量小；

（4）“≥”读作“大于或等于”，即“不小于”，表示左边的量大于或等于右边的量；

（5）“≤”读作“小于或等于”，即“不大于”，表示左边的量小于或等于右边的量．

例1用不等式表示下列数量关系．

（1）a比-3大．

（2）a的5倍是正数．

（3）x与y的差的绝对值是非负数．

（4）a的平方与b的平方之和的倒数不大于4．

[分析：]应先正确列出相应的代数式，再用不等号连接起来．

解： （1）a>-3．

（2）5a>0．

（3）|x-y|≥0．

（4）≤4．

[说明：]在列不等式时，要注意“非负数”、“不大于”等词语的含义．

二、不等式的解和解集

不等式的解是指使含未知数的不等式成立的未知数的值．

不等式的解集是指一个不等式所有解的集合．

一个不等式可能有一个解、两个解、无数个解，也可能无解.一个不等式的解集只有一个．如果一个不等式无解，但解集是有的，只不过这个解集中没有一个数值，集合是空的．

例2下列说法错误的是（ ）．

A． x<2的负整数解有无数个

B． x<2的整数解有无数个

C． x<2的正整数解是1和2

D． x<2的非负整数解是0和1

[分析：]2不是不等式x<2的解，所以C错误．

解： 选C．

例3（2007年金华市中考题）不等式2x-6>0的解集在数轴上表示正确的是（ ）．

[分析：]不难看出，使不等式成立的x必须大于3．

解： 选A．

三、不等式的性质

不等式的性质不仅是不等式变形的重要依据，而且是解不等式的基础，因此，不等式的性质在不等式这部分内容中十分重要．

性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．

如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c．

性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．

如果a>b，c>0，那么ac>bc，>．

性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

如果a>b，c<0，那么ac

在学习不等式的性质时，大家要注意借助类比思想，对照等式相应的性质来感受不等式的性质，比较它们的相同之处和不同之处．特别是性质3，不等式两边乘以（或除以）同一个负数时，不要忘记改变不等号的方向．

例4（1）若a>b，则-2a-3-2b-3．

（2）若a>0，b<0，c<0，则（a-b）c0．

[分析：]题（1）是在a>b的两边先同乘以-2，再同减去3；题（2）要先判断a-b是正数还是负数，再判断（a - b）c的符号．解题过程中要注意正确运用不等式的性质．

解： （1）填<． （2）填<．

例5如果关于x的不等式（a+1）x>a+1的解集是x<1，那么a的取值范围是（ ）．

A． a>0 B． a<0

C． a>-1D． a<-1

[分析：]不等式（a+1）x>a+1要变形为x<1，就需要根据不等式的性质3，在原不等式的两边同时除以负数a+1，a+1<0，故可得a<-1．

解： 选D．

[说明：]这道题实际上是逆向应用不等式的性质．解题时一定要注意不等号的方向是否改变，从而判断未知系数的正负性．

例6（2007年乌兰察布市中考题）用“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体．用天平比较它们的质量，两次测量的情况如图1，那么将“○”、“□”、“△”按质量从小到大的顺序排列应为（）．

A． ○□△B． ○△□

C． □○△ D． △□○

[分析：]由两次测量的情况可知，“○”的质量大于“□”，而“□”的质量是“△”的2倍，所以“○”的质量最大，“△”的质量最小．

解： 选D.

四、一元一次不等式

教材中说，含有一个未知数，未知数的次数都是1的不等式，叫做一元一次不等式．例如3a-8<0， +5≥-1等都是一元一次不等式；而7x+y>8，+5≤4，2x2-4x-9<0等都不是一元一次不等式．

在学习一元一次不等式时，应注意将其与一元一次方程进行比较．其实这两者是类似的，只不过一元一次方程是用等号连接的，而一元一次不等式是用不等号连接的．

9.不等式的性质教学设计 篇九

黄陂区泡桐二中 肖季华

一、教材分析

（一）本节课在教材中的地位和作用：

本节课是人教版《数学》必修5第三章第一节不等关系与不等式第二课时的内容．它是在数（式）及其运算的系统中，在掌握等式的基本性质的基础上，类比等式的基本性质，通过考察“运算中的不变性”而获得不等式的基本性质的过程，由此要系统地建立求解或证明不等式的理论依据，因此本课时是本章乃至高中数学的重要基础性内容之一.生活中的数量关系不外乎两种：相等关系与不等关系，通过这堂课的学习，学生将对数量关系的基本性质有一个完整的认识，形成一个知识体系．

（二）教学目标：

1.经历探索不等式的基本性质的过程，理解不等式的基本性质.2.在不等式基本性质的探索过程中，渗透类比思想方法,培养合情推理能力.3.在应用不等式的基本性质证明简单问题的过程中,培养思维的逻辑性和严谨性,进而培养学生的逻辑能力.（三）教学重点与难点：

教学重点：探索不等式的基本性质.教学难点：基本性质的研究内容(运算中的不变性)和方法(类比等式的基本性质)的概括.（四）教学导图：

二、学情分析：

学生的认知基础有：第一，会比较数的大小；第二，理解等式性质并知道等式性质是解方程的依据；第三、具备“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有一定的抽象概括能力和数学建模能力和合情推理归纳能力．

三、教法：引导探究法

教法分析：

本节课的教学设计意在让学生通过与旧知识——等式的基本性质的类比中，通过自主探索与合作交流获得新知.所以,在教学过程中,要特别注意安排学生经历猜想——验证——归纳的完整的数学思维过程，让学生在独立思考的基础上进行交流活动,并注重合情推理能力的培养.学法：自主探究、合作交流．

四、教学过程

1.复习引入

师：生活中的数量关系不外乎两种：相等关系与不等关系，不等关系在我们现实生活中普遍存在着．通过上一节课的学习，我们知道在数学中通常用不等式来表示不等关系．那么讨论不等关系、求解或证明不等式需要什么依据？这就是今天我们所要研究的内容——不等式的基本性质

【设计意图】：向学生指出研究不等式基本性质的重要性与必要性，点明本节课要研究的内容．

师：初中里我们借助于数轴，学习过实数大小的比较，在数轴上实数大小是如何规定的？

生：如果在数轴上两个不同的点A与B分别对应不同的实数比左边的点表示的实数大．

师：也就是说我们是从数轴上直观感知的，借助于数轴去比较数的大小,是一种对数大小关系比较的感性认识．

师：从实数运算角度来讲，我们依据实数运算的结果，两实数大小的关系有以下定义：

如果是正数，那么，反过来也对．

师：同学们，你能否用数学符号语言来表示这一定义？

生：

师：这一定义有什么作用？

生：从定义可知，要比较两实数的大小，可以考察这两个实数的差．

师：很好，通过差值的符号去判断两实数的大小，这是一种区别于从数轴上直观感知，严密的判断两数大小的方法．

师：在几何中当我们给出一个公理或定义后，往往要研究“性质与判定”，同样有了这个定义后，我们有必要去研究不等式的基本性质，以使我们更好的去求解或证明不等式．

提问：（1）（2）若 生：成立

师：为什么？

生：用作差的方法去证明（学生讲解，教师板书）

师：板书不等式基本性质1与

2性质1： 性质2：，；（对称性）；

．（传递性）

；如果

等于零，那么

；如果

是负数，那么

那么右边的点表示的实数 【设计意图】：向学生强调：这一定义是一种证明、求解不等式的基本方法，是得到不等式基本性质的依据．

师：不等式还有另外的性质吗？初中里我们学习过等式与方程，等式的基本性质是什么？解方程的依据是什么？我们是怎样解方程的？

解一元一次方程 师：第一步做什么？

生：移项

师：移项的依据是什么？

生：等式的两边加上同一个数-1，所得的结果仍是等式

师：第二步做什么？

生：等式两边同除以

2师：依据是什么？

生：等式的两边同除以2，所得的结果仍是等式（教师补充说明除以2发即乘以）

师：同学们刚才所讲的两点依据就是等式的两条基本性质，等式的基本性质是解方程的依据．

（教师展示幻灯片）

等式基本性质1：如果 等式基本性质2：如果，那么，那么；

；

（）.师：类比等式的基本性质，初中里我们所讲的不等式的基本性质又是怎样的？

生：

，；，；；，（1）（2）

师：你是怎样得出这些结论的？

生：（1）、（2）两个式子初中讲过

师：你还记得初中我们是如何给出这两个结论的？

生：好象是用法码，通过天平秤出来的

师：也就是通过直观感知得出此结论，那你今天能否给出严密的证明？

生：用两数大小判定的定义（作差比较法证）（学生在黑板上展示证明结果）

师：很好（并板书性质）

师：等式与平等式的这四条基本性质涉及了什么内容？揭示了什么规律？一是在等式（不等式）两边进行加、减、乘、除运算,二是在这个运算过程中，虽然在变化，但左右两边所对应的结果，要么相等、要么左边恒大于右边、要么左边恒小于右边，它强调的是在运算过程中保持“=”号不变的特性.【设计意图】：通过回顾再现旧知识，引导学生探究不等式基本性质与等式的性质进行类比． 2.探索新知

（环节一）探索不等式的性质.师：在不等式两边加、减、乘、除不同的数，是否也具有保持不等号不变的特性？或不等号一定改变的特性？

生：，；

师：（5）式中的大于0或小于0能否省略？

生：不能（通过举反例）

师：你是如何得出这一结论的？

生：通过在不等式两边加乘具体数字归纳出来的师：如何验证你的结论？

生：作差比较法

生：还可以利用结论2去证

师：板书不等式的基本性质

师：实数的运算还包括乘方、开方运算，那么在不等式两边进行乘方、开方运算，是否也具有保持不等号不变的特性？

生： 师：你怎样得到的？

生：老师以前讲过的，可以用作差比较法证

生：结论3可以推广到 当 当，为偶数时，为奇数时，的所有整数

师：你是怎样得出此结论？

生：利用不等式性质

师：若规定，当

时，不论是奇数或偶数都有 生：利用性质3还可以得出：

师：为什么？

生：

师：很好，生：不能（反例）

师：当时，的大小关系如何？ 能否推出？

生：（1）；（2）；（3）

师：（1）、（2）能否合并？

生：

师：能否用文字语言叙述？

生：同号两数，倒数相反

师：很好，此结论对于我们以后研究两数倒数大小关系有很重要的作用

【设计意图】：以“运算中的不变性”思想作指导，让学生在不等式运算（加、减、乘、除、乘方、开方）中，让学生通过类比、猜想、验证、说理等活动，经历一个完整的数学探索过程，在师生的一起归纳概括下，得到不等式的基本性质3-基本性质8： 性质3： 性质4： 性质5： 性质6： 性质7： 性质8：，；，．

．

． ． ． ．

师：与等式的基本性质相比，在利用不等式性质解决有关不等式问题时，特别要注意什么问题？

生：符号问题

师：不等式的基本性质是求解或证明不等式的依据

（环节二）应用新知

例题：已知：，求证：

生1：用不等式性质证明

生2：用作差比较法证明

生3：数形结合的思想方法

变式：已知：

10.《不等式的性质》教学设计 篇十

1．知识与技能：理解不等式的性质，会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集。

2.过程与方法：通过经历不等式性质的简单应用，积累数学活动。通过独立解题，进一步理解不等式的性质，体会不等式性质的价值。

3.情感态度和价值观：认识到通过观察、实验、类比可以获得数学结论，体验数学活动充满着探索性和创造性。在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，学会分享别人的想法和结果，并重新审视自己的想法，能从交流中获益。重点难点

1.重点：不等式的性质及其解法． 2.难点：不等式性质的探索及运用.方法策略

启发式教学法——以设问和疑问层层引导，激发学生，启发学生积极思考，培养和发展学生的抽象思维能力。

探究教学法——引导学生去疑；鼓励学生去探； 激励学生去思，培养学生的创造性思维和批判精神。教学过程：

一、梳理旧知，引出新课

问题1： 在前面的学习中，你学到了不等式的哪些性质？（用文字语言叙述）（鼓励学生回答问题，用电子白版显示三条性质的符号语言）问题2： 解一元一次方程最终的目的是把方程转化成哪种形式？其主要的理论依据是什么？

（为问题3做铺垫）

二、合作交流，探究新知

问题3： 利用不等式的性质解下列不等式：

(1)x726(2)3x2x1 2(3)x50(4)4x3 3（类比着解一元一次方程的方法教师先解（1），并用数轴表示其解集，然后让学生试解（2）（3）（4）并和同学交流，最后教师点评。）

思考1：(3)(4)的求解过程，类似于解方程的哪一步变形？ 思考2：依据不等式性质3解不等式时应注意什么？ 随堂练习：1.完成课本P119练习1 问题4： 2011年北京的最低气温是19℃，最高气温是28℃，你能把北京的气温用不等式表示出来吗？

（符号“≥”读作“大于或等于”，也可以说是“不小于”；符号“≤”读作“小于或等于”，也可以说是“不大于”.形如a≥b或a≤b的式子也是不等式，它们具有类似前面所说的不等式的性质）.随堂练习：完成课本119页练习2.问题5： 某长方体形状的容器长5 cm，宽3 cm，高10 cm．容器内原有水的高度为3cm，现准备向它继续注水.用V（单位：cm3）表示新注入水的体积，写出V的取值范围.（学生先合作探究，然后让学生交流探究结果，最后老师讲评并强调在解决实际问题的时候，要考虑取值的现实意义。）

三、归纳完善，丰富新知

1：如何利用不等式的性质解简单不等式？ 2：依据不等式性质3解不等式时应注意什么？ 3：请说明符号“≥”和“≤”的含义？

四、布置作业

11.不等式性质练习题 篇十一

关键词：小学；解简易方程；教学

一、用等式的性质解简易方程的初衷

过去在小学阶段教学解方程，依据的是四则运算之间的关系。但是，这种“算术”的解方程思路毕竟走不了多远，一到中学就被彻底抛弃，取而代之的是等式的基本性质。既然一到中学就被取代，被彻底遗忘，为什么我们不能改变方式，寻找一条新的可持续发展的出路呢？

通过实践还能发现，以等式基本性质为依据，有利于凸显等量关系，有助于渗透初步的方程思想和初步的数学建模思想。

二、教材规避了形如a-x=b与a÷x=b的方程，作为教师怎么办

在小学，形如a-x=b的方程与形如a+x=b的方程，不论是依据四则运算的关系解答，还是依据等式基本性质解答，都是有区别的。但是到了初中，在学了有理数的四则运算之后，它们的区别几乎可以忽略不计。所以即使小学不出现形如a-x=b的方程，中学也不必补充例子作为新授内容来教。

再说，形如a÷x=b的方程，本来就属于分式方程。解分式方程需要去分母，去分母有可能带来“增根”，所以，解分式方程，哪怕你确信整个求解过程准确无误，也要“验根”，即判断你所得到的是原方程的解还是增根。这层意思超出了小学数学验算的内涵，在小学是不大可能渗透的。因此，把这个例子放到中学学习，以免小学生形成误解。这样一来，剩下形如x+a=b，x-a=b，ax=b，x÷a=b的方程，求解思路就可趋于统一：

x+a=b，x-a=b，都是在方程两边加上或减去a；

ax=b，x÷a=b，都是在方程两边乘或除以a（a≠0）。

因此，过去四种情况，四条依据，需要安排四道例题；现归结为两条依据，只需两道例题，有利于学生举一反三。而且，回避上述两种形式的方程，并不影响学生列方程解决实际问题。这也体现了列方程解決问题，常常可以化逆向思维为顺向思维的优势。

看来，实施义务教育，贯彻九年制义务教育的数学课程标准，要求我们应当更多地考虑中小学数学教育的衔接，从学生数学学习的可持续发展着眼，分析教学内容的地位与作用。这在某种意义上，可以说是“科学发展观”，是“以学生发展为本”理念的实际体现。

参考文献：

[1]陈关雄.对简易方程典型错例的思考与实践[J]，教学与管理，2014（05）.

[2]薛志华.等式的性质（一）教学设计[J].教学与管理，2010（14）.