二次根式的运算同步练习题

2024-09-17

二次根式的运算同步练习题（11篇）

1.二次根式的运算同步练习题篇一

三、展示归纳

1、学生汇报解题过程,生说师写;

2、发动其他学生评价补充完善;

3、师画龙点睛强调:

(1)二次根式混合运算的运算顺序跟有理数运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减。

(2)二次根式混合运算与整式的运算有很多相似之处，因此可类比整式的运算进行二次根式的混合运算。

四、变式练习

(先让学生独立完成，老师做必要的板书准备后巡回指导，了解情况; 然后让有一定问题的学生汇报展示，发动学生评价完善，老师强调关键地方，总结思想方法。)

2.二次根式的运算同步练习题篇二

一、二次根式化简不彻底

二次根式加减运算过程中, 部分根式化简不到位, 是初学者易发生的典型错误之一.

【例1】计算: $\sqrt{20} - \sqrt{5} + \sqrt{0.2} .$

错解:原式 $= 2 \sqrt{5} - \sqrt{5} + \sqrt{0.2} = \sqrt{5} + \sqrt{0.2} .$

分析:二次根式结果中, 被开方数不含有分母, 0.2应看成分数 $\frac{1}{5} .$

正解:原式 $= 2 \sqrt{5} - \sqrt{5} + \sqrt{\frac{1}{5}} = 2 \sqrt{5} - \sqrt{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} = \frac{6}{5} \sqrt{5} .$

说明:二次根式的结果中若被开方数是分式或分数 (包括小数) 一定要化简, 然后再进行同类二次根式的合并.

二、二次根式化简不正确

【例2】计算: $- \sqrt{1.6} + \sqrt{40} + \sqrt{\frac{2}{5}} .$

错解:原式 $= - 0.4 + 2 \sqrt{10} + \frac{\sqrt{10}}{5} = - 0.4 + \frac{11}{5} \sqrt{10} .$

分析: $\sqrt{1.6} \neq 0.4 .$

正解:原式 $= - \frac{2}{5} \sqrt{10} + 2 \sqrt{10} + \frac{\sqrt{10}}{5} = \frac{9}{5} \sqrt{10} .$

【例 $3 】 \sqrt{4 \frac{1}{2}} + \sqrt{8} - \sqrt{18} .$

错解:原式 $= 4 \sqrt{\frac{1}{2}} + 2 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} . = 4 \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} = \sqrt{2}$

分析: $\sqrt{4 \frac{1}{2}} \neq 4 \sqrt{\frac{1}{2}}$ , 应是 $\sqrt{4 \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{2} \sqrt{2} .$

正解:原式 $= \frac{3}{2} \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

说明:化简过程中, 还容易出现以下错误: $\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{9}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ ; $\sqrt{\frac{1}{8}} = 4 \sqrt{2}$ ; $\sqrt{2 \times (- 3)^{2}} = - 3 \sqrt{2}$ 等.

三、合并同类二次根式错误

合并同类二次根式的前提是:必须正确找出同类二次根式.

【例3】计算 $\sqrt{8 a} - \sqrt{\frac{a}{2}} + \frac{1}{2} \sqrt{12 a} - \frac{1}{2} \sqrt{50 a} .$

错解:原式 $= 2 \sqrt{2 a} - \frac{1}{2} \sqrt{2 a} + \sqrt{3 a} - \frac{5}{2} \sqrt{2 a} . = \sqrt{3 a} - \sqrt{2 a} = \sqrt{a} .$

分析: $\sqrt{3 a}$ 与 $\sqrt{2 a}$ 不是同类二次根式, 其被开方数不相同, 故不能合并.

正解:原式 $= 2 \sqrt{2 a} - \frac{1}{2} \sqrt{2 a} + \sqrt{3 a} - \frac{5}{2} \sqrt{2 a} = \sqrt{3 a} - \sqrt{2 a} .$

说明:有时在计算过程中会出现这样的错误: $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$ ; $\sqrt{3} - \sqrt{2} = 1 .$

四、运算定律误用

学生在解题时, 不能正确按运算顺序解题, 想当然地误用运算律.

【例4】计算 $3 \div \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} .$

错解:原式=3÷1=3.

分析: $3 \div \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = (3 \div \sqrt{3}) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \neq 3 \div (\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}})$ .该错解把乘法的结合律误用到乘除混合运算中.

正解:原式 $= 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 1 .$

五、忽视隐含条件的限制和使用

二次根式的隐含条件在部分二次根式的运算中经常会使用.找准二次根式的隐含条件, 对正确解题很有必要.

【例5】计算 $\sqrt{- x^{3}} - x \sqrt{- \frac{1}{x}} . .$

错解:原式 $= x \sqrt{- x} - x \cdot \frac{1}{x} \sqrt{- x} = x \sqrt{- x} - \sqrt{- x} = (x - 1) \sqrt{- x}$

分析:没有注意到隐含条件:被开方数是非负数, $- x^{3} \geq 0 ‚ - \frac{1}{x} \geq$ 且x≠0, 故x<0, 从而导致结果错误.

正解:原式 $= | x | \sqrt{- x} - x | \frac{1}{x} | \sqrt{- x} = - x \sqrt{- x} + x \cdot \frac{1}{x} \sqrt{- x} = - x \sqrt{- x} + \sqrt{- x} = (1 - x) \sqrt{- x} .$

说明:学生在解题时, 除了忽视二次根式的隐含条件的限制外, 有时还会忽视二次根式的隐含条件的使用, 从而无法解出类似“若 $\sqrt{x - 2} - \sqrt{2 - x} + a b = 4 - 2 b$ , 求a+b的值.”的题目.

3.《二次根式的运算》教学反思篇三

1、教学观念还要不断更新，使数学教育面向全体学生，实现——人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。

2、要不断学习新的教育理论，充实自己头脑，指导新课程教学实践。

3、注意评价的多元化，全面了解学生的数学学习历程，对数学学习的评价不仅要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程，帮助学生认识自我，建立信心。

4、二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.

5、对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用.

6、在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的`性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

7、在二次根式的加减运算时，首先需搞清楚什么是同类二次根式，同类二次根式的判断，关键是能熟练准确地化二次根式为最简二次根式。

8。二次根式的加减，首先要化简二次根式，化简之后，就类似整式的加减运算了.整式的加减实质就是去括号和合并同类项.二次根式的加减也是如此.合并同类二次根式

与合并同类项类似.在教学中应注意二次根式的加减运算与整式加减运算的类比。

9、判断两个或多个二次根式是不是同类二次根式，是将它们化简成最简二次根式，再看被开方数是不相同，被开方数相同就是同类二次根式，如果被开方数不相同就不是同类二次根式，这与根号的因数或因式无关。

4.二次根式的运算同步练习题篇四

四、课时安排

1课时

五、教具学具准备

投影仪、胶片、多媒体

六、师生互动活动设计

复习小结，归纳整理，应用提高，以学生活动为主

七、教学过程（）

【例题】

例1 化简：

（1）；（2）．

解：（1）

．

（2）

．

说明：在计算过程中要注意各个式子的特点，能否约分或消项（第2小题）达到化简的目的，又要善于在规则允许的情况下可变换相邻项的位置，如，结果为－1，继续运算易出现符号上的差错，而把先变为，这样则为1，继续运算可避免错误．

例2 解下列方程（组）：

（1）

（2）

（3）

解：（1）

．

（2）①× ，得

③

②× ，得

④

③－④，得

把代入①，得

解得．

∴ 是原方程组的解．

（3）由②，得

③

①× ，得

④

③－④，得

把代入①，得

．

∴ 是原方程组的解．

例3 已知，，求的值．

解：．

．

，，

∴ ．

例4 已知，，求的.值．

解：，．

．

（二）随堂练习

1．教材中P206中8．

2．解不等式：．

解：

∴ ．

3．已知，，求的值．

解：3．，或．

．

∴

．

4．已知，，求：的值．

解 4．

．

5．已知，求的值．

解 5．．

．

6．不求方根的值比较与的大小．

解 6．∵

∴

（三）总结、扩展

根据已知条件，求一个代数的值，要注意条件或代数式的化简，有时条件和要求的代数式都需要化简，当把条件化简后，代数式的化简要朝着条件化简的结果去化简．

（四）布置作业

教材中P207B组1、3和补充作业．

补充作业：

1．已知，求的值．

2．已知，，求的值．

（五）板书设计

标题

1．例题…… 3．例题……

2．练习题4．练习题

八、背景知识与课外阅读

二次根式的混和运算方法和顺序

1．方法（1）应用二次根式乘法、除法和加减法运算法则．

（2）在实数范围内运算律仍适用．

（3）二次根式的乘法，与多项式的乘法相类似，遇运用多项式乘法公式时，也可以运用乘法公式．

5.小学数学混合运算同步练习题篇五

同步练习题如下

一、用递等式进行计算

9405-2940÷28×21920-1680÷40÷7690+47×52-398

148+3328÷64-75360×24÷32+7302100-94+48×54

51+(2304-2042)×234215+(4361-716)÷81(247+18)×27÷25

36-720÷(360÷18)1080÷(63-54)×80(528+912)×5-6178

8528÷41×38-904264+318-8280÷69(174+209)×26-9000

814-(278+322)÷151406+735×9÷453168-7828÷38+504

796-5040÷(630÷7)285+(3000-372)÷36546×(210-195)÷30

88-28÷14(49-49)×4932×2÷840+200÷5

112-12×972÷(8×3)45÷(12-9)72-72÷12

3×9+9×33×9÷3÷945+45÷5-10250+50-250+50

60+40÷10-10(45+45)÷5-10400÷80+20÷5

53-(15+5×3)90-90÷15+6

521-21×12+881156÷17+5040÷42

610-714÷21×15338+2108÷34-292

(82-936÷78)×151305-(760+240÷40)

(4076-114×15)÷91(628+830)÷(307-289)

二、选择题

(1)103乘以38减去26的差，积是。

A.3898 B.3888 C.1236

(2)98加上42除以14的.商，和是()。

A.49 B.101 C.10

(3)甲数是99，比乙数的3倍多15，乙数是()。

A.28 B.312 C.38

(4)从369里减去15的4倍，差是多少?正确的算式是()。

A.(369-15)×4 B.369-15×4 C.369×4-15

(5)73÷(26+38)的算式用文字表达是()。

A.73除以26加上38 B.73除以26的商加上38

C.73除以26加上38的和

三、列式计算

(1)6968减去864的差除以56，商是多少?

(2)78与52的和乘以它们的差，积是多少?

6.二次根式的教学反思篇六

上完本节课，反思如下：

1.本节课是九年级上册第二十一章的内容，是一节新授课，在备课时按照目标让学生明白、过程让学生经历、结论让学生讨论、规律让学生总结的指导原则进行认真备课尤其对例题与练习题也进行了精心的挑选，按照由易到难由简入繁的顺序安排，并且认真制作了课件便于学生对重点内容的理解和难点的解决。

2.让学生回顾了算术平方根与平方根的概念，得出二次根式的定义后又复习了算术平方根具有双重非负性通过练习让。

根据几个例题的练习，学生可以得出二次根式的两个性质，体会从特殊到一般的思维过程，进而掌握公式的一般推导方法。

7.《二次根式的除法》教学反思篇七

《二次根式的除法》教学反思

这个内容分两个课时来上，内容较多，但能运用讲解 — 训练 — 讲解 — 训练的教学方法，使学生能动手动脑相结合，在学习中比较能集中精神；练习中还运用多种教学手段，如板演、小组比赛等形式，使很多学生开始对数学的学习产生浓厚的兴趣。不足的是在讲“分母有理化”时没有提出“分母有理化”，且这方面的练习较少，学生也还很不熟练。

在设计课堂内容教学时，以问题的方式提出本节课要解决的问题，让学生自主探究，在探究过程中注意观察知识产生发展的全过程，从而让学生的学习情感和学习品质得到升华，学生的创新精神得到发展。本课时设计充分反映了课堂教学的灵活性与探究性，基本达到了通过再创造培养学生创新精神和创造能力的教学目标。

8.二次根式篇八

对于请同学们讨论论应注意的问题，引导学生总结：

(1)式子只有在条件a≥0时才叫二次根式，是二次根式吗? 呢?

若根式中含有字母必须保证根号下式子大于等于零，因此字母范围的限制也是根式的一部分.

(2) 是二次根式，而，提问学生：2是二次根式吗?显然不是，因此二次

根式指的是某种式子的“外在形态”.请学生举出几个二次根式的例子，并说明为什么是二次根式.下面例题根据二次根式定义，由学生分析、回答.

例1 当a为实数时，下列各式中哪些是二次根式?

分析：，，，、、、四个是二次根式. 因为a是实数时，a+10、a2-1不能保证是非负数，即a+10、a2-1可以是负数(如当a<-10时，a+10<0;又如当0

例2 x是怎样的实数时，式子在实数范围有意义?

解：略.

说明：这个问题实质上是在x是什么数时，x-3是非负数，式子有意义.

例3 当字母取何值时，下列各式为二次根式：

(1) (2) (3) (4)

分析：由二次根式的定义，被开方数必须是非负数，把问题转化为解不等式.

解：(1)∵a、b为任意实数时，都有a2+b2≥0，∴当a、b为任意实数时，是二次根式.

(2)-3x≥0，x≤0，即x≤0时，是二次根式.

(3) ，且x≠0，∴x>0，当x>0时，是二次根式.

(4) ，即，故x-2≥0且x-2≠0, ∴x>2.当x>2时，是二次根式.

例4 下列各式是二次根式，求式子中的字母所满足的条件：

(1) ; (2) ; (3) ; (4)

分析：这个例题根据二次根式定义，让学生分析式子中字母应满足的.条件，进一步巩固二次根式的定义，.即：只有在条件a≥0时才叫二次根式，本题已知各式都为二次根式，故要求各式中的被开方数都大于等于零.

解：(1)由2a+3≥0，得 .

(2)由，得3a-1>0，解得 .

(3)由于x取任何实数时都有|x|≥0，因此，|x|+0.1>0，于是，式子是二次根式. 所以所求字母x的取值范围是全体实数.

(4)由-b2≥0得b2≤0，只有当b=0时，才有b2=0，因此，字母b所满足的条件是：b=0.

(三)小结(引导学生做出本节课学习内容小结)

1.式子叫做二次根式，实际上是一个非负的实数a的算术平方根的表达式.

2.式子中，被开方数(式)必须大于等于零.

(四)练习和作业

练习：

1.判断下列各式是否是二次根式

分析：(2) 中，，是二次根式;(5)是二次根式. 因为x是实数时，x、x+1不能保证是非负数，即x、x+1可以是负数(如x<0时，又如当x<-1时=，因此(1)(3)(4)不是二次根式，(6)无意义.

2.a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?

五、作业

教材P.172习题11.1;A组1;B组1.

9.二次根式教案篇九

1．内容

二次根式的概念.

2．内容解析

本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念. 它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础.

教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义. 再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解.

本节课的教学重点是：了解二次根式的概念；

二、目标和目标解析

1.教学目标

（1）体会研究二次根式是实际的需要．

（2）了解二次根式的概念．

2. 教学目标解析

（1）学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的`必要性．

（2）学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围．

三、教学问题诊断分析

对于二次根式的定义，应侧重让学生理解 “ 的双重非负性，”即被开方数 ≥0是非负数，的算术平方根 ≥0也是非负数.教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断.

本节课的教学难点为：理解二次根式的双重非负性.

四、教学过程设计

1．创设情境，提出问题

问题1你能用带有根号的的式子填空吗？

（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．

（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130?，则它的宽为______．

（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：）满足关系 h =5t?，如果用含有h 的式子表示 t ，则t= _____．

师生活动：学生独立完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价.

【设计意图】让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性．

问题2 上面得到的式子，，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？

师生活动：教师引导学生说出各式的意义，概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．

【设计意图】为概括二次根式的概念作铺垫．

2．抽象概括，形成概念

问题3 你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？

师生活动：学生小组讨论，全班交流．教师由此给出二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号．

【设计意图】让学生体会由特殊到一般的过程，培养学生的概括能力．

追问：在二次根式的概念中，为什么要强调“a≥0”？

师生活动：教师引导学生讨论，知道二次根式被开方数必须是非负数的理由．

【设计意图】进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解．

3．辨析概念，应用巩固

例1 当时怎样的实数时，在实数范围内有意义？

师生活动:引导学生从概念出发进行思考，巩固学生对二次根式的被开方数为非负数的理解．

例2 当是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？

师生活动:先让学生独立思考，再追问．

【设计意图】在辨析中，加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解．

问题4 你能比较与0的大小吗？

师生活动：通过分和这两种情况的讨论，比较与0的大小，引导学生得出 ≥0的结论，强化学生对二次根式本身为非负数的理解，

【设计意图】通过这一活动的设计，提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识；培养学生分类讨论和归纳概括的能力.

4．综合运用，巩固提高

练习1 完成教科书第3页的练习.

练习2 当x 是什么实数时，下列各式有意义.

（1）；（2）；（3）；（4） .

【设计意图】辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件.

【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，开阔学生的视野，训练学生的思维.

5．总结反思

教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题.

（1）本节课你学到了哪一类新的式子？

（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？

（3）二次根式与算术平方根有什么关系？

师生活动：教师引导，学生小结.

【设计意图】：学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重点，掌握解题方法.

6．布置作业：

教科书习题16.1第1，3，5， 7，10题．

五、目标检测设计

1. 下列各式中，一定是二次根式的是（）

A. B. C. D.

【设计意图】考查对二次根式概念的了解，要特别注意被开方数为非负数．

2. 当时，二次根式无意义．

【设计意图】考查二次根式无意义的条件，即被开方数小于0，要注意审题．

3.当时，二次根式有最小值，其最小值是．

【设计意图】本题主要考查二次根式被开方数是非负数的灵活运用．

4.对于，小红根据被开方数是非负数，得出的取值范围是 ≥ ．小慧认为还应考虑分母不为0的情况．你认为小慧的想法正确吗？试求出的取值范围．

10.二次根式的加减评课稿篇十

刘晶老师《二次根式的加减》这节课，整个课堂教学一切以学生为中心，以快乐为根本。课堂师生关系和谐，教师是组织者、促进者，学生是“太阳”，教学围绕“太阳”活动。本节课我认为主要有四点特色：

1、教师创设情境，激发学生学习兴趣。本节课开始时，首先由砌一个正方形花坛的实际问题出发，引导学生得出两个二次根式求和的运算。从而提出问题：如何进行二次根式的加减运算？这样通过问题指向本课研究的重点，激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲望。教师能合理组织学生自主学习、合作探究，对学生的即时评价具有发展性和激励性。

2、注重学生参与，发挥学生主体地位。《二次根式的加减》这节课，刘老师极大调动学生的学习热情，全体学生参与教学活动。全班学生积极探究、解疑、互动答问，学生学会自己学习，自己解决问题，学生是主体教师是组织者、促进者、合作者、学习者的地位凸现出来。

3、尊重学生人格，关注每个学生发展。在教学过程中，刘老师对重点难点问题，让举手的学生回答，而一般性问题，刘老师选择没有举手的学生进行回答，课堂提问“优、差”互补，很好地调动学生学习的积极性，是数学课堂每个学生得到进步，每个学生得到不同的发展。教师能面向全体学生，激发学生的深层思考和情感投入，鼓励学生大胆质疑、独立思考，引导学生用自己的语言阐明自己的观点和想法。

4、教师教态自然，普通话标准，语言准确精炼。教师专业素养过硬，教师能按照课程标准和教学内容的体系进行有序教学，完成知识、技能等基础性目标，同时还要注意学生发展性目标的实现。