高二数学不等式压轴题

2024-08-22

高二数学不等式压轴题（共9篇）

1.高二数学不等式压轴题篇一

导数与数列不等式的证明

例1.已知函数f(x)alnxax3aR(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)证明:112131nln(n1)(nN*)(3)证明:ln22ln33ln44ln55lnnn1nn2,nN* n(4)证明:ln2ln3ln4ln5lnn1n122324252n22nn2,nN*(5)证明:ln24ln34ln44ln54lnn4(n1)224344454n44nn2,nN* ln22ln32(6)求证:lnn2n12n12232...n22n1n2,nN(7)求证:122114211182...1122nenN

例2.已知函数f(x)lnxx1｡(1)求f(x)的最大值;nnn(2)证明不等式:12nennne1nN*

例3.已知函数fxx2lnx1

(1)当x0时,求证:fxx3;

(2)当nN时,求证:nf1111151 k1k2333...n342nn1

例4.设函数f(x)x2mln(x1)m0

(1)若m12,求f(x)的单调区间;(2)如果函数f(x)在定义域内既有极大值又有极小值,求实数m的取值范围;(3)求证:对任意的nN*,不等式lnn1nn1n3恒成立｡

例5.已知函数f(x)ln(x1)k(x1)1(kR),(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若f(x)0恒成立,试确定实数k的取值范围;(3)证明:ln23ln34lnnn1n(n1)4nN,n1.导数与数列不等式的证明收集整理:张亚争联系电话:*** 1 / 2 例6.已知函数f(x)axbc(a0)的图像在点(1,f(1))处的切线方程为yx1｡ x(1)用a表示出b,c;

(2)若f(x)lnx在[1,)上恒成立,求a的取值范围;(3)证明:1

例7.已知函数f(x)2alnxx21｡

(1)当a1时,求函数f(x)的单调区间及f(x)的最大值;(2)令g(x)f(x)x,若g(x)在定义域上是单调函数,求a的取值范围;111nln(n1)(n1).23n2(n1)3n2n222222(3)对于任意的n2,nN,试比较与的ln2ln3ln4ln5lnnn(n1)*大小并证明你的结论｡

1ln(x1)(x0)x(1)函数f(x)在区间(0,)上是增函数还是减函数?证明你的结论｡

k(2)当x0时,f(x)恒成立,求整数k的最大值;x1(3)试证明:(112)(123)(134)(1n(n1))e2n3(nN*).例8.已知函数f(x)

例9.已知函数fxxalnxa0(1)若a1,求fx的单调区间及fx的最小值;(2)若a0,求fx的单调区间;ln22ln32lnn2n12n1(3)试比较22...2与n2,nN的大小,并证明｡ 23n2n1

例10.已知函数fxlnx,gxxaaR, x(1)若x1时,fxgx恒成立,求实数a的取值范围｡(2)求证:

例11.已知函数fxlnxxax

2ln2ln3lnn1n2,nN 34n1n(1)若函数fx在其定义域上为增函数,求a的取值范围;(2)设an1

例12.设各项为正的数列an满足a11,an1lnanan2,nN.求证:an2n1.122Lanlnn12n nN,求证:3a1a2...ana12a2n导数与数列不等式的证明收集整理:张亚争联系电话:*** 2 / 2

2.浅析中考数学压轴题解题技巧篇二

【关键词】数学中考解题规律技巧

一、初中数学中考的复习方案与知识点的串联

根据山东省历年中考的实际情况来看，数学考试的知识点分散较大。考纲虽然明确提出的有148个考点，但是许多考点的考查都是通过知识的串联进行的，有些考点甚至只是作为隐形考点加以考查。

二、以实例探讨中考考题的解题技巧以及解题思想的建立

例题（山东省）如图1所示，已知二次函数y = ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（2，-3），C（0，-3）。

（1）求二次函数y = ax2+bx+c的具体表达式并标明图象的对称轴；

（2）现假设点P与点Q分别从B点和O点出发，以每秒0.1个单位长度的速度运动。其中P点沿线段BC向C点运动，Q点从O点沿线段OA向A点运动，当其中一个点到达端点时，另一个也立即停止运动，设最终运动总时间为t（s）。

①要想让四边形ABPQ正好为等腰梯形，那么t应该取何值？

②假设PQ与对称轴交于一点M，过M点作x轴的平行线与AB相交，并设其交点为N，若假设S四边形ANPQ=S，请求出面积S与时间t的函数表达式和t的取值范围；并求出当t为何值时，S取最值（可以为最大值和最小值）。

解：具体分析如图2所示。

（1）由于二次函数y = ax2+bx+c的图象经过C（0，-3），可以得出c=-3，

再将点A与点B的值带入就得到了关于a，b的二元一次方程组，解之可得：a=1 ；b=-2。

二次函数的表达式为：y = x2-2x-3。

注：第一问的解答并不算难，应该要求所有学生掌握。但是对于这种简单的计算，要让学生们注意，不能因为一时马虎而算错数据。而在这个简单的解题之下，包含了哪些内容呢？首先，考查的是函数的定义，以及二元一次方程的计算。

（2）①由题意可得：BP=OQ=0.1t，

由于点B与点C的纵坐标相等，所以BC//OA。

过点B，P分别作垂线BD，PE，垂足为D，E。

题目中要求算出四边形ABPQ为等腰梯形时t的值（利用这一条件找等式），只有当PQ=AB时可以实现，

即 QE=AD=1，

QE=OE-OQ=2-0.2t=1，

t=5，也就是当t为5时，四边形ABPQ成等腰梯形。

注：这是第二问的解答，可以看得出来，这一题的设计十分巧妙，将几何与解析几何联系在一起出题。当学生看到等腰梯形时，应该首先想到等腰梯形的性质，并根据题目所给的条件看看是否能构造等式。在本题中，这个等式的构造就是等腰梯形的两个腰相等。这就是正确的解题思路，当学生看到这个题目直接考虑腰相等而建立等式时，就已经解开了大半了。根据笔者的系统研究发现，近些年来中考的发展趋势主要面向学生的空间思考能力和动手能力。

②先设对称轴与BC的交点为F，并设对称轴与x轴的交点为G。

此时可以看出对称轴x=1垂直平分线段BC，也就可以得出： BF=CF=OG=1。

又因为BP=OQ。

所以PF=OG。

再因为∠PMF=∠QMG，可以推出△MFP≌△MGQ。

所以MF=MG。

由条件可得：S=S四边形ABPQ-S△BPN=S四边形ABFG-S△BPN

而S四边形ABFG= ，S△BPN= t。

所以S= - t.

又因为 BC=2，OA=3，

所以点P运动到C点需要20秒，也就是t的取值范围是0≤t≤20。

那么当t=20时取最小值S=3。

注：第三问的难度稍大，但只要细心也能做得出来，第三问对题目的探索最多，对知识点的应用也最多。具体来看，第三问设计的最大值与最小值的求解，必定会出现取值范围的应用，否则无法判定最大值和最小值，所以当学生看到第三问时，首先能想到利用取值范围解题就可能会直接寻找t的取值，以及t和面积S的具体关系，也就找到了解题的思路。

结束语

综合题目的分析能极大程度地串联不同章节的知识，也就是说分析综合题是提升学生解题技巧的方法之一。

【参考文献】

[1] 解婉贞.圆“满”的结局——谈数学中考圆运动的动态问题之一[J].考试周刊，2012（80）：3-5.

[2] 唐煌.谈数学中考综合题的解答[J].初中生辅导，2012（18）：9-18.

[3] 赵桂芳.数学中考备考策略[J].基础教育论坛，2012（8）：11-12.endprint

【摘要】初中数学的教育应该从学生的接受能力角度出发，将题目以规律形式表现出来，让学生能有一套自己的解题思路和解题方法。

【关键词】数学中考解题规律技巧

一、初中数学中考的复习方案与知识点的串联

二、以实例探讨中考考题的解题技巧以及解题思想的建立

例题（山东省）如图1所示，已知二次函数y = ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（2，-3），C（0，-3）。

（1）求二次函数y = ax2+bx+c的具体表达式并标明图象的对称轴；

①要想让四边形ABPQ正好为等腰梯形，那么t应该取何值？

解：具体分析如图2所示。

（1）由于二次函数y = ax2+bx+c的图象经过C（0，-3），可以得出c=-3，

再将点A与点B的值带入就得到了关于a，b的二元一次方程组，解之可得：a=1 ；b=-2。

二次函数的表达式为：y = x2-2x-3。

（2）①由题意可得：BP=OQ=0.1t，

由于点B与点C的纵坐标相等，所以BC//OA。

过点B，P分别作垂线BD，PE，垂足为D，E。

题目中要求算出四边形ABPQ为等腰梯形时t的值（利用这一条件找等式），只有当PQ=AB时可以实现，

即 QE=AD=1，

QE=OE-OQ=2-0.2t=1，

t=5，也就是当t为5时，四边形ABPQ成等腰梯形。

②先设对称轴与BC的交点为F，并设对称轴与x轴的交点为G。

此时可以看出对称轴x=1垂直平分线段BC，也就可以得出： BF=CF=OG=1。

又因为BP=OQ。

所以PF=OG。

再因为∠PMF=∠QMG，可以推出△MFP≌△MGQ。

所以MF=MG。

由条件可得：S=S四边形ABPQ-S△BPN=S四边形ABFG-S△BPN

而S四边形ABFG= ，S△BPN= t。

所以S= - t.

又因为 BC=2，OA=3，

所以点P运动到C点需要20秒，也就是t的取值范围是0≤t≤20。

那么当t=20时取最小值S=3。

结束语

综合题目的分析能极大程度地串联不同章节的知识，也就是说分析综合题是提升学生解题技巧的方法之一。

【参考文献】

[1] 解婉贞.圆“满”的结局——谈数学中考圆运动的动态问题之一[J].考试周刊，2012（80）：3-5.

[2] 唐煌.谈数学中考综合题的解答[J].初中生辅导，2012（18）：9-18.

[3] 赵桂芳.数学中考备考策略[J].基础教育论坛，2012（8）：11-12.endprint

【摘要】初中数学的教育应该从学生的接受能力角度出发，将题目以规律形式表现出来，让学生能有一套自己的解题思路和解题方法。

【关键词】数学中考解题规律技巧

一、初中数学中考的复习方案与知识点的串联

二、以实例探讨中考考题的解题技巧以及解题思想的建立

例题（山东省）如图1所示，已知二次函数y = ax2+bx+c的图象经过点A（3，0），B（2，-3），C（0，-3）。

（1）求二次函数y = ax2+bx+c的具体表达式并标明图象的对称轴；

①要想让四边形ABPQ正好为等腰梯形，那么t应该取何值？

解：具体分析如图2所示。

（1）由于二次函数y = ax2+bx+c的图象经过C（0，-3），可以得出c=-3，

再将点A与点B的值带入就得到了关于a，b的二元一次方程组，解之可得：a=1 ；b=-2。

二次函数的表达式为：y = x2-2x-3。

（2）①由题意可得：BP=OQ=0.1t，

由于点B与点C的纵坐标相等，所以BC//OA。

过点B，P分别作垂线BD，PE，垂足为D，E。

题目中要求算出四边形ABPQ为等腰梯形时t的值（利用这一条件找等式），只有当PQ=AB时可以实现，

即 QE=AD=1，

QE=OE-OQ=2-0.2t=1，

t=5，也就是当t为5时，四边形ABPQ成等腰梯形。

②先设对称轴与BC的交点为F，并设对称轴与x轴的交点为G。

此时可以看出对称轴x=1垂直平分线段BC，也就可以得出： BF=CF=OG=1。

又因为BP=OQ。

所以PF=OG。

再因为∠PMF=∠QMG，可以推出△MFP≌△MGQ。

所以MF=MG。

由条件可得：S=S四边形ABPQ-S△BPN=S四边形ABFG-S△BPN

而S四边形ABFG= ，S△BPN= t。

所以S= - t.

又因为 BC=2，OA=3，

所以点P运动到C点需要20秒，也就是t的取值范围是0≤t≤20。

那么当t=20时取最小值S=3。

结束语

综合题目的分析能极大程度地串联不同章节的知识，也就是说分析综合题是提升学生解题技巧的方法之一。

【参考文献】

[1] 解婉贞.圆“满”的结局——谈数学中考圆运动的动态问题之一[J].考试周刊，2012（80）：3-5.

[2] 唐煌.谈数学中考综合题的解答[J].初中生辅导，2012（18）：9-18.

3.如何应对中考数学压轴题篇三

如何应对中考数学压轴题

作者：玉孔总

来源：《中学教学参考·理科版》2013年第07期

近几年的中考试题，一些题型灵活、设计新颖、富有创意的压轴题涌现出来，其中一类以平移、旋转、翻折等图形变换为解题思路的题目更是成为中考压轴大戏的主角.以图形运动中的函数关系问题为例，这部分压轴题的主要特征是在图形运动变化的过程中，探求两个变量之间的函数关系.现谈谈笔者十年来指导中考复习的一些感悟.一、解数学压轴题的策略

解数学压轴题可分为五个步骤：1.认真默读题目，全面审视题目的所有条件和答题要求，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，理解好题意；2.利用重要数学思想探究解题思路；3.选择好解题的方法正确解答；4.做好检验工作，完善解题过程；5.当思维受阻、思路难觅时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃.二、解动态几何压轴题的策略

近几年的数学中考试卷中都是以函数和几何图形的综合作为压轴题，用到圆、三角形和四边形等有关知识，方程与图形的综合也是常见的压轴题.动态几何问题是一种新题型，在图形的变换过程中，探究图形中某些不变的因素，把操作、观察、探求、计算和证明融合在一起.动态几何题解决的策略是：把握运动规律，寻求运动中的特殊位置；在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律.通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质.简析：本题是一个双动点问题，是中考动态问题中出现频率最高的题型，这类题的解题策略是化动为静，注意运用分类思想.三、巧用数学思想方法解分类讨论型压轴题

4.高考数学压轴题分析方法篇四

近几年数学高考压轴题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查。对数学思想和方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查。数学高考压轴题，已经由单纯的知识叠加型转化为知识、方法、能力综合型，尤其是创新能力型试题。压轴题是高考试题的精华部分，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的探究意识、创新意识和创新能力等特点。

2、高观点性，与高等数学知识接轨。

所谓高观点题，是指与高等数学相联系的一些数学问题。这样的问题或以高等数学知识为背景，或体现高等数学中常用的数学思想方法和推理方法。由于高考的选拔功能，这类题往往倍受命题者青睐。近年来的考题中，出现了不少背景新、设问巧的高观点题，成为高考题中一道亮丽的风景。

3、交汇性，强调各个数学分支的交汇。

高考数学命题，在考查基础知识的基础上，注重在知识网络的交汇点上设计试题，重视对数学思想方法与数学能力的考查，是近年来高考试题的特色。高考数学压轴题讲究各个数学分支的综合与交汇，有利于加强对考生分析问题与解决问题的能力考查。

4、结论或条件比较新颖

在这类试题往往内涵丰富，立意新颖，表述脱俗，背景鲜活，设问独特，让人赏心悦目，回味无穷，给人耳目一新的感觉。

高考数学解答题的解题技巧

珍惜题目中给你的条件。数学题目中的条件都是不多也不少的，一道给出的题目，不会有用不到的条件，而另一方面，你要相信给出的条件一定是可以做到正确答案的。所以，解题时，一切都从题目条件出发，只有这样，一切才都有可能。

在数学家波利亚的四个解题步骤中，第一步审题格外重要，审题步骤中，又有这样一个技巧：当你对整道题目没有思路时：步骤(1)将题目条件推导出“新条件”，步骤(2)将题目结论推导到“新结论”.

步骤(1)就是不要理会题目中你不理解的部分，只要你根据题目条件把能做的先做出来，能推导的先推导出来，从而得到“新条件”。步骤(2)就是想要得到题目的结论，我需要先得到什么结论，这就是所谓的“新结论”。然后在“新条件”与“新结论”之间再寻找关系。一道难题，难就难在题目条件与结论的关系难以建立，而你自己推出的“新条件”与“新结论”之间的关系往往比原题更容易建立，这也意味着解出题目的可能性也就越大!

5.中考数学复习几何证明压轴题篇五

几何证明压轴题

1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.(1)

求证：DC=BC;

(2)

E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；

(3)

在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值.[解析]

（1）过A作DC的垂线AM交DC于M,则AM=BC=2.又tan∠ADC=2,所以.即DC=BC.(2)等腰三角形.证明：因为.所以，△DEC≌△BFC

所以，.所以，即△ECF是等腰直角三角形.（3）设,则，所以.因为，又，所以.所以

所以.2、已知：如图，在□ABCD

中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．

（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）若四边形

BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．

[解析]

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD

．

∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝AB，CF＝CD

．

∴AE＝CF

∴△ADE≌△CBF

．

（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形

AGBD是矩形．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC

．

∵AG∥BD，∴四边形

AGBD

是平行四边形．

∵四边形

BEDF

是菱形，∴DE＝BE

．

∵AE＝BE，∴AE＝BE＝DE

．

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°．

∴∠2＋∠3＝90°．

即∠ADB＝90°．

∴四边形AGBD是矩形

3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．

（1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；

（2）若三角尺GEF旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

图13－2

图13－3

图13－1

A（G)

B（E)

D（F)

[解析]（1）BM=FN．

证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴

∠ABD

=∠F

=45°，OB

OF．

又∵∠BOM=∠FON，∴

△OBM≌△OFN

．

∴

BM=FN．

（2）

BM=FN仍然成立．

（3）

证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．

∴∠MBO=∠NFO=135°．

又∵∠MOB=∠NOF，∴

△OBM≌△OFN

．

∴

BM=FN．

4、如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD＝5。

（1）若，求CD的长；

（2）若

∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留）。

[解析]

（1）因为AB是⊙O的直径，OD＝5

所以∠ADB＝90°，AB＝10

在Rt△ABD中，又，所以，所以

因为∠ADB＝90°，AB⊥CD

所以

（2）因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD

所以

所以∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD

因为AO＝DO，所以∠BAD＝∠ADO

所以∠CDB＝∠ADO

设∠ADO＝4x，则∠CDB＝4x

由∠ADO：∠EDO＝4：1，则∠EDO＝x

因为∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90°

所以

所以x＝10°

所以∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100°

所以∠AOC＝∠AOD＝100°

5、如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.

（1）求证：点F是BD中点；

（2）求证：CG是⊙O的切线；

（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．

[解析]

(1)证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF

∴，∵HE＝EC，∴BF＝FD

(2)方法一：连接CB、OC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∵F是BD中点，∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO

∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切线---------6′

方法二：可证明△OCF≌△OBF(参照方法一标准得分)

(3)解：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC

可证得：FA＝FG，且AB＝BG

由切割线定理得：（2＋FG）2＝BG×AG=2BG2

在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2

由、得：FG2-4FG-12=0

解之得：FG1＝6，FG2＝－2（舍去）

∴AB＝BG＝

∴⊙O半径为26、如图，已知O为原点，点A的坐标为（4，3），⊙A的半径为2．过A作直线平行于轴，点P在直线上运动．

（１）当点P在⊙O上时，请你直接写出它的坐标；

（２）设点P的横坐标为12，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由.[解析]

解:

1点P的坐标是（2,3）或（6,3）

2作AC⊥OP,C为垂足.∵∠ACP=∠OBP=,∠1=∠1

∴△ACP∽△OBP

∴

在中，又AP=12-4=8,∴

∴AC=≈1.94

∵1.94<2

∴OP与⊙A相交.7、如图，延长⊙O的半径OA到B，使OA=AB，C

DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线，垂足为点C.求证：∠ACB=∠OAC.[解析]

证明：连结OE、AE，并过点A作AF⊥DE于点F，（3分）

∵DE是圆的一条切线，E是切点，∴OE⊥DC，又∵BC⊥DE,∴OE∥AF∥BC.∴∠1=∠ACB，∠2=∠3.∵OA=OE，∴∠4=∠3.∴∠4=∠2.又∵点A是OB的中点，∴点F是EC的中点.∴AE=AC.∴∠1=∠2.∴∠4=∠2=∠1.即∠ACB=∠OAC.8、如图１，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角α为．

1求AO与BO的长；

2若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行.①如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米；

②如图３，当A点下滑到A’点，B点向右滑行到B’点时，梯子AB的中点P也随之运动到P’点．若∠POP’＝，试求AA’的长．

[解析]

1中,∠O=,∠α=

∴,∠OAB=，又ＡＢ＝4米，∴米.米.--------------

(3分)

2设在中,根据勾股定理:

∴

-------------

(5分)

∴

∵　　∴

∴

-------------

(7分)

AC=2x=

即梯子顶端A沿NO下滑了米.----

(8分)

3∵点P和点分别是的斜边AB与的斜边的中点

∴，-------------

(9分)

∴-------

(10分)

∴

∵

∴

-----------------------

(11分)

∴-----

(12分)

∴米.--------

(13分)

9.（重庆，10分）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒．

(1)

求直线AB的解析式；(2)

当t为何值时，△APQ与△AOB相似？

(3)

当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？

解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx＋b

由题意，得

解得

所以，直线AB的解析式为y＝－x＋6．

（2）由AO＝6，BO＝8

得AB＝10

所以AP＝t，AQ＝10－2t

1°

当∠APQ＝∠AOB时，△APQ∽△AOB．

所以　＝

解得　t＝(秒)

2°

当∠AQP＝∠AOB时，△AQP∽△AOB．

所以　＝

解得　t＝(秒)

（3）过点Q作QE垂直AO于点E．

在Rt△AOB中，Sin∠BAO＝＝

在Rt△AEQ中，QE＝AQ·Sin∠BAO＝(10-2t)·＝8

－t所以，S△APQ＝AP·QE＝t·(8－t)

＝－＋4t＝

解得t＝2（秒）或t＝3（秒）．

（注：过点P作PE垂直AB于点E也可，并相应给分）

点拨：此题的关键是随着动点P的运动，△APQ的形状也在发生着变化，所以应分情况：①∠APQ＝∠AOB＝90○②∠APQ＝∠ABO．这样，就得到了两个时间限制．同时第（3）问也可以过P作

PE⊥AB．

10．（南充，10分）如图2－5－7，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，对角线AC上有一个动点P（不包括点A和点C）．设AP＝x，四边形PBCD的面积为y．

（1）写出y与x的函数关系，并确定自变量x的范围．

（2）有人提出一个判断：“关于动点P，⊿PBC面积与⊿PAD面积之和为常数”．请你说明此判断是否正确，并说明理由．

解：（1）过动点P作PE⊥BC于点E．

在Rt⊿ABC中，AC＝10，PC＝AC－AP＝10－x．

∵　PE⊥BC，AB⊥BC，∴⊿PEC∽⊿ABC．

故，即

∴⊿PBC面积＝

又⊿PCD面积＝⊿PBC面积＝

即　y，x的取值范围是0＜x＜10．

（2）这个判断是正确的．

理由：

由（1）可得，⊿PAD面积＝

⊿PBC面积与⊿PAD面积之和＝24．

6.中考数学压轴题的特点及策略篇六

1. 解读中考压轴题考点

纵观近几年的中考试题，中考压轴题通常由3个小问组成，第一个小问容易得分，得分率普遍在0.8以上，第二个小题稍难，但通常还是属于常规题型，得分率在0.6与0.7之间，第三个小问较难，能力要求较高，且得分率也大多在0.2与0.4之间，从全国中考数学的试题命题来看，各地中考试题呈现“起点低，坡度缓，尾巴略翘”这一大特色.

通常第一小题主要是求点的坐标或函数解析式. 第二、三小题有探究点的存在性问题、图形面积问题或最值问题等，其中，各个小题难度层层推进. 下面就以2011年浙江省部分中考压轴题为例，着重阐述第二、三小题的特点及求解策略.

2. 案例呈现，做好应考教学策略

案例1 （2011浙江义乌）已知二次函数的图象经过A（2，0），C（0，12）两点，且对称轴为直线x=4. 设抛物线顶点为P，与x轴的另一交点为点B.

（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标.

（2）如图1，在直线 y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O，P两点除外），以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N. 将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN. 在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式.

方法点拨（1）可设出二次函数的一般形式y=ax2+bx+c，根据对称轴公式，并把点A，C的坐标代入解析式，得到方程组，可求得 a，b，c的值分别为1，-8，12. 所以函数解析式为y=x2－8x+12. 从而可确定顶点P的坐标为（4，-4）.

（2）由（1）可确定点B的坐标为（6，0），从而可确定PB的解析式为y=2x-12，发现PB∥OD，因此OP和BD为腰，计算OP的长度. 设D（x，2x），用含x的代数式表示BD2的长度，即BD2=（2x）2+（6－x）2，再根据OP2=BD2建立方程（2x）2+（6－x）2=32，解得x1=，x2=2，注意检验根的合理性. 当x=2时，OD=BP=2，四边形OPBD为平行四边形，舍去. 所以当x=时，四边形OPBD为等腰梯形. 故存在D，符合题意.

（3）当0

解决策略对于求点的坐标问题，同学们要熟悉平行于x轴和y轴的坐标特点，以及在坐标轴角平分线上的点的特点，并会利用待定系数法求函数关系式. 对于点存在性问题，解答时应先回答问题，再说明理由. 说理的方式有两种：一是从已知条件入手，通过推理、论证得出结论成立；二是从结论入手，通过推理、论证，得到使结论成立的条件. 由于点有静态点和动态点之分，因此，做题时应区别对待. 对于静态点问题，往往涉及点满足何条件才能构成等腰三角形、等腰梯形、正方形、菱形等，这类问题应注重分类讨论，根据其性质特点，找出点的位置，然后利用方程思想来解决. 对于图形面积问题，压轴题中往往是在图形的运动变化中求值，常用割补法，或者探究两种图形重叠部分的面积.

案例2 （2011浙江宁波）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-2，2），点B的坐标为（6，6），抛物线经过A，O，B三点，连结OA，OB，AB，线段AB交y轴于点E．

（1）求点E的坐标.

（2）求抛物线的函数解析式.

（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O，B重合），直线EF与抛物线交于M，N两点（点N在y轴右侧），连结ON，BN，当点F在线段OB上运动时，求△BON 面积的最大值，并求出此时点N的坐标.

（4）连结AN，当△BON面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似（点B，O，P分别与点O，A，N对应）的点P的坐标．

方法点拨（1）根据A，B两点坐标可求出直线AB的解析式为y=x+3，令x=0，可求得E点坐标为（0，3）.

（2）设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A，B两点的坐标代入，列方程组求得a=，b=－，所以抛物线的解析式为y=x2－x．

（3）过点N作x轴的垂线NG，垂足为点G，交OB于点Q，过点B作BH⊥x轴于点H，设Nx，x2－x，则Q（x，x）. 把△BON的面积表示为两个三角形之和，用含未知数的形式表示出△BON的面积，即S△BON=S△QON+S△BQN=·QN·OG+·QN·GH=·QN·（OG+GH）=·QN·OH=·x－x2－x×6=－（x－3）2+（0

（4）过点A作AS⊥GQ于点S，易求得tan∠SAN=tan∠NOG=，且∠OAS=∠BOG=45°，所以∠SAN=∠NOG，∠OAN=∠BON. 所以ON的延长线上存在一点P满足条件. 先求出OB，AO和AN的长，由△BOP∽△OAN得到OP的长为. 作PT⊥x轴于点T，所以△OPT∽△ONG， ==，设P（4t，t），则（4t）2+t2=2，解得t1=，t2=－（舍），所以点P的坐标为15，. 将△OPT沿直线OB翻折，可得出另一个满足条件的点P′，15. 由以上推理可知，当点P的坐标为15，或，15时，△BOP与△OAN相似．

解决策略对于单动点的动态问题，应抓住变化中的“不变量”，以不变应万变. 先理清题意，根据题目中两个变量的变化情况找出相关常量，再按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，最后根据题目的要求，依据几何、代数知识求解. 对于面积的最值问题，有求三角形或四边形的面积的最大（小）值. 这类问题通常是借助三角形的面积公式或转化为三角形来解决，但它们的本质都是通过建立二次函数模型，对二次函数配方求得相应的最值，因此，在解决这类问题时，首先应求出所求问题的二次函数解析式，然后再配方求顶点坐标，这样就可以求出最值.

3. 总结

中考压轴题是初中数学中知识覆盖面最广，综合性最强的题型. 压轴题结合知识点多，条件隐晦，这就要求同学们有较强的理解能力、分析能力和解决能力，对数学知识和数学方法有较强的驾驭能力，并且有较强的创新意识和创新能力.

7.初中数学压轴题技巧有哪些篇七

最近几年各地的中考压轴题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。

以直线知识为载体

运用函数与方程思想，直线和抛物线是初中数学中的重要函数，即一次函数和二次函数所表示的图形，因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想，例如，函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得。

利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想

8.高二数学不等式压轴题篇八

“函数与导数”以其极强的综合性强，灵活多变的解法，屡屡承载压轴使命.也因此成为了高考数学是否可以达到140+的关键因素。

压轴题为什么难?

难在题设条件多而杂，你能在第一遍审题的过程中就找到全部的条件?又能不能在看到条件的那一刻就反映出可能的做法?

本文通过对近年来高考数学压轴题考情分析，及典型例题，归纳了解题策略，一起来看。

一、近十年全国卷压轴题考点

(一)方法角度

(1)函数的零点，极值点的问题：

(I卷)，(I、II卷)， ( II卷，III卷)(如何选取函数，如何取点)

(2)恒成立求参数范围问题：

，，(I卷)

(含参求导、分离参数、化两个函数(一直一曲))

(3)函数不等式(证明和利用解决问题)：

2013(II卷)，(I卷)， 2017(III卷)(函数不等式的等价变形、数列求和问题的函数不等式寻找)

(4)函数的值域问题(包含任意存在、派生函数值域)：

2015(II卷)， 2015(II卷)(隐零点问题的整体代换(虚设零点))

(5)双变量问题：

(I卷)， 2018( I卷)(极值点偏移问题，双变量问题的函数构造)

(6)数值估计：

2014(II卷)(极值点附近的x值的选择)

(7)高等数学背景下的压轴题处理：

(定积分法求和，极限思想的应用(罗必达法则)，双变量中的拉格朗日中值定理)

二、高考数学解题分析：

一、三角函数题

注意归一公式、诱导公式的正确性(转化成同名同角三角函数时，套用归一公式、诱导公式(奇变、偶不变;符号看象限)时，很容易因为粗心，导致错误!一着不慎，满盘皆输!)。

二、数列题

1、证明一个数列是等差(等比)数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差(公比)的等差(等比)数列;

2、最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用放缩法;如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法(用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时一定写上综上：由①②得证;

3、证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简单(所以要有构造函数的意识)。

三、立体几何题

1、证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单;

2、求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，最好要建系;

3、注意向量所成的角的余弦值(范围)与所求角的余弦值(范围)的关系(符号问题、钝角、锐角问题)。

四、概率问题

1、搞清随机试验包含的所有基本事件和所求事件包含的基本事件的个数;

2、搞清是什么概率模型，套用哪个公式;

3、记准均值、方差、标准差公式;

4、求概率时，正难则反(根据p1+p2+...+pn=1);

5、注意计数时利用列举、树图等基本方法;

6、注意放回抽样，不放回抽样;

7、注意“零散的”的知识点(茎叶图，频率分布直方图、分层抽样等)在大题中的渗透;

8、注意条件概率公式;

9、注意平均分组、不完全平均分组问题。

五、圆锥曲线问题

1、注意求轨迹方程时，从三种曲线(椭圆、双曲线、抛物线)着想，椭圆考得最多，方法上有直接法、定义法、交轨法、参数法、待定系数法;

2、注意直线的设法(法1分有斜率，没斜率;法2设x=my+b(斜率不为零时)，知道弦中点时，往往用点差法);注意判别式;注意韦达定理;注意弦长公式;注意自变量的取值范围等等;

3、战术上整体思路要保7分，争9分，想12分。

六、导数、极值、最值、不等式恒成立(或逆用求参)问题

1、先求函数的定义域，正确求出导数，特别是复合函数的导数，单调区间一般不能并，用“和”或“，”隔开(知函数求单调区间，不带等号;知单调性，求参数范围，带等号);

2、注意最后一问有应用前面结论的意识;

3、注意分论讨论的思想;

4、不等式问题有构造函数的意识;

5、恒成立问题(分离常数法、利用函数图像与根的分布法、求函数最值法);

6、整体思路上保6分，争10分，想14分。

五种数学答题思路

在高考时很多同学往往因为时间不够导致数学试卷不能写完，试卷得分不高，掌握解题思想可以帮助同学们快速找到解题思路，节约思考时间。以下总结高考数学五大解题思想，帮助同学们更好地提分

一、函数与方程思想

函数思想是指运用运动变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，通过建立函数关系运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题;方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为方程或不等式模型去解决问题。同学们在解题时可利用转化思想进行函数与方程间的相互转化。

二、数形结合思想

中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合或形数结合。它既是寻找问题解决切入点的“法宝”，又是优化解题途径的“良方”，因此建议同学们在解答数学题时，能画图的尽量画出图形，以利于正确地理解题意、快速地解决问题。

三、特殊与一般的思想

用这种思想解选择题有时特别有效，这是因为一个命题在普遍意义上成立时，在其特殊情况下也必然成立，根据这一点，同学们可以直接确定选择题中的正确选项。不仅如此，用这种思想方法去探求主观题的求解策略，也同样有用

四、极限思想解题步骤

极限思想解决问题的一般步骤为：一、对于所求的未知量，先设法构思一个与它有关的变量;二、确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;三、构造函数(数列)并利用极限计算法则得出结果或利用图形的极限位置直接计算结果

五、分类讨论思想

9.高二数学不等式压轴题篇九

一、巧用变换思想，妙解几何难题

变换是数学中最为常见和普遍的一种思想方法，几何中有图形变换，如平移、旋转、相似、反射、对称等，代数中也有数与方程式之间的恒等变换。变换思想在数学运用中发挥着意想不到的效果，它往往可以将静止的问题变得灵活多动，将不可能的数量关系变成可能，让“古怪刁钻”之题迎刃而解。

例如，在2011年江苏扬州中考数学的压轴题（第28题）中就充分考查了学生对这一数学思想方法的掌握和理解。题目是：在△ABC中（如图1），∠BAC=90°，AB0）。

其中本题的问题3是探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系。要想解答这道题，就必须要熟悉初中几何数学中的变换思想，并运用几何变换的数学方法进行解答和论证。从图1我们可以知道，BP、PQ、CQ三条直线并未在一个三角形内，无法直接得出BP2、PQ2、CQ2三者间的关系；因此，第一步就是要将这三条直线放在一个三角形之中。那么，我们就可以运用旋转的思想，将△BPM旋转，让P点与D点重合，将PM平移到DM，BM与CM对折，形成新的△CDM，且BP=CD。这时，我们再连接QD，并可以很容易求证到QD=PQ。在直角三角形△CDQ中，CD2+CQ2=QD2，由此便可以得出结论：BP2+CQ2

=PQ2。从此题中我们还总结出 “大角夹半角模型”，即小角是大角角度的一半，如题中的直角∠PMQ与平角∠BMC的关系；只要遇到此类问题，若大角两边线段相等，就可以考虑运用“旋转”变换的思想将图形中一些分散的量集中到一起。

数学几何中变换思想之所以重要，是因为可以运用到我们实际生活中的许多方面，例如照片的放大缩小、物体的投影、机械零件的图纸等等。在中考压轴题中，考察学生的这一数学思想，也是在考查学生的空间想象、推断、演绎及应用能力，具有深远的意义。

二、运用数形结合思想，突破压轴难关

数形结合也是数学中一种十分重要的思想方法。它是指把数学中的数字符号与图片形状相结合，将图形转化为数字、用数字来诠释图形，形成一种抽象与形象相互转化的思维方法。换言之，数形结合即将代数与几何相结合的一种数学思想方法。有时候，单纯地运用几何知识解决几何问题，运用代数解决代数问题比较繁杂；而换个角度和思维，运用几何方法解决代数问题，或者运用代数方法解决几何问题，则可以化繁为简、化难为易。

例如，在2010年江苏扬州中考数学的压轴题（第28题）中就体现了数形结合的思想。题目是：在△ABC中（如图2），角∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线△ABC的直角边相交于点F，设AE=x，△AEF的面积为y。

其中本题的问题2是：若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，①求y与x的函数关系式。（写出自变量x的取值范围）②当x取何值时y有最大值？并求出最大值。在本问题中，就已经明显体现了要用几何图形的方法来求解代数函数的问题，那么在解题过程中就必须充分采取数形结合法予以突破。首先，根据题目和三角形的面积公式，我们可以得出y与x的函数关系式：即为二次函数y=1/2×（x）×（EF）；然后，再求出线段EF的长度。第三，我们再根据线段AD与线段AE（x）之间的长短关系，如当0

【高二数学不等式压轴题】推荐阅读：

高二期初数学07-07