数学教案－代数式的值

数学教案－代数式的值（通用12篇）

1.数学教案－代数式的值 篇一

3.2 代数式的值

做课人

尹圣军

【教学目标】 知识与技能

能解释代数式值的实际意义,了解代数式值的概念.过程与方法

经历观察、实验、猜想等数学活动的过程,发展合理的推理能力,能综合运用所学知识解决问题.情感态度与价值观

通过求代数式的值,对问题进行探索猜想,初步体会到数学中抽象概括的思维方法.【教学重难点】

重点:代数式值的实际含义.难点:根据代数式求值推断代数式所反映的规律 【教学过程】

提纲导学

一、创设问题情境

传数游戏

游戏规则为：

第一个同学任意报一个大于0小于10的整数，第二个同学把这个数加1传给第三个同学，第三个同学再把听到的数平方后传给第四个同学，第四个同学把听到的数减去1报出答案

若第一个同学报给第二个同学的数是5，而第四个同学报出的答案是35。对还是错？为什么？其中又蕴含着怎样的数学道理？

二、出示导纲

阅读课本第90～91页内容，思考下列问题：

①什么叫做代数式的值？

②求代数式值的 一般步骤是什么？

③求代数式的值时，要注意什么？

三、自学解疑

依照导纲，自学课本，尝试独立解决导纲中的问题。

合作互动

小组讨论：

2.数学教案－代数式的值 篇二

一、重视“代数初步知识”的教学

为了克服初一新生对这一转化而引发的学习障碍,教学中要特别重视“代数初步知识”这一章的教学.它是承小学知识之前,启初中知识之后,开宗明义,搞好中小学数学衔接的重要环节.数学中要把握全章主体内容的深度,从小学学过的用字母表示数的知识入手,尽量用一些字母表示数的实例,自然而然地引出代数式的概念.再讲述如何列代数式表示常见的数量关系,以及代数式的一些初步应用知识.要注意始终以小学所接触过的代数知识(小学没有用“代数”的提法)为基础,对其进行较为系统的归纳与复习,并适当加强提高.使学生感到升入初一就像在小学升级那样自然,从而减轻升学感觉的负效应.

二、重视第一节课

初一代数的第一堂课,一般不讲课本知识,而是对学生初学代数给予一定的描述、指导.目的是在总体上给学生一个认识.如介绍:(1)初中数学学习的特点.(2)初中数学学习展望.(3)中学数学各环节的学习方法.(4)注意观察、记忆、想象、思维等智力因素与数学学习的关系.

我们在正式引入负数这一概念前,先把小学数学中的数的知识作一次系统的整理,使学生注意到数的概念是为解决实际问题的需要而逐渐发展的,也是由原有的数集与解决实际问题的矛盾而引发新数集的扩展.正式引入负数概念时,可以这样处理,如果取一个量为基准即“0”,并规定其中一种意义的量为“正”的量,与之相反意义的量就为“负”的量.用“+”表示正,用“-”表示负.

这样,逐步引进正、负数的概念,将会有助于学生体会引进新数的必要性.从而在心里产生认同,进而顺利地把数的范畴从小学的算术数扩展到初一的有理数,使学生不致产生巨大的跳跃感.

三、加强练习四则运算

初一的四则运算是源于小学数学的非负有理数运算而发展到有理数的运算,不仅要计算绝对值,还要首先确定运算符号,这一点学生开始很不适应.在负数的“参算”下往往出现计算上的错误,有理数的混合运算结果的准确率较低,所以,特别需要加强练习.

(一)加入了分类讨论思想

对于运算结果来说,计算的结果也不再像小学那样唯一了.如|a|,其结果就应分三种情况讨论.这一变化,对于初一学生来说是比较难接受的,代数式的运算对他们而言是个全新的问题,要正确解决这一难点,必须非常注重,要使学生在正确理解有理数概念的基础上,掌握有理数的运算法则.对运算法则理解越深,运算才能掌握得越好.

(二)设置适当的梯度

处理上要注意设置适当的梯度,逐步加深.有理数的四则运算最终要归结为非负数的运算,因此“绝对值”概念应该是我们教学中必须抓住的关键点.而定义绝对值又要用到“互为相反数”的概念,“数轴”又是讲授这两个概念的基础,一定要注意数形结合,加强直观性,不能急于求成.学生正确掌握、熟练运用绝对值这一概念,是要有一个过程的.

(三)灵活运用知识

学生在小学做习题,满足于只是进行计算.而到初一,为了使其能正确理解运算法则,尽量避免计算中的错误,就不能只是满足于得出一个正确答案,应该要求学生每做一步都要想想根据什么,要灵活运用所学知识,以求达到良好的教学效果.

四、通过列方程注重思维的训练

进入初中的学生年龄大都是11,12岁,这个年龄段学生的思维正由形象思维向抽象思维过渡.思维的不稳定性以及思维模式的尚未形成,决定了列方程解应用题的学习将是初一学生面临的一个难度非常大的坎.列方程解应用题的教学往往是费力不小,效果不佳.因为学生解题时只习惯小学的思维套用公式,属定式思维,不善于分析、转化和作进一步的深入思考,思路狭窄、呆滞,题目稍有变化就束手无策.初一学生在解应用题时,主要存在三个方面的困难:(1)抓不住相等关系;(2)找出相等关系后不会列方程;(3)习惯用算术解法,对用代数方法分析应用题不适应,不知道要抓相等关系.要让学生始终参加审题、分析题意、列方程、解方程,了解列方程解应用题的实际意义和解题方法及优越性,其中审题是最为关键的一环.要想弄清题意,找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系.而找出这样的等量关系后,将其中涉及的待求的某个数设为未知数,其余的量用已知数或含有已知数与未知数的代数式表示出来,方程就列出来了.要教会学生通过阅读题目、理解题意、进而找出等量关系、列出方程解决问题的方法,使之形成“观察—分析—归纳”的良好习惯,这对于整个数学的学习都是至关重要的.

总之,学生在小学数学中接触的都是较为直观、简单的基础知识,而升入初一后,要学的知识在抽象性、严密性上都有一个飞跃,作为初一数学教师,认真分析研究有关问题,对搞好中小学数学课堂教学的衔接和提高教学质量有很大的现实意义.

参考文献

3.数学教案－代数式的值 篇三

课题： 代数式的值（第2课时）

教学目标：

一、知识目标：

1、会求代数式的值，感受代数式求值可以理解为一个转换过程或某种算法

2、会利用代数式求值推断代数式所反映的规律

3、能理解代数式值的实际意义

二、能力目标：

通过代数式求值的教学活动，渗透数学中的函数思想，培养学生解决实际问题能力。

三、情感目标：

让学生体会从生活中发现数学和应用数学解决生活中问题的过程，品尝成功的喜悦，激发学生应用数学的兴趣

教学重点：求代数式的值

教学难点：利用代数式求值推断代数式所反映的规律。

教学过程：

一、创设情境：

1.求下图三角形的面积：

生：三角形的面积=ah

22．继续求下图三角形的面积

生：三角形的面积=36=9 2

3．用字母a表示三角形的底，h表示三角形的高，求当a=6，h=3时，三角形的面积。三角形的面积=ah36= 9 22

4．揭示新课

（这节课我们就来学习3.3 代数式的值）

二、探索新知

1．师生共同学习例

122当a=-

2、b=-3时，求代数式2a-3ab+b的值。

教师写出例1的全部过程（主要规范学生做此类题目的格式）解：当a=-

2、b=-3时, 222a-3ab+b

2=2×(-2)-3×(-2)×(-3)+(-3)=2×4-3×(-2)×(-3)+9 =8-18+9 =-

12．补充例题

当x=

2、y=-3时，求代数式-3x-5y的值。（由学生仿照例1完成）解：当x=

2、y=-3时，32-3x-5y

32=-3×2-5×(-3)=-3×8-5×9 =-24-45 =-69

从这张表格上你获得了哪些信息？

(1)随着值的逐渐增大，两个代数式的值怎样变化？

(2)当代数式2x +5的值为25时，代数式2（x +5）的值是多少? 4．巩固练习

（2）剪绳子：

1）将一根绳子对折1次再从中剪一刀，绳子变成（）段；将一根绳子对折2次再从中剪一刀，绳子变成（）段；将一根绳子对折3次再从中剪一刀，绳子变成（）段； 2）将一根绳子对折n 次再从中剪一刀，绳子变成（）段；

3)根据（2）的结论，将一根绳子对折10 次再从中剪一刀，绳子变成（）段；

用绳子、剪刀操作，然后再分析、思考。）

（3）用火柴棒按下图的方式搭正方形

1）搭n 个这样的正方形需要（）根火柴棒； 2)搭100 个这样的正方形需要（）根火柴棒；

三、小结

通过本节课的学习，你学到了什么？还有什么疑问？

四、布置作业 P91习题5.31五、教后反思：

4.数学教案－代数式的值 篇四

【教学目标】 知识与技能

1.让学生领会代数式值的概念.2.了解求代数式值的解题过程及格式.3.初步领悟代数式的值随字母的取值变化而变化的情况.过程与方法

通过学习使学生了解求代数式的值在日常生活中的应用.情感态度

培养学生的探索精神和探索能力.教学重点

求代数式的值的含义及如何求代数式的值.教学难点

求代数式的值的含义理解及一些应用.【教学过程】

一、情景导入,初步认知

通过上节课的学习,我们了解了什么?它的概念是什么? 【教学说明】 通过复习最近学过的知识,使学生尽快进入学习状态.二、思考探究,获取新知

1.动脑筋:今年植树节时,某校组织305位同学参加植树活动,其中有植树a棵,其余同学植树2棵.你用代数式表示他们共植树的总棵数吗? 如果a=3,那么他们共植树多少棵? 如果a=4,那么他们共植树又是多少棵? 根据题意,他们共植树: 的同学每人×305a+(1-=(122a+366)棵;)×305×2 当a=3时,代数式122a+366=122×3+366=732(棵);当a=4时,代数式122a+366=122×4+366=854(棵);我们将上面问题中的计算结果732和854,称为代数式122a+366当a=3和当a=4时的值.【归纳结论】 如果把代数式里的字母用数代入,那么计算出的结果叫做代数式的值.注意:(1)代数式的值不是固定不变的值,它是随着代数式中字母取值的变化而变化的.所以,求代数式的值时,要明确“当……时”,一定要按照代数式指明的运算进行.(2)代数式里的字母可以取各种不同的数值,但所取的数值必须使代数式和它表示的实际数量有意义.例如,上述问题中,代数式122a+366中的字母a不能取负数,又如代数式中的字母b不能取零.2.思考:结合上述例题,回答下列问题:(1)求代数式的值,必须给出什么条件?(2)代数式的值是由什么值的确定而确定的? 【教学说明】 引导学生回答:代数式的值是由代数式里字母的取值的确定而确定.3.(1)当x=-3时,求出代数式x-3x+5的值;

2(2)当a=0.5,b=-2时,求的值;(3)当x=7,y=4,z=0时,求代数式x(2x-y+3z)的值.【教学说明】 点拨:(1)注意书写格式,“当……时”的字样不要丢;(2)代数式中的乘法运算,当其中的字母用数字在替代时,要恢复“×”号;(3)要按照代数式指明的运算顺序进行计算;(4)如果字母的值是负数,代入时应将负数加上括号;如果字母的值是分数,就要计算它的平方、立方,代入时应将分数加上括号;(5)只要代数式里的字母给定一个确定的值,代数式就有唯一确定的值和它对应.三、运用新知,深化理解

1.教材P64例2.2.判断题: ①当x=时,3x=3(22

2)=

32;②当x=-2时,3x=3-4=-1.答案:错,错.3.(1)若x+1=4,则(x+1)=

;(2)若x+1=5,则(x+1)-1=

.答案:16;24.4.当x=7,y=4,z=0时,求代数式x(2x-y+3z)的值.解:当x=7,y=4,z=0时, x(2x-y+3z)=7×(2×7-4+3×0)=7×(14-4)=70.5.当a=2,b=-1,c=-3时,求下列各代数式的值;(1)b-4ac;22

2(2)a+b+c+2ab+2bc+2ac;(3)(a+b+c).解:(1)当a=2,b=-1,c=-3时,b-4ac=(-1)-4×2×(-3)=1+24=25(2)当a=2,b=-1,c=-3时,a+b+c+2ab+2bc+2ac=2+(-1)+(-3)+2×2×(-1)+2×(-1)×(-3)+2×2×(-3)=4+1+9-4+6-12=4(3)当a=2,b=-1,c=-3时,(a+b+c)=(2-1-3)=4.6.若x+2y+5的值为7,求代数式3x+6y+4的值.分析:比较x+2y与3x+6y之间的异同,从而找到关键点进行解题.解:由已知x+2y+5=7,则x+2y=2 ∴3x+6y+4=3(x+2y)+4=3×2+4=10.7.已知a+b=3,求代数式(a+b)+a+5+b的值.解:(a+b)+a+5+b =(a+b)+(a+b)+5 因为a+b=3, 所以(a+b)+(a+b)+5 =3+3+5 =17 8.对于正数,运算“*”定义为a*b=,求3*(3*3).2222

2222

22222分析:这里“*”告诉我们一个运算关系,a*b=按这个运算求3*(3*3).解:因为 a*b=,就是说:数*数=,所以3*(3*3)===1 9.某企业去年的年产值为a亿元,今年比去年增长了10%.如果明年还能按这个速度增长,请你预测一下,该企业明年的年产值能达到多少亿元?如果去年的年产值是2亿元,那么预计明年的年产值是多少亿元? 分析:今年的产值为(1+10%)a,明年的产值为(1+10%)a.解:由题意可得,今年的年产值为(1+10%)a亿元,于是明年的年产值为(1+10%)a=1.21a(亿元)若去年的年产值为2亿元,则明年的年产值为1.21a=1.21×2=2.42(亿元).答:该企业明年的年产值将能达到1.21a亿元.由去年的年产值是2亿元,可以预测明年的年产值是2.42亿元.【教学说明】 通过巩固训练,让学生学会求代数式的值的方法.四、师生互动、课堂小结

22先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.【课后作业】

5.代数式的值教学反思 篇五

在本节课的教学中，我能通过游戏的形式创设情景，引入新课，充分调动了学生的积极性和主动性，让学生在游戏中愉快的进入角色，培养他们学习数学的兴趣，同时让他们感觉到他们才是这节课的主演者，老师只是这部戏的导演。在引入代数式的值的概念后，我能引导学生去讨论、思考，并且让他们认识到求代数式的值的步骤是先代入后计算，同时能让学生回忆到运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减；如果有括号，先进行括号内的运算，以及能在练习过程中强调求代数式的值的步骤和运算顺序。在讲例题时，能引导学生去比较、分析、猜想，有意识地培养学生的探索精神和探索能力。最后，以先让学生小结，然后教师补充的形式结束这节课，既加深了学生对知识点的印象，又锻炼了学生的语言组织能力。本节课的教学在课堂练习和课后作业反馈中，效果较好，预期目标基本实现。

反思二：代数式的值教学反思

由于代数式的值是由代数式里的字母所取的值决定的，因此在设计教学过程中，注意渗透对应的思想，这样有助于培养学生的函数观念。

在教学中，通过问题串与活动系列，实施开放式教学，随处可见学生思维间碰撞的火花，发展了学生的思维能力，培养了学生思考的习惯，增强了学生运用数学知识解决实际问题的能力。

无论是教学环节设计，还是课外作业的安排上，我都重视知识的产生过程，关注人的发展,意到个体间的差异，注意分层教学，让每一个学生在课堂上都有所感悟，都有着各自的数学体验，不同的人在数学上都得到不同的发展。

反思三：代数式的值教学反思

1.没有培养学生良好的学习习惯，没有做好学生的课前准备工作，学生进入上课的状态较慢。在以后的教学中，要关注学生的状态，他的注意力是不是在课堂上，有没有在认真听讲，在思考，这一方面要靠教师的时刻提醒，另一方面也是在展示和考验教师的个人魅力和能力。

2.在解读教材，教参时，要认真，细心并勤思考，思考它的提示和问题。在教学时，要根据学生的实际情况提问，不能任意拔高难度，学生有学生的思考能力，教师思考的问题不要留给学生。

在编排例题或习题时，要考虑学生的年龄特点，不要强迫学生转移注意力，要根据实际情况利用学生的兴趣进行学习和交流，如在增加的例题中把问题改成：你根据自己的身高和体重计算你的身体质量指数，并判断你的健康情况。

反思四：代数式的值教学反思

一、通过导入代数式的值概念时，通过情境引入，达到了激发学生兴趣的效果。让学生感受了数学的生活化；营造了轻松的学习氛围。

6.阿拉伯数学代数量定义演化初探 篇六

代数量定义是阿拉伯代数学产生和发展的基础。本文中笔者从不同时期具有代表性的阿拉伯一手数学文献入手, 将其中的代数量定义进行比较研究, 这对于剖析阿拉伯代数学的发展脉络具有重要意义。

一早期阿拉伯代数量定义

“代数”一词源于阿拉伯语“al-jabr” , 它最早出现在花拉子米 (al-Khwārizmī, 约780-约850年) 的著作《代数学》 (成书于约820年) 中, 其完整的书名为《还原与对消》 。“还原与对消”本是方程求解过程中两个基本步骤, 后来逐渐用“还原”一词, 即用“al-jabr”来表示方程算法。花拉子米的这本著作也确定了早期阿拉伯代数学的主要研究对象是通过一、二次方程来求解未知数。

同样在阿拉伯数学史上关于代数量最早的定义出现在花拉子米《代数学》一书的开头部分:

“根”在阿文中原意为“根本”, 此处表示一次项;花拉子米指出根可以是“任何物”, 在《代数学》中出现的大量方程中, 花拉子米首先将未知数设为“物”, 随后建立方程求解。第二个基本量“平方”, 阿文原意为“全部, 资产”, 此处表示二次项。但是在《代数学》中“ ”一词在多处还表示“全部”或“资产”之意, 这体现出早期数学定义的不严格性[2]。第三个基本量“简单数”, 其为阿拉伯文原意。

此外, 在《代数学》中出现了两道三次方程和一道四次方程问题[1], 但是均由于题目形式的特殊性, 花拉子米直接将其转化为一次或者二次方程进行求解, 故此书中没有定义更高的“立方”及“四次方”。从现有文献来看, 与花拉子米同在“智慧宫”中的数学家巴努·穆萨 (BanūMūsa) 和阿尔·赫贾季 (al-Hajjāj) 给出了“立方”定义的名称[3]。

自花拉子米之后, 先后有阿布·卡米尔 (AbūKāmil Shujā, 约850-约930) 、西奈·伊本·阿尔·法塔赫 (Sinān ibn al-Fath) (约10世纪上半叶) 等人在代数整数幂定义的扩展方面进行了尝试[3], 就目前史料来看首先取得突破的是10世纪阿拉伯数学家寇斯塔·伊本·鲁伽 (Qusta Ibn Lūqā, 820-912) 。鲁伽将丢番图 (Diophantus, 约246-330) 的《算术》 (Arithmetica) 译为阿拉伯文, 下面是其阿拉伯译本第四卷开始部分:

下面逐个分析新引入的阿拉伯代数量定义名称, 第一个词 ( ) , 其本意是“正方形”, 此处用来表示“平方”;第二个词 ( ) 本意是“边”, 可以理解为“正方形的边”, 表示“平方根”;第三个词 ( ) , 其本意是“立方体”或“正方体”, 此处用来表示“立方”, 他们可能是从几何学中抽象出来的概念。鲁伽此处译文的最大贡献在于将丢番图的高次方定义方式传入阿拉伯世界, 即通过“平方”与“立方”的组合来定义四次、五次和六次方, 且这种定义方式对后世的阿拉伯学者产生了深远影响。但是其局限性在于《算术》一书中最大仅出现了六次方, 且很难找出这种定义的规律性。

二阿拉伯“算术化代数”初期代数量定义

12世纪以后阿拉伯代数学的研究对象逐渐演化为通过已知数来求解未知数, 这其中首选的方法仍然是“还原与对消”, 此外还有包括“双试错法”在内的众多算法。伴随着“还原与对消”算法的发展以及求解问题的复杂化, 使得此算法占据着越来越重要的地位。

自花拉子米以来, 方程化简与方程求解始终是阿拉伯代数学发展过程的两大主题。方程化简涉及相当于今天的多项式理论, 在阿拉伯数学史上这一进程被称为“算术化代数”, 最早可以追溯到凯拉吉 (al-Karajī, 953-约1029) , 其继任者萨马瓦尔 (al-Samaw’al, 约1130-约1180) 对此的解释是:

将所有的应用于已知数的计算方法, 按照相同的方式应用于未知数。[5]9

这相当于系统地将加、减、乘、除、比例和开方这几种基本算术方法应用于代数表达式。这项工作最早见于凯拉吉的著作《法赫里》 (al-Fakhrī) 中, 此书现存部分并非全本 (1) , 但幸运的是其相关内容被萨马瓦尔的著作《光辉代数》 (al-Bahir of algebra) 所转引。其开篇部分关于代数量的定义如下:

随后萨马瓦尔指出凯拉吉所给的概念有些“模糊”, 并对其中的一些名称进行了辨析:

本段中出现凯拉吉和萨马瓦尔用来表示“乘方”的名词 ( ) , 产生于印度算术, 本意为数码的“数位”, 直至阿尔·卡西的《算术之钥》中仍如此。但是在《光辉代数》中它同时用来表示:乘方、乘方列表中的序列、项等概念。由此可知在算术化代数发展早期, 对于基本代数量的定义体现了多种传统的融合, 有些定义源于早期的数学著作, 例如花拉子米和鲁伽的相关著作;有些具有几何学背景;有些是由阿拉伯语法创造而来。这样就会造成同一个概念有多个名称, 不便于读者理解和知识的传播与发展。

这一时期代数量定义的另一突破是其拓展到了相当于今天任意整数指数幂。凯拉吉在给出几个基本代数量定义的同时还先后给出了欧几里得《原本》中的两个命题:VII.19和VII.18, 随后将基本代数量定义扩展。首先凯拉吉利用“物与物的乘积等于平方”这个定义结合命题VII.19, 得到1比上物等于物比上平方。

接下来利用定义“平方与物的乘积等于立方”结合命题VII.18, 得到物比上平方等于平方比上立方, 原文如下:

因为物比上平方等于平方比上立方, 则有物与立方的乘积等于平方自乘, 故称为平方平方。由于将物比上平方等于立方比上平方平方, 则物乘以平方平方等于平方乘以立方, 所以将此乘积称为平方立方;同理物与平方立方的乘积等于平方乘以平方平方或者立方自乘, 但是由于五个[连续]乘方的中间为立方, 其两侧为平方和平方平方, 再外侧为物与平方立方, 由于其等于[位于中间的]立方乘以立方, 则将此乘积称为立方立方;同理立方立方乘以物等于立方平方平方……[按照]这种成比例[的规律]后面会[产生]更多的乘方且没有尽头。[5]

上文相当于给出了:an=an-1·a (n=1, 2, …, 9) 的定义, 即对于任意的正整数指数幂an (n∈N) N的名称本质上是通过先前产生的乘方 (n=2 m, m∈N) 或者 (n=2 m+1, m∈N) 的名称“相加”得到的, 相当于这两个乘方之间进行乘法运算。此外还应满足两个条件:第一, “平方”位于“立方”之前;第二, 三个“平方”可以缩写为两个“立方”, 所以对于任意的正整数指数幂的名称中只能含有一个或者两个“平方”, 但是“立方”可无限累加下去。与丢番图的《算术》相比, 凯拉吉不仅将整数指数幂从六次方推广到任意正整数, 而且还利用倒数的概念将其扩展到任意负整数指数幂, 对此凯拉吉指出:

我们知道每一个数都有倒数 ( ) , 且任何一个数的倒数乘以其自身等于一。[5]19

萨马瓦尔指出倒数的概念并不是凯拉吉发现的, 他只是在此处引用而已。接下来凯拉吉还是利用《原本》中命题VII.19将概念进行扩展:

由于任何一个量 ( ) 与其倒数的乘积为1, 则有将这个量比上1等于1比上这个量的倒数, 故将物的倒数比上1等于1比上物……由于物与其倒数的乘积等于平方与其倒数的乘积, 这是因为这两个乘积均等于1, 则有将物的倒数比上平方的倒数等于平方比上物……平方的倒数比上立方的倒数等于立方比上平方, 立方的倒数比上平方平方的倒数等于平方平方比上立方, 如此可以继续下去连续成比例而没有尽头。

以上便是凯拉吉所给出的关于整数指数幂定义的全部内容。不难看出在算术化代数发展早期, 数学家们对于基本概念的定义已经严格化。一方面凯拉吉通过《原本》中的两个命题顺次构造出新的高次乘方, 使其产生“合法化”;另一方面由于按照顺序产生的这些高次幂的名称均是由“平方”和“立方”累加实现的, 所以对于任意的正整数指数幂的名称永远由这两个基本名称累加得到, 这又体现了《原本》中的演绎思想。尽管上述定义相对严格化, 但是其缺陷是凯拉吉和萨马瓦尔均没有定义a0=1 (a≠0) 。此外通过上文中的乘方命名规律, 即使是按照顺序写出这些乘方的名称也非易事, 因为这需要利用位于乘方序列中间位置乘方的名称, 不利于实际运算。

三阿拉伯数学晚期代数量定义

到了阿拉伯数学晚期, 伴随着“算术化代数”理论的发展, 代数量的定义已经更为成熟。下面来看这一时期代表著作阿尔·卡西《算术之钥》1427年中的相关内容。

在《算术之钥》中对此的定义分为两部分, 其一位于第一卷第5章关于正整数方根的运算, 另一部分存在于第五卷有关算术化代数内容的开头部分。我们首先来看第一部分, 卡西指出:

《算术之钥》第五卷算术化代数开始部分的相关定义原文如下:

接下来看卡西《算术之钥》中有关基本代数量拓展定义的相关内容, 其载于第一卷第5章整数开方一节中, 原文如下:

[如果]首先将其称为“立方” ( ) , [即]以其对应方根 ( ) 的名称来定义, 则第三个结果为平方平方, 第四个结果为平方立方, 第五个结果为立方立方……[随后]用两个平方代替[第一个]立方, 接下来用立方代替两个平方中的[后]一个, 随后同样用立方代替另一个平方, 如此继续下去而没有尽头……这是上升行, 同理还有下降行, 即平方根的倒数、平方的倒数、立方的倒数、平方平方的倒数, 这样可以继续下去而没有尽头……[若已知乘方的名称]现要求乘方的序列数 ( ) 。将[名称中的]每一个平方视为2, 每一个立方视为3, 将这些数字相加便得到其序列数;现要通过乘方的序列数来确定其名称。如果其中包含整数个数字3, 则将每一个3视为一个立方, 将其一个接一个地写出即为此乘方的名称……[6]

从用词上来看最大的变化是卡西引入了“序列数”的概念, 其中 ( ) 意思是“等级, 序列”, 此处的 ( ) 特指乘方在乘方列表中的序列对应数字。它的引入产生了两个变化:首先完善了乘方定义, 在下文中卡西指出数字在乘方列表中的序列数为零, 即明确了a0=1 (a≠0) 这个概念;第二点, 在算法上对于单项式间的乘除法运算可以全部统一为“序列数间的加减法运算”, 其中“序列数”在运算中起到今天幂指数的作用。

综上所述, 卡西对于各个代数量定义的描述条理清晰, 同时由于引入了新的名词作为定义名称便于抽象概念和算法的表述, 有利于学生理解;其次凯拉吉与卡西对定义描述的侧重点有着明显的区别, 前者更关心的是作为算术化代数基本概念在定义时的“合法性”;卡西仅是对其性质的描述, 尤其是乘方名称与其序列数之间的互化极大地提高了运算速度。尽管有许多不同点, 但是卡西定义的本质、用词、逻辑顺序上都延续了早期的阿拉伯数学传统。

四结语

综上所述, 不同时期阿拉伯代数学中代数量的定义本质上具有前后相承的关系, 但是又发生了比较明显的演化。这一进程最早可以追溯到花拉子米《代数学》, 其中仅有三个基本代数量的简单定义, 后来在希腊数学的影响下阿拉伯数学家开始将其向更高次正整数指数幂定义拓展。接下来在10世纪末至12世纪初, 以凯拉吉和萨马瓦尔为代表的数学家逐步完善了“算术化代数”理论体系。这一时期代数量定义在语言的表述上体现了多种传统的融合;此外在基本代数量定义的拓展方面, 他们更加注重定义产生的“合法性”, 但是与此时定义相适的运算法则效率较低。到了阿拉伯数学晚期, 数学家们在“算术化代数”和高次方程数值解领域已经取得了巨大的进步, 从这一时期代表作阿尔·卡西《算术之钥》中可见, 其中代数量定义在表述上用词准确, 结构严谨;此外已经无法看出这些定义“合法性”的来源, 但是与新的定义形式相适应的算法可以相对高效地处理复杂问题。

参考文献

[1]Al-Khwārizmī.The Beginnings of Algebra[M].London:SAQI, 2009.

[2]Jeffrey A O, Haitham M A.Alkhateeb, Māl, Enunciations, and the Prehistory of Arabic Algebra[J].History Mathematica, 2005, 32 (3) :400-425.

[3]Rashed R.The Development of Arabic Mathematics:Between Arithmetic and Algebra[M].Armstrong A F W (trans) .London:Kluwer Academic Publishers, 1994:11.

[4]Sesiano J.Books IV to VII of Diophantus’Arithmetica in the Arabic translation attributed to Quatāibn Lūqā[M].New York:Springer-Verlag, 1982:283-284.

[5]Al-Samaw’al, Ahmd S, Rashed R.al-Bahir en algebra[M].Damascus:Damascus University Press, 1972.

7.数学教案－代数式的值 篇七

2．了解代数式的概念，使学生能说出一个代数式所表示的数量关系；

3．通过对用字母表示数的讲解，初步培养学生观察和抽象思维的能力；

4．通过本节课的教学，使学生深刻体会从特殊到一般的的数学思想方法。教学建议

1． 知识结构：本小节先回顾了小学学过的字母表示的两种实例，一是运算律，二是公式，从中看出字母表示数的优越性，进而引出代数式的概念。

2．教学重点分析：教科书，介绍了小学用字母表示数的实例，一个是运算律，一个是常用公式，上述两种例子应用广泛，且能很好地体现用字母表示数所具有的简明、普遍的优越性，用字母表示是数学从算术到代数的一大进步，是代数的显著特点。运用算术的方法解决问题，是小学学生的思维方法，现在，从具体的数过渡到用字母表示数，渗透了抽象概括的思维方法，在认识上是一个质的飞跃。对代数式的概念课文没有直接给出，而是用实例形象地说明了代数式的概念。对代数式的概念可以从三个方面去理解：

（1）从具体的数到用字母表示数,是抽象思维的开始,体现了特殊与一般的辨证关系,用字母表示数具有简明、普遍的优越性.（2）代数式中并不要求数和表示数的字母同时出现，单独的一个数和字母也是代数式．如：2，都是代数式．

（3）代数式是用基本的运算符号把数、表示数的字母连接而成的式子,一定要弄清一个代数式有几种运算和运算顺序。代数式不含表示关系的符号，如等号、不等号．如，等都是代数式，而，，等都不是代数式．

3．教学难点分析：能正确说出一个代数式的数量关系，即用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序。用语言表达代数式的意义，具体说法没有统一规定，以简明而不引起误会为出发点。

如：说出代数式7（a－3）的意义。

分析 7（a－3）读成7乘a减3，这样就产生歧义，究竟是7a－3呢？还是7（a－3）呢？有模棱两可之感。代数式7（a－3）的最后运算是积，应把a－3作为一个整体。所以，7（a－3）的意义是7与（a－3）的积。

4．书写代数式的注意事项：

（1）代数式中数字与字母或者字母与字母相乘时，通常把乘号简写作“·”或省略不写，同时要求数字应写在字母前面．如，应写作 或写作，应写作 或写作 ．带分数与字母相乘，应把带分数化成假分数，如 应写成 ．数字与数字相乘一般仍用“×”号.（2）代数式中有除法运算时，一般按照分数的写法来写．如： 应写作

（3）含有加减运算的代数式需注明单位时，一定要把整个式子括起来．

5．对本节例题的分析：

例1是用代数式表示几个比较简单的数量关系，这些小学都学过.比较复杂一些的数量关系的代数式表示,课文安排在下一节中专门介绍.例2是说出一些比较简单的代数式的意义.因为代数式中用字母表示数,所以把字母也看成数,一种特殊的数,就可以像看待原来比较熟悉的数式一样,说出一个代数式所表示的数量关系,只是另外还要考虑乘号可能省略等新规定而已.6．教法建议

（1）因为这一章知识大部分在小学学习过，讲授新课之前要先复习小学学过的运算律，在学生原有的认知结构上，提出新的问题。这样即复习了旧知识，又引出了新知识，能激发学生的学习兴趣。在教学中，一定要注意发挥本章承上启下的作用，搞好小学数学与初中代数的衔接，使学生有一个良好的开端。

（2）在本节的学习过程中,要使学生理解代数式的概念,首先要给学生多举例子（学生比较熟悉、贴近现实生活的例子），使学生从感性上认识什么是代数式,理清代数式中的运算和运算顺序,才能正确说出一个代数式所表示的数量关系,从而认识字母表示数的意义——普遍性、简明性，也为列代数式做准备。

（3）条件比较好的学校，老师可选用一些多媒体课件，激发学生的学习兴趣，增强学生自主学习的能力。

（4）老师在讲解第一节之前，一定要对全章内容和课时安排有一个了解，注意前后知识的衔接，只有这样，我们老师才能教给学生系统的而不是一些零散的知识，久而久之，学生头脑中自然会形成一个完整的知识体系。

（5）因为是新学期代数的第一节课，老师一定要给学生一个好印象，好的开端等于成功了一半。那么，怎么才能给学生留下好印象呢？首先，你要尽量在学生面前展示自己的才华。比如，英语口语好的老师，可以用英语做一个自我介绍，然后为学生说一段祝福语。第二，上课时尽量使用多种语言与学生交流，其中包括情感语言（眉目语言、手势语言等），让学生感受到老师对他的关心。

7．教学重点、难点：

重点：用字母表示数的意义

8.《代数式》教案设计 篇八

目标1.让学生领会代数式值的概念;

2.了解求代数式值的解题过程及格式

3.初步领悟代数式的值随字母的取值变化而变化的情况

教学

重点培养学生的探索精神和探索能力。教学

难点通过学习使学生了解求代数式的值在日常生活中的应用;

教学

方法启发式教学

教学

用具

教学过程集体备课稿个案补充

新课引入

7月13日，莫斯科时间17：08国际奥委会主席萨马兰奇宣布北京获得第29届夏季奥运会的主办权。此时此刻举国欢腾，激情飞扬(多媒体展示当时的欢庆场面)。多媒体展示钟表：北京时间莫斯科时间

提出问题：你能根据图示得出北京时间和莫斯科时间的时差为多少?

如果用表示莫斯科时间，那么同一时刻的北京时间是多少?

学生回答：+5

进一步提出：国际奥委会主席萨马兰奇宣布北京获得20第29届夏季奥运会的主办权的北京时间是多少?

学生回答：+5=17+5=22时，即北京时间为22：08。

一、新课过程

代数式的值：一般地，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值;例如22是代数式+5在=17时的值。

做一做：右图表示同一时刻的东京时间与北京时间：东京时间北京时间

⑴、你能根据右图知道北京与东京的时差吗?

⑵、设东京时间为，怎样用关于东京时间的代数式表示同一时刻的北京时间。

⑶、世界杯足球赛于6月30日在日本横滨举行，开幕式开始的东京时间为20：00问开幕式开始的北京时间是几时?

二、课内练习

1、当分别取下列值时，求代数式的值：⑴⑵

2、当时，求下列代数式的值：⑴⑵

3、当时，。

三、典例分析

例1当n分别取下列值时，求代数式n(n-1)/2的值：

(1)n=-1(2)n=4(3)n=0.6

解(1)当n=-1时，n(n-1)/2=(-1)X(-1-1)/2=1

(2)当n=4时，n(n-1)/2=4X(4-1)/2=6

(3)当n=0.6时，n(n-1)/2=0.6X(0.6-1)/2=-0.12

注意：负数代入求值时要括号，分数的乘方也要添上括号。

四、课堂练习1

1、当x分别取下列值时，求代数式20(1+x%)的值：

(1)x=40(2)x=25

2、当x=-2，y=-1/3时，求下列代数式的值：

(1)3y-x(2)|3y+x|

3、当x分别取下列值时，求代数式4-3x的值：

(1)x=1(2)x4/3(3)x=-5/6

4、当a=3，b=-2/3时，求下列代数式的值：

(1)2ab(2)a2+2ab+b2

五、典例分析

例2

小结、布置作业

9.关于初中生代数学习的思考 篇九

初一代数的第一堂课, 一般不讲课本知识, 而是对学生初学代数给予一定的描述、指导。目的是在总体上给学生一个认识, 使其粗略了解中学数学的一些情况。如介绍: (1) 数学的特点。 (2) 初中数学学习的特点。 (3) 初中数学学习展望。 (4) 中学数学各环节的学习方法, 包括预习、听讲、复习、作业和考核等。 (5) 注意观察、记忆、想象、思维等智力因素与数学学习的关系。 (6) 动机、意志、性格、兴趣、情感等非智力因素与数学学习的联系。

我们在正式引入负数这一概念前, 先把小学数学中的数的知识作一次系统的整理, 使学生注意到数的概念是为解决实际问题的需要而逐渐发展的, 也是由原有的数集与解决实际问题的矛盾而引发新数集的扩展。即自然数集添进数0→扩大自然数集 (非负整数集) 添进正分数→算术数集 (非负有理数集) 添进负整数、负分数→有理数集……这样就为数系的再一次扩充做好准备。

正式引入负数概念时, 可以这样处理, 例:在小学对运进60吨与运出40吨, 增产300千克与减产100千克的意义已很明确了, 怎样用一个简单的数把它们的意义全面表示出来呢?从而激发学生的求知欲。再让学生自己举例说明这种相反意义的量在生活中是经常地接触到的, 而这种量除了要用小学学过的算术数表示外, 还要用一个语句来说明它们的相反的意义。如果取一个量为基准即“0”, 并规定其中一种意义的量为“正”的量, 与之相反意义的量就为“负”的量。用“+”表示正, 用“-”表示负。

这样, 逐步引进正、负数的概念, 将会有助于学生体会引进新数的必要性。从而在心里产生认同, 进而顺利地把数的范畴从小学的算术数扩展到初一的有理数, 使学生不致产生巨大的跳跃感。

进入初中的学生年龄大都是11至12岁, 这个年龄段学生的思维正由形象思维向抽象思维过渡。思维的不稳定性以及思维模式的尚未形成, 决定了列方程解应用题的学习将是初一学生面临的一个难度非常大的坎。列方程解应用题的教学往往是费力不小, 效果不佳。因为学生解题时只习惯小学的思维套用公式, 属定势思维, 不善于分析、转化和作进一步的深入思考, 思路狭窄、呆滞, 题目稍有变化就束手无策。初一学生在解应用题时, 主要存在三个方面的困难: (1) 抓不住相等关系; (2) 找出相等关系后不会列方程; (3) 习惯用算术解法, 对用代数方法分析应用题不适应, 不知道要抓相等关系。

要教会学生通过阅读题目、理解题意、进而找出等量关系、列出方程解决问题的方法, 使之形成“观察—————分析————归纳”的良好习惯, 这对于整个数学的学习都是至关重要的。另外, 在教学中还要告诉学生, 有些问题用算术法解决是不方便的, 只有用代数解法。对于某些典型题目在帮助学生用代数方法解出后, 同时与算术解法作比较, 使学生有个更清晰的认识, 从而逐渐摒弃用算术解法做应用题的思维习惯。

10.数学教案－代数式的值 篇十

一、学习目标: 1.在具体情景中，进一步理解字母表示数的意义

2.能理解一些简单代数式的实际背景或几何意义，发展符号感。3.在具体情景中，能求出代数式的值，并理解它的实际意义 ４、初步培养学生观察、分析及抽象思维的能力；

二、创设情境，导入新课 : 一个旅游团有成人x人，学生y人，那么 该旅游团应付 门票费，若该旅游团有成人37人，学生15人，那么 该旅游团应付 门票费。

三、自主学习:

（一）、从学生原有的认知结构提出问题

1、在小学我们曾学过几种运算律?都是什么?如可用字母表示它们?(通过启发、归纳最后师生共同得出用字母表示数的五种运算律)(1)加法交换律。(2)乘法交换律。(3)加法结合律。(4)乘法结合律。(5)乘法分配律。

指出：(1)“×”也可以写成，或者省略 不写，但数与数之间相乘，一般仍用。(2)上面各种运算律中，所用到的字母a，b，c都是表示数的字母，它代表我们过去学过的。

2、从甲地到乙地的路程是15千米，步行要3小时，骑车要1小时，乘汽车要0.25小时，试问步行、骑车、乘汽车的速度分别是。

3、若用s表示路程，t表示时间，ν表示速度，用s与t表示ν=。

4、一个正方形的边长是a厘米，则这个正方形的周长是，面积是。(用i厘米表示周长，则i=4a厘米；用s平方厘米表示面积，则s=平方厘米)



四、合作交流 :

1、代数式

单独的一个 或单独的一个 以及用 的式子叫代数式

学习代数，首先要学习用代数式表示数量关系，明确代数上的意义

例题解析

例1 填空：

(1)每包书有12册，n包书有__________册；(2)温度由t℃下降到2℃后是_________℃；

(3)棱长是a厘米的正方体的体积是_____立方厘米；(4)产量由m千克增长10%，就达到_______千克

例2、说出下列代数式的意义：

(1)2a+3(2)2(a+3)；(3)(4)a-(5)a2+b2(6)(a+b)2 解：

例3、用代数式表示：(1)m与n的和除以10的商；(2)m与5n的差的平方；(3)x的2倍与y的和；

(4)ν的立方与t的3倍的积 解：

五、当堂训练:

1、填空：(投影)(1)n箱苹果重p千克，每箱重_____千克；

(2)甲身高a厘米，乙比甲矮b厘米，那么乙的身高为_____厘米；(3)底为a，高为h的三角形面积是______；

(4)全校学生人数是x，其中女生占48%，则女生人数是____，男生人数是____

2、说出下列代数式的意义：(投影)(1)2a-3c；(2)；(3)ab+1；(4)a2-b2

3、用代数式表示：(投影)(1)x与y的和；(2)x的平方与y的立方的差；

(3)a的60%与b的2倍的和；(4)a除以2的商与b除3的商的和 归纳总结:

1、本节课学习的内容为。

2.用字母表示数的意义是。

3、代数式是。

六、达标检测: 1.填空题（1）、一个三角形的三条边的长分别的a，b，c，这个三角形的周长。

（2）、张强比王华大3岁，当张强a岁时，王华的年龄是。（3）、a千克大米的售价是6元，1千克大米售 元。（4）、圆的半径是r厘米，它的面积是多少? 2.飞机的速度是汽车的40倍，自行车的速度是汽车的，若汽车的速度是ν千米/时，那么，飞机与自行车的速度各是多少?

3.用代数式表示：

(1)长为a，宽为b米的长方形的周长；

11.新湘教版列代数式教案设计 篇十一

1.经历探索规律并用代数式表示规律的过程.

2.能用字母和代数式表示以前学过的运算律和计算公式.

3.体会字母表示数的意义，形成初步的符号感.

二、教法设计

观察、启发、讨论分析

三、教学重点及难点

教学重点：能用字母和代数式表示基本数量关系

教学难点：体会字母表示数的意义

四、课时安排

1课时

五、师生互动活动设计

情景教学，合作学习.

六、教学思路

(一)、创设情景，呈现内容

1.搭1个正方形需要4根火柴棒。

(1)接上图的方式，搭2个正方形需要______根火柴棒，搭3个正方形需要_________根火柴棒。

(2)搭10个这样的正方形需要多少根火柴棒?

(3)搭100个这样的正方形需要多少根火柴棒?你是怎样得到的?

(4)如果用x表示所搭正方形的个数，那么搭x个这样的正方形需要多少根火柴棒?与同伴进行交流。

上面数据转换的过程实际就是代数式求值的过程，请大家归纳求代数式的值的步骤。

(二)、合作交流，探索发现

1.根据你的计算方法，搭200个这样的正方形需要多少根火柴棒?

利用小明的计算方法，我们用200代替4+3(x-1)中的x，可以得到

你的结果与小明的结果一样吗?

2.请用字母表示以前学过的公式和法则。

(三)、合作解例

例1.用火柴棒按下面的方式搭图形：

(2)写n个图形需要多少根火柴棒?

例2：填空：

(1)每包书有12册，n包书有__________册;

(2)温度由t℃下降到2℃后是_________℃;

(3)棱长是a厘米的正方体的体积是_____立方厘米;

(4)产量由m千克增长10%，就达到_______千克

学生活动：找一个学生口述，教师板书过程.

(四)、寓教于乐

观察等式

1+2+1=4

1+2+3+2+1=9

1+2+3+4+3+2+1=16

1+2+3+4+5+4+3+2+1=25

(1)写出和上面等式具有同样结构，等号左边最大数是10的式子。

(2)写出一个等式，要求它能代表所有类似的等式，清楚地反映出这类等式的特点。

分析：我们通过观察等式发现，这些式子右边都是一个自然数的平方，左边是一连串自然数相加，其中，最在的自然数的平方恰好是右边的数。即左边最大的数与右边二次幂的底数相同，要表示所有这类式子都具有的这种相等关系，只有使用字母。

解：(1)1+2+3+…+10+9+8+7+…+1=102。

(2) 列代数式教案 - 上善 - 若水

注意：题中所给的每一个式子都只是一个特殊的情况，多个这样的式子也能反映出普遍规律，但是比较麻烦。

要想用一个式子表示类似许多式子的规律性，只有用字母。

(五)、巩固练习

自编2道用字母表示数的题目，并解释它的背景。

学生活动：自己思考并解答，全班相互交流.

(六)、小结

这节课，你有什么收获吗?你对自己的学习还满意吗?你在学习的过程中有什么困难的地方吗?课后和同学交流一下.

自我评价

1.先进鲜明的教学理念.

2.和谐融洽的教学气氛.在整个教学过程的设计中师生是朋友，是合作者;教师的引导好象是在讲故事;讲解则是学生探索结果的概括;学生之间也充满合作.

3.紧张活泼的教学节奏.本课设计中安排了不同层次的提问与练习，而且采取了灵活多变的呈现方式，从而使教学过程呈现出紧张活泼的特点

12.数学教案－代数式的值 篇十二

关键词：数学建模,线性代数,专业课

线性代数是工科数学的主干课程之一, 它研究的对象是向量、向量空间 ( 或线性空间) 、线性变换和有限维的线性代数方程组。在计算机得到广泛应用的今天, 线性代数在很多领域有着重要的应用, 例如, 信号处理、图论、有限元等领域中的很多问题最后都可以抽象为一个求解线性代数方程组的问题。而且线性代数课程是很多后续数学课和专业课的必不可少的工具, 可见, 掌握好线性代数知识, 会给后续课程的学习奠定基础。所以学会、学好线性代数课程无论对于以后其他后续课程的学习还是个人自身的发展都是很有益处的。

一、教学中出现的问题

首先, 线性代数课程与学生之前所学的初等数学截然不同, 对初学者来说完全是一个全新的、未知的领域。目前高校中的线性代数课程主要以讲解定义、定理以及其证明为主, 枯燥无味、难以理解, 学生通常认为这门课程十分抽象、特别晦涩、难以理解。例如, 课程中所讲的n维向量空间, 向量的线性相关、线性无关等概念都超出了学生的直观想象。所以常常是老师一堂课讲下来口干舌燥, 身后满黑板的定义、定理和证明过程, 累得精疲力尽; 讲台下同学们听得一头雾水, 使得这门本就十分难以理解的课程变成了很多同学眼中的“天书”。

其次, 高校中通常认为工科数学中线性代数的重要程度不如高等数学, 所以很多学校对这门课安排的课时很少, 换言之, 重视程度上的折扣某种程度上增加了这门课程的难度。

第三, 由于课时紧张, 在有限的时间内要完成正常的教学任务, 老师只好寻找捷径, 课堂上很少讲解一些带有应用背景的实例。帮助理解的东西较少加大了理解的难度。

第四, 很多同学对这门功课的用途知之甚少, 他们不知道除了考研外学习这门课程还有什么用途, 学习热情不高, 缺乏学习积极性。

如何解决上述问题, 如何激发学生学习的积极性, 在教学中使学生更快、更好地接受这些抽象、晦涩的概念, 更好地理解教学重点, 最好的办法就是在线性代数教学中融入数学建模的思想。

二、在教学中融入数学建模的思想

数学建模就是应用数学方法解决某一实际问题。它可以训练学生认知事物的能力、抽象思维能力、逻辑推理能力和更新数学知识的能力等等。姜启源说: “建立数学模型来解决实际问题, 是学生在走上工作岗位后常常要做的工作。做这样的事情, 所需要的远不止是数学知识和解决数学题的能力, 而需要多方面的综合知识和能力。社会对具有这种能力的人的需求, 比对数学专门人才的需求要多得多。”

1. 在教学中采用一些简单的有实际背景的题目。

线性代数课程本身就是在实际问题中抽象得到的, 在教学中有意识地、适当地回归到实际问题中, 既可以增强学生学习这门课的兴趣, 又可以加深对定义、定理的理解。

我们可以考虑在引例中选用一些有实际背景的题目, 引出定义、定理, 告诉学生数学家为什么要定义这些抽象的数学描述以及学习这些数学知识的用途。例如, 在讲解逆矩阵这个概念之前, 可以引入密码加密问题。发送方将密码加密后传给接收方, 接收方在收到数据后再将密文还原成原始信息。假设A是原始信息矩阵, 对它进行加密相当于左乘一个矩阵C, 那么密文矩阵

然后, 接收方解密时相当于已知B求A。对上式左右两端同时左乘一个矩阵D,

如果DC = I, 那么A = DB, 完成了解密过程。这样就引入了逆矩阵这一概念。

我们还可以选取一些有实际背景的习题, 供学生课后练习。这样既锻炼了学生的抽象和逻辑思维能力, 又对已学的知识进行了巩固, 并可以激发起学生主动学习的热情。例如, 在讲解完相似对角化可以让学生分析以下问题:

决定金鱼草开花颜色的基因有两个: A和B, AA型开红花, AB型开粉花, BB型开白花。如果一个亲体的基因为AB, 另一个亲体的基因为AA, 那么后代便可从AA型中得到基因A, 从另一亲体中得到A或B, 而且获得各种基因的概率相同。问: 研究所中现有三种金鱼草, 它们的基因型分别为AA、AB和BB。现在计划用AA型植物和每种基因型植物相结合的方案培育后代, 若干年后, 这种植物的三种基因分布的情况。

根据后代从双亲中获得基因是等可能的这一事实, 给出下列概率分布情况表:

用an, bn, cn分别表示第n代植物基因型为AA、AB和BB的植物百分率, X ( n) 表示第n代植物的基因分布, 即X ( n) = ( an, bn, cn) T。那么第n代与第n -1代之间的关系是

这样就可以得到递推公式X ( n) = MnX ( 0) 。

如果我们要直接计算X ( n) , 就需要计算Mn, 当n很大时, 十分麻烦。为了简化计算, 可以考虑将M对角化, 即找到一个可逆矩阵P, 使得P- 1MP = ∧

其中∧为对角阵, 其对角线上的元素为M的特征值, P为特征值对应的特征向量构成的矩阵。

类似这样的问题, 能使学生在解决问题的过程中, 激发出自我探索、积极学习的热情, 树立学好线性代数的信心。兴趣是学习的动力, 是产生自信的基础, 解决了学生学习的积极性就解决了学好这门课的百分之八十的问题。对于一些问题较多、相对比较复杂的题目, 也可以鼓励学生几人一组, 进行团队合作, 培养团队精神。除此之外, 这种方法还会使在学生看来杂乱无章的知识系统化, 帮助他们理顺各个知识点之间的关系, 加深对线性代数课程整体的认识。

2. 在教学中适当地采用一些与专业相关的题目。

线性代数是几乎所有专业的基础课, 即各个专业后续所开专业课的基础, 它的重要性不言而喻。我们在教学中适当采用一些带有专业背景的例题, 可以促进线性代数与专业知识的融合, 也对学生以后学习专业课打下一个良好的基础。例如, 对于电气专业的学生, 上课时可以列举一些与电路相关的例子, 同时鼓励学生在解决问题的时候应用一些数学软件 ( 如Matlab) ; 这样当后期学生学习“Matlab与仿真”这门课的时候, 学生就会联系前面所学的知识, 有序地衔接, 更快速地接受、入门。

三、渗透数学建模思想的教学中应注意的问题

1. 由简到繁, 由容易到复杂。学生第一次接触的新知识, 在还没有完全吃透它的情况下, 如果老师再讲解一些深奥的实际例子, 不仅不会增加学生的学习兴趣, 可能还会让学生觉得更加晦涩、高深, 产生完全相反的效果。

2. 实际例子的选择要贴切, 不要生搬硬套地把一些数学建模问题放到线性代数课程来讲解。线性代数的课程还是应该以讲解知识为主, 在讲述中融入一些数学建模的例子, 是为了让学生能更好地理解和接受新的知识, 不应喧宾夺主。

3. 在教学中融入数学建模思想的主要目的还是让学生理解和掌握线性代数的理论知识, 不应该过多地讲解一些建模的方法。

四、结论

在线性代数教学中融入数学建模思想, 是学生学好线性代数的催化剂, 是把数学知识与专业知识连接起来的桥梁;它可以增强学生学习的积极性, 训练学生的抽象思维和逻辑思考能力, 培养学生自主获取新知识的能力, 提高学生的综合素质。这种方式的教学还可以使学生初步接受科学研究方法的思想和训练, 使他们逐步养成发现问题、分析问题、解决问题的能力。因此, 在教学中融入数学建模的思想是十分必要的。

参考文献

[1]陈东彦, 李冬梅, 王树忠.数学建模[M].北京:科学出版社, 2007.

[2]杨庆.线性代数在数学建模中的一些应用[J].科技资讯, 2012, (8) :199-200.

[3]岳晓鹏, 孟晓然.在线性代数教学改革中融入数学建模思想的研究[J].高师理科学刊, 2011, 31 (4) :77-79.