初中数学分式复习讲义

初中数学分式复习讲义（共9篇）

1.初中数学分式复习讲义 篇一

2014年青优评比上课环节

10．2分式的基本性质（1）讲义

姓名：班级：．

一．分式的基本性质：

1．文字叙述：分式的分子和分母乘(或除以），分式的值不变．

2．用式子表示：

AA，(其中M)． BB

二．随堂练习：

随堂练习一：

1．下列运算正确的是（）

xx(x2)A.；xyxy

2．填空： aa(a21)B.；23b3b(a1)C.xxa；yyaD.abb 2aa

3a()(ab)2()a1a2b2ab；；(2(3)2(1)；(4).24b4bcabab2ab（）ab()

3．将3a中的a．b都变为原来的3倍，则分式的值()ab

3A.不变B.扩大为原来的3倍C.扩大为原来的9倍D.缩小到原来的随堂练习二.：

4．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母首项都不含“—”号：

(1)

24；.(2)3xa

5．不改变分式的值，使分式

3的分子和分母首项都不含“—”号.x2y

2014年青优评比上课环节

随堂练习三：

6．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数.x22aa2

(1)；.(2)32x3a

122ab随堂练习四：7．不改变分式的值，使的分子中不含分数.ab

课堂作业

不改变分式的值，使下列分式的分子和分1．下列等式的右边是这样从左边得到的？ 2．

母都不含“—”号： b2b3x2yx2

(b0).(2)(1)32；322a2abyy(1)；(2)；2ax

3．不改变分式的值，使分式2的 a3b4．不改变分式的值，使下列分式的分子与分

母的最高次项的系数是正数.x33xx2

(1)；.(2)4xx22x分子和分母首项都不含“—”号：

5．不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数.11a0.2a.(2)2(1)；a0.3aa1

2.初中数学分式复习讲义 篇二

在数学知识的学习中, 最重要的是数学思想和数学方法的学习和运用, 这是知识转化为能力的桥梁.数学思想是指对数学知识和数学方法本质的认识, 它反映了人们对数学规律的理性认识, 而数学方法则是指解决数学问题的根本程序, 它是对数学思想的具体反映. 由此可见, 数学思想是数学的灵魂, 数学方法是数学的行为.将数学思想运用于分式化简求值的运算中, 能够有效提高解题效率.

1.整体思想在分式化简求值中的运用

从整体上认识问题和思考问题是一种重要的思想方法, 在数学学习中有很广泛的应用. 整体思想主要是将所考察的对象作对一个整体来对待, 而这个整体是各要素按一定的思路组合成的有机统一体[1].

2.先通分再化简

先通分再化简指的是通过一定的途径和转化, 将几个分式的分母化为相同, 然后再进行化简计算, 它主要体现的是整体思想的延伸, 就是将所考察的对象中的各个要素按照一定的思路组合成为有机统一体, 然后对其进行分析.

3.将假分式转化为整式和真分式之和

对于一些假分式来说, 一般其特点为分母较简单, 而分子比较复杂, 在这类题型的解答中可以先不要考虑直接通分计算, 因为一般通分后会使分式变得更加繁琐, 这时候我们可以先观察分母和分子之间的联系, 将每个假分式化成整式和真分式之和的形式之后再进行化简求和将会简便很多[2].比如在下面这个分式题目中我们就可以采用这种方式进行解答:

这样繁琐的式子就被简化成一个整体. 从这个题目中我们可以看出, 是否能正确地将假分式写成整式与真分式之和是解题的一个重要思路, 教师在对这类题型进行讲解的时候可以先引导学生尝试进行通分计算, 学生很快就会发现这种方法是行不通的.然后引导学生将各个分式进行变形, 化成整式和真分式之和, 学生就会发现这样题目可以进行化简了.通过这种形式为学生提供更多的选择方式, 可以避免学生在一拿到题目之后就盲目进行通分化简, 促进学生解题思路的形成.

4.巧妙使用“拆项消分法”

拆项消分法也是分式化简求值常用的一个技巧, 一些分式题目中每个分式都具有1/ (x+n) (x+n+1) 的一般形式, 对于这些类型的题目我们在解题时可以将其拆成1/ (x+n) 和1/ (x+n+1) 两项, 然后就可以其前后就有两个分式是可以以相反数的形式消除的, 这种化简方法就是拆项消分法[3].

5.结语

初中数学中关于分式化简求值类型的题目有很多, 以上主要挑选了几个比较典型的分式对其解题思路进行了分析和总结. 分式题目在解答中一般都具有一定的规律和相应的解题思路和解题技巧, 如果能够对这些思路和技巧有很好的把握, 就能够提高解题效率和正确率.要想掌握分式化简求值的技巧还需要在平常练习中多下工夫, 注意观察分式原式的条件和分式的分布规律, 多总结, 多思考.

摘要：分式是贯穿初中数学的一个重要教学内容, 分式问题在中考和数学竞赛中都是非常常见的题型, 具有运算综合、技巧性大且灵活性强的特点, 注重考查学生的思维方式、思维技巧, 同时对学生的创新能力也是一种考验.在分式化简求值中合理地运用一些技巧不仅能够有效地将复杂的问题简化, 提高解题速度, 还能够提高解题的正确率, 进而达到事半功倍的效果.本文主要对初中数学分式化简求值的技巧进行分析和总结.

关键词：初中数学,分式化简,求值技巧

参考文献

[1]饶敏.分式的化简及求值技巧[J].初中生辅导, 2010, (11) :18-23.

[2]钱立梅.初中数学分式化简求值的技巧总结[J].文理导航 (中旬) , 2013, (8) :11-11.

3.谈谈分式和分式方程的复习 篇三

从卷面来看，分值控制在3%~8%左右，所占的比值不大，有些老师就疏忽大意了。其实，我们老师如果对此引起足够的重视，基本上前80%的学生能得到满分。我在复习过程中，发现我的学生在分式和分式方程这版块的内容掌握的不好。有很多同学连增根是什么也不知道，更别说是分式方程根的检验，这让我很吃惊。我马上翻阅了浙教版《数学》七年级下册的教材，发现分式方程只在两、三课时，学习时间不长，致使遗忘比较快。下面，就我从教学中出现的一些状况，以及中考中要引起重视的地方粗步的概括了一下：

1.分式的取值范围

例1使分式 有意义的自变量x的取值范围。

分析：学生易与二次根式√x-1的取值范围相混淆，不过能意识到分母不能为零，会出现x＞1的错误结果。

2.注意分式的隐含条件

例2若分式 的值为0，则x的值等于。

分析：若要使分式的值为零，必须要从分子、分母两方面考虑，即分子为零而分母不为零。于是解方程x2-x-2=0，得x1=2,x2=-1。但很多学生会很快把答案写上去，忘记把其中一个使分母为零的根舍去。

3.分式的化简求值

例3

分析：分式的化简基本上出现两种错误：一种是在解题中把分母变没了；还有一种是误认为公分母是（x-1）（１-x），使得计算过程复杂化，从而导致出错。

先将代数式 ÷ 化简，再从-３＜x＜３的范围内选取一个合适的整数x代入求值。

解：原式＝== =x-1

当x=2时，原式=1。

分析：对于复杂的分式运算，要弄清楚运算顺序，用好运算法则，注意运算符号。若有括号的，应先算出括号中的结果，再进行分式的乘除运算。此题在选具体的数值时还需注意隐含条件，其中±1不能选学生知道，但还有一个0会误选，其实合适的整数x只能是２或-２。

4.分式方程的解

例4已知关于x 的方程 的解是正数，则m的取值范围为。

分析：本题将分式方程与一元一次不等式结合在一起考查。去分母，得2x+m=3（x-2），解得x=m+6。因为x为正数，所以m+6＞０，得m＞-6。很多学生就直接把答案写上去，而忽略了当m=-4时，x=2，此时分式方程无解，从而把m≠-4漏掉。故正确应填m＞-６且m≠-4。

若关于x的分式方程 -=1无解，则a= 。

分析：本题主要考查分式方程的增根，增根对于学生来说比较陌生，所以要加强这方面的练习。去分母，得x（x-a）-3（x-1）=x(x-1)，注意每一项都要乘，不要漏乘。化简得，（a+2）x=3。若x=0或x=1时，则是增根，应舍去，此分式方程无解。因此，当x=0时，a不存在；当x=1时，a=1。故正确填a=1。

总之，在分式的解题过程中，注意分式的运算顺序和里面的隐含条件，不能随便去掉分母；在分式方程的计算中，去分母时应把各项都乘遍，验根是必不可少的步骤。

4.初中数学分式教学设计 篇四

本节课是北师大版八年级下册第五章第一节《分式》第一课时。分式是初中数学中继整式之后学习的一个代数基础知识，是对小学所学分数的延伸和扩展，是建立在本册第四章的分解因式的基础上学习的，同时，它也是今后继续学习分式的性质、运算以及解分式方程的基础和前提。学好本节课，不仅能够增强学生的运算能力，提高运算速度，同时，也为今后解决更为复杂的代数问题，诸如“函数”、“方程”等，提供重要的条件，打下坚实的基础

数学分式教学设计(结合学生情况教学目标设计)

由于学生在七年级已经学习了整式，分式与整式一样也是代数式，因此研究与学习的方法与整式相类似;另一方面，“分式”是“分数”的“代数化”，学生可以通过类比进行分式的学习。

学生对分数和整式的理解、掌握不熟练，给本节分式的学习带来了困难，因为其性质与运算是完全类似的，对这种状况，要以基础知识的回忆和探究新知同步进行，在此基础上有所提高，让不同层次的学生都有收获。所以我依据《数学课程标准》，以教材特点和学生认知水平为出发点，确定以下4个方面为本节课的教学目标：

1.知识与技能目标

⑴使学生了解分式产生的背景和分式的概念，了解分式与整式概念的区别与联系.明确分母不得为零是分式概念的组成部分.

⑵掌握分式有意义的条件.认识事物间的联系与制约关系.

2.过程与方法目标

⑴能用分式表示现实情境中的数量关系，体会分式的模型思想，进一步发展符号感，

⑵通过类比分数研究分式的教学，引导学生运用类比转化的思想方法研究解决问题.

⑶培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索，合作交流.

3.情感与价值目标

⑴.通过体验动手操作、合作交流、探究解决的学习过程，获得成功的经验，体验数学活动充满 着探索和创造，体会分式的模型思想，激发学生解决问题的积极性和主动性。

⑵在土地沙化问题中，体会保护人类生存环境的重要性。培养学生严谨的思维能力.

4.现代教学手段

多媒体 幻灯 投影

①课堂使用课件教学，直观、教学知识点覆盖全面，教学内容丰富。

5.初中数学分式复习讲义 篇五

命

题

者

说

考

题

统

计

考

情

点

击

2018·全国卷Ⅰ·T1·复数的运算

2018·全国卷Ⅰ·T6·平面向量的线性运算

2018·全国卷Ⅱ·T1·复数的运算

2018·全国卷Ⅱ·T4·平面向量的数量积运算

2018·全国卷Ⅲ·T2·复数的运算

2018·全国卷Ⅲ·T13·平面向量的坐标运算

高考对本部分内容的考查主要有以下几方面：①平面向量的运算。包括向量的线性运算及几何意义，坐标运算，利用数量积运算解决模、夹角、垂直的问题，常与函数、不等式、三角函数、解析几何等知识进行简单的结合；②复数的运算。包括复数的概念、几何意义及四则运算。以上考点难度不高，属送分题，只要掌握基础知识就能得满分。

考向一

平面向量

微考向1：平面向量的线性运算

【例1】(1)(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝()

A.－

B.－

C.＋

D.＋

(2)(2018·重庆调研)已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，I是△ABC的内心，P是△IBC内部(不含边界)的动点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是()

A.B.C.D．(2,3)

解析(1)解法一：如图所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故选A。

解法二：＝－＝－＝－××(＋)＝－，故选A。

(2)以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0,0)，A(3,0)，C(0,4)。设△ABC的内切圆的半径为r，因为I是△ABC的内心，所以(5＋3＋4)×r＝4×3，解得r＝1，所以I(1,1)。设P(x，y)，因为点P在△IBC内部(不含边界)，所以0

所以λ＋μ＝1－x，又0

答案(1)A(2)A

解决以平面图形为载体的向量线性运算问题的方法

(1)充分利用平行四边形法则与三角形法则，结合平面向量基本定理、共线定理等知识进行解答。

(2)如果图形比较规则，向量比较明确，则可考虑建立平面直角坐标系，利用坐标运算来解决。

变|式|训|练

1．(2018·陕西检测)已知P为△ABC所在平面内一点，＋＋＝0，||＝||＝||＝2，则△ABC的面积等于()

A.B．2

C．3

D．4

解析　由||＝||得，△PBC是等腰三角形，取BC的中点为D，则PD⊥BC，又＋＋＝0，所以＝－(＋)＝－2，所以PD＝AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由||＝2，|PD|＝1可得||＝，则||＝2，所以△ABC的面积为×2×2＝2。故选B。

答案　B

2．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)。若c∥(2a＋b)，则λ＝________。

解析　由题可得2a＋b＝(4,2)。因为c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，所以4λ－2＝0，即λ＝。

答案

微考向2：平面向量的数量积运算

【例2】(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()

A．4

B．3

C．2

D．0

(2)圆O为△ABC的外接圆，半径为2，若＋＝2，且||＝||，则向量在向量方向上的投影为________。

(3)如图所示，在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点。若·＝1，则AB的长为______。

解析(1)因为a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－(－1)＝2＋1＝3。故选B。

(2)因为＋＝2，所以O是BC的中点。所以△ABC为直角三角形。在△AOC中，有||＝||，所以∠B＝30°。由定义，得向量在向量方向上的投影为||cosB＝2×＝3。

(3)解法一：由题意可知＝＋，＝－＋。因为·＝1，所以(＋)·＝1，即2＋·－2＝1。①

因为||＝1，∠BAD＝60°，所以·＝||。因此①式可化为1＋||－2＝1，解得||＝0(舍去)或||＝。所以AB的长为。

解法二：以A为原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，过点D作DM⊥AB于点M。由AD＝1，∠BAD＝60°，可知AM＝，DM＝。设|AB|＝m(m>0)，则B(m,0)，C，D。因为E是CD的中点，所以E。所以＝，＝。由·＝1可得＋＝1，即2m2－m＝0。所以m＝0(舍去)或m＝。故AB的长为。

答案(1)B(2)3(3)

解决以平面图形为载体的向量数量积问题的方法

(1)选择平面图形中的模与夹角确定的向量作为一组基底，用该基底表示构成数量积的两个向量，结合向量数量积运算律求解。

(2)若已知图形中有明显的适合建立直角坐标系的条件，可建立直角坐标系将向量数量积运算转化为代数运算来解决。

变|式|训|练

1．平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1,1)，|b|＝2，则|3a＋b|＝()

A．13＋6

B．2

C.D.解析　依题意得|a|＝，a·b＝×2×cos45°＝2，则|3a＋b|＝＝＝＝。故选D。

答案　D

2．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F

分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF

。若·＝1，则λ的值为________。

解析　解法一：如图，由题意可得·＝||·||cos120°＝2×2×＝－2。在菱形ABCD中，易知＝，＝，所以＝＋＝＋，＝＋＝＋，·＝·＝＋－2＝1，解得λ＝2。

解法二：以A为原点建立直角坐标系如图，则A(0,0)，B(2,0)，C(1，)，D(－1，)，E，设F

(x0，)，则·＝·(x0，)＝1，则x0＋1＝1，则x0＝0，所以F

为DC中点，所以DC＝2DF，即λ＝2。

答案　2

微考向3：平面向量的最值问题

【例3】(2018·浙江高考)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量。若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是()

A．－1

B．＋1

C．2

D．2－

解析　解法一：设O为坐标原点，a＝，b＝＝(x，y)，e＝(1,0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2,0)为圆心，1为半径的圆。因为a与e的夹角为，所以不妨令点A在射线y＝x(x>0)上，如图，数形结合可知|a－b|min＝||－||＝－1。故选A。

解法二：由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0。设b＝，e＝，3e＝，所以b－e＝，b－3e＝，所以·＝0，取EF的中点为C，则B在以C为圆心，EF

为直径的圆上，如图。设a＝，作射线OA，使得∠AOE＝，所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝||－||≥－1。故选A。

答案　A

平面向量的最值问题的两种解法

(1)坐标法：建立平面直角坐标系，计算有关向量的坐标，利用向量的坐标计算。

(2)几何法：根据向量的几何意义构造图形，通过分析图形得出结论。

变|式|训|练

已知A，B，C是圆O：x2＋y2＝1上的动点，且AC⊥BC，若点M的坐标是(1,1)，则|＋＋|的最大值为()

A．3

B．4

C．3－1

D．3＋1

解析　解法一：因为A，B，C是圆O：x2＋y2＝1上的动点，且AC⊥BC，所以设A(cosθ，sinθ)，B(－cosθ，－sinθ)，C(cosα，sinα)，其中0≤θ<2π，0≤α<2π，因为M(1,1)，所以＋＋＝(cosθ－1，sinθ－1)＋(－cosθ－1，－sinθ－1)＋(cosα－1，sinα－1)＝(cosα－3，sinα－3)，所以|＋＋|

＝

＝

＝，当且仅当sin＝－1时，|＋＋|取得最大值，最大值为＝3＋1。故选D。

解法二：连接AB，因为AC⊥BC，所以AB为圆O的直径，所以＋＝2，所以|＋＋|＝|2＋|≤|2|＋||＝2＋||，易知点M与圆上动点C的距离的最大值为＋1，所以||≤＋1，所以|＋＋|≤3＋1。故选D。

答案　D

考向二

复数的运算

【例4】(1)(2018·全国卷Ⅱ)＝()

A．－－i

B．－＋i

C．－－i

D．－＋i

(2)(2018·北京高考)在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于()

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

解析(1)因为＝＝＝－＋i。故选D。

(2)＝＝＋i，其共轭复数为－i，对应的点为。故选D。

答案(1)D(2)D

复数问题的解题思路

(1)以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题。

(2)若与其他知识结合考查，则要借助其他的相关知识解决问题。

变|式|训|练

1．设i是虚数单位，若复数a＋(a∈R)是纯虚数，则a＝()

A．－1

B．1

C．－2

D．2

解析　因为a＋＝a＋＝a－2＋i为纯虚数，所以a－2＝0，得a＝2。故选D。

答案　D

2．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应点的坐标为()

A．(3,3)

B．(－1,3)

C．(3，－1)

D．(2,4)

解析　因为z＝＝＝＝－1＋3i，所以其在复平面内对应的点的坐标为(－1,3)。故选B。

答案　B

3．复数z满足＝i(i为虚数单位)，则＝()

A．1＋i　　　B．1－i

C.D.解析　因为＝i，所以z＝(z－i)i＝zi＋1，z＝＝，＝，故选D。

答案　D

1．(考向一)(2018·河北、河南、山西联考)如图，在等边△ABC中，O为△ABC的重心，点D为BC边上靠近B点的四等分点，若＝x＋y，则x＋y＝()

A.B.C.D.解析　设点E为BC的中点，连接AE，可知O在AE上，由＝＋＝＋＝(＋)＋(－)＝－，故x＝，y＝－，x＋y＝。故选B。

答案　B

2．(考向一)(2018·天津高考)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1。若点E为边CD上的动点，则·的最小值为()

A．

B．

C．

D．3

解析　解法一：如图，以D为原点DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B，C(0，)，令E(0，t)，t∈[0，]，所以·＝(－1，t)·＝t2－t＋，因为t∈[0，]，所以当t＝－＝时，·取得最小值，(·)min＝－×＋＝。故选A。

解法二：令＝λ(0≤λ≤1)，由已知可得DC＝，因为＝＋λ，所以＝＋＝＋＋λ，所以·＝(＋λ)·(＋＋λ)＝·＋2＋λ·＋2＝3λ2－λ＋。当λ＝－＝时，·取得最小值。故选A。

答案　A

3．(考向二)(2018·株洲二模)设i为虚数单位，1－i＝，则实数a＝()

A．2

B．1

C．0

D．－1

解析　因为1－i＝，所以2＋ai＝(1－i)(1＋i)＝2，所以a＝0。故选C。

答案　C

4．(考向二)已知复数z的共轭复数为，若(1－2i)＝5－i(i为虚数单位)，则在复平面内，复数z对应的点位于()

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

解析　依题意，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＋＝2a＋bi，故2a＋bi＝＝1＋i，故a＝，b＝，则在复平面内，复数z对应的点为，位于第一象限。故选A。

6.初中数学分式复习讲义 篇六

命

题

者

说

考

题

统

计

考

情

点

击

2018·全国卷Ⅰ·T2·集合的补集运算

2018·全国卷Ⅱ·T2·集合的元素个数

2018·全国卷Ⅲ·T1·集合的交集运算

2017·全国卷Ⅰ·T1·集合的交、并集运算

高考对本部分内容的考查主要是集合间的基本关系和运算，含有量词的命题的真假判断以及含有一个量词的命题的否定，多数与函数、不等式、复数等知识相结合，难度一般，属于送分题，故复习时不必做过多的探究，只要掌握以下知识点，就能保证不失分，得满分。

考向一

集合及运算

【例1】(1)(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝()

A．{x|－1

B．{x|－1≤x≤2}

C．{x|x<－1}∪{x|x>2}

D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}

(2)(2018·辽宁五校联考)已知集合A＝{－2，－1,0,2,3}，B＝{y|y＝x2－1，x∈A}，则A∩B中元素的个数是()

A．2

B．3

C．4

D．5

(3)(2018·济南一模)已知集合A＝{x|ax－6＝0}，B＝{x|1≤log2x<2，x∈N}，且A∪B＝B，则实数a的所有值构成的集合是()

A．{2}

B．{3}

C．{2,3}

D．{0,2,3}

解析(1)解法一：解不等式x2－x－2>0得x<－1或x>2，所以A＝{x|x<－1或x>2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}。故选B。

解法二：因为A＝{x|x2－x－2>0}，所以∁RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B。

(2)因为A＝{－2，－1,0,2,3}，B＝{y|y＝x2－1，x∈A}＝{3,0，－1,8}，所以A∩B＝{0,3，－1}，所以A∩B中的元素有3个。故选B。

(3)因为A∪B＝B，所以A⊆B，又B＝{x|1≤log2x<2，x∈N}＝{2,3}。当a＝0时，集合A为空集，符合题意；集合A不是空集时，A＝{x|ax－6＝0}＝，由＝2或＝3，可得a＝3或a＝2，所以实数a的所有值构成的集合是{0,2,3}。故选D。

答案(1)B(2)B(3)D

(1)求解集合的运算中，要根据集合的表示把参与运算的各个集合求出，再根据交、并、补的定义进行运算。

(2)对于元素个数有限的集合一般可用列举的方法求解，若集合涉及不等式的解集，则常借助数轴处理。

变|式|训|练

1．设全集U＝R，集合A＝{y|y＝x2－2}，B＝{x|y＝log2(3－x)}，则(∁UA)∩B＝()

A．{x|－2≤x<3}

B．{x|x≤－2}

C．{x|x<－2}

D．{x|x<3}

解析　全集U＝R，集合A＝{y|y＝x2－2}＝{y|y≥－2}，所以∁UA＝{x|x<－2}。又B＝{x|y＝log2(3－x)}＝{x|3－x>0}＝{x|x<3}，所以(∁UA)∩B＝{x|x<－2}。故选C。

答案　C

2．已知集合A＝{x∈R|＝}，B＝{1，m}，若A⊆B，则m的值为()

A．2或

B．－1或2

C．2

D．－1

解析　由＝，得x≥0，x2－2≥0，x＝x2－2，得x＝2，因为A⊆B，所以m＝2。故选C。

答案　C

3．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为________。

解析　因为x∈A，y∈A，x－y∈A，所以当x＝5时，y可以是1,2,3,4；当x＝4时，y可以是1,2,3；当x＝3时，y可以是1,2；当x＝2时，y只能是1。综上所述，B中所含元素的个数为10。

答案　10

考向二

命题及其真假判断

【例2】(1)(2018·郑州预测)下列说法正确的是()

A．“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a>1，则a2≤1”

B．“若am2

C．存在x0∈(0，＋∞)，使3x0>4

x0成立

D．“若sinα≠，则α≠”是真命题

(2)(2018·渭南质检)已知命题p：∃a，b∈R，a>b且>，命题q：∀x∈R，sinx＋cosx<。下列命题是真命题的是()

A．(綈p)∧q

B．p∧q

C．p∧(綈q)

D．(綈p)∧(綈q)

解析(1)对于A，“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，故选项A错误；对于B，“若am23x，故选项C错误；对于D，“若sinα≠，则α≠”的逆否命题为“若α＝，则sinα＝”，且其逆否命题为真命题，所以原命题为真命题，故选D。

(2)命题p：当a>0，b<0时，表达式就成立；命题q：∀x∈R，sinx＋cosx＝sin≤，故表达式成立。故两个命题均为真命题。故选B。

答案(1)D(2)B

(1)命题真假的判定方法

①一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别。

②四种命题真假的判断：一个命题和它的逆否命题同真假，而其他两个命题的真假无此规律，特别注意逆命题与否命题。

③形如p∨q，p∧q，綈p命题的真假根据p，q的真假与联结词的含义判定。

(2)全称命题与特称命题真假的判定

①全称命题：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可。

②特称命题：要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题。

变|式|训|练

1．若命题p：对任意的x∈R，都有x3－x2＋1<0，则綈p为()

A．不存在x∈R，使得x3－x2＋1<0

B．存在x∈R，使得x3－x2＋1<0

C．对任意的x∈R，都有x3－x2＋1≥0

D．存在x∈R，使得x3－x2＋1≥0

解析　命题p：对任意的x∈R，都有x3－x2＋1<0的否定为綈p；存在x∈R，使得x3－x2＋1≥0。故选D。

答案　D

2．已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2，下列命题为真命题的是()

A．p∧q

B．p∧(綈q)

C．(綈p)∧q

D．(綈p)∧(綈q)

解析　因为x>0，所以x＋1>1，所以ln(x＋1)>0，则命题p为真命题；因为1>－2，但12<(－2)2，所以命题q是假命题，则(綈q)是真命题，所以p∧(綈q)是真命题。故选B。

答案　B

考向三

充要条件

【例3】(1)(2018·天津高考)设x∈R，则“<”是“x3<1”的()

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(2)(2018·北京高考)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的()

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析(1)解法一：由<，得0

解法二：由<，得0，3＝－<1，所以必要性不成立。故选A。

(2)因为|a－3b|＝|3a＋b|，所以(a－3b)2＝(3a＋b)2，所以a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又因为|a|＝|b|＝1，所以a·b＝0，所以a⊥b；反之也成立。故选C。

答案(1)A(2)C

充分条件与必要条件的三种判定方法

(1)定义法：正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且qDp，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)。

(2)集合法：利用集合间的包含关系。例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A＝B，则A是B的充要条件。

(3)转化法：若綈p是綈q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件；若綈p是綈q的充要条件，则p是q的充要条件。

变|式|训|练

1．设a，b∈R，则“log2a>log2b”是“2a－b>1”的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析　因为log2a>log2b⇔a>b>0,2a－b>1⇔a>b，所以“log2a>log2b”是“2a－b>1”的充分不必要条件，故选A。

答案　A

2．(2018·福建联考)设命题p：x2－(2a＋1)x＋a2＋a<0，命题q：lg(2x－1)≤1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()

A.B.C.D.解析　命题p：a答案　A

1．(考向一)(2018·济南联考)已知集合A＝{x|y＝}，A∩B＝∅，则集合B不可能是()

A．{x|4x<2x＋1}

B．{(x，y)|y＝x－1}

C．{y

D．{y|y＝log2(－x2＋2x＋1)}

解析　集合A＝{x|y＝}＝{x|x≥1}，对于A，{x|4x<2x＋1}＝{x|x<1}，满足A∩B＝∅；对于B，集合为点集，满足A∩B＝∅；对于C，{y＝{y，满足

A∩B＝∅；对于D，{y|y＝log2(－x2＋2x＋1)}＝{y|log2[－(x－1)2＋2]}＝{y|y≤1}，A∩B＝{1}≠∅。故选D。

答案　D

2．(考向一)(2018·西安联考)从集合{(x，y)|x2＋y2≤4，x∈R，y∈R}中任选一个元素(x，y)，则满足x＋y≥2的概率为________。

解析　如图，先画出圆x2＋y2＝4，再画出不等式组对应的可行域，即图中阴影部分，则所求概率P＝＝＝。

答案

3．(考向二)(2018·西安质检)已知命题p：∀x∈R，不等式ax2＋2x＋1<0解集为空集，命题q：f

(x)＝(2a－5)x在R上满足f

′(x)<0，若命题p∧(綈q)是真命题，则实数a的取值范围是()

A．

B．[3，＋∞)

C．[2,3]

D．∪[3，＋∞)

解析　由题意命题p：∀x∈R，不等式ax2＋2x＋1<0解集为空集。当a＝0时，不满足题意。当a≠0时，必须满足：解得a≥2；命题q：f

(x)＝(2a－5)x在R上满足f

′(x)<0可得函数f

(x)在R上单调递减，所以0<2a－5<1，解得

答案　D

4．(考向三)(2018·西安联考)在△ABC中，“·>0”是“△ABC是钝角三角形”的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析　解法一：设与的夹角为θ，因为·>0，即||·||cosθ>0，所以cosθ>0，θ<90°，又θ为△ABC内角B的补角，所以∠B>90°，△ABC是钝角三角形；当△ABC为钝角三角形时，∠B不一定是钝角。所以“·>0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件。故选A。

解法二：由·>0，得·<0，即cosB<0，所以∠B>90°，△ABC是钝角三角形；当△ABC为钝角三角形时，∠B不一定是钝角。所以“·>0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件。故选A。

答案　A

5．(考向三)(2018·辽师大附中模拟)“0

(x)＝满足：对任意的x1≠x2，都有f

(x1)≠f

(x2)”的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析　因为当0

(x)在(－∞，＋∞)上递减，所以任意x1≠x2都有f

(x1)≠f

(x2)，所以充分性成立；若m<0，g(x)在(1，＋∞)上递增，h(x)在(－∞，1)上递减，g(x)<0，h(x)≥0，满足对任意x1≠x2，都有f

(x1)≠f

(x2)，必要性不成立。故选A。

7.初中数学分式复习讲义 篇七

命

题

者

说

考

题

统

计

考

情

点

击

2018·全国卷Ⅰ·T13·线性规划求最值

2018·全国卷Ⅱ·T14·线性规划求最值

2018·北京高考·T8·线性规划区域问题

2018·浙江高考·T15·不等式的解法

2017·全国卷Ⅰ·T14·线性规划求最值

1.不等式作为高考命题热点内容之一，多年来命题较稳定，多以选择、填空题的形式进行考查，题目多出现在第5～9或第13～15题的位置上，难度中等，直接考查时主要是简单的线性规划问题，关于不等式性质的应用、不等式的解法以及基本不等式的应用，主要体现在其工具作用上。

2.若不等式与函数、导数、数列等其他知识交汇综合命题，难度较大。

考向一

不等式的性质与解法

【例1】(1)已知a>b>0，则下列不等式中恒成立的是()

A．a＋>b＋

B．a＋>b＋

C.>

D.>ab

(2)已知函数f

(x)＝(ax－1)(x＋b)，若不等式f

(x)>0的解集是(－1,3)，则不等式f

(－2x)<0的解集是()

A.∪

B.C.∪

D.解析(1)因为a>b>0，所以<，根据不等式的性质可得a＋>b＋，故A正确；对于B，取a＝1，b＝，则a＋＝1＋＝2，b＋＝＋2＝，故a＋>b＋不成立，故B错误；根据不等式的性质可得<，故C错误；取a＝2，b＝1，可知D错误。故选A。

(2)由f

(x)>0的解集是(－1,3)，所以a<0，且方程f

(x)＝(ax－1)(x＋b)＝0的两根为－1和3，所以所以a＝－1，b＝－3，所以f

(x)＝－x2＋2x＋3，所以f

(－2x)＝－4x2－4x＋3，由－4x2－4x＋3<0，得4x2＋4x－3>0，解得x>或x<－。故选A。

答案(1)A(2)A

解不等式的策略

(1)一元二次不等式：先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集。

(2)含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解。

变|式|训|练

1．(2018·北京高考)能说明“若a>b，则<”为假命题的一组a，b的值依次为________。(答案不唯一)

解析　由题意知，当a＝1，b＝－1时，满足a>b，但是>，故答案可以为1，－1。(答案不唯一，满足a>0，b<0即可)

答案　1，－1(答案不唯一)

2．(2018·浙江高考)已知λ∈R，函数f

(x)＝当λ＝2时，不等式f

(x)<0的解集是________。若函数f

(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________。

解析　若λ＝2，则当x≥2时，令x－4<0，得2≤x<4；当x<2时，令x2－4x＋3<0，得1

(x)<0的解集为(1,4)。令x－4＝0，解得x＝4；令x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3。因为函数f

(x)恰有2个零点，结合函数的图象(图略)可知1<λ≤3或λ>4。

答案(1,4)(1,3]∪(4，＋∞)

考向二

基本不等式及其应用

【例2】(1)(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________。

(2)已知a>b，且ab＝1，则的最小值是______。

解析(1)由a－3b＋6＝0，得a＝3b－6，所以2a＋＝23b－6＋≥2＝2×2－3＝，当且仅当23b－6＝，即b＝1时等号成立。

(2)＝＝a－b＋≥2，当且仅当a－b＝时取得等号。

答案(1)(2)2

在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号成立)的条件，否则会出现错误。

变|式|训|练

1．已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为()

A．4

B．16

C．9

D．3

解析　因为a>0，b>0，所以由－－≤0恒成立得，m≤(3a＋b)＝10＋＋恒成立。因为＋≥2＝6，当且仅当a＝b时等号成立，所以10＋＋≥16，所以m≤16，即m的最大值为16。故选B。

答案　B

2．已知函数f

(x)＝ln(x＋)，若正实数a，b满足f

(2a)＋f

(b－1)＝0，则＋的最小值是________。

解析　因为f

(x)＝ln(x＋)，f

(－x)＝ln(－x＋)，所以f

(x)＋f

(－x)＝ln[(x＋)·(－x＋)]＝ln1＝0，所以函数f

(x)＝ln(x＋)为R上的奇函数，又y＝x＋在其定义域上是增函数，故f

(x)＝ln(x＋)在其定义域上是增函数，因为f

(2a)＋f

(b－1)＝0，f

(2a)＝－f

(b－1)，f

(2a)＝f

(1－b)，所以2a＝1－b，故2a＋b＝1。故＋＝＋＝2＋＋＋1＝＋＋3≥2＋3。(当且仅当＝且2a＋b＝1，即a＝，b＝－1时，等号成立。)

答案　2＋3

考向三

线性规划及其应用

微考向1：求线性目标函数的最值

【例3】(2018·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________。

解析　作可行域，则直线z＝x＋y过点A(5,4)时取最大值9。

答案　9

线性目标函数z＝ax＋by最值的确定方法

(1)将目标函数z＝ax＋by化成直线的斜截式方程(z看成常数)。

(2)根据的几何意义，确定的最值。

(3)得出z的最值。

变|式|训|练

(2018·天津高考)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋5y的最大值为()

A．6

B．19

C．21

D．45

解析　不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y＝－x，平移该直线，当经过点C时，z取得最大值，由得即C(2,3)，所以zmax＝3×2＋5×3＝21。故选C。

答案　C

微考向2：线性规划中的参数问题

【例4】(2018·山西八校联考)若实数x，y满足不等式组且3(x－a)＋2(y＋1)的最大值为5，则a＝________。

解析　设z＝3(x－a)＋2(y＋1)，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z＝3(x－a)＋2(y＋1)得y＝－x＋，作出直线y＝－x，平移该直线，易知当直线过点A(1,3)时，z取得最大值，又目标函数的最大值为5，所以3(1－a)＋2(3＋1)＝5，解得a＝2。

答案　2

解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值。

变|式|训|练

已知x，y满足约束条件目标函数z＝2x－3y的最大值是2，则实数a＝()

A．

B．1

C．

D．4

解析　作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z＝2x－3y的最大值是2，由图象知z＝2x－3y经过平面区域的点A时目标函数取得最大值2。由解得A(4,2)，同时A(4,2)也在直线ax＋y－4＝0上，所以4a＝2，则a＝。故选A。

答案　A

1．(考向一)(2018·福建联考)已知函数f

(x)＝

若f

(2－x2)>f

(x)，则实数x的取值范围是()

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

C．(－1,2)

D．(－2,1)

解析　易知f

(x)在R上是增函数，因为f

(2－x2)>f

(x)，所以2－x2>x，解得－2

答案　D

2．(考向一)(2018·南昌联考)若a>1,0

A．loga2

018>logb2

018

B．logba

C．(c－b)ca>(c－b)ba

D．(a－c)ac>(a－c)ab

解析　因为a>1,0

018>0，logb2

018<0，所以loga2

018>logb2

018，所以A正确；因为0>logab>logac，所以<，所以logba(c－b)ba，所以C正确；因为ac0，所以(a－c)ac<(a－c)ab，所以D错误。故选D。

答案　D

3．(考向二)(2018·河南联考)已知直线ax－2by＝2(a>0，b>0)过圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心，则＋的最小值为________。

解析　圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心坐标为(2，－1)。由于直线ax－2by＝2(a>0，b>0)过圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0的圆心，故有a＋b＝1。所以＋＝(a＋2＋b＋1)＝≥＋×2＝，当且仅当a＝2b＝时，取等号，故＋的最小值为。

答案

4．(考向三)(2018·南昌联考)设不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝kx经过区域M内的点，则实数k的取值范围为()

A.B.C.D.解析　作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示，易知当直线y＝kx经过点A(2,1)时，k取得最小值，当直线y＝kx经过点C(1,2)时，k取得最大值2，可得实数k的取值范围为。故选C。

答案　C

5．(考向三)(2018·广州测试)若x，y满足约束条件

则z＝x2＋2x＋y2的最小值为()

A．

B．

C．－

D．－

解析　画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，z＝x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1，其几何意义是平面区域内的点(x，y)到定点(－1,0)的距离的平方再减去1，观察图形可得，平面区域内的点到定点(－1，0)的距离的最小值为，故z＝x2＋2x＋y2的最小值为zmin＝－1＝－。故选D。

8.初中数学分式复习讲义 篇八

沁园中学 李福霞

教学内容：八年级下册第十六章第二节《分式的加减》。所用班级：实验中学八年级。课时：第一课时

授课、实录整理、反思：李福霞 教学目标：

1.经历分式加减运算法则的探究，能灵活运用法则正确进行分式的加减运算。

2.理解数式通性，掌握分式混合运算的运算顺序，进行分式的四则运算，构建和发展相互联系的知识体系。培养细心认真的学习习惯。【课堂实录及反思】

一、创设情境，导入新课。

教师：数学在生活中的应用随处可见，我们学的数学知识就是为生活实际服务的。我出两道实际问题（题目见课本15页问题3和问题4），看大家能否列出式子。学生：问题3的式子是：，问题4的式子是： 教师：S3-S2表示什么？呢？

学生：S3-S2表示2003年某地的森林面积比2002年某地的森林面积多多少，表示2003年的森林面积增长率。

教师：根据题目的意思，还需要求出哪一年的增长率？ 学生： 2002年的增长率。

教师：2002年的增长率怎样算？ 学生：。

教师：能列出问题4的式子吗？ 学生：能。

教师：大家真是聪明，一点就通！良好的开端，成功的一半，我相信同学们在这一节课上一定会有精彩的表现！反思：

新课改重点强调了教师在课堂中的作用，那就是引领、点拨、解惑、提示、释疑、组织者的作用。课堂上不是不让老师讲，而是学生会得不要重复，学生感到困难的地方教师就要及时的点拨。在学生及时改正认识后，及时鼓励学生，学生有了学习的兴趣和激情，一定能迸发出智慧的火花。

教师：观察这两个式子，看看它们是分式的什么运算？ 学生：是分式的加减运算。

教师：由这些实际问题可以发现，为了讨论数量关系有时需要进行分式的加减运算。如何进行分式的加减运算呢？今天我们就来探究分式的加减（板书课题）。反思：

教师创设合适的情境，生成课题，激发研究兴趣，明确学习目标，为打造高效课堂奠定了基础。

二、归纳探究，得出法则。

教师：根据你们已有的知识经验，能求出这两个式子的结果吗？动手做一做，不会的可以小组交流。（巡视，并且参与学生的交流）反思：

学生通过自主学习和合作交流才能形成知识，发展能力。学生这个自我获取、自我构建知识的过程尤为重要。所以在这里应给学生留足够的时间让学生自我发展、自我超越。（给有八分钟的时间）

教师：谁能说说你的答案？

学生：问题3的答案是：;问题4的答案是：.教师：你是怎样算出答案的？ 学生：通分后再加减。教师：为什么要先通分？

学生：因为分母不同，所以先通分。

教师：那就是说分式的加减可以分几种情况来做？ 学生：两种，同分母分式加减和异分母分式加减。

教师：你们能根据自主学习和交流的情况，说出分式加减法则吗？

学生：能。同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

教师：在我们归纳分式的加减法则时，你想到把它和分数的加减法则比较了吗？ 学生：没有。

教师：我们学习新知识时，常常要用到已有的知识经验，像刚才大家做分式的加减时可以类比分数的加减。反思：

类比这种学习方法在学生的学习过程中经常用到。因为学生已经有分数加减运算做基础，所以教学中要不失时机的渗透类比的数学方法。教师：怎样用式子表示这些法则？ 反思：

把文字语言与符合语言有机结合在一起，有利于学生熟练运用法则进行计算。学生：。

教师：（板书）

三、运用法则，进行计算。

教师：同学们对法则理解得很好，能否把法则灵活运用到计算中呢？咱们试试看。（把课本16页的例题板书到黑板上，让两名学生板演，其余学生在练习本上做。教师巡视，观察学生做题中出现的问题。）反思：

这样设计的目的是根据学生的做题情况，了解学生对法则的理解以及学生的计算能力，然后对症下药，查漏补缺，因材施教，随时调整教学内容、教学顺序。在做题过程中，发现找最简公分母对学生是个难点。教师：如何找最简公分母？

学生：系数找最小公倍数，所有字母和因式都找出来，次数取最高的。

教师：也就是系数要找最小公倍数，字母和因式要找所有的，字母和因式的指数要找最高的。分母是多项式的一定要先看看能不能分解因式。反思：

经过对最简公分母找法的复习，发现学生做题的正确率提高了许多。教师根据学生出现的问题，进行及时、恰当的点拨，让学生在做题中取得了经验和教训，使课堂学习达到了学习目标。这样就可以加快课堂学习的节奏。

教师：请大家继续进行分式的加减运算（做课本16页的第2题）。反思：

做完改完后，发现学生掌握得很好，决定把分式的混合运算也给学生说说。教师一定要灵活的组织课堂，能驾驭课堂，处理教学内容的能力游刃有余。

教师：大家已经学过实数的混合运算，那个运算顺序是怎样规定的？ 学生：先乘方，后乘除，最后算加减，有括号，先算括号里面的。教师：式与数有相同的混合运算顺序，你能说说吗？ 学生：先乘方，再乘除，然后加减。

教师：把课本17页的例8写到黑板上让学生做。反思：

学生做完后反馈纠正，效果很好，这堂课的目标已基本完成。

四、小结归纳，拓展延伸。教师：这节课你有那些收获？

学生：学会了分式的加减和分式的混合运算。教师：这节课用到了哪些数学思想？ 学生：细心、耐心。

教师：这是学习的思维品质或者说是学习习惯，本节课在学习分式的加减时类比分数的加减，在学习分式的混合运算时类比数的混合运算顺序，在进行异分母分式的加减时是先把它转化为同分母分式的加减，所以主要用到了类比和转化这两种数学思想方法。反思：

课标明确提出重要的数学思想必须使学生理解，当学生说不上时，教师要引导，这一点我还是有些急于求成。

教师：在黑板上写了两道有难度的题目让学生做。反思：

这两道题本来设计得就比较灵活，因为教师应具备根据学习情况缩减和增加内容的能力。教师可以将问题拓展延伸，也可以揭示知识间的逻辑关系，充分发挥学生的学习潜能，打造高效的课堂。

教师：指名讲第一题的做法。把第二题作为课余的作业。反思：

9.《分式》复习反思 篇九

“分式运算”教学中，学生在课堂上感觉不差，做作业或测试时却错处百出，尤其在分式的混合运算更是出错多、空白多、究其根源，均属于运算能力问题，因此在教学中应特别关注这一深层根源，并根据学生的实际情况寻找相应对策。

一、原因一：相互混淆张冠李戴

对策一：重视基本功克服典型错误。准确是运算的最基本要求，不少学生把粗心、马虎认为是自己出错的主要原因，其实，运算不准确，很大程度是由于对基本概念理解不深，对基本公式、法则不熟练造成的。就分式运算来说，我们常可以看到以下典型错误：1、对分式的基本性质不理解。2、对运算律缺乏认识。3、没有掌握有关运算的法则。要克服以上错误，就必须重视学生相应知识的理解和训练，把这些知识作为学好分式运算的基本功，做到分散解决、重点突破、及时检查、个别辅导，切不可让问题淤积，教学中应有预见性，尽可能在每次新课前帮助中下层生查缺补漏，对可能出现的普遍性错误重点讲解，以便引起学生的足够重视。

二、原因二：一日被蛇咬十年怕井绳

对策二：过好心理关提高学生的解题信心。分式运算(尤其是公式混合运算)，常常字母多、算式长，不少中下层学生对分式运算信心不足，甚至有畏难心理，一解就错，渐渐就害怕了。面对这类学生，提供“成功的机会，解除心理障碍，增强学生解题的自信心，是我们工作的着眼点。”1、应有全局观念，要有意识的把分式运算中各种容易出现的问题，力争在分式混合运算学习之前得到解决;2、应在课堂上营造轻松愉快的学习环境，提供适合各层次学生的练习，让中差生有一定比例的可做题，以增强他们的自信心，减轻他们的心理负担;3、应让学生明白，较复杂的分式运算只不过是几个简单运算的组合，并教会学生拆分的方法。如：即是解决好“先做哪里和怎么做”的问题;4、为照顾程度较差的.学生，必要时可以进行分步递进训练，不仅容易明白原题应先做括号内的减法，而且还容易发现括号内的两个分式可以化简;在作业批改时，应对学生出错之处加上批注，帮助学生分析出错的原因并及时加于辅导，对优生从严要求，对差生多加帮助，对学生解题中正确的成份给予充分肯定，尽量不要用“不对即错”去评价学生的作业。通过以上方法让学生觉得分式运算要做到会而准并不难，进而达到提高学生解题信心的目的。

三、原因三：一叶障目草率出击

对策三：过好审题关把握运算顺序。不少学生在分式运算中出错，是因为不重视审题，题没看完就动笔，或者受题中部分算式的特殊结构的影响而不遵循运算顺序，如化简，就常出现乱约分而不遵循运算顺序的典型错误，这类学生在有人提醒时，常常能顺利完成解题过程并获得正确答案，他们出错的根源是没有过好审题关。

分式运算的审题，我觉得至少包含以下几个方面内容的思考和分析：第一、全题包含了哪些运算;第二，各运算之间的先后顺序如何?第三，算式中有无应先整理的式子(如分数小数系数、多项式排列混乱、需要先因式分解等);第四，是否有简便方法;第五哪些地方容易忽视和出错。

四、原因四：墨守陈规错失良机

对策四：妙题求妙解优化解题过程激发学习兴趣。有些分式运算题有它的特殊性，按照常规的方法可能比较复杂甚至无法解决，有些同学，同样由于不重视审题、不善于发现题中的妙处，解题时墨守陈规，把本来很容易得出答案的题做得很复杂，甚至无功而返。要解决这一问题，除加强审题训练以外，必须培养学生不仅要有做对每一道题的信心，还要有出精品的意识，在优化解题过程的训练中，激发学生的学习兴趣,要求学生在审题中发现问题的特殊性，简便的求出答案。