用向量方法解立体几何题(老师用)

2024-10-07

用向量方法解立体几何题(老师用)（共3篇）

1.用向量方法解立体几何题(老师用) 篇一

例谈向量法解几何题的优越性

【文章摘要】本文着重通过例子说明应用向量法解答一些几何题的优越性。向量法解几何题可减少“确定角的位置”、“确定距离的位置”的论证过程，减少立体几何问题的论证、探求的难度。我们在教学中可引导学生创新出更多更好的思维和方法，提高学生的分析能力和创新能力。

【关键词】“向量法”、“几何问题”、“求角”、“求距离”。

【正文内容】

向量是新教材新增加的内容，高中阶段学的向量有平面向量和空间向量两部分，其中空间向量是平面向量的推广和拓展。有了向量，在数学，尤其是几何中的研究产生了较大的影响。向量作为一种工具，在一定程度上可以使空间的几何学代数化，数量化，可以为学生提供全新的视角，使学生形成一种新的思维方式。在研究解析几何、立体几何的问题中，向量，特别是向量的坐标表示，有独特的优越性。下面通过几个例子谈谈用向量来解决一些几何问题的优越性。

一、用向量进行证明

例1 证明：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。已知：m,n是平面内的两条相交直线,直线与的交点为B,且⊥m, ⊥n，求证: ⊥方法一(几何方法)分析:在内平移m,n,使它们都通过点B

.此时仍有⊥m, ⊥n, 过B点在内作任一条不与m,n重合的直线g,在上自点B起在平面的两侧分别截取BA=BA′,于是m,n都是线段AA′的垂直平分线,它们上面的点到A,A′的距离相等,如果我们能证明g也是AA′的垂直平分线即可。在g上任取一点E,过点E在线,分别与m,n相交于点D,C, 容易证明△CDA≌△CDA′

进而又可证明△CEA≌△CEA′ 于是EA=EA′，g⊥ 方法二(用向量)

内作不通过点B的直 1 证明:在内作不与m,n重合的任一条直线g ,在,m,n,g上取非零向量，，因m与n相交，得使，向量不共线，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x,y）, ∵∴ ∴l ∴g ∴l

方法二与方法一相比较, 方法二显得精练,简洁些,又不用作太多辅助线.二、用向量求距离

例2 如图，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都为60º。求AC1的长。

解：∵

∴ =(2=2)2 =

=1+1+1+2cos60º+2cos60º+2cos60º =6 ∴∴AC1的长为.三、用向量求角

用向量不仅可以求两向量夹角还可以求两异面直线所成角，线面所成的角，二面角，特别用向量求二面角更显示其优越性。值得注意的是：用cos<成角时，要注意异面直线所成角的范围（0º，90º）即当cos

>＝，求两异面直线所< 0时，异面直线a,b所成角是的补角。当然向量也可求直线与平面所成角等。这时也要注意，斜线与平面所成角范围（0º，90º），直线与平面所成角范围[0º，90º]。

求二面角平面角是高中阶段的一个难点,求此角的关键在于找出哪个角为所求,而用向量方法刚好可以避免找哪个角为所求角这一个关键.例3 如图所示,三棱锥A-BCD,AB大小.解: 如图建立空间直角坐标系O-xyz, ∵AB=BC=2BD,设BD=1 则AB=BC=2,DC= ,0),D(0,0,0)

若AB=BC=2BD,求二面角B-AC-D的A(1,0,2),B(1,0,0),C(0,设平面ABC的法向量为则

取平面ABC的法向量设平面ACD的法向量为则

取法向量 , cos<>= ，.四、用向量解解析几何问题

例4 椭圆的焦点为 F1、F2，点 P为动点，当∠F1PF2为钝角时，点 P 的横坐标的取值范围是。（2000年高考题）解：由椭圆方程知焦点F1（则），F2（），设点 P（x 0，y 0），∵ ∠F1PF2为钝角，∴cos∠F1PF2 = 即 ∴(x 0 +)(x 0，)+ y 02 < 0 即 x 02 + y 02 < 5 „„①

又 P(x 0，y 0)在椭圆上，∴ 即y02 = 4x 02 代入① 得： x 02 + 4x 02 < 5 所以 x 02 <，所以

即点 P的横坐标的取值范围是。

如果用常规的方法，用两点间距离公式才能将坐标与边长，用余弦定理将边长与角联系起来；但采取向量的方法可以大大减少繁琐的计算，使得解答过程简单明了。

当然，用向量解决以上问题并不是唯一的方法，但它是解决以上问题的一种有力工具。向量在高中数学中的优越性并不止这些，在此不一一列举了。掌握用向量方法解决问题，不仅可以达到问题解决的目的。还可以在解题过程中感受到成功的喜悦，何乐而不为呢？总之在解决问题的时候，要注意多角度考虑，应因时、因地制宜。这样做了，还会创新出更多更好的思路和方法。我们在教学中应注意引导学生加强知识之间的联系，提高学生的分析能力和创新意识。