六年级上册数学测试题

六年级上册数学测试题（精选8篇）

1.六年级上册数学测试题 篇一

要想在考试中考出理想的成绩，那么平常的练习就要认真的去做好。下面是小编整理收集的六年级数学上册测试题带答案，欢迎阅读参考！

一、直接写出得数。（每小题1分，共20分）

45+32=77 6+73=79 18+6=24 30+29=59 36+22+4= 6

225-4=21 46-30=16 49-9=40 39-39=0 8×3+6=30

37-0=37 0×3=0 4×7=28 5×3=15 53-3+9=59

8×8=64 66+35=101 70-8=62 9×3-7= 20 37-32-5=0

二、填空。（每空2分，共14分）

1、数学课本的宽大约是15厘米，(答案多元,10至20的数,均对)

100条1厘米长的线段一条接一条，接成一条长线段，这条长线段是 1 米。(1厘米×100=100厘米=1米)

2、小明有两件颜色不同的上衣和两条颜色不同的裤子，他可以有 4 种不同的穿法。(2×2=4)

3、三个小朋友，进行乒乓球比赛，每两人进行一次，一共要进行 3 次比赛。

在草稿纸上画示意图:

4、小明、小红、小丽三人玩拍球比赛，三人拍球的次数分别是36下、35下、33下，小明拍的次数最多，小丽拍了33下，小红拍了 35 下。

5、把“8+8+8+8+8”写成乘法算式是 5×8 或 8×5。

三、选择题，选择正确答案的序号填入括号内。（每小题2分，共10分）

1、下列图形中，轴对称图形是（②）。

分两种情况思考：

用一枝假想的笔在图形的中间,划一条竖直线,翻转右边的图形到左边,左右两部分图案能完全重合的为轴对称图形。

用一枝假想的笔在图形的中间,划一条水平直线,翻转下边的图形到上边,上下两部分图案能完全重合的为轴对称图形。

2、下列图形中，有二个直角的是（②）。

长方形有4个直角

3、下列线中，线段是（③）。

4、下列口诀中，只能用来计算一个乘法算式的是（④）。

①二三得六 ②四三十二 ③八九七十二 ④七七四十九

二三得六可以用来计算两个乘法算式：

2×3=6，3×2=6。

②四三十二 ③八九七十二，同理。

七七四十九。7×7=49，由于两因数相同，前后位置互换，结果不变。

5、下列计算正确的是（①）。

四、在 里填上+、-、×、＜、＞、＝。（共8分）

73-25 ＞45 54+4 ＜ 60 4 + 4=8 5×7 ＞

3248 58 3

590 =19+71 5 × 6=30 4 × 4=16 34-20 ＜ 15

1

4五、自己评价自己，一至九的乘法口诀，背得熟得8分，背得但不熟得6分，背得一部分得4分，背不得得2分，你认为你自己该得几分。（共8分）

答：我认为我该得_________分。

六、统计。（1、2、3小题每题4分，4小题1分，5小题2分，共15分）

1、数一数，把数的结果填在()内。

2、在方格内涂一涂。

3、哪样东西最多，在○内画√；哪样东西最少，在○内画×；哪两样东西一样多，在○内画△。

4、比

少（4）。

5、你还能想出一个数学问题吗？请列式计算。（答案多元）

电脑比铅笔多几个？

6-4=

2七、列式计算。（每小题3分，共9分）

1、5个7相加，和是多少？

7+7+7+7+7=35 或：5×7=352、8和9相乘，积是多少？

8×9=72 或：9×8=723、一个因数6，另一个因数是4，积是多少？

6×4=24 或：4×6=2

4八、用数学。（共16分，1、2小题每小题4分，3题8分）

1、小明有7张图片，小刚的图片张数是小明的5倍。小刚有几张图片？

7×5=35（张）

答：小刚有35张图片。

2、二年级2班上体育课，老师让23名同学打蓝球，19名同学做操。

① 全班共有多少个同学？ ②打蓝球的同学比做操的多几人？

（1）23+19=42（人）

（2）23-19=4（人）

答: 全班共有42个同学。打蓝球的同学比做操的多4人。

3、看图列式计算。

①

②

一共有多少人？ 一共有几只 ？

1至4排，每排有5人； 1至5行，每行有4只兔子；

第5排有4人。第6行有2只兔子。

可列如下算式： 可列如下算式：

5×4+4=24（人）5×4+2=22（只）

或：5×5-1=24（人）或：6×4-2=22（只）

答：一共有24人。答：一共有22只兔子。

2.六年级上册数学测试题 篇二

一、跳出“教材”教“教材”

翻开全新的《品德与社会》教材，处处体现着浓郁的生活气息。一个个生活场景，一个个鲜活的话题，无不来源于学生的现实生活。品德与社会的教学不再是简单的道德知识灌输，而是如何引导学生在生活中学习，在学习中生活。有效的品德与社会教学应该是从学生的现实生活出发，让学生在实际生活中了解社会、把握自我，并在与社会的互动中发展自己，提升自己。教材中的部分事例和画面内容不贴近学生的生活实际，有些事例要么是过于成人化，学生不感兴趣;要么是讲外省、外县、外乡的事，对学生没有亲和力。一些画面没时间、地点、真实姓名，或者不够全面，给学生造成一种“虚”的感觉，真实感不强。由此，在教学中，教师要学会灵活多样地来处理教材。例如，《我家住在新农村》一课的插图画面，它展示的是浙江新农村和城市的画面，对学生来说没有亲近感。教学时，可以用自己家乡农村的画面替代。又如，我在教学《民风、民俗与我们的生活》一课时，通过师生对家乡的文化习俗进行搜集、整理，开展“新平大不同”知识竞赛活动，激发了学生的学习兴趣，学生把学习当成了一件快乐有趣的事情。

二、注重“情感”和“体验”

新课程赋予《品德与社会》的内涵就是要关注每位学生的成长，培养他们有爱心、有责任感、有良好的行为习惯和个性品质。在教学中，如果脱离了学生真实的生活和内心体验，教育就成为苍白的说教。真实的生活体验是重要的课程资源，学生拥有了真实的生活体验，就拥有了自己真实的生活世界。在教学中，教师要努力为学生搭建心灵交流的平台。如教学《谁是最值得敬佩的人》时，可进行职业体验游戏。教师出示写有各种职业称谓的卡片，让学生随意抽取。20年后，如果你从事这个职业，你喜欢这个职业吗?为什么?有谁喜欢这个职业?假如你从事这个职业，你会怎么做?我们的幸福生活，离不开哪些人的辛勤劳动?假如缺少了他们当中任何一个行业的劳动，我们的生活会出现怎样的情形?

长期以来，我们在使用教材时，只注重知识的达成和传授，忽视了学生情感、态度和价值观的培养。因此，在教学中，教师要为教学内容添加一些情感色彩，增添一些人文因素，让学生在探索知识的过程中，主动经历丰富的情感体验，促进学生良好情感、态度和价值观的养成，为学生的持续发展注入不竭的动力。

三、注意知识点的挖掘和延伸

新课标指出，品德与社会有着非常强的社会性。它以儿童的社会生活为主线，逐步扩大的生活领域，结合社会生活、社会环境和社会关系，组织教学内容。它的的综合性非常强，涉及到的教学内容的要素是综合的，涉及到的社会领域是复杂的、交叉的。在教学每一课时，为了达到丰富学生的生活知识，让学生过美好生活，创造美好生活的教学目标，在教学时，有必要对一些知识点进行挖掘和延伸。例如，在教学《民风、民俗与我们的生活》一课时，对北京四合院的了解不能仅凭书上的内容，知道四合院的建筑与北京的历史、地理环境有关。结合北京举办奥运会，可以利用“走进北京四合院的情趣”视频，让学生边看边讨论、交流其中的内涵，可以让学生畅想住在北京四合院想做的事，补充外国人如何评价北京的四合院的资料。在教学《发展中的城市》时，可利用新闻报道“城市中发展的不和谐因素”引入，使学生有展望未来新城市的欲望，指导他们出金点子规划家乡，大胆畅想20年后的新城市。

3.六年级上册数学测试题 篇三

一、知识海洋细填空(每空1分，共16分)

1.一个数由3个百万、3个万、3个百组成，这个数是 ( )，读作( )。

2.天王星与太阳的距离为二十八亿九千二百万，写作()，四舍五入省略亿位后面的尾数约()。

3.□45×8＞2000(在□里填较小的一位数)

□05÷49＜6(在□里填较大的一位数)

4.小红爸爸每次给小红100元生活费，小红每天用13元，可以用()天，余()元。

5.1个周角=()个平角=()个直角=()°

6.张先生自驾车出差，车速90千米/时，从甲地到乙地行驶了4小时15分，两地相距大约()千米。

7.条形统计图分()式条形统计图和()式条形统计图。

二、是非曲直明判断(对的打“√”，错的“×”)(4分)

1.最小的自然数是1。()

2.100个100是1万。()

3.角的两条边叉开的越大，角越大。()

4.江伟骑自行车的速度达60千米/时。()

三、众说纷纭慎选择(选择正确答案的字母填在括号里)(8分)

1.在除法算式中，如果被除数不变，除数缩小10倍，那么商()。(被除数、除数都不为0)

六、生活数学活应用(共24分，1~4小题每题3分，第5小题8分，第6小题4分)

1.一台电话机76元，张主任带了600元，可以买几台电话机?还剩多少元?

2.王大爷养了48只狐狸，比养的兔子少240只，养兔子的只数是狐狸的几倍?

3.时令水果店共有3人，昨天共售出苹果36箱，每箱15千克，得货款3240元。平均每千克苹果多少元?

4.小轿车从广州到北京，如果车速120千米/时，需要行驶20小时，如果车速为100千米/时，需要行驶多少小时?

5.某县城乡小学生人数增减变化情况如下表，完成下面的统计图，并回答问题。

6.李大妈做早餐，洗碗要1分钟，洗米要2分钟，洗菜要3分钟，炒菜要5分钟，下楼买包子、馒头要10分钟，烧稀饭要20分钟(用全自动电饭煲)。李大妈怎样安排才能使全家人尽快吃上早饭？(写出过程)至少需要多少分钟?

(祝贺你全部做完了，认真检查一遍，成功是属于你的!)

4.六年级上册数学试题 篇四

六年级上册数学试题

六年级上册数学知识点

第一单元

分数乘法

（一）分数乘法意义：

1、分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。

“分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数，不能是分数。

2、一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。

“一个数乘分数”指的是第二个因数必须是分数，不能是整数。（第一个因数是什么都可以）

（二）分数乘法计算法则：

1、分数乘整数的运算法则是：分子与整数相乘，分母不变。

（1）为了计算简便能约分的可先约分再计算。（整数和分母约分）（2）约分是用整数和下面的分母约掉最大公因数。（整数千万不能与分母相乘，计算结果必须是最简分数）。

2、分数乘分数的运算法则是：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。（分子乘分子，分母乘分母）

（1）如果分数乘法算式中含有带分数，要先把带分数化成假分数再计算。

（2）分数化简的方法是：分子、分母同时除以它们的最大公因数。

（3）在乘的过程中约分，是把分子、分母中，两个可以约分的数先划去，再分别在它们的上、下方写出约分后的数。（约分后分子和分母必须不再含有公因数，这样计算后的结果才是最简单分数）。

（4）分数的基本性质：分子、分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。

（三）积与因数的关系：

一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。a×b=c,当b >1时，c>a。

一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数。a×b=c,当b<1时，c

一个数（0除外）乘等于1的数，积等于这个数。a×b=c,当b =1时，c=a。

在进行因数与积的大小比较时，要注意因数为0时的特殊情况。

（四）分数乘法混合运算

1、分数乘法混合运算顺序与整数相同，先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面的，再算括号外面的。

2、整数乘法运算定律对分数乘法同样适用；运算定律可以使一些计算简便。

乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)

乘法分配律：a×(b±c)=a×b±a×c

（五）倒数的意义：乘积为1的两个数互为倒数。

1、倒数是两个数的关系，它们互相依存，不能单独存在。单独一个数不能称为倒数。（必须说清谁是谁的倒数）

2、判断两个数是否互为倒数的唯一标准是：两数相乘的积是否为“1”。例如：a×b=1则a、b互为倒数。

3、求倒数的方法：

①求分数的倒数：交换分子、分母的位置。

②求整数的倒数：整数分之1。

③求带分数的倒数：先化成假分数，再求倒数。

④求小数的倒数：先化成分数再求倒数。

4、1的倒数是它本身，因为1×1=

10没有倒数，因为任何数乘0积都是0，且0不能作分母。

5、真分数的倒数是假分数，真分数的倒数大于1，也大于它本身。

假分数的倒数小于或等于1。带分数的倒数小于1。

（六）分数乘法应用题——用分数乘法解决问题

1、求一个数的几分之几是多少？（用乘法）

已知单位“1”的量，求单位“1”的量的几分之几是多少，用单位“1”的量与分数相乘。

2、巧找单位“1”的量：在含有分数（分率）的语句中，分率前面的量就是单位“1”对应的量，或者“占”“是”“比”字后面的量是单位“1”。

3、什么是速度？

速度是单位时间内行驶的路程。

速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 路程=速度×时间

单位时间指的是1小时1分钟1秒等这样的大小为1的时间单位，每分钟、每小时、每秒钟等。

4、求甲比乙多（少）几分之几？

多：（甲-乙）÷乙 少：（乙-甲）÷乙

第二单元

位置与方向

（二）1、什么是数对？

数对：由两个数组成，中间用逗号隔开，用括号括起来。括号里面的数由左至右为列数和行数，即“先列后行”。

数对的作用：确定一个点的位置。经度和纬度就是这个原理。

2、确定物体位置的方法：

（1）、先找观测点；（2）、再定方向（看方向夹角的度数）；（3）、最后确定距离（看比例尺）。

描绘路线图的关键是选好观测点，建立方向标，确定方向和路程。

位置关系的相对性：两地的位置具有相对性在叙述两地的位置关系时，观测点不同，叙述的方向正好相反，而度数和距离正好相等。

相对位置：东--西；南--北；南偏东--北偏西。

第三单元

分数的除法

一、分数除法的意义：分数除法是分数乘法的逆运算，已知两个数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。

二、分数除法计算法则：除以一个数（0除外），等于乘上这个数的倒数。

1、被除数÷除数=被除数×除数的倒数。

2、除法转化成乘法时，被除数一定不能变，“÷”变成“×”，除数变成它的倒数。

3、分数除法算式中出现小数、带分数时要先化成分数、假分数再计算。

4、被除数与商的变化规律：

①除以大于1的数，商小于被除数：a÷b=c 当b>1时，c

②除以小于1的数，商大于被除数：a÷b=c 当b<1时，c>a(a≠0 b≠0)

③除以等于1的数，商等于被除数：a÷b=c 当b=1时，c=a

三、分数除法混合运算

1、混合运算用梯等式计算，等号写在第一个数字的左下角。

2、运算顺序：

①连除：同级运算，按照从左往右的顺序进行计算；或者先把所有除法转化成乘法再计算；或者依据“除以几个数，等于乘上这几个数的积”的简便方法计算。加、减法为一级运算，乘、除法为二级运算。

②混合运算：没有括号的先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面，再算括号外面。

5.六年级数学上册期末检测试题 篇五

(时间：80分钟)

一、填空、

1. 20%=( )÷40=40：( )=( )(填小数)=25 ×( )

2. 把一根5米长的绳子平均分成6段，每段绳子是全长的( )，每段绳子长( )米。

3. 在一个长3厘米，宽2厘米的长方形内，剪一个最大的圆，这个圆的半径是( )厘米。

4. 帮“<”、“>”或“=”找家。

78×1.02○78 12.4×0.05○12.4 1÷512 ○1

5. 0.25的倒数是( )，( )与54 互为倒数。

6. 用圆规画一个直径为6厘米的圆，圆规两脚间的距离赢取( )厘米，所画圆的周长是( )厘米，面积是( )。

7. 甲数与乙数的20%相等，乙数是400，甲数是( )。

8. 甲乙两数的比是6:4，乙数除以甲数商是( )，甲数是两数和的( )%。

9. 两个正方形边长的比是3:4，周长比是( )，面积比是( )。

10. 明明读一本320页的书，第一天读了这本书的14 ，第二天应从第( )页开始读。

把骰子的6个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色，要求任意掷一次，出现黄面的可能性最大，( )个面应涂成黄色。

11. 一桶油分两次用完，第一次用去23 ，第二次用去23 千克，这桶油一共有( )千克。

12. 把一个直径是5厘米的圆分成若干等

份，然后把它剪开，照右图的样子拼

起来，拼成的图形的周长比原来圆的

周长增加了( )厘米。

13. 如图两个圆重叠部分的面积，相当于大圆

面积的111 ，相当于小圆面积的15 。小圆和

大圆的面积比是( )。

二、判断(对的打“√”，错的打“×”)。

1. 在圆内，最长的线段是直径。( )

2. 已知X×Y=1，那么X和Y互为倒数。( )

3. 走同一段路，甲用7分钟，乙用9分钟，甲和乙每分钟走的路程的比是7:9。( )

4. 比的前项扩大到原数的10倍，后项缩小到原数的110 ，比值不变。( )

5. 盒中有4只白球，5只红球，从中任意取出1个球，取出白球的可能性大。( )

6. 一批产品，合格的有120件，不合格的有30件，合格率是80%。( )

三、选择(将正确答案的序号填在括号里)。

1. 在3.13,314%，π这三个数中，最大的数是( )。

A、3.13 B、314% C、π D、无法确定

2. 3吨的57 和5吨的37 相比，有什么关系?( )。

A、3吨的57 重 B、5吨的37 重 C、同样重

3. 甲、乙两只相同的水杯，甲杯50克糖水中含糖5克;乙杯中先放入2克糖，再放入20克水，搅匀后，( )杯中的糖水甜一些。

A、甲杯 B、乙杯 C、一样甜 D、不确定

4. 在一张长16厘米，宽8厘米的长方形纸上剪一个面积最大的圆，这个圆的周长是( )厘米。

A、28.26 B、12.56 C、50.24 D、25.12

5. 用三段一样长的铁丝，分别围成一个三角形、一个正方形、一个圆形。在围成的图形中，( )的面积最大。

A、圆形 B、正方形 C、正三角形 D、无法确定

6. 如果A：B= 19 ，那么(A×9)：(B×9)=( )。

A、1 B、19 C、1：1

7. 120的14 相当于60的( )。

A、25% B、50% C、75% D、65%

8. 母女俩的年龄差是28岁，母女俩的年龄比是3:1，那么女儿是( )。

A、16岁 B、15岁 C、7岁 D、14岁

9. 一杯糖水，糖和水的比是1:16，喝掉12 后，糖和水的比是( )。

A、1:16 B、1:8 C、1:32

10. 用三张长3分米，宽2分米的长方形纸，分别剪出一个最大的圆、一个最大的正方形和一个最大的三角形。( )的面积最大。

A、正方形 B、圆 C、三角形

四、计算。

1. 直接写得数。

67 ÷3= 35 ×15= 2-37 = 1+2%=

78 ÷710 = 5÷23 = 43 ×75%= 78 ×4×87 =

16 +56 ×15 = 12 ×99+99×12 =

2. 化简比。

78:39 0.125：25% 0.3：59

3. 脱式计算。

(23 +415 ×56 )÷ 45 ÷﹝(35 +12 )×2﹞

4. 简便计算

78 ×56 +18 ÷65 36×(23 +16 -34 )

5. 解方程。

X÷18 =15×23 40%X-14 = 712

五、实践操作

1. 画一个直径为4厘米的半圆，

并计算出这个半圆的周长。

2. 在下面的方格中，画一个长方形，使长方形长与宽的比是3:2。

六、求下图中阴影部分的面积。(单位：厘米)

1. 2.

七、解决问题我能行。

1. 一只钢笔现价36元，比原价降低了17 ，原价是多少元?

2. 李奶奶家养鸡40只，养的鸭比鸡多35 ，鸭比鸡多多少只?

3. 王林参加射击比赛，打了20组子弹，每组10发。有10发子弹没有打中目标，请你算一算，王林射击的命中率是多少?

4. 修路队修一条路，第一天修了全长的14 ，第二天修了全长的15%，还剩下1200米没有修完，这条路一共长多少米?

5. 希望小学有学生720人，女生人数与男生人数的比是4:5，这所学校有男生多少人?

6. 青山果园有苹果树450棵。梨树的棵数是苹果树的23 ，同时又是桃树的45 ，梨树、桃树共有多少棵?

6.六年级数学上册第二单元测试题 篇六

一、认真填写。每空1分

1、14+14+14+……+14=()×()=()

2、56与()互为倒数;()的倒数是1;0。25的倒数是()。

3、512小时=()分720米=()厘米425吨=()千克

910米的23是()米;14公顷的45是()公顷。

4、16×()=713×()=1713—()=()×0。3=1

5、在○里填上“<”、“>”或“=”。

67×59○675米的16○1米的5678×119○78

13×○1349×214○8×189×23○23×9

6、12个相加的和是();24的.23是();()和14的积是12。

7、边长12分米的正方形的周长是()分米，面积是()平方分米。

8、看一本书，每天看全书的19，3天看了全书的()。

9、一堆沙土重吨，用去了13，用去了()吨，还剩总数的()()。

10、根据条件，把数量关系式补充完整。

(1)女生人数是男生的59。

()的人数×59=()的人数

(2)女生人数比男生少59。

7.六年级上册数学测试题 篇七

本大题共12小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1.已知R是实数集, ${\rm M}=\left\{x|\frac{2}{x}<1\right\},{\rm N}=\left\{y|y=\sqrt{x-1}\right\}$, 则N∪∁RM= ( ) .

(A) (1, 2) (B) [0, +∞)

(C) [0, 2] (D) [1, +∞)

2.在复平面内, 复数z=sin3+icos3 (i是虚数单位) 对应的点位于 ( ) .

(A) 第一象限 (B) 第二象限

(C) 第三象限 (D) 第四象限

3.已知函数f (x) 是定义在R上的奇函数, 且对任意x∈R有f (x) =f (2-x) 成立, 则f (2012) 的值为 ( ) .

(A) 0 (B) 1

(C) -1 (D) 2

4.下列命题不正确的是 ( ) .

(A) 如果一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的任意直线, 则两平面垂直

(B) 如果一个平面内的任一条直线都平行于另一个平面, 则两平面平行

(C) 如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行

(D) 如果两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直, 则这两条直线垂直

5以φ (x) 表示标准正态总体在区间 (-∞, x) 内取值的概率, 若随机变量ξ服从正态分布N (μ, σ2) , 则概率P (|ξ-μ|<σ) 等于 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})\phi (\mu +\sigma )-\phi (\mu -\sigma )(\text{B})\phi (1)-\phi (-1)\\ (\text{C})\phi \left(\frac{1-\mu }{\sigma }\right)(\text{D})2\phi (\mu +\sigma )\end{array}$

6.数据a1, a2, a3, …, an的标准差为2, 则数据2a1, 2a2, 2a3, …, 2an的方差为 ( ) .

(A) 16 (B) 8

(C) 4 (D) 2

7.圆周上给定10个点, 每两点连一条弦, 如果没有三条弦交于圆内一点, 那么, 这些弦在圆内一共有 ( ) 个交点.

(A) 4940 (B) 420

(C) 210 (D) 180

8.已知三棱锥的三视图如图1所示, 则它的外接球表面积为 ( ) .

(A) 16π (B) 8π

(C) 4π (D) 2π

9.已知$f(x)=\cos (\omega x+\frac{\text{π}}{3})(\omega >0)$的图象与y=1的图象的两相邻交点间的距离为π, 要得到y=f (x) 的图象, 只需把y=sinωx的图象 ( ) .

(A) 向左平移$\frac{5}{12}\text{π}$个单位

(B) 向右平移$\frac{5}{12}\text{π}$个单位

(C) 向左平移$\frac{7}{12}\text{π}$个单位

(D) 向右平移$\frac{7}{12}\text{π}$个单位

10.设O为△ABC的外心, 且$3\overrightarrow{{\rm O}A}+4\overrightarrow{{\rm O}B}+\overrightarrow{5{\rm O}C}=0$, 则△ABC的内角

$\begin{array}{l}C=().\\ (\text{A})\frac{\text{π}}{2}(\text{B})\frac{\text{π}}{3}\\ (\text{C})\frac{\text{π}}{4}(\text{D})\frac{\text{π}}{6}\end{array}$

11.函数$f(x)=-\frac{2}{3}x{}^3-ax{}^2+2bx(a,b\in \mathbf{R})$在区间[-1, 2]上单调递增, 则$\frac{b}{a}$的取值范围是 ( ) .

(A) (-∞, -1) ∪ (2, +∞)

(B) (2, +∞)

(C) (-∞, -1)

(D) (-1, 2)

12.已知$\frac{x{}^2}{a{}^2}+\frac{y{}^2}{b{}^2}=1(a>b>0)‚{\rm M}‚{\rm N}$是椭圆上关于原点对称的两点, P是椭圆上任意一点且直线PM, PN的斜率分别为k1和k2, k1k2≠0, 则|k1|+|k2|的最小值为1, 则椭圆的离心率为 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})\frac{\sqrt{2}}{2}(\text{B})\frac{\sqrt{2}}{4}\\ (\text{C})\frac{\sqrt{3}}{4}(\text{D})\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$

二、填空题:

本大题共4小题, 每小题4分, 共16分.把答案填在题中的横线上.

13. (理科) 在平面区域{ (x, y) |y≤-x2+2x, 且y≥0}内任意取一点P, 则所取的点P恰是平面区域{ (x, y) |y≤x, x+y≤2, 且y≥0}内的点的概率为______.

(文科) 已知x, y满足条件为常数, 若z=x+3y的最大值为8, 则k=______.

14. (理科) 一个算法的程序框图如图2所示, 若该程序输出的结果为$\frac{4}{5}$, 则判断框中应填入的条件是______.

(文科) 已知x>0, y>0, x+3y=1, 则$\frac{1}{x}+\frac{1}{3y}$的最小值是______.

15.将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”, 三棱锥的侧面和底面分别叫直角三棱锥的“直角面和斜面”, 过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”.已知直角三角形具有性质:“斜边的中线长等于斜边边长的一半.”仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质:“______.”

16.圆心在曲线$y=\frac{2}{x}(x>0)$上, 且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为____.

三、解答题:

本大题6小题, 共74分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分12分) 在△ABC中, 设$\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}.$

(Ⅰ) 求证:△ABC为等腰三角形;

(Ⅱ) 若$|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}|=2$, 且$B\in \left[\frac{\text{π}}{3},\frac{2\text{π}}{3}\right]$, 求$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}$的取值范围.

18. (本小题满分12分) (理科) 如图3, 四棱锥P—ABCD的底面ABCD是正方形, 侧棱PD⊥底面ABCD, PD=DC, E是PC的中点.

(Ⅰ) 证明:PA//平面BDE;

(Ⅱ) 求二面角B—DE—C的平面角的余弦值;

(Ⅲ) 在棱PB上是否存在点F, 使PB⊥平面DEF?证明你结论.

(文科) 在如图4所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中, 底面ABCD是边长为2的正方形, O为AC与BD的交点, $BB{}_1=\sqrt{2}‚{\rm M}$是线段B1D1的中点.

(Ⅰ) 求证:BM//平面D1AC;

(Ⅱ) 求三棱锥D1-AB1C的体积.

19. (本小题满分12分) (理科) 某高校从6名学生会干部 (其中男生4人, 女生2人) 中选3人参加2010年广州第16届亚运会志愿者.

(Ⅰ) 设所选3人中女生人数为ξ, 求ξ的分布列及数学期望;

(Ⅱ) 在男生甲被选中的情况下, 求女生乙也被选中的概率.

(文科) “世界睡眠日”定在每年的3月21日.2010年的世界睡眠日主题是“良好睡眠, 健康人生”, 以提高公众对健康睡眠的自我管理能力和科学认识.为此某校学生社团2010年3月13日到3月20日持续一周的在线调查, 共有200人参加调查, 现将数据整理分组如题中表格所示.

(Ⅰ) 求出频率分布表中①、②位置相应数据, 并在给定的坐标系中 (如图5) 补全频率分布直方图;

(Ⅱ) 睡眠时间小于8小时的概率是多少?睡眠时间的中位数可能落在哪一组? (写出理由)

(Ⅲ) 为了对数据进行分析, 采用了计算机辅助计算.分析中一部分计算见算法流程图 (如图6) , 求输出的S的值, 并说明S的统计意义.

20. (本小题满分12分) 在数列{an}中, 已知$a{}_1=1,a{}_2=\frac{1}{4}$, 且$a{}_{n+1}=\frac{(n-1)a{}_n}{n-a{}_n}(n=2,3,4,\cdots ).$

(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ) (理科) 求证:对一切n∈N*, 有${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a}{}_k^2<\frac{7}{6}.$

(文科) 令$b{}_n=\frac{1}{a{}_n\cdot a{}_{n+1}}(n\in \mathbf{{\rm N}}{}^{*})$, 求数列{bn}的前n项和Tn.

21. (本小题满分12分) 已知F1、F2分别为椭圆C1:$\frac{y{}^2}{a{}^2}+\frac{x{}^2}{b{}^2}=1(a>b>0)$的上、下焦点, 其中F1也是抛物线C2:x2=4y的焦点, 点M是C1与C2在第二象限的交点, 且$|{\rm M}F{}_1|=\frac{5}{3}.$

(Ⅰ) 求椭圆C1的方程;

(Ⅱ) 已知A (b, 0) , B (0, a) , 直线y=kx (k>0) 与AB相交于点D, 与椭圆C1相交于E、F两点.求四边形AEBF面积的最大值.

22. (本小题满分14分) (理科) 设函数f (x) =xn (n≥2, n∈N*) .

(Ⅰ) 若Fn (x) =f (x-a) +f (b-x) (0<a<x<b) , 求Fn (x) 的取值范围;

(Ⅱ) 若Fn (x) =f (x-b) -f (x-a) , 对任意n≥a ( 2≥a>b>0) ,

证明:F′n (n) ≥n (a-b) (n-b) n-2.

(文科) 已知函数f (x) =x3-bx2+2cx的导函数的图象关于直线x=2对称.

(Ⅰ) 求b的值;

(Ⅱ) 若函数f (x) 无极值, 求c的取值范围;

(Ⅲ) 若f (x) 在x=t处取得极小值, 记此极小值为g (t) , 求g (t) 的定义域和值域.

参考答案

1.B.因为${\rm M}=\left\{x|\frac{2}{x}<1\right\}=\left\{x|x>2\text{或}x<0\right\},\complement {}_R{\rm M}=[0,2],{\rm N}=\{y|y=\sqrt{x-1}\}=[0,+\infty )$, 故N∪∁MR=[0, +∞) , 选B.

2.D.因为$\frac{\text{π}}{2}<3<\text{π}$, 所以cos3<0, sin3>0, 故点 (sin3, cos3) 在第四象限, 选D.

3.A.由题意知, f (x+2) =f[2- (x+2) ]=f (-x) =-f (x) , 则f (x+4) =-f (x+2) =f (x) , 所以f (x) 是周期为4的周期函数.又函数f (x) 是定义在R上的奇函数, 所以由函数的周期性得f (2012) =f (0) =0, 故选A.

4.D.A命题符合线面垂直及面面垂直的判定定理, 所以正确;B命题属于线面平行及面面平行的判定;C命题是线面平行的性质定理;D命题“两条不同的直线在一平面内的射影互相垂直”, 这两条直线可能相交、异面, 但不一定垂直, 比如正四棱锥的两条相对侧棱.

$5.\text{B}.{\rm P}(|\xi -\mu |<\sigma )={\rm P}(\sigma +\mu )-{\rm P}(\mu -\sigma )=\phi \left(\frac{\sigma +\mu -\mu }{\sigma }\right)-\phi \left(\frac{\mu -\sigma -\mu }{\sigma }\right)=\phi (1)-\phi (-1)$, 故选B.

6.A.数据2a1, 2a2, 2a3, …, 2an的平均值是数据a1, a2, a3, …, an平均值的2倍, 所以由标准差及方差的公式容易得, 2a1, 2a2, 2a3, …, 2an的方差为16.

7.C.圆周上任意四点构成一个四边形, 四边形的两条对角线的交点必在圆内, 所以四边形的个数与每两条弦的交点数相等, 故有$\text{C}{}_{10}^4=\frac{10\times 9\times 8\times 7}{1\times 2\times 3\times 4}=210$个交点. 故选C.

8.C.由三视图形成直观图, 如图所示, 可知面ACD⊥面$BCD‚BD=1‚BC=\sqrt{3}‚\therefore CD=2‚B{\rm O}{}_1=1$.设三棱锥外接球的半径为R.

在Rt△BOO1中, 由勾股定理知, OB2=BO${}_1^2$+O1O2, 即R2=12+ (1-R) 2, 解之, 得R=1, 所以球的表面积为4π.

9.A.依题意知, y=f (x) 的最小正周期为π, 故ω=2.因为$y=\cos (2x+\frac{\text{π}}{3})=\sin (2x+\frac{\text{π}}{3}+\frac{\text{π}}{2})=\sin (2x+\frac{5\text{π}}{6})$, 所以把y=sin2x的图象向左平移$\frac{5}{12}\text{π}$个单位即可得到$y=\cos (2x+\frac{\text{π}}{3})$的图象.选A.

另解:把y=sin2x的图象向左平移$\frac{\text{π}}{4}$个单位, 可得到y=cos2x的图象, 再把y=cos2x的图象向向左平移$\frac{\text{π}}{6}$个单位, 即可得到$y=\cos (2x+\frac{\text{π}}{3})$的图象, 共向左平移$\frac{5\text{π}}{12}$个单位.

10.C.由$3\overrightarrow{{\rm O}A}+4\overrightarrow{{\rm O}B}+5\overrightarrow{{\rm O}C}=0$, 得

$3\overrightarrow{{\rm O}A}+4\overrightarrow{{\rm O}B}=-5\overrightarrow{{\rm O}C}.$

两边平方, 得

$25\overrightarrow{{\rm O}C}{}^2=9\overrightarrow{{\rm O}A}{}^2+16\overrightarrow{{\rm O}B}{}^2+24\overrightarrow{{\rm O}A}\cdot \overrightarrow{{\rm O}B}.$

又OA2=OB2=OC2, 所以$\overrightarrow{{\rm O}A}•\overrightarrow{{\rm O}B}=0$, 所以$\angle A{\rm O}B=\frac{\text{π}}{2}$, 从而角C为$\frac{\text{π}}{4}$, 故选C.

11.A.由题可知, f ′ (x) =-2x2-2ax+2b>0 在 (-1, 2) 上恒成立, 即x2+ax-b<0在 (-1, 2) 上恒成立.

故

如图, $\frac{b}{a}$的几何意义为图中阴影部分内的点与原点连线的斜率.故选A.

12.D.首先证明:$|k{}_{1}k{}_2|=\frac{b{}^2}{a{}^2}$.设M (x0, y0) , N (-x0, -y0) , P (x, y) .由题意知, $k{}_{{\rm P}{\rm M}}=\frac{y-y{}_0}{x-x{}_0}‚k{}_{{\rm P}{\rm N}}=\frac{y+y{}_0}{x+x{}_0}‚\therefore k{}_{{\rm P}{\rm M}}\cdot k{}_{{\rm P}{\rm N}}=\frac{y-y{}_0}{x-x{}_0}\times \frac{y+y{}_0}{x+x{}_0}=\frac{y{}^2-y{}_0^2}{x{}^2-x{}_0^2}.$

又点P、M在椭圆上,

两式相减得$|k{}_{1}k{}_2|=\frac{b{}^2}{a{}^2}.$

所以$|k{}_1|+|k{}_2|\ge \frac{2b}{a}=1,\frac{b}{a}=\frac{1}{2},e=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

故选D.

13. (理科) $\frac{3}{4}$.依题意及几何概型的求法知,

(文科) -6.由可行域可知, 目标函数z的最大值在y=x与2x+y+k=0的交点处取得, 联立方程组可得交点

$\begin{array}{l}(-\frac{k}{3},-\frac{k}{3})‚\\ \therefore z=-\frac{k}{3}-k=-\frac{4}{3}k=8,\therefore k=-6.\end{array}$

14. (理科) “i<5 或sum<4 ”.由循环体可知, 当sum=1时, $s=0+\frac{1}{1\times 2}$;当sum=2时, $s=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\times 3}=\frac{2}{3}$;…;当sum=4时, $s=\frac{3}{4}+\frac{1}{4\times 5}=\frac{4}{5}$.因此, 判断框中应填“i<5 ”或“sum<4 ”.

(文科) 4.已知x+3y=1, 则$\frac{1}{x}+\frac{1}{3y}=\frac{x+3y}{x}+\frac{x+3y}{3y}=2+\left(\frac{3y}{x}+\frac{x}{3y}\right)\ge 2+2\sqrt[]{1}=4$, 当且仅当$x=\sqrt{3}y$时, 等号成立.

15.在直角三棱锥中, 斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一.

16. (x-1) 2+ (y-2) 2=5.设圆心为$\left(a,\frac{2}{a}\right)(a>0)$, 则$r=\frac{\left|2a+\frac{2}{a}+1\right|}{\sqrt{5}}\ge \frac{\left|2\sqrt[]{2a\cdot \frac{2}{a}}+1\right|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$, 当且仅当a=1时等号成立.当r最小时, 圆的面积S=πr2最小, 此时圆的方程为 (x-1) 2+ (y-2) 2=5.

$\begin{array}{l}17.\text{解}:(\mathrm{Ⅰ})\because \overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{AB}‚\\ \therefore \overrightarrow{CA}\cdot \left(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}\right)=0‚\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{又}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=0‚\text{则}\overrightarrow{CA}=-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})‚\\ \therefore -(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB})=0‚\\ \therefore \overrightarrow{AB}{}^2=\overrightarrow{BC}{}^2,\text{即}|AB|=|BC|,\end{array}$

所以△ABC为等腰三角形.

注:本问也可以由$\overrightarrow{CA}\cdot (\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB})=0$, 即$\overrightarrow{CA}\cdot (\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA})=0$, 得△ABC的边AC与其上的中线垂直, 故△ABC为等腰三角形.

(Ⅱ) 因为$B\in \left[\frac{\text{π}}{3},\frac{2\text{π}}{3}\right]$, 则$\cos B\in \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$, 设$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=a$, 又$|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}|=2$, 平方整理得$a{}^2=\frac{2}{1+\text{c}\text{o}\text{s}B}$,

则$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=a{}^2\cos B=\frac{2\text{c}\text{o}\text{s}B}{1+\text{c}\text{o}\text{s}B}=2-\frac{2}{1+\text{c}\text{o}\text{s}B}.$

又$\cos B\in \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$,

所以$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}\in \left[-2,\frac{2}{3}\right].$

18. (理科) 解: (Ⅰ) 以D为坐标原点, 分别以DA, DC, DP所在直线为x轴, y轴, z轴建立空间直角坐标系, 设PD=DC=2, 则$A(2‚0‚0)‚{\rm P}(0‚0‚2)‚E(0‚1‚1)‚B(2‚2‚0)‚\overrightarrow{{\rm P}A}=(2,0,-2),\overrightarrow{DE}=(0,1,1),\overrightarrow{DB}=(2,2,0).$

设n1= (x, y, z) 是平面BDE的一个法向量,

则由

又PA⊄平面BDE, ∴PA//平面BDE.

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知, n1= (1, -1, 1) 是平面BDE的一个法向量, 又$\mathit{n}{}_2=\overrightarrow{DA}=(2‚0‚0)$是平面DEC的一个法向量. 设二面角B—DE—C的平面角为θ, 由图可知

$\begin{array}{l}\theta =\langle \mathit{n}{}_1,\mathit{n}{}_2\rangle ‚\\ \therefore \cos \theta =\cos \langle \mathit{n}{}_1‚\mathit{n}{}_2\rangle =\frac{\mathit{n}{}_1\cdot n{}_2}{|\mathit{n}{}_1|\cdot |\mathit{n}{}_2|}=\frac{2}{\sqrt{3}\times 2}\\ =\frac{\sqrt{3}}{3}‚\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{故}\text{二}\text{面}\text{角}B—DE—C\text{的}\text{余}\text{弦}\text{值}\text{为}\frac{\sqrt{3}}{3}.\\ (\mathrm{Ⅲ})\because \overrightarrow{{\rm P}B}=(2,2,-2),\overrightarrow{DE}=(0,1,1)‚\\ \therefore \overrightarrow{{\rm P}B}\cdot \overrightarrow{DE}=0+2-2=0,\therefore {\rm P}B\perp DE.\end{array}$

假设棱PB上存在点F, 使PB⊥平面DEF.

设$\overrightarrow{{\rm P}F}=\lambda \overrightarrow{{\rm P}B}(0<\lambda <1)$,

$\begin{array}{l}\text{则}\overrightarrow{{\rm P}F}=(2\lambda ,2\lambda ,-2\lambda ),\\ \overrightarrow{DF}=\overrightarrow{D{\rm P}}+\overrightarrow{{\rm P}F}=(2\lambda ,2\lambda ,2-2\lambda )‚\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{由}\overrightarrow{{\rm P}F}\cdot \overrightarrow{DF}=0\text{得}4\lambda {}^2+4\lambda {}^2-2\lambda (2-2\lambda )=0‚\\ \therefore \lambda =\frac{1}{3}\in (0,1)‚\text{此}\text{时}{\rm P}F=\frac{1}{3}{\rm P}B‚\end{array}$

即在棱PB上存在点$F‚{\rm P}F=\frac{1}{3}{\rm P}B$, 使得PB⊥平面DEF.

(文科) 解: (Ⅰ) 如图, 连结D1O.

∵O, M分别是BD, B1D1的中点, BD1D1B是矩形,

∴四边形D1OBM是平行四边形,

∴D1O//BM.

∵D1O⊂平面D1AC, BM⊄平面D1AC,

∴BM//平面D1AC.

(Ⅱ) 连结OB1.∵正方形ABCD的边长为$2‚BB{}_1=\sqrt{2}‚\therefore B{}_{1}D{}_1=2\sqrt[]{2}‚{\rm O}B{}_1=2‚D{}_1{\rm O}=2$,

则OB${}_1^2$+D1O2=B1D${}_1^2$, ∴OB1⊥D1O.

又∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中, AC⊥BD, AC⊥D1D, 且BD∩D1D=D,

∴AC⊥平面BDD1B1.

又D1O⊂平面BDD1B1,

∴AC⊥D1O.

又AC∩OB1=O,

∴D1O⊥平面AB1C,

即D1O为三棱锥D1-AB1C的高.

$\begin{array}{l}\because S{}_{△AB{}_{1}C}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot {\rm O}B{}_1=\frac{1}{2}\times 2\sqrt[]{2}\times 2\\ =2\sqrt[]{2}‚D{}_1{\rm O}=2‚\\ \therefore V{}_{D{}_1-AB{}_{1}C}=\frac{1}{3}\cdot S{}_{\Delta AB{}_{1}C}\cdot D{}_1{\rm O}\\ =\frac{1}{3}\times 2\sqrt[]{2}\times 2=\frac{4}{3}\sqrt[]{2}.\end{array}$

另解:从等积变换的角度作如下考虑:

$\begin{array}{l}V{}_{D{}_1-AB{}_{1}C}=V{}_{D{}_1-A{\rm O}B{}_1}+V{}_{D{}_1-CB{}_1{\rm O}}\\ =V{}_{A-{\rm O}B{}_{1}D{}_1}+V{}_{C-{\rm O}B{}_{1}D{}_1}\\ =\frac{1}{3}\cdot S{}_{△{\rm O}B{}_{1}D{}_1}({\rm O}A+{\rm O}C)\\ =\frac{1}{3}\cdot AC\cdot S{}_{△{\rm O}B{}_{1}D{}_1}\\ =\frac{1}{3}\cdot 2\sqrt[]{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt[]{2}\cdot \sqrt[]{2}=\frac{4}{3}\sqrt[]{2}.\end{array}$

19. (理科) (Ⅰ) 解:ξ的所有可能取值为0, 1, 2.

$\begin{array}{l}\text{依}\text{题}\text{意}\text{知}‚{\rm P}(\xi =0)=\frac{\text{C}{}_4^3}{\text{C}{}_6^3}=\frac{1}{5}‚\\ {\rm P}(\xi =1)=\frac{\text{C}{}_4^2\text{C}{}_2^1}{\text{C}{}_6^3}=\frac{3}{5}‚{\rm P}(\xi =2)=\frac{\text{C}{}_4^1\text{C}{}_2^2}{\text{C}{}_6^3}=\frac{1}{5}.\end{array}$

∴ξ的分布列为:

$\therefore E\xi =0\times \frac{1}{5}+1\times \frac{3}{5}+2\times \frac{1}{5}=1.$

(Ⅱ) 解法1:设“男生甲被选中”为事件A, “女生乙被选中”为事件B,

$\begin{array}{l}\text{则}{\rm P}(A)=\frac{\text{C}{}_5^2}{\text{C}{}_6^3}=\frac{1}{2}‚{\rm P}(AB)=\frac{\text{C}{}_4^1}{\text{C}{}_6^3}=\frac{1}{5}‚\\ \therefore {\rm P}(B|A)=\frac{{\rm P}(AB)}{{\rm P}(A)}=\frac{2}{5}.\end{array}$

故在男生甲被选中的情况下, 女生乙也被选中的概率为$\frac{2}{5}.$

解法2:设“男生甲被选中的情况下, 女生乙也被选中”为事件C, 从4个男生、2个女生中选3人, 男生甲被选中的种数为C${}_5^2$=10, 男生甲被选中, 女生乙也被选中的种数为

$\begin{array}{l}\text{C}{}_4^1=4‚\\ \therefore {\rm P}(C)=\frac{\text{C}{}_4^1}{\text{C}{}_5^2}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.\end{array}$

故在男生甲被选中的情况下, 女生乙也被选中的概率为$\frac{2}{5}.$

(文科) 解: (Ⅰ) ①为60;②为0.26.

频率分布直方图如图所示.

(Ⅱ) 睡眠时间小于8小时的概率是

p=0.04+0.26+0.30+0.28=0.88.

因中位数在频率分布直方图中使得在它左右两侧的直方图的面积相等, 又前两组的频率和为0.3, 前三组的频率和为0.6, 故中位数落在第三组.

(注:不写理由, 直接给出结果扣1分)

(Ⅲ) 首先要理解直到型循环结构图的含义, 输入m1, f1的值后, 由赋值语句S=S+mi·fi可知, 流程图进入一个求和状态.即T6=4.5×0.04+5.5×0.26+6.5×0.30+7.5×0.28+8.5×0.10+9.5×0.02=6.70, 则输出的S为6.70.

S的统计意义是指参加调查者的平均睡眠时间, 从统计量的角度来看, 即是睡眠时间的平均 (期望) 值.

20.解: (Ⅰ) 由已知, 对n≥2

有$\frac{1}{a{}_{n+1}}=\frac{n-a{}_n}{(n-1)a{}_n}=\frac{n}{(n-1)a{}_n}-\frac{1}{n-1}$,

两边同除以n, 得

即$\frac{1}{na{}_{n+1}}-\frac{1}{(n-1)a{}_n}=-(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})$,

$\begin{array}{l}\text{于}\text{是}‚{\displaystyle \sum _{k=2}^{n-1}\left[\frac{1}{ka{}_{k+1}}-\frac{1}{(k-1)a{}_k}\right]}=\\ -{\displaystyle \sum _{k=2}^{n-1}\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)}=-(1-\frac{1}{n-1})‚\end{array}$

即$\frac{1}{(n-1)a{}_n}-\frac{1}{a{}_2}=-(1-\frac{1}{n-1}),n\ge 2$,

$\begin{array}{l}\text{所}\text{以}\frac{1}{(n-1)a{}_n}=\frac{1}{a{}_2}-(1-\frac{1}{n-1})=\frac{3n-2}{n-1}‚\\ a{}_n=\frac{1}{3n-2},n\ge 2.\end{array}$

又n=1时, 公式也成立,

故$a{}_n=\frac{1}{3n-2},n\in \mathbf{{\rm N}}{}^{*}.$

(Ⅱ) (理科) 当k≥2, 有$a{}_k^2=\frac{1}{(3k-2){}^2}<\frac{1}{(3k-4)(3k-1)}=\frac{1}{3}(\frac{1}{3k-4}-\frac{1}{3k-1})$,

所以n≥2时, 有

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a}{}_k^2=1+{\displaystyle \sum _{k=2}^{n}a}{}_k^2<1+\frac{1}{3}\cdot \\ \left[(\frac{1}{2}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{8})+\cdots +(\frac{1}{3n-4}-\frac{1}{3n-1})\right]\\ =1+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3n-1}\right)<1+\frac{1}{6}=\frac{7}{6}.\end{array}$

又n=1时, $a{}_1^2=1<\frac{7}{6}.$

故对一切n∈N*, 有${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a}{}_k^2<\frac{7}{6}.$

(文科) $\because b{}_n=\frac{1}{a{}_n\cdot a{}_{n+1}}(n\in \mathbf{{\rm N}}{}^{*})$,

$\begin{array}{l}\text{由}a{}_n=\frac{1}{3n-2},n\in \mathbf{{\rm N}}{}^{*},\\ \therefore b{}_n=\frac{1}{a{}_n\cdot a{}_{n+1}}=\frac{1}{(3n-2)\cdot (3n+1)}\\ =\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}\right)‚\end{array}$

$\begin{array}{l}\therefore \text{数}\text{列}\{b{}_n\}\text{的}\text{前}n\text{项}\text{和}{\rm T}{}_n=\frac{1}{3}\cdot \left[\left(1-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{7}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}\right)\right]\\ =\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3n+1}\right)=\frac{n}{3n+1}‚\end{array}$

即数列的{bn}的前n项和${\rm T}{}_n=\frac{n}{3n+1}.$

21.解: (Ⅰ) 方法1:由C2:x2=4y知, F1 (0, 1) , 设M (x0, y0) (x0<0) ,

因M在抛物线C2上, 故x02=4y0. ①

又$|{\rm M}F{}_1|=\frac{5}{3}$, 则$y{}_0+1=\frac{5}{3}②$

由①②解得$x{}_0=-\frac{2\sqrt[]{6}}{3},y{}_0=\frac{2}{3}.$

椭圆C1的两个焦点F1 (0, 1) , F2 (0, -1) , 点M椭圆上,

由椭圆定义得

$\begin{array}{l}2a=|{\rm M}F{}_1|+|{\rm M}F{}_2|\\ =\sqrt{\left(-\frac{2\sqrt[]{6}}{3}-0\right){}^2+\left(\frac{2}{3}-1\right){}^2}+\\ \sqrt{\left(-\frac{2\sqrt[]{6}}{3}-0\right){}^2+\left(\frac{2}{3}+1\right){}^2}=4‚\end{array}$

∴a=2.又c=1, ∴b2=a2-c2=3,

∴椭圆C1的方程为$\frac{y{}^2}{4}+\frac{x{}^2}{3}=1.$

方法2:由C2:x2=4y知, F1 (0, 1) , 设M (x0, y0) (x0<0) , 因M在抛物线C2上, 故x02=4y0.①

又$|{\rm M}F{}_1|=\frac{5}{3}$, 则$y{}_0+1=\frac{5}{3}.②$

由①②解得$x{}_0=-\frac{2\sqrt[]{6}}{3},y{}_0=\frac{2}{3}.$

而点M椭圆上, 故有$\frac{\left(\frac{2}{3}\right){}^2}{a{}^2}+\frac{\left(\frac{2\sqrt[]{6}}{3}\right){}^2}{b{}^2}=1$,

即$\frac{4}{9a{}^2}+\frac{8}{3b{}^2}=1.③$

又c=1, 则b2=a2-1. ④

由③④可解得a2=4, b2=3,

∴椭圆C1的方程为$\frac{y{}^2}{4}+\frac{x{}^2}{3}=1.$

(Ⅱ) 由题知, 直线AB的方程为$\frac{x}{\sqrt{3}}+\frac{y}{2}=1$, 即$2x+\sqrt{3}y-2\sqrt[]{3}=0.$

设E (x1, kx1) , F (x2, kx2) , 其中x1<x2.

将y=kx代入$\frac{y{}^2}{4}+\frac{x{}^2}{3}=1$中,

可得$x{}^2=\frac{12}{3k{}^2+4}$,

即$x{}_2=-x{}_1=\frac{2\sqrt[]{3}}{\sqrt{3k{}^2+4}}$

点E到直线AB的距离为

$\begin{array}{l}d{}_1=\frac{|2x{}_1+\sqrt[]{3}kx{}_1-2\sqrt[]{3}|}{\sqrt{7}}\\ =\frac{2\sqrt[]{3}(2+\sqrt{3}k+\sqrt{3k{}^2+4})}{\sqrt{7(3k{}^2+4)}}.\end{array}$

同理, 可得点F到直线AB的距离为

$\begin{array}{l}d{}_2=\frac{|2x{}_1+\sqrt{3}kx{}_1+2\sqrt[]{3}|}{\sqrt{7}}\\ =\frac{2\sqrt[]{3}(2+\sqrt{3}k-\sqrt{3k{}^2+4})}{\sqrt{7(3k{}^2+4)}}.\end{array}$

又$|AB|=\sqrt{4+3}=\sqrt{7}$, 所以四边形AEBF面积$S=\frac{1}{2}|AB|\cdot (d{}_1+d{}_2)=\frac{2\sqrt[]{3}(2+\sqrt{3}k)}{\sqrt{3k{}^2+4}}.$

$\begin{array}{l}\text{从}\text{而}S{}^2=\frac{12(3k{}^2+4+4\sqrt[]{3}k)}{3k{}^2+4}\\ =12(1+\frac{4\sqrt[3]{}k}{3k{}^2+4})\le 12\times (1+1)=24‚\end{array}$

当且仅当$2=\sqrt{3}k$, 即$k=\frac{2\sqrt[]{3}}{3}$时, 等号成立.

此时四边形面积的最大值为$S{}_{\max }=2\sqrt[]{6}.$

另解:将四边形分为△AEF和△BEF, A, B到EF的距离可求出$d{}_A=\frac{kb}{\sqrt{k{}^2+1}}‚d{}_B=\frac{a}{\sqrt{k{}^2+1}}‚EF$也可求出,

$\begin{array}{l}EF=\sqrt{k{}^2+1}\sqrt[]{\frac{48}{4+3k{}^2}}‚\\ \therefore S{}_{△EBF}=S{}_{△AEF}+S{}_{△BEF}\\ =\frac{1}{2}\cdot EF\cdot (d{}_A+d{}_B)\\ =2\sqrt[]{3}\cdot \frac{a+kb}{\sqrt{k{}^2+1}}\cdot \sqrt{k{}^2+1}\cdot \frac{1}{\sqrt{4+3k{}^2}}\\ =2\sqrt[]{3}\cdot \frac{2+\sqrt{3}k}{\sqrt{4+3k{}^2}}\\ \le 2\sqrt[]{3}\cdot \frac{2+\sqrt{3}k}{\sqrt{2\cdot \left(\frac{2+\sqrt{3}k}{2}\right){}^2}}\\ =2\sqrt[]{3}\cdot \sqrt[]{2}=2\sqrt[]{6}‚\end{array}$

即$S{}_{\max }=2\sqrt[]{6}.$

22.解: (理科) (Ⅰ) ∵Fn (x) =f (x-a) +f (b-x) = (x-a) n+ (b-x) n,

∴F′n (x) =n (x-a) n-1+n (b-x) n-1· (-1)

=n[ (x-a) n-1- (b-x) n-1].

令F′n (x) =0, 得 (x-a) n-1= (b-x) n-1.

∵0<a<x<b,

∴f (x) =xn (n≥2, n∈N+) 为单调递增函数,

$\therefore x=\frac{a+b}{2}.$

$\begin{array}{l}\therefore F{}_n(x){}_{\min }=F{}_n(\frac{a+b}{2})=(\frac{b-a}{2}){}^n+(\frac{b-a}{2}){}^n\\ =\frac{(b-a){}^n}{2{}^{n-1}}.\end{array}$

又Fn (x) 在x=a, x=b处连续且

即Fn (x) 的取值范围为$[\frac{(b-a){}^n}{2{}^{n-1}}‚(b-a){}^n).$

则F′n (n) =n[ (n-b) n-1- (n-a) n-1].

∵当x≥a>0时, F′n (x) >0,

∴当x≥a>0时, Fn (x) 是关于x的增函数.

$\begin{array}{l}\therefore \text{当}n\ge a\text{时}‚(n+1-b){}^n-(n+1-a){}^n＞(n-b){}^n-(n-a){}^n＞0‚\\ \therefore F^{\prime }{}_{n+1}(n+1)=(n+1)[(n+1-b){}^n-(n+1-a){}^n]＞(n+1)[(n-b){}^n-(n-a){}^n]＞(n+1)[(n-b)(n-b){}^{n-1}-(n-b)(n-a){}^{n-1}]\\ =(n+1)(n-b)\frac{n}{n}[(n-b){}^{n-1}-(n-a){}^{n-1}]\\ =\frac{n+1}{n}(n-b)\cdot F^{\prime }{}_n(n)‚\end{array}$

而F′n (n) >0,

于是$\frac{F^{\prime }{}_{n+1}(n+1)}{F^{\prime }{}_n(n)}＞\frac{n+1}{n}\cdot (n-b).$

当n≥3时,

$\begin{array}{l}{F}^{\prime }{}_n(n)=\frac{F^{\prime }{}_n(n)}{F^{\prime }{}_{n-1}(n-1)}\cdot \frac{F^{\prime }{}_{n-1}(n-1)}{F^{\prime }{}_{n-2}(n-2)}\cdot \cdots \cdot \frac{F^{\prime }{}_3(3)}{F^{\prime }{}_2(2)}\cdot F^{\prime }{}_2(2)＞\\ \frac{n}{n-1}\cdot \frac{n-1}{n-2}\cdot \cdots \cdot \frac{3}{2}\cdot 2(a-b)\cdot (n-b){}^{n-2}\\ =n(a-b)(n-b){}^{n-2}‚\end{array}$

即F′n (n) ≥n (a-b) (n-b) n-2.

(文科) 解: (Ⅰ) f ′ (x) =3x2-2bx+2c.

∵函数f ′ (x) 的图象关于直线x=2对称,

$\therefore -\frac{-2b}{6}=2$, 即b=6.

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知, f (x) =x3-6x2+2cx,

f ′ (x) =3x2-12x+2c=3 (x-2) 2+2c-12,

当c≥6时, f ′ (x) ≥0, 此时f (x) 无极值.

(Ⅲ) 当c<6时, f ′ (x) =0有两个异实根x1, x2, 不妨设x1<x2, 则x1<2<x2;

当x<x1时, f ′ (x) >0, f (x) 在区间 (-∞, x1) 内为增函数;

当x1<x<x2时, f ′ (x) <0, f (x) 在区间 (x1, x2) 内为减函数;

当x>x2时, f ′ (x) >0, f (x) 在区间 (x2, +∞) 内为增函数.

所以, f (x) 在x=x1处取极大值, 在x=x2处取极小值, 因此, 当且仅当c<6时, 函数f (x) 在x=x2处存在唯一极小值, 所以t=x2>2.

于是g (t) 的定义域为 (2, +∞) ,

由f ′ (t) =3t2-12t+2c=0, 得

2c=-3t2+12t.

于是g (t) =f (t) =t3-6t2+ (-3t2+12t) t

=-2t3+6t2, t∈ (2, +∞) ,

当t>2时, g′ (t) =-6t2+12t=-6t (t-2) <0,

所以函数g (t) 在区间 (2, +∞) 上是减函数,

故g (t) 的值域为 (-∞, 8) .

8.六年级上册数学测试题 篇八

“认识比”是苏教版国标本数学六年级上册内容，本单元教材的基本结构和内容的具体安排如下：

本单元的学习，是建立在学生已学的分数乘(除)法的意义和计算、分数的意义及基本性质以及分数与除法的关系的基础上进行的，这些知识都是学生学习本单元内容的直接基础。通过本单元的学习，学生能够发展对除法和分数的认识，沟通知识间的内在联系，加强对现实生活中数量关系的理解和认识，进一步完善认知结构，为以后进一步学习比例及其他有关方面的知识打好基础。

一、联系旧知经验，自主建构知识

教材结合学生的认知特点，联系生活实际，共安排4道例题教学比的知识，例1先认识两个同类量的比，初步理解比号、比的前项和后项；例2再认识两个不同类量的比，逐渐建立比的概念、理解比值及比、分数与除法的关系；例3和例4教学比的基本性质，从化简整数比到化简分数比和小数比，使比的概念得到深化。

教材利用学生已有知识和经验自主完善认知结构。教材用比表示果汁和牛奶的杯数关系，表示白色方格与红色方格的个数关系；让学生利用常见的数量关系来理解路程与时间的比、总价与数量的比；借助分数和除法的关系主动探索比与分数、除法的关系，联系学生对分数基本性质的已有认识，引导学生灵活、有序思考，合情推理比的基本性质，等等，让学生在应用已有知识的过程中形成新知识，在建立新概念的同时深化原有认知，不断完善认知结构。这样的编排不仅有利于学生在新旧知识之间建立起合适的联系，而且有助于学生主动参与探索活动，并在活动中全面、准确地理解比的意义和比的基本性质。

二、鼓励多样策略，培养探索意识

在学习比的基本性质时，教材给学生创设了自主发现和探索的空间。教师可以根据教材的要求首先让学生填写质量和体积的比，并把比值相等的比填入等式，联系对分数基本性质的已有认知进行合理推理，探索出比的基本性质。

教材在建立比的概念之后安排了按比例分配的例5，它是“平均分”方法的发展。本教材对按比例分配的实际问题的解法没有做统一要求，目的是让学生通过独立思考，自主进行探索，把自己的想法和同学交流，并引导学生在交流中发现：按比例分配的问题可以把比看作分得的份数，通过先求出1份的数，再求出几份的数；也可以把比转化成分数，再用分数乘法来解答。教材这样的安排，既有利于学生感受解决问题的策略是多样化的，又有利于调动学生参与探索学习的主动性和积极性，同时，又进一步沟通了比与分数、除法之间的内在联系，使学生的认知结构更完整、更合理。

三、激活生活经验。培养实践能力

本单元后安排的实践活动“大树有多高”，内容是测量树、旗杆、楼房的高度。这些物体比较高，很难用尺直接度量出它们的高度，要通过某种规律间接测量获得其高度。教学时要结合具体的问题，一方面让学生通过测量、计算发现“在同一地点，同时测量不同的竹竿，竿高和影长的比值是相等的”；另一方面让学生应用所发现的规律或方法和经验，自主测量出大树或其他建筑物的高度。引导学生经历探索规律的过程，体验解决问题的成功乐趣，感受合作交流乐趣，感受数学方法的价值和魅力，进一步培养学生的实践能力，提高数学素养。

典型课例设计分析

教学内容：

苏教版国标本六年级(上册)P68－P70“认识比”例1、例2及相应内容。

教学目标：

1使学生在具体情境中理解比的意义，掌握比的读写方法，知道比的各部分名称，会求比值。

2使学生经历探索比与分数、除法关系的过程。初步理解比与分数、除法的关系，明白比的后项不能为0的道理，会把比改写成分数的形式。

3使学生在活动中培养分析、综合、抽象、概括能力，在解决实际问题的过程中，体会数学与生活的联系，感受数学学习的乐趣。

教学重、难点：理解比的意义，比与分数、除法的关系。

教学过程：

一、创设情境，引入比

1电脑出示：老师带来3幅黄山的风景图片，想看吗?

提问：哪幅图的形状看起来最舒服、最美观?(学生认为第二幅)

讨论：3幅图是同处景，为什么大家都认为第二幅最美观呢?(太长或太窄，长和宽的比例不合适)

小结：这3幅图长和宽的长度不同，所以给人的感觉就不一样，看来长和宽长度之间还存在着某种特殊的关系，通过今天的学习大家就会明白其中的奥秘。

2电脑呈现例1主题图(2杯果汁和3杯牛奶)。

提问：“2杯果汁”和“3杯牛奶”这两个数量之间有什么样的关系?你会用哪些方法表示它们的关系?(根据回答板书)

小结：两个数量相比较，既可以用减法比较两个数量之间相差多少，也可以用除法或分数来表示两者之间的倍数关系。其实，两个数量之间的关系还可以用一种新的方法表示。这就是我们今天要学习的知识——比(板书)。

评析以欣赏感受3幅图片的舒适、美观度切入，引发学生思考，既激起了学生的好奇心理，又制造一种认知冲突，让学生在惊奇之中有一种期待，这些图片与今天的数学课有什么关系呢?与此同时。及时呈现例l主题图，让学生通过已有知识与经验，认识到用减法可以表示两个数量的相差关系，用分数或除法可以表示两个数量之间的倍数关系，此时揭示课题，激起学生进一步探究学习的欲望。

二、探究发现，认识比

(一)初步理解“比”

1启发谈话：其实，“果汁的杯数相当于牛奶的2/3”，我们还可以说成“果汁与牛奶杯数的比是2比3(出示)”。想一想，“牛奶的杯数相当于果汁的3/2”还可以怎样说?(出示：牛奶与果汁杯数的比是3比2。)

2看书自学，你还知道了些什么?

(1)交流：读法、写法、各部分名称。

(2)介绍：2比3记作2：3(板书、讨论说明注意点及写法、比的各部分名称)。

3明确比是有序的。

提问：2比3是哪个量与哪个量的比?3比2呢?

追问：为什么果汁与牛奶杯数的比中2是比的前项，而在牛奶与果汁杯数的比中2又是比的后项了呢?

总结：两个数的比是有序的。因此，在用比表示两个数量的关系时，一定要按照叙述的顺序，正确表达是哪个数量与哪个数量在比，不能颠倒位置顺序。

评析继引入环节中的两个数量相比较，“既可以……，也可以……时”，进而根据果汁是牛奶的2/3的基础上进一步揭示：果汁与牛奶杯数的比是2比3，从二者内在的联系中揭示比的关系。在这样一个清晰的前提条件下引导学生认识比，使学生体会到比是对两个数量进行比较的另一种数学方法。在介绍比的各部分名称后，结合两个比的前后项的“不同”，巧妙帮助学生明确比是一个有序的概念，这样

的教学安排符合学生的认知规律，也显得层次清晰、条理有序。

4完成“试一试”。

(1)讨论：

①指图中的1：8问：这里的白色部分和蓝色部分分别表示什么?你知道1：4表示什么吗?

②把每种溶液里的洗洁液看作1份，水分别可以看作几份?

③还可以怎样表示每种溶液里洗洁液和水体积之间的关系?

(2)交流。

(3)再认识：你知道第几瓶溶液最浓吗?

评析通过引导学生参与讨论洗洁液与水体积之间关系的表示方法，使学生初步体会到比与除法、分数之间的内在联系。这既利于后面教学比、分数、除法三者之间的关系，也有利于加深学生对比的意义的认识。

(二)深入认识比

1认识不同量之间的比。

(1)电脑出示例2讨论完成表格，问：你是怎么求出他们的速度的?

(2)交流板书：小军走的路程与时间的比是900：15、小伟走的路程与时间的比是900：20。

(3)提问：900：15表示什么?900：20呢?(速度)

2揭示比的意义。

(1)观察：观察黑板上的几个比，讨论比与什么有关系?两个数的比可以表示什么?

(2)小结：比与除法有关系，两个数的比表示两个数相除。(板书)

评析通过教学两个不同类量的比，使学生由形象感知过渡到建立表象，进一步完善对比的认识，进而抽象概括出“比的意义”。通过题中的填表，使学生初步体会到速度是路程与时间比较的结果，再通过用比表示这一关系重点启发学生用自己的话来说一说，在描述比的意义时重点强调了比与除法的关系，通过师生的互动交流、共同领悟中使学生对比的意义有一个本质的理解。

3自学比值，比与分数、除法的关系。

(1)自学后小组讨论：

①什么叫比值?怎样求比值?比和比值是一回事吗?

②比和除法、分数有什么联系?

③比还可以写成怎样的形式?比的后项能为0吗?为什么?

(2)交流完成表格。

(3)说说比与除法、分数的联系和区别在哪里?

评析自学也是学生获取知识、探索研究、解决问题的重要途径。根据高年级学生的阅读理解能力，结合教材的具体内容，适当安排学生看书自学是非常有必要的。鼓励学生独立思考，引导学生投入到探究与交流的学习活动的情境之中，让学生通过小组讨论，学习与掌握关于“比”的其他知识，有利于培养学生的自学能力和合作精神。

4内化比。

电脑出示：“在刚刚结束的我校乒乓球比决赛中，王勇同学以4：0大胜上届冠军李明获得冠军。”根据这则消息，小红认为比的后项可以是0。你对此有什么看法?

讨论：今天我们所学的比，是两个数之间的倍数关系。这个比分只表示双方的成绩，和我们今天学习的比无论是从意义上还是形式上都是不同的。

评析学生联系自己课外积累的问题，与自己在课堂上所学的知识相比，产生了疑惑，而教师则启发学生利用本课所学的知识来解决生活的问题，既巩固了课堂知识，又为学生解决了生活中的困惑。

三、自主练习，应用比

1学生独立完成“练一练”第1、2、3题。

2指导完成练习十三第1－5题。

3 了解黄金比——电脑呈现小提琴、五星红旗、东方明珠塔等图片。

谈话：欣赏完这些有何感受?(充满美感)，原来这些图片都运用了一种很特殊的比——“黄金比”，当比值为0.618时，这个比就称为“黄金比”。

4回忆。现在知道为什么课前第二幅照片最美观了吗?它的宽与长的比的比值就接近0.618。

四、全课总结(略)

习题开发设计

一、渗透新旧联系

根据课本提供的相关习题乃至例题。分析其内容与学生已学的哪些知识是密切相关或相联的。从而把新旧知识或思维方法进行合理整合和渗透。既巩固新知形成技能，又唤起旧知构建新旧知识链，更好地培养学生运用知识解决问题的综合能力。

案例1由课本P68“试一试”的内容设计为：“一种洗洁液，加进不同数量的水后，可以清洗不同的物品。下图表示在配制不同浓度的溶液时洗洁液与水的比的4种情况。(灰色部分表示洗洁液，白色部分表示加进的水)如果将其中的(1)和(2)两种溶液混合倒进一个比较大的容器内，此时这个比较大的容器里洗洁液与水的比是多少?如果将(1)、(2)、(3)和(4)混合呢?”。

设计意图一是加深对比的意义理解和把握，同时把比与已学的分数的意义及分数的计算知识有机结合起来。增强习题的综合功能；二是学生通过求每种溶液中洗洁液与水各占每种溶液的多少时，可以用分数求出，也可以用按比例分配方法求出，既拓展学生思维空间，又增强学生的综合应用能力。

二、拓展知识内涵

根据课本内容的特点，着手考虑对课本资源作必要的充实和丰富，注入诸如学生动手操作、合作交流和探究新发现的元素。通过让学生练习，巩固新知，丰富知识内涵。进而在培养学生探究发现能力的同时扩大了学生知识视野。

案例2由课本P72第3题设计为：“量出下列每一个三角尺上30。角所对的边和斜边的长，完成下表，仔细观察各个比及对应的比值，你有何发现?”

设计意图一是增加动手操作(测量长度)的机会，二是提升自主探究合作发现水平。学生发现“三角尺中30°角所对的边是斜边的一半”规律，这是练习中的额外收获，在加深对三角尺边的认识过程中拓展知识的内涵，同时增强学生自主探究和自主发现的能力。

三、助推知识延伸

根据课本内容资源，着重考虑如何帮助学生将现有的知识进一步延伸。设计的内容不仅利用双基能力的形成。而且要着眼未来即将学习的知识内容和思维方法，达到以旧引新、以旧促新的功能。

案例3由课本P74思考题设计为：“如图整个图形的总面积为90平方厘米。两个长方形重叠部分的面积相当于小长方形面积的1/4相当于大长方形面积的1/6。

(1)求小长方形和大长方形面积的比是多少?(2)求大、小长方形面积各是多少?”