《一元二次方程的解法》教案

2024-10-06

《一元二次方程的解法》教案（精选8篇）

1.《一元二次方程的解法》教案篇一

连云港市新海实验中学数学教案

4.2.3一元二次方程的解法

主备单宝珍审核九年级数学组时间 2010-10-21

一、教学目标：

1．使学生能熟练地用公式法解一元二次方程

2．让学生体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b－4ac≥0

3．让学生在探索和应用求根公式中，进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物主义观点。

4．使学生能用b2－4ac的值判别一元二次方程根的情况 2

二、教学重点

1.掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程

2.能用b2－4ac的值判别一元二次方程根的情况

3.在理解根的判别式的过程中，体会严密的思维过程

三、教学难点

1.求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误。

2.在理解根的判别式的过程中，体会严密的思维过程

四、教学过程

（一）自学引导

课前发放学案布置学生完成“自学导航”，通过自学体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b－4ac≥0，能用公式法解一元二次方程。

（二）交流展示

1.让学生在组长的带领下交流学案“自学导航”部分内容，并进行展示。（通过交流、展示、教师点拨要达到明白用公式法解一元二次方程的一般步骤，能用“公式法”解一元二次方程的目的。）

2．k时，方程xkx40有两个相等的实数根？求这时方程的根。

（三）精讲点拨

例：课本P90例题

（在学生已经自学的基础上，教师与学生共同归纳公式法解一元二次方程的一般步骤，强调解题格式的规范性和检查的必要）22

五、矫正巩固：（见学案）

六、教后反思：

2.《一元二次方程的解法》教案篇二

一、教材分析

本章是在学习了一元一次方程解法的基础上,进一步来学习和研究一元二次方程的解法.

1. 知识内容

一元二次方程的解法.

2. 重点、难点分析

(1)熟练掌握开平方法解一元二次方程.

用开平方法解一元二次方程,一种是直接开平方法,另一种是配方法.

如果一元二次方程的一边是未知数的平方或含有未知数的一次式的平方,另一边是一个非负数,或完全平方式,如方程x2=27,(2x-3)2=1和方程(3x-4)2=(2x+3)2就可以用直接开平方法求解,在开平方时注意取正、负两个平方根.

配方法解一元二次方程,就是利用完全平方公式,把一般形式的一元二次方程转化为(x+m)2=n的形式来求解.配方时要注意把二次项系数化为1和方程两边都加上一次项系数一半的平方这两个关键步骤.

(2)熟记求根公式和公式中字母的意义.

在用求根公式求解时要注意以下3点:

①把方程化为一般形式,并做到a、b、c之间没有公因数,且二次项系数为正整数,这样代入公式计算较为简便;

②把一元二次方程的各项系数a、b、c代入公式时,要注意它们的符号;

③当b2-4ac≥0时,才能求出方程的两根.

(3)抓住方程的特点,选用因式分解法解一元二次方程.

如果一个一元二次方程的一边是0,另一边易于分解成两个一次因式相乘时,就可以用因式分解法求解.这时只要使每个一次因式等于0,分别解两个一元一次方程,得到的两个根就是一元二次方程的解.

共有4种解一元二次方程的方法:直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法.解方程时,要认真观察方程的特征,选用适当的方法求解.

二、教学目标

1. 学情分析

数学中涉及求一个或多个未知数的问题是普遍存在的,而方程是解决这些问题的有力工具.本章在对一元一次方程已有认识的基础上,再对一元二次方程进行讨论,并为今后进一步学习方程及一元二次函数等的解法打下基础.

2. 教学目标

根据学生的认知基础及本节课教材的地位、作用,依据《数学课程标准》的要求确定本课的教学目标为:

(1)知识目标.

①初步掌握用直接开平方法解一元二次方程,会用直接开平方法解形如(x-a)2=b(b≥0)的方程;

②初步掌握用配方法解一元二次方程,会用配方法解数字系数的一元二次方程;

③掌握一元二次方程求根公式的推导,能够运用求根公式解一元二次方程;

④会用因式分解法解某些一元二次方程;

⑤通过对一元二次方程解法的教学,学生进一步理解“降次”的数学方法,进一步获得对事物可以转化的认识.

(2)能力目标.

会用适当的方法来解一元二次方程以及用方程解决实际问题.这一目标具有展开性,以“双基”目标达成为基础,又反过来促进双基“目标”的巩固和深化.它在教学、测量和评价方面稍难于“双基”目标,既反映着教学的文化价值,又体现着数学的教育价值.

能力目标是要发展学生的思维能力、运算能力和空间观念,并能分析、解决简单的实际问题,发展独立地获取知识和技能的能力,形成数学的意识.

(3)情感目标.

教学方法采用启发引导、讲练结合的授课方式,发挥教师的主导作用,体现学生的主体地位,学生获取知识必须通过自己一系列思维活动完成,启发和诱导学生深入思考问题,有利于培养学生思维的灵活性、严谨性、深刻性等良好思维品质.

情感目标主要是通过数学课程,培养学生良好的个性品质和初步的辩证唯物主义观点.良好的个性品质主要是指:正确的学习目的、浓厚的学习兴趣、顽强的学习毅力、充分的学习信心、实事求是的科学态度;既能独立思考,又能积极与他人合作,勇于探索创新的精神.通过探究一元二次方程解决问题的基本过程,体会数学的应用价值,感受能力提升的相关体验.

三、本章的实际应用价值和教育价值

1.培养学生解决实际问题的能力

经历建立一元二次方程这种数学模型并应用它解决实际问题的过程,体会方程的特点和作用,掌握运用方程解决问题的一般方法,提高分析问题、解决问题的能力,增强创新精神和应用数学的意识.注意培养应用意识,教学中应不失时机地使学生认识到数学源于实践并反作用于实践.

2.培养学生类比的思想

本章在解方程的讨论中,重视与一元一次方程解法的联系,重视过程与结果的关系,使学生体会到化归的思想方法—一将不熟悉的转变为熟悉的,将未知的转变为已知的,以提高其数学思维的能力.

3.关注数学文化

阅读与思考介绍了中国古代数学上的光辉成就.编者希望学生通过学习本章不仅在数学知识和能力方面得到提高,而且能够受到数学文化的熏陶.

四、教学策略

1.前置诊断,开辟道路

在实际教学中,总有一部分学生对先前学过的知识当时会了,但随着时间的迁移遗忘或生疏了,因而也成了后续学习的障碍.因此,搞好前置诊断,就十分必要了.通过前置诊断,弥补知识缺陷,是后续学习的前提.诊断题可设计判断、填空、选择、简答等题型,形式上可以是板演、讨论、对答等.抓好前置教学为当堂达标提供了保证,本节课宜采用复习一元一次方程的解法,引导学生用类比的方法来研究一元二次方程的解法.

2.构造悬念,创设情境

把问题作为出发点,即不以告诉现成结论为出发点,而是启发诱导,创设问题情境,激发学生的学习兴趣和求知欲,为发现新知识创造一个最佳的心理环境和认识新知识的阶梯.创设情境的关键是选准和认识新旧知识的切入点去构造悬念,设计的问题一定要在学生的“最近发展区”,要有梯度,有连续性.让学生在迫切需求下学习.

3.目标导向,自然引入

教学目标的制定要依据《数学课程标准》的要求、教材的内容和学生实际三个方面.每个教学目标都要有明显的层次要求(了解、理解、掌握、应用),通过外显的行为动词来准确表述.一节课的教学目标应包括知识、能力、德育、情感等几方面.教学目标作为教与学的共同目标,应适时展示,自然引入,使教师的教与学生的学都做到胸有成竹.

4.设问质疑,探究尝试

“学贵知疑,教贵设疑.”要让学生满怀豪情地去“疑”,去“思”,去“问”,就需要教师根据教材知识结构的特点,去研究认识知识的思维方法.通过概念的提出过程,知识的发生、发展过程,解题思路的探索过程,解题方法和规律的概括过程,设计“问题库”,使知识结构和认知结构形成有机的统一体.教师要抓住思维活动的主线,及时变换方式进行调控,不断促进学生的知识和能力的迁移.在教学过程中可采用小组讨论的方法,培养学生互助、协作的精神.学生质疑这一环节充分培养了学生敢于提问的习惯,做到不懂就问.

5.变式训练,巩固提高

许多题目,是由一道题演变而来的,其思维方式和运用的知识完全相同.在题组训练中,教师应引导学生对有代表性的问题进行灵活变换,使之触类旁通,培养学生的应变能力,提高学生解题的技能、技巧.变式题组的设计要做到“低起点、密台阶、小坡度、多层次”.要遵循由浅入深、由简到繁、由易到难、由单一到综合的原则.

6.总结串联,纳入系统

让学生自己归纳本节课学习的内容、应注意的问题,培养学生用数学语言归纳的能力.数学是有着严密逻辑体系的知识系统,各部分内容有机联系组成一个整体的知识结构.教师在知识传授、技能的训练中,要善于引导学生不断总结、串联、揭示各知识点之间的内在联系,揭示解题的方法和规律.

7.达标检测,反馈矫正

反馈矫正,应贯穿于课堂教学的始终,教师要采用各种手段,随时掌握反馈信息,及时进行课堂调控.

8.个别差异,分层教学

在课堂教学的某些环节中,实施“分层教学”,面向全体学生.

参考文献

[1]郑毓信,梁贯成.认知科学建构主义与数学教育[M].上海:上海教育出版社,2002

[2]喻平.数学教育心理学[M].南宁:广西教育出版社,2004

[3]郑毓信,肖柏荣,熊萍.数学思维与数学方法论[M].成都:四川教育出版社,2004

3.《一元二次方程的解法》教案篇三

关键词：一元一次方程；解方程；错解；分析原因；正解

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2012）09-227-01

一元一次方程是初中数学最简单、最基本的重要内容之一，学习这一内容，即是对前面所学的巩固，更是为今后学习二元一次方程组、一元二次方程、一元一次不等式的解法打下基础，而且对于后续的应用题、函数的学习有很深远的影响，所以要学好它，打好良好基础。

一、解一元一次方程的一般步骤及注意事项

方程变形名称具体做法注意事项

去分母方程两边同乘以各分母的最小公倍数不含分母的项也要乘，分子要用括号括起来

去括号利用乘法对加法的分配律去括号不要漏乘括号内的项，注意漏乘问题

把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到另一边移项要变号

合并同类项利用合并同类项的法则，把同类项合并成一项合并同类项只把系数相加减，字母和指数都不变

系数化为1在方程两边同时都除以未知数的系数，便得到方程的解在方程右边中，未知数的系数永远做分母

二、解一元一次方程常见思维误区辨析

在学习解一元一次方程时，为了避免在解方程时发生错误，有以下几个注意点：

第一，注意分数线的作用。

分数线具有两层含义：其一代表是除号；其二可代表括号。因此，在去分母时必须将分子的多项式用括号括起来。

例1解方程：

错解： ……

分析原因：去分母时，分子x+1是多项式，它是一个整体，忘了添加括号

正解：

最好把方程中的每一数都画一个符号。如，看做四项，每一个数都要乘以15，要出现四次15乘以如

第二，注意去分母时出现的“漏乘”现象。

去分母是依据等式的性质2（即等式的两边乘以同一个数，或除以同一个不为零数，结果仍相等）对方程进行求解。去分母变形就是：方程两边的各项均乘以最简公分母。初学时有学生往往会漏乘不含分母的项（单个的数字或含字母的整数项）。

例2 解方程：错解：

分析原因：去分母时，不含分母的项漏乘了各系数的最小公倍数15。

正解：

第三，去括号时出现“漏乘”现象

去括号时应按照乘法分配律，将括号前的数连同符号与括号内的每一项相乘，初学时往往会将括号前的系数或符号漏乘括号中的某一项。

例2 解方程：错解：

分析原因：去括号时，运用乘法对加法的分配律时出现漏乘及去括号时的符号错误。

正解：，，，∴ 。

第四，移项时不变号：

移项是依据等式的性质1[即等式两边加（或减）同一个数（或同一个式子），结果仍相等]进行方程求解的。因此，移项时必须注意变号。注意先写不移动的项，不变好；再写移动的项，要变号.

第六，注意解方程的格式。

解方程的每一步都必须是方程，因此同学们在初学时出现的“连等式”或“解原式=”这些解题格式均是错误的如方程：或原式=

正解：

总之，会解一元一次方程是很重要的最基本，解题步骤较小学显得繁琐，学生容易出现错，就需要我们平时多细心，做适量的题，才能真真达到掌握的目的！

参考文献：人民教育出版社七年级上册

4.一元一次方程及其解法教案篇四

§3.1 一元一次方程及其解法（第一课时）

合肥市五十五中学蔡新莲

一．教材分析：

学生在小学已经学过列方程解简单应用题，但所学方程形式较简单，仅限于axbc,axbxc的形式，(a,b,c,x都是非负数)。本节教科书在描述一元一次方程的概念后，利用等式性质来解一元一次方程（比小学更为广泛），一元一次方程的解法是应用一元一次方程解决实际问题，解二元一次方程组及一元二次方程等内容的基础，是代数中的重要内容。

二．教学目标：

1．通过对多个实际问题的分析，感受方程是刻画现实世界的有效模型体会学习方程的意义

在于解决实际问题。

2．通过观察，归纳一元一次方程的概念。

3．理解等式的基本性质，会根据等式的基本性质解方程。

三．教学重难点：

重点：一元一次方程的概念，运用等式的性质解方程

难点：运用等式的性质解方程。

四．教学流程：

1.通过一些具体问题，引出一元一次方程概念。

2.复习等式的基本性质。

3.利用等式的基本性质，解一元一次方程。

五．教具准备：

教师：多媒体课件，投影仪

学生：练习本

六．教学过程：

（一）。创设情境，引出概念

问题1：在2008年北京奥运会中，中国共获得了51枚金牌，比澳大利亚的3倍还多9枚，问澳大利亚共获得了多少枚金牌？

设澳大利亚共获得了x枚金牌，引导学生列出等量关系式：

3x951

问题2：

王玲今年12岁,她爸爸今年36岁, 问再过几年,他爸爸的年龄是她年龄的2倍？

设再过x年，他爸爸的年龄是她的2倍，引导学生列出等量关系式：

36x2(12x)

观察思考：上面的两个式子有什么共同点？

【设计意图】用学生感兴趣的身边的例子引入，唤起同学的注意力，同时也为下面得到一

元一次方程的概念埋下伏笔。

师生互动：得到一元一次方程的概念，同时教师明确方程的解的概念，指出一元方程的解也叫做根。

考考你：1.判断下列式子是不是一元一次方程：

(1)2x45x3

(4)x3

2.判断对错:

(1)x=2是方程x-10=4x的解.(2)xy1(5)3x1(3)3a211(6)x1x

(2)x=3和x=-3都是方程 x290的解.【设计意图】加深对一元一次方程及根的理解。

（二）互动探究等式的性质

多媒体演示：在一架已调为平衡的天平的两边，同时加入相同数量的小球，再同时减去相同数量的小球，学生观察结果。

思考：(1)如果将天平看成等式，从上面的两个演示中可以得到什么结论？

(2)如果天平两边的小球个数同时扩大相同的倍数，或缩小为原来的几分之几，那么天平还平衡吗？能得到等式的什么性质呢？

(3)如果小明和小文身高一样,那么小文和小明身高一样吗?你能得到等式还具有什么性质吗？

(4)如果小明和小文身高一样,同时小文又和晓婷身高一样,那么小明和晓婷的身高有什么关系?你又能得到等式的什么性质呢?

【设计意图】使同学们认识到生活中处处有数学，逐渐熟悉用数学语言来描述一些数学概念。

（三）巩固提高

1.将等式的四条性质整体回顾一下，变零散为整合，体现知识的系统性

2.想一想：说明下列变形是根据等式哪一条基本性质得到的:

(1).如果5x+3=7,那么5x=4；

(2).如果5x=4，那么x=0.8;

(3).如果-8x=4,那么x=-0.5;

(4).如果3x=2x+1,那么x=1;

(5).如果－0.25=x,那么x=－0.25;

(6).如果111111x，那么x.236263

【设计意图】熟悉等式基本性质的应用，1，2其实就是解方程的过程。承上启下的作用。例1 解方程 3x951

变式: 513x9

露一手: 解方程

(四)自主评价(1)5x78111(2)x236

1.今天这节课我们学到了哪些知识？

(1)一元一次方程的概念；

(2)如何运用等式的性质解一元一次方程;

2.把你的收获与不足与同伴分享.(五)分层作业：

必做：课本92页第1，2两题

选做：见大屏幕。

[设计意图]:使学生在掌握基础知识的同时,根据实际自身情况,得到不同的发展.（六）板书设计（略）

5.二元一次方程组的解法复习教案篇五

湖州四中

金志彬

一、教材分析

本课是对七年级下册的第二章第三节《解二元一次方程组》加强巩固，熟练的解二元一次方程组在整个教材中起到了承上启下的作用，二元一次方程组的解法中不仅体现了“转化思想”和“整体思想”，而且也是解决后续——二元一次方程组的应用和三元一次方程组及其解法等学习的基础，为数学交流提供了有效的途径。

二、学情分析

学生已经学习了二元一次方程组的解法，包括代入消元法、加减消元法，对于书写的步骤也有一定的规范。但是对于不同类型的二元一次方程组不能用恰当的方法解决，对于复杂一点的二元一次方程组和有点技巧性的二元一次方程组解决方法还不熟练，所以在学习的过程中，教师要对他们进行学法指导，尤其要对他们进行数学学习方法和数学思想的培养。

三、教学目标【知识与能力】

1.熟练的运用代入法和消元法解二元一次方程组； 2.会用整体思想解决二元一次方程组；

3.能根据具体的二元一次方程组来选择恰当的方法来解二元一次方程组。【过程与方法】 4.通过对二元一次方程组的解法复习巩固，体验数学学习中的转化思想；

5.在对方程的整体代入和计算中，渗透整体思想。【情感态度与价值观】

6.体会转化和整体的数学思想，在探求新知过程中体会小组合作的学习方式。

四、教学重难点

【教学重点】：熟练的运用代入法和加减法解二元一次方程组。【教学难点】：会用整体思想解二元一次方程组。

五、教学过程

（一）创设情境

3xy6 x3y10

师：这是什么？生：二元一次方程组.师：那么接下来我们可以做些什么呢？生：解二元一次方程组.师：那么解二元一次方程组的基本思想是什么呢？生：消元（教师板书基本思想—消元）师：通过消元，我们可以得到什么？生：把二元一次方程组转化成一元一次方程.师：这体现了什么数学思想？生：转化思想（教师板书）师：请大家思考这个方程该怎么解？

请学生回答，引出二元一次方程组的解法有①代入法②消元法（教师板书）

师：听起来大家掌握的都不错，实践是检验真理的唯一标准，接下来练一练.【你会用恰当的方法解下列二元一次方程组吗？】

2x3y7（1） 3x2y

4xy126（2）x3y11010一、二大组做第1道，三、四大组做第2道.①请学生板演 ②板演完毕针对性点评

师：什么时候用代入法方便？解二元一次方程组时第一步要做什么？学生回答教师引导总结如下：【解二元一次方程组不要急】

先观察根据方程组的数和式的特点，然后选择恰当的方法.代入法：当未知数前面的系数为1或-1的.加减法：用代入法不方便的.用恰当的方法解题会有事半功倍的效果.（二）灵活运用

3xy6x3y101、已知二元一次方程组

求①x+y=________②x-y=__________

③2（x+3y）-(3x+y)=____________（引出整体思想并板书）

2.若方程组

3xy6x3y10的解是x13(ab)(ab)6，则方程组的解是_________.y3(ab)3(ab)10x22(y1)3.解方程组.2(x2)(y1)53xya54.方程组.2xy4a（1）其中x、y的值相等，求a的值.（2）①x=________(用a表示x)

②y=________(用a表示y)

③其中x是y的两倍，求a的值.（三）拓展提高

xy3.1、已知yz4,则xyz________xz5x4y0x2、已知(y0),求的值.zy2z0

（四）、课堂小结

通过本节课你有哪些收获？（请学生自由回答）

六、教学反思

本节课的目的是让学生熟练的用代入法和消元法解二元一次方程组并能用整体思想解决相关的二元一次方程组，整堂课完成了教学目标与教学重难点，课堂纪律也较好，个别学生上课积极举手发言。

6.《一元二次方程的解法》教案篇六

三维目标: 1.知识与技能

掌握一元二次不等式的解法，在此基础上理解含有字母参数的一元二次不等式的解法.2.过程与方法

通过体验解题的过程，提高学生的逻辑分析能力.3.情感态度价值观

通过分类讨论的过程培养学生思维的严密性.教学重点: 含有参数一元二次不等式的解法.教学难点: 分类讨论标准的划分.教学过程: 一.知识回顾

1．完成一元二次方程、一元二次函数、一元二次不等式间的关系表 2．检测学生一元二次不等式的解法掌握情况。

二、探索研究例1

解关于x的不等式ax25ax6a0(aR)分析：对于含有参数的不等式，教师引导学生从以下几个方面探究，教给学生探究的方法和方向。

探究1：这个不等式是一元二次不等式吗？

探究2：当a取何值时为二次不等式；a取何值时为非二次不等式？探究3：是二次不等式时，它所对应的二次函数的开口方向是？探究4：由上可知，我们应该分哪几类去解这个不等式？探究5：a<0时，该不等式的解集是？探究6：a=0时，该不等式的解集是？探究7：a>0时该不等式的解集是？

223例2 解关于x的不等式x(aa)xa0(aR)解析：先让学生自主探索，写出解决这种问题的常规方法。若不等式对应方程的根x1,x2中含有参数，则须按x1,x2的大小来分类，即分x1x2三种情况。然后老师引导学生从a的取值范围进行分类，并与题型一归纳总结出解含参不等式的一般步骤。

例3 已知aR，解关于x的不等式ax2（a1)x10引导学生用通法解含参数的不等式，把总结的规律推广到一般情形。

三、探究总结（板书内容）解含有参数的二次不等式 1.数学思想：分类讨论 2.解题步骤

（1）分类（二次项系数a=0、判别式△=0（x1=x2）（2）画图，写解集（3）整合解集

四、成果验收

1．解关于x的不等式x2 (a1)x10 a

五、作业布置

7.谈一元一次方程解法篇七

一、含小数的方程利用等式的性质

例1解方程:0.5x+0.7=1.9x。

解:方程两边同乘以10, 得:5x+7=19x,

移项, 合并同类项, 得:14x=7。

系数化为1, 得

点评:遇到方程两边常数项或系数是小数时, 可在方程两边乘以一个适当的数, 使小数化为整数。

二、分式方程中分母有小数的要先化整

例2解方程

解:利用分数的基本性质, 将方程变形, 得:

400-600x-6.5=1-100x-7.5,

移项, 合并同类项, 得:500x=400。

系数化为1, 得

点评:有些方程分母中含有小数, 用去分母法会很麻烦。

此时, 我们可以利用分数的基本性质将分母化为整数, 这样求解起来较为简单。

三、巧用分配律去括号

例3解方程

解:用去乘中括号里的两项,

得

去括号、移项、合并同类项, 得

系数化为1, 得:x=-8。

点评:有的方程含有括号, 但去括号时不一定按照顺序从里往外, 也可用括号的整体作用及分配律从外往里。

四、巧用分数加减法则

例4解方程

分析:此方程的特征是:未知数的系数故可直接移项合并, 使方程得到巧解。

解:移项, 得

合并同类项, 得:x=-2。

五.项数多的方程可以利用整体法

例5解方程:3 (x+1) =6+2 (x+2) 。

解:将 (x+1) 当成整体, 可将x+2= (x+1) +1化为:3 (x+1) =6+2 (x+1) +2。

移项, 合并同类项, 得: (x+1) =8,

解得:x=7。

点评:有些方程, 可以将一部分式子联系起来, 先看成一个整体, 把方程看成这个整体的一元一次方程。

六、含百分符号的可以先巧约公约数

例6解方程: (55-2x) ×20%=40×22.5%。

分析:由于方程两边有公约数20%, 先约掉, 再计算, 使方程得到巧解。

解:两边约去20%, 得:55-2x=45,

化简系数化为1, 得:x=5。

点评:含百分号的方程要将其看成分式方程来求解, 应先约分, 后求解。

七、含小数的方程要先化小数为整数

例7解方程

分析:此方程的特征是:分子、分母含有小数, 可利用分数的基本性质, 将分子、分母同时扩大相同的倍数, 把小数化为整数, 使方程得到以解。

解:原方程化为

去分母得:20x+5=4-10x,

移项得:50x=7,

化系数为1, 得

8.高中数学轨迹方程解法篇八

关键词：高中数学轨迹方程参数法

求平面上动点的轨迹方程不仅是教学大纲要求掌握的主要内容之一，也是高考考查的重点内容之一。轨迹即点的集合，而方程为实数对的集合。求某种条件的动点轨迹的方程，其实质就是利用已知的点的坐标间的特性去寻求变量之间关系。因此，求轨迹方程的基本指导思想，就是充分利用题设中的几何条件，通过“解析化”将其转化为代数式。由于动点运动规律给出的条件千差万别，因此求动点轨迹方程的方法也多种多样，这里介绍几种常用的方法。

一、直接法

如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含X，Y的等式就得到曲线的轨迹方程。这种方法称为直接法。

当o

当p=1时，所求轨迹是抛物线在y轴右侧部分；

当p1时，所求轨迹是椭圆在y轴右侧部分；

注：求轨迹的步骤：1）建立适当坐标系，设点的坐标；2）根据条件列出关系；3）转化为方程F（x，y）=0；4）整理化简得轨迹方程；5）必要时进行讨论。

二、定义法

若动点的轨迹的条件满足某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线），则可以根据定义直接求轨迹方程。

三、参数法

有时求动点应满足的几何条件不易的出，也无明显的相关点，但却较易发现这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间）的制约，即动点的坐标（x，y）中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可以这个变量为参数，建立根据的参数方程。这种方法叫参数法。如果需要普通方程，只要消去参数即可。在求轨迹方程中，参数法的应用较为广泛，若参数选择得当，常可使问题获得较为简捷的解法。

注：参数法求动点轨迹方程的步骤：（1）建立坐标系，设动点P（x，y）；（2）根据轨迹的条件，选取适当的参数；（3）确定动点坐标中的x，y与参数的关系式，即建立参数方程；（4）消去参数得到普通方程；（5）讨论；其中确定参数是关键。选择恰当地参数应该是便于建立动点的参数方程，且容易消去参数。另外，但动点随着动直线绕某点旋转时，选择斜率k为参数比较方便。

四、交轨法

求轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题。可通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，此种方法叫交轨法。

例4：已知过抛物线=4x的焦点F的直线交抛物线于AB两点过原点O作OM⊥AB 垂足为M ，求点M轨迹方程。

解：

a.当直线斜率不存在时，直线方程为x=1.此时M点坐标为（1，0）

b.当直线斜率存在时，设直线AB的方程y=k（x-1），则直线OM的方程可写成y=-x/k；两式相乘消去k，得=-x（x-1），即点M的轨迹方程为将M（1，0）代入知点M（1，0）在该轨迹上。

∴ M的轨迹方程为：

注：用交轨法求动点的轨迹方程时，不一定非要求出交点的坐标，只要能消去参数，得出p点坐标之间的关系即可。

求轨迹方程应注意的几个问题：

1.应多层次、全方位地分析动点所满足的全部条件，特别应注意动点受到的隐含的约束条件，防止扩大或缩小点集的范围。

2.方程化简过程中，一定要注意同解变形，对非同解变形，要注意判别x，y的存在范围并予以说明，以确保轨迹不重不漏；

3.对实际问题，要注意实际问题对动点轨迹的限制；