2024研究生数学建模竞赛A题

2024研究生数学建模竞赛A题（通用9篇）

1.2024研究生数学建模竞赛A题 篇一

A题

无人机自主飞行航迹规划问题

无人机的发展至今已有70多年的历史，其军事应用主要是遂行各种侦察任务。随着无人机平台技术和机载遥感技术的不断发展，它的军事应用范围已经并将继续扩展，如通信中继、军事测绘、电子对抗、信息攻击等。特别是精确制导武器技术的发展，又使它成为这种武器的理想平台。

西北工业大学在祖国的无人机事业上取得了骄人的成绩。从艰苦创业到走向辉煌的50年风雨历程中，一批又一批的西工大人用心血和智慧谱写着共和国无人机事业发展的新篇章，他们用自己的勇气和毅力撑起了我国无人机腾飞的翅膀！

众所周知自主飞行的能力是无人驾驶飞机所必须具有的。如果要实现无人驾驶飞机的自主飞行,则要求具有相当程度的飞行航迹规划能力。无人机的航迹规划是为了圆满完成任务而作的计划。它往往指单机在初始位置、终止位置和一些目标任务结点确定之后的航迹规划问题,其基本功能是根据无人机的性能和飞经的地理环境、威胁环境等因素,对已知的目标规划提出满足要求的航迹,以便在实际飞行时可以根据需要进行实时局部修改。

现在我们讨论如下的情况：

假定无人机的活动范围为20km×20km的区域，无人机起点的平面坐标为

[1,2](单位：km), 攻击目标的平面坐标为[19,18](单位：km)，同时不考虑无人机起飞降落时的限制。数字地图和敌方威胁情况(主要考虑雷达威胁)已在附件中给出。数字地图可以做适当的简化，比如可以把地形近似分为三种：高地，低地以及过渡地带。

问题1：忽略地形和无人机操作性能等因素的影响，综合考虑敌方威胁，无人机航程等，基于二维平面建立单机单目标的航迹规划模型。

问题2：把模型扩展到三维空间，并同时考虑无人机的操作性能（主要考虑拐弯）和地形因素。

问题3：试讨论和分析你提出的模型的可行性，并做仿真分析。

附件一：雷达威胁的坐标方位表。

附件二：数字地图。

附件一：雷达威胁的平面坐标方位表

起始点坐标

威胁点1坐标

威胁点2坐标

威胁点3坐标

威胁点4坐标

[1,2] [7,20] [11,14] [9,6] [18,2] 目标点坐标 威胁点5坐标 威胁点6坐标 威胁点7坐标 威胁点8坐标 [19,18] [13,4] [15,18] [14,17] [20,14]

2.2024研究生数学建模竞赛A题 篇二

消费是指人类通过消费品满足自身欲望的一种经济行为。具体说来，消费包括消费者的消费需求产生的原因、消费者满足自己的消费需求的方式、影响消费者选择的有关因素等。消费是拉动经济发展至为重要的力量。在一定意义上可以说，没有消费就没有经济发展。在《中华人民共和国国民经济和社会发展第十一个五年计划纲要》明确提出：“把扩大国内需求，特别是消费需求作为基本立足点。”由此看出，扩大内需比以往任何时候都显得迫切和重要。

但是近年来，我国城乡之间的经济发展不平衡以及城乡居民之间收入水平、收入的稳定、生活的外部环境和消费支出范围等差异，使得城乡居民的消费水平与消费结构差异日益明显。许多研究分析指出，长期以来，相对于经济发展速度而言，我国城乡居民收入增慢，城乡居民收入差距进一步拉大，广大中低收入阶层的购买力水平提高缓慢。

2007年国家正式批准成都市设立全国统筹城乡综合配套改革试验区。“城乡统筹”就是以城带乡，逐步缩小城乡差距，使城市和农村协调发展，构建社会主义和谐社会，实现全面小康社会。但是目前成都市城乡二元结构的存在、城乡居民收入的不均衡现象都极大影响了成都市经济的一体化发展，这对进行城乡统筹的综合配套改革都有着极大的负面影响作用。

请有选择的使用近年来成都市有关的统计数据（参见附件数据及参考网站），就当前成都市城乡居民消费差异回答如下问题：

1．对有关数据进行分析，建立反映成都市城乡居民消费行为的数学模型。

2．建立数学模型寻找影响成都市城乡居民消费差异的主要因素或指标。

3．利用数学模型分析在近几年的时间内成都市城乡居民消费差异是扩大、缩小还是维持不变？

4．消费结构是在一定的社会经济条件下，人们在消费过程中所消费的各种不同类型的消费资料(包括劳务)的比例关系。请从消费结构的角度出发，建立有关成都市城乡居民消费结构变动的数学模型，并根据此模型预测仿真未来三年时间内成都市城乡居民消费结构的变动情况。

5．根据所建立的数学模型和结果，对缩小成都市城乡居民消费差距提出你们的合理化建议。

参考网站：

3.数学建模A题：土地集约利用 篇三

2014年5月22号签署、9月1日起实施的国土资源部《节约集约利用土地规定》，是我国首部专门就土地节约集约利用进行规范和引导的部门规章。《规定》针对当前土地管理面临的新形势，充分借鉴和吸收地方成功经验，对土地节约集约利用的制度进行了归纳和提升。

充分借鉴和吸收地方成功经验离不开对现有土地利用情况的评估，现给出某县级市近几年的土地利用情况（数据见附件），你需要解决的问题如下：

问题一：建立一个通用的数学模型来评估土地利用情况，并对该区域土地利用情况给出评估。

问题二：利用建立的数学模型判定该区域土地集约利用参数最优的范围。

问题三：以给定区域某个利用你的模型判定的较差土地利用情况为例，给出一个优化的整改方案。

4.数学系知识竞赛决赛题 篇四

第一环节垂手可得（必答题）

第一组：1.小说《半生缘》的作者是（歌、剧照）

2.蜜蜂中的“蜂王”和“工蜂”分别是：（B）

A.雌蜂、雄峰B.雌蜂、雌蜂C.雄峰、雄峰D.雄峰、雌蜂 第二组： 1.下列著名建筑物哪个不属于法国？（图）(B)

A.凯旋门B.比萨斜塔C.埃菲尔铁塔D.卢浮宫

2.“正在田福堂踌躇满志而心猿意马地考虑自己如何施展自己抱负的时候，有件事却又叫他头疼起来。”这句话出自路遥的《平凡的世界》，请问，这句话中的“心猿意马”是什么意思？

A.形容一心一意B.形容心思不专C.形容胸有成竹）

第三组： 1.魔方是由哪个国家的人发明的？（表演）

2.“红娘”出自下列哪部古典名著？ B

A．《琵琶行》 B。《西厢记》 C.《长生殿》

第四组：1.三毛的原型是由谁创作的？（图）

2.在古代，“驽”什么？

第五组：1.小说《情深深雨蒙蒙》的作者是（歌、剧照）

2、红军二万五千里长征开始于何年?C

A1930.10B1931.10C1934.10D1935.10

第六组：1.樱花的花期一般有几天？（图）C

A.5天B.6天C.七天

2.李白笔下的“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”指的是哪个风景区B

A 黄山B 庐山 C 恒山D衡山

第七组：1.周杰伦所翻唱的“蜗牛”原为什么国际会议的主题曲？（歌）B

A.世界博览会B.世界展望会C.世界休闲大会D.世界和平大会

2.我国著名的“五岳”中，位于南方地区的是()

A、恒山B、衡山C、嵩山D、华山

答案：B；北岳恒山（位于山西）、西岳华山（位于陕西）、中岳嵩山（位于河南）、东岳泰山（位于山东）和南岳衡山（位于湖南）第八组：

1、马是怎样睡觉的？（图：马）

A 站着睡 B 躺着睡C 倒着睡

2、被称为我国“瓷都”的是指哪一城市？

A 德化B 武汉C 景德镇

第九组：1.晁盖等人在哪里夺取的生辰纲 ：（图）黄泥冈

2.蜻蜓“点水”的目的是什么？()

A.产卵B.喝水C.觅食D.吐食

第十组：

1、“马拉松”原指：（图）

A、运动项目B、人名C、地名

2、茶叶分为绿茶、红茶、乌龙茶的依据是什么？

A、制作工艺B、颜色C、产地

第二环节：舌战群儒（抢答题）

1.四川民族众多，其中有我国唯一的（）族聚居区。： 羌

2.“志士不饮盗泉之水，()不受嗟来之食”。廉者

3.都江堰工程的修建时期为（）时期。： 战国

4.“寿比南山”中的“南山”是指哪个省的一座山？： 山东省

5.卓别林是哪国人： ： 英国

6.汉字“单”字有几种读音 ： 4种

7.古代“四大美女”之一杨贵妃是哪里人 ： 山西

8.蒲松龄的故居在 ： 山东

9.《战争与和平》的作者是列夫?托尔斯泰

10.藏历新年，人们见面时都要说“扎西德勒”是什么意思？吉祥如意

11.以下哪一类茶是半发酵茶？ 1绿茶2福茶 3乌龙茶…..3

12.美丽奇特的“海市蜃楼”是光的折射产生的一种现象，它通常发生在什么时

候？夏天

13.“豆寇年华”是指几岁？13

14.世界上最大的古代士石建筑工程是哪一个？A中国的万里长城B、埃及的金字塔C、古罗马的斗兽场 D、中的的故宫

15“人不可有傲气，但不可无傲骨”是谁的座右铭？

A.孙中山B.李大钊C.徐悲鸿D.周恩来

答案：C；艺术大师徐悲鸿这句座右铭道出了深刻的人生哲理。

第三环节：花落谁家

1.古代的“狼烟”是战争时用来报警的重要手段，你知道狼烟究竟是什么吗：：狼的粪便

2.刘德华是娱乐圈的天王巨星，出道至今，他所拍摄的电视剧、电影及灌录的唱片风行全世界，成为千万影迷及歌迷的超级偶像，那么你知道华仔出道前的原名

是什么吗？：刘福荣

3.“物华天宝，人杰地灵”常常被用来夸赞某个地方是块风水宝地，请问“物华天

宝，人杰地灵”的出处是 ：王勃的《滕王阁序》

4.1069年，哪一位皇帝任用王安石主持变法？ ： 宋神宗

5.一般金婚是纪念结婚：1）30周年 2）40周年 3）50周年--

第四环节：一气呵成（判断题）

第一组：1.中国面积最大的省份是西藏(错)新疆

2.黄昏时面向太阳，你的左手方是南方 对

3．山东山西的“山”是指太行山:(对)

4.人类触觉最灵敏的部位是鼻头？错(手指头)

5．中国象棋的双方各有七种棋子？对

第二组：1.琼瑶是中国世界纪录协会言情小说第一人。

2.“山重水复疑无路,柳暗花明又一村“是苏轼的诗句(错)陆游

3.世界上最大的动物是鲸鱼(错)水母

4.“皇帝”作为国家元首的正式称号，始于周王

5.世界上第一个国家颁布的药典出现在中国对

第三组：1.我国文学史上留诗最多的诗人是陆游对

2.被誉为”地球之肾“、与森林、海洋并称为全球三大生态系统的是湿地 对

3.憨态可掬的大熊猫是我国的国宝，我国第一个大熊猫保护区是四川卧

龙自然保护区。错 是王朗

4.《列格佛游记》是斯威夫特的代表作。对

5.崇祯皇帝是和尚出身的皇帝。错 应该是朱元璋

第四组：1.世界上最大的鸟是鸵鸟。对

2.国土面积最大的国家是中国。错 俄罗斯

3.著名作曲家肖邦是美国人。错 波兰人

4.中国的“雾都”在重庆。对

5.中国历史上第一个不平等条约是辛丑条约。错，南京条约

第五组：1.”世界环境日“是在每年的6月4日(错)6月5日

2.第一次世界大战的始末时间是1914—1917错，1914—1918

3.龙虾的血是蓝色的。对

4.开屏的孔雀是母孔雀。错，公孔雀

5.中国最大的石刻佛像是 四川乐山大佛对

第六组：1.我国少数民族中，人口最多的是维吾尔族。错，壮族

2.蚯蚓有眼睛。错。没有

3.贝多芬是美国人。错，俄国人

4.植树节是三月一日。错，三月十二日

5.鱼有心脏吗？ 答案：有（脊椎动物都有心脏。鱼是脊椎动物）

第七组：1.长江上建的的第一座大桥是南江长江大桥错（武汉长江大桥）

2、世界上最大的宫殿是白宫错故宫

3、世界上冰最多的地区是南极大陆。（√）

4、名句“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”出自杜甫的文章？

5、子在川上曰：“逝者如斯夫!不舍昼夜。”其中“逝者”指的是消逝的时光 对

第八组：1.跑得最快的鸟是鸵鸟。（√）

2嗅觉最灵敏的动物是狗，其嗅觉细胞达22亿个。（√）

3人不惑之年是指50岁。（×）

4我国儒学的创始人是孟子。（×）

5最早的宗教是佛教。（√）

第九组：

1、世界上最硬的物质是碳。（×）

2、最大的动物是蓝鲸。（√）

3、跑得最快的动物是东北虎。（×）

4、中国人自称为“炎黄子孙”，其中“黄”指的是黄帝吗？ 对

5、“商女不知亡国恨，隔江犹唱后庭花”一诗的作者是杜牧 错 李商隐

第十组：

1、中国历史上最早称皇帝的夏禹。（×）

2、中国历史上最后一个皇帝是清朝的宣统皇帝。（√）

3、我国最早的神话小说是《搜神记》

4、光年是计量宇宙间天体之间距离的单位。（√）

5、我国现代的第一篇白话小说是鲁迅作的《呐喊》×

第五环节：嫁祸他人（嫁祸题）

第一组：欧洲最长的河流是

伏尔加河（俄语：Волга）又译窝瓦河，位于俄罗斯西南部，全长3,690

公里，是欧洲最长的河流，也是世界最长的内流河，流入里海。伏尔加河在俄罗斯的国民经济中，在俄罗斯人民的生活中起着非常重要的作用。因而，俄罗斯人将伏尔加河称为“母亲河”。

第二组：中国文学大师老舍曾写过一部科幻小说，它的名字是： ：《猫城记》

第三组：”北宋改革影响最大的是宋神宗时期的：" ： 王安石变法

第四组：汉字的演变过程：

甲骨文—金文—大篆、六国古文→小篆—隶书—楷、草、行书

第五组：电影《一江春水向东流》的片名系取自我国古代一位词人的词作。

请问这位词人是谁？李煜第六组：中国三大火炉是除了重庆 南京还有哪个城市？答案：武汉

第七组： 中国农业银行发行的信用卡是： A 龙卡 B 金穗卡 C 牡丹卡答案 金穗卡

第八组：请问:火车连续发出两声长鸣,这表示:(C)前进 停留 倒退 故障第九组： 轮船发出六声短笛,这是表示什么呢?(D)倒退 避让 转弯 遇险

5.2024研究生数学建模竞赛A题 篇五

总结

基于元胞自动机和蒙特卡罗方法,我们建立一个模型来讨论“靠右行”规则的影响。首先,我们打破汽车的运动过程和建立相应的子模型car-generation的流入模型,对于匀速行驶车辆，我们建立一个跟随模型,和超车模型。

然后我们设计规则来模拟车辆的运动模型。我们进一步讨论我们的模型规则适应靠右的情况和,不受限制的情况, 和交通情况由智能控制系统的情况。我们也设计一个道路的危险指数评价公式。

我们模拟双车道高速公路上交通(每个方向两个车道,一共四条车道),高速公路双向三车道（总共6车道)。通过计算机和

分析数据。我们记录的平均速度,超车取代率、道路密度和危险指数和通过与不受规则限制的比较评估靠右行的性能。我们利用不同的速度限制分析模型的敏感性和看到不同的限速的影响。左手交通也进行了讨论。

根据我们的分析,我们提出一个新规则结合两个现有的规则(靠右的规则和无限制的规则)的智能系统来实现更好的的性能。

1介绍

1.1术语

1.2假设

2模型

2.1设计的元胞自动机

2.2流入模型

2.3跟随模型 2.4超车模型

2.4.1超车概率

2.4.2超车条件

2.4.3危险指数 2.5两套规则CA模型

2.5.1靠右行

2.5.2无限制行驶规则

3补充分析模型

3.1加速和减速概率分布的设计

3.2设计来避免碰撞 4模型实现与计算机

5数据分析和模型验证

5.1平均速度 5.2快车的平均速度

5.3密度

5.4超车几率

5.5危险指数

6在不同速度限制下

敏感性评价模型

7驾驶在左边 8交通智能系统

8.1智能系统的新规则 8.2模型的适应度

8.3智能系统结果

9结论

10优点和缺点

10.1优势

10.2弱点

引用

附录。Introduction ,大约65%的世界人口生活在右手交通的国家和35%在左手交通的国家交通流量。[worldstandards。欧盟,2013] 右手交通的国家,比如美国和中国,法规要求驾驶在靠路的右边行走。多车道高速公路在这些国家经常使用一个规则,要求司机在最右边开车

除非他们超过另一辆车,在这种情况下,他们移动到左边的车道、通过，返回到原来的车道。这种通过和超车的驾驶规则被称为“靠右行驶”规则,或是我们的论文keep right规则。左手交通规则的国家是镜像对称的和靠右的规则相同(“,除了通过，全都靠左行走”)。所以, 应用这些规则的目的为何?靠右的规则能改善高速公路交通状况吗?交通能从靠右的限制中解放出来吗（车辆可以选择从任何一方超车）交通解除靠右行的限制被称为服从不受限制的规则，靠右的规则执行能和不受限制的规则是如何比较的? 基于元胞自动机模型和蒙特卡罗算法,我们建立一个模型来模拟在不同条件下高速公路交通(靠右的规则或限制规则,根据交通或交通拥挤, 双车道或三车道)。我们的模型分为3个子模型（进入模型,跟随行驶模型和超车模型）。进入模型采用泊松概率分布的模拟vehicle-generation过程。跟随模型引入了一个特别的概率分布模型,使模拟的过程一辆车跟随另一辆车更为现实。超车模型模拟了超车行为,定义了危险指数的安全风险评估对于某些高速公路。我们也建立一个智能系统控制的扩展交通模型

我们在MATLAB中实现该模型,获得足够的数据。我们测试了平均速度、密度、超车取代率和危险指数，分析它们的属性评估靠右的规则的性能相比较无限制的规则。此外,我们分析我们的模型在不同的速度限制下的敏感性。事实证明,我们的模型是可靠的。

然后我们得出我们的结论符合常识。在交通智能的控制下，我们还提出一种新的规则。

V

当前车辆的速度

Vm

车辆的最大速度

Vl

高速公路的速度上限

V0超车前的速度

V1超车过程的速度

G

车辆的间距

Gs

安全考虑所需的最小差距

G0 停车后最小的差距

Tr

(人类反应时间)

Po 超越概率

Pa

加速概率

Pb减速概率

f制动时的摩擦力

d在一个超越事件的危险指数

D道路系统的危险指数

a

超车加速度

Ap车道超车组件加速度

Ad可行的减速

1.1 Terminology •双车道公路:两个车道在路的右前卫,总共四条车道。

•Three-lane路:三车道在路的右前卫,总共6车道。

•危险指数:索引设计在我们的论文评估的危险道路系统。

•最小安全差距:认为两辆车之间的距离

在我们的模型足够安全。

•靠右规则:保持正确的除了通过规则。

•无限制的规则:车辆不受限制,可以超越别人任何一方。

•Free-driving风格:当没有附近的车辆,司机不会故意加速或减速,但速度仍将小幅波动。

1.2 Assumptions •路是直的,并且没有旁路。

•一个车道的宽度只够一车。

•所有车辆都有相同的体积。

•只有两种车辆在路上(一快一慢)。

•环境和气候对开车有好处。

•驾驶右边是常态。

•行人被忽略。The Models

2.1 Design of Cellular Automata 元胞自动机(CA)表明,在大量的前人交通模拟(瓦格纳P et al.2005)的基础，CA模型是可行和有效的方法来模拟交通流。空间、时间和状态都是离散的细胞自动机。例如,该模型将道路划分成小矩形将时间分为时间单位。这个特性显著简化模拟过程。此外,细胞的状态由周边控制，细胞的这一组规则,非常类似于现实生活中的交通汽车的运动很大程度上取决于周边汽车运动。因此, 对我们来说是合理应用元胞自动机在解决我们的问题。

在我们的模拟中,我们每个车道划分为1000个细胞。每个细胞都是4米在长度和宽度两个属性上,当前速度V和最大速度Vm。每个细胞是空的即当V为0,因为一辆车不会停止，模拟时是绝对无故障。我们简单的认为只有一个方向的高速公路。因此，高速公路有n条车道转化为n * 1000矩阵。

在我们的模拟中,我们使用两种类型的汽车,快的速度的模拟汽车和缓慢的模拟卡车。

对于每一个车道,前6个细胞作为car-generation区域,车流观察至少10细胞和交通密度计算的基础上至少500个细胞。我们的模型每秒更新一次,当周期T = 1s为 一个司机的平均反应时间

我们讨论了CA模型的基本过程:

•流入过程:根据流入模型,我们将讨论最近的, 分配车辆vehicle-generation地区。•加速过程:如果V < Vm ,∆V为汽车增加的速度,和新的速度V‟ = V +∆V。

•减速过程:如果车辆与车辆之间的距离(前保险杠和后保险杠的距离,我们称之为的差距, 用G表示差距及其单位是细胞。当没有车辆,G= +∞。)不超过V,车辆减速V ‟=(G−1)/ T。

•移动过程:车辆前进通过V „*T细胞只有当G >Gs(V „)。(Gs(V‟)是为了安全考虑,所需的最小差距和是被定义之后。)

具体的规则将被设置在流入模型中,下面的模型和超车模型是为了模拟靠右行车交通规则和自由行车交通规则

2.2 Inflow Model 流入模型,或vehicle-generation模型,模拟了随机到达高速公路的入口处的车辆。对于每一个车道,前六个细胞在元胞自动机中设置为vehicle-generation区域。我们假设每辆车的到达服从二项概率分布。让ts表示采样时间间隔和N表示在ts时间内车辆的总数。然后N可以近似服从泊松概率分布。让Pt(N)表示N的可能性，于是我们有

ts表示在一秒,我们可以分配N的期望的值的范围从0到3.6。N作为在每一秒中到达的总车辆,N的期望能有效地反映交通状况。λ越小,交通越轻松。因此我们能够模拟不同流量条件下,交通的轻或重,通过分配相应的值λ。λ的值设定后,我们得到了进入高速公路的车辆模拟每一秒的随机号码。每个车道然后随机分配进入。

我们的车辆模型支持两种不同的速度范围, 假设所有车辆的初始速度设置为20 m / s。这种做法带来了简化而不削弱结果。

这是因为由于交通密度控制和加速度的分布概率的引入，所有车辆的速度往往是一个值。当交通密度低,车辆可以

自由加速到最大速度,而不用担心冲突,因此收敛速度在允许的最高速度而不用担心撞车。当交通密度高,所有的通道将充满车辆,交通流的速度是由车道上速度最慢的车决定,因此收敛速度是在较低的速度限制。经过初步分析，收敛速度模型稍后将合理的实现。

利用泊松概率分布使流入模型接近现实和实用。由于收敛趋势,一样的初速度在不改变的情况下就能得到简化。

2.3 Vehicle-Following Model

PIEV时间。PIEV时间由四部分组成: •感知过程:司机在驾驶环境中感知的变化。

•理解过程:司机分析关于变化的信息。

•评估过程:司机决定根据他的驾驶行为分析。

•意志过程:司机执行驾驶行为

我们应用PIEV在匀速行驶模型和超车模型。在每次循环中,我们首先获得每辆车的速度和位置，计算差距，然后确定驾驶行为(无论继续或改变车道超车后)。根据驾驶行为,计算加速度和更新的速度和位置

驾驶行为的决定主要是基于当前的差距。如果差距G是足够安全,加速度是可行的;否则,车辆应缓慢下来。在这里,我们定义的最小安全距离Gs 取代Tr*V(Tr代表PIEV时间,V是当前速度。)我们假设驾驶行为决定遵循一定的原则: •当G > Gs,车辆会加速(后来我们将介绍一个概率模型去模拟这种倾向),直到实现高速公路速度限制或其最大可能速度;

•当G < Gs,是否超车或跟随由超越概率Po和超车条件决定(Po和超越条件将在超车模型中讲到)。

当跟随时,车辆加速,减速或保持原来的速度。我们引入两个参数(SUN yue 2005),加速概率Pa和减速概率Pb。速度越高,Pa越小，Pb越大。Vl代表最高的高速公路限速, Vmax是车辆的最大可以达到速度。这个概率模型考虑到,超速是不能忽视的这一事实。当V >Vl,Pa会变得更小和Pb会变得更大,这使得超速的可能性很小。我们使用一个随机变量R来实现: 如果R

车辆减速;

•如果R > 1−Pa

车辆加速;

否则,车辆保持目前的速度。

基于概率模型,我们对元胞自动机创建多个规则来实现(车辆的最大可能速度Vmax,当前的差距G,最低安全差距Gs及其速度由V表示,Pa、Pb 是有关速度V的函数和Pa+Pb<=1。•自由驾驶规则:如果G≥Gs，•安全减速规则:如果G < Gs 且继续向前行驶不会相撞

Vmin 是最低速度限制

•不相撞规则:如果不能前进,停止在前车辆的后边。

Pa和Pb的值在表2为快车,表3为缓慢的。

？2.4 Overtaking Model

2.4.1 Overtaking Probability B车辆的速度。Po概率应满足:

司机将决定是否超过另一辆车的概率Po。Po概率取决于车辆A和前方的车辆B。让Vmax 1 是A车辆的速度,Vmax 2是

？2.4.2 Overtaking Condition 下。因此,超车是有限制的。

超车条件

•与前车的车距G”大于标准车距Gs

•车辆的速度大于前车

它合理的假设了速度差异越大,越有可能是加速的事实。这种概率分布很好的反映这种趋势。

司机不能按他喜欢的方式去超车。超车有时是危险的,车辆能够成功超车,即能够回到正常车道,在不超车请靠右行驶的准则2.4.3 Danger Index 这里我们定义的最小安全车距Gs使用不同的方法来计算危险指数。Gs和当前车速度V之间的理论关系是:

f是制动时摩擦力;G0是车辆停止后最小差距。

考虑下正常行驶速度是在200公里/小时以下和司机能接受差距通常大于理论安全值，为了简单的计算机实现,我们近似Gs是关于V的函数，V是线性的。我们将G0设置为10米,使用摩擦系数0.7。我们得到线性关系为

当换车道超车时，汽车零部件的加速度能够改变方向，其余的加速是应对减速

当面对紧急情况。所以换道的安全评估应该不同于跟随行驶

如图2所示,Vo表示速度超越之前,V1表示在超车过程中的速度和a是超车过程中的加速度。经验,V1 =Vo−4米/秒,(减速在换道过程中安全问题)。完成车辆换道是1 s,我们计算并行车道时加速度a: ？然后,可用的减速

？ 我们创建一个函数来评估车辆的危险系数在单位时间:

可用的减速度ad略有变化,就像Vo一样各不相同，所以为简单起见我们将ad设为5.76米/ s2。Gs相应地改变10 + 3.4 v。

当Gr≥Gs,我们假设的危险是小到可以忽略,所以危险系数设置为0。当Gr < Gs,我们使用Gs和Gr的差计算危险系数。更高的危险系数表示驾驶汽车更危险的状态。

前后车的危险系数在各种道路和规则条件是相似的，所以在进一步的讨论中我们只考虑超车的危险系数

现在我们定义危险指数来表示在一定的规则某种道路下的风险。让D表示的总和的危险系数对于超车事件发生在300S时间:

危险指数的平均D的所有车辆。A是一个参数定义

根据研究,如果左驾驶车辆(车辆控制位于左手边)试图从右边通过,司机的视线将受到限制,从而增加的危险指数。我们假设从右边危险指数是从左边通过的三倍。所以我们设置A为1时从左边,并设置A为3时从右边。我们这里介绍的危险指数D是评估安全的基础，这种方法在我们的模型中。

2.5 Two Sets of Rules for CA Model

2.5.1 Keep Right Except to Pass Rule 我们分析了在不超车靠右行的规则和没有这个规则的比较结果。应用此规则要求细胞自动机的一些规则:(下行中列出的规则优先级,也就是说,如果第一个规则是满意, 以下的忽视。)•如果G在正确的车道上的差距大于Gs,改变右车道;•如果当前差距G大于Gs, 在跟随模型应用自由驾驶规则;

•如果G左边的车道上的差距大于Gs,应用Po概率超车模型,并应用以下模型概率1−Po

2.5.2 Unrestricted Rule 同样地,当我们没有这样的限制的实现模型,另一种规则是需要的:(列出的规则优先级,也就是说,如果第一个规则是满足,以下的忽视。)•如果当前差距G大于Gs, 使用跟随模型遵循自由驾驶规则;

•如果超车条件满足,并且左边的车道上的差距G大于Gs,应用通过从左边超车模型Po概率，,并应用跟随模型与概率1−

Po;

•如果超车条件满足,并且在正确的车道上的差距G大于Gs,应用通过从右侧超车模型Po概率,并应用跟随模型与概率1− Po。Supplementary Analysis on the Model

3.1 Design of the Acceleration and Deceleration Probability Distributions 我们介绍的加速和减速概率分布设计跟随模型模拟驾驶过程中速度的变化。根据密度，系统可以校正平均速度。当密度小,车流的平均速度接近自由驾驶的汽车的平均速度的概率分布。当密度很大,路上开慢的车能减速后面的汽车。换句话说,汽车速度慢的车确定平均速度。当高速公路相对拥挤,最慢的车期望速度降低,从而影响路面的平均速度。

3.2 Design to Avoid Collision 当模拟交通拥挤时,我们设计规则以避免车祸。通常情况下,高速公路限制最低速度，,但当发现自己太过接近而不能超车时,它可以刹车以避免碰撞尽管有低速度限制，当高速公路拥挤,减速的次数增多以避免碰撞，平均速度会低于下限的速度。Model Implementation with Computer 基于元胞自动机模型和蒙特卡罗算法,我们成功地通过MATLAB实现了我们的模型。从一个简单的情况下，我们第一次模拟2车道的高速公路下靠右的规则。然后稍微的改变规则,我们有无限制双车道模型进行比较。我们扩展模型，模拟实现了3车道的高速公路和规则条件。此外,在交通靠左行驶规则下, 以不同的速度限制以及交通由一个智能系统也能实现。为了看到交通拥挤的影响，我们用不同的流入率测试这些模型。通过足够的模拟数据,我们可以精确分析靠右走在拥挤和稀松交通的情况,包括车流和安全，平均速度，交通密度和超车频率之间的权衡。

我们进一步讨论靠左规则的影响和智能系统。图显示了车辆,预期流入率是0.5 veh / s,小型汽车的比例是较大的车辆的二倍,在三车道上。图记录位置的所有车辆在每一个时间周期。红色代表小型汽车和绿色代表大的车辆。每三列代表高速公路的一个时间周期状态。Data Analysis and Model Validation

5.1 Average Velocity 车流对于vehicle-generation rate呈线性关系。我们选择车流的平均速度来反映交通效率。从双车道模型和三车道模型我们分析数据，,在靠右规则和无限制规则下。平均速度和车流率之间的关系在不同条件下的图4和图5所示。

很明显,在双车道模型中,一般靠右的规则产生更快的平均速度。当涉及到三个车道或者更多车道的高速公路时，靠右的规则不能再提高平均速度。根据图我们可以看到,当vehicle-generation率超过0.75 veh / s,无限制的规则胜过靠右的规则。

我们可以从图中得到高车流量可能引发交通堵塞,。当车流量高于1.8 veh /S,两个模型中的平均速度都低于高速公路最低限速。

如果忽视了其他车辆的干扰(也就是说,车辆以自由规则的方式行驶在空的高速公路),平均速度,或者我们称之为理想速度最慢是19.44 m / s,和理想最快速度是25.88米/秒。(数据来自我们的MATLAB仿真。)我们可以从图4和5,看到，当车流量很低,靠右的规则几乎可以达到理想的速度,但不受限制的规则就不理想。

我们可以从分析得出在三车道高速公路,靠右走在车流量小时能促进车辆的平均速度，但改善没有改善交通拥挤的交通效率。然而 双车道高速公路上,靠右走能显著促进了车辆的平均速率。

5.2 Average Velocity of Fast Cars 我们计算了在三车道模型平均速度更快的汽车速度。我们主要专注快车是为了研究快车被慢车阻塞的程度关系

总的趋势是下降的原因如下:

•大型车辆(慢)可能阻塞道路导致限制小型汽车的速度。

•越拥挤的高速公路,平均速度越会被慢的车辆影响。

当流入率相对较低时速度上升。这是因为在开始,流入率如此之低以至于汽车几乎没有被超车,这使得他们以自由的风格行驶。随着流入率在较低的范围(0-0.5-阿明费/ s)提高时，汽车有更多的机会去超速以至于他们加速的可能增加和平均速度增加。

曲线的趋势也可以解释,密集的交通(在一个某些范围)能刺激司机超车的愿望。

5.3 Density

这四个图表显示在不同的规则下每个车道的车流密度。我们发现靠右的规则能引起车道的不平衡使用,在现实中可能的结果在车道中不同程度的磨损。所以对车道不同程度的交错修复可以减小对车道的损坏 5.4 Overtaking Rate

我们在五分钟内总结在三车道 中超车或通过事件的发生

在无限制的规则下,左超车和右超车是相等的，所以两边的车流量大约是相同的。

在靠右的规则下, 如果可能的话大部分车辆行驶在右车道，这样腾出左边的车道,于是更能满足超车的要求，使得这种事件的发生的可能大于行驶在左车道,。高通过率能使更快的汽车减少被速度较慢的车辆的限制，,充分体现靠右的规则。除此之外, 在右车道太多的车行驶会大大提高安全隐患。

这些数据是非常重要的对我们评价道路系统的危险指数。

5.5 Danger Index 在交通状况好的情况下，危险系数是低的。在交通状况密集的情况下，高速公路是拥挤的车速是慢的，所以危险系数也是低的。只有当车流密度出现在中间水平时,危险指数Dm是高的。我们从图表中知道在两车道和three-lane情况下Dm在靠右的规则下明显低于没有限制规则。Sensitivity Evaluation of the Model under Different Speed Limitations 我们修改高速公路的速度上限,并且这一结果说明我们的模拟是可行的。我们测试速度上限从32 m / s到 28米/秒和到36米/秒

从数据上看，尽管速度限制不同,但这三种模型表现出一个特性——vehicle-generation率的期望越低,平均速度约高。这一事实表明,我们的模型适用于大范围的情况。

我们也总结相应在不同速度限制情况下的危险指数,结果是由常识得到的。限制的速度越高，危险程度越大。

在我们的模型中速度限制不会出现任何显著的变化。Driving on the Left.（问题四）

我们讨论了右手交通,现在,让我们考虑左手交通。事情完全镜面对称,右边的交通。所以我们需要右边的模型中使用的汽车驾驶在左边。和我们的右手模型一样，左手交通也是可以模拟的 Transportation under Intelligent System（问题五）

8.1 New Rule for Intelligent System 我们在计算机上模拟后,我们为智能系统制定新规则使其能达到最佳性能

•当车流量低于1.5veh/s,汽车应该遵循靠右的规则。

否则,它遵循的无限制规则。

我们将在以下部分解释为什么我们选择这样的规则。

8.2 Adaption of the Model 如果车辆交通的道路是在智能系统的完全控制下，某些情况会改变:

•一个司机的反应时间不再重要。

•车辆不再随机变化速度,但在必要的时候会改变。

•换车道的危险显著降低。

•换车道的风险从左到右和从右到左是相同的，因为在一个智能系统中 一辆汽车司机的视线没有盲区。

•判断汽车是否应当超车是更科学和更少的主观。智能系统模型的主要目标是实现一个高级的交通流量控制。我们认为一个智能系统不会像人类一样厌倦或分心，所以它不会犯错误。因此,不会发生,除非车辆本身出故障。在安全方面,我们简单的认为是速度的函数。

先前的分析和现在的CA模型基础上,我们建立了一些额外的规则: •改变反应时间0.1秒,得到更小的最小安全车距。

•不再随机变化速度。变化的速度会更有价值。我们调整自由驾驶速度改变的可能性(pa加速概率，Pb减速概率)分布表:

•改变超车概率Po表:

8.3 Result of Intelligent System 当车流量很低,靠右的规则是更好的提高平均速度。这是容易理解的。无限制的规则下,慢行的车辆不会变换车道,除非超车。因此他们可能会阻挡整个道路,导致道路通行状况差。但靠右的规则将提供给超车的车辆更多的机会。

当车流量高时,道路上的车辆密度在靠右走的规则下会变得不均衡。最右边的车道变得如此拥挤以至于平均速度大大降低。但在无限制的规则下车辆均匀分布在道路,所以无限制高速公路不会拥挤。Conclusions 靠右行走在很多国家,甚至一些国家法律中确定。通过建立一个合理的模型和实际路况的仿真,我们发现在某种程度上靠右走规则可以分割快速和慢速车辆到不同的车道上。快速的车辆在车流中将获得更少的限制,因此高速公路承载能力和人们的出行效率会得到改善。(尽管我们多车道的模拟,无限制的规则执行在车辆拥挤的路上好一点,但也带来了巨大的风险与keepright-except-to-pass

规则相比,所以我们建议

keep-right-expect-to-pass

规则。

速度限制直接影响交通安全,速度越高，高速公路越没有安全感。但非理性的降低速度，将导致不必要的交通效率损失。如何平衡速度和安全的关系，需要进一步研究在不同速度限制中车辆的性能和事故发生频率。

在英国和日本这样的国家,车辆大多是右手驱动(车辆控制位于右侧)。安全风险较高。因此,他们制定的规则完全镜像对称保持正确除了通过规则,即靠左规则,降低交通事故的发生率

当我们看在控制系统下的模型时，在那里碰撞不会发生，,靠右的规则在轻松的交通情况下会有更好的平均速度和不受限制的规则更好的执行在车辆拥挤的路上。因此,我们提出一种新的驾驶交通规则为了完全适应一个智能系统:当车流量低于1.5 veh / s,车辆应遵循靠右的规则。否则,它遵守无限制的规则。Strengths and Weaknesses 任何模型都有它的优点和缺点。下面的一些主要观点提出了。

10.1 Strengths •充分考虑驾驶员的精神状态

在匀速行驶模型中,我们充分考虑超车驾驶员的心理。当两辆车速度差距很大时，会更容易发生超车事件。

在自由开车风格中,车辆速度的变化会遵从独特的概率分布,模拟了不可预知的轻微变化速度在实际驾驶中的情况 •容易评估系统的安全

在我们的模型中我们排除了汽车相撞的可能,但在使用了危险指数去评估系统的安全。这种分析包含了在现实生活中相撞的可能。

10.2Weakness

•不够准确

单元(单元)差距变化和速度的关系比较大, 可能损害模拟的准确性。

•一些参数的值不是很科学

一些参数缺乏真实的数据,所以我们必须基于常识估计。

References

Appendices 这里有仿真项目我们用来实现model.For

在我们的模型中,列出不同的规则xdeal。m函数可能有点不同。

6.2024研究生数学建模竞赛A题 篇六

在一些开车靠右行驶的国家（美国，中国和大多数的其他国家，除了英国，澳大利亚和一些英国的殖民地），多车道高速公路通常采用一个规则，要求司机在大多数高速公路上开车时靠右行驶，除非他们在超车时，这种情况下，他们要移到左边的车道，超车然后回到他们从前的车道。

建立和分析一个数学模型来分析这个规则在交通畅通和交通拥堵的情况下的表现。希望你能检查交通流量和安全、过高或过低车速的限制（那就是，车速太高或太低）或者其它的本题中可能没有提出的因素之间的权衡。这个规则在更好的提高交通流量的安全性上是否有效？如果没有，建议和分析另一种办法（包括可能这种类型的规则），那可能提高更大的交通流量、安全、和其他你认为重要的因素。

在一些靠左行驶的国家里，讨论你的方法能否在简单改变方向的或者需要附加要求的情况下应用。

最后，上述的规则依靠人类的判断作为规范。如果在相同的公路上汽车运输完全受智能系统的控制，道路网络的一部分或者嵌入所有交通工具所用的道路设计，这是你在多大程度上改变你前面的分析的结果？

问题B：大学传奇教练

《体育画报》，一个运动爱好者杂志，正在寻找上个世纪男或女的“最好全天候大学教练”。建立数学模型，从男性或女性教练中，从诸如高校曲棍球或曲棍球，足球，棒球或垒球，篮球，足球或选择其中最好的大学教练或教练们（过去或现在）。你用哪一个时间线范围是否造成不同结果，也就是说，教练在1913年是否不同于教练在2013年？清楚地说明您的度量for评估。讨论你的模型如何可以在一般的跨越男女和所有可能的运动中应用。展示你的模型在每3个不同的运动中的前5名教练。

7.2024研究生数学建模竞赛A题 篇七

1.2A． 201622017（）.2016

B.C.22017

D.22017

2.a 是有理数，则aa的值一定（）.A．大于0

B.小于0

C.不大于0

D.不小于0 3.如图，AB // CD，A120ο，B50ο，D60ο，E140ο，则BCDAFE（）.A． 0

B.10

C.20

D.30 οACFEBD4.Given that a，b，c and d are negative numbers，andx1ax2bx3cx4d0，then the value of x1x2is（）.x3x4111，Q，R，则P，Q，R的大小关201603201604201602201604201602201603A．a negative number

B.a non-negative number

C.a positive number

D.a non-positive number 5.已知P系是（）.A．PQR

B.PRQ

C.QPR

D.RQP 6.x1x2x3的最小值为（）.A．3

B.4

C.5

D.6 7.如图所示，1，2，3的大小关系是（）.A．21B.132

C.32D.123

8.若关于x的方程aaxbbx0，有无穷多个解，则（）.A3E2BOD1Ca0

D.ab0 b1ο9.,一个是锐角，一个是钝角，甲、乙、丙、丁四位同学在计算时，得到的结果依次是17，5A．ab0

B.ab0

C.42ο，56ο，73ο，其中的确有正确的结果，则计算正确的同学是（）.A．甲

B.乙

C.丙

D.丁

10.若a，b，c是任意的三个有理数，则以下四个式子中与abc2017的值相等的是（）.A．bac2017

B.bca2017

C.cab2017

D.cab2017 201420152016,b,c，则（）

20***72A.abc

B.bca

C.cba

D.acb 11.若a12.已知ab5,bc8,cd10，则ad的最小值为（）

A.0

B.1

C.2

D.3 13.如图，C，D是线段AB上的任意两点，M，N分别是AC，BD的中点，若AB=10，CD=2，则MN的长度是（）

A.3

B.4

C.5

D.6 14.已知n个数x1,x2,...,xn，每个数都是0，1，－1中的某一个.若x1x2...xn1000，则

20172017的值为（）x12017x2...xnA.1

B.10

C.100

D.1000 15.不等式m8x1n的解集长度为25，则（）

A.nm2

5B.nm199

C.nm200

D.nm201 16.已知(x2ax3)(x1)x3bx2cx3,其中a,b,c为常数，则bc(A.-4

B.-3

C.1

D.4 17.已知关于x的方程3x4a和)

xa1，若前者的根是后者根的两倍，则常数a的值为（）3999A.0

B.1

C.2

D.4 18.已知a13333...3123431000，则a被4除，得到的余数是（）

A.3

B.2

C.1

D.0 19.2017减去它的1111，再减去余下的，再减去余下的，依此类推，一直到最后减去余下的，最2341000后的结果为m，则m的取值范围是（）

A.0m

1B.1mC.2mD.m3

20.某班教室全部是双人课桌，被学生坐满没有空位.其中60%男学生的同桌也是男生，而20%女学生的同桌也是女生.那么，这个班的女生占全班学生总数的（）%.A.131111

B.23

C.33

D.43 3333012n21.444...4除以7的余数是1，则n有可能等于（）A.214

B.215

C.216

D.217 22.某一工人制作1个A零件、1个B零件、1个C零件所用的时间之比为1：2：3.他用10个工时可以制作2个A零件、3个B零件、4个C零件，如果他要制作14个A零件、10个B零件、2个C零件，所需工时是（）

A.12

B.15

C.18

D.20 23.△ABC中，∠A为最小角，∠B为最大角，且2∠B=5∠A，若∠B的最大值为m°，∠B的最大 小值为n°，则m+n的值为（）

A.155

B.165

C.175

D.185 24.某次数学竞赛共有10道选择题，每道题答对得4分，不答不得分也不扣分，答错扣1分，当总分出现负值时，阅卷系统将自动把总分归为零，则可能有（）种不同的总分.A.35

B.36

C.37

D.41 25.如图，在△ABC中，∠CAB－∠B =90°，D在BC的延长线上，CE平分 ∠ACD与BA的延长线交于E，则∠E的度数是（）A.30°

B.35°

C.40°

D.45°

26.若a,b是正整数，且满足(ab3)24(a2b2)，则使得等式成立的(a,b)有（）组.A.0

B.2

C.4

D.6 27.D，E分别在∠CAB的AB，AC边上，∠BDE的平分线与∠CED的平分线交于F，若∠A=38°，则∠F=（）A.52°

B.71°

C.76°

D.57°

28.某校100名学生在一次某校100名学生在一次语、数、外三科竞赛中,参加语文竞赛的有39人，参加数学竞赛的有49人，参加外语竞赛的有41人，既参加语文又参加数学竞赛的有14人,既参加数学又参加外语竞赛的有13人，既参加语文又参加外语竞赛的有9人，有1人这三项竞赛都不参加.问三项都参加的有（）人.A.3

B.4

C.5

D.6 29.如图是我国古代数学家在证明勾股定理时作的图，图中的四个直角三角形 是全等的，若大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，若AEa,DEb，则A.a(b)

1223

B.C.D.235530.如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，且三条中线交于一点O，则图中共有（）对面积相等的三角形.A.15

B.18

C.30

D.33 31.计算(1)4(2)3(3)2(4)1_______

32.已知3a2b5，4a6a3b，则a2b2______

33.已知ab1，ca2，则(ab)2(cb)2(ca)2______

34.已知三角形的一个内角等于63°，有一个外角与该三角形的一个内角相等，那么该三角形中最小的内角等于________°.35.已知a,b互为相反数，则a2015b2016a2016b2017a2017b2016a2016b2015_____.36.已知37.将xxxx...999，则x____ 12233499910001化为小数，则小数点后第2017位的数字与小数点后第7102位的数字之和是_________ 738.对自然数a,b定义一种新运算：ab等于由a开始的连续b个自然数之和.如：

232349，54567826，则20(17)________.123451%)5(2%)4(3%)3(4%)2(5%)1030_______ 23456a2a1a40.若a3，m，n,p，则m,n,p中最大的是__________ a3a2a139.计算( 2017年第28届希望杯数学竞赛初一年培训题参考答案（第1~40题）1~5

ADBCA 6~10

8.2024研究生数学建模竞赛A题 篇八

1.已知直角梯形ABCD的四条边长分别为AB2,BCCD10,AD6，过B、D两点作圆,与BA的延长线交于点E，与CB的延长线交于点F，则BEBF的值为____4_____.（2007）

解延长CD交⊙O于点G，设BE,DG的中点分别为点M,N，则

易知AMDN.因为BCCD10，由割线定理，易证BFDG，所以BEBFBEDG2(BMDN)2(BMAM)2AB4.F M N D

C

2．如图，正方形ABCD的边长为1，M,N为BD

所在直线上的两点，且AMMAN135，则四边形AMCN的面积为

5（2008）

解设正方形ABCD的中心为O，连AO，则AO

BD，AOOB, MO又ABMNDA135，,∴MBMOOB.245NADMANDABMAB13590MAB

MABAMB，所以△ADN∽△MBA，故ADDNAD，从而DNBA1MBBAMB2根据对称性可知，四边形AMCN的面积

115S2S△MAN2MNAO2.222

3． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为m和n，则四边形DECF的面积为______.（2009）

【答】

设△ABC的面积为S,则因为△ADE∽△ABC，所

以

AD



ABBD又因为△BDF∽△BAC，所以

AB两式相加

得

F

C

ADBD1，即ABAB1，解

得S2.所以四边形DECF的面积为2mn

4．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA

PC＝5，则PB＝______．（2009）【答】

EmP,F作PE⊥AB，交AB于点E，作PF⊥BC，交BC于点F，设P

△PCF中利用勾股定理，得

n，分别在△PAE、m2(5n)25①(5m)n25②

②－①，得10(nm)20，所以mn2，代入①中，得n7n120，解得n13，n24.F

C

当n3时，mn21，在Rt△PAE

中，由勾股定理可得PB当n4时，mn22，此时PEAE，所以点P在△ABC的外面，不符合题意，舍去.因此PB

5．在△ABC中，已知B2A，BC2,AB22，则A．（2011）【答】 15。

延长AB到D，使BD＝BC，连线段CD，则DBCD

ABCA，所以CA＝2

CD。

作CEAB于点E，则E为AD的中点，故

AEDEAD(ABBD)(22)2222，EB

D

BEABAE(2(2.在Rt△BCE

中，cosEBC

EB，所以EBC30，故 

BCA

ABC15． 2

6．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F，如果DE＝．（2011）

【答】 24.设CE4x,AEy，则DFDE3x,EF6x．

连AD，BC．因为AB为⊙O的直径，AF为⊙O的切线，所以

A

B

CE，AC8，D为EF的中点，则AB4

EAF90,ACDDAF．

又因为D为Rt△AEF的斜边EF的中点，∴ DADEDF，∴ DAFAFD，∴ ACDAFD，∴ AFAC8． 在Rt△AEF中，由勾股定理得EF

F

AE2AF2，即 36x2y2320．

设BEz，由相交弦定理得 CEDEAEBE，即yz4x3x12x，∴ y3203yz① 又∵ ADDE，∴ DAEAED．

又DAEBCE,AEDBEC，∴ BCEBEC，从而BCBEz．

在Rt△ACB中，由勾股定理得 ABACBC，即(yz)320z，∴ y2yz320．② 联立①②，解得y8,z16．

所以ABAEBE24．

7．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P为AB上一点，∠ACP＝20°，则＝．（2012）

【答】

设D为BC的中点，在△ABC外作∠CAE＝20°，则∠BAE＝60°.作CE⊥AE，PF⊥AE，则易证△ACE≌△ACD，所以CE＝CD＝

BCAP

BC.2

又PF＝PAsin∠BAE＝PAsin60

°＝

1AP，PF＝CE，所以AP＝BC，222

因此

BC

AP

E

9.南开大学2014年数学建模A题 篇九

背景：股指期货交易最适宜高频交易，一个客户往往一天要进行300-500次买卖。以每次微小的盈利，频繁操作，赚取利润。股指期货交易与股票交易不同，可以双向交易，分为看涨及看跌两种情景。

如：预期未来股指点位上涨，买入股指期货多头合约称为买开仓，价格上涨后，高价格卖出多头合约称为卖平仓，则盈利；如果买开仓后，实际股指点位低于买开仓点位，为了控制风险，也要售出持有的合约，也称为卖平仓，此时的交易结果为亏损。

如：预期未来股指点位下跌，买入股指期货空头合约称为卖开仓，当股指点位下跌到预期的低点位，把持有的空头合约卖掉称为买平仓，交易结果为盈利，如果股指点位上涨高于卖开仓点位，为了控制风险，也要售出，此时也称为买平仓，实际交易结果产生亏损

股指期货1个波动点价值300元，如涨1个点，将有300元的价值变化，最小波动点0.2个点，价值变化0.2*300=60元。

以下举例子说明看涨看空盈利亏损计算：

1，预期价格上涨，2130点位买开仓，涨到2131.2，以2131.2卖平仓成交，产生利润：

（2131.2-2130）*300=360元

2，若2130点位买开仓，实际价格跌到2129，以2129卖平仓成交，产生亏损：

（2129-2130）*300=-300元

3，预期价格下跌，看空，以价格2140卖开仓，持有空头头寸，实际价格走势下跌到2138点位，以2138价格买平仓成交，则交易盈利：（2140-2138）*300=600元；

4，预期价格下跌，看空，以点位2140卖开仓，持有空头头寸，实际价格走势上涨到2141，为了控制风险，以2141价

格买品仓成交，则此交易亏损：（2140-2141）*300=-300元。

不论是看涨还看跌合约，买入每手合约的必须交付的保证金的计算公式：

保证金=买入时的点位乘以300再乘以18%。

也就说不是全额付费。

读懂股指期货的操作规则后，完成以下具体任务：

1． 根据题目附带的7个交易日的原始数据（text）中前15分钟（到9点32分为止），计算回报率yt=xt-xt-1所得的时间序列的均值和方差。然后再用全天的数据计算回报率yt=xt-xt-1所得的时间序列的均值和方差。比较两种不同情形得到的均值与方差之间的关系：有几天差异不大？有几天差异较大？决定是否可以用前15分钟的局部数据的均值和方差代替用整天的数据得到的均值和方差？可靠性如何？

2． 在附件中也附带了某个投资者的实际操作记录（excel），在回报率时间序列的曲线上所在的平面上（用标准差sigma为纵坐标单位）标出该投资者交易的位置。注意，买入看涨开仓点位（买开仓）用红点，卖出看涨（卖平仓）用蓝点。买入看跌合约（卖开仓）用绿点，卖出看跌合约（买平仓）用黄点。

3． 如果你知道了全天的回报率的图形之后，根据图形的高点和低点来进行看涨看跌组合投资，计算最大可能的投资收益应该是多少？与附录中的操盘手的收益比较，计算出收益倍数。