函数的单调性证明

函数的单调性证明（精选11篇）

1.函数的单调性证明 篇一

复合函数的单调性的证明

例

1、已知函数yf(x)与yg(x)的定义域都是R，值域分别是0,与,0，在R上f(x)是增函数而g(x)是减函数，求证:F(x)f(x)g(x)在R上为减函数.分析：证明的依据应是减函数的定义.证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1x2，则F(x1)F(x2)f(x1)g(x1)f(x2)g(x2)

f(x1)g(x1)f(x1)g(x2)f(x1)g(x2)f(x2)g(x2)f(x1)g(x1)g(x2)g(x2)f(x1)f(x2)

f(x)是R上的增函数，g(x)是R上的减函数，且x1x2.f(x1)f(x2)，g(x1)g(x2)即f(x1)f(x2)0，g(x1)g(x2)0.又f(x)的值域为0,，g(x)的值域为,0，f(x1)0,g(x2)0.F(x1)F(x2)0即F(x1)F(x2)

F(x)在R上为减函数.小结：此题涉及抽象函数的有关证明，要求较高，此外在F(x1)F(x2)的变形中涉及到增减项的技巧，它也应是源于单调性只能比较同一个函数的某两个函数值，必须构造出f(x1)与f(x2)的差和g(x1)与g(x2)的差.

2.函数的单调性证明 篇二

例:比较log3 (x+1) 和log3 (2x+3) 的大小。

分析:从题设的两个对数, 便联想起y=log3t在 (0, +∞) 上是单调增函数, 因此, 只须比较真数的大小, 原题就获解。

当x>-1时, 有0<x+1<2x+3, 因为函数y=log3t在 (0, +∞) 上递增, 故log3 (x+1) <log3 (2x+3) 。

二、利用函数单调性解不等式

例:已知函数f (x) 对任意x, y∈R总有f (x) +f (y) =f (x+y) , 且当x>0时f (x) <0。解不等式f (x2-2x) >f (x+4) 。

分析:若函数f (x) 在区间D上单调递增, 则x1, x2∈D且f (x1) >f (x2) 时, 有x1>x1。

若函数f (x) 在区间D上单调递减, 则x1, x2∈D且f (x1) >f (x2) 时, 有x1<x1。

本题为抽象函数, 故代入求值解不等式不可行, 因此, 利用上述函数单调性的这种可递性来解。

解:令x=y=0, 则f (0) =0

令x=-y, 可得f (-x) =-f (x)

在R上任取x1>x2, 则 (fx1) - (fx2) = (fx1) + (f-x2) = (fx1-x2) ∵x1>x2, ∴x1-x2>0, 又∵x>0时 (fx) <0, ∴ (fx1-x2) <0

即f (x1) -f (x2) <0, ∴f (x1) >f (x2) ∴f (x) 在R上单调递减。

由 (fx2-2x) > (fx+4) , 得x2-2x<x+4∴-1<x<4。

∴不等式解集为 (-1, 4) 。

三、利用函数单调性求函数值域

解:函数的定义域为[1, 2], 显然函数在[1, 2]上递增, ∴值域为[-1, 1]。

四、利用函数单调性求参数的取值范围

例:已知函数 (x≠0, 常数a∈R) , 若函数在[2, +∞) 上为增函数, 求a的范围。

分析:已知函数在某区间上的单调性, 求参数的取值范围的本质就是转化为不等式恒成立的问题。

解:在[2, +∞) 上恒成立,

即a≤2x3在[2, +∞) 上恒成立,

∴a≤16, ∴a的范围 (-∞, 16]。

五、利用函数单调性作图

例:画出函数, 的图像。

解:∵f (-x) =-f (x) , ∴f (x) 为奇函数, 根据奇函数图像关于原点对称, 只需画出 (0, +∞) 上的图像。

当x>0时, 由, 得x=1,

∵x∈ (0, 1) 时, f&apos; (x) >0, ∴f (x) 在 (0, 1) 上递增,

∵x∈ (1, +∞) 时f&apos; (x) <0, ∴f (x) 在 (1, +∞) 上递减。

六、构造函数判断单调性, 再利用单调性解决相关问题

例:已知a>1且ax-logay>ay-logax, 比较x、y的大小。

分析:根据题目的特点, 构造适当的函数, 利用它的单调性解题是一种常用的解题技巧。

解:由条件得ax+logax>ay+logay, 构造函数f (t) =at+logat, 则上式即为f (x) >f (y) , 显然f (t) =at+logat在 (0, +∞) 上是增函数, ∴x>y。

七、函数单调性在数列中的应用

例:已知数列{an}中, , Sn为其前n项和, 求证

分析:数列的通项公式是由一个等差数列和等比数列组合而成, 我们可以先求出Sn, 再证, 但这样太过繁锁, 故考虑利用函数单调性求解。

解:由错位相消法得, 当n≥2时,

∴{Sn}为递增数列, ∴。

摘要：函数的单调性是函数性质中重要的性质之一, 是历年高考重点考查内容, 也是解决数学问题的有力工具, 灵活运用函数的单调性, 充分发挥它的功能可使我们达到事半功倍的效果, 下面笔者从七个方面浅谈函数单调性的应用。

3.“函数的单调性”教学设计 篇三

认识目标：掌握函数单调性的概念；会判断一些简单函数的单调性。

能力目标：培养学生的分析、归纳和总结能力；培养学生运动变化和数形结合的数学思想；培养学生理论联系实际的辩证唯物主义思想。

情感目标：营造亲切、活跃的课堂气氛，实施多元化评价，激励学生，使学生尝试成功，以点燃学生的学习热情。

教学重点、难点

重点：函数单调性概念和函数单调性的判断。

难点：判断函数的单调性。

教学过程设计与分析

创设问题情境

多媒体：学校的简介。（利用Flash进行演示）

提出问题：学校准备建造一个长方形的花坛，面积设计为16平方米。由于周围环境的限制，其中一边的长度长不能超过10米，短不能少于4米，求花坛半周长的最小值和最大值。

教师说明：此环节为创设情境。我们学校是上海市投资新建的郊区四所寄宿制重点高中之一，有着一流的硬件设施，绿化建设正在进行之中。抓住这一点，我设计了这节课的引例，切合实际，让学生有种亲切感。提出问题后，让学生思考、讨论下列问题：如何把实际问题归结为数学问题？经过思考、讨论，估计学生可以把问题归结为：设受限制一边长为x米，4≤x≤10，则另一边为16/x米，求半周长y＝x＋16/x（4≤x≤10）的最小值和最大值。如何求最小值？——运用基本不等式。如何求最大值？经过思考、讨论，最后大家一致认为利用y＝x＋16/x（4≤x≤10）的图像可以得出结论。

多媒体：利用Flash演示y＝x＋16/x（4≤x≤10）的图像,如图1所示。

教师说明：利用Flash给出函数的图像，从函数图像可以直观地得出结论，但是缺乏理论依据。指出缺乏理论依据的结论是站不住脚的，所以问题转化为寻找其理论依据，从而引入课题。这样可以培养学生严谨的治学态度。

揭示课题，引入新课

1.几何画板演示，点明课题。

多媒体：利用几何画板演示y＝x＋16/x（4≤x≤10）的动态的变化过程。用鼠标从左向右缓慢拖动y＝x＋16/x（4≤x≤10）上的A点，引导学生观察A点的纵坐标的变化情况（随着自变量x的增大，函数值y也在增大），如图2所示。

2.请学生根据自己的理解给出增函数定义。

一般地，对于给定区间上的函数f(x)：如果对于属于这个区间的自变量的任意两个值x₁和x₂，当x₁＜x₂时，都有f(x₁)＜f(x₂)，那么就说函数f(x)在这个区间上是增函数。

3.请学生通过类比得出减函数的定义。

教师说明：在减函数定义的教学过程中，我改变了以往“灌输结论”的做法，让学生通过对增函数定义的理解从而得到减函数的定义，培养了学生的类比的重要数学思想方法，对于学生学习新知识、新概念有很大的帮助。

巩固新知，深化扩展

1.一次函数的单调性问题。

[例1]证明函数f(x)＝3x＋2在区间(－∞，＋∞)上是增函数。

引申：探索一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)在区间(－∞，＋∞)上的单调性。

2.二次函数的单调性问题。

[例2]判断函数f(x)＝x₂－2x的单调区间，并加以证明。

教师说明：例题的给出由简单的一次函数到二次函数，遵循了学生一般的认知规律，使学生容易接受，易于理解。在二次函数f(x)＝x²－2x的单调性的证明中，分工合作，第一、二组的学生完成函数在[1，＋∞)上的证明；第三、四组的学生完成函数在(－∞，1]上的证明，倡导自主学习、合作学习的新的学习方式。通过例1、例2的解决，让学生归纳判断函数单调性的基本步骤，培养学生分析、归纳和总结的能力。

判断函数单调性的基本步骤：

第一步，设x₁、x₂是区间内的任意两个实数，且x₁＜x₂。

第二步，比较f(x₁)、f(x₂)的大小。

第三步，给出结论。

自主解决——[引例]的解决

教师说明：有了上述理论作基础，一开始提出的问题就能迎刃而解：证明函数y＝x＋16/x在区间[4，10]上是增函数；得出结论，当x=10时，y_max=11.6。此环节起到了首尾呼应的作用，让学生体会到数学源于生活又服务于生活，体会到数学的魅力，并指出，函数单调性的研究为解决函数的最值问题提供了又一重要方法，可见研究函数的单调性是非常有必要的。那么我们为何不乘胜追击，探索更一般的情况，研究函数y=x+k/x(k∈Ｒ)的单调性。

多媒体：利用Authorware进行探索、总结y=x+k/x(k∈Ｒ)图像，寻找一般的结果。（从特殊到一般）如图3、4所示。

学生总结、教师归纳

教师说明：提出问题，这节课你学到了哪些数学知识？学生一一罗列：函数单调性的概念、判断函数单调性的常用方法、证明函数单调性的基本步骤。进一步提出问题：整堂课体现了哪些重要的数学思维？自问自答：从特殊到一般的研究方法；从大胆的猜想到严格的证明；数形结合、类比的思想。利用计算机使我们探索数学问题的过程更加直观、简洁和生动。

（作者单位：上海市南汇中学 201300）

点评

“问题是数学的心脏”。一个好的问题能引起学生兴趣，启迪学生的思考，将思维引向深刻。闵丽红老师的“学校花坛问题”是一个很好的实际问题：在学校绿化建设中，如何建造其费用最省？闵老师通过引导学生观察问题、发现问题、提出问题、探究和解决问题，使学生感受到数学源于生活又服务于生活，以培养学生形成科学观，培养学生的创新精神和实践能力。

这节课最大的特点是贯穿始终的现代软件技术的应用，娴熟地运用了PowerPoint、Authorware、Flash和几何画板等多种教学媒体和手段，通过直观的画面和动态的影像，将数学知识的发生和发展淋漓尽致地展现在学生面前。尤其在利用Authorware进行探索、总结图像的过程中，首先，研究特殊情况（当k=2时）,使用列表描点、几何绘图两种方法，利用计算机动态地绘画出它的图像。紧接着，探索、总结其一般结果：随机地输入k的值，随即电脑显示相应函数的图像。最后，显示所有情况，一目了然，使每位学生对于图像都有了清晰的、精确的认识。利用多媒体处理这一部分达到的效果，是传统教学所不及的，充分地体现了现代技术的优越性。

4.函数的单调性 篇四

（学生朗读．）

师：好，请坐．通过刚才阅读增函数和减函数的定义，请同学们思考一个问题：这种定义方法和我们刚才所讨论的函数值y随自变量x的增大而增大或减小是否一致？如果一致，定义中是怎样描述的？

生：我认为是一致的．定义中的“当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y随x的增大而增大；“当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y随x的增大而减少．

师：说得非常正确．定义中用了两个简单的不等关系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质．这就是数学的魅力！

（通过教师的情绪感染学生，激发学生学习数学的兴趣．）

师：现在请同学们和我一起来看刚才的两组图中的第一个函数y=f1（x）和y=f2（x）的图象，体会这种魅力．

（指图说明．）

师：图中y=f1（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f1（x1）＜f1（x），因此y=f1（x）在区间[a，b]上是单调递增的，区间[a，b]是函数y=f1（x）的单调增区间；而图中y=f2（x）对于区间[a，b]上的任意x1，x2，当x1＜x2时，都有f2（x1）＞f2（x2），因此y=f2（x）在区间[a，b]上是单调递减的，区间[a，b]是函数y=f2（x）的单调减区间．

（教师指图说明分析定义，使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧知识融为一体，加深对概念的理解．渗透数形结合分析问题的数学思想方法．）

师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应……

（不把话说完，指一名学生接着说完，让学生的思维始终跟着老师．）

生：较大的函数值的函数．

师：那么减函数呢？

生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数．

（学生可能回答得不完整，教师应指导他说完整．）

师：好．我们刚刚以增函数和减函数的定义作了初步的分析，通过阅读和分析你认为在定义中我们应该抓住哪些关键词语，才能更透彻地认识定义？

（学生思索．）

学生在高中阶段以至在以后的学习中经常会遇到一些概念（或定义），能否抓住定义中的关键词语，是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他各学科的重要一环．因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题，认识问题的能力．

（教师在学生思索过程中，再一次有感情地朗读定义，并注意在关键词语处适当加重语气．在学生感到无从下手时，给以适当的提示．）

生：我认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语．

师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概念时还要注意区别它们之间的不同．增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性．请大家思考一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的？为什么？

生：不能．因为此时函数值是一个数．

师：对．函数在某一点，由于它的`函数值是唯一确定的常数（注意这四个字“唯一确定”），因而没有增减的变化．那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢？你能否举一个我们学过的例子？

生：不能．比如二次函数y=x2，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数．因而我们不能说y=x2是增函数或是减函数．

（在学生回答问题时，教师板演函数y=x2的图像，从“形”上感知．）

师：好．他（她）举了一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间”．这说明函数的单调性是函数在某一个区间上的性质，但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数．因此，今后我们在谈论函数的增减性时必须指明相应的区间．

师：还有没有其他的关键词语？

生：还有定义中的“属于这个区间的任意两个”和“都有”也是关键词语．

师：你答的很对．能解释一下为什么吗？

（学生不一定能答全，教师应给予必要的提示．）

师：“属于”是什么意思？

生：就是说两个自变量x1，x2必须取自给定的区间，不能从其他区间上取．

师：如果是闭区间的话，能否取自区间端点？

生：可以．

师：那么“任意”和“都有”又如何理解？

生：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要x1＜x2，f（x1）就必须都小于f（x2），或f（x1）都大于f（x2）．

师：能不能构造一个反例来说明“任意”呢？

（让学生思考片刻．）

生：可以构造一个反例．考察函数y=x2，在区间[-2，2]上，如果取两个特定的值x1=-2，x2=1，显然x1＜x2，而f（x1）=4，f（x2）=1，有f（x1）＞f（x2），若由此判定y=x2是[-2，2]上的减函数，那就错了．

师：那么如何来说明“都有”呢？

生：y=x2在[-2，2]上，当x1=-2，x2=-1时，有f（x1）＞f（x2）；当x1=1，x2=2时，有f（x1）＜f（x2），这时就不能说y=x2，在[-2，2]上是增函数或减函数．

师：好极了！通过分析定义和举反例，我们知道要判断函数y=f（x）在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格依照定义在给定区间内任取两个自变量x1，x2，根据它们的函数值f（x1）和f（x2）的大小来判定函数的增减性．

（教师通过一系列的设问，使学生处于积极的思维状态，从抽象到具体，并通过反例的反衬，使学生加深对定义的理解．在概念教学中，反例常常帮助学生更深刻地理解概念，锻炼学生的发散思维能力．）

师：反过来，如果我们已知f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判定函数值的大小，也可以由函数值的大小去判定自变量的大小．即一般成立则特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立．这恰是辩证法中一般和特殊的关系．

（用辩证法的原理来解释数学知识，同时用数学知识去理解辩证法的原理，这样的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的内涵和外延，培养学生学习的能力．）

三、概念的应用

例1图4所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f（x）的图象，根据图象说出f（x）的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f（x）是增函数还是减函数？

（用投影幻灯给出图象．）

生甲：函数y=f（x）在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数，因此[-5，-2]，[1，3]是函数y=f（x）的单调减区间；在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数，因此[-2，1]，[3，5]是函数y=f（x）的单调增区间．

生乙：我有一个问题，[-5，-2]是函数f（x）的单调减区间，那么，是否可认为（-5，-2）也是f（x）的单调减区间呢？

师：问得好．这说明你想的很仔细，思考问题很严谨．容易证明：若f（x）在[a，b]上单调（增或减），则f（x）在（a，b）上单调（增或减）．反之不然，你能举出反例吗？一般来说．若f（x）在[a，

（增或减）．反之不然．

例2证明函数f（x）=3x+2在（-∞，+∞）上是增函数．

师：从函数图象上观察函数的单调性固然形象，但在理论上不够严格，尤其是有些函数不易画出图象，因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性的基本途径．

（指出用定义证明的必要性．）

师：怎样用定义证明呢？请同学们思考后在笔记本上写出证明过程．

（教师巡视，并指定一名中等水平的学生在黑板上板演．学生可能会对如何比较f（x1）和f（x2）的大小关系感到无从入手，教师应给以启发．）

师：对于f（x1）和f（x2）我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数a，b，如果a＞b，那么它们的差a-b就大于零；如果a=b，那么它们的差a―b就等于零；如果a＜b，那么它们的差a-b就小于零，反之也成立．因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系．

生：（板演）设x1，x2是（-∞，+∞）上任意两个自变量，当x1＜x2时，

f（x1）-f（x2）=（3x1+2）-（3x2+2）=3x1-3x2=3（x1-x2）＜0，

所以f（x）是增函数．

师：他的证明思路是清楚的．一开始设x1，x2是（-∞，+∞）内任意两个自变量，并设x1＜x2（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“①→设”），然后看f（x1）-f（x2），这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注”②→作差，变形”）．但美中不足的是他没能说明为什么f（x1）-f（x2）＜0，没有用到开始的假设“x1＜x2”，不要以为其显而易见，在这里一定要对变形后的式子说明其符号．应写明“因为x1＜x2，所以x1-x2＜0，从而f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“③→定符号”）．最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）．

这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住．需要指出的是第二步，如果函数y=f（x）在给定区间上恒大于零，也可以

小．

（对学生的做法进行分析，把证明过程步骤化，可以形成思维的定势．在学生刚刚接触一个新的知识时，思维定势对理解知识本身是有益的，同时对学生养成一定的思维习惯，形成一定的解题思路也是有帮助的．）

调函数吗？并用定义证明你的结论．

师：你的结论是什么呢？

上都是减函数，因此我觉得它在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数．

生乙：我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减函数的定义．比如取x1∈（-∞，0），取x2∈（0，+∞），x1＜x2显然成立，而f（x1）＜0，f（x2）＞0，显然有f（x1）＜f（x2），而不是f（x1）＞f（x2），因此它不是定义域内的减函数．

生：也不能这样认为，因为由图象可知，它分别在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数．

域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在（-∞，0）和（0，+∞）每一个单调区间内都是减函数．因此在函数的几个单调增（减）区间之间不要用符号“∪”连接．另外，x=0不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间．

上是减函数．

（教师巡视．对学生证明中出现的问题给予点拔．可依据学生的问题，给出下面的提示：

（1）分式问题化简方法一般是通分．

（2）要说明三个代数式的符号：k，x1・x2，x2-x1．

要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要改变．

对学生的解答进行简单的分析小结，点出学生在证明过程中所出现的问题，引起全体学生的重视．）

四、课堂小结

师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应该特别注意的？

（请一个思路清晰，善于表达的学生口述，教师可从中给予提示．）

生：这节课我们学习了函数单调性的定义，要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接；最后在用定义证明函数的单调性时，应该注意证明的四个步骤．

五、作业

1．课本P53练习第1，2，3，4题．

数．

=a（x1-x2）（x1+x2）+b（x1-x2）

=（x1-x2）[a（x1+x2）+b]．（*）

+b＞0．由此可知（*）式小于0，即f（x1）＜f（x2）．

课堂教学设计说明

函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质．并且在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用．对学生来说，函数的单调性早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质．学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味．因此，在设计教案时，加强了对概念的分析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西，其中甚至包含着辩证法的原理．

另外，对概念的分析是在引进一个新概念时必须要做的，对概念的深入的正确的理解往往是学生认知过程中的难点．因此在本教案的设计过程中突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义，而且想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步的认识，并且在以后的学习中学有所用．

还有，使用函数单调性定义证明是一个难点，学生刚刚接触这种证明方法，给出一定的步骤是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助．另外，这也是以后要学习的不等式证明方法中的比较化的基本思路，现在提出要求，对今后的教学作一定的铺垫．

5.函数的单调性教学反思 篇五

函数的单调性是函数非常重要的性质，在初中学习函数时，对这个问题已经有了初步的探究，当时研究比较粗浅，没有明确的定义。函数的单调性从图像的角度看，简单，清楚，直观容易理解。因此，这节课的设计是从熟悉的简单的具体的一次函数，二次函数入手，让每个学生通过图像体会图像的变化情况，并用普通语言描述。通过动画演示，让学生观察两个点在运动的过程中横、纵坐标之间的关系，并用抽象的数学符号语言来刻画，即当x1f(x2)，给出增函数的定义，再通过类比给出减函数的定义，并对函数单调性作深入的讨论。最后通过两个例题的讲解加强学生对概念的理解。例1让学生学会通过函数图像找出函数的单调区间，明白函数的单调性是在定义域的子区间上的性质，由例2归纳出用定义法证明函数单调性的一般步骤，从而突破难点。

本节课是学生在教师的指导下的逐步探索过程。在探索过程中，让学生通过观察、实验归纳及抽象概括等体会从特殊到一般，从具体抽象、从简单到复杂的研究方法，让学生学会图形语言、普通语言以及抽象上学符号语言之间相互转换，并渗透数形结合的，分类讨论等数学思想。

在整个课堂的教学中，我暴露了作为新老师的种种问题。（1）本节课教学旨体现了课堂教学从“灌输式”到“引导发现式”的转变，以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径，以相互补充展开教学，总结科学合理的知识体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率。然而在实际授课中，引导学生主动发现问题，主动解决问题的语言不够精炼，并不能很好的引导学生的思维，而是变成了“满堂贯”。

⑷ 本人认为在概念教学中多花一些时间是值得的，因为只有理解掌握了概念，才能更好地帮助学生落实“双基”，更好地帮助学生认识数学，认识数学的思想和本质，进一步地发展学生的思维，提高学生的解题能力。在例题的讲解中我注意培养学生回答问题的规范性。教师起到一个引导作用，教学有法，教无定法，相信只要我们大胆探索，勇于尝试，课堂教学一定会更精彩！但是，在实际课堂中，在对概念的讲解时并没有强调到关键点，比如单调性中对“任意的”的理解，因此在对概念的讲解上还需要加强。而在例题的讲解过程中，也没有引导学生对例题有一个整体的思考，引导学生学会读题，从哪里入手解题等等问题，而是直接给出了此类题型的一般解法，而由于学生的基础不扎实，因而对教师所给的解法不理解，导致在变式证明函数的单调性的时候，觉得无从下手。实际授课时，过度不自然，从创设情境到概念的讲解，最后到例题，过度的显得生硬不通畅。这些都需要加强。

6.函数的单调性教案二 篇六

函数的单调性(教案)二

(三)例题讲解 例1 图4所示的是定义在闭区间[-5，5]上的函数f(x)的图象，根据图象说出f(x)的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f(x)是增函数还是减函数? (用投影幻灯给出图象.) 生甲：函数y=f(x)在区间[-5，-2]，[1，3]上是减函数，因此[-5，-2]，[1，3]是函数y=f(x)的单调减区间;在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数，因此[-2，1]，[3，5]是函数y=f(x)的单调增区间. 生乙：我有一个问题，[-5，-2]是函数f(x)的单调减区间，那么，是否可认为(-5，-2)也是f(x)的单调减区间呢? 师：问得好.这说明你想的很仔细，思考问题很严谨.容易证明：若f(x)在[a，b]上单调(增或减)，则f(x)在(a，b)上单调(增或减).反之不然，你能举出反例吗?一般来说.若f(x)在[a，b]上单调(增或减)，且[ ， ] [a，b]，则f(x)在[ ， ](增或减).反之不然. 例2 证明函数f(x)=3x+2在(-∞，+∞)上是增函数. 师：从函数图象上观察函数的单调性是最直观的，但如果每次都要画出函数图像就太麻烦了，而且有些函数不容易画出它的图像，一次我们必须学会根据解析式和定义来证明。 师：怎样用定义证明呢?请同学们思考后在笔记本上写出证明过程. (教师巡视，并指定一名中等水平的学生在黑板上板演.学生可能会对如何比较 和 的大小关系感到无从入手，教师应给以启发.) 师：对于 和 我们如何比较它们的大小呢?我们知道对两个实数a，b，如果a>b，那么它们的差a-b就大于零;如果a=b，那么它们的差a―b就等于零;如果a

7.指数函数单调性的应用 篇七

当0<a<1时, 在定义域 (-∞, +∞) 上单调递减;

当a>1时, 在定义域 (-∞, +∞) 上单调递增.

利用指数函数的单调性可以解决以下的典型问题.

1. 比较幂的大小

比较大小的常用方法:

(1) 作差 (商) 法;

(2) 函数单调性法;

(3) 中间值法.

例1比较下列各组数的大小:

分析要先判断能够转化为哪类函数, 再结合函数的单调性来解决, 如果不能看成同一函数的两个值, 则可借助于中间量来比较.

解 (1) 因为函数y=1.7x在R上是单调递增函数,

且2.5<3,

所以1.72.5<1.73;

(2) 因为指数函数y=0.8x在R上是单调递减函数,

且-0.1>-0.2,

所以0.8-0.1<0.8-0.2;

(3) 由指数函数的性质得

2. 解指数方程或不等式

对于形如af (x) =ag (x) (a>0, a≠1) 及af (x) >ag (x) (a>0, a≠1) 等问题, 这类问题往往可以归纳为指数方程或指数不等式, 需要观察底数的范围, 结合指数函数的单调性来解题.

(2) 解不等式ax2-5x>ax+7 (a>0, a≠1) .

分析 (1) 方程可以化为af (x) =ag (x) 的形式, 则底数相等, 指数也相等. (2) 可分为a>1与0<a<1两种情况分类讨论.

解 (1) 原方程可以化为

(2) 若当a>1时, ax2-5x>ax+7,

则x2-5x>x+7,

也即x2-6x-7>0,

得到x<-1或x>7;

若当0<a<1时, ax2-5x>ax+7, 则

综上, 当a>1时, 不等式的解集为

当0<a<1时, 不等式的解集为

8.如何利用导数研究函数的单调性 篇八

利用导数研究函数单调性，方法不一，选择恰当的方法，简洁明了；反之，虽然也可以进行到最后，但是需要大量的计算.本文将各类方法进行了总结，并点明了注意问题，分析了各方法的优点、缺点、适用范围.

一、 正用

例1求函数y=3x2-2lnx的单调递增区间.

解析：函数的定义域为（0，+∞）

∵ f′(x)=6x-2x=2(3x2-1)x

∴ 令f′(x)＞0，结合x＞0，得x＞33

∴ f(x)的单调递增区间为33,+∞

【方法总结】用导数方法求函数单调区间：首先，求函数定义域、求导f′(x)；然后令f′(x)＞0得到函数的递增区间，令f′(x)＜0得到函数的递减区间.

二、 逆用

例2已知函数f(x)=x2+mx(常数m∈R）在x∈［2，+∞）上单调递增，求m的取值范围.

【方法一】若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则f′(x)≥0在x∈(a,b)上恒成立，且f′(x)=0的点是孤立的；若函数f(x)在区间(a,b)上单调递减，则f′(x)≤0在x∈(a,b)上恒成立，且f′(x)=0的点是孤立的.恒成立问题可以转化成求最值问题.

解析：∵ 函数f(x)=x2+mx（常数m∈R）在x∈［2，+∞）上单调递增，

∴ f′(x)=2x3-mx2≥0在x∈［2，+∞）上恒成立

∴ m≤2x3在x∈［2，+∞）上恒成立

∴ m≤（2x3）min，x∈［2，+∞)

∵ 当x∈［2，+∞）时，y=2x3是增函数

∴ （2x3）min=16∴ m≤16

当m=16时，f′(x)≥0且f′(x)=0的点是孤立的（只有f′(2)=0），∴ m=16合题

∴ m的取值范围为（-∞，16］

适用性分析：这是解决“逆用”问题的基本方法.注意检验f′(x)=0的点是否孤立.

例如：（1） 已知函数g(x)=ax+1在［1，2］上是减函数，则a的取值范围是a＞0（a=0时，经检验不合题）.

（2） 若函数f(x)=cosx+px+q在x∈R上是减函数，则p的取值范围是p≤-1（p=-1时，f′(x)=0的点有无数个，但这些点是孤立的，故p=-1合题）

【方法二】首先用m表示出f(x)的单调递增区间（a,b），然后根据关系［2，+m）(a,b)得出m的取值范围.

解析：f(x)的定义域为{x|x≠0}

∵ f′(x)=2x3-mx2，令f′(x)＞0，得x＞3m2

∴ f(x)的单调递增区间为（3m2，+∞）

∵ f(x)在x∈［2，+∞）时单调递增

∴ 3m2≤2解得m≤16

∴ m的取值范围为（-∞，16］

适用性分析：该法思路清晰、简单明了，但有时涉及解无理不等式，需要分类讨论，运算量大.例如（例3）：已知函数f(x)=x3+mx2+x+1（a2＞3）在-23，-13上单调递减，求m的取值范围.利用该法需要解不等式组-a-a2-33≤-23

-a+a2-33≥-13，诸多不便.

那么，象上面的例3，该怎样解决呢？

【方法三】二次函数法，结合二次函数性质，寻求使得导数恒≥0（或恒≤0）成立的充要条件.

解析：∵ 函数f(x)=x3+mx2+x+1（a2＞3）在-23，-13上单调递减

∴ f′(x)=3x2+2mx+1≤0在x∈-23，-13上恒成立

∴ f′-23≤0

f′-13≤0即73-4m3≤0

43-2m3≤0解得m≥2

∴ m的取值范围是［2，+∞）

适用性分析：（1） 适用面窄，只有当f(x)是三次函数（此时，其导数为二次函数）时，才可用该法；（2） 列出的条件容易不充分（少条件）或不必要（多条件），需要进行严谨的分析.一般的解决二次函数问题可以从以下四个方面入手：① 开口方向② 对称轴③ 判别式④ 端点处函数值.

9.函数的单调性(教学设计) 篇九

1.知识与技能：从形与数两方面理解函数单调性的概念，掌握利用函数图象和定义判断、证明函数单调性的方法步骤。

2.过程与方法：通过观察函数图象的变化趋势上升或下降，初步体会函数单调性，然后数形结合，让学生尝试归纳函数单调性的定义，并能利用图像及定义解决单调性的证明。

3.情感、态度与价值观：在对函数单调性的学习过程中，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程，增强学生由现象猜想结论的能力。

【教学重点】 函数单调性的概念、判断。

【教学难点】 根据定义证明函数的单调性。

【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习。

【教学工具】 教学多媒体。

【教学过程】

一、创设情境，引入课题

师：同学们刚刚从楼下走到了教室，如果把每一个楼梯的台阶都标上数字，我们一起来描述一下从楼下走到教室这一过程中，同学们的位置变化。

生：随着楼梯台阶标号的增大，我们所处的位置在不断地上升。

师：(积极反馈，全班鼓掌表扬)反之，我们下楼时，我们的位置显然是在下降的。

师：(阅读教材，人教版节首内容，引导学生看图)结合上下楼的问题，引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考。

观察图中的函数图象，随着函数自变量的增大(减小)，你能得到什么信息?

二、归纳探索，形成概念

我们在学习函数概念时，了解了函数的定义域及值域，本节内容其实就是针对自变量与函数值之间的变化关系进行的专题研究之一──函数单调性的研究。

同学们在初中已经对函数随着自变量取值的变化函数值相应的变化情况有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务就是通过形象的函数图象变化情况，为函数单调性建立严格定义。

1.借助图象，直观感知

首先，我们来研究一次函数和二次函数的单调性。

师：在没有学习函数单调性的严格定义之前，函数的单调性可以理解为，师：根据图象，请同学们写出你对这两个函数单调性的描述。

生：(独立完成，小组内互相检查，然后阅读教材，对比参照)。

2.抽象思维，形成概念

函数的性质离不开函数的定义域，在研究函数单调性时，我们也必须充分考虑到这一点，在函数的定义区间上描述随着自变量值的变化，函数值的变化情况。

师：思考，如何利用函数解析式来描述函数随着自变量值的变化，函数值的变化情况?(注意函数的定义区间)

生：在上，随着自变量值的增大，函数值逐渐减小;在上，随着自变量值的增大，函数值逐渐增大。

师：如果给出函数，你能用准确的数学符号语言表述出函数单调性的定义吗?

生：(师生共同探究，得出增函数严格的定义)一般地，设函数的定义域为：

①如果对于定义域上某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数;

②如果对于定义域上某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数。

三、掌握证法，适当延展

【例1】下图是定义在区间上的函数，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数?

【例2】物理学中的玻意耳定律(为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积减小时，压强将增大。试用函数的单调性证明之。

师：在解决完成这个例题后，根据解题步骤归纳总结用定义证明函数单调性的一般性算法步骤：设元、作差、变形、断号、定论。

四、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，共同完成小结。

(1)利用图象判断函数单调性;

(2)利用定义判断函数单调性;

(3)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论。

五、布置作业，拓展探究

课后探究：研究函数的单调性。

六、板书设计

函数的单调性

一、创设情境，引入课题

二、归纳探索，形成概念

三、掌握证法，适当延展

四、归纳小结，提高认识

七、教学反思

10.函数的单调性教学设计 篇十

1．设计构思： 1.1设计理念：

本设计基于学生的认知规律，在设计时将尽可能采用探索式教学，让学生自己观察，主动去探索。而教学时尽可能够顾及到全体学生，达到优生得到培养，后进生也有所收获的效果。同时在教学中将理论联系实际，让学生用所学的知识去解决问题（练习）。而教师在整个过程中充当引导者、组织者，注重培养学生的归纳发现能力、理论证明能力、多位拓展能力等。

1.2教材地位和作用：

函数单调性是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。掌握本节内容不仅是前面所学函数知识的延伸，更为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的思维能力，及分析问题和解决问题的能力。

1.3 教学目标的设计： 重点：函数单调性的概念； 难点：函数单调性的判定及证明； 关键：增函数与减函数的概念的理解。教学目标的确定及依据：

依据教学目标和教育原则，本节知识的特点以及学生已有的知识结构现状，我制定了如下教育教学目标。

（1）、知识目标：理解函数单调性的概念，掌握判断函数单调性的基本方法（作差比较法，作商比较法。主要是做差比较法）；了解函数单调区间的概念。

（2）、能力目标：培养学生阅读、自学、分析、归纳能力；抽象思维能力及推理判断的能力和勇于探索的精神。

（3）、情感目标：体会用运动变化的观点去观察、分析事物的方法。培养学生对数学美的艺术体验。在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离。培养学生对数学的兴趣。

1.4 教学方法：辅导自学法、讨论探究法、讲授法。

教学手段：根据本节内容的特点，为了更有效地突出教学重点，突破教学难点，展示知识的发生过程，提高课堂效率，使教学目标更完美地体现。我将运用现代信息技术辅助课堂教学。使用投影仪对学生探究的成果进行展示。

1．5教学过程： 课题引入（引入---设疑----激趣）-------新授概念（自主探究---成果展示---总结强调）概念应用1（总结探究-------延伸过渡调）概念应用2（引导探究----总结归纳）应用探究（实践-------总结提高）课后延展（再实践-------再提高）2．实施方案

设疑：观察给出的函数的图象，并指出在定义域内的上升与下降情况。激趣：如何用x与 f(x)来描述上升的图象？如何用x与 f(x)来描述下降的图象？

（意图：明确目标、引起思考。给出函数单调性的图形语言，调动学生的参与意识，通过直观图形得出结论，渗透数形结合的数学思想。用提问的方式，简单介绍本节课的主要内容，激发学习兴趣要求学生带着问题阅读教材，通过问题的解决掌握基本内容。有助于培养学生的观察能力、自学能力和解决问题的能力。）

成果展示 总结强调：

1、单调区间如何理解和划分？

2、增、减函数的定义用语言如何描述？（可以结合初中对函数的描述进行引导）

3、如何从图形上判断单调性？

（意图： 通过展示自学成果，加深对概念的多方理解，让部分学生体会学习的乐趣，从而激发和带动其他同学的学习积极性。另外强调两点：

1、必须在函数定义域上来讨论函数增减性；

2、对于定义域内的某个区间的任意两个自变量成立）

总结探究：对一次函数y=kx+b

1、k的正、负对函数的单调性有何影响？

2、b的变化对函数的单调性有何影响？

（意图：通过讨论使学生深入理解和掌握概念，培养学生的抽象思维能力，培养学生研究数学的能力，学会归纳总结。）

延伸过渡：一般函数除从图形上判断单调性，还有其它证明和判断方法吗？ 引导探究：在例2 的证明中在由x1>x2

时

判断f(x1)，f(x2)大小时 的基本方法是什么？还有其它方法吗？（作商法）

总结归纳：

1、作差时的基本变形有那些？（主要用：分解因式、配方等）

2、什么时候可以用作商法？（意图：学生难以从例题中归纳出判断(证明)方法及步骤，所以在详细讲解的过程中，通过分析、引导学生抽象、概括出方法及步骤，提示学生注意证明过程的规范性及严谨性。同时说明数学题型间的转化关系，使学生体验数学中的艺术美。另外通过探究加深对基本方法的掌握，拓宽解题思路使学生容易突破本节的难点，掌握本节重点）

应用探究；

1、函数f(x)=1的定义域什么？ x12、函数f(x)=在定义域上也是减函数吗？

x3、课堂实践（练习）

（意图：通过此题的探究、辅导、讲解，强化解题步骤，形成并提高解题能力。调动学生参与讨论，形成生动活泼的学习氛围，从而培养学生的发散思维，开阔解题思路，使学生形成良好的学习习惯）。

课后延展：、作业，思考

1、比较一次函数y=2x+3和二次函数y=x2的图象上有最低点和最高点吗？

2、通过图象观察函数值有最大或最小值吗？

11.浅谈高中数学函数的单调性 篇十一

关键词：高中；函数；单调性

G633.6

函数是高中数学的函数学习当中的重点，所以在学习有关函数的知识时，我会从多个方面对函数进行认识与理解，包括函数的概念与定义、函数的性质等。其中很重要的一条性质便是函数的单调性，学好函数的单调性对于学好函数是必不可少的一步。函数的单调性在函数中具有很广泛的应用。比如，可以利用函数的单调性比较函数值的大小，也可以转化为比较自变量的大小；利用函数的单调性可以求函数的值域、最大值、最小值等等。

一、什么是函数的单调性

函数的单调性是函数的一条重要性质，它反映了函数值的变化规律。学习函数单调性的重点在于函数的单调性的有关概念。

1.增函数与减函数定义

对于函数 的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 ， ：若当 < 时，都有 < ，则说 在这个区间上是增函数；

若当 < 时，都有 > ，则说 在这个区间上是增函数。

因而，判断一个函数为增函数还是减函数，是相对于定义域内某个区间而言的。有的函数在某个区间上是增函数，而在另一个区间上可能变成减函数。有这样特性的最典型的函数便是函数 ，当 时为增函数，当 时是减函数。

2.单调性与单调区间

若函数 在某个区间是增函数或减函数，则就说函数 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。

在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。

需要注意的是函数的单调区间是其定义域的子集，应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。

二、函数单调性的应用

函数的单调性在高考试卷上必不可少，而且对其的考查各式各样，考查的深度也远远高于课本。在考试中，对于函数单调性的考查难点往往在于证明或判断函数的单调性。在讨论函数单调性时必须在其定义域内进行，因此要研究函数的单调性就必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集。接下来我想谈谈函数单调性的应用。

1.函数单调性的判别

2.定义法

在数学中，解题过程中最基本的方法就是依靠定义。万变不离其宗，无论是什么解题方法，都是由最基本的定义衍生而来的。因此，函数单调性判别的定义法为，自变量增大函数值变小为减函数；反之，为增函数。

3.函数变换法

由上面的定义法我们可以得到单调函数运算后的一些结论：在同一个区间上，若 、 都是单凋增（减）函数，则 + 也是单凋增（减）函数；若 单凋递增， 单凋递减，则 - 单调递增；若 单凋递减， 单凋递增，则 - 单调递减.

4.复合函数法

设函数 由两个函数 与 复合而成，则 与 单调性相同时， 单调递增； 与 单调性不同时， 单调递减，这就是通常所说的同增异减。多层复合，依此类推。

4.作差比较法

根据定义证明函数单调性是判断函数单调性的最重要的方法。其步骤为：（1）设值：即在单调区间上设出两个不相等的自变量 、 ，且 < ；（2）比较：即比较 ）与 大小，通常采用作差或作商的方法；（3）判断：即根据定义结合前两个步骤得出结论。

5.等价变形法

三、函数单调性学习过程中的学习难点

了解了函数单调性的概念与定义，也知道了通过哪些方法可以判别函数的单调性，但是往往在应用中无法将这些定义与判别方法融会贯通，函数单调性经常是解题的关键点，如果无法将函数的这一性质运用得当，就无法轻松快速地解题，这也是我曾经在函数学习过程中遇到的一大困扰。我根据自己的理解，总结了一下这些问题的症结所在。

1.没有掌握数形结合的解题方法

華罗庚先生说过：“数无形，少直观；形无数，难入微。”数形结合的方法就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来解决问题，数形结合可以有效地解决许多数学问题。以形助数，以数辅形，可以使许多数学问题变得简易化，我觉得这也很关键。

因为函数的单调性只凭想象是不好理解的，所以需要依靠直观的几何图形，把数与形一一结合起来，才能使得抽象问题具体化，优化解题步骤，解出正确答案。而我们在学习数学过程中，尤其是学习函数时，总是没有数形结合的习惯和意识，这给我们学习带来不利的因素。培养数形结合的解题意识，掌握好数形结合的解题方法，不但可以使我们学习函数单调性时遇到的问题迎刃而解，更对我们在以后学习数学的过程有很大的帮助。

2.不能深刻理解定义域的内涵

定义域也是函数中非常重要的一部分，而定义域与函数的单调性也是密不可分的，因为定义域决定了函数的单调性。而在平时的学习过程中，我们对定义域的理解往往太过于抽象，没办法深刻理解定义域的内涵，就不能在解题过程中得到正确的答案。因此，深刻理解函数的定义域，对于我们更好得运用函数的单调性有重要的意义。

若是在学习函数单调性的过程中遇到瓶颈，大家可以在这两个方面找原因，找突破口，问题也就迎刃而解了。以上便是我自己对函数单调性的认识与理解。

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