总结小学数学公式

总结小学数学公式（共9篇）

1.总结小学数学公式 篇一

1.运算定律或性质用字母公式表示

加法交换律：a+b=b+a

加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

乘法交换律：ab=ba

乘法结合律：(ab)c=a(bc)

乘法分配律：a(b+c)=ab+ac

2.几何形体的周长、面积、体积计算公式

长方形周长：C=2(a+b)

正方形周长：C=4a

圆的周长：C=2πr，或(πd)

长方形面积：S=ab

正方形面积：S=a2

平行四边形面积：S=ah

圆形面积：S=πr2

长方体体积：V=abc表面积S=2(ab+ac+bc)

正方体体积：V=a3表面积S=6a2

圆柱体体积：V=πr2h表面积S=2πrh+2πr2

[小学数学重点公式总结]

2.总结小学数学公式 篇二

一、公式教学要重视过程

新课标的一大特点是提出了“过程与方法”的目标.经过几年的实践, 一线教师基本都已形成了共识, 那就是公式教学一定要关注知识发生、发展和形成的过程.可迫于应试的压力, 对教材理解不够深刻等多种原因, 很多教师都试图突出过程, 但又没法囿于教材的局限, 从而草草收场, 更有甚者, 干脆稍加推导就直接给出公式, 然后大量进行例题讲解和习题训练.可以说, 这是当下普遍存在的公式教学的一些做法.可以肯定, 如此教学, 学生应用公式的能力会有所提高, 但从长计议, 只会套用公式, 而对其来龙去脉含混不清, 从而导致解题失败的案例比比皆是.在平时的常态教学或一些公开课, 大家为何对公式的推导不作深入分析呢?可以肯定, 一方面是急功近利, 过于追求短时的教学效果;而另一方面, 广大教师对教材缺乏深度理解, 缺乏二次开发的能力.应当说, 淡化推导, 突出应用的教学是成本最低, 风险最小的教学选择, 况且一节课根本完成不了这么多的内容.那么, 这节课到底要不要突出公式的推导过程?

人教A版《数学必修4教师教学用书》建议此节应上四课时, 加之, 这是第三章的开篇第一课, 对于学生学好整章课程意义非凡.而且从公式的引入到证明, 教材也花了大量篇幅, 按惯例, 加上后面的两个例题一般为一课时的内容.于是, 在教学设计时就可能陷入两难, 若偏重于公式推导, 后面的例题只能淡化;若注重于公式的应用, 那前面的推导就只能一带而过.为了回避教材在公式推导上的繁难, 在后面例习题上进行精彩表演就成为众多教师的第一选择.《普通高等学校招生全国统一考试大纲》明确要求学生要“会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式”, 而且, 公式的推导过程能让学生开阔视野, 深刻领悟其中蕴含的数学思想, 知其然还知其所以然, 从本质上把握数学的真谛.这么重要的过程, 怎么能淡化呢?当然, 高考指挥棒的作用不可小觑, 长期以来, 公式的推导过程不受高考命题专家的青睐, 于是才有了公式推导淡出课堂的局面.2011年陕西省高考题“叙述并证明余弦定理”, 重新唤起了师生对公式推导的探究, 同时也告诫大家一味地重结果, 轻过程, 忽视教材, 会付出沉重代价.前车之鉴, 建议第一节课只进行公式的探究, 注重突出公式发生、发展和形成的过程, 第二节课再进行公式的应用教学.

二、公式教学要顺其自然

如果第一节课只进行公式的探究, 那应如何设置才好呢?是照本宣科还是对教材重新处理?这将会是广大教师需要直面的问题.

新教材的一大特点是版本众多, 而每一部分的编写又不够尊重事实.虽说一线教师进行教学设计时不仅有了诸多选择, 还可根据自身理解创造性地二次开发教材, 但这对教师本身提出了较高要求, 有时甚至无所适从, 所以多数时候还是照本宣科.而教材的一些缺陷不可避免, 于是, 整个教学就显得过于生硬.舒尔曼的PCK (教学内容知识) 理论表明, 教师要善于将数学课本里阐述的学术形态转化为学生易于接受的教育形态.这就为一线教师指明了方向, 从学生实际出发, 借助教材, 立足“基本套路”, 追寻知识自然发生、发展和形成的过程展开教学.以下两方面是本节课最需要关注的.

1. 情境的创设要尊重学生实际

俗话说“好的开端是成功的一半”.新课标特别强调情境的创设, “两角差的余弦公式”是本章第一节.教材结合章头图, 抛出了求电视发射塔高度这样一个问题, 进而提出了探究问题:如何用角α、β的正弦、余弦值来表示cos (α-β) 呢?应当说教材用心良苦, 旨在说明数学源于实际, 可所设置的问题却似乎与正题无关.若照本宣科, 势必会淡化主题.为突出联系实际, 有些教师还结合“神九发射”的视频引入, 似乎热热闹闹, 可除了感官刺激, 别无他用, 更有甚者还为此设置了一个“小明上电梯”的问题, 先不说这样的设置好与不好, 问题是, 情境的创设一定非得是实际问题吗?《普通高中数学课程标准 (实验) 》指出, 教学中, 要创设与学生生活环境、知识背景密切相关的, 又是学生感兴趣的学习情境.可见, 数学情境的创设是为了满足数学教学的需要, 但应从学生生活环境中提取数学研究的素材, 或者从与学生相关的知识背景中提取素材.显然, 情境的创设应该也可以是结合学生实际的纯数学问题.比如从直角三角形中已知角α, 求sinα, cosα的值入手, 引入教学, 虽然起点低, 可后面一系列公式的发现要求却很高.所以笔者认为可以结合教材的例1, 从特殊入手, 做出如下的设计:

师:cos15°=?

生:可转化为特殊角, 即cos15°=cos (45°-30°) .

师:那应如何计算呢?直接等于cos45°-cos30°吗?

师:那么cos15°与45°角, 30°角的三角函数值有没有关系呢?如果有, 是什么关系?

更一般地:角α、β的三角函数值与cos (α-β) 的值又有什么关系呢?

如此设计, 一方面回避了课本引例的繁难, 有效利用例1引起学生认知上的冲突, 同时避免了课本直接给出探究的尴尬, 而且还遵循了学生从特殊到一般的认知规律, 极易让学生产生学习心理上的共鸣.

2. 公式推导要顺其自然

接下来, 如课本所设计一样, 放手让学生对公式进行探究.这应该是本节课的一大看点.那到底是用几何法还是向量法推导好呢?课本两种方法都提供, 有的教师通过研究和思考提出“弱化几何法 (甚至可以不讲) , 强化向量法 (甚至可以在此基础上做一定的延伸) ”, 这一观点获得多数教师的认同.而课标也对此提出了要求, 那教材提出几何法的用意何在呢?事实上, 选择何种方法进行推导, 主导权不应在教师手里, 而应该尊重学生的思考.众所周知, 学生在探究的过程中, 可能选择几何法, 也可能选择向量法, 还可能选择其他方法, 难道非要将学生拉回向量法, 这不就是典型的“被动的情感体验”吗?如果学生不小心选择了向量法, 那对于角α-β与的关系要不要进行探究呢?有的教师认为应该进行探究, 而有的认为不应该是本课探究重点.事实上, 之所以有这样相反的论点, 都是忽视了学生的主体地位, 如果学生容易理解了, 还需要探究吗?但如果学生遇到疑难, 推导在此受阻, 不进行探究行吗?

由此可见, 公式的推导应放手给学生, 顺着学生的思路自然地展开.而不应将学生引向教师预先设定的轨道, 扼杀了学生思维的发展.当然, 这就对教师提出了较高的要求.既要全面掌握所教内容, 还要有一定的课堂应变能力.而这恰恰才是真实的课堂所在.

三、公式教学更要关注后半段

完成了公式的推导, 似乎已经万事大吉, 可以愉快地进行公式的“正用、逆用和变用”, 课本上基本也是这样处理的.可事实上, 经历了公式整个发生、发展和形成过程的探究, 难道学生就没有任何想法吗?如果急于进入应用, 将是一种极大的浪费.张奠宙教授提出“教学中要多多关注后半段”, 即欣赏、感悟、提炼数学思想的过程.很多课例都鲜有此方面的设计, 顶多也就是个可有可无的小结, 有的教师干脆就直接布置作业了.多么可惜啊!下面是笔者的一个设计, 仅供参考.

师:经过刚才公式的探究过程, 大家有何感想呢?

生1:一个公式的形成和发现, 并不是一帆风顺的, 必须要进行严密的推理和论证.

师:不错, 虽然探究的过程充满艰险, 但这个过程也才是最值得回味的, 人生又何尝不是如此?

生2:确实, 提出探究的问题后, 起初根本不知从何入手, 可结合所学知识, 特别是借助单位圆, 利用平面向量的数量积顺利证明的那一刻, 我才深刻感受到课本“运用向量工具进行探索, 过程多么简洁啊!”这句旁白的真正含义.

师:很好, 能够体会到这一点, 确实难能可贵.而向量法正是考纲要求重点掌握的方法, 课本也在多个地方进行强化, 如课本108页习题2.4B组第2题;138页习题3.1B组第4题和144页习题3.2B组第4题, 大家不妨课后再深入探索.

师:探究过程体现了对科学问题的一般研究过程, 即从特殊入手, 观察———归纳——猜想———证明.此过程中蕴含了哪些数学思想呢?

生:数形结合思想、转化与化归思想.

师:确实, 借助单位圆, 将三角问题转化成向量问题, 这是新课标所倡导的思想.此外还有分类讨论等.

师:接下来就要应用公式解决一些特殊问题, 那记住公式就显得非常重要.如何记住此公式呢?请大家课后思考, 下节课再交流经验.

3.总结小学数学公式 篇三

关键词:势函数;原函数;零点;积分上限;积分下限

中图分类号:G633.7 文献标识码:A文章编号:1003-6148(2009)11(S)-0078-2

数学是学习和研究物理学的重要工具,运用数学工具解决物理问题是大学物理教学中的重要环节,善于利用数学分析方法,能够更好地理解物理公式的含义。

首先,切莫淡化物理公式中变量的物理含义,而过分强调数学关系。学生在运用数学知识解决物理问题的过程中,往往撇开公式的物理意义,忘记公式所表达的物理现象之间的因果关系,容易造成错误。如电磁学中的场强公式:

E=FQ(1)

学生们往往会从公式的数学形式上得出结论:E正比于F或反比于Q。事实上,方程左端代表一物理事实,而右边代表一种定义的方法(测定方法),描述的是这样一个事实:将电量为Q的点电荷放在待测电场中时,受到的电场力为F,并不存在E正比于F或反比于Q的问题。克服这种思维偏差的主要措施,一是要强调公式的物理意义,理解公式所描述的物理现象与物理事实之间的因果关系、决定关系。二是要明确公式的来龙去脉,增强公式的物理色彩,突出对其物理意义的分析。

然而有一些物理公式,在保持其物理色彩的前提下,强调其数学本质,有时甚至过分地强调。实践证明,对于初学者来说,强调其数学本质可以帮助其更加深刻地理解物理公式的本质含义。

例如,大学物理中有关“势”函数的概念,与高等数学中“原”函数概念,有着对应关系。所以,在讲授“势”概念时,将其还原回到数学公式,利用掌握的微积分知识,可以澄清一些容易出错的概念。

高等数学知识告诉我们,如果一个函数f(x)有原函数F(x),则由牛顿-莱布尼茨公式可得到:

∫xx0f(x)dx=∫xx0dF(x)=F(x)-F(x0)(2)

x、x0分别为积分上、下限,且在同一数轴上,在学习“势”概念之前,学生对这一公式应该有了较深刻的理解。

静电场中“电势”φ(r)是这样定义的:

φ(r)-φ(r0)=∫r0rE(r)•dr(3)

公式(3)带着明显物理含义,与具有普遍意义的积分公式(2)有着一定的差别。显然,这种差别是表面上的,式中E为电场强度,r0、r分别为积分上、下限,且上限r0一般定义为电势的“零点”。

为了更好地理解这些变化的含义以及场强与电势之间的关系,将(3)式形式地还原为数学形式:

φ(r)-φ(r0)=∫rr0dφ(r)=∫r0rE(r)•dr=-∫rr0(E•dr )(4)

可以得到:

dφ=-E•dr=-dW(5)

我们一般定义电势的改变量为电势能增量的负值,之所以这样定义,从数学公式角度考察,“故意”将积分上下限颠倒,必然会得到这种结果;从物理含义角度来考察,之所以将上下限颠倒,是为了迎合物理习惯:一般情况下,保守力做功导致势能的减少,而数学只采用末态值减去初态值的方式来描述积分过程。

从(4)式还可以看出,积分变量不再局限于某一坐标轴上变化,可以是描述数量变化的任何变量。在力学、电磁学中,它通常是三维空间位置向量的大小。

从上述对比、分析过程不仅可以更加深刻地理解保守力做功的含义,而且有关“零点”定义的含义也搞清楚了。如果将上限r0处定义为零点,则任意点处电势为:

φ(r)-φ(r0)|=0=∫rr0-(E•dr)=∫rr0dφ(r)=φ(r)-φ(r0)(6)

值得注意的是,方程左端的φ(r0)=0,是“人为”的,是我们定义的零点,明显具有物理含义,而方程右端的φ(r)、φ(r0) ,取具体的数学计算结果(真实结果),φ(r0)不见得取“零”值。从式(6)亦可以看出,如果没有人为地将方程左端的φ(r0)设定为φ(r0)=0,那么,必须将r处真实值φ(r)修正为φ(r)-φ(r0)。

一般将有限带电体无穷远处定义为电势零点,即有:

φ(r)=∫∞rE•dr=∫r∞dφ(r)=φ(r)-φ(∞)(7)

一般情况下,有限带电体的φ(∞)=0,与左端“人为”定义的结果相同(巧合),故有:

φ(r)=∫∞rE(r)•dr(8)

初学者通常会将上式牢记在心, 并且习惯于解决无穷远处电势零点问题, 而容易把(6)、(7)式忽略,忽略的后果是,当遇到变换零点问题时,往往无计可施。例如,如果问题中涉及将零点定义在某有限距离r0处时,只要清楚“人为”的、“数学”的零点的含义,很自然地会利用(6)式来求任意点r处的电势。例如,任意点r处点电荷Q的电势φ(r),可以直接写为:

φ(r)=∫rr0-(E•dr)=∫rr0dφ(r)=∫rr0d(Q4πε0r)=Q4πε0(1r-1r0)(9)

显然,若生硬照搬公式,则(8)式爱莫能助。

总之,有些物理公式,可以通过将其数学化,来加深对其物理含义的理解。这样,将有助于培养学生运用数学知识、数学方法描述物理问题的能力,真正建立起物理上的数量关系的能力,增强运用数学知识的意识,提高运用数学工具的能力。

参考文献

[1]张三慧. 电磁学[M]. 北京:清华大学出版社, 2004:60-87.

[2]赵凯华, 罗蔚茵. 力学[M]. 北京:高等教育出版社, 2004:106-132.

[3]沈永欢等. 实用数学手册[M]. 北京:科学出版社, 2004:175-200.

4.数学公式总结高三 篇四

log.a(MN)=logaM+logN

loga(M/N)=logaM-logaN

logaM^n=nlogaM(n=R)

logbN=logaN/logab(a>0,b>0,N>0 a、b均不等于1)

二、简单几何体的面积与体积

S直棱柱侧=c*h(底面周长乘以高)

S正棱椎侧=1/2*c*h′(底面的周长和斜高的一半)

设正棱台上、下底面的周长分别为c′，c，斜高为h′,S=1/2*(c+c′)*h

S圆柱侧=c*l

S圆台侧=1/2*(c+c′)*l=兀*(r+r′)*l

S圆锥侧=1/2*c*l=兀*r*l

S球=4*兀*R^3

V柱体=S*h

V锥体=(1/3)*S*h

V球=(4/3)*兀*R^3

三、两直线的位置关系及距离公式

(1)数轴上两点间的距离公式|AB|=|x2-x1|

(2)平面上两点A(x1,y1),(x2,y2)间的.距离公式

|AB|=sqr[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]

(3) 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式 d=|Ax0+By0+C|/sqr

(A^2+B^2)

(4) 两平行直线l1:=Ax+By+C=0,l2=Ax+By+C2=0之间的距离d=|C1-

C2|/sqr(A^2+B^2)

同角三角函数的基本关系及诱导公式

sin(2*k*兀+a)=sin(a)

cos(2*k*兀+a)=cosa

tan(2*兀+a)=tana

sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana

sin(2*兀-a)=-sina,cos(2*兀-a)=cosa,tan(2*兀-a)=-tana

sin(兀+a)=-sina

sin(兀-a)=sina

cos(兀+a)=-cosa

cos(兀-a)=-cosa

tan(兀+a)=tana

四、二倍角公式及其变形使用

1、二倍角公式

sin2a=2*sina*cosa

cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2*(cosa)^2-1=1-2*(sina)^2

tan2a=(2*tana)/[1-(tana)^2]

2、二倍角公式的变形

(cosa)^2=(1+cos2a)/2

(sina)^2=(1-cos2a)/2

tan(a/2)=sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina

五、正弦定理和余弦定理

正弦定理:

a/sinA=b/sinB=c/sinC

余弦定理:

a^2=b^2+c^2-2bccosA

b^2=a^2+c^2-2accosB

c^2=a^2+b^2-2abcosC

cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc

cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac

cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab

tan(兀-a)=-tana

sin(兀/2+a)=cosa

sin(兀/2-a)=cosa

cos(兀/2+a)=-sina

cos(兀/2-a)=sina

tan(兀/2+a)=-cota

tan(兀/2-a)=cota

(sina)^2+(cosa)^2=1

sina/cosa=tana

两角和与差的余弦公式

cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

cos(a-b)=cosa*cosb-sina*sinb

两角和与差的正弦公式

sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb

sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

两角和与差的正切公式

tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tana*tanb)

tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tana*tanb)

拓展阅读：高三如何恶补数学?这三个学霸的答案有上万人点赞!

还有一个月高考了，数学成绩只有四五十分，其他科都还行，如果数学成绩能达到120，一本应该没问题了，数学一直不知道该怎样学，数学公式背完之后该怎样去复习，能提高到120吗?该怎样复习?希望大家给个建议或者制定个计划。

要学会放弃

作为大二数学系的学长，我想告诉你。

第一，学会放弃。

我当时高考是150分，10道选择，5道填空，6个大题。

要明白大多数人是不需要做完所有的题，只要把简单题做对，中档题做好，难题可狂草，分一般不低，前8个选择，前3个填空，前4个大题做全对就已经能拿到大概100分了，再加最后两个选择可能猜对1个吧，填空能蒙对一个吧，最后两个大题动1.2个问吧，110+是妥妥的。

不要再做那些难题，偏题，怪题了，没用。回归教材，抓住基础才是王道。

第二，摆正心态。

如果你不是追求清华北大上交复旦这样的国内顶尖大学，或许现在的学校排名参照往年没有达到那类学校的高度，那么还是静下心来钻基础吧，答主高考之前一直面对我只是普通一本的成绩妄想考人大，大把时间做难题，结果高考卷子下来题目爆简单，同考室还有提前半小时交卷的~~

一不小心做得对的题粗心做错结果优势科目的数学只有120多，就加上惨不忍睹的英语，来到了现在这个学校，数学单科还没有我们班上那些我平时甩几十分的人高，所以说还是回归基础吧!

第三，善于总结。

前面的同志们都总结了许多方法了，我也不再赘述。对于基础题一定要“会一道题，会一类题”。

第四，合理安排。

各科还是都要学一学，不能偏科啊!答主就输在了英语在高中几乎完全不学，眼看着高二和我同在60分徘徊的同桌，在高三一年达到了120，而我还在60，这在数学简单的那年简直就是噩耗!!!最后别人上了某985,，说多了都是泪。所以说不要自己那科差就不学，前车之鉴。

最后，肚里有货，心中不慌，认真学习才是王道，在老师的指引下(必须的!)做好该做的学习任务，成绩提高时一定的，考试毕竟是考试，还得靠些运气不是?仰望星空与脚踏实地，有目标才可能实现。认真你可能输，但是你不认真，连输的机会都没有。祝你高考成功。

不推荐刷题

首先，做题是必须的，但不推荐刷题，高考是全面性的考试，花大量时间刷数学题会影响其他学科的复习，当然你其他学科都非常牛逼的当我没说。

至于数学，首先要看书，书上的公式，例题，习题都会不会，这是一切的基础，书上的公式都不记得，做题肯定没办法啊。

然后，认真对待每一次考试，高三应该会有很多次考试，每一次考完都要认真分析试卷，哪一题是不会的，哪一题是马虎而错的，做好记号，上课讲试卷时认真听，记下每个题的知识点，但是不要记答案，下课了找个本子，自己再重新改错，如果还是不会就去问，一定要所有题的改错都是自己思考后一步一步写下来的。

至于分析试卷，其实不必找什么网上的人，把自己考试的卷子全部拿出来，如果上面的你都做了，看着记号，很快就能整理出自己的弱点，然后还是看书，找出不清楚的，再看改错本，每一步的思路要在脑中分析，重要的要记下来，思维的过程要慢慢养成。

至于压轴题，我不清楚大家那边的卷子是什么情况，但是每次考试都

一定要做!

一定要做!

一定要做!

不是要让你一定做对，而是要把压轴题的时间算在考试中。一般选择填空各一道比较难的，大题最后两道比较难。选择填空的难题要控制时间，时间内能写就写，写不出来先蒙一个。倒数第二道大题，如果题主从现在开始坚持改错，再附加一些练习，应该问题不大，最后一道题，能写多少写多少，一般第一问都是送分的。记住，没办法写完整，但是过程也是分啊!

总之，难度不是很大的大概100到110分左右(我是湖北的，大概是这么多，但是能保证全拿到的每次考试都不会很多)，压轴题是能写多少写多少。

准备改错本，分析错题知识点，课后自己改错，每一段时间把这段时间的试卷拿出来看看，再稍加一点课外练习(主要是高考真题)，不要在偏题怪题上钻牛角尖，大概就是这样，要坚持下来!

还有，不要检查，要的是一次做对，高考不会有什么时间检查的!

写的比较凌乱，希望有帮助，重要的是坚持，多和老师交流，不要害怕老师，老师教那么多年书，肯定比我们有经验的!

5.高一数学重点公式总结 篇五

-面和线的重合

-两面角和立体角

-方块,长方体,平行六面体

-四面体和其他棱锥

-棱柱

-八面体,十二面体,二十面体

-圆锥，圆柱

-球

-其他二次曲面:回转椭球,椭球,抛物面，双曲面

公理

立体几何中有4个公理：

公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

公理4平行于同一条直线的两条直线平行.

立方图形

立体几何公式

名称符号面积S体积V

正方体a——边长S=6a^2V=a^3

长方体a——长S=2(ab+ac+bc)V=abc

b——宽

c——高

棱柱S——底面积V=Sh

h——高

棱锥S——底面积V=Sh/3

h——高

棱台S1和S2——上、下底面积V=h〔S1+S2+√(S1^2)/2〕/3

h——高

拟柱体S1——上底面积V=h(S1+S2+4S0)/6

S2——下底面积

S0——中截面积

h——高

圆柱r——底半径C=2πrV=S底h=∏rh

h——高

C——底面周长

S底——底面积S底=πR^2

S侧——侧面积S侧=Ch

S表——表面积S表=Ch+2S底

S底=πr^2

空心圆柱R——外圆半径

r——内圆半径

h——高V=πh(R^2-r^2)

直圆锥r——底半径

h——高V=πr^2h/3

圆台r——上底半径

R——下底半径

h——高V=πh(R^2+Rr+r^2)/3

球r——半径

d——直径V=4/3πr^3=πd^2/6

球缺h——球缺高

r——球半径

a——球缺底半径a^2=h(2r-h)V=πh(3a^2+h^2)/6=πh2(3r-h)/3

球台r1和r2——球台上、下底半径

h——高V=πh[3(r12+r22)+h2]/6

圆环体R——环体半径

D——环体直径

r——环体截面半径

d——环体截面直径V=2π^2Rr^2=π^2Dd^2/4

桶状体D——桶腹直径

d——桶底直径

h——桶高V=πh(2D^2+d2^)/12(母线是圆弧形,圆心是桶的中心)

V=πh(2D^2+Dd+3d^2/4)/15(母线是抛物线形)

平面解析几何包含一下几部分：

一直角坐标

1.1有向线段

1.2直线上的点的直角坐标

1.3几个基本公式

1.4平面上的点的直角坐标

1.5射影的基本原理

1.6几个基本公式

二曲线与议程

2.1曲线的直解坐标方程的定义

2.2已各曲线，求它的方程

2.3已知曲线的方程，描绘曲线

2.4曲线的交点

三直线

3.1直线的倾斜角和斜率

3.2直线的方程

Y=kx+b

3.3直线到点的有向距离

3.4二元一次不等式表示的平面区域

3.5两条直线的相关位置

3.6二元二方程表示两条直线的条件

3.7三条直线的相关位置

3.8直线系

四圆

4.1圆的定义

4.2圆的方程

4.3点和圆的相关位置

4.4圆的切线

4.5点关于圆的切点弦与极线

4.6共轴圆系

4.7平面上的反演变换

五椭圆

5.1椭圆的定义

5.2用平面截直圆锥面可以得到椭圆

5.3椭圆的标准方程

5.4椭圆的基本性质及有关概念

5.5点和椭圆的相关位置

5.6椭圆的切线与法线

5.7点关于椭圆的切点弦与极线

5.8椭圆的面积

六双曲线

6.1双曲线的定义

6.2用平面截直圆锥面可以得到双曲线

6.3双曲线的标准方程

6.4双曲线的基本性质及有关概念

6.5等轴双曲线

6.6共轭双曲线

6.7点和双曲线的相关位置

6.8双曲线的切线与法线

6.9点关于双曲线的切点弦与极线

七抛物线

7.1抛物线的定义

7.2用平面截直圆锥面可以得到抛物线

7.3抛物线的标准方程

7.4抛物线的基本性质及有关概念

7.5点和抛物线的相关位置

7.6抛物线的切线与法线

7.7点关于抛物线的切点弦与极线

7.8抛物线弓形的面积

八坐标变换·二次曲线的一般理论

8.1坐标变换的概念

8.2坐标轴的平移

8.3利用平移化简曲线方程

8.4圆锥曲线的更一般的标准方程

8.5坐标轴的旋转

8.6坐标变换的一般公式

8.7曲线的分类

8.8二次曲线在直角坐标变换下的不变量

8.9二元二次方程的曲线

8.10二次曲线方程的化简

8.11确定一条二次曲线的条件

8.12二次曲线系

九参数方程

十极坐标

6.印刷体数学公式重构技术的研究 篇六

公式是科技信息表达与交流的通用语言, 一个无法处理公式的OCR (Optical Character Recognition) 系统, 对科技文献的数字化是没有意义的。目前, 国内外的OCR技术虽然可以高速、自动地将文字输入计算机, 但却无法识别数学公式这一科技文献的重要组成部分, 只能将其按照图片存储。因此, 能否对手工录入非常困难的数学公式进行自动输入, 成为OCR技术推广与应用的瓶颈。

数学公式重构是公式识别 (OCR) [1]的重要环节, 目前相关的研究还很欠缺[2]。在公式识别的论文中, 很少涉及重构问题。Lee等人只是提到了利用数学公式关系树[3]来重构公式, 还有论文提到了用数学公式编辑器对重构出来的数学公式, 进行编辑修改等[4], 但是具体的实现方法并没有提及。Suzuki等人提出了一个针对日文文档的公式识别原型系统, 可以将公式重构为KML格式的文档, 但未提及实现方法和实验结果[5]。

数学公式识别系统一般包括以下几个模块:数学公式抽取;数学公式识别与结构分析;数学公式重构。如图1所示, 其中数学公式重构模块将公式结构分析模块所得到的公式关系树重构成可以编辑和检索的通用格式的电子文档。

1 数学公式和MathML

数学表达式具有递归性, 即表达式是由子表达式构成。MathML利用了数学表达式的这个最大特点, 设计了它的标记方式, 使得两种标记类型, 表达标记和内容标记也都体现了递归性。而且MathML的表达可看成树状结构, 每个节点表示了一个MathML的标记, 每个树叶是数学表达式中的不可分的单元, 如数字、标识符和〈mark_name/〉类型的标记。图2是扫描的数学公式。

$\frac{\sqrt{\text{b}{}^2-4\text{s}\text{i}\text{n}\text{x}}}{\text{a}}$

图2 扫描的数学公式

图2中公式用MathML的表达类型标记表示如下:

<math mode=″display″>

<mrow>

<mfrac>

<msqrt>

<mrow>

<msup>

<mi>b</mi>

<mn>2</mn>

</msup>

<mo>-</mo>

<mn>4</mn>

<mi>sin</mi>

<mi>x</mi>

</mrow>

</msqrt>

<mrow>

<mi>a</mi>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</math>

2 利用数学公式关系树重构MathML文档

2.1 数学公式关系树

将所实现的结构分析模块的结果表达为公式关系树, 其物理结构为一个链表, 链表中每个节点的数据结构如下所述,

Typedef struct structualTreeCode{

int code; //字符的unicode码值

CString functioncode; //函数名

structualTreeCode* up; //上方子表达式

structualTreeCode* down; //下方子表达式

structualTreeCode* superscript; //右上标子表达式

structualTreeCode* subscript; //右下标子表达式

structualTreeCode* inclusion; //包含的子表达式

structualTreeCode* right; //右方表达式

structualTreeCode* leftup; //左上标子表达式, 为保留值, 一般为空。

structualTreeCode* leftdown; //左下标子表达式, 为保留值, 一般为空。

CRect rect; //表达式所在的矩形

CRect opRect; //字符所在的矩形

LOGFONT font; //字体

int xmin; //字符左上角坐标

int ymin;

int xmax; //字符右下角坐标

int ymax;

int italic; //标志, 是否为斜体

//一般变量为斜体, 函数名和常量为正体

}structualTreeCode1, structualTreeCode*;

公式关系树中每个节点对应18个属性, 这些属性中的前10个属性, 按照公式中符号和与之相邻的符号之间的位置关系来定义。其中右上标、右下标、上方、下方、左上标、左下标、和包含的子表达式, 都和主表达式一样, 这样就可以利用递归的方法处理。后8个属性, 是为了记录重构数学公式时需要的样式而定义的。

2.2 重构MathML文档

考虑公式的原貌重现问题, 通过公式编辑器修改好的公式, 重新放回到原来的版面中, 涉及到公式在一个版面中的具体位置, 精确重构, 包括公式的大小, 公式中各个字符的大小, 各个字符的位置, 字符的形状、是否为斜体, 以及字符与字符之间的距离等等。由根节点开始, 遍历公式关系树, 重构MathML文档, 算法描述如下:

Step1:打开文件D://Math.xml, 若文件不存在, 提示新建同名文件。FormulaDocument (StructualT-reeCode* P) 函数初始化Math.xml文件, 并调用递归函数。

Step2:递归函数Recursion (StructualTreeCode* P) 处理公式关系树中的各个结点。

Step3:判断公式关系树中的各个结点内部值, up!=NULL转入处理上方子表达式函数;down!=NULL转入处理下方子表达式函数;superscript!=NULL转入处理上标子表达式函数;Subscript!=NULL转入处理下标子表达函数;inclusion!=NULL转入处理包含子表达式函数。

Step4:子表达式处理完毕, 返回到递归函数, 继续处理下一个结点, 直到结点没有链接属性。

3 数学公式的可视化编辑器

结合传统的基于图像的方式和现代的基于样式化技术的方式来解决MathML文档的样式化问题。用户可视化地编辑数学公式时, 编辑器在生成MathML文档的同时产生一个相应的图像文件。图像文件内含了MathML文档的样式, 真实地反映了用户编写的公式的原貌。在需要显示数学公式的时候, 只需在合适的位置插入这个图像文件即可。而对公式的修改、查询等关系到数据的工作则通过操作对应的MathML文档来完成。

用户在编辑器提供的可视化环境中编辑数学公式如图3所示, 数学公式编辑器提供一个特殊字符集用于输入符号专用, 通过键盘不能直接输入的符号, 例如根号、和号、积分号等, 这个字符集通过模式对话框提供。编辑的方法完全符合人们书写数学公式的习惯, 保存时产生一个描述公式的MathML文档, 再用MathPlayer显示数学公式。

4 结果分析及讨论

对100篇科技文档中抽取出的1432个数学公式识别、结构分析后得到的公式关系树进行了重构, 如表1所示, 基本达到了令人满意的结果。

重构的正确率在很大程度上依赖于识别与结构分析模块的正确率。一维公式空间结构简单, 字符识别正确率高, 重构正确率自然很高, 本系统主要针对二维公式处理, 二维公式中一些不常见的字符识别错误, 成为出错的主要原因。多维公式包含的字符多而且有些不常见, 识别容易出错, 再者空间结构复杂, 重构的正确率就比较低。

总之, MathML语言代表着未来在信息领域使用数学公式的方向。MathML 允许用户分别使用表达标记和内容标记来描述一个数学对象, 以后可以考虑同时从结构和语义两方面描述一个数学对象, 这样就更准确, 也方便用户进行语义处理。更进一步的工作, 可以考虑把印刷体数学公式重构成广为人知的PDF格式。

参考文献

[1]Chaudhuri B B, Garain U.An Approach for Recognition and Interpreta-tion of Mathematical Expressions in Printed Document.Pattern Analysisand Applications, 2000, 3:120-131.

[2]Toumit J Y, Garcia Salicetti S, Emptoz H.AHiearachical and RECUR-SIVE Model of Mathematical Expressions for Automatic Reading ofMathematical Documents[J].In Proceedings of ICDAR 99, India, 1999:116-122.

[3]Lee His Jian, Wang Jiumn Shine.Design of a Mathematical ExpressionUnderstanding System[J].Pattern Recognition Letters, 1997, 18:289-298.

[4]刘琼华.采用标记语言构造数学公式编辑器的方法[J].计算机工程, 2003:82-83.

7.用数学归纳法证明泰勒公式 篇七

1 引言

一般的高等数学教材中［1］都介绍了关于泰勒公式的如下两个命题：

命题1 带皮亚诺（Peano）余项的泰勒(Talor) 公式：

f(x)在［a,b］上具有n阶导数，则衳∈［a,b］有

f(x)=f(a)+f ′(a)(x-a)+f(2)(a)2!(x-a)2+…+f(n)(a)n!(x-a)琻+Rn(x)(1)

其中Rn(x)=o((x-a)琻),

即﹍imx→x0Rn(x)(x-x0)琻=0.

命题2 带拉格朗日（Langrange)余项的泰勒公式：

函数f(x)在x0的邻域内x∈U(x0)内n+1阶可导，对衳∈U(x0),靓巍剩踴0,x］使得f(x)=f(a)+f′(a)(x-a)+f(2)(a)2!(x-a)2+…+f(n)(a)n!(x-a)琻+Rn(x)(2)

其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x-x0)n+1

两种余项的泰勒公式所表达的根本思想就是怎样用多项式来逼近函数

公式（1）非普通的等式，而是反映了极限性质的渐进等式，因此公式（1）在求极限时很有用处，对余项可以提供充分小量的估计

公式（2）的余项有确定表达式，当然也有不确定因素，即有中值，但不妨碍定理的使用，为近似计算的误差估计提供了理论依据

这两个命题的证明都需要多次使用柯西（cauchy）中值定理或者罗比达（LHospital）法则，非常繁琐本文给出泰勒公式的一个简洁的证明，给出的余项既可以进行误差的阶的估计，又可以进行近似计算

2 主要结果

引理1 f(x)在［a,b］上可导，且f ′(x)≥0,则f(x)≥f(a)，x∈［a,b］

证明：由于f ′(x)≥0,所以f(x)在［a,b］上递增，f(x)≥f(a)

推论1 f(x)和g(x)在［a,b］上可导，且ゝ ′(x)≥g ′(x)，

则f(x)-f(a)≥g(x)-g(a),x∈［a,b］

特别地f(a)=g(a)=0，则有f(x)≥g(x)，

x∈［a,b］

证明：令h(x)=f(x)-g(x)，对h(x)使用引理1

引理2 H(x)在［a,b］上可导，且有

（1）H(k)(a)=0,k=0,1,2,…，n-1,

（2）m≤H(n)(a)≤M，x∈［a,b］,

则有 m(x-a)琻n!≤H(x)≤M(x-a)琻n!.

证明：对n用数学归纳法证明

n=0时，显然成立

若已有m(x-a)琻n!′≤H ′(x)≤M(x-a)琻n!′，

由推论1得到m(x-a)琻n!≤H(x)≤M(x-a)琻n!

定理 若函数f(x)在［a,b］上n+1阶连续可导，则存在A和B，使得［a,b］中的任意x0和x，有下式成立

f(x)=f(x0)+f ′（x0)(x-x0)+f(2)(x0)2!(x-x0)2+…+

f(n)(x0)n!(x-x0)琻+Rn(x) （3）

其中Rn(x)介于A(x-x0)n+1(n+1)!和B(x-x0)n+1(n+1)!之间

特别地，若记M=max{|A|,|B|}，

则﹟Rn(x)|≤M|x-x0|n+1(n+1)!

证明：由于f(n+1)(x)连续，必有A≤f(n+1)(x)≤B

令Rn(x)=f(x)-f(x0)+f ′(x0)(x-x0)

+f(2)(x0)2!(x-x0)2+…+f(n)(x0)n!(x-x0)琻，

则有：

（1）R(k)n(x0）=0，k=0,1，2，…，n

（2）A≤R(n+1)n(x)=f(n+1)(x)≤B

由引理2，有|Rn(x)|≤M|x-x0|n+1(n+1)!，M=max{|A|,|B|}

注：由|Rn(x)|≤M|x-x0|n+1(n+1)!，有Rn(x)=o((x-x0)琻),(x→x0)

因此，命题2可以看成定理的一个推论，但比较而言，定理的证明不需要较多的中值定理的知识，证明简单

由定理, 可以直接写出以下几个基本初等函数的泰勒公式：

1)e瑇=1+x+x22!+…+x琻n!+Rn(x)

2)sinx=x-x33!+x55!+…+(-1)n-1x2n-1(2n-1)!+R2n(x)

3)cosx=1-x22!+x44!+…+(-1)nx2n(2n)!+R2n(x)

4)ln(1+x)=x-x22+x33+…+(-1)n-1x琻n+Rn(x)

5)(1+x)α=1+αx+α(α-1)2!x2+…+α(α-1)…(α-n+1)n!x琻+Rn(x)

6)11-x=1+x+x2+…+x琻+Rn(x)

3 应用举例

例1 求e的近似值，使得其误差<10-6

解 取f(x)=e瑇

由于e瑇在［0,1］上具有任意阶连续导数，且

|(e瑇)n+1|=|e瑇|≤e，所以M≤e，由公式（3）

e瑇=1+x+…+1n!x琻+Rn(x),

取x=1，有e≈1+1+12!+13!+…+1n!

|Rn(1)|≤M(n+1)!≤e(n+1)!<3(n+1)!取n=9，可得3(n+1)!<10-6，此时e≈2.718282即为所求

例2 求极限﹍imx→0sinx-xx3

解 由于sinx=x-x33！+R4（x)，因为﹟sin(n)x|=|sin(x+nπ2)|≤1

所以|R4(x)|≤x44!，因此R4(x)=o(x3)，所以

﹍imx→0sinx-xx3=﹍imx→0-x33!+o(x3)x3=-16

例3 证明二项式展开定理：(a+b)琻=∑nk=0C琸na琸bn-k.

证明：设函数f(x)=(x+b)琻,则函数f(x)存在任意阶的导函数

f(k)(x)=n(n-1)…(n-k+1)(x+b)n-k (k=0,1,…,n),

f(k)(0)=n(n-1)…(n-k+1)bn-k (k=0,1,…,n)

且f(n+1)(x)=0,由定理得

f(x)=f(0)+f ′(0)x+f ″(0)2!x2+…+f (n)(0)n!x琻

=∑nk=0f (k)(0)k!x琸

=∑nk=0n(n-1)…(n-k+1)bn-kk!x琸

=∑nk=0C琸nbn-kx琸

所以f(a)=∑nk=0C琸nbn-kx琸

又f(a)=(a+b)琻,所以(a+b)琻=∑nk=0C琸na琸bn-k.

参考文献

［1］ 高等数学第四版上册，同济大学数学教研室主编，高等教育出版社

［2］ 数学分析第三版上册，华东师范大学数学系编，高等教育出版社

作者简介 迟炳荣（1972—），女，潍坊工商职业学院建筑工程系讲师，鲁东大学数学与信息学院教育硕士，主要从事高等数学教学研究

8.常用gmat数学公式总结 篇八

以下为大家总结了gmat考试中gmat数学公式，当然，我们总结的不够全面，只是一些比较常用的gmat数学公式，同时也适用于GRE考试，希望能够帮助大家备考。(a+b)(a-b)=a²-b²(a+b)²=a²+2ab+b²(a-b)²=a²-2ab+b²

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³

一元二次方程ax²+bx+c=0的解x₁,₂=(-b±√b²-4ac)/2a

利率Rate。时间Time*Simple Interest:利息Interest=本金Principal

*Compound Interest:A=(1+R)n;A为本利和，P为本金,R为利率,n为期数。

TimeRate of Discount *Distance=Speed*Discount=Cost

*Pythagorean Theorem(勾股定理):直角三角形(right triangle)两直角边(legs)的平方和等于斜边(hypotenuse)的平方。

*多变形的内角和：(n-2)×180°，总对角线数为n(n-3)/2条，从每一个顶点引出的对角线数为(n-3)条;式中：n为多边形的边数

*平面直角坐标系中，A(x1,y1)和B(x2,y2)是任意两点，C(x,y)是线段AB的中点，则x=(x1+x2)/2，y=(y1+y2)/2,线段AB两端点间的距离=

*平面图形的周长和面积：

Perimeter Area

Triangle 三边之和(底×高)/2

Square 边长×4 边长的平方

Rectangle(长+宽)×2 长×宽

Parallelogram(长+宽)×2 底×高

Trapezoid 四边之和(上底+下底)×高/2

Rhombus 边长×4 两条对角线之积的1/2

Circle 2πr=πd πr2

*立体图形的表面积和体积：

Volume Surface Area

Rectangular Prism 长×宽×高 2(长×宽+长×高+宽×高)

Cube 棱长的立方 6×棱长×棱长

Right Circular Cylinder πr2h 2πr h(侧)+2πr2(底)

Sphere 4πr3/3 4πr2

9.高一数学必修一公式总结 篇九

sin(2k)=sin

cos(2k)=cos

tan(2k)=tan

cot(2k)=cot

公式二： 设为任意角，的三角函数值与的三角函数值之间的关系：

sin=-sin

cos()=-cos

tan()=tan

cot()=cot

公式三： 任意角与 -的三角函数值之间的关系：

sin(-)=-sin

cos(-)=cos

tan(-)=-tan

cot(-)=-cot

公式四： 利用公式二和公式三可以得到与的三角函数值之间的关系： sin()=sin

cos()=-cos

tan()=-tan

cot()=-cot

公式五： 利用公式一和公式三可以得到2与的三角函数值之间的关系： sin(2)=-sin

cos(2)=cos

tan(2)=-tan

cot(2)=-cot

公式六： /2及3/2与的三角函数值之间的关系：

sin(/2+)=cos

cos(/2+)=-sin

tan(/2+)=-cot

cot(/2+)=-tan

sin(/2-)=cos

cos(/2-)=sin

tan(/2-)=cot

cot(/2-)=tan

sin(3/2+)=-cos

cos(3/2+)=sin

tan(3/2+)=-cot

cot(3/2+)=-tan

sin(3/2-)=-cos

cos(3/2-)=-sin

tan(3/2-)=cot

cot(3/2-)=tan

(以上kZ) 其他三角函数知识： 同角三角函数基本关系

⒈同角三角函数的基本关系式

倒数关系:

tan cot=1

sin csc=1

cos sec=1

商的关系：

sin/cos=tan=sec/csc

cos/sin=cot=csc/sec

平方关系：

sin^2()+cos^2()=1

1+tan^2()=sec^2()

1+cot^2()=csc^2()

两角和差公式

⒉两角和与差的三角函数公式

sin(+)=sincos+cossin

sin(-)=sincos-cossin

cos(+)=coscos-sinsin

cos(-)=coscos+sinsin

tan+tan tan(+)=1-tan tan

tan-tan tan(-)= 1+tan tan

倍角公式

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)

sin2=2sincos

cos2=cos^2()-sin^2()=2cos^2()-1=1-2sin^2()

2tan tan2=

1-tan^2()

半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)

1-cos sin^2(/2)= 2

1+cos cos^2(/2)= 2

1-cos tan^2(/2)= 1+cos

万能公式

⒌万能公式 2tan(/2) sin= 1+tan^2(/2)

1-tan^2(/2) cos= 1+tan^2(/2)

2tan(/2) tan= 1-tan^2(/2)

和差化积公式

6.三角函数的和差化积公式

+ - sin+sin=2sin----cos--- 2 2

+ - sin-sin=2cos----sin---- 2 2

+ - cos+cos=2cos-----cos----- 2 2

+ - cos-cos=-2sin-----sin----- 2 2

积化和差公式

7.三角函数的积化和差公式

sin cos=0.5[sin(+)+sin(-)]

cos sin=0.5[sin(+)-sin(-)]

cos cos=0.5[cos(+)+cos(-)]

sin sin=- 0.5[cos(+)-cos(-)]

【总结】以上就是高一数学公式汇总的所有内容，希望对大家有所帮助!