和差的变化规律 《举一反三》四年级奥数教案

和差的变化规律 《举一反三》四年级奥数教案

1.和差的变化规律 《举一反三》四年级奥数教案 篇一

《举一反三》四年级奥数教案

一、教学内容：举一反三P39--P43

二、教学目标：等差数列三个公式及其应用

1、求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2

2、项数公式：项数＝（末项－首项）×公差＋1

3、通项公式：第N项＝首项＋（项数－1）×公差

三、教学难点：根据已知量和未知量，确定使用公式。

四、教学设计：

1、复习上节课内容。

2、由高斯小故事引入新课

【P41例题3】有这样一个数列： 1、2、3、4…99、100，请求出这个数列所有项的和。

【分析】：如果我们把1、2、3、4…99、100与列100、99…3、2、1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。

1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050 总结：上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2

这个公式也叫做等差数列求和公式。

那么我们来看看，什么叫数列，什么又是等差数列？【P39】

若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中项的个数称为项数。从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，（即任意相邻两个数的差是一定的），后项与前项的差称为公差。

关于等差数列求和的问题，我们需要记住三个公式，即求和公式、通项公式和项数公式。这也是我们这节课的重点。

前面我们得出的是求和公式。练习：疯狂操练3：（1）、（2）

3、接下来我们来学习另外两个公式：“通项公式”和“项数公式”。

I、项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1

【例题1】有一个数列：4、10、16、22…52，这个数列共有多少项？ 【分析】仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差都是6，所以这是一个以4为首项，以公差为6的等差数列，根据等差数列的项数公式即可解答。

由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,可得,项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。

练习：疯狂操练1(1)、(2)、(3)

II、通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差

【例题2】有一等差数列：3，7，11，15…这个等差数列的第100项是多少？ 【分析】仔细观察可以发现，后项与其相邻的前项之差等于4，所以这是一个以3为首项，以公差为4的等差数列，根据等差数列的通项公式即可解答。

由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差,可得，第100项=3+4×（100－1）=399.练习：疯狂操练2(1)、(2)总结：在等差数列中，只要知道首项、末项、项数、公差这四个量中的三个，就可以利用三个公式求出第四个。

4、综合练习。

【例题4】求等差数列2，4，6…48，50的和。

【分析】仔细观察数列中的特点，相邻两个数都相差2，所以可以用等差数列的求和公式来求。

因为首项是2，末项是50，公差是,2，所以,项数=（50－2）÷2+1=25。再根据等差数列的求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2,解出

2+4+6+8+…+50=(2+50)×25÷2=650。

练习：疯狂操练4(1)、(2)总结：在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。

5、能力升级。

【例题5】计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）

【分析】方法一：仔细观察算式中的被减数与减数，可以发现它们都是等差数列相加，根据题意可以知道首项、末项和公差，但并没有给出项数，这需要我们求项数，按照这样的思路求得项数后，再运用求和公式即可解答。

被减数的项数=(100-2)÷2+1=50，所以被减数的总和=(2+100)×50÷2=2550;减数的项数=(99-1)÷2+1=50,所以减数的总和=(1+99)×50÷2=2500。所以原式=2550-2500=50。

方法二：进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1 ～ 100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有50个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到50个差，再求出所有差的和。

（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）

=（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99）=1+1+1+…+1 =50 练习：疯狂操练5(1)

6、作业：

P42疯狂操练4（2）P42疯狂操练4（3）

P43疯狂操练5（2）