《二次函数的应用》教学反思（共17篇）
1.《二次函数的应用》教学反思 篇一
关于二次函数的实际应用的反思
张珺瑕
二次函数的实际应用，根据自己书写的教案，从教材分析、教学方法、学法及教学手段的选择、教学过程设计等方面做出具体的说明。
教学内容的地位、作用和意义，二次函数的实际应用是课标版教材第九册第二十章第5节的内容，该知识是在二次函数图像及性质、二次函数解析式的确定之后学习的一个理论联系实际的内容，加强了方程等内容与函数的联系，进而培养了学生从数学角度抽象分析问题和运用数学知识解决实际问题的能力，通过实践体会到数学来源于生活又服务于生活。
本节内容突出体现了《数学课程标准》的要求：初中阶段学生能够结合具体情境发现并提出数学问题建立数学模型，从不同角度寻求解决问题的方法，并能有效的解决问题，验证解的正确性与合理性，通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。教学目标：（1）、使学生能够运用二次函数的图象和性质解决实际问题。（2）、培养学生数学建模能力（包括理解实际问题的能力，抽象分析问题的能力，运用数学知识的能力和通过实际加以检验的能力）。教学重点：（1）、使学生能够正确建立直角坐标系，从而应用二次函数的图象和性质解决实际问题；（2）、使学生掌握将生活信息转化为数学问题的方法。教学难点：培养学生从实际问题中抽象出数学问题，并应用二次函数的图象和性质加以解决，最后回归实际问题的能力．
教学方法、学法及教学手段的选择
二次函数的实际应用是中学数学中的重点与难点。为了充分体现“加强主体教学的要求”结合我所教班级的实际情况，本节课由教师创设问题情境，引发学生思考，经过学生的自主探究与小组合作交流完成数学建模过程，从而解决实际问题。为了直观地反映一些数量关系，便于学生观察，我运用了计算机辅助教学。
关于教学过程的设计：设计思路：教师创设问题情境 → 学生自主+合作完成数学建模 →一题多解思维拓展 → 掌握建模关键点形成解题技能。
我们已经学习了二次函数的图象和性质，知道二次函数的图象是一条抛物线。在实际生活中，有哪些问题可以让我们联想到抛物线呢？启发学生思考并举例。之后，教师举例，如：建筑方面的拱形桥和物体运动中自然形成的轨迹（喷泉横切面水珠运动轨迹）等都可以近似的看成抛物线。因此我们可以应用二次函数的有关知识辅助解决一些相关问题。二次函数的图象和性质不仅可以用来解决数学问题，还可以用来解决一些生活实际问题，同学们要善于观察和思考，要有意识的提高自己应用数学知识解决实际问题的能力，做到学数学用数学．
2.《二次函数的应用》教学反思 篇二
关键词：二次函数,基本性质,不等式,导数,解析几何
一、深抓概念, 牢固掌握二次函数基础知识
在初中阶段就对函数的定义进行了相应的阐述, 指出而随着高中知识的深入, 对函数的概念通过从映射的角度进行了从新解释, 但仍具有普通函数的基本素和特性等。本文以二次函数的概念和基础知识为例, 加固对基础知识概念的理解。即二次函数是从一个集合A (定义域) 按照一定的对应关系f映射到集合B (值域) 中, 使集合B中元素y与集合A中的元素x按照y=ax2+bx+c (a≠0) 的关系对应, 记为f (x) =ax2+bx+c (a≠0) , 学生只有深刻掌握基本概念后才能做到更好的应用。例如对以下问题的求解:
类型I:已知f (x+1) =x2-4x+1 求f (x)
分析:对于此例题的求解如果充分掌握理解函数的概念定义, 找出那个是自变量, 那个是因变量, 并判断出它们之间的对应关系, 那么此问题便很好解决。因此可从两个方面入手结果此问题:①将所给表达式通过配方法转换成x+1 的表达式:f (x+1) = (x+1) 2-6 (x+1) +6, 然后将函数中的自变量x+1 用x替代, 即为所求表达式f (x) =x2-6x+6。②直接用变量换元的方法假设t=x+1, 那么x=t-1, 带入所给表达式可知f (t) =t2-6t+6, 因此f (x) =x2-6x+6。
二、二次函数基本性质的应用
在高中阶段对基本性质的考察主要围绕着二次函数的单调性、奇偶性和有界性 (最值问题) 等方面, 而对单调性和有界性的考察最为常见, 因此, 必须让学生对基本性质的应用熟练掌握, 尤其是单调性和有界性相结合的系统考察。
类型II:已知函数f (x) =x2-2x+3, 求函数在区间[m, m+1]内的最小值。
分析:由函数图像可知, 对称轴为x=1, 在区间 (-∞, 1]上是递减函数, 在[1, +∞) 上是增函数, 而区间[m, m+1]中m的数值不确定, 那么应当对所求区间的大小和1 进行分类讨论, 以便求出最小值点。
解:根据函数f (x) 的图像可知, 对称轴为x=1, 那么f (x) 在x=1 时取得最小值为fmin (x) =f (1) =2。当m<0 时, 那么fmin (x) =f (m+1) =m2;当0≤m≤1 时, 那么fmin (x) =2;当m>1 时, 那么fmin (x) =f (m) =m2-2m+1。
三、二次函数在二次方程和二次不等式中的应用
在高中阶段针对求解一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 根的问题比较普遍, 在求解过程中往往转化成函数f (x) =ax2+bx+c (a≠0) 的零点求解问题, 而对于二次不等式的求解问题主要是先转换成二次方程根的求解, 然后在坐标轴上画出根的位置, 最后根据所求不等式的范围确定所取x值的范围, 即是所求不等式的范围, 但值得注意的是在求解过程中一定要求学生对二次函数定义域、值域、单调性等概念的熟练掌握理解透彻。
类型III:已知函数f (x) = (4-3a) x2-2x+a, 若0≤x≤1, x为自变量, a为常数, 证明当a>4/3时, f (x) ≤a。
分析:根据所给的已知条件, 判断出4-3a和0 之间的关系, 然后确定函数图像的确切开口方向和精确的对称轴位置, 然后利用二次函数的单调性和有界性进行求解分析。
证明:根据已知条件a>4/3可知, 4-3a<0, 且函数f (x) 的对称轴为, 那么当x的取值小于等于对称轴时, 函数f (x) 在相应的确定区间内单调递增函数, 当x的取值大于对称轴时, 函数f (x) 在相应的区间上是递减函数, 故函数f (x) 在区间[0, 1]上时为单调递减函数, 即f (x) ≤fmax (x) =f (0) =a。
四、二次函数在导数中的应用
针对二次函数在导数中的应用, 考察最多的就是极值、最值问题, 但必须注意在特殊点的可导性问题, 这也是很多学生最容易出现问题的地方。
类型IV:已知函数f′ (x) =3x2+2x, 求f (x) 在何处取极小值
分析:题目已经给出了函数f (x) 的表达式, 只需求出f′ (x) =0 的点和判断出在不同范围内的单调性即可求出函数f (x) 的极值。
解:当f′ (x) =3x2+2x=0时, 解得x1=0, x2=-2/3, 当x在 (-∞, -2/3) 区间时, f′ (x) >0, 故函数f (x) 在相应的区间上单调递增;当x∈ (0, -2/3) , f′ (x) <0, 故函数f (x) 在相应的区间上单调递减;x∈ (0, +∞) 时, f′ (x) >0, 故函数f (x) 在相应的区间上单调递增, 因此函数f (x) 在x=0时取极小值f (0) =0。
五、二次函数在解析几何中的应用
二次函数在解析几何中的应用在高考题中往往出现在压轴题或高档题中, 主要考察位置关系、最值和轨迹问题, 在解决直线和所给曲线的位置关系问题时, 主要是考察两个曲线方程组成的二次函数有无实数根或几个实数根的问题, 应当注意的是, 针对此综合性的问题应当充分利用好数形结合和分类讨论的方法。
类型V:探究直线y=kx+1 和双曲线x2-y2=1 交点的个数。
分析:根据所给的已知条件, 此题目主要考察的是交点的个数, 实际上讨论的组成的一元函数方程根的问题, 然后充分利用韦达定理和分类讨论的方法便可解答。
解:由已知条件, 将上述两个方程联立消去自变量y得 (1-k2) x2-2kx-2=0。那么当1-k2=0, 故组成的函数方程只有一个根, 在直线和双曲线的公共交点处取得。当1-k2≠0 时, 根据韦达定理可知, 判别式△=b2-4ac=8-4k2;①当△=8-4k2>0时, 组成的二次函数有两个实数根, 故直线和双曲线有两个交点;②当△=8-4k2=0 时, 组成的二次函数有且只有一个实数根, 且在直线和双曲线的切点出取得;③当△=8-4k2<0 时, 组成的二次函数没有实数根, 那个直线和双曲线没有交点。
六、结束语
二次函数贯穿于初高中的整个学习阶段, 且在每年高考中都已较高的频率出现, 且考试的重点往往将二次函数结合别的相关知识点结合起来进行的考察。故在高中能熟练掌握运用二次函数的知识点极为重要。本文列举的二次函数相关应用例子, 希望能对学生的学习起到帮助作用。
参考文献
[1]董金茂.二次函数在高中数学教学中的应用[J].吉林教育, 2016第1期P15
3.《二次函数的应用》教学反思 篇三
【关键词】二次函数 重点 整体难点
二次函数是初中阶段继一次函数、反比例函数之后，学生要学习的最后一类重要的代数函数，它也是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。初中阶段主要研究二次函数的概念、图像和性质，用二次函数的观点审视一元二次方程，用二次函数的相关知识分析和解决简单的实际问题。二次函数和一次函数、反比例函数一样，都是高中阶段要学习的一般函数和非代数函数的基础。我在二次函数的教学中，整体把握，重点突破，收到了较好的教学效果。
一、抓住重点组织教学
（一） 通过对实际问题情境的分析确定二次函数的关系式，并体会二次函数的意义
这里体现了数学与生活的关系。教学中，应从教材中的“水滴激起波纹”、“圈养小兔”等实际问题入手，引导学生列出函数关系式。然后，让学生观察、思考：所列的函数关系式有什么共同点？它们与一次函数、反比例函数有什么不同？从而引导出二次函数的概念，让学生认识二次函数的各部分名称。如此，学生能够体会到二次函数来自生活，感受到二次函数也是描述一类现实问题中变量关系的数学模型，激发学习的积极性。
（二） 采用“描点法”画出二次函数的图像，从图像上认识二次函数的性质
这是二次函数的教学重点。一方面，学生要学会画出二次函数的图像；另一方面，要能从图像上认识二次函数的性质。教学中，教师要扎实地让学生画出二次函数的图像（不能一带而过，就让学生去解决与图像有关的复杂题），即运用探索函数图像的方法——“描点法”，一步一步地列表、描点、连线，加深对二次函数图像形状的认识。
（三） 利用公式确定二次函数的顶点、开口方向和对称轴，解决简单的实际问题
这里包括两点：一是从二次函数关系式上认识二次函数的性质，这是学生对二次函数性质的进一步认识；二是列二次函数的关系式解决问题，这是学生学习二次函数的落脚点所在。这种“捆绑式”教学，可以促进学生对借助公式确定对二次函数的顶点、开口方向的理解和掌握。而在运用二次函数解决简单的实际问题时，应将知识块分类后进行教学，这样效果较好。
（四） 运用二次函数的图像求一元二次方程的近似解
这是二次函数的内部应用。即从函数的角度审视一元二次方程与二次函数的关系，并根据直观图形，借助计算器探索函数值为0的自变量的值，进而得出用二次函数图像求一元二次方程的近似解的方法。在这个过程中，应通过直观图像，研究函数值与自变量的变化，渗透无限逼近和区间套的数学思想方法，为学生高中阶段的函数学习做好铺垫。
二、立足整体设计教法
二次函数的整体性，体现在其图像、性质以及应用上。教材从学生熟悉的简单实际问题出发，建立二次函数的概念，立足运动、变换的观点，由特殊到一般，分别探讨各种形式的二次函数的图像和性质，最后以3个探究性问题为例，探讨二次函数在实际中的应用。学生学习二次函数的图像和性质的障碍主要体现在解析式、图像、性质的对应上，应用的主要障碍则是建立二次函数解析式，并利用解析式解决问题。
（一） 层层递进，系统把握二次函数的图像和性质
二次函数的一般形式及其变换形式共有六种：（1） y=ax2 （a≠0）；（2） y=ax2+k（a≠0）；（3） y=a（x+h）2（a≠0）；（4） y=a（x+h）2 +k（a≠0）；（5） y=ax2+bx+c（a≠0）；（6） y=ax2+bx（a≠0）。要求学生由不同的解析式画出圖形示意图并说出对应的性质，有一定的难度。教学时，应层层递进，通过画示意图像来说性质。同时，在学习这六种形式的二次函数的关系式、图像和性质时，每节课都复习上节课学习的二次函数的关系式、图像和性质，并板书。这样，当学到最后一种二次函数的解析式、图像和性质时，学生已在头脑中形成了系统、全面的关于二次函数的解析式、图像、性质的知识网络。
（二） 策略分类，明晰掌握二次函数应用的方法
二次函数是研究单变量最优化问题的常用数学模型。教材从数量关系入手，把实际问题数学化，进而求出最优解，研究了面积最大、利润最大等问题。然后，从“形”上研究了抛物线形的拱桥、抛物线形的隧道、喷泉、投掷、跳远、跨栏等与抛物线有关的问题。这样的分类（一会儿求关系式，一会儿不求；一会儿给应用问题，一会儿给图像），对正由形象思维向抽象思维过渡的初中生来说挑战不小，学生的思维容易发生混乱。教学二次函数的应用问题时，根据学生的年龄特点和知识基础，按解题策略进行分类，有助于学生理清思路，正确解决问题。
第一类：给二次函数的关系式解决问题。比如，教材第33页第4题的“火箭升空”、第34页第9题的“对概念接受能力”、第35页第12题的“喷泉”等问题，只要将二次函数的关系式配方求定点坐标，或令x、y等于0，即可顺利解决。
第二类：给应用问题列二次函数的关系式，再用关系式解决问题。比如，教材第25页的“最大收益”、“最大面积”等问题，只要分析数量关系，列出二次函数的关系式，再由二次函数的关系式即可解决问题。
第三类：给二次函数的图像列二次函数的关系式解决问题。比如，教材第27页的问题2“喷泉”问题，只要从图像上找到一个或两个点的坐标，代入二次函数的关系式的一般形式，从而求出二次函数的关系式，再由二次函数的关系式，即可解决问题。
第四类：建立直角坐标系，求出二次函数的关系式解决问题。比如，教材第28页的“抛物线形拱桥”、第30页的“栏杆”和“抛物线形拱桥”等问题。这样的问题，要建立适当的直角坐标系，再由图像求出二次函数关系式，然后由二次函数关系式即可解决问题。
三、着手关键化解难点
（一） 将二次函数的一般形式化为顶点式
学生对前四个形式的二次函数y=ax2 （a≠0），y=ax2+k（a≠0），y=a（x+h）2（a≠0），y =a（x+h）2 +k（a≠0）画图像、说性质相对比较容易，对后两个形式的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），y=ax2+bx（a≠0）画图像、说性质，难度就大得多。因为要将它们转化为y=a（x+h）2 +k（a≠0）的形式，其中涉及配方的问题。而配方又涉及完全平方公式——这在一元二次方程解法的教学时已有所涉猎。因此，教学一元二次方程解法时，就必须注重配方法的教学，到了这个阶段再增添求二次三项式的最值问题，学生因为掌握了配方的方法，就容易理解和接受了。
（二） 列二次函数关系式和应用二次函数关系式
比如，最大效益问题是一元二次方程的利润类应用问题的迁移，关键是把握关系式“每亩（件、千克）效益（利润）×亩数（件数、千克数）=总效益（总利润）”；面积类问题，关键是面积公式；给二次函数图像列二次函数关系式解决问题，关键是设二次函数关系式；建立直角坐标系，求出二次函数关系式解决问题，关键是建立适当的直角坐标系、设二次函数关系式；应用二次函数关系式，关键是理解关系式中的字母的意义，看清问题中要求的是关系式中的哪一个问题，从而确定方法。
【参考文献】：
[1]罗增儒。数学解题学引论[M].西安：陕西师范大学出版社，1997
4.二次函数教学反思 篇四
这节课是在学完正、反比例、一次函数，认识了一元二次方程之后的二次函数的第一节课，从课本的体系来看，这节课明显是要让学生明白什么是二次函数，能区别二次函数与其他函数的不同，能深刻理解二次函数的一般形式，并能初步理解实际问题中对定义域的限制。
但是如果光从这些知识点上来讲这节课，其实很简单，学生在原有知识的储备基础上很容易迁移和接受这些知识，那么这节课还有什么好设计的呢？ 重新思索教材的编写意图，发现课本这部分内容大部分篇幅是在讲三个实际问题，由此引出了二次函数，我才意识其实这节课的重点实际上应该放在“经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验，从而形成定义”上，有了这个认识，一切变得简单了！
整节课的流程可以这样概括：学生感兴趣的简单实际问题——引出学过的一次函数——复习学过的所有函数形式——设问：有没有新的函数形式呢？——探索新的问题——形成关系式——是函数吗？——是学过的函数吗？——探索出新的函数形式——概括新函数形式的特点——将特点公式化——形成二次函数定义——有练习巩固定义特点——返回实际问题讨论实际问题对自变量的限制——提出新的问题，深入讨论——课堂的小结，这样设计一气呵成，感觉上无拖沓生硬之处，最关键的是我认为这符合学生的基本认知规律，是容易让学生理解和接受的。
对于实际问题的选择，我将4个问题整和于同一个实际背景下，这样设计既能引起学生兴趣，也尽量减少学生审题的时间，显得非常有层次性，这些实际问题贯穿整个课堂的始终，使整个课堂有浑然天成的感觉。
对于练习的设计，仍然采取了不重复的原则性，尽量做到每题针对一个问题，并进行及时的小结，也遵循了从开放到封闭的原则，达到了良好的效果。对于最后讨论题的设计和提出，是我在进行了整个一章的单元备课后发现，我们其实对二次函数的最值问题是不讲的，但是不讲并不代表一点都不会涉及到，其中用到的思想方法还是相当重要的，在图象的观察中也具有了重要的地位，再加上这个问题在进行了前面的实际问题的解答之后是呼之欲出的：多种树——想提高产量——多种几棵好呢？，所以我设计了这个探索性的问题：假如你是果园的主人，你准备多种几棵？注意这里我并没有提出最大最小值的问题，但是所有的学生都能理解到，这是数学的魅力。这个问题的提出是整节课的一个高潮和精华，是学生学完二次函数定义之后，综合利用函数的基本知识，代数式的知识
5.二次函数教学反思 篇五
麦岭镇初级中学
刘丽丽
立足于二次函数在初中数学函数教学中的地位，着眼于2012年广东湛江中考方向，根据学生对二次函数的学习及掌握的情况，从梳理知识点出发采用以习题带知识点的形式，精心地准备了《二次函数》的第一节复习课，教学重点为二次函数的图象性质及应用，教学难点为a、b、c与二次函数的图象的关系。
最初，“抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性”这一相关性质复习设计中安排了3个训练题目，其中第（2）小题侧重在抛物线的对称性与增减性，集体备课后我进一步认识了课标要求广东湛江中考命题评价方向，在复习侧重方向上作了调整：加强利用配方法将二次函数一般式化顶点式、判断抛物线对称轴、借图象分析函数增减性等的训练，从而删去原例（2）增加新例（2）（见复备），另外还预想借图象识别2a与b的关系将是本节课的一个难点。本节课在创没问题情境：了解到了赵州桥的历史悠久，距今已有1400多年了，那同学们，你们想知道赵州桥还有那些特点吗？赵州桥的形状又是什么图形，是怎么设计出来的？要设计这座大桥需要学会什么知识呢？
中拉开了序幕，并在请思考y=x2-4x+3，并写出相关结论。比一比，赛一赛，看谁写得多中展开。
进一步建立函数体系回忆了二次函数的定义，其图象与性质及与一次、反比例函数图象的综合应用，相继进行，使学生由数思形，数形渗透的思想的到了训练，但此环节中“2a与b的关系”学生没有提到，迫于突破此难点，我让学生观察课例图象，并进一步引导观察对称轴的具体位置后，仅有十几个学生准确理解、掌握，于是我进一步的分析“2a与b的关系”由对称轴的具体位置决定，并说明由a＞0与b＞0能推导出2a+b＞0的方法仅适于此题，但效果不尽人意，仍有一部分学生应用此法解决相关问题。本知识点预设6分钟完成而实际用了15分钟。如此导致处理
二、2、（2）题时间紧张，使得重点不凸现。将第（3）题留为课后作业，来了个将错就错，为下一节课复习“二次函数与二元一次方程”的关系巧作铺垫。在教学过程中，教师要多设问，引导学生联系已有的知识，实现知识的类比，迁移和增长。扎实的落实复习课的教学目的。还故意穿插了数学思想方法的应用。如：分类讨论的思想方法，数形结合的思想方法，消元的思想方法。但学生在建立二次函数与一元二次不等式、一元二次方程的联系时，感到困惑。
6.《二次函数》教学反思 篇六
本节课在两个地方学生出现疑难：一是分析题意时理不清价格和数量之间的对应关系;二是不能准确判断自变量的取值范围和函数的最值。对于这些难点我是这样处理的：
首先在回顾了前面的知识点后提出实际问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件;每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大?在分析题意时学生能分清涨价、降价所对应的商品销量，但一小部分学生依教材上的解题思路不能理解售价和销量之间的对应关系。对于这个难点我是这样处理的：设每涨x个1元，则每件售价为(60+x)元，少卖出10x件，共卖出(300—10x)件;每降价x个1元，则每件售价为(60-x)元，多卖出20x件，共卖出(300+x)件。重点强调“x个”!虽然在分析中只多了个“每(涨或降)…个1元”，但就这几个字却能帮一部分学生理清关系和思路，如涨3元8元的问题，则售价为(60+3x)元或(60+8x)元，这样学生从最小单元开始分析，逐层递进，很容易理清思路找准关系。这个关系弄清了，函数关系自然水到渠成就写出来了。
其次是由函数解析式确定最大值，而确定最值时必须考虑实际问题中自变量的取值范围。在这个问题中x首先是非负数，同时(300—10x)也是非负数，所以x大于等于0且小于等于30。结合函数解析式y=-10x2+100x+6000可知该函数图象开口向下，有最大值。由顶点坐标公式可以计算出当x=5时(在自变量的取值范围内)，y有最大值，且此时y=6250。强调此时不仅要考虑顶点坐标公式，还要结合题意看这个x值是否在其取值范围内。x值确定后将其代入就可求出最值y的大小。
7.二次函数在高中阶段的应用 篇七
一、引导学生在掌握了函数定义的基础上进一步深入理解二次函数的概念
初中阶段已经讲述了函数的定义, 进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射, 接着重新学习函数概念, 主要是用映射观点阐明函数, 这时就可以用学生已经有一定了解的函数, 特别是二次函数为例以更深刻地认识函数的概念.二次函数是从一个集合A (定义域) 到集合B (值域) 上的映射f:A→B使得集合B中的元素y=ax2+bx+c (a≠0) 与集合A的元素X对应记为f (x) =ax2+bx+c (a≠0) . 这里ax2+bx+c表示对应法则 , 又表示定义域中的元素X在值域中的象, 从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识, 在学生掌握函数值的记号后, 可以让学生进一步处理以下问题.
类型I:已知f (x) =2x2+x+2, 求f (x+1) .
这里不能把f (x+1) 理解为x=x+1时的函数值, 只能理解为自变量为x+1的函数值.
类型Ⅱ:设f (x+1) =x2-4x+1, 求f (x) .
这个问题 理解为 , 已知对应 法则f下 , 定义域中 的元素x+1的象是x2-4x+1, 求定义域中元素X的象 , 其本质是求对应法则.
一般有两种方法: (1) 把所给表达式表示成x+1的多项式. (x+1) =x2-4x+1= (x+1) 2-6 (x+1) +6, 再用x代x+1得f (x) =x2-6x+6. (2) 变量代换 : 它的适应性强 , 对一般函数都适用 . 令t=x+1则x=t-1, ∴f (t) = (t-1) 2-4 (t-1) +1=t2-6t+6, 从而f (x) =x2-6x+6.
二、结合二次函数的图像深化学生对于单调性、最值、对称性等基本性质的理解
在高中阶阶段学习单调性时, 必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间 (-∞, -b/ (2a) ]及 [-b/ (2a) , +∞) 上的单调性的结论用定义进行严格论证, 使它建立在严密理论的基础上, 与此同时, 进一步充分利用函数图像的直观性, 给学生配以适当的练习, 使学生逐步自觉地利用图像学习二次函数有关的一些函数单调性.
类型Ⅲ:画出下列函数的图像, 并通过图像研究其单调性
这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数表示, 然后画出其图像.
类型Ⅳ:设f (x) =x2-2x -1在区间 [t , t +1 ] 上的最小 值是g (t) .
求:g (t) 并画出y=g (t) 的图像
解:f (x) =x2-2x-1= (x-1) 2-2, 在x=1时取最小值-2
当1∈[t, t+1], 即0≤t≤1, g (t) =-2
当t>1时, g (t) =f (t) =t2-2t-1
当t<0时, g (t) =f (t+1) =t2-2
首先要使学生弄清楚题意, 一般地, 一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值, 但当定义域发生变化时, 取最大值或最小值的情况随之变化, 为了巩固和熟悉这方面的知识, 可以再给学生补充一些练习.
如:y=3x2-5x+6 (-3≤x≤-1) , 求该函数的值域.
三、强化学生对二次函数的知识的综合理解, 提升学生的数学思维水平
类型Ⅴ:设二次函数f (x) =ax2+bx+c (a>0) 方程f (x) -x=0的两个根x1, x2满足0<x1<x2<1/a.
(Ⅰ) 当x∈ (0, x1) 时 , 证明x<f (x) <x1;
(Ⅱ) 设函数f (x) 的图像关于直线x=x0对称, 证明:x0<x/2.
解题思路:
本题要证明的是x<f (x) , f (x) <x1和x0<x2, 由题中所提供的信息可以联想到:1、f (x) =x, 说明抛物线与直线y=x在第一象限内有两个不同的交点;2、方程f (x) -x=0可变为ax2+ (b-1) x+1=0, 它的两根为x1, x2, 可得到x1, x2与a, b, c之间的关系式, 因此解题思路有三条:1图像法;2利用一元二次方程根与系数关系;3利用一元二次方程的求根公式, 辅之以不等式的推导.现以思路2为例解决这道题: (Ⅰ) 先证明x<f (x) , 令f (x) =f (x) -x, 因为x1, x2是方程f (x-x=0的根, f (x) =ax2+bx+c, 所以f (x) =a (x-x1) (x-x2) .
因为0<x1<x2, 所以当x∈ (0, x1) 时 , x-x1<0, x-x2<0得 (x-x1) (x-x2) >0, 又a>0, 所以f (x) >0, 即f (x) -x>0.至此, 证得x<f (x) .
根据韦达定理, 有x1x2=c/a, ∵0<x1<x2<1/a, c=ax1x2<x=f (x1) , 又c=f (0) , ∴f (0) <f (x1) , 根据二次函数的性质 , 曲线y=f (x) 是开口向上的抛物线, 因此, 函数y=f (x) 在闭区间[0, x1]上的最大值在边界点x=0或x=x1处达到, 而且不可能在区间的内部达到, 因为f (x1) >f (0) , 所以当x∈ (0, x1) 时f (x) <f (x1) =x1, 即x<f (x) <x1.
函数f (x) 的图像的对称轴为直线x=-b/ (2a) , 且是唯一的对称轴, 因此, 依题意, 得x0=b2a, 因为x1, x2是二次方程ax2+ (b-1) x+c=0的根 , 根据韦达定理得 ,
8.《二次函数的应用》教学反思 篇八
例1证明：-33≤sinx2-cosx≤33.
证明依题设结构，构造以±33为零点的二次函数，记f（t）=t-33t+33，由二次函数图像性质，欲证-33≤sinx2-cosx≤33成立，只需证f（sinx2-cosx）≤0即可.由f（sinx2-cosx）=sin2x2-cosx2-13=3sin2x-2-cosx232-cosx2=-1-2cosx232-cosx2≤0成立，故原不等式成立.
点评此题证明没用到三角中变形求值域方法，而是由结构巧妙构造二次函数零点式，依二次函数的函数值与不等式解集之间的紧密关系，数与形有机结合，方法美妙，令人印象深刻.对于证a≤f（x）≤b的形式的不等式，一般可考虑构造二次函数零点式来解决.
例2（数学通报201412期问题征解2217）设长方体的长宽高分别为a，b，c（a>b>c），p为长方体各棱长之和，为表面积，d为一条对角线，求证：a>13p4+d2-12s，c<13p4-d2-12s.
解析由求证结构形式，不妨构造以x1=13p4+d2-12s，x2=13p4-d2-12s为零点的二次函数，由韦达定理知x1+x2=p6=23a+b+c，x1x2=19p216-d2+12s=19[a+b+c2-a2+b2+c2+ab+bc+ac]
=13ab+bc+ac，构造二次函数f（x）=3（x-x1）（x-x2）=3x2-2a+b+cx+ab+bc+ac，由函数对称轴为x=a+b+c3，又a>b>c，故a>a+b+c3>c，又由f（a）=3a2-2a+b+ca+ab+bc+ac=
a2-ab+bc-ac=（a-b）（a-c）>0，f（c）=3c2-2a+b+cc+ab+bc+ac=c2+ab-bc-ac=（c-b）（c-a）>0，故c 点评此题用一般方法较难下手，而构造二次函数的零点式，问题的解决得以易乎寻常的顺畅.2巧比大小 例3设函数f（x）=ax2-x，g（x）=x-a（a>0），若p，q是方程f（x）-g（x）=0的两根，且满足0 证明由f（x）-g（x）=0的两根为p，q，构建零点式，则f（x）-g（x）=a（x-p）（x-q），由x∈（0，p），且0 又f（x）-p-a=g（x）+a（x-p）（x-q）-p-a=x-p+a（x-p）（x-q）=x-pax-q+1a，由0 综上所述，gx 例4已知三次函数f（x）=x3+ax2+bx+c，方程f（x）-x=0的三根满足0 解析由题意，x1，x2，x3为方程f（x）-x=0的三根，构建零点式得f（x）-x=x-x1x-x2x-x3，由-ca+b+c=-f（0）[f（1）-1]=x1x2x31-x11-x21-x3，又由0 点评例3与例4是涉及到二次或三次函数的根的不等关系的证明问题，若按常规采用一般式方程进行处理，问题将变得较为复杂.一般地，一些二次或三次函数的题目中涉及方程的根时，常利用其零点式进行化归处理，可大大优化解题过程与步骤. 例5（2010年湖北龙泉中学考试题）已知实数a1 a1a2+a1a3+a2a3=b1b2+b1b3+b2b3，且a1 A.1B.2C.3D.4 解析由三次方程根与系数关系，构建三次函数f（x）=x-a1x-a2x-a3=x3-a1+a2+a3x2+ a1a2+a1a3+a2a3x-a1a2a3，a1 b1b2+b1b3+b2b3x-b1b2b3，b1 b1b2+b1b3+b2b3，则函数g（x）即为函数f（x）向下作了部分平移而得，如右图示： 故由图知（1）（2）显然正确，且a1a2a3 则（4）不对.故正确的为2个，选B. 点评在一些题目中，根据一元二次方程或一元三次方程的根与系数的关系可构造二次函数或三次函数零点式，巧妙解决一些数学问题，可起到让人耳目一新的效果.3解决不定方程问题 例6两个正整数的和比积小2015，并且其中一个是完全平方数，则较大数与较小数的差是. 解析由两正数的和与积，联想二次函数零点式，不妨设此两正整数分别为m，n（m>n>0），记f（x）=（x-m）（x-n），依题意，mn-m-n=2015，故f（1）=（1-m）（1-n）=2016=25×7×32，由m，n中有一个为完全平方数，则m-1=672， n-1=3，或m-1=84， n-1=24，或m-1=288， n-1=7.故m=673， n=4，或m=85， n=25，或m=289， n=8.所以m-n=669或60或281. 例7已知函数f（x）=x2+ax-a+2（a∈Z）有两个不同的正整数零点，求整数a的值. 解析不妨设此函数零点为m，n，则f（x）=x-mx-n，则由题意，m+n=-a，mn=2-a，故mn-m-n=2，则f（1）=1-m1-n=3，由m，n为不同的正整数零点，则m-1=1， n-1=3，或m-1=3， n-1=1. 所以两正整数只能为2，4，则a=-6. 点评当涉及两数和与积结构时，可联想二次函数零点式，在解决不定方程问题时，有时可使有关问题的解法变得简洁、明快. 零点式的应用是相当广泛的，不但二次与三次可利用其零点式解决问题，甚至一次函数也是如此.如像不等式证明中a 在二次函数教学中，根据它在初中数学函数在教学中的地位，细心地准备《二次函数》的教学，教学重点为二次函数的图象性质及应用，教学难点为a、b、c与二次函数的图象的关系。根据反思备课过程和讲课效果，感受颇深，有收获，也有不足。 本章的教学是我对选题有了进一步认识，要体现教学目标，要有实际意义。要体现学生的“最近发展区”，有利于学生分析。如为了帮助学生建立二次函数的概念，从学生非常熟悉的正方形的面积的研究出发，通过建立函数解析式，归纳解析式特点，给出二次函数的定义．建立了二次函数概念后，再通过三个例题的分析和解决，促进学生理解和建构二次函数的概念，在建构概念的过程中，让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程．体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义． 接下来教学主要从“抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性”循序渐进，由特殊到一般的学习二次函数的性质，并帮助学生总结性的去记忆。在学习过程中加强利用配方法将二次函数一般式化顶点式、判断抛物线对称轴、借图象分析函数增减性等的训练。这部分内容就是中等偏下的学生容易混淆，还需掌握方法，加强记忆，强调必须利用图形去分析。通过教学，让学生对建模思想、图形结合思想及分类讨论思想都有了较清晰的认识，学会了分析问题的初步方法。 本章中二次函数上下左右的平移是我觉得上的比较成功的一部分，主要是借助多媒体，动态的展示了二次函数的平移过程，让学生自己总结规律，很形象，便于记忆。 二次函数 中含有三个字母系数，因此确定其解析式要三个独立的条件，用待定系数法来解．学习确定二次函数的一般式，即的形式，这方面，学生的学习情况还是比较理想的，但方法没有问题，计算能力还有待加强。 在学习了二次函数的知识后，我们尝试运用于解决三个实际问题．问题1是根据实际问题建立函数解析式并学习如何确定函数的定义域；问题二是根据二 次函数的解析式，分析二次函数的性质，并通过画函数图像检验作出的分析和判断是否；问题三是综合应用一次函数、二次函数的知识确定函数的解析式和定义域，并尝试解决销售问题中最大利润的问题；通过这三个问题的分析和解决，让学生初步体会二次函数在实际生活中的运用，再次感悟数学源于生活又服务于生活。虽然有部分学生尚不能熟练解决相关应用问题，但在下面的学习中会得到补充和提高。 《二次函数的图像与性质》教学反思 本节课的学习内容是在前面学过一次函数、反比例函数的图像和性质的基础上运用已有的学习经验探索新知识。《二次函数的图像与性质 （一）》是二次函数性质研究的第一步，为后面研究较为复杂的函数类型作了必要的铺垫，具有承上启下的作用。 讲课中首先一起回顾一次函数与反比例函数的图像与性质，然后让学生动手在坐标系中作二次函数y=x2和y=-x2的图象，从感性上结识抛物线.再后又对两个特殊的二次函数的图象和性质进行了归纳和总结，从理性上再次结识抛物线.利用几何画板揭示了两个抛物线之间的联系，使本节课的知识得到了升华。 成功之处： 1.课前的引课很精彩，几句简短的语言使学生感受数学就在我们的身边，并激起学生学习数学的兴趣.2.对二次函数图象的作图，通过学生作品的展示、思考、讨论、讲评起到指导全体学生的作用.作图后让学生反思自己的作图过程，加深学生对作图的理解，规范作图，同时培养学生严谨治学的精神.3.二次函数的图象和性质掌握起来有一定的难度，因此我设计一系列问题串，让学生观察图象回答，以突出重点分散难点.同时借助课件的动态展示能帮助学生更形象地理解和掌握二次函数的图象和性质，也为今后探讨其他类函数的性质提供思路.4.在教学中注重多种学习信息的捕捉，引导学生从图与形，表达式、表格、图像等多角度地去分析理解数学知识，使学生对抛物线有一个丰满的认识。 5.几何画板很好的展示了两个函数之间的关系，动态的演示有助于理解难点，是这节课的亮点。 不足之处： 一、进一步深入理解函数概念 初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应，记为f(x)=ax2+bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题： 类型I：已知f（x）= 2x2+x+2，求f（x+1) 这里不能把f（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。 类型Ⅱ：设f（x+1）=x2－4x+1，求f（x） 这个问题理解为，已知对应法则f下，定义域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。 一般有两种方法： 1.把所给表达式表示成x+1的多项式。 f（x+1）=x2－4x+1=（x+1）2－6（x+1）+6，再用x代x+1得f（x）=x2－6x+6 2.变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。 令t=x+1，则x=t-1，∴（t）=（t-1）2－4（t-1）+1=t2－6t+6从而f（x）= x2－6x+6。 二、二次函数的单调性，最值与图象 在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，－b/2a]及[－b/2a，+∞）上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。 类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。 1.y=x2+2|x－1|－1 2.y=|x2－1| 3.y=x2+2|x|－1 这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。 类型Ⅳ：设f（x）=x2－2x－1在区间[t，t+1]上的最小值是g（t）。 求：g（t）并画出y=g（t）的图象。 解：f（x）=x2－2x－1=（x－1）2－2，在x=1时取最小值－2 当1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g（t）=－2 当t＞1时，g（t）=f（t）=t2－2t－1 当t＜0时，g（t）=f（t+1）=t2－2 t2－2，（t<0） g（t）=-2，（0≤t≤1） t2－2t－1，（t>1） 首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。 如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求该函数的值域。 三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维 类型Ⅴ：设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a>0）方程f（x）－x=0的两个根x1，x2满足0 解题思路：本题要证明的是x 因为0 二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。 二次函数的相关知识, 学生在初中阶段已经掌握了一部分内容, 但是初中时期学生接受知识的能力有限, 学习二次函数知识的方法很机械, 不能从本质上加以理解和吸收.而进入高中阶段后, 虽然这部分知识没有做具体的系统的学习, 但是二次函数的应用却始终贯穿其中, 尤其是在学习了函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质后, 进入到高三总复习的时候, 这部分知识更是显得尤为重要, 因此, 对于二次函数的知识高中阶段需要作进一步地深入研究. 对于这部分知识的复习, 不能简单地识记, 可以结合二次函数的图像来深入研究其性质, 以便灵活地应用这些相关性质. 一、从函数概念本身来深入了解二次函数的意义 初中阶段已经介绍了函数的定义, 进入高中后在学习了映射的基础上, 接着重新学习了函数概念, 主要是用映射观点来阐明函数, 这时就可以用学生已经有一定了解的函数, 特别是以二次函数为例来加以更深认识函数的概念.二次函数是从一个集合A (定义域) 到集合B (值域) 上的映射f:A→B, 使得集合B中的元素y=ax2+bx+c (a≠0) 与集合A中的元素x对应, 记为f (x) =ax2+bx+c (a≠0) .这里y=ax2+bx+c表示对应法则, 又表示定义域中的元素x在值域中的像.从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识, 在学生掌握函数值的记号后, 可以让学生进一步处理如下问题: (1) 已知f (x) =2x2+x+2, 求f (x+3) . 这里不能把f (x+3) 理解为x=x+3时的函数值, 只能理解为自变量为x+1的对应函数值. (2) 设f (x+1) =x2-4x+1, 求f (x) . 这个问题理解为, 已知对应法则f下, 定义域中的元素x+1的像是x2-4x+1, 求定义域中元素x的像, 其本质是求对应法则. 二、利用二次函数的图像解一元二次不等式 掌握一元二次不等式的解法是对高中学生最基本的运算要求.对于这部分知识的讲解, 利用二次函数的图像最直观、最清晰, 学生也容易从图像中发现一元二次不等式和二次函数的区别与联系, 易于掌握, 便于理解. 高中阶段涉及一元二次不等式的解法的应用很多, 例如: (1) 在区间[-1, 4]上随机取一个数x, 求 (x+2) (x-1) ≤0的概率. (2) 求函数的定义域: (3) 求函数f (x) =x3-3x2-10的单调区间. 三、利用二次函数的单调性求值域及最值 在学习函数的单调性时, 必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间 例如:画出下列函数的图像, 并通过图像研究其单调性. (1) y=x2+2|x-1|-1. 这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系, 掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示, 然后画出其图像. (2) 设f (x) =x2-2x-1在区间[t, t+1]上的最小值是g (t) .求g (t) 并画出y=g (t) 的图像. 解 f (x) =x2-2x-1= (x-1) 2-2, 在x=1时取最小值-2. 当1∈[t, t+1]即0≤t≤1, g (t) =-2; 当t>1时, g (t) =f (t) =t2-2t-1; 四、二次函数知识的综合运用 例如:设二次函数f (x) =ax2+bx+c (a>0) , 方程f (x) -x=0的两个根x1, x2满足 (1) 当x∈ (0, x1) 时, 证明x<f (x) <x1. (2) 设函数f (x) 的图像关于直线x=x0对称, 证明 解题思路 本题要证明的是x<f (x) , f (x) <x1和 二次函数是贯穿初高中数学教学的重点, 也是历年高考的热点, 更是学生学习中的一个难点.在初、高中阶段, 教材对其处理方式是不同的.初中阶段, 教材是在明处让学生在全体实数上感知二次函数的整体性态;而高中阶段, 教材则在暗处用后继知识不断深化对二次函数的认识和运用.因此, 在高中阶段, 教师应引导学生打破思维定式, 用后继知识不断充实对其新的认识和理解, 化暗为明, 让其丰富的内涵得到充分的展现和深化二次函数. 福鼎七中 周克锋2010.5.20 二次函数对学生来讲，既是难点又是重点，通过我对这一章的教学，让我学到很多道理和教学方法。下面是我对二次函数的复习课的一些反思感受：首先，我认为在课堂上，我对知识的掌握还是有一定的欠缺，把二次函数用自己的眼光和感受想象的太简单，但是对于学生而言，这又是一个重点，尤其是一个难点。所以我课堂上有的习题深度没有掌握好，没有做到面向全体。 其次，本节课体现的是分层教学，而我只是在后面的比赛中简单的体现分层，对于提问中得分层，习题中的分层还是做的不够好，这说明我对于分层教学的这种方法还是有待于进一步的提高，应该真正的站在学生的角度来分层。 第三，课堂上的语言不够精辟，尤其是评价性的话语很少，很单调。没有做到让学生为我的一句话而振奋，没有因为为了争得我的一句话而好好做题等等，这是我一直以来欠缺的一个重要点。 那么针对以上几点，我从自己的角度思考，收获了以下这些： 1.上课之前一定要反复的推敲，琢磨课本，找出本节课知识的“灵魂”，然后站在学生的角度，仔细研究，如何讲授学生们才能愿意听，才能听得明白。尤其不能把学生想像的水平很高，不是不自信，而是不能把学生逼到“危险之地”，以免打击自尊心，熄灭刚刚点燃的兴趣之光。真正做到“低起点”。 2.既然选择和实施了分层教学，就应该多下功夫去琢磨，去进行它。既然是分层就应该把它做到“顺其自然”，而不仅仅是一种形式。在分层的同时应该找到一个点，就是说，这个点上的问题是承上启下的，是应该全班都能够掌握的。对于尖子生，不能在课堂上想让他们吃饱，对于他们应该在课下，或者是采用小纸条的方法单独来测试，不能为了他们的能力把题目难度定的过高。再者，分层应该体现在一节课的所有环节，例如，在提问时，对于一个问题应该分层次来提，来回答。 3.应该及时地，迅速的提高自己的言语水平。 一堂课的精彩与否，教师的课堂语言也是很重要的一个方面，例如一节课的讲授过程，或者是对于学生的评价等等。 督促自己多读书，多练习，以丰富自己的语言。 二次函数的复习我分为两部分：第一部分为基础的复习，第二部分为综合知识的复习。基础知识的复习思路还是比较传统：二次函数图象和性质--实践（方法的选择）--应用（方法的融合），基础知识的复习我没有把书上的公式再一一讲解，而是采用给出例题，在具体的题目中让学生回答它的开口方向、对称轴、顶点坐标图象与x,y轴的交点，这样学习起来不枯燥。总之，整个过程主要是采用学生做、学生讲、学生补充，注重突出学生的数学活动，变“教学”为“导学”。综合知识的复习我放在第二课时，采用循序渐进的方法来复习，在习题的选择上我注意了广度与前后知识的联系，但深度和综合性还不够。这两节复习课不仅仅是对知识的复习，而且也让学生学会对所学知识进行归纳总结，同时回用所学知识解决相关的实际问题。 上完这堂课我首先感受到了集体备课的好处，可以取长补短，整堂课也具有连贯性，而不是以前的讲到哪儿算哪儿。课前的精心备课也让我整个课堂比较流畅、紧凑容量大。总的来说要上好一堂复习课应该注意以下几点： 1、课前精心备课，加强备课组的联系。 2、重视课本，夯实基础。 3、复习不要只讲究快，而要注意前后的联系，尤其是初三的知识要注意随时渗透。 一、进一步深入理解函数概念 初中阶段已经讲述了函数的定义,进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射,接着重新学习函数概念,主要是用映射观点来阐明函数, 这时就可以用学生已经有一定了解的函数,特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域) 上的映射ƒ:A→B,使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应,记为ƒ(x)= ax2+bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则,又表示定义域中的元素X在值域中的象,从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识,在学生掌握函数值的记号后,可以让学生进一步处理如下问题: 类型I:已知ƒ(x)= 2x2+x+2,求 ƒ(x+1) 这里不能把ƒ(x+1)理解为x=x+1时的函数值,只能理解为自变量为x+1的函数值。 类型Ⅱ:设ƒ(x+1)=x2-4x+1,求ƒ(x) 这个问题理解为,已知对应法则 ƒ下,定义域中的元素x+1的象是x24x+1,求定义域中元素X的象,其本质是求对应法则。 一般有两种方法: (1)把所给表达式表示成x+1的多项式。 ƒ ( x + 1 ) = x2- 4 x + 1 = ( x + 1 )26(x+1)+6,再用x代x+1得ƒ(x)=x2-6x+6 (2)变量代换:它的适应性强,对一般函数都可适用。 令t=x+1,则x=t-1 ∴(t)=(t-1)24(t-1)+1=t2-6t+6从而ƒ(x)= x2-6x+6 二、二次函数的单调性,最值与图像 在高中阶阶段学习单调性时,必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间 (-∞,-b2a]及[-b2a,+∞) 上的单调性的结论用定义进行严格的论证,使它建立在严密理论的基础上,与此同时,进一步充分利用函数图像的直观性,给学生配以适当的练习,使学生逐步自觉地利用图像学习二次函数有关的一些函数单调性。 类型Ⅲ:画出下列函数的图像, 并通过图像研究其单调性。 (1)y=x2+2|x-1|-1 (2)y=|x2-1| (3)= x2+2|x|-1 这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示, 然后画出其图像。 类型Ⅳ设ƒ(x)=x2-2x-1在区间 [t,t+1]上的最小值是g(t)。 求:g(t)并画出y=g(t)的图像 解:ƒ(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2, 在x=1时取最小值-2 当1∈[t,t+1]即0≤t≤1,g(t)=-2 当t>1时,g(t)=ƒ(t)=t2-2t-1 当t<0时,g(t)= ƒ (t+1)=t 2 -2 t2-2, (t<0) g(t)= -2,(0≤t≤1) t2-2t-1, (t>1) 首先要使学生弄清楚题意,一般地,一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值,但当定义域发生变化时,取最大或最小值的情况也随之变化,为了巩固和熟悉这方面知识,可以再给学生补充一些练习。 三、二次函数的知识,可以准确反映学生的数学思维 类型Ⅴ:设二次函数ƒ(x)=ax2+bx+c(a>0)方程ƒ(x)-x=0的两个根x1,x2满足0<x1<x2<1a。 ( Ⅰ ) 当X ∈ ( 0 , x1) 时 , 证明X<ƒ(x)<x1。 (Ⅱ)设函数ƒ(x)的图像关于直线x=x0对称,证明x0< x2。 解题思路: 本题要证明的是x<ƒ(x),ƒ(x)<x1和x0<x2,由题中所提供的信息可以联想到:1ƒ(x)=x,说明抛物线与直线y=x在第一象限内有两个不同的交点;2方程ƒ(x)-x=0可变为ax2+(b-1) x+1=0,它的两根为x1,x2,可得到x1,x2与a.b.c之间的关系式,因此解题思路明显有三条1图像法2利用一元二次方程根与系数关系3利用一元二次方程的求根公式,辅之以不等式的推导。现以思路2为例解决这道题: (Ⅰ)先证明x<ƒ(x),令ƒ(x)=ƒ(x)-x, 因为x1, x2是方程 ƒ ( x ) - x = 0的根 , ƒ(x)=ax2+bx+c,所以能ƒ(x)=a(x-x1)(xx2) 因为0<x1<x2,所以,当x∈(0,x1)时,x-x1<0, x-x2<0得(x-x1)(x-x2)>0,又a >0,因此ƒ(x) >0,即ƒ(x)-x>0.至此,证得x<ƒ(x) 根据韦达 定理 , 有x1x2= c a ∵ 0 <x1<x2<1a,c=ax1x2<x=ƒ(x1),又c=ƒ(0),∴ƒ(0)<ƒ(x1), 根据二次函数的性质,曲线y=ƒ(x)是开口向上的抛物线,因此,函数y=ƒ(x)在闭区间[0,x1] 上的最大值在边界点x=0或x=x1处达到,而且不可能在区间的内部达到, 由于ƒ(x1)>ƒ(0),所以当x∈(0,x1)时 ƒ(x)<ƒ(x1)=x1, 即x<ƒ(x)<x1 (Ⅱ)∵ƒ(x)=ax2+bx+c=a(x+b/2a)2+(c-),(a>0) 函数ƒ(x)的图像的对称轴为直线x=- b/2a,且是唯一的一条对称轴,因此,依题意,得x0=-b/2a,因为x1,x2是二次方程ax2+(b-1)x+c=0的根,根据违达定理得,x1+x2=-b-1a,∵x21a<0, ∴x0=-b2a=12(x1+x2-1a)<x2,即 x0=x2。 二次函数,它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数,可以以它为代表来研究函数的性质,可以建立起函数、方程、不等式之间的联系, 可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题,考查学生的数学基础知识和综合数学素质,特别是能从解答的深入程度中,区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。 在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习。 一、进一步深入理解函数概念 初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射?：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素X对应，记为?（x）= ax2+ bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题： 类型I：已知?（x）= 2x2+x+2，求?（x+1），这里不能把?（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。类型Ⅱ：设?（x+1）=x2-4x+1，求?（x），这个问题理解为，已知对应法则?下，定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。 一般有两种方法：（1）把所给表达式表示成x+1的多项式。?（x+1）=x2-4x+1=（x+1）2-6（x+1）+6，再用x代x+1得?（x）=x2-6x+6.（2）变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。令t=x+1，则x=t-1 ∴（t）=（t-1）2-4（t-1）+1=t2-6t+6从而?（x）= x2-6x+6 二、二次函数的单调性，最值与图象 在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（-∞，-b2a ]及[-b2a ，+∞）上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。 （1）y=x2+2|x-1|-1（2）y=|x2-1|（3）= x2+2|x|-1這里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。 类型Ⅳ设?（x）=x2-2x-1在区间[t，t+1]上的最小值是g（t）。 求：g（t）并画出 y=g（t）的图象.解：?（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2，在x=1时取最小值-2 当1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g（t）=-2，当t>1时，g（t）=?（t）=t2-2t-1，当t<0时，g（t）=?（t+1）=t2-2 首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。如：y=3x2-5x+6（-3≤x≤-1），求该函数的值域。 三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维 类型Ⅴ：设二次函数?（x）=ax2+bx+c（a>0）方程?（x）-x=0的两个根x1，x2满足0 （Ⅰ）当X∈（0，x1）时，证明X 解题思路：本题要证明的是x （Ⅰ）先证明x0，又a>0，因此?（x）>0，即?（x）-x>0.至此，证得x?（0），所以当x∈（0，x1）时?（x）0）.函数?（x）的图象的对称轴为直线x=- b2a ，且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得x0=-b2a ，因为x1，x2是二次方程ax2+（b-1）x+c=0的根，根据违达定理得，x1+x2=-b-1a ，∵x2-1a <0，∴x0=-b2a =12 （x1+x2-1a ） 二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。 在二次函数教学中，根据它在初中数学函数在教学中的地位，细心地准备《二次函数》的教学，教学重点为二次函数的图象性质及应用，教学难点为与二次函数的图象的关系。根据反思备课过程和讲课效果，感受颇深，有收获，也有不足。 本章的教学是我对选题有了进一步认识，要体现教学目标，要有实际意义。要体现学生的“最近发展区”，有利于学生分析。如为了帮助学生建立二次函数的概念，从学生非常熟悉的正方形的面积的研究出发，通过建立函数解析式，归纳解析式特点，给出二次函数的定义．建立了二次函数概念后，再通过三个例题的分析和解决，促进学生理解和建构二次函数的概念，在建构概念的过程中，让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程．体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义．教学主要从“抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性”循序渐进，由特殊到一般的学习二次函数的性质，并帮助学生总结性的去记忆。在学习过程中加强利用配方法将二次函数一般式化顶点式、判断抛物线对称轴、借图象分析函数增减性等的训练。这部分内容就是中等偏下的学生容易混淆，还需掌握方法，加强记忆，强调必须利用图形去分析。通过教学，让学生对建模思想、图形结合思想及分类讨论思想都有了较清晰的认识，学会了分析问题的初步方法。 本章中二次函数上下左右的平移是我觉得上的比较成功的一部分，主要是借助多媒体，动态的展示了二次函数的平移过程，让学生自己总结规律，很形象，便于记忆。 在学习了二次函数的知识后，我们尝试运用于解决三个实际问题．问题是根据实际问题建立函数解析式并学习如何确定函数的定义域；问题二是根据二次函数的解析式，分析二次函数的性质，并通过画函数图像检验作出的分析和判断是否；问题三是综合应用一次函数、二次函数的知识确定函数的解析式和定义域，并尝试解决销售问题中最大利润的问题；通过这三个问题的分析和解决，让学生初步体会二次函数在实际生活中的运用，再次感悟数学源于生活又服务于生活。 教学中，我自认为热情不够，没有积极调动学生学习热情的语言，感染力不足。今后备课时要重视创设丰富而风趣的语言，来调动学生的积极性。 【《二次函数的应用》教学反思】推荐阅读： 9下26.4《二次函数》教学反思09-04 指数函数的性质及应用07-23 应用函数极限08-01 高一数学函数教学反思07-16 幂函数课后教学反思09-07 二次函数基本练习08-16 二次函数增减性问题07-20 二次函数教案word08-24 二次函数压轴题专题09-02 二次函数听课评课评语06-199.二次函数教学反思2 篇九
10.《二次函数的应用》教学反思 篇十
11.浅谈二次函数在高中阶段的应用 篇十一
12.二次函数在高中阶段的应用举例 篇十二
13.《二次函数复习课》教学反思 篇十三
14.二次函数复习课的教学反思（共） 篇十四
15.浅议二次函数在高中阶段的应用 篇十五
16.浅谈二次函数在高中阶段的应用 篇十六
17.《二次函数的应用》教学反思 篇十七