复数几何意义的习题

复数几何意义的习题（精选9篇）

1.复数几何意义的习题 篇一

复数的几何意义及应用

(一)问题探索

问题1：复数z的几何意义？设复平面内点Z表示复数z= a+bi（a，b∈R），连结OZ，则点Z，复数z= a+bi（a，b∈R）之间具有一一对应关系。

直角坐标系中的点Z(a,b)

复数z=a+bi一一对应 一一对应 向量O Z

问题2：∣z∣的几何意义？若复数z= a+bi（a，b∈R）对应的向量是，则向量是22的模叫做复数z= a+bi（a，b∈R）的模，ab（a，b∈R）。

问题3：∣z1-z2∣的几何意义？两个复数的差z1z2z所对应的向量就是连结Z1Z2并且方向指向（被减数向量）的向量,dz1z2(x1x2)2(y1y2)

2(二)探索研究

根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内下列曲线的方程：

1．圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)

设Z(x,y)以Z0(x0,y0)为圆心，r(r0)为半径的圆上任意一点,则ZZ0r(r0)

（1）该圆向量形式的方程是什么?r(r0)

（2）该圆复数形式的方程是什么?zz0r(r0)

（3）该圆代数形式的方程是什么?(xx0)2(yy0)2r2(r0)

12．椭圆的定义:平面内与两定点Z1，Z2的距离的和等于常数(大于Z1Z2)的点的集合(轨迹)

设Z(x,y)是以Z1(x1,y2)Z2(x2,y2)为焦点，2a为长轴长的椭圆的上任意一点, 则ZZ1ZZ22a(2aZ1Z2)

（1）该椭圆向量形式的方程是什么

? 2a(2aZ1Z2)

（2）该椭圆复数形式的方程是什么? zz1zz22a(2aZ1Z2)变式:以Z1(x1,y2)Z2(x2,y2)为端点的线段

（1）向量形式的方程是什么

? 2a(2aZ1Z2)

（2）复数形式的方程是什么? zz1zz22a(2aZ1Z2)

3．双曲线的定义:平面内与两定点Z1，Z2的距离的差的绝对值等于

常数(小于Z1Z2)的点的集合(轨迹)

设Z(x,y)是以Z1(x1,y2)Z2(x2,y2)为焦点，2a为实轴长的双曲线的上

任意一点, 则ZZ1ZZ22a(2aZ1Z2)

（1）该双曲线向量形式的方程是什么

? 2a(2aZ1Z2)

（2）该椭圆复数形式的方程是什么? zz1zz22a(2aZ1Z2)变式:射线

（1）向量形式的方程是什么?

2a(2aZ1Z2)

（2）复数形式的方程是什么?zz1zz22a(2aZ1Z2)

变式：以Z1(x1,y2)Z2(x2,y2)为端点的线段的垂直平分线

（1）该线段向量形式的方程是什么

? 2a(2a

0)（2）该线段复数形式的方程是什么? zz1zz22a(2a0)即

zz1zz2

（三）应用举例

例1．复数 z 满足条件∣z+2∣-∣z-2∣=4，则复数z 所对应的点 Z 的轨迹是（）

（A）双曲线（B）双曲线的右支

（C）线段（D）射线

答案：（D）一条射线

变式探究：

（1）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是两条射线，复数 z 应满足什么条件？

（2）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是线段，复数 z 应满足什么条件？

（3）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是双曲线的右支，复数 z 应满足什么条件？

（4）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是双曲线，复数 z 应满足什么条件？

（5）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是椭圆，复数 z 应满足什么条件？

（6）若复数z 所对应的点 Z 的轨迹是线段的垂直平分线，复数 z 应满足什么条件？ 例2．若复数z满足条件z1，求z2i的最值。

解法1：（数形结合法）由z1可知，z对应于单位圆上的点Z；

z2i表示单位圆上的点Z到点P（0，2）的距离。

由图可知，当点Z运动到A（0，1）点时，z2imin1,此时z=i；

当点Z运动到B（0，-1）点时，z2imax3, 此时z=-i。

解法2：（不等式法）z1z2z1z2z1z2

z2iz2iz2i

z1,2i2，1z2i

3解法3：（代数法）设zxyi(x,yR)，则x2y21

z2ixyi2ix2(y2)24yy1，即1y1

当y1，即zi时，z2imin1；

当y1，即zi时，z2imax3=3,解法4：（性质法）z2i2(z2i)(z2i)(z2i)(z2i)(z2i)(z2i)zz2(zz)i454yi y1，即1y1

当y1，即zi时，z2imin1；

当y1，即zi时，z2imax3,变式探究：

（1）zimin，zimax；0；2

（2）z1113izi；, 222min2max

（3z22iminz22imax21;221

（4z1i

min12111z1i2;2 222max

例3．已知z1、z2∈C，且z11，若z1z22i，则z1z2的最大值是（）

（A）６（B）５（C）４（D）３

解法1：z1z2z1(2iz1)2z1i z1imax2z1z2的最大值是4

解法2：z1z22i,z12iz2

z112iz21,即z22i1z11表示以原点为圆心，以1为半径的圆；z22i1表示以（0，2）为圆心，以1为半径的圆。z1z2的最大值为两圆上距离最大的两点间的距离为4。

(四)反馈演练：

1． 复数z满足条件∣z+i∣+∣z-i∣=２，则∣z+i-1∣的最大值是________

最小值是__________.1

2． 复数z满足条件∣z-2∣+∣z+i∣=5，则∣z∣的取值范围是（B）252,,2(A)5(B)5

(C)1,(D)1,2



xy503． 已知实数x,y满足条件xy0，zxyi(i为虚数单位），x3

则|z12i| 的最大值和最小值分别是．226,2

2.复数几何意义的习题 篇二

例题:如图, 在△ABC中, D为BC的中点, E为AD的中点, BE交AC于F, 求证:AF∶CF=1∶2。

此题多数老师只教给学生一两种解法便作罢, 未能加以挖掘, 不能对学生的能力发展有多大帮助。

一、条件联想, 发展形象思维

在此题展示后, 本人让学生审题并观察图形, 寻找出关键的已知条件“中点”, 联想学过的与中点有关的性质及定理:三角形中位线定理、直角三角形斜边中线性质定理、等腰三角形“三线合一”定理, 通过联想, 绝大多数学生都能通过添加了辅助线的基本图形, 并运用中位线定理, 得到如下解法:

解法一:如图1, 取BF的中点G, 连结DG (具体解法略)

如图2, 取CF的中点G, 连结DG (具体解法略)

如图3, 过点C作AD的平行线交BF延长线于点G (具体解法略)

几何中的每一个重要定理都须满足一定的条件, 对应特定的几何图形。反之, 特定的几何条件、几何图形都应有相应的定理与之相联系。教学中, 教师应有意识地引导学生进行这种联想, 着眼于发展学生的想象力, 发展学生的形象思维。形象思维能力集中体现为联想和猜想的能力。它是创造性思维的重要品质之一, 教学中可从下面几点进行培养:

1. 要想增强学生的联想能力, 关键在于让学生把知识经验以信息的方式井然有序地储存在大脑里。

2.在教学活动中, 教师应当努力设置情景触发学生的联想。在学生的学习中, 思维活动常以联想的形式出现, 学生的联想力越强, 思路就越广阔, 思维效果也就越好。

3.为了使学生的学习获得最佳效果, 让联想指导创造, 教师应指导学生经常有意识地对输入大脑的信息进行加工编码, 把信息纳入已有的知识网络, 或组成新的网络, 在头脑中构成无数信息链。

二、培养发散思维, 提高创造性思维能力

解法二:笔者在教学时, 引导学生由中点条件还能得到线段的比值, 联想到相似三角形的性质, 进而构造两种相似三角形的基本图形解决问题, 得到如下解法: (如图4~图9所示, 解法略)

发散思维是一种不依常规、寻求变异、多方面寻求答案的思维方式, 是创造性思维的核心。发散思维富于联想, 思路宽阔, 善于分解组合和引申推广, 善于采用各种变通方法。加强对学生发散思维的培养, 在数学教学中可通过典型例题的解题教学及解题训练, 尤其是一题多解、一题多变、一题多用及多题归一等变式训练, 达到使学生巩固与深化所学知识的目的。

三、培养学生的求异思维能力, 使他们乐于创新

解法三:由中点条件, 联想三角形的重要线段中线的性质:等分三角形的面积。于是得到下列面积解法:连结EF两点。 (如图10) 要证AF∶CF=1∶2, 只需证△ABF与△BCF的面积之比为1∶2, 由于DF是△BCF的中线, △BDF与△CDF的面积相等, 于是只需证△ABF与△BDF的面积相等。而BE是△ABD的中线, EF是△ADF的中线, △ABE与△BDE、△AEF与△DEF的面积相等, 于是△ABF与△BDF的面积相等。

求异思维是创造性思维发展的基础。求异思维要求学生从已知出发, 合理想象。找出不同寻常的思路, 寻求变异, 伸展扩散。求异思维是指从不同角度、不同方向, 去想别人想不到, 去找别人没有找到的方法和窍门。要求异必须富有联想, 好于假设、怀疑、幻想, 追求尽可能新, 尽可能独特, 即与众不同的思路。课堂教学要鼓励学生去大胆尝试, 勇于求异, 激发学生的创新欲望。在具体题目中应引导学生多方位思考, 变换角度思维, 让学生思路开阔, 时刻处于一种跃跃欲试的心理状态。

四、学科联系, 激发兴趣, 培养思维的广阔性

三角形具有稳定性, D、E为线段中点, 线段具有对称性, 这一内在结构特征决定了它的物理特性。

解法四:根据杠杆原理 (如图11) :在B处挂1单位的物体, 以D为支点, 在C处须挂1单位的物体, 使杠杆BC保持平衡。当在C处须挂1单位的物体时, 以B为支点, 在D处须挂2个单位的物体, 使杠杆BC保持平衡。当D处须挂2个单位的物体时, 以E为支点, A处也须挂2个单位的物体, 使杠杆AD保持平衡。由于C处挂1个单位物体, A处挂2个单位的物体, 以F为支点, 为保持杠杆AC平衡, 力臂AF、CF的长度的比需满足1∶2, 于是问题得以解决。

五、一题多变, 引导探究

探究式教学具有独特的优势, 它能引导学生学会去观察、如何去思考、提出问题、如何去解决问题等各方面的能力。探究教学中, 创设多元、动态、开放的课堂环境, 让学生主动学习, 有利于唤醒、发掘和提升学生的潜能, 促进学生的自主发展, 有利于形成现代人终身需要及全面发展所应具有的综合素养, 促进学生认知、情感、态度、价值观和技能等方面的和谐发展, 促进学生的全面发展, 有利于关注学生生活世界和发展需要, 促进学生的可持续发展。在课堂教学中, 需要我们不断地创设探究式情景。为此, 笔者做了如下设计:

变式:1.D为BC中点, 其他条件不变,

(1) 当AE∶ED=1∶2时, 求比值AF∶FC。

(2) 当AE∶ED=1∶3时, 求比值AF∶FC。

(3) 猜想:AE∶ED=1∶n时, AF∶FC的值。

2.猜想:当BD∶DC=1∶m, AE∶ED=1∶n时, AF∶FC的值。

3.复数几何意义的习题 篇三

A（a，b），B（c，d），则|z1-z2|=|AB|=.让我们一起来看几个关于两复数的差的模的几何意义在解析几何中的常见应用.

应用一：求点的轨迹

例1 求满足下列条件的复数z对应的点Z的轨迹：

（1） |z-（3+4i）|=2；

（2） 2＜|z-（3+4i）|＜3；

（3） |z-1+i|=|z+5+6i|；

（4） |z-1|+|z+1|=4；

（5） |z-1|+|z+1|=2；

（6） |z-2i|-|z+2i|=4；

（7） |z-2i|-|z+2i|=3.

解 设复数z对应的点Z为（x，y）.

（1） 即动点Z（x，y）和3+4i对应的点（3，4）之间的距离为2，即轨迹是以（3，4）为圆心，2为半径的圆.

（2） 轨迹是以（3，4）为圆心，2为半径的圆的外部和以（3，4）为圆心，3为半径的圆的内部，即轨迹是圆环，但不包括边界.

（3） 即动点Z（x，y）到定点（1，-1）和定点（-5，

-6）的距离相等，即轨迹是以定点（1，-1）和定点（-5，

-6）为端点的线段的垂直平分线.

（4）即动点Z（x，y）到定点（1，0）和定点（-1，0）的距离之和是4，又4大于两定点间的距离2，即轨迹是以定点（1，0）和定点（-1，0）为焦点且长轴长是4的椭圆.

（5） 即动点Z（x，y）到定点A（1，0）和定点B（-1，0）的距离之和是2，又2等于两定点间的距离2，即轨迹是以定点（1，0）和定点（-1，0）为端点的线段.

（6）即动点Z（x，y）到定点A（0，2）和定点B（0，-2）的距离之差是4，又4等于两定点间的距离4，即轨迹是以定点（0，2）为端点的一条射线（与同向共线）.

（7） 即动点Z（x，y）到定点（0，2）和定点（0，-2）的距离之差是3，又3小于两定点间的距离4，即轨迹是以定点（0，2）和定点（0，-2）为焦点且实轴长为3的双曲线的下支.?摇

点评 一般地，设复数z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R）对应的点分别是A（a，b），B（c，d），则复数z对应的点Z的轨迹如下：

① 若|z-z1|=r，则为圆；

② 若r1＜|z-z1|＜r2，则为圆环，但不包括边界；

③ 若|z-z1|=|z-z2|，则为垂直平分线；

④ 若|z-z1|+|z-z2|=常数，则当常数大于AB时，为椭圆；当常数等于AB时，为线段；当常数小于AB时，不存在；

⑤ 若|z-z1|-|z-z2|=常数，则当常数大于AB时，不存在；当常数等于AB时，为一条射线；当常数小于AB时，为双曲线的一支.

应用二：求轨迹图形的面积

例2 已知复数z同时满足|z|≤2和|z+2i|≤2，求复数z在复平面内对应的点组成的图形的面积.

解 所求的图形是以（0，0）为圆心，2为半径的圆面和以（0，-2）为圆心，2为半径的圆面的公共部分，如右图.

由x2+y2=4，x2+（y+2）2=4，解得交点为（，-）和（-，-2+），

所以S=（y2-y1）dx=[-2+-（-）]dx=-2.

另解 易知∠AOB=120°，扇形AOB的面积和三角形AOB的面积的差的2倍即为所求图形的面积.

应用三：探索动（含参）轨迹是否过定点

例3 已知复数z满足|z-t-it2|=，t是实数，问复数z在复平面内对应的点的轨迹是否过定点？若过，求出定点的坐标；若不过，说明理由.

解 因为等式右边大于零，所以轨迹是以（t，t2）为圆心，为半径的动圆，方程为x2+y2-2tx-2t2y+4t-4=0，整理为（x2+y2-4）+（4-2x）t-2yt2=0，要想此方程对任意实数t恒成立，则x2+y2-4=0且4-2x=0且-2y=0，解得x=2，y=0，所以轨迹过定点，且定点坐标为（2，0）.

应用四：求模的值

例4 已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=|z1+z2|=1，求|z1-z2|的值.

解 设复数z1，z2，z1+z2在复平面内分别对应点A，B，C，则OACB为平行四边形.

由题设及几何意义，知|OA|=|OB|=|OC|=1，|z1-z2|=|AB|，则△OAC为等边三角形，则∠OAC=60°，所以∠AOB=180°-60°=120°.

在△AOB中，由余弦定理知|z1-z2|=|AB|=.

点评 在△AOB和△AOC中分别由余弦定理及几何意义，可得|z1+z2|2+|z1-z2|2=2（|z1|2+|z2|2）.

应用五：求模的最值

例5 （1） 已知|z|=1，求|z-3-4i|的最大值和最小值.

（2） 已知|z+1+i|=|z-1+i|，求|z-2-3i|的最小值.

（3） 已知|z+i|+|z-i|=2，求|z+1+i|的最大值和最小值.

（4） 已知|z-2|+|z+2|=6，求|z+2|的最小值和最大值.

（5） 已知|z-1|=|z-i|，求：①|z-2-i|+|z-1|的最小值；②|z-2-i|-|z-1|的最大值.

解 （1） 就是求单位圆上的点到点（3，4）的距离的最大值和最小值，故最大值为6，最小值为4.

（2） 就是求以（-1，-1）和（1，-1）为端点的线段的垂直平分线，即y轴上的点到点（2，3）的距离的最小值，故为2.

（3） 就是求以（0，1）和（0，-1）为端点的线段上的点到点（-1，-1）的距离的最大值和最小值，故最大值为，最小值为1.

（4） 就是求以（2，0）和（-2，0）为焦点且实轴长为6的椭圆上的点到左焦点（-2，0）的距离的最小值和最大值，故最小值为1，最大值为5.

（5） 复数z对应的点Z的轨迹是以（1，0）和（0，1）为端点的线段的垂直平分线，方程为y=x.

① 即求Z到点A（2，1）和B（1，0）的距离之和的最小值.设B关于直线y=x的对称点是B1（0，1），则ZA+ZB=ZA+ZB1≥AB1，当且仅当Z，A，B1三点共线时，取得最小值AB1=2；

② 即求Z到点A（2，1）和B（1，0）的距离之差的最大值.ZA-ZB≤AB，当且仅当Z，A，B三点共线时，取得最大值AB=.

点评 对于（5），求和的最小值时，一般把两点转化在直线的异侧；求差的最大值时，一般把两点转化在直线的同侧.

应用六：证明模的不等式

例6 已知复数z1，z2，求证：||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|

+|z2|.

解 设复数z1，z2在复平面内分别对应点A，B，由几何意义知|z1-z2|=|AB|，|z1|=|OA|，|z2|=|OB|.

当，同向共线时，左边不等式取等号；

当，异向共线时，右边不等式取等号；

当，不共线时，O，A，B组成三角形，由三角形中两边之和大于第三边，得|OA|+|OB|＞|AB|，即|z1|+

|z2|＞|z1-z2|；由三角形中两边之差的绝对值小于第三边，得||OA|-|OB||＜|AB|，即||z1|-|z2||＜|z1-z2|.由传递性可得||z1|-|z2||＜|z1-z2|＜|z1|+|z2|.

综上所述，原不等式成立.

点评 同理，可证得||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|.

应用七：求参数的范围

例7 已知z1=1+2ai，z2=a-i，A={z||z-z1|≤1}，B={z||z-z2|≤2}，且A∩B=?堙，求实数a的范围.

解 集合A是以C（1，2a）为圆心，1为半径的圆上及内部的点的集合，集合B是以D（a，-1）为圆心，2为半径的圆上及内部的点的集合，由已知得两圆外离，故|CD|＞1+2，即a＞1或a＜-.

应用八：求复数的值例8 已知复数z满足|z-5i|=|z-1+2i|=|z+3+4i|，求复数z.

解 因为复数z在复平面内对应的点Z到三定点A（0，5），B（1，-2），C（-3，-4）的距离相等，所以点Z应是两条垂直平分线的交点.由BC垂直平分线方程2x+y+5=0和AC垂直平分线方程x+3y=0，得点Z的坐标为（-3，1），即z=-3+i.

点评 点Z实际上是△ABC的外接圆的圆心.

两个复数的差的模的几何意义是：复平面内与这两复数对应的两点之间的距离.即设复数z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R）在复平面内对应的点分别是

A（a，b），B（c，d），则|z1-z2|=|AB|=.让我们一起来看几个关于两复数的差的模的几何意义在解析几何中的常见应用.

应用一：求点的轨迹

例1 求满足下列条件的复数z对应的点Z的轨迹：

（1） |z-（3+4i）|=2；

（2） 2＜|z-（3+4i）|＜3；

（3） |z-1+i|=|z+5+6i|；

（4） |z-1|+|z+1|=4；

（5） |z-1|+|z+1|=2；

（6） |z-2i|-|z+2i|=4；

（7） |z-2i|-|z+2i|=3.

解 设复数z对应的点Z为（x，y）.

（1） 即动点Z（x，y）和3+4i对应的点（3，4）之间的距离为2，即轨迹是以（3，4）为圆心，2为半径的圆.

（2） 轨迹是以（3，4）为圆心，2为半径的圆的外部和以（3，4）为圆心，3为半径的圆的内部，即轨迹是圆环，但不包括边界.

（3） 即动点Z（x，y）到定点（1，-1）和定点（-5，

-6）的距离相等，即轨迹是以定点（1，-1）和定点（-5，

-6）为端点的线段的垂直平分线.

（4）即动点Z（x，y）到定点（1，0）和定点（-1，0）的距离之和是4，又4大于两定点间的距离2，即轨迹是以定点（1，0）和定点（-1，0）为焦点且长轴长是4的椭圆.

（5） 即动点Z（x，y）到定点A（1，0）和定点B（-1，0）的距离之和是2，又2等于两定点间的距离2，即轨迹是以定点（1，0）和定点（-1，0）为端点的线段.

（6）即动点Z（x，y）到定点A（0，2）和定点B（0，-2）的距离之差是4，又4等于两定点间的距离4，即轨迹是以定点（0，2）为端点的一条射线（与同向共线）.

（7） 即动点Z（x，y）到定点（0，2）和定点（0，-2）的距离之差是3，又3小于两定点间的距离4，即轨迹是以定点（0，2）和定点（0，-2）为焦点且实轴长为3的双曲线的下支.?摇

点评 一般地，设复数z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R）对应的点分别是A（a，b），B（c，d），则复数z对应的点Z的轨迹如下：

① 若|z-z1|=r，则为圆；

② 若r1＜|z-z1|＜r2，则为圆环，但不包括边界；

③ 若|z-z1|=|z-z2|，则为垂直平分线；

④ 若|z-z1|+|z-z2|=常数，则当常数大于AB时，为椭圆；当常数等于AB时，为线段；当常数小于AB时，不存在；

⑤ 若|z-z1|-|z-z2|=常数，则当常数大于AB时，不存在；当常数等于AB时，为一条射线；当常数小于AB时，为双曲线的一支.

应用二：求轨迹图形的面积

例2 已知复数z同时满足|z|≤2和|z+2i|≤2，求复数z在复平面内对应的点组成的图形的面积.

解 所求的图形是以（0，0）为圆心，2为半径的圆面和以（0，-2）为圆心，2为半径的圆面的公共部分，如右图.

由x2+y2=4，x2+（y+2）2=4，解得交点为（，-）和（-，-2+），

所以S=（y2-y1）dx=[-2+-（-）]dx=-2.

另解 易知∠AOB=120°，扇形AOB的面积和三角形AOB的面积的差的2倍即为所求图形的面积.

应用三：探索动（含参）轨迹是否过定点

例3 已知复数z满足|z-t-it2|=，t是实数，问复数z在复平面内对应的点的轨迹是否过定点？若过，求出定点的坐标；若不过，说明理由.

解 因为等式右边大于零，所以轨迹是以（t，t2）为圆心，为半径的动圆，方程为x2+y2-2tx-2t2y+4t-4=0，整理为（x2+y2-4）+（4-2x）t-2yt2=0，要想此方程对任意实数t恒成立，则x2+y2-4=0且4-2x=0且-2y=0，解得x=2，y=0，所以轨迹过定点，且定点坐标为（2，0）.

应用四：求模的值

例4 已知复数z1，z2满足|z1|=|z2|=|z1+z2|=1，求|z1-z2|的值.

解 设复数z1，z2，z1+z2在复平面内分别对应点A，B，C，则OACB为平行四边形.

由题设及几何意义，知|OA|=|OB|=|OC|=1，|z1-z2|=|AB|，则△OAC为等边三角形，则∠OAC=60°，所以∠AOB=180°-60°=120°.

在△AOB中，由余弦定理知|z1-z2|=|AB|=.

点评 在△AOB和△AOC中分别由余弦定理及几何意义，可得|z1+z2|2+|z1-z2|2=2（|z1|2+|z2|2）.

应用五：求模的最值

例5 （1） 已知|z|=1，求|z-3-4i|的最大值和最小值.

（2） 已知|z+1+i|=|z-1+i|，求|z-2-3i|的最小值.

（3） 已知|z+i|+|z-i|=2，求|z+1+i|的最大值和最小值.

（4） 已知|z-2|+|z+2|=6，求|z+2|的最小值和最大值.

（5） 已知|z-1|=|z-i|，求：①|z-2-i|+|z-1|的最小值；②|z-2-i|-|z-1|的最大值.

解 （1） 就是求单位圆上的点到点（3，4）的距离的最大值和最小值，故最大值为6，最小值为4.

（2） 就是求以（-1，-1）和（1，-1）为端点的线段的垂直平分线，即y轴上的点到点（2，3）的距离的最小值，故为2.

（3） 就是求以（0，1）和（0，-1）为端点的线段上的点到点（-1，-1）的距离的最大值和最小值，故最大值为，最小值为1.

（4） 就是求以（2，0）和（-2，0）为焦点且实轴长为6的椭圆上的点到左焦点（-2，0）的距离的最小值和最大值，故最小值为1，最大值为5.

（5） 复数z对应的点Z的轨迹是以（1，0）和（0，1）为端点的线段的垂直平分线，方程为y=x.

① 即求Z到点A（2，1）和B（1，0）的距离之和的最小值.设B关于直线y=x的对称点是B1（0，1），则ZA+ZB=ZA+ZB1≥AB1，当且仅当Z，A，B1三点共线时，取得最小值AB1=2；

② 即求Z到点A（2，1）和B（1，0）的距离之差的最大值.ZA-ZB≤AB，当且仅当Z，A，B三点共线时，取得最大值AB=.

点评 对于（5），求和的最小值时，一般把两点转化在直线的异侧；求差的最大值时，一般把两点转化在直线的同侧.

应用六：证明模的不等式

例6 已知复数z1，z2，求证：||z1|-|z2||≤|z1-z2|≤|z1|

+|z2|.

解 设复数z1，z2在复平面内分别对应点A，B，由几何意义知|z1-z2|=|AB|，|z1|=|OA|，|z2|=|OB|.

当，同向共线时，左边不等式取等号；

当，异向共线时，右边不等式取等号；

当，不共线时，O，A，B组成三角形，由三角形中两边之和大于第三边，得|OA|+|OB|＞|AB|，即|z1|+

|z2|＞|z1-z2|；由三角形中两边之差的绝对值小于第三边，得||OA|-|OB||＜|AB|，即||z1|-|z2||＜|z1-z2|.由传递性可得||z1|-|z2||＜|z1-z2|＜|z1|+|z2|.

综上所述，原不等式成立.

点评 同理，可证得||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|.

应用七：求参数的范围

例7 已知z1=1+2ai，z2=a-i，A={z||z-z1|≤1}，B={z||z-z2|≤2}，且A∩B=?堙，求实数a的范围.

解 集合A是以C（1，2a）为圆心，1为半径的圆上及内部的点的集合，集合B是以D（a，-1）为圆心，2为半径的圆上及内部的点的集合，由已知得两圆外离，故|CD|＞1+2，即a＞1或a＜-.

应用八：求复数的值例8 已知复数z满足|z-5i|=|z-1+2i|=|z+3+4i|，求复数z.

解 因为复数z在复平面内对应的点Z到三定点A（0，5），B（1，-2），C（-3，-4）的距离相等，所以点Z应是两条垂直平分线的交点.由BC垂直平分线方程2x+y+5=0和AC垂直平分线方程x+3y=0，得点Z的坐标为（-3，1），即z=-3+i.

点评 点Z实际上是△ABC的外接圆的圆心.

1. 求满足下列条件的复数z对应的点Z的轨迹：

（1） |z+5-6i|=|z-1+2i|；

（2） |z-3+i|=2；

（3） |z-i|+|z+i|=4；

（4） |z-i|+|z+i|=2；

（5） |z-i|-|z+i|=2；

（6） |z-i|-|z+i|=1.

2. （1） 已知|z+1-i|=1，求|z|的最值；

（2） 已知|z-i|≤1，求|z+4+2i|的最值；

（3） 已知|z-1-2i|=|z-1+2i|，求|z+5+3i|的最小值.

3. 设集合A={（x，y）|（x+2）2+（y-3）2≤4}，B=（x，y）|（x+1）2+（y-m）2＜，且A∩B=B，求实数m的取值范围.

1. （1）直线（垂直平分线）；（2） 圆；（3） 椭圆；（4） 线段；（5） 射线；（6） 双曲线的下支.

2. （1） 最大值为+1，最小值为-1；（2） 最大值为6，最小值4；（3）3.

3. 3-≤m≤3+.1. 求满足下列条件的复数z对应的点Z的轨迹：

（1） |z+5-6i|=|z-1+2i|；

（2） |z-3+i|=2；

（3） |z-i|+|z+i|=4；

（4） |z-i|+|z+i|=2；

（5） |z-i|-|z+i|=2；

（6） |z-i|-|z+i|=1.

2. （1） 已知|z+1-i|=1，求|z|的最值；

（2） 已知|z-i|≤1，求|z+4+2i|的最值；

（3） 已知|z-1-2i|=|z-1+2i|，求|z+5+3i|的最小值.

3. 设集合A={（x，y）|（x+2）2+（y-3）2≤4}，B=（x，y）|（x+1）2+（y-m）2＜，且A∩B=B，求实数m的取值范围.

1. （1）直线（垂直平分线）；（2） 圆；（3） 椭圆；（4） 线段；（5） 射线；（6） 双曲线的下支.

2. （1） 最大值为+1，最小值为-1；（2） 最大值为6，最小值4；（3）3.

4.复数与推理证明练习题 篇四

1．若复数z134i,z212i,则z1z2。2．若复数(1i)(ai)是实数，则实数a。3．已知复数z的实部为1，虚部为2，则

i13iz的虚部为。

4.(i是虚数单位)对应的点在第象限。

5．复数za23a2(lga)i(aR)是纯虚数，则a_________。

6.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为。7．已知cos

π1π2π1π2π3π1cos＝coscos，…，根据这些结果，猜想325547778

出的一般结论是。8.已知：f(x)＝

x

1－x

f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(n>1且n∈N)，则f3(x)的表达式为

*

______ ______，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为________。

9.设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)=；当n>4时，（用n表示）f(n)=。

10.设P是ABC内一点，ABC三边上的高分别为hA、hB、hC，P到三边的距离依次为la、lb、lc，则有

lahA

lbhB

lchC

1；类比到空间，设P是四面体ABCD内一点，四顶点

到对面的距离分别是hA、hB、hC、hD，P到这四个面的距离依次是la、lb、lc、ld，则有_________________。

11.在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是,，则有

coscos1，类比到空间，在长方体中，一条对角线与从某一顶点出发的三条棱

2所成的角分别是,,，则有。12.在等差数列an中，若a100，则有等式a1a2an

类比上述性质，相应地：在等比数列bn中，a1a2a19n(n19,nN)成立，若b91，则有等式 13． 把偶数按一定的规则

排成了如图所示的三角形数表．2设aij(i，j∈N)是位于这个三角形数表中46 从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如8 101

2*

a42＝16，若aij＝2 012，则i与j的和为14161820。

14．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠 部分的面积恒为

a

.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一

个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为。

15.已知扇形的圆心角为2（定值），半径为R（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为为。

2Rtan，则按图二作出的矩形面积的最大值

图一

第15题图

图二

第14题

16.若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N2，则三角形面积之比为：

SOM1N1SOM2N

2OMOM



ONON

.若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP、OQ

和OR上分别有点P1、P2与点Q1、Q2和R1、R2，则类似的结论为：。

17．一同学在电脑中打出如下图若干个圆（○表示空心圆，●表示实心圆）

○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○……

问：到120个圆中有个实心圆。

iii1i

18.求值（1）复数

（2）复数z，求z

（3）若(xi)iy2i,x,yR，求复数xyi

（4）已知复数z1满足(z12)(1i)1i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2．

19.已知abc，且abca



．

20.（1）设函数f(x)

12

x，类比课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求2

得f(4)f(0)f(5)f(6)的值为。

（2）已知数列{an}满足a11，anan1()n(nN*,n≥2)，令

Tna12a22an2，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得3Tnan2

n1

2n

5.复数几何意义的习题 篇五

一、可数名词变复数规则变化及发音：

1、绝大多数的可数名词在词尾加上s ； eg：book→books；desk→desks；pen→pens；car→cars s遇t读浊辅音[ts]，遇d读清辅音[dz] eg：friend→friends;cat→cats;2.、以s、x、ch、sh结尾的单词，在该词末尾加上-es；读音规则：读[iz]； eg：bus→buses;box→boxes;watch→watchches;dish→dishes

3、以辅音字母+y结尾的名词，要把y变为i，再加-es；读音规则：读[z]。

eg：fly→flies;baby→babies;元音字母加y结尾的单词直接加s；eg：toy→toys；boy→boys；

4、以-f或-fe结尾的名词，要将-f或-fe变为-v，再加es；读音规则：读[vz]；

eg：knife→knives；leaf→leaves；

5、以-o结尾的名词，初级阶段只有三个单词要加-es，其余都加-s；读音规则：读[z]。

eg：tomato→tomatoes西红柿;potato→potatoes土豆;hero→heroes英雄;Negro—Negroes 口诀：“黑人英雄喜欢吃土豆和西红柿” 其余eg：zoo→zoos;hippo→hippos；

名词变复数不规则变化：

1.单词内部发生变化：口诀“oo常常变ee，男人女人a变e”

eg：foot→feet脚；tooth→teeth牙齿；man→men男人；woman→women女人； 2.单复数相同：“羊鱼小鹿无变化，单数复数是一家” eg：sheep→sheep绵羊；fish→fish鱼；deer→deer鹿；

3.不规则变化：child→children孩子；mouse→mice老鼠；German→Germans德国人； 4“某国人”的复数有三种类型： 口诀“中日不变，英法变，其它S加后边”（1）Chinese, Japanese单数复数同形，不需加s；

（2）Englishman, Frenchman, Dutchman复数要把 man 变为men；

（3）其他各国人以–an,-ian收尾的均直接加s。如：Americans, Australians, 5.单复数相同（不变的）有：fish, sheep, Chinese, Japanese，police，class，family 6.一般只有复数，没有单数的有：people, shoes, glasses, gloves, shorts clothes, socks 7.代词的复数。It he she I you this that

二.不可数名词：

⒈不可数名词概念：不可以数出数目的名词叫做不可数名词。包括物质名词（表示无法分为个体的物质）和抽象名词（表示抽象概念的词）。⒉不可数名词特点：

⑴不可数名词没有复数形式，也不能与a, an及数词连用，常作单数看待。例： water

There’s some water in the bottle.food

My favourite food is noodles.⑵不可数名词如表数量，常和a bottle of, a glass of a pieces of 等名词词组连用。如表示复数，只把量词改为复数。

例：a bottle of pop一瓶汽水 , two glasses of orange juice 两杯桔子汁，three cups of tea 三杯茶，a piece of paper一张纸

⑶有些物质名词有时可数，有时不可数，要根据上下文决定，其意义也有所不同。

Glass(玻璃)glasses（眼镜）

⑷集体名词看作整体时，谓语用单数;指成员时，谓语用复数。

His family is a large family.His family like animals.指整体

指成员 ⑸有的名词单复数意思不同：

例：hair 和fruit 通常作单数，表示总体。My hair is black.我的头发是黑色的。

I like fruit.It’s good for you.我喜欢水果,水果对你的身体有好处。但如果表示若干根头发或各种水果，则需用复数形式.Danny has three hairs.丹尼有三根头发。

She likes pears, peaches and other fruits.他喜欢梨，桃和其它水果。

名词单复数练习

Ⅰ.写出下列单词的复数形式：

fish-

boy-

watch-

knife-

leaf-

wife-

baby-

family-

man-

woman-

child-

tooth-

goose-

mouse-

sheep-

peach-

picture-

Chinese-

he-

his-

I-

this-

is-

it-

that-

Ⅱ.将下列句子改为复数句子: 1.He is looking after the baby.___________________ 2.It’s a big heavy box.___________________________ 3.This picture is nice.__________________________ _ 4.She is a beautiful woman.____________________

Ⅲ.将下列句子改为单数句子：

1.These are red coats.____________________

2.They’re my students.____________________________ 3.They’re women workers here.____________

4.Those are beautiful flowers.__________________

Ⅳ.划出下列单词中的不可数名词: meat food knife snow water ice orange truck car ear

bread milk

eraser clothes

Ⅴ 根据括号内的词填空

1.Is this your __________(notebook)

.2.Those are my two ________(brother).3.That’s my ________(sister).4.They’re his _________(parent).5.These are my ________(friends).6.Is she your ________(aunt)? 7.Here is my family _______(photo).8.Here are your ____________(math book).名词单复数中考习题集锦

【2013四川遂宁】22.I’m so hungry.Please give me ______ to eat.A.three bread B.three pieces of bread C.three pieces of breads

【2013湖南娄底】29.—What can I do for you? —Err, I want a glass of milk, some bread and_________.A.some chickens B.any chickens C.some chicken

【2013 甘肃白银】51.Just search the internet, you can get almost all the ______ you need.A.informations B.information C.picture D.story

6.双曲线的几何性质习题3 篇六

a2b22A.ya  B.yb2

a2b2a2b222 C.xa D.ya

a2b2a2b22.双曲线x2y2）

971的焦点到准线的距离是（A.74 B.254 C.74或

254 D.234或

3.中心在坐标原点，离心率为5的圆锥曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为（3A.y=±544x B.y=±

 C.y=±

4 D.y=±

353x4x

4.双曲线的渐近线方程为y=±34x,则双曲线的离心率为（）

A.5 B.5532 C.2或

153 D.5或

534

参考答案：

7.巧用导数的几何意义解题 篇七

在现行的高中教材《数学》第三册 (选修Ⅱ) 中, 用运动变化的观点将曲线C的割线的极限位置所在的直线定义为C在P (x0, f (x0) ) 处的切线.

由这个定义出发, 我们可以发现, 函数y=f (x) 图像上任意两点undefined连线的斜率undefined的取值范围, 就是曲线上任一点切线的斜率 (如果有的话) 的范围.利用这个结论, 可以解决两类问题.

一、证明不等式

例1 a, b∈R, 证明:undefined

分析 本题的证法较多, 这里谈谈如何利用上面结论来证明.

若a=b时, 不等式显然成立;

若a≠b时, 原不等式等价于undefined.不妨设undefined.则问题转化为:在函数undefined的图像上任取两点P, Q, 求直线PQ的斜率的范围.

因为函数y=f (x) 的图像上任意两点连线的斜率的范围就是曲线上任一点切线斜率的范围, 因此将问题进一步转化为:求y=f (x) 的导数f′ (x) 的值域的问题.这样, 问题便轻松获解.

undefined

即|f (x1) -f (x2) |<|x1-x2|, 综合得原不等式成立.

点评 本题的证明利用了两次转化, 首先是由代数转化成几何, 将式undefined转换成切线的斜率, 然后, 再由几何到代数, 由割线的斜率转换成切线的斜率, 再转换成函数的导数.这充分体现了中学数学里的几种重要的数学思想方法.其次是该题的几何本质是双曲线上支y2-x2=1 (y≥1) 的图像上任两点的连线夹在双曲线的两条渐近线y=±x之间.

例2 已知f (x) =x2-x+c的定义域为 (0, 1) , x1, x2∈ (0, 1) , 且x1≠x2, 求证:|f (x1) -f (x2) |<|x1-x2|.

证明 ∵x1≠x2,

∴原不等式等价于undefined

即要证y=x2-x+c, x∈ (0, 1) 函数图像上任意两点连线的斜率k<1.

∵f′ (x) =y′=2x-1, 当0

undefined

即|f (x1) -f (x2) |<|x1-x2|.

巩固训练 已知a, b∈R, a≠b, 证明:undefined

小结 形如|f (x1) -f (x2) |≤m|x1-x2|或|f (x1) -f (x2) |≥m|x1-x2| (m>0) 型的不等式的证明, 都可利用上述方法解决.

二、恒成立求参问题

例3 已知集合MD是满足下列性质函数f (x) 的全体:若函数f (x) 的定义域为D, 对任意的x1, x2∈D (x1≠x2) , 有|f (x1) -f (x2) |<|x1-x2|.

(1) 当D= (0, +∞) 时, f (x) =ln x是否属于MD, 若属于MD, 给予证明, 否则说明理由;

(2) 当undefined, 函数f (x) =x3+ax+b时, 若f (x) ∈MD, 求实数a的取值范围.

分析 本题若用常规解法, 解答较繁;若用导数的几何意义, 则十分简单.

解undefined

undefined

当x1, x2∈ (0, 1) 时, f (x) =ln x∉MD.

(2) 由f (x) =x3+ax+b⇒f′ (x) =3x2+a,

当undefined时, a

∵f (x) ∈MD, ∴|f (x1) -f (x2) |<|x1-x2|,

undefined

巩固训练 已知函数y=x2+2ax+b, 对于x1, x2∈ (2, 4) (x1≠x2) 时总有|f (x1) -f (x2) |≤2|x1-x2|恒成立, 求实数a的取值范围.

8.空间向量与立体几何的练习题 篇八

1.如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形， ，M为PC上一点，且PA∥平面BDM.

(1)求证：M为PC中点;

(2)求平面ABCD与平面PBC所成的锐二面角的大小.

2.如图，平面平面ABC， 是等腰直角三角形，AC =BC= 4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD BA， , ，求直线CD和平面ODM所成角的正弦值.

3.如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD， ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点.

(1)证明：PE

(2)若APB=ADB=60，求直线PA与平面PEH所成角的`正弦值.

4.如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，BAD=90，ACBD，BC=1，AD=AA1=3.

(1)证明：AC

(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.

5.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点， AA1=AC=CB=22AB.

(1)证明：BC1∥平面A1CD;

(2)求二面角D-A1C-E的正弦值.

6.如图，在圆锥PO中，已知PO=2，⊙O的直径AB=2，C是 的中点，D为AC的中点.

(1)证明：平面POD平面PAC;

(2)求二面角B-PA-C的余弦值.

7.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC的中点，点M在CC1上.设二面角A1-DN-M的大小为.

(1)当=90时，求AM的长;

(2)当cos =66，求CM的长.

8.四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60.

9.几何初步知识练习题 篇九

一、填空题

1、从一点引出( ),就组成一个角。

2、在钟面上，6点钟的时侯，分针和时针所夹的角是( )度。

3、一个圆形花坛，它的直径是3米，这个花坛的周长是( )米，面积是( )平方米。

4、一个三角形的底边长6厘米，面积是15平方厘米，这个三角形底边上的高是厘米。

5、用圆规画一个周长是9.42厘米的圆，圆规两脚间的距离是( )。

6、一个圆的半径扩大3倍，面积就扩大( )。

7、过一点能画()条直线;过两点能画()条直线。

8、用一根24厘米长的铁丝围成一个最大的正方形，这个正方形的周长是( )

9、当长方形和正方形的周长相等时，()的面积较大。

10、把两个棱长都是3厘米的正方体，拼成一个长方体，这个长方体的表面积是()，体积是( )。

11、把圆柱的侧面展开，得到一个长方形，这个长方形的长等于圆柱底面的( )，宽等于圆柱的( )。

12、圆锥的底面是( )形，圆锥的侧面是一个( )面。

13、一根圆柱形钢材体积是882立方厘米，底面积是42平方厘米，它的高是( )厘米

14、把一根长3米，底面半径5厘米的圆柱形木料锯成两段，表面积增加( )平方厘米

15、把一个圆柱体侧面展开，得到一个正方形，这个圆柱体底面半径是0.5分米，圆柱体的高是( )分米。

16、小圆的半径3厘米，大圆的半径5厘米，大圆面积和小圆面积最简单的整数比是()。

17、已知圆柱底面的半径r和高h，圆柱体积的计算公式是：( )。

二、判断(对的打“√”，错的打“×”)

1、一条射线长50厘米。( )

2、两个圆柱的侧面积相等，它们的底面周长也一定相等( )

3、因为大圆的半径余小圆的直径相等，所以大圆的面积是小圆面积的4倍。( )

4、等底等高的长方体和圆柱体，它们的体积一定相等。 ( )

5、平行四边形的四条边，每条边都可以作底。( )

6、面积单位比体积单位小。( )

7、一个圆的半径是2厘米，这个圆的周长和面积相等。( )

8、两个面积相等的三角形，可以拼成一个平行四边形。( )

9、在一个长方形内画一个面积最大的三角形，这个三角形的面积一定是长方形面积的一半。( )

10、角的两条边是由两条射线组成的。( )

11、棱长3厘米的正方体，它的表面积是27平方米。( )

12、

三、选择(将正确答案的序号填在括号里)

1、射线()端点。

(1)没有(2)有一个(3)有两个

2、用两根长度相等的铁丝围成一个正方形和一个长方形。它们的面积()。

(1)正方形大(2)长方形大 (3)一样大

3、用圆规画一个周长18.84厘米的圆，那么圆规的两脚之间的距离应是()厘米。

(1)2(2)3(3)6

4、一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是()。

(1)1：2π(2)1：π(3)2：π

5、一个汽油桶可装50升汽油，它的( )是50升。

(1)体积(2)容积(3)表面积

6、一个正方体的棱长缩小2倍，它的体积就缩小( )倍。

(1)2 (2)4 (3)8

7、等边三角形是( )

(1)锐角三角形(2)直角三角形(3)钝角三角形

四、解答应用题

1、一个足球场长90米，宽60米，沿着这个足球场的边线跑一周是多少米?

2、火车头的主动轮的直径是1.5米，如果每分钟转350周，这个火车头每分钟前进多少米?

3、有平行四边形钢板一块，底是2.5米，高是1.6米，如果每平方米钢板重24千克，这块钢板重多少千克?

4、红星乡挖一个圆柱形水池，底面直径是4米，水池深是2米，在水池的底面和四周涂上水泥，涂水泥的面积是多少平方米?

5、一个圆柱形油桶的容积62.8立方分米，底面半径是20厘米。里面装了桶油，油面高多少分米?

6、一个圆锥形的`沙堆，占地面积为15平方米，高2米。把这堆沙铺在宽8米的路上，平均铺厚5米，能铺路多少米?

能力素质提高

1、有一个长方形，它的长和宽各增加8厘米，这个长方形的面积增加208平方厘米，原来长方形的周长是多少厘米?

2、把一根长9分米的圆柱形钢材，截成两段后，表面积比原来增加了100.48平方厘米，这根圆柱形的钢材原来的表面积是多少平方厘米?

3、把一个圆柱体的侧面展开，得到一个正方形，这个圆柱体的底面半径是5厘米，圆柱体的高是多少厘米?

渗透拓展创新

1、从一个长方体上截下一个棱长4厘米的正方体后，剩下的是一个长方体，这个长方体的表面积是64平方厘米，原来长方体最长的一条棱是多少厘米?

2、把一个长、宽、高分别是7厘米、6厘米、5厘米的长方体截成两个长方体，使这两个长方体的表面积的和最大，这时表面积之和是多少平方厘米?

智能趣题欣赏

1、小明每分钟吹一次肥皂泡，每次恰好吹出100个，肥皂泡吹出以后，经过1分钟有一半破了;经过2分钟还有1/20没破;经过2.5分钟后全部都破了。小明吹完第100次后，没有破的肥皂泡共有多少个?