45证明不等式练习题（共11篇）
1.45证明不等式练习题 篇一
不等式的证明练习
A级
一、选择题 1.2+7与3+6的大小关系是()A.2+≥+B.2+7≤3+6 C.2+>+6D.2+7<3+ 6
3332.设a、b、c∈R且a、b、c不全为0，则不等式a+b+c≥3abc成立的一个充要条件是
()
A.a、b、c全为正数B.a、b、c全为非负实数
C.a+b+c≥0D.a+b+c>0
3.若实数ab满足0
A.2B.a+bC.2abD.a
4.设实数a、b满足a+b＝3,则2+2的最小值是()
A.6B.42C.22D.26
5.已知a>0且a≠1，M＝loga，N＝loga则M与N的大小关系是()
A.M C.M>ND.不确定随a的变化而变化 二、填空题 226.已知x+y＝4，则2x+3y的取值范围为.(a31)(a21)ab ba 7.若不等式a+b>2成立，则a与b满足的条件是.8.b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添上m克糖(m>0)，则糖水就变甜了，试根据事实提炼一个不等式.三、解答题 (ab)2ab(ab) 29.已知a>b>0.求证：8a<2-ab<8b.10.已知a,b,c∈(0,1).求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能都大于4.AA级 一、选择题 1.已知下列不等式： 2+①x+3>2x(x∈R) 553223②a+b≥ab+ab(a,b∈R) 22③a+b≥2(a-b-1) 其中正确的个数是() A.0B.1C.2D.3+2.设x,y∈R，且xy-(x+y)＝1,则() A.x+y≥2(2+1)B.xy≤+ 12C.x+y≤(2+1)D.xy≥2(2+1) 11a23.设M＝a+(2 A.M>NB.M＝NC.M 1+ 4.设a,b,c∈R，则3个数a+b,b+c,c+a() A.都大于2B.都小于 2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2 5.为适应社会发展的需要，国家决定降低某种存款的利息，现有四种降息方案： 方案Ⅰ先降息p%，再降息q%(其中p、q>0且p≠q)方案Ⅱ先降息q%，后降息p% pqpq 方案Ⅲ先降息2%，后降息2% 方案Ⅳ一次降息(p+q)% 在上述四种方案中，降息最少的是() A.方案ⅠB.方案ⅡC.方案ⅢD.方案Ⅳ 二、填空题 x 6.实数y＝x-y，则x的取值范围是.ab 7.若a>b>c>1，p＝2(2-ab) abc 3θ＝3(-abc)，则p与θ中的较小者是.11k 8.若a>b>c，则不等式ab+bc≥ac成立的最大的k值为.三、解答题 cab 39.已知：a≥0，b≥0，c≥0.求证：ab+bc+ca≥ 2111111 110.证明：n1(1+3+„+2n1)>n(2+4+„+2n)(n≥2) 【素质优化训练】 一、选择题 11(x)6(x66) 11(x)3(x33) xx，则()1.若x>0，f(x)＝ A.f(x)≥10B.f(x)≤2C.f(x)≥8D.f(x)≥6 + 2.设a,b,c∈R，P＝a+b-c，Q＝b+c-a，R＝c+a-b，则“PQR>0”是“P、Q、R”同时大于零的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分且必要条件D.即不充分也不必要 + 3.已知a,b∈R，则下列各式中成立的是() 222a2b(a+b) A.cosθ·lga+sinθ·lgb C.a cos2 ·b sin2 ＝a+bD.a cos2 ·b sin2 >a+b aaa 4.设a1>a2>a3>„>a2000>a2001，且m＝a1a2+a2a3+„+a2000a2001，n＝ 4106 a1a2001，则m与n的大小关系是() A.m 5.连结直角三角形的直角顶点与斜边的两个三等分点所得的两条线段长分别为sinα 和cosα(0<α<2)，则斜边的长为() 4A.B.C.3D.5二、填空题 n2 5m 16.已知m，n∈R，则3616-n+3(用“≥”或“≤”号连接).11 27.若x-1＝2(y-1)＝3(Z-2)，则S＝x+y+z的最小值为.6m 8.设三角形三边长为3，4，5，P是三角形内的一点，则P到达这个三角形三边距离乘积的最大值是.三、解答题 x2111 29.已知a∈(-1,1)，求证ax2xa的值不可能在a1与a1之间.10.已知二次函数y＝ax+2bx+c，其中a>b>c，且a+b+c＝0.(1)求证：此函数的图像与x轴交于相异的两个点.(2)设函数图像截x轴所得线段的长为l，求证： 2222 1.设m+n＝a,x+y＝b.(其中a、b是不相等的正整数)，则mx+ny的最大值是() a2b2ababA.2B.abC.abD.2.已知0 b a a b,log 1b a的大小关系是.222 23.设x,y∈R，且x+y≤1，求证｜x+2xy-y｜≤2.+3 34.已知p,q∈R且p+q＝2,求证：p+q≤2.参考答案 A级 1.D 2.A 3.B 4.B 5.D ama 6.［-2,2］ 7.ab>0且a≠b 8.bm>b (ab)2ab[(ab)(a)]2(a)2 8a-(2-)＝28a9.证明：-＝ (ab)2ab)24a] 8a,∵a>b>0,∴ab<2a,∴(ab)<4a，∴ (ab)2ab 8a(ab)-4a<0,又(ab)>0,8a>0,∴-(2-ab)<0，即(ab)2ab(ab)2ab 8a<2-ab.同理可证：8a>2-ab,∴原不等式成立.111 110.证明：假设三个式子同时大于4，即(1-a)b>4,(1-b)c>4,(1-c)a>4,三式相乘 1a1a132 2得：(1-a)a·(1-b)·b·(1-c)·c>4 ①，又因为0 同理0 盾，所以假设不成立，故原命题成立.AA级 1.C 2.A 3.A 4.D 5.C 6.(-∞，0)∪［4，+∞］ 7.P 8.4cababcabcabc 9.证明：∵ab+bc+ca＝ab+bc+ca-3＝ 1111111 (a+b+c)(ab+bc+ca)-3＝2［(a+b)+(b+c)+(c+a)］［ab+bc+ca］-3 33 (ab)(bc)(ca) ≥2·3cab3 ab+bc+ca≥2成立.11193 abbcca-3＝2-3＝2，即 111() 111111111n10.证明：∵2＝2，3>4，5>6，„„，2n1>2n,又2>，111111n1 将上述各式两边分别相加得1+3+5+„+2n1>(2+4+„+2n)·n，∴1111111n1(1+3+„+2n1)>n(2+4+„+2n) 【素质优化训练】 1.D 2.C 3.A 4.C 5.D 5916 6.≤ 7.14 8.1 5x21122 9.证明：设y＝ax2xa，则(ay-1)x+2yx+ay-1＝0，若y≠a，由x∈R，得△≥ 0.即4y-4(ay-1)≥0，∴［(1-a)y+1］［(1+a)y-1］≥0，因a∈(-1,1)，所以1-a>0,1+a>0 11111111 且a1>a1，所以y≤a1或y≥a1，若y＝a，由a(a1, a1),原命题也 正确.综上所述，原命题成立.22 10.证明：(1)令ax+2bx+c＝0，则Δ＝4b-4ac，由a+b+c＝0且a>b>c，∴a>0,c<0,∴ac<0，故Δ>0，即函数的图像与x轴交于相异的两点.(2)设函数图像截x轴于A、B两点，4b24(ac)24c2bcc22 a2其坐标为x1,x2，则x1+x2＝-a,x1x2＝a,∴l＝a-4·a＝-a＝4 ccc13bbc22 ［(a)+a+1］＝4［(a+2)+4］，又a+b+c＝0且a>b>c,∴｜a｜<1，即-1 ＝a＝-1-a∈(-2,0),∴3 1.B2.logb>loga>log>log 2222 3.证明：设x＝rcosθ,y＝rsinθ，且｜r｜≤1,则｜x+2xy-y｜＝r｜cosθ+2cosθ a b 1a b 1b a 222 sinθ-sinθ｜＝r｜cos2θ+sin2θ｜＝2r｜sin(2θ+4)｜≤2 4.证明：假设p+q>2，则(p+q)>8,∴p+q+3pq+3pq>8，又p+q＝2,∴pq(p+q)>2＝p+q,2222 又p+q>0，∴pq>p-pq+q(p-q)<0，这与(p-q)≥相矛盾，故假设不成立，∴p+q≤2. 关键词： 不等式 证明 技巧 不等式是研究数学问题的重要工具，它渗透在数学的各个分支学科，有重要的应用。不等式的证明方法灵活多样，它可以和很多内容相结合，对不等式的证明进行探讨无疑是十分有益的。本文通过实例说明不等式证明的某些技巧，提高分析问题与解决问题的能力。 例1：设x，y，z是不全为零的实数，求证： 5x +y +5z >8xz-4xy+4yz. 证明：设二次型f（x，y，z）=5x +y +5z -8xz+4xy-4yz，则f的矩阵是 A=5 2 -42 1 -2-4 -2 5. 因为A的各阶顺序主子式为： |5|=5>0;5 22 1=1>0; 5 2 -4 2 1 -2-4 -2 5=1>0; 所以，A正定，从而，二次型f（x，y，z）正定，当x，y，z不全为零时f（x，y，z）>0.即5x +y +5z -8xz+4xy-4yz>0， 因此5x +y +5z >8xz-4xy+4yz. 例2：求证：n x ≥（ x ） . 证明：令f（x ，x ，…，x ）=n x -（ x ） ，则f为二次型，其矩阵为 A=n-1 -1 … -1 -1-1 n-1 … -1 -1… … … … …-1 -1 … n-1 -1-1 -1 … -1 n-1， 将第2，3，…，n列加到第1列，则第1列元素全为零，故|A|=0;用同样的方法可求出A的i阶主子式为（n-i）n >0（i=1，2，…，n-1）. 因为A的主子式都大于或等于零，所以A是半正定的;从而二次型f（x ，x ，…，x ）半正定，所以f（x ，x ，…，x ）≥0，即 n x ≥（ x ） . 例3：设A，B，C是一个三角形的三个内角，证明对任意实数x，y，z，都有 x +y +z ≥2xycosA+2xzcosB+2yzcosC. 证明：记f（X）=X′AX=x +y +z -2xycosA-2xzcosB-2yzcosC，其中 X=（x，y，z）′，P= 1 -cosA -cosB-cosA 1 -cosC-cosB -cosC 1，A+B+C=π，cosC=-cos（A+B）. 对P做初等行变换得： P～1 -cosA -cosB0 sinA -sinB0 0 0， 于是P的特征值為0，1，sinA，从而得二次型f（X）是半正定的，即对于任意实数x，y，z，f（X）≥0，即x +y +z ≥2xycosA+2xzcosB+2yzcosC成立. 例4：设A是实对称矩阵，其特征根为λ ≤λ ≤…≤λ ，则对任意的实向量X有 λ X′X≤X′AX≤λ X′X. 证明：A是实对称矩阵，存在正交矩阵T，使 T AT=λ λ ？埙 λ ， 于是T AT-λ I特征根非负，即矩阵A-λ I半正定.这样 X′（A-λ I）X≥0. 因此 X′AX≥λ X′X. 同理可证 X′AX≤λ X′X. 例5：设a ∈R，（i=1，2，…，n）证明： n（a +a +…+a ）≥（a +a +…+a ） 证明：设D=n（a +a +…+a ）-（a +a +…+a ） ，只要证D≥0. 由于 D=a +a +…+a a +a +…+a a +a +…+a n = a a +a +…+a a n = a a a 1= a a a 1 1 所以 D= a a a 1 1= （-a ）a a 1 1， 因此 2D=D+D= （a -a ）a -a 1 1= （a -a ） ≥0. 這就证明了D≥0. 参考文献： [1]张荣.辅助函数在不等式证明中的应用[J].数学的实践与认识，2007，37（20）：224-226. [2]高淑娥.不等式证明中辅助函数的构造[J].甘肃联合大学学报（自然科学版），2013，27（1）：79-81. [3]梁波.例谈行列式的几个应用[J].毕节学院学报，2006（04）：27-29. 第四讲复习用数学归纳法证明不等式（1） 25n-11.用数学归纳法证明当n↔N+时，1+2+2+„+2是31的倍数，当n=1时原式 为() (A)1 (C)1+2+3+4(B)1+2(D)1+2+22+23+24 2.已知数列{an}中，a1=1,a2=2，an+1=2an+an-1(n↔N+)，用数学归纳法证明a4n能被4整除，假设a4k能被4整除，然后应该证明() (A)a4k+1能被4整除(B)a4k+2能被4整除 (C)a4k+3能被4整除(D)a4k+4能被4整除 3.如果命题P(n)对n=k成立，则它对n=k+2也成立.又若P(n)对n=2成立，则下列结论正确的是 () (A)P(n)对所有n↔N+成立(B)P(n)对所有正偶数成立 (C)P(n)对所有正奇数成立(D)P(n)对所有大于1的正整数成立 4.设凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形的对角线的条数f(n+1)为() (A)f(n)+n+1(B)f(n)+n (C)f(n)+n-1(D)f(n)+n-2 nn5.利用数学归纳法证明“对任意偶数n,a-b能被a+b整除”时，其第二步论证应该是() (A)假设n=k时命题成立，再证n=k+1时命题也成立 (B)假设n=2k时命题成立，再证n=2k+1时命题也成立 (C)假设n=k时命题成立，再证n=k+2时命题也成立 (D)假设n=2k时命题成立，再证n=2(k+1)时命题也成立 6.用数学归纳法证明等式123n3 左边应取的项是() (A)1(B)1+2(C)1+2+3 7.下列说法中正确的是() (A)若一个命题当n=1,2时为真，则此命题为真命题 (B)若一个命题当n=k时成立且推得n=k+1时也成立，则这个命题为真命题 (C)若一个命题当n=1,2时为真，则当n=3时这个命题也为真 (D)若一个命题当n=1时为真，n=k时为真能推得n=k+1时亦为真，则此命题为真命题 8.若命题A(n)(n↔N+)在n=k(k↔N+)时成立，则有n=k+1时命题也成立.现知命题对n=n0(n0↔N+)时成立，则有() (A)命题对所有正整数都成立 (B)命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立 (C)命题对小于n0的正整数成立与否不能确定,对大于或等于n0的正整数都成立 (D)以上说法都不正确 9.用数学归纳法证明不等式1 (A)7(B)8(D)1+2+3+4 n3n4(nN2)时，第一步验证n=1时，111127n1(nN)成立时，起始值至少应取()24264(C)9 1(D)10 选修4-5 第四讲 数学归纳法证明不等式练习案编号3A编写：董雯雯领导签字： 10.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)„(n+n)=2n×1×3ׄ×(2n-1)(n↔N+)时，从k到k+1，左边需要增加的代数式为() (A)2k+1 (C)(B)2(2k+1)(D)2k1k12k3 k1 11.(2012·杭州模拟)把正整数按下图所示的规律排序，则从2 013到2 015的箭头方向依次为 () (A)↓→(B)→↓(C)↑→(D)→↑ 12.用数学归纳法证明1coscos3cos2n12sin2n12n1cos sin (k,kZ,nN),在验证n=1时,左边计算所得的项是()11(B)cos22 11(C)coscos3(D)coscos2cos3 22(A) n4n2 ；13.用数学归纳法证明123n则n=k+1时，左端应在n=k时的基础上加上22 _________.14.已知1+2×3+3×32+4×33+„+n×3n-1=3n(na-b)+c对一切n↔N+都成立，那么a=___ __,b=_____,c=____.15.用数学归纳法证明“当n是非负整数时,55n+1+45n+2+35n能被11整除”的第一步应写成：当n=______时，55n+1+45n+2+35n=_______=________,能被11整除.16.(易错题)有以下四个命题： (1)2n＞2n+1(n≥3)； (2)2+4+6+„+2n=n2+n+2(n≥1)； (3)凸n边形内角和为f(n)=(n-1)π(n≥3)； (4)凸n边形对角线条数fnnn2 一、不等式的初等证明方法 1.综合法：由因导果。 2.分析法：执果索因。基本步骤：要证..只需证..，只需证..(1)“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。 (2)“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。 3.反证法：正难则反。 4.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有： (1)添加或舍去一些项，如： 2)利用基本不等式，如： (3)将分子或分母放大(或缩小)： 5.换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题 化难为易、化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。 6.构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式。 证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。 7.数学归纳法：数学归纳法证明不等式在数学归纳法中专门研究。 8.几何法：用数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。 9.函数法：引入一个适当的函数，利用函数的性质达到证明不等式的目的。 10.判别式法：利用二次函数的判别式的特点来证明一些不等式的方法。当a>0时，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。当a<0时，f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。 二、部分方法的例题 1.换元法 换元法是数学中应用最广泛的解题方法之一。有些不等式通过变量替换可以改变问题的结构，便于进行比较、分析，从而起到化难为易、化繁为简、化隐蔽为外显的积极效果。 注意：在不等式的证明中运用换元法，能把高次变为低次，分式变为整式，无理式变为有理式，能简化证明过程。尤其对含有若干个变元的齐次轮换式或轮换对称式的不等式，通过换元变换形式以揭示内容的实质，可收到事半功倍之效。 2.放缩法 欲证A≥B，可将B适当放大，即B1≥B，只需证明A≥B1。相反，将A适当缩小，即A≥A1，只需证明A1≥B即可。 注意：用放缩法证明数列不等式，关键是要把握一个度，如果放得过大或缩得过小，就会导致解决失败。放缩方法灵活多样，要能想到一个恰到好处进行放缩的不等式，需要积累一定的不等式知识，同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧。 3.几何法 3、(abc)(1119) abbcca24、设a,bR，且ab1，求证：(a)(b) 5、若ab1，求证：asinxbcosx 16、已知ab1，求证：ab 7、a,b,c,dR求证：1＜441a21b225 2221 8abcd+++＜2 abdbcacdbdac11118、求证2222＜2 123n 1111＜1 9、求证：2n1n22n10、求下列函数的最值 （1）已知x＞0，求y2x （2）已知x＞2，求yx4的最大值（-2）x1的最小值（4）x 2111（3）已知0＜x＜，求yx(12x)的最大值（）221611、若正数a,b满足ab(ab)1则ab的最小值是（） （22333） 12、已知正数a,b求使不等式(ab)k(ab)成立的最小k值为（）（4） 13、求函数y 14、二次函数f(x)xaxxa的两根x1,x2满足0＜x1＜x2＜ 1，求a的取值范围（）（0，15、关于x的方程x2m(x3)2m140有两个实数根，且一个大于1，一个小于1，则m的取值范围是（）（m＜- 22221） 416、关于x的方程mx2x10至少有一个负根，则m的取值范围是（m1） 17、关于x的方程2kx2x3k20有两个实数根，一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围（k＞0或k＜-4） 218、为使方程x22px10的两根在（-2,2）内，求p的取值范围（-＜p＜ 19、函数f(x)ax2x1有零点，则a的取值范围是（a 20、判断函数f(x)x- 21、已知方程x22343）41）411的零点的个数（一个）x395xk在1,1上有实数根，求实数k的取值范围（,）2162 22、已知方程7x2(m13)xm2m20有两个实数根，且一根在（0,1），一根在（1,2）上，求m的取值范围（(2,1)(3,4)） 23、关于的方程2axx10在（0,1）内恰有一解，求实数a的取值范围(1,) 24、若关于的方程lg(x 1、比较法（作差法） 在比较两个实数a和b的大小时，可借助ab的符号来判断。步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）。变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等。 abab。例 1、已知：a0，b0，求证： 2ababab2ab(ab)2 ab。证明：ab0，故得22222、分析法（逆推法） 从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆。 例 2、求证：71。 证明：要证571，即证122162，即2，35194，416，4，1516，由此逆推即得571。 3、综合法 证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法。 ab例 3、已知：a，b同号，求证：2。ba 证明：因为a，b同号，所以abababab0，0，则22，即2。babababa4、作商法（作比法） 在证题时，一般在a，b均为正数时，借助 商——变形——判断（大于1或小于1）。 例 4、设ab0，求证：aabbabba。 aaabba证明：因为ab0，所以1，ab0。而bababbabaa1或1来判断其大小，步骤一般为：作bb1，故aabbabba。 5、反证法 先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，导出结论的正确性，达到证题的目的。 例 5、已知ab0，n是大于1的整数，求证：ab。证明：假设a，则bb1，即1，故ba，这与已知矛盾，所以a。aa6、迭合法（降元法） 把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证。 例 6、已知：求证： a1b1a2b2anbn1。a1a2an1，b1b2bn1，证明：因为a1a2an1，b1b2bn1，所以a1a2an1，b1b2bn1。由柯西不等式 a1b1a2b2anbna1a2anb1b2bn111，所以原不等 22222 2222222 式获证。 7、放缩法（增减法、加强不等式法） 在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的。值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头。常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法。 1359999 0.01。例 7、求证： *** 证明：令p，则 24610000 ***32999921 1p222，222 22461000021411000011000110000 所以p0.01。 8、数学归纳法 对于含有n(nN)的不等式，当n取第一个值时不等式成立，如果使不等式在nk(nN)时成立的假设下，还能证明不等式在nk1时也成立，那么肯定这个不等式对 n取第一个值以后的自然数都能成立。 例 8、已知：a,bR，nN，n1，求证：anbnan1babn1。证明：（1）当n2时，a2b2abab2ab，不等式成立；（2）若nk时，akbkak1babk1成立，则 ak1bk1a(akbk)abkbk1a(ak1babk1)abkbk 1=akbabk(a2bk12abkbk1)akbabkbk1(ab)2akbabk，即ak1bk1akbabk成立。 根据（1）、（2），anbnan1babn1对于大于1的自然数n都成立。 9、换元法 在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明达到简化。 例 9、已知：abc1，求证：abbcca。 1证明：设at，bat(tR)，则c(1a)t，33 3111111 abbccatatat(1a)tt(1a)t 33333311 (1aa2)t2（因为1aa20，t20），33 所以abbcca。 10、三角代换法 借助三角变换，在证题中可使某些问题变易。 例 10、已知：a2b21，x2y21，求证：axby1。证明：设asin，则bcos；设xsin，则ycos 所以axbysinsincoscoscos()1。 11、判别式法 通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围，来证明所要证明的不等式。 例 11、设x,yR，且x2y21，求证：yaxa2。证明：设myax，则yaxm 代入x2y21中得x2(axm)21，即(1a2)x22amx(m21)0 因为x,yR，1a20，所以0，即(2am)24(1a2)(m21)0，解得ma2，故yaxa2。 12、标准化法 形如f(x1,x2,,xn)sinx1sinx2sinxn的函数，其中0xi，且 ；当x1x2xn为常数，则当xi的值之间越接近时，f(x1,x2,,xn)的值越大（或不变） x1x2xn时，f(x1,x2,,xn)取最大值，即 f(x1,x2,,xn)sinx1sinx2sinxnsinn x1x2xn。 n AB。 2标准化定理：当A+B为常数时，有sinAsinBsin2证明：记A+B=C，则 f(A)sinAsinBsin2 ABC sinAsin(CA)sin2，22 求导得f`(A)sin(C2A)，由f`(A)0得C=2A，即A=B 又由f``(A)cos(BA)0知f`(A)的极大值点必在A=B时取得 由于当A=B时，f`(A)0，故得不等式。同理，可推广到关于n个变元的情形。 ABC 1sinsin。2228ABC11 证明：由标准化定理得，当A=B=C时，sinsinsin，取最大值，故 22228 ABC1sinsinsin。2228 例12、设A，B，C为三角形的三内角，求证：sin13、等式法 应用一些等式的结论，可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的证明。例13（1956年波兰数学竞赛题）、a,b,c为ABC的三边长，求证： 2a2b22a2c22b2c2a4b4c4。 证明：由海伦公式SABC其中p (abc)。 2两边平方，移项整理得 p(pa)(pb)(pc)，16(SABC)22a2b22a2c22b2c2a4b4c4 而SABC0，所以2a2b22a2c22b2c2a4b4c4。 14、函数极值法 通过变换，把某些问题归纳为求函数的极值，达到证明不等式的目的。 例 14、设xR，求证：4cos2x3sinx2。 831 证明：f(x)cos2x3sinx12sin2x3sinx2sinx 248当sinx 31时，f(x)取最大值2； 48 当sinx1时，f(x)取最小值－4。 故4cos2x3sinx2。 815、单调函数法 当x属于某区间，有f`(x)0，则f(x)单调上升；若f`(x)0，则f(x)单调下降。推广之，若证f(x)g(x)，只须证f(a)g(a)及f`(x)g`(x)即可，x[a,b]。 例15、0x，求证：sinxxtanx。 2证明：当x0时，sinxxtanx0，而 (sinx)`cosx1x`sec2x(tanx)` 故得sinxxtanx。 16、中值定理法 利用中值定理：f(x)是在区间[a,b]上有定义的连续函数，且可导，则存在，ab，满足f(b)f(a)f`()(ba)来证明某些不等式，达到简便的目的。 例 16、求证：sinxsinyxy。 证明：设f(x)sinx，则sinxsiny(xy)sin`(xy)cos 故sinxsiny(xy)cosxy。 17、分解法 按照一定的法则，把一个数或式分解为几个数或式，使复杂问题转化为简单易解的基本问题，以便分而治之，各个击破，从而达到证明不等式的目的。 1例17、n2，且nN，求证：1n(n11)。 23n 证明：因为1 111111 n(11)111 23n23n 2 所以1 34n134n 1n2nn1 23n23n n(n11)。23n18、构造法 在证明不等式时，有时通过构造某种模型、函数、恒等式、复数等，可以达到简捷、明 快、以巧取胜的目的。 例 18、已知：x2y21，a2b22，求证：b(x2y2)2axy2。证明：依题设，构造复数z1xyi，z2abi，则z11，z22 所以z1z2(xyi)2(abi)[a(x2y2)2bxy][b(x2y2)2axy]i b(x2y2)2axyImz1z2z1z2 2 故b(x2y2)2axy2。 19、排序法 利用排序不等式来证明某些不等式。 排序不等式：设a1a2an，b1b2bn，则有 其中t1,t2,,tn是a1bna2bn1anb1a1bt1a2bt2anbtna1b1a2b2anbn，1,2,,n的一个排列。当且仅当a1a2an或b1b2bn时取等号。 简记作：反序和乱序和同序和。 例 19、求证：a2b2c2d2abbccdda。 证明：因为a,b,c,dR有序，所以根据排序不等式同序和最大，即 a2b2c2d2abbccdda。 20、几何法 借助几何图形，运用几何或三角知识可使某些证明变易。 ama 。例20、已知：a,b,mR，且ab，求证： bmb 证明：以b为斜边，a为直角边作RtABC 延长AB至D，使BDm，延长AC至E，使EDAD，过C作AD的平行线交DE于F，则ABC∽ADE，令CEn，aABam 所以 bACbn amama 。又CECF，即nm，所以 bmbnb E 另外，还可以利用重要的不等式来证题，如平均不等式、柯西（Cauchy）不等式、琴生（Jensen）不等式、绝对值不等式、贝努利（J.Bernoulli）不等式、赫尔德（O.HÖlder）不等式、三角形不等式、闵可夫斯基（H.Minkowski）不等式等，这里不再烦述了。 有些不等式可以和一次函数建立直接联系，通过构造一次函数式，利用一次函数的有关特性，完成不等式的证明.例1设0≤a、b、c≤2，求证：4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.证明：视a为自变量，构造一次函数 =4a+b+c+abc-2ab-2bc-2ca=(bc-2b-2c+4)a+(b+c-2bc)，由0≤a≤2，知表示一条线段.又=b+c-2bc=(b-c)≥0，=b+c-4b-4c+8=(b-2)+(c-2)≥0，可见上述线段在横轴及其上方，∴≥0，即4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.二、构造二次函数法证明不等式 对一些不等式证明的题目，若能巧妙构造一元二次函数，利用二次函数的有关特性，可以简洁地完成不等式证明.例2实数a、b、c满足(a+c)(a+b+c)<0，求证：(b-c)>4a(a+b+c).证明：由已知得a=0时，b≠c，否则与(a+c)(a+b+c)<0矛盾，故a=0时，(b-c)>4a(a+b+c)成立.当a≠0时，构造二次函数=ax+(b-c)x+(a+b+c)，则有 步骤一：首先把不等式转化关于某变量x的函数，并且求出x的定义域。步骤二：证明该变量x的函数在其定义域的单调关系。 步骤三：由步骤二可得出该不等式的极小值或极大值，进而求出最小值或最大值。 步骤四：利用最小值或最大值证该不等式是正确。 ②利用求等比数列和的方法证明不等式成立。 ③利用列式分解法来证明不等式成立（经常用于数列不等式）。 Ⅰ利用分子分母的列式分解法分解。类型应是分子是常数，分母是可由两个因子式的二元一次方程并且该两个因子式相减可得一个常数。通常类型如下：c/a(x+b1)(x+b2)= c/a * 1/(b2-b1)* [1/(x+b1)-1/(x+b2)] Ⅱ利用根号和列式分解法来证明不等式的成立。 Ⅲ利用对数的性质来进行因式分解。例如ln[n/(n+1)] = ln(n)-ln(n+1);④利用假说演绎法来证明不等式的成立。 步骤如下（假设有5分，一般都可拿3分）： 步骤一：假设该不等式成立。 步骤二：当n = 1 时，该不等式成立。（1分或2分） 步骤三：当n = k+1 时，把他代入左边的参数，再跟与 n = k的不 等式转换。从而验证当n = k+1 时，该不等式也成立。（3分或4分） 步骤四：综上所述，该不等式成立。（0分或1分） ⑤利用放缩法来证明不等式成立。下面有几种常见的关于放缩法的几种类型。Ⅰ利用已有的列式分解法的知识进行放缩。 Ⅱ利用上述已知的条件进行放缩。 第一部分：基本不等式变形技巧的应用 基本不等式在求解最值、值域等方面有着重要的应用，利用基本不等式时，关键在对已知条件的灵活变形，使问题出现积（或和）为定值，以便解决问题，现就常用技巧给以归纳。 技巧一：加减常数 例 1、求函数yx 点评：当各项符号不确定时，必须分类讨论，要保证代数式中的各项均为正。 技巧二：巧变常数 例 2、已知0x 点评：形如f(x)x(1ax)或f(x)x2(1ax2)等可有两种变形方法：一是巧乘常数；二是巧提常数，应用时要注意活用。 技巧 三、分离常数 例 3、已知x 5452121x1(x1)的值域。，求函数y＝x（1－2x）的最大值。，则f(x)x3x32x4542有（）32A、最大值B、最小值C、最大值D、最小值 32点评：通过加减常数，分离出一个常数是分式函数求值域常用的方法，这里一定要加减好“常数”，以利于问题的解决。 技巧 四、活用常数 例 4、若x,yR且满足 点评：通过配凑“1”并进行“1”的代换，整理后得到基本不等式的形式，减少了使用基本不等式的次数，有效地避免了等号不能同时取到的麻烦。 技巧 五、统一形式 例 5、已知a,b,cR，求(abc)(4x16y1，求x＋y的最小值。1 ab1 c)的最小值。 点评：根据分母的特点，进行结构调整为统一的形式，这样便能快速求解。含有根号的问题也要注意形式的统一（如求函数yxx2(0x1)可变形为y第二部分：均值定理证明不等式的方法技巧 。x(1x)等） 1．轮换对称型 例1 若a,b,c是互不相等的实数，求 证：abc 222 abbcac.点评：分段应用基本等式，然后整体相加(乘)得结论，是证明轮换对称不等式的常用技 巧。 2．利用“1”的代换型 111 已知a,b,cR,且 abc1,求证 9.abc例2 点评：做“1”的代换。 .3.逆向运用公式型 a,bR,ab1求证： a b 2.例3已知 点评：依据求证式的结构，凑出常数因子，是解决此类问题的关键。为脱去左边的根号，a 12,b 将 11 转换成 1a,1b,然后逆向运222 用均值不等式： 若 a,bR则 ab ab2 .4．挖掘隐含条件证明不等式 111 a,bR,ab1求证：11.ab9 例4 已知 a,bR,ab1 12 ab说明a,bR,ab1的背后隐含ab 4ab 2点评:由于 着一个不等式ab .5．用均值不等式的变式形式证明不等式 ab例5已知a,b,cR,求证： bc ca 2abc.点评：本题的关键在于对ab,bc,ca的处理，如果能找出 ab与ab间的关系，问题就可以 222222 解决，注意到 ab2ab2ab ab2 2ab ab 其中a,b,cR即可。解题时要注意a b2ab的ab 变式应用。常用 ab2 放缩法证明不等式 【教学目标】 1.了解放缩法的概念；理解用放缩法证明不等式的方法和步骤。 2.能够利用放缩法证明简单的不等式。 【重点、难点】 重点：放缩法证明不等式。 难点：放缩法证明不等式。 【学法指导】 1.据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案； 2.红笔勾出疑难点，提交小组讨论； 3.预习p18—p19,【自主探究】 1，放缩法：证明命题时，有时可以通过缩小（或）分式的分母（或），或通过放大（或缩小）被减式（或）来证明不等式，这种证明不 等式的方法称为放缩法。 2，放缩时常使用的方法：①舍去或加上一些项，即多项式加上一些正的值，多项式的值变大，或多项式减上一些正的值，多项式的值变小。如t22t2,t22t2等。 ②将分子或分母放大（或缩小）：分母变大，分式值减小，分母变小，分 式值增大。 如当(kN,k1)1111，22kkk(k1)k(k1)，③利用平均值不等式，④利用函数单调性放缩。 【合作探究】 证明下列不等式 (1) (2)，已知a>0，用放缩法证明不等式:loga (a1)1111...2(nN)2222123nloga(a1)1 (3)已知x＞0, y>0，z>0求证 xyz （4）已知n N，求证：1 【巩固提高】 已知a,b,c,d都是正数，s 【能力提升】 求证: ...abcd求证:1 1aba 1ab 1b 罗红波洪湖二中高三 （九）班周二第三节（11月13日） 数列和式不等式的证明经常在试卷压轴题中出现，在思维能力和方法上要求很高，难度很大，往往让人束手无策，其实，这类不等式的证明，是有一定的规律的，利用S1 n a1q 来证明也能事半功倍，下面用几个例子来简述数列和式不等式的证明 S1 n a1q 常用策略。 一、基础演练： 1、等比数列{an}，公比为q，则{an}的前n项和Sn为（） na1(q1A．) an a1(1q)1(1qn)a 1q(q1)B.na1C.1qD.11q2、正项等比数列{an}，公比为q，0q1，{an}的前n项和Sn，以下说法正确的是（）A．S1n a11qB.Sa11qC.Saa nn1qD.Sn11q3、正项数列{a}，{a的前n项和Sa nn}n，要证明S1n1q，其中0q1，可以去证明（）A． an1qB.an1aqC.an1qD.a n1aq nnanan 二、典例精讲： 例 1、等比数列{a1 n}，a11,q2，{an}的前n项和Sn，求证：Sn2 变式 1、正项等比数列{an}，{a1n}的前n项和Sn，a11,Sn2恒成立，求证：0q 2例 2、已知数列{an}，an1 2n 1，{an}的前n项和S5n，求证：Sn2(Sn3?) aann变式 2、数列{n1n}，a3232n1，a11，{a3 n1n}的前n项和Sn，求证：Sn n 2例 3、（09四川理22）数列{an}的前n项和Sn，对任意正整数n，都有a4an n5Sn1成立，记bn1a(nN).n (1)求数列{bn}的通项公式； (2)记c nb2nb2n1(nN)，{c3 n}的前n项和Tn，求证：Tn 2变式 3、已知a1n 2，求证Sn(1)a1(1)2a2(1)nan1 (2)n 3三、小结 四、课后作业： 1、等比数列{a1 n}，a12,q 3，{an}的前n项和Sn，求证：Sn3 2、已知数列{an}，an 14n2，{an}的前n项和Sn，求证：S2 n 【45证明不等式练习题】推荐阅读： 绝对不等式的证明07-19 考研不等式的证明09-02 构造函数法证明不等式07-30 数学不等式证明方法论文开题报告08-07 例说借助导数证明函数不等式 人教版09-09 5.4不等式证明——综合法与分析法07-02 不等式综合练习题07-18 不等式性质练习题07-29 均值不等式习题含答案07-16 不等式练习及答案汇总07-222.不等式证明技巧 篇二
3.45证明不等式练习题 篇三
4.不等式证明 篇四
5.不等式证明,均值不等式 篇五
6.不等式证明20法 篇六
7.构造法证明不等式 篇七
8.不等式的证明方法 篇八
9.基本不等式与不等式基本证明 篇九
10.放缩法证明不等式 篇十
11.数列不等式的证明 篇十一