考研高等数学定理证明

考研高等数学定理证明（精选7篇）

1.考研高等数学定理证明 篇一

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2018考研数学重点：中值定理证明题解

题技巧

考研数学中证明题虽不能说每年一定考，但也基本上十年有九年都会涉及，在此着重说说应用拉格朗日中值定理来证明不等式的解题方法与技巧。

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根据以上的攻关点拨和典例练习，相信同学们对该题型的解题训练有了一定的掌握。

需要提醒考生们，数学题目多，而且考查的知识点很综合，很多人担心自己做的少，碰到的知识点就会少一些，从而加快了解题速度，实际上考生最重要的是要注重对题目的理解，对基本知识的概括和各种题型解题技巧的能力训练，因此大家可以根据以上的攻关点拨和典例练习，这样加以积累练习，为以后的快速准确解题打下基础。

另外，数学试题切忌眼高手低，实践出真知，只有自己真正做一遍，印象才能深刻，才能了解自己的复习程度，疏漏的内容，如果题目确实做不出来，可以先看答案，看明白之后再抛弃答案自己再把题目独立地做一遍，一定要力求全部理解和掌握所考查的知识点。

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2.考研高等数学定理证明 篇二

一、欧几里得的证明方法

如图1, 这是早在两千多年前的数学名著《几何原本》中提出的关于勾股定理的证明, 通过边长为a, b, c的三个正方形搭建一个直角三角形, 并作辅助线CD, CL, FB, 其中CL垂直于DE并与AB交于M点 , 还需要确 保HB垂直于FH.

因为AF = AC, AB = AD, ∠FAB =∠CAD, 所以△FAB≌△CAD, 因为△FAB的面积等于1 /2 a2, △CAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半, 所以矩形ADLM的面积为a2. 同理可证, 矩形MLEB的面积为b2.

因为正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积, 所以可以得出结论:c2= a2+ b2, 即a2+ b2= c2.

这一证明方法, 给学生提供了通过图形的面积去分析边长关系的重要方法. 首先, 就是在于∠BCA必须是直角, 这样才能维持点H, B, C在同一条直线上, 从而建立一个直角三角形ABC;其次, 必须给学生指出给交点命名一个字母符号, 才不会遗忘一些关键信息;最后, 确定直角三角形ABC三边之间的关系.

数学的教学不仅需要围绕“知识与能力”展开, 更重要的是需要让学生产生“情感态度和价值观”上的共鸣. 欧几里得在《几何原本》中, 以这个定理为中心, 开启了自己的数学框架体系, 也为后人在学习数学的提供了宝贵的财富. 这些情感也需要教师在谈及图形引导时进行潜移默化的教育.

二、美国总统的证明方法

时间倒回到1876年, 当时正值黄昏, 在公园里, 有两个孩子嘈杂的吵闹声惊动了周围许多人, 其中也包括未来的美国总统加菲尔德. 两个孩子正在为直角三角形的边长讨论着, 这激发了他仔细研究“勾股定理”的兴趣. 不久之后, 他公开发表了自己的证明方法. 加菲尔德身为总统却为孩子的数学问题苦思冥想, 这对于总是抱怨成绩不好却不愿意努力学习的学生来说, 应该说是非常好的教育案例.

如图2, 图形ABCD是一个直角梯形, 以∠DAE为直角的三角形和以∠CBE为直角的三角形是全等三角形, 两个三角形的三条边a, b, c完全相等, 图形的基本关系确定之后, 下面便可以开始证明.

第一步, 寻找等式关系, 根据已知条件, △DAE和△CBE是全等三角形, 所以它们对应的每一条边和每一条角都相等, ∠AEB为平角180°, 加上∠DAE和∠EBC都为直角, 证明∠DEC为直角便不是什么难事了. 紧接着依据边EC和DE为长度相等的边, 判定△DEC为等腰直角三角形也就顺理成章了. 证明如下: 因为Rt△EAD≌Rt△CBE, 所以∠ADE = ∠BEC. 同时∠AED + ∠ADE = 90°, 所以∠AED + ∠BEC = 90°, 还能得出∠DEC = 180° - 90° = 90°, 最终可以确定△DEC是一个等腰直角三角形, 它的面积等于1/ 2 c2.

第二步, 建立破题的等式关系, 根据边长的关系算出△DEC的面积的根本目的还是在于建立另外一个等式关系, 那就是直角梯形ABCD的面积等于三个直角三角形面积之和, 即直角梯形ABCD的面积 = △DAE的面积 + △EBC的面积 + △DEC的面积. 因为∠DAE = 90°, ∠EBC = 90°, 所以AD∥BC, 并可以证明ABCD是一个直角梯形, 它的面积等于1 /2 (a + b) 2, 即最终可以得出结论 a2+ b2= c2.

通过这两个等式, 我们便很容易地证明出了“勾股定理”, 这个方法十分简便地描述出了三角形各个边长的关系, 还确定了各个面积之间的关系.

三、课堂通常的证明方法

虽然说相对于欧几里得在《几何原本》当中记录的方法, 总统证明法已经要简单许多, 但是从初中生的知识基础而言, 课堂通常使用的方法要更加简便易懂. 这是为学习基础薄弱的同学准备的, 也是为学习能力较强的同学打好基础的重要手段.

如图3, 将四个全等三角形进行组合, 拼凑出一个边长为a + b的正方形, 这样便形成了一个明显的面积相等的等式, 再根据边角关系可以确定中间的图形为边长为c的正方形, 则有:

四、小 结

3.考研高等数学定理证明 篇三

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

已知：在⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC（如图一），求证：∠BAC= ∠BOC。

分析：圆周角∠BAC与圆心O的位置关系有三种：（1）圆心O在∠BAC的一条边AB（或AC）上（如图二）；（2）圆心O在∠BAC的内部（如图三）；（3）圆心O在∠BAC的外部（如图四）。

在第一种位置关系中，圆心角∠BOC恰为△AOC的外角，这时很容易得到结论；在第二、三两种位置关系中，均可作出过点A的直径，將问题转化为第一种情况，同样可以证得结论。这充分体现了一种重要的数学思想——化归思想。

数学问题的解决几乎都离不开化归，只是体现的形式有所不同。计算题是利用规定的运算法则进行化归，证明题是利用公理、定理或已经证明了的命题进行化归，应用题利用数学模型化归，因此，离开了化归，数学问题将无法解决。通过一定的转化过程，把待解决的问题转化为已经解决或比较容易解决的问题或这类问题的某种组合，这种思想被称之为化归思想。从化归的途径上来看，大致可以分为下面两种：

一、新知识向已有知识的转化

在初中阶段，有许多新知识的获得或新问题的解决都是通过转化为已知知识或已解决的问题来完成的，也就是将新知识向已有知识进行转化，从而使问题得到解决。下面就以解方程为例来进行分析。

解一元二次方程时有以下四种基本解法：

（一）如果方程的一边是关于X的完全平方式，另一边是个非负数，则根据平方根的意义将形如（x+m）2=n（n≥0）的方程转化为两个一次方程而得解，此为直接开平方法。

（二）如果将方程通过配方恒等变形，一边化为含未知数的完全平方式，另一边为非负数，则其后的求解可由思路一完成，此为配方法。

（三）如果方程一边能分解成两个一次因式之积，另一边为零，就可以得到两个因式分别为零的一次方程，它们的解都是原方程的解，此为因式分解法。

（四）如果以上三条思路受阻，便可把方程整理为一般形式，直接利用公式求解。

纵观以上四种方法，不难发现，方法一是依据平方根的意义将二次方程转化为一次方程，完成了由“二次”向“一次”的转化。方法二中的“配方”仅完成了方程的恒等变形，把问题转移到“可开方”上来，并未完成“降次转化”这一实质性工作，但已经为“二次”向“一次”转化创造了条件，因而习惯上称之为“配方法”，配方法的实质就是通过转化为开平方来解决的。方法三即因式分解法也顺利地实现了由“二次”转化为“一次”的目的。方法四即所谓公式法，对一般的一元二次方程，通过配方，转化为开平方求得一般结论，即求根公式。公式法实际上已将解方程转化成为代数式的求值问题，而公式的得到则是化归思想的典型体现。纵观整个初中教材，不难发现除了解方程问题，还有许多知识的转化都属于新知识向已有知识的转化。

二、一般情况向特殊情况的转化

本文开头圆周角定理的证明就是先解决特殊条件或特殊情况下的问题，然后通过恰当的化归方法把一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题来解决，这也是顺利解决某些问题的一种重要的化归途径，特别是在中考题的最后一题中，往往也有许多时候是需要先解决特殊条件下的问题，然后再通过化归把一般情况下的问题转化为特殊条件下的情形来解决。

三、化归思想方法的教学策略

从上面的分析中，我们不难发现化归思想在初中数学的学习中有着举足轻重的作用，是一种非常重要的数学思想。那么如何在日常教学中更好的渗透和落实化归思想呢？

（一）夯实基础知识，完善知识结构是落实化归思想方法教学的基础。教学过程中，可从以下几个方面做起：

1、重视概念、公式、法则等基本数学模型的教学，为寻求化归目标奠定基础。从某种意义上说，中学数学教学实际上是数学模型的教学，建立数学模型是实现问题的规范化和程序化，运用模型的过程即是转化与化归的过程。

2、养成整理、总结数学方法的习惯，为寻求化归方法奠定基础。差生之所以拿到基本题没有思路，其根本原因是其知识结构残缺不全。

3、完善知识结构，为寻求化归方向奠定基础。在平时教学中帮助学生完善知识结构，例如做好单元小结，其中画知识结构图或列知识表是完善知识结构使知识系统化、板块化的有效方法之一。通过表格或网络图，知识之间的相互联系、依存关系一目了然，为问题的转化提供了准确的方向。

（二）培养化归意识，提高转化能力是实现化归思想方法教学的关键

数学是一个有机整体，它的各部分之间相互联系、相互依存、相互渗透，使之构成了纵横交错的立体空间，我们在研究数学问题的过程中，常需要利用这些联系对问题进行适当转化，使之达到简单化、熟悉化的目的。要实施转化，首先须明确转化的一般原理，掌握基本的化归思想和方法，并通过典型的问题加以巩固和练习。因此，在平时的教学中，我们不断教会学生解题，通过仔细的观察、分析，由问题的条件、图形特征和求解目标的结构形式联想到与其有关的定义、公式、定理、法则、性质、数学解题思想方法、规律以及熟知的相关问题解法，由此不断转化，建立条件和结论之间的桥梁，从而找到解题的思路和方法。

（三）掌握化归的一般方法，是实现数学化归思想方法教学的基本手段

化归的实质是不断变更问题，因此，可以从变形的成分这个方面去考虑，也可以从实现化归的常用方法直接去考虑。在实际运用中，这两个方面又是互相渗透、互相补充的。初中阶段常用的化归方法有恒等变换法，具体包括分解法、配方法、待定系数法等：其次是映射反演法，具体包括换元法、坐标法等。

（四）深入教材，反复提炼与总结是实现化归思想方法教学的基本途径

4.考研高等数学定理证明 篇四

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考研高等数学难点解读：中值定理就得这么学

中值定理是考研数学的难点之一，考查考生的逻辑推理能力，在考研数学中以证明题形式出现，难度相对较大。在31年考研真题中数一查过16次，数二考查过18次，数学三考过14次，考查的重点是罗尔中值定理和拉格朗日中值定理。虽然中值定理是一大难点，但却有规律可循，为了方便考生复习，边一老师就中值定理给考生们做出详细解读，为你们暑期正确复习本章做好铺垫。

针对高数中的这一难点，我们2018年的考生在暑期的学习过程中应注意以下：

研究真题总结出题规律

中值定理可以通过研究考研数学真题总结出解题规律，做完真题之后要总结一下，要找大量不同的题做，如果一些基本概念不懂的，一定要回去翻课本。真题至少要做三遍以上。只要做了，做错的地方一定要反复看，如果后期有时间我建议大家再看看全书，切忌没有仔细研读课本直接看复习全书的孩子们。

做过的题一定要会

对于数学，大量做题是必不可少的，但是更重的是做过的题一定要会，这就需要反复做错的题，做错题的过程很痛苦，很打击你的积极性，但是你一定要不断的提醒自己，做错题才是让自己的复习升华的王道。考生在备考时还要多做讲义例题，而不仅仅是练习题。做例题时应遵照下面的方法，也就是在看第一遍之前一定要遮住答案，自己先认真做;无论做出与否都要把自己的思路详记于空白处，尤其是做不出的，一定把自己真实的思考方式记录在案，留待日后分析，而不是对了答案就万事大吉，这样做可以迅速的找到做题的感觉。

注重解题思路与技巧培养

总之，考生在做题目时，要养成良好的做题习惯，做一个有心人，认真地将遇到的解答中好的或者陌生的解题思路以及自己的思考记录下来，平时翻看，久而久之，自己的解题能力就会有所提高。对于那些具有很强的典型性、灵活性、启发性和综合性的题，要特别注重解题思路和技巧的培养。数学试题千变万化，其知识结构却基本相同，题型也相对固定，往往存在明显的解题套路，熟练掌握后既能提高解中值定理题的针对性，又能提高中值定理解题速度和正确率。

巩固基础，熟悉自己的解题体系

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当然，一味的靠做题来提高中值定理的数学能力也是不足取的。曾有一个考生，平时的解题能力很高，但最后的考试成绩却不是很理想，谈到自己失利的原因时，他说，自己平时几乎全部靠做题来提高水平，而对知识点缺乏更高层次上的把握和运用，导致遇到陌生的题目时，得分率严重下降。所以考生不能为做题而做题，要在做题时巩固基础，提高自己对知识点更高层次上的把握和运用。要善于归纳总结，对数学习题最好能形成自己熟悉的解题体系，也就是对各种题型都能找到相应的解题思路，从而在最后的实考中面对陌生的试题时能把握主动，从而将考研数学中的中值定理这个难点拿下来。

以上是跨考数学教研室对考生暑期熟悉中值定理考点的建议，希望大家引以为鉴。

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5.考研高等数学定理证明 篇五

一、考点、热点回顾

1、《证明

（一）》知识点回顾：全等三角形的四个公理和一个推论

公理三遍对应相等的两个三角形全等。(SSS)

公理两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS)

公理两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA)

公理全等三角形的对应边、对应角相等。

推论两角及其中一角的对应边相等的两个三角形全等。(AAS)

2、课堂新知

等腰三角形性质定理：

定理等腰三角形的两个底角相等。（简单叙述：等边对等角）

等腰三角形性质定理推论：

推论等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

等腰三角形的判定定理：

定理有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简单叙述：等角对等边）

等边三角形判定定理1：

定理有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。

等边三角形判定定理2：

定理三个角都相等的三角形是等边三角形。

含有30角的直角三角形的性质定理：

定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

等边三角形性质定理：

等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60。

3、反证法

在ABC中，BC，求证：ABAC

反证法一般用于不方便直接证明的命题，从其反面予以证明不成立，从而肯定本命题整理，基本步骤为：假设命题结论不成立；从这个假设出发应用正确的推理方法；得出与定义、公理、已证定理或已知的矛盾；从而否定假设，得出肯定的结论。

4能力拓展：

（1）、利用辅助线构造等腰三角形或全等三角形解决问题

（2）、等腰三角形的性质在实际生活中的应用 

二、典型例题

ABDC

F

1F

例

1、（2010·昆明中考题）如图，点B、D、C、F在一条直线上，且BC=FD，AB=EF。

（1）请你只添加一个条件（不再加辅助线），使ABCEFD，你添加的条件是；（2）添加了条件后，证明ABCEFD。

例

2、（2011·济南模拟题）在ABC中，ABAC,点D在AC边上，且BDBCAD，则A的度数为（）。

A.30B.36C.45D.70

例

3、（2010·成都调研题）点D、E在ABC的边BC上，ABAC,ADAE,求证：BDCE。

例

4、（2011·宁波模拟题）在ABC中，ABC、ACB的角平分线相交于点O，过点O的直线









例

1MN//BC，分别交于点M、N，求证：MNBMCN。

例

5、（2011·乐山模拟题）在等边ABC中，点D、E分别在BC、AB上，且BDAE，AD与CE交于点F。

（1）求证：ADCE；（2）求DFC的度数。

例

6、（2010·北京四中测试题）D、E在线段BC上，A

BDCE，ACB120o，求证：ADE为等边三角形。

B

DE

C

例6

例

7、（2011·长春模拟题）已知如图，ABC是等边三角形，且1=2=3，求证：DEF是等边三角形。

D

A

C

E

B

例

8、（2010·华师一附中测试题）在ABC中，例7

F

ABA,CBAC12o，0是BCD的中点，DEAB于点E，求证：EB3EA

例

9、（2010·哈尔滨联考题）用反证法证明等腰三角形的底角都是锐角。

例

10、(2010·天津调研题)如图，D为等边ABC内一点，且

C

DBDA,BPAB,DBPDBC.求BPD的度数。

PD

B

例7

A

三、课后练习

1、D在AB上，点E在AC上，ABCACB,那么补充下列一个条件后，仍无法判定

ABEACD的是（）

A.ADAEB.AEBADCC.BECDD.ABAC

2、如图，ABAE,ABCAED,BCED,点F是CD的中点。（1）、求证：AFCD；

（2）、在连接BE后，还能得出什么结论？（至少写出三个）

3、如图，已知点C是线段AB上一点，分别以AC、CB为一边在AB的同侧作等边ACD和等边CBE，AE交CD于M，BD交CE于

B

E

C

FD

DA

C

EN

B

N。求证：MCN为等边三角形。

4、一艘船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东，又航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东，若小岛周围3.8海里内有暗礁，该穿一直向东航行有无触礁的危险？

5、在等腰ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合75o

60o

P

AB

C

FP

E

AHB的任意一点，连接AP并延长交BC于点E，连接BP并延长交AC于点F。（1）求证：CAECBF（2）求证：AEBF

（3）以线段AE、BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E和点F重合于点G），记ABC和ABG的面积分别为SABC和SABG，如果存在点P，能使得SABC=SABG，求A CB的取值范围。

6.考研高等数学定理证明 篇六

在数学中，一般把判断某一件事情的陈述句叫做命题。查字典数学网小编为大家准备了这篇命题定理与证明家庭作业，接下来我们一起来练习。

华师大版数学上册命题定理与证明家庭作业

1、判断下列语句是不是命题;

(1)延长线段 AB()

(2)两条直线相交，只有一交点()

(3)画线段 AB 的中点()

(4)若|x|=2，则 x=2()

(5)角平分线是一条射线()

2、选择题;(1)下列语句不是命题的是()

A、两点之间，线段最短 B、不平行的两条直线有一个交点 C、x 与 y 的和等于 0 吗? D、对顶角不相等。

(2)下列命题中真命题是()

A、两个锐角之和为钝角 B、两个锐角之和为锐角 C、钝角大于它的补角 D、锐角小于它的余角

(3)命题：①对顶角相等;②垂直于同一条直线的两直线平行;③相等的角是对顶角;④同位角相等。

其中假命题有()A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个

3、分别指出下列各命题的题设和结论。

(1)如果 a∥b，b∥c，那么 a∥c

(2)同旁内角互补，两直线平行。

4、分别把下列命题写成“如果……，那么……”的形式。

(1)两点确定一条直线;

(2)等角的补角相等;

(3)内错角相等。

5、已知：如图 AB⊥BC，BC⊥CD 且∠1=∠2，求证：BE∥CF

6、已知：如图，AC⊥BC，垂足为 C，∠BCD 是∠B 的余角。求证：∠ACD=∠B。

7、已知，如图，BCE、AFE 是直线，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4。求证：AD∥BE。

8、已知，如图，AB∥CD，∠EAB+∠FDC=180°。求证：AE∥FD。

9、已知：如图，DC∥AB，∠1+∠A=90°。求证：AD⊥DB。

10、如图，已知 AC∥DE，∠1=∠2。求证：AB∥CD。

11、已知，如图，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D。求证：BE⊥DE。

12、求证：两条平行直线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行。

【练习答案】

1、(1)不是(2)是(3)不是(4)是(5)是

2、(1)C(2)C(3)B

3、(1)题设：a∥b，b∥c 结论：a∥c(2)题设：两条直线被第三条直线所截的同旁内角互补。结论：这两条直线平行。

4、(1)如果有两个定点，那么过这两点有且只有一条直线(2)如果两个角分别是两个等角的补角，那么这两个角相等。(3)如果两个角是内错角，那么这两个角相等。

5、∠ABC=∠BCD，垂直定义，∠EBC=∠BCF，内错角相等，两直线平行。

6、垂直定义;余角定义，同角的余角相等。

7、∠BAE 两直线平行同位角相等

∠BAE(等量代换)等式性质

∠BAE，∠CAD，∠CAD(等量代换)

内错角相等，两直线平行。

8、证明：∵AB∥CD

∴∠AGD+∠FDC=180°(两直线平行，同旁内角互补)

∵∠EAB+∠FDC=180°(已知)

∴∠AGD=∠EAB(同角的补角相等)

∴AE∥FD(内错角相等，两直线平行)

9、证明：∵DC∥AB(已知)

∴∠A+∠ADC=180°(两直线平行，同旁内角互补)

即∠A+∠ADB+∠1=180°

∵∠1+∠A=90°(已知)∴∠ADB=90°(等式性质)

∴AD⊥DB(垂直定义)

10、证明：∵AC∥DE(已知)

∴∠2=∠ACD(两直线平行，内错角相等)

∵∠1=∠2(已知)

∴∠1=∠ACD(等量代换)

∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)

11、证明：作 EF∥AB

∵AB∥CD

∴∠B=∠3(两直线平行，内错角相等)

∵∠1=∠B(已知)

∴∠1=∠3(等量代换)

∵AB∥EF，AB∥(已作，已知)

∴EF∥CD(平行于同一直线的两直线平行)

∴∠4=∠D(两直线平行，内错角相等)

∵∠2=∠D(已知)

∴∠2=∠4(等量代换)

∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°(平角定义)

∴∠3+∠4=90°(等量代换、等式性质)即∠BED=90°

∴BE⊥ED(垂直定义)

12、已知：AB∥CD，EG、FR 分别是∠BEF、∠EFC 的平分线。求证：EG∥FR。

证明：∵AB∥CD(已知)

∴∠BEF=∠EFC(两直线平行，内错角相等)

∵EG、FR 分别是∠BEF、∠EFC 的平分线(已知)

∴2∠1=∠BEF，2∠2=∠EFC(角平分线定义)

∴2∠1=2∠2(等量代换)

∴∠1=∠2(等式性质)

∴EG∥FR(内错角相等，两直线平行)

7.考研高等数学定理证明 篇七

数学及其内在的思想方式影响着科学技术的发展与创新, 影响着人类的思维方式与生活方式, 自然对理、工、农、医科学生的学习和创造性思维方式的形成也有重要作用。然而, 由于理、工、农、医科学科自身的特点, 在理、工、农、医科高等数学的教育教学过程中多重数学定理、公式的套用, 忽视数学家发现问题和解决问题的艰辛过程, 忽视利用数学思维方式这一利器去提升工科学生发明和创新能力。鉴于此, 本文基于研究性学习方法的数学教学模式, 仅以《微分中值定理》为教学案例, 立足于微分中值定理的数学历史文化背景的演变, 剖析了使用构造性方法证明微分中值定理的理由, 阐述了它们之间的本质联系与几何意义的共同点, 以及它们的推广形式与广泛的应用性, 旨在提高工科学生的数学修养与应用数学思想方法的能力, 促进工科高等数学教育教学方法的改革与创新。

2 研究性学习方法的理解

《辞海》释研究之义为: (1) 钻研探究; (2) 商讨, 考虑。而《现代汉语词典》则将研究释之为: (1) 探求事物的真相、性质、规律等; (2) 考虑或商讨 (意见、问题) 。由此可见:研究是指多层次的学术形态与教育形态的活动与观察, 发现问题, 并通过已有的知识与信息发现新结论、寻求假设、进行试验, 依据自己的实验结论予以评估, 用已掌握的工具或方法进行分析与解释数据, 给出问题解决的方式。另外, 批判性思维与逻辑思考也是不可或缺的。亦即在教学过程中发现问题、确定问题、形成假设、收集信息、解决问题等步骤, 是一种寓主动性、深层次思考于一体的教学活动方式。学习方法则是指学生在完成学习任务过程中的基本行为与认知趋向。

这样, 就不难理解研究性学习方法是指学生在问题情境中, 通过自己发现问题、探究问题、诠释问题获得结论的学习行为与认知趋向。

3 微分中值定理的研究性教学过程与分析

3.1 微分中值定理的数学历史文化背景

变量数学大革命中的微积分, 是高等数学的最主要分支之一。它不仅在解决力学的变速问题与曲线的切线问题中起到重要作用, 而且在解决现代科学技术实际问题中具有广泛的应用价值, 而微分中值定理又是最基本且最重要的微积分理论的组成部分。

微分中值定理是罗尔 (Rolle, 1652~1719) 中值定理、拉格朗日 (Largrange, 1736~1813) 中值定理和柯西 (Cauchy, 1789~1857) 微分中值定理的统称。事实上, 微分中值定理的完美呈现历经一个艰辛的发现过程, 是众多数学家共同研究的智慧结晶。

在公元前古希腊时代, 数学家阿基米德 (Archimedes, 公元前287~前212) 在几何研究中巧妙地利用了“过抛物线弓形的顶点的切线平行于抛物线弓形的底”这一结论, 求出了抛物线弓形的面积。后继叙述中, 我们将会体悟到这正是拉格朗日中值定理的特殊情形。而意大利数学家卡瓦列里 (Cavalieri, 1589~1674) 于1635年在其论著《用新方法促进的连续不可分量几何学》中, 给出了处理平面和立体图形切线的有趣引理。该引理叙述了同一个事实:曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦, 这个被人们称之为“卡瓦列里定理”, 正是最初基于几何观点的微分中值定理。

自微积分创立之初, 数学家们就开始了对微分中值定理的不断深入探究。法国著名数学家费马 (Fermat, 1601~1665) 于1637年在《求最大值和最小值的方法》一文中陈述了费马定理, 也即教科书中通常被称为微分中值定理的第一定理。法国的另一数学家罗尔1691年在《方程的解法》一文中, 以多项式形式表述了罗尔定理。而法国另一著名数学家拉格朗日于1797年在《解析函数》一书中, 叙述并最初证明了拉格朗日定理。最终由法国著名数学家、数学分析严格化运动的推动者柯西分别于1821年、1823年、1829年分别在《分析教程》、《无穷小计算教程概论》、《微分计算教程》三部代表性著作中, 以严格化为目标, 对微积分理论体系进行了重构, 促使微分中值定理在明确微积分基本概念 (变量、函数、极限、无穷小量、连续函数、导数与微分、积分) 的基础上, 得到严格的表述与证明, 如拉格朗日中值定理的严格证明。并在《微分计算教程》一书中, 推广了拉格朗日中值定理, 即我们现在所称颂的柯西微分中值定理, 从而使微分中值定理的理论体系得以完善。这是数学课堂教学趣味性引入的基本素材之一。

3.2 微分中值定理的案例分析与教学方法的实现

(1) 问题的呈现。在了解微分中值定理的数学历史文化背景的基础上, 理解函数f (x) 在点x0取得的极大值或极小值, 并注意其与最大值或最小值的区别。同时呈现一组有趣的问题, 包含费马定理的趣味性证明等。

(2) 罗尔定理的梳理。1) 诱导学生厘清罗尔定理的条件与结论;2) 梳理出证明的思路与过程;3) 通过举反例, 理解并掌握罗尔定理的条件是充分的还是必要的。

(3) 拉格朗日中值定理的证明方法探究。方法1是传统的把所作辅助函数化归为罗尔定理;方法2是只要证明存在闭区间[a0, b0], 并且即可。

(4) 柯西微分中值定理的探究。思路1是由待证结论形成构造函数法, 使之能够运用罗尔定理的方法加以证明;思路2是循用拉格朗日定理的方法2完成;思路3是构造辅助函数的行列的形式, 即。

(5) 全方位梳理三个微分中值定理的联系。在教学过程中, 促使学生掌握, 在柯西中值定理中令g (x) =x, 即得到拉格朗日中值定理, 而在该定理中添加条件f (a) =f (b) , 即得到罗尔中值定理, 从而明确特殊性与一般性的辩证关系。

(6) 三个定理几何意义的共性。满足定理条件的函数曲线上至少有一点的切线平行于曲线在区间上两端点的连线。

(7) 推广。从 (4) 中很容易将其推广到多元函数柯西微分中值定理, 自然有拉格朗日中值定理与罗尔中值定理的推广形式。

(8) 探究的深刻性。编排一组有趣的探究性问题。

(9) 提出新问题。在后续学习中, 能否将微分中值定理移植到积分学中呢?

(10) 教学反思。过程为:具体的数学课堂经验→观察分析教学过程中的成功与失误→抽象的重新概括并提升教育教学方法→再次积极地验证总结的数学教育教学方法。这样, 才能实现教师自我教学前反思、教学中反思、教学后反思, 提升教学素养。

3.3 高等数学研究性教学模式

通过上文所述的微分中值定理的教学过程, 我们可深刻认识到高等数学教育教学需要的基本教学模式, 即: (1) 数学问题导入的趣味性; (2) 数学知识生成的自然性; (3) 数学思考探究的独立性; (4) 数学思想方法的理解性; (5) 数学讨论空间的自由性; (6) 数学学习过程的自明性; (6) 数学质疑反思的批判性; (7) 数学深度探索的广阔性; (8) 数学优美结论的欣赏性。当然, 数学教育教学过程要有模式但绝不能唯模式至上, 理应走向无模式的最高自由教育教学境界。

4 结语

通过分析微分中值定理的研究性学习方法的教学, 我们可深刻感悟到, 研究性数学课堂教学模式理应体现在:数学问题趣味性的提出, 引导学生梳理有价值的问题, 让学生探究感兴趣的内容, 诱发学生交流思维方式, 进行深入思考和理性反思质疑, 这是提高数学教育教学质量的关键所在。同时, 我们也深感数学教育教学质量的提高, 并非一朝一夕, 而是任重道远, 需要我们数学教育工作者不懈地努力, 不断提高自身数学修养。

参考文献

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