信号处理中傅里叶变换简介

信号处理中傅里叶变换简介（共5篇）

1.信号处理中傅里叶变换简介 篇一

选带傅里叶变换的原理大家可以看书，大致的步骤为

移频 （将选带的中心频率移动到零频）

数字低通滤波器 （防止频率混叠）

重新采样 （将采样的数据再次间隔采样，间隔的数据取决于分析的带宽，就是放大倍数）

复FFT （由于经过了移频，所以数据不是实数了）

频率调整 （将负半轴的频率成分移到正半轴）

程序如下：

function [f, y] = zfft(x, fi, fa, fs)% x为采集的数据% fi为分析的起始频率% fa为分析的截止频率% fs为采集数据的采样频率% f为输出的频率序列% y为输出的幅值序列(实数）f0 = (fi + fa) / 2; %中心频率N = length(x); %数据长度r = 0:N-1;b = 2*pi*f0.*r ./ fs; x1 = x .* exp(-1j .* b); %移频bw = fa - fi; B = fir1(32, bw / fs); %滤波 截止频率为0.5bwx2 = filter(B, 1, x1); c = x2(1:floor(fs/bw):N); %重新采样N1 = length(c);f = linspace(fi, fa, N1);y = abs(fft(c)) ./ N1 * 2; y = circshift(y, [0, floor(N1/2)]);%将负半轴的幅值移过来end

应用实例：

fs = 2048;T = 100;t = 0:1/fs:T;x = 30 * cos(2*pi*110.*t) + 30 * cos(2*pi*111.45.*t) + 25*cos(2*pi*112.3*t) + 48*cos(2*pi*113.8.*t)+50*cos(2*pi*114.5.*t);[f, y] = zfft(x, 109, 115, fs);plot(f, y);

效果：

2.信号处理中傅里叶变换简介 篇二

关键词：时频分析,分数阶傅里叶变换,离散分数阶傅里叶变换,LFM信号

Fourier变换在连续时间和离散时间信号处理中占有重要的地位[1],是分析和处理平稳信号的有力工具。Fourier变换将信号在整体上分解为具有不同频率的正弦分量,得到信号的整体频谱,而对处理时变的非平稳信号则无能为力[2]。

FRFT是近年来发展起来的一种新的时频分析工具,它是Fourier变换的广义形式,具有很多传统Fourier变换所不具备的性质,已经广泛应用于光信号处理、信号分析、微分方程求解、模式识别等领域[3]。近年来基于FRFT的LFM信号的估计和检测等方面研究得到了迅猛的发展。

1 分数阶傅里叶变换(FRFT)

1.1 Radon-Wigner变换[3,4]

Radon-Wigner变换是一种直线积分的投影变换,是对信号的Wigner-Ville分布的时频平面做直线积分投影的Radon变换。如图1所示,将时频平面(t,ω)坐标旋转α角得到新的直角坐标(u,v),以不同的u值平行于v轴积分,所得结果即为Radon变换。(t,ω)和(u,v)两平面坐标之间的关系如式(1)。

$\{\begin{array}{c}t=u\text{c}\text{o}\text{s}\alpha -v\text{s}\text{i}\text{n}\alpha \hfill \\ \omega =u\text{s}\text{i}\text{n}\alpha +v\text{c}\text{o}\text{s}\alpha \hfill \end{array}(1)$

设平面(t,ω)上有一个任意的二维函数f(t,ω),其Radon变换可以表示为

Pα(u)=∫PQ线f(t,ω)dv (2)

即

Pα(u)=∫PQ线f(ucos α-vsin α,usin α+vcosα)dv (3)

1.2 FRFT的定义

Fourier变换是将时域和频域结合起来,从整体上展示信号的频率成分,适合于分析确定性信号和平稳信号。对于非平稳信号的时频分析,它将一维的时域信号映射为二维的时频平面,全面反映信号随时间变化的频率分布特征。Fourier变换作为一种线性算子,若将其看作从时间轴逆时针旋转π/2到频率轴,则FRFT算子就是可旋转任意角度α的算子。因此结合Fourier变换和Radon-Wigner变换可以定义信号的FRFT。

信号f(u)的p阶FRFT定义为[3,5,6]

fp(u)=∫${}_{-\infty }^{+\infty }$Kp(u,t)f(t)dt (4)

式(4)中FRFT的变换核Kp(u,t)为

$\begin{array}{l}{\rm K}{}_p(u,t)=\\ \{\begin{array}{l}A{}_{\alpha }\exp [j\pi (u{}^2\cot \alpha -2ut\text{c}\text{s}\text{c}\alpha +t{}^2\cot \alpha )],\alpha \ne n\pi \\ \delta (u-t),\alpha =2n\pi \\ \delta (u+t),\alpha =(2n\pm 1)\pi \end{array}(5)\end{array}$

式(5)中

$A{}_{\alpha }=\frac{\exp [-j\pi \mathrm{sgn}(\sin \alpha )/4+j\alpha /2]}{\left|\sin \alpha \right|{}^{1/2}}$,$\alpha =\frac{p\pi }{2}(6)$

当分数阶次p=1时,有$\alpha =\frac{\pi }{2}$,Aα=1,由式(4)得

f1(u)=∫${}_{-\infty }^{+\infty }$e-j2πutf(t)dt (7)

可见f1(u)就是f(t)的普通Fourier变换。同样,f-1(u)是f(u)的普通Fourier逆变换。由此,可认为分数阶Fourier变换是一种广义的Fourier变换。因为核函数中α=π/2,α1=p1π/2仅出现在三角函数的参数位置上,所以,以p为参数的定义是以4为周期的,因此只需考察区间p∈(-2,2]即可。当p=0时,f0(u)=f(u),当p=±2,f±2(u)=f(-u)。

1.3 DFRFT的分解型算法

在信号处理中,必须采用离散形式的分数阶Fourier变换(DFRFT),DFRFT也可以采用数字方法进行计算,常用的算法是H.M.Ozaktas提出的分解型快速算法[8,9]。所谓分解型方法是根据FRFT的表达式,将FRFT分解为信号的卷积形式,从而利用FFT来计算FRFT。该算法计算速度与FFT计算速度相当,是一种计算速度很快的FRFT数值计算方法。分解型FRFT的变换矩阵为:

Fp=DKpJ (8)

式(8)中:D和J分别是二倍的内差和抽取运算的矩阵,Kp为离散FRFT的变换核矩阵,即:

$\begin{array}{l}{\rm K}{}_p=\frac{A{}_{\alpha }}{2\Delta x}\exp (\frac{\text{j}\pi (\cot \alpha )m{}^2}{(2\Delta x){}^2}-\frac{\text{j}2\pi (\csc \alpha )mn}{(2\Delta x){}^2}+\\ \frac{\text{j}2\pi (\cot \alpha )n{}^2}{(2\Delta x){}^2})\left|m\right|\left|n\right|\le {\rm N}(9)\end{array}$

采用量纲归一化后的DFRFT定义为:

$\begin{array}{l}X{}_p(u)=\sqrt{\frac{1-j\text{c}\text{o}\text{t}\alpha }{2\pi }}\exp [j\pi \cot (\alpha )u{}^2]{\displaystyle \int }{}_{-\infty }^{+\infty }x(t)\times \\ \exp [\text{j}\pi \cot \alpha t{}^2]\exp [-\text{j}2\pi \csc (\alpha )tu]\text{d}t(10)\end{array}$

对式(9)的分数阶域的u进行离散化得:

$X{}_p\left(\frac{m}{2\Delta x}\right)=\frac{A{}_{\alpha }}{2\Delta x}{\displaystyle \sum _{n=-{\rm N}}^{{\rm N}}\exp }[\frac{\text{j}\pi (\cot \alpha )m{}^2}{(2\Delta x){}^2}-$

$\frac{\text{j}2\pi (\csc \alpha )mn}{(2\Delta x){}^2}+\frac{j\pi (\cot \alpha )n{}^2}{(2\Delta x){}^2}]x\left(\frac{n}{2\Delta x}\right)=$

$\begin{array}{l}\frac{A{}_{\alpha }}{2\Delta x}\exp \left[\frac{-\text{j}\pi \tan \frac{\alpha }{2}m{}^2}{(2\Delta x){}^2}\right]\times \\ {\displaystyle \sum _{n=-{\rm N}}^{{\rm N}}\exp }\left[\frac{\text{j}\pi (\csc \alpha )(m-n){}^2}{(2\Delta x){}^2}\right]\times \\ \exp \left[\frac{-\text{j}\pi \tan \frac{\alpha }{2}n{}^2}{(2\Delta x){}^2}\right]x\left(\frac{n}{2\Delta x}\right)(11)\end{array}$

式(11) 中,$A{}_{\alpha }=\exp \left[\text{j}(p-1)\frac{\pi }{4}\right]/\sqrt{\left|\sin \alpha \right|}$,$0.5\le p\le 1.5,\alpha =\frac{p\pi }{2},{\rm N}=(\Delta x){}^2$,

求和运算可以在看作是两个序列

$\exp \left[\frac{\text{j}\pi (\csc \alpha )n{}^2}{(2\Delta x){}^2}\right]$与$\exp \left[\frac{-\text{j}\pi \tan \frac{\alpha }{2}n{}^2}{(2\Delta x){}^2}\right]x\left(\frac{n}{2\Delta x}\right)$的卷积和运算,可以用FFT计算两序列的线性卷积和。具体计算时,先对信号样本进行2倍插值,经过式(11)的计算后,再对计算结果进行2倍抽取得到分数阶Fourier变换Xp(u)的N个样本值。

2 基于 FRFT的LFM信号检测

LFM(或chirp)信号广泛应用于雷达和声纳等系统中,LFM信号的检测是一个重要的研究课题[8,9]。FRFT是一种一维的线性变换,可借助FFT实现。

2.1 基于FRFT的LFM信号检测原理

FRFT逆变换为

x(t)=∫${}_{-\infty }^{+\infty }$Xp(u)K-p(t,u)du (12)

可知,信号x(t)的FRFT Kp(u)可看作x(t)在以逆变换核K-p(t,u)为基的函数空间上的展开,而该核是u域上的一组正交的chirp基。因此一个LFM信号在适当的FRFT域中将表现为一个冲击函数,即FRFT的某个阶次的FRFT域对给定的LFM信号具有很好的能量聚集特性。聚集特性是FRFT对LFM信号检测的理论基础。

一方面,信号的Wigner分布在FRFT域的直线积分投影是该信号在此分数阶域上的FRFT模的平方。若在与斜直线相垂直的分数阶域上求信号的FRFT,则在该域的某点将出现明显的峰值。而噪声的能量均匀地分布在整个时频平面内,在任何的FRFT域上均不会出现能量聚集。

另一方面,LFM信号在不同的FRFT域上呈现出不同的能量聚集性,检测含有未知参数的LFM信号是以旋转α角进行扫描,观测信号的FRFT,形成信号能量在参数(α,u)平面上的二维分布,在此平面上进行峰值点的二维搜索以检测LFM信号并估计其参数。

2.2 实验结果[10]

在FRFT域,在各自的调频斜率处相应地呈现最大值,通过简单的阈值化,就可检测LFM信号是否存在,并根据呈现最大值时所对应的FRFT的阶数估计调频斜率参数[3,9]。图1—图3分别表示无噪声LFM信号当分数阶p为0,0.55,1时DFRFT结果。图4、图5分别表示加入高斯噪声的LFM信号当分数阶p为0,和1时DFRFT结果。 每个图的四部分分别为原信号、信号实部、虚部及模值。

图1说明给信号为实信号。图2可以看出当分数阶p=0.55时,信号在FRFT域表现冲击特征不明显,由图3看出当p=1时信号在FRFT域表现冲击特征很明显,即FRFT的阶数与LFM信号的调频斜率一致时,信号呈现尖峰,由此可以有效的检测信号。图4、图5为原信号加入高斯噪声后的结果,由此可以看出噪声对FRFT没有影响,这对噪声信号的检测与识别非常关键。

3 结语

FRFT可以看作是信号在时频平面内绕原点旋转任意角度后所构成的FRFT域上的表示,将FRFT分解为信号卷积形式利用FFT计算,具有计算速度快的优点。LFM信号具有非平稳性,采用处理平稳信号的方法往往无法得到满意的结果。由于LFM信号在FRFT 域呈现的冲激特性,当FRFT的阶数与LFM信号的调频斜率一致时,信号呈现尖峰,以此实现LFM信号的检测。实验结果表明,基于FRFT的信号检测方法对有无噪声的LFM信号能得到满意的结果。

参考文献

[1]胡广书.数字信号处理.北京:清华大学出版社,2003

[2]张贤达,保铮.非平稳信号分析与处理.北京,国防工业出版社,1998

[3]陶然,齐进,王越.分数阶Fourier变换的原理和应用.北京:清华大学出版社,2004

[4]楼顺天.基于Matlab的系统分析与设计—信号处理.西安:西安电子科技大学出版社,1998

[5]孙晓兵,保铮.分数阶Fourier变换及其应用.电子学报,1996;24(12):60—65

[6] Wood J C,Barry D T.Linear signal synthesis using the Radon-Wignertransform.IEEE Trans Signal Processing,1994;42(8):2105—2111

[7] Djuric P M,Kay S M.Parameter estimation of chirp signals.IEEETrans.ASSP,1990:38(12):2118—2126

[8] Ozaktas HM,Arikan O,Kutay M A.Digital Computation of the Frac-tional Fourier Transform.IEEE TRANS ON SP,1996;44(9):2141—2150

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3.信号处理中傅里叶变换简介 篇三

光学分数傅里叶逆变换的单透镜模式

用波前相因子判断法 ,将球面波照明物体的自由空间菲涅耳衍射光场分布,与分数傅里叶逆变换的标准频谱分布进行位相比较,提供了球面波照明条件下光学分数傅里叶逆变换的.单透镜模式,给出了其光学实现基本单元参量选择的判定法则.计算机模拟了实验证明了结论的可靠与可行.

作 者：杨虎 杨培林 作者单位：山西师范大学物理系,山西,临汾,041004刊 名：光电子・激光 ISTIC EI PKU英文刊名：JOURNAL OF OPTOELECTRONICS・LASER年，卷(期)：13(6)分类号：O438.2关键词：分数级 傅里叶 光学变换

4.信号处理中傅里叶变换简介 篇四

基于傅里叶变换红外光谱的土传真菌分类研究

摘要：应用FTIR-ATR光谱技术与多元统计分析相结合的方法对镰刀菌、立枯丝核菌、核盘菌、瓜果腐霉菌和辣椒疫霉菌等重要的土传致病真菌进行鉴别.对测得的`FTIR光谱进行了归一化和二阶求导处理,选择了适合于真菌分类识别的14个光谱特征波段.在此基础上,采用典型判别分析和系统聚类分析对不同菌株进行了识别.结果表明,不同菌种间识别准确率达到100%,而镰刀菌种内不同菌株间识别准确率为95.56%,说明傅里叶变换红外光谱技术在植物病原真菌分类识别方面具有较大的应用潜能. 作者： 柴阿丽  李宝聚  石延霞  谢学文 Author： CHAI A-li  LI Bao-ju  SHI Yan-xia  XIE Xue-wen 作者单位： 中国农业科学院蔬菜花卉研究所,北京,100081 期 刊： 光谱学与光谱分析   ISTICEISCIPKU Journal： Spectroscopy and Spectral Analysis 年，卷(期)： , 31(8) 分类号： S642.2 关键词： 傅里叶变换红外光谱    土传真菌    判别分析    聚类分析    鉴别    机标分类号： O56 S47 机标关键词： 傅里叶变换红外光谱    土传真菌    分类研究    Infrared Spectroscopy    识别准确率    红外光谱技术    分类识别    植物病原真菌    系统聚类分析    镰刀菌    多元统计分析    立枯丝核菌    辣椒疫霉菌    瓜果腐霉菌    致病真菌    特征波段    判别分析    菌株    菌种    FTIR光谱 基金项目： 国家(863计划)项目，现代农业产业体系建设专项项目，农业部园艺作物遗传改良重点开放实验室项目资助 基于傅里叶变换红外光谱的土传真菌分类研究[期刊论文]  光谱学与光谱分析 --2011, 31(8)柴阿丽  李宝聚  石延霞  谢学文应用FTIR-ATR光谱技术与多元统计分析相结合的方法对镰刀菌、立枯丝核菌、核盘菌、瓜果腐霉菌和辣椒疫霉菌等重要的土传致病真菌进行鉴别.对测得的FTIR光谱进行了归一化和二阶求导处理,选择了适合于真菌分类识别的14个光谱...

5.信号处理中傅里叶变换简介 篇五

1 基于分数阶傅里叶变换的LFM信号检测与参数估计

信号x(t)的FRFT定义为[1]:

Xp(u)=Fp[x(t)]=-∞乙+∞x(t)Kp(t,u)dt(1式中FRFT的变换核Kp(t,u)为:

式中FRFT的变换核Kp(t,u)为:

其中,n为整数,α称为旋转角度,且α=pπ/2,p为FRFT的阶数,Fp[·]为FRFT的算子符号。

信号x(t)的FRFT是线性变换,它与WVD的关系可解释为时频平面的旋转算子,这一特性决定了FRFT特别适合于处理LFM类信号[7]。如图1所示,一个有限长LFM信号的Wigner分布在时频平面呈现为斜直线的背鳍形分布,因此,若在与该斜直线相垂直的分数阶域上求信号的分数阶Fourier变换,则在该域的某点将出现明显的峰值。而噪声的能量均匀地分布在整个时频平面内,在任何的分数阶Fourier域上均不会出现能量聚集。利用这一特性,可实现LFM信号的检测和参数估计。

设含有噪声的单分量LFM信号表示为:

其中,a0、φ、f0和μ0分别为信号幅度、初始相位、初始频率和调频斜率,w(t)为加性高斯白噪声(方差为σ2)。则上述的chirp信号检测和估计过程可描述为:

{α赞0,u赞0}=arg mα,a uxXα(u)2(4)

2 延时相关解调技术与FRFT的快速算法

2.1 LFM信号延时相关解调

设含有噪声的单分量LFM信号x(t)为:

其中A、f0、μ0分别是LFM信号的幅度、初始频率、调频斜率,w(t)是零均值平稳高斯白噪声,方差为σ2。参考文献[3]证明了LFM信号经延时相关解调后变成一个频率为f0′=μ0τ的正弦信号和均值为零的噪声信号,且方差为2A2σ2+σ4。

所以可以通过FFT估计该正弦信号频率f0′,得到LFM信号参数μ0的估计值:

参考文献[2]论证了τ的最佳选择在τ=0.4T时,且调频斜率的搜索范围为[3]:

其中,N是采样点数,fs是采样率。

2.2 多项式相位信号延时相关解调

本文讨论非线性调频信号在雷达中的应用,只考虑三阶PPS信号的参数估计,信号的模型为:

其中,A为信号幅值,w(t)是零均值平稳高斯白噪声,方差为σ2。一次延时相关解调可以使相位阶数下降一阶,现考虑二次延时相关解调。

参考文献[5]证明了PPS信号经二次延时相关解调后变成一个频率为f0=6τ2a3/2π的正弦信号淹没在均值为0、方差为6A6σ2+10A4σ4+4A2σ6+σ8的噪声中,即信号x(t经过二次延时相关解调后,接收信号延时相关函数的信噪比RSNRo与原始信号信噪比(RSNRi)的关系为:

通过FFT估计该正弦信号频率f0,就可以得到多项式相位信号参数a3的估计值:

参考文献[5]从正弦信号频率估计的角度,说明了τ取2T/7时,的误差最小。

基于以上分析和PPS信号的性质,PPS(三阶)信号估计可按以下步骤进行:

(1)信号x(t)通过二次延时相关解调,由式(11)估计出最高阶项系数;

(2)构造参考函数作FRFT,由式(5)可进行相关参数的估计。

3 仿真实验与结果分析

实验一:设信号的数学模型如下式表示:

采样点数为1 024,采样频率fs=1 000 Hz,初始频率f0=345 Hz,调频斜率k=100,w(t)为高斯白噪声。当信噪比为-2 d B时,若取分数阶的步长Vp=0.000 1进行FRFT,得到三维图如图2所示,进行能量的最佳搜索。由式(5可估计出信号为:

用延时相关解调方法得到正弦信号,然后对其作离散傅氏变换,如图3所示,由幅度谱可得到调频斜率k=90.609 4代入相关参数到式(8),得到调频斜率k∈(91.980 0,107.238 8),从而得到分数阶p的搜索范围p∈(1.059 7,1.069 6)。

由此可以在相应区间进行FRFT,得到其对应模值,如图4所示,其横轴为分数阶p,纵轴为相应的p对应的模值,可以从图中得到p=1.065 0时,模值最大,即此时有最佳能量聚集特性。图5为最佳能量聚集时的分数阶模值图,从图中明显看出能量的聚集性。此时,估计出信号为:

通过比较式(13)和式(14)可以看出两者结果一样,原因是两者旋转角度采用相同的步长,而采用相关解调后分数阶区间缩小到(1.059 7,1.069 6),在相同精度的条件下其计算量与二维搜索法计算量相比是其1/400以下。由于没有在时域附近做FRFT,所以不会出现伪峰干扰。

图6为LFM信号参数的误差分析图,从图中可以看出在信噪比大于-6 d B情况下,可以较为准确地估计出信号参数,由于最终信号各参数的估计值都是基于FRFT检测的,所以此种方法并不影响误差。

实验二:设信号的数学模型如下式所示:

其中采样频率fs=1024,采样点N=1024,a1=20,a2=100,a3=50,t=2T/7。

x(t)信号相关解调后,输入SNR范围为-4~6 dB,分别运行200次Monte Carlo实验,图7是采用此方法得到的均方误差随信噪比变化的特性图,从图中可以看出,当信号信噪比大于0 dB时,算法的性能比较稳定。

对于(12)式的信号模型,设SNR=6 d B,由图8正弦信号的幅度谱和式(11)可得到a3=50.265 5,再按多项式相位信号估计步骤进行估计,进行FRFT,得到三维图如图9所示。根据公式(5)估计出信号为:

目前对FRFT的计算简便方法的研究已经比较深入,通过分解法可使分数阶计算的量逼近于(Nlog N)[1],由于计算量非常之大,本文提出了先延时相关解调,粗略估计LFM信号调频系数的范围,再进行小范围数值的分数阶变换,大大减小了计算量,变二维谱峰搜索为一维搜索,并且在信噪比大于-6 dB时,取得了较好的效果。同时,引入分数阶傅里叶变换与延时相关解调相结合,对多项式(三项式)相位信号进行检测,在信噪比大于0 dB时取得了较好的效果。

参考文献

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