初二数学讲义4证明

初二数学讲义4证明（共6篇）

1.初二数学讲义4证明 篇一

第七章：证明

（一）◆7.1为什么要证明

1．推理证明的必要性

给出两条线段a，b，判断它们是否相等，我们就需要去测量，因为有误差，所以测量的结果可能相等，也可能不相等，这说明测量所得出的结论也不一定正确．

实验、观察、操作是人们认识事物的重要手段，但仅凭实验、观察、操作得到的结论有时是不全面的，甚至是错误的，所以正确地认识事物，不能单凭直觉，必须一步一步、有根有据地进行推理．

谈重点

证明的必要性

(1)直觉有时会产生错误，不是永远可信的；(2)图形的性质并不都是通过测量得出的；

(3)对少数具体例子的观察、测量或计算得出的结论，并不能保证一般情况下都成立；(4)只有通过推理的方法研究问题，才能揭示问题的本质． 【例1】 观察下图，左图中间的圆圈大还是右图中间的圆圈大？

2．检验数学结论常用的方法

(1)检验数学结论常用的方法

主要有：实验验证、举出反例、推理证明．实验验证是最基本的方法，它直接反映由具体到抽象、由特殊到一般的逻辑思维方法；举出反例常用于说明该数学结论不一定成立；推理证明是最可靠、最科学的方法，是我们要掌握的重点．实际上每一个正确的结论都需要我们进行严格的推理证明才能得出．

检验数学结论的具体过程：观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理正确结论．

(2)应用

检验数学结论常用的三种方法的应用：

实验验证法常用于检验一些比较直观、简单的结论；举出反例法多用于验证某结论是不正确的；推理证明主要用来进行严格的推理论证，既可以验证某结论是正确的，也可以验证某结论是不正确的．

【例2－1】 我们知道：2×2＝4,2＋2＝4.试问：对于任意数a与b，是否一定有结论a×b＝a＋b?

【例2－2】 如图，在ABCD中，DF⊥AC于点F，BE⊥AC于点E，试问DF与BE的位置关系和数量关系如何？你能肯定吗？请说明理由．

3．推理的应用

推理的应用在数学中很多，下面给出两种较常见的应用：(1)规律探究

给出形式上相同的一些代数式或几何图形，观察、猜想其中蕴含的规律，并验证或推理说明．这是规律归纳类题目的特点．

解题思路：

解决此类题目时，要用从特殊到一般的思想找到思路，而且必须善于猜想．代数规律题一般用式子表示其规律，对于几何规律题有时用式子表示，有时写出文字结论．

(2)推理在日常生活中的应用

生活中我们经常需要对有关结论的真伪作出判断，如购买货物、称重是否准确、获得的某种信息是否可靠等．我们可以根据自己的知识储备或借助外力，进行适当的推理，辨别真

伪，从而作出判断．

【例3－1】 下列图案均由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成．依此规律，第5个图案中小正方形的个数为__________．

【例3－2】 有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中某个箱子内，并且：①红箱子盖上写着：“苹果在这个箱子里．”②黄箱子盖上写着：“苹果不在这个箱子里．”③蓝箱子盖上写着：“苹果不在红箱子里．”已知①②③中只有一句是真的，那么苹果在哪个箱子里？

……………………………………………………………………………… ◆7.2定义与命题

1．定义

对某些名称或术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是对名称和术语下定义．

谈重点

下定义的注意事项 ①在定义中，必须揭示出事物与其他事物的本质属性的区别．②定义的双重性：定义本身既可以当性质用，又可以当判定用．③语句必须通顺、严格、准确，一般不能用“大约”“大概”“差不多”“左右”等含糊不清的词语．要有利于人们对被定义的事物或名词与其他事物或名词区别．

【例1】 下列语句，属于定义的是（）．

A．两点之间线段最短

B．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 C．三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 D．三人行则必有我师焉

2．命题

(1)定义：判断一件事情的句子，叫做命题．(2)命题的组成结构： ①每个命题都是由条件和结论两部分组成．条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项．命题一般写成“如果……那么……”的形式．“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．

②有些命题没有写成“如果……那么……”的形式，条件和结论不明显．对于这样的命题，要经过分析才能找到条件和结论，也可以将它们改写成“如果……那么……”的形式．命题的条件部分，有时也可用“已知……”或“若……”等形式表述．命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述．

谈重点

改写命题

命题的改写不能是简单地加上“如果”“那么”，而应当使改写的命题和原来的命题内容不变，且语句通顺完整，命题的条件、结论要清楚可见．有些命题条件和结论不一定只有一个，要注意区分．

【例2】 指出下列命题的条件和结论：①平行于同一直线的两条直线互相平行；②若ab＝1，则a与b互为倒数；③同角的余角相等；④矩形的四个角都是直角．

分析：命题的条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项．命题一般写成“如果……，那么……”的形式．“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．

解：①条件：两条直线都和第三条直线平行，结论：这两条直线互相平行．

②条件：ab＝1，结论：a与b互为倒数．

③条件：两个角是同一个角的余角，结论：这两个角相等．

④条件：一个四边形是矩形，结论：这个四边形的四个角都是直角． 点技巧

分清条件和结论

“若……则……”形式的命题中“若”后面是条件，“则”后面是结论．

3．公理、定理、证明

(1)公理

公认的真命题称为公理． ①公理是不需推理论证的真命题． ②公理可以作为推理论证定理及其他命题真假的依据． 常用的几个公理： ①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． ②两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． ③两边及其夹角对应相等的两个三角形全等． ④两角及其夹边对应相等的两个三角形全等． ⑤三边对应相等的两个三角形全等． ⑥全等三角形的对应边相等、对应角相等．

其他公理：等式和不等式的有关性质，等量代换都可以看作公理．(2)定理

有些命题的正确性是通过推理的方法证实的，这样的真命题叫做定理． ①定理是经过推理论证的真命题，但真命题不一定都是定理． ②定理可以作为推理论证其他命题的依据．(3)证明

推理的过程叫证明．推理必须做到步步有据，条条有理． 【例3】 下列说法正确的是（）．

A．真命题都可以作为定理

B．公理不需要证明

C．定理不一定都要证明

D．证明只能根据定义、公理进行

4．命题及真假命题的判断

(1)命题的判断

判断一个句子是否为命题，要根据命题的定义． ①命题的特征：一是必须为一个完整的句子；二是必须对某件事情做出肯定或否定的判断，即具有明确的判断性．如果一个句子对某一件事情没有作出任何判断，那么它就不是命题．

②命题并不是数学所独有，凡是判断某一件事情的正确或错误的语句都是命题． ③命题是陈述语句，其他形式的句子，如：疑问句、感叹句、祈使句等都不是命题．如：“你爱好什么运动？”没有作出判断，这不是命题．

注意：错误的判断也是命题，不能以正确与否来判断是否为命题．(2)真假命题的判断

命题是一个判断，这个判断可能正确，也可能错误．因此可以将命题分为真命题和假命题．

①正确的命题称为真命题． ②不正确的命题称为假命题． ③真命题、假命题的判断与比较：

要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例；要说明一个命题是真命题需根据公理和定理证明．

谈重点

判断真假命题的方法 ①如果题设成立，结论也一定成立，那么这样的命题为真命题；②如果题设成立，但结论不成立，这样的命题为假命题．

【例4－1】 下列句子中是命题的有__________(填序号)．①直角三角形中的两个锐角互余．②正数都小于0.③如果∠1＋∠2＝180°，那么∠1与∠2互补．④太阳不是行星．⑤对顶角相等吗？⑥作一个角等于已知角．

【例4－2】 下列命题中，真命题是（）．

A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0

B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0 C．若a·b＝0，则a＝0，且b＝0 D．若a·b＝0，则a＝0，或b＝0

【例4－3】 已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等．其中假命题有__________(填序号)．

5．命题的组合

命题是由条件和结论组成的，当条件成立，结论也成立时，该命题即为真命题．命题的组成就是通过选择一定的条件，使结论成立，即组成真命题．

组合新的命题是考察命题的概念及有关知识的重要题型．该题型常见于对几何的考查，一般是给出几个单独的论断，根据有关知识内容结合图形重新组合写出正确的命题．

命题的条件和结论往往不是固定的，要使所组合的命题是正确的，要求必须理解掌握有关的知识内容．

点评：①命题组合时，条件可能不止一个，注意两个条件的情况．②组合命题一般是几何中的某一图形的性质或者判定．

【例5－1】 如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个论断：①AB＝AC；②AD＝AE；③∠B＝∠C；④BD＝CE.请以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题__________．(用序号的形式写出)

【例5－2】 对同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c.以其中两个论断为条件，另一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题：__________(用序号表示)．

……………………………………………………………………………… ◆7.3平行线的判定

1．平行线的判定公理

(1)平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单记为：同位角相等，两直线平行．

如图，推理符号表示为： ∵∠1＝∠2，∴AB∥CD.谈重点

同位角相等，两直线平行 ①平行线的判定公理是证明两直线平行的原始依据；②应用时，应先确定同位角及形成同位角的是哪两条直线；③本判定方法是由两同位角相等(数量关系)来确定两条直线平行(位置关系)，所以在推理过程中要先写“两角相等”，然后再写“两线平行”．

(2)平行公理的推论： ①垂直于同一条直线的两条直线平行．若a⊥b，c⊥b，则a∥c； ②平行于同一条直线的两条直线平行．若a∥b，c∥b，则a∥c.【例1】 工人师傅想知道砌好的墙壁的上下边缘AB和CD是否平行，于是找来一根笔直的木棍，如图所示将其放在墙面上，那么，他通过测量∠EGB和∠GFD的度数，就知道墙壁的上下边缘是否平行了．请问：∠EGB和∠GFD满足怎样的条件时，墙壁的上下边缘才会平行？你的依据是什么？

2．平行线的判定定理

(1)判定定理1 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 简单记为：同旁内角互补，两直线平行． 符号表示：如下图，∵∠2＋∠3＝180°，∴AB∥CD.谈重点

同旁内角互补，两直线平行 ①定理是根据公理推理得出的真命题，可直接应用；②应用时，找准哪两个角是同旁内角，使哪两条直线平行．

(2)判定定理2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单记为：内错角相等，两直线平行． 符号表示：如上图，∵∠2＝∠4，∴AB∥CD.【例2－1】 如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，这是根据________，两直线平行．

【例2－2】 如图，下列说法中，正确的是（）．

A．因为∠A＋∠D＝180°，所以AD∥BC

B．因为∠C＋∠D＝180°，所以AB∥CD C．因为∠A＋∠D＝180°，所以AB∥CD

D．因为∠A＋∠C＝180°，所以AB∥CD 3．平行线的判断方法

平行线的判定方法主要有以下六种：

(1)平行线的定义(一般很少用)．(2)同位角相等，两直线平行．(3)同旁内角互补，两直线平行．(4)内错角相等，两直线平行．

(5)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行．(6)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 析规律

如何选择判定两直线平行的方法 ①在利用平行线的公理或定理判定两条直线是否平行时，要分清同位角、内错角以及同旁内角是由哪两条直线被第三条直线所截而构成的；

②证明两条直线平行，关键是看与待证结论相关的同位角或内错角是否相等，同旁内角是否互补．

【例3】 如图，直线a，b与直线c相交，形成∠1，∠2，…，∠8共八个角，请你填上你认为适当的一个条件：__________，使a∥b.4．平行线判定的应用

(1)平行线的生活应用

数学来源于生活，同样生活中也有大量的平行线，其判定平行的方法也常在生活中遇到．如木工师傅判定所截得的木板的对边是否平行，工人师傅判定所制造的机器零件是否符合平行的要求……

对于生活中的平行线判断，关键是利用工具确定与平行有关的角是否相等，比较常用的是利用直角尺判断同位角是否相等，从而判定两直线是否平行．

(2)平行线在数学中的运用

平行线判定方法在数学中的运用主要通过角之间的关系判定两条直线平行，进一步解决

其他有关的问题．常见的条件探索题就是其应用之一．探索题是培养发散思维能力的题型，它具有开放性，所要求的答案一般不具有唯一性．解决探索性问题，不仅能提高分析问题的能力，而且能开阔视野，增加对知识的理解和掌握．

释疑点

判定平行的关键

判定两直线平行，关键是确定角的位置关系及大小关系．

【例4－1】 如图，一个零件ABCD需要AB边与CD边平行，现只有一个量角器，测得拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，这个零件合格吗？__________(填“合格”或“不合格”)．

【例4－2】 已知：如图在四边形ABCD中，∠A＝∠D，∠B＝∠C，试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．

……………………………………………………………………………… ◆7.4平行线的性质

1．平行线的性质公理

平行线的性质公理：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简记为：两直线平行，同位角相等．

如图，推理符号表示为： ∵AB∥CD，∴∠1＝∠2.谈重点

两直线平行，同位角相等 ①两直线平行的性质公理是推理论证后面两个性质定理的基础； ②“同位角相等”是在“两直线平行”的前提下才成立的，是平行线特有的性质．要避免一提同位角就以为其相等的错误；

③两直线平行的性质公理与两直线平行的判定公理的条件与结论是互逆的．其中判定公理是在已知同位角相等(数量关系)的前提下推理论证两直线的平行位置关系，是由角到线的推理过程；而两直线平行的性质公理是在已知两直线平行的前提下推理论证同位角相等的数量关系，是由线到角的推理过程． 【例1】 如图，AB∥CD，CE平分∠ACD，若∠1＝25°，那么∠2的度数是________．

2．平行线的性质定理

(1)性质定理1 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．

简单记为：两直线平行，同旁内角互补．符号表示：∵AB∥CD，∴∠2＋∠3＝180°.(2)性质定理2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．

简单记为：两直线平行，内错角相等．符号表示：∵AB∥CD，∴∠2＝∠4.点评：①平行线的性质定理是在平行线性质公理的基础上推理得出的；②从平行线得到角相等或互补的关系；③内错角相等或同旁内角互补的前提条件是“两条直线平行”．要避免

出现一提内错角就相等或一提同旁内角就互补的错误．

【例2－1】 某商品的商标可以抽象为如图所示的三条线段，其中AB∥CD，∠EAB＝45°，则∠FDC的度数是（）．

A．30°

B．45°

C．60°

D．75° 【例2－2】 如图，直线AB，CD相交于点E，DF∥AB.若∠AEC＝100°，则∠D等于（）．

A．70°

B．80°

C．90°

D．100°

3．证明的步骤

(1)证明的一般步骤： ①理解题意； ②根据题意正确画出图形； ③结合图形，写出“已知”和“求证”； ④分析题意，探索证明的思路； ⑤依据寻求的思路，运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程； ⑥检查表达过程是否正确、完善．(2)证明的思路：

可以从求证出发向已知追溯，也可以由已知向结论探索，还可以从已知和结论两个方向同时出发，互相接近．

点评：对于用文字叙述的命题的证明，要先分清命题的条件和结论，然后根据题意画出图形，写出已知和求证，证明即可． 4．借助辅助线构造平行线

在有平行线的条件下，证明两个角相等或求某个角，当这两个角不是两条平行线所截得的同位角、同旁内角或内错角时，往往要利用其他的角，转化为平行线所截的角．

但有些题目中某些条件所对应的图形没有或不完整，这时就需要通过添加辅助线去构造某些“基本图形”，再由图形联想相关性质，从而确定方法，达到解题的目的．

释疑点

平行线判定与性质的应用

以平行为条件的求值或证明角相等的问题中，关键要分析出哪对角相等(或互补)，再进行转化，从而求出结论中的角或完成证明．

【例3】 证明“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”．

分析：本题是文字证明题．根据文字证明的一般步骤，先根据题意画出两条直线a，b都与直线c垂直，根据已知和图形写出本题的已知和求证，已知是直线a⊥c，b⊥c，求证是a∥b.证明两条直线平行，可根据平行线的判定方法，证明同位角相等就可以．然后写出证明过程．

解：已知：如图，直线a，b被直线c所截，且a⊥c，b⊥c.求证：a∥b.证明：∵a⊥c，b⊥c(已知)，∴∠1＝90°，∠2＝90°(垂直的定义)． ∴∠1＝∠2(等量代换)． ∴a∥b(同位角相等，两直线平行)． 点技巧

文字证明题的步骤

文字证明题的已知和求证要结合图形来写，因此在分析题意时，要确定应该画什么图形．书写证明过程时，要注重格式，注意推理的条理性，每一步都要有理有据． 【例4】 如图，AB∥CD，若∠ABE＝120°，∠C＝35°，则∠BEC＝__________.5．平行线性质与判定的综合应用

(1)平行线的性质与判定的区别

平行线的性质定理和判定定理的条件和结论正好相反．性质是由条件“平行”得到结论“角的关系”；判定是由条件“角的关系”得到结论“平行”．

具体为：

在判定中，把角相等或互补作为判断两直线是否平行的前提．角相等或互补是已知，结论是两直线平行．判定则是由“角相等或互补”推理论证“两直线平行”．

在性质中，两直线平行是条件，结论是角相等或互补．性质是用来说明两个角相等或互补的，即由“两直线平行”推理论证“角相等或互补”．

释疑点

平行线的性质与判定要分清 在书写证明过程中，填写推理的根据或者理由时，要注意性质与判定的区别，防止填错．(2)平行线性质的应用

平行线的应用包括生活中的实际应用和综合应用．实际应用要挖掘题目中隐含的平行线，利用平行线的性质来解决和角有关的计算问题．而综合应用主要是综合运用平行线的性质和判定来求角的度数或证明，要注意与图形的结合(数形结合)和角的转换．

如求方位角和机器零件的角度问题就是实际应用比较多的问题．解决时，确定平行线是关键．

【例5－1】 如图，已知：AD∥BC，∠A＝∠C，求证：AB∥CD.【例5－2】 如图1，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°.甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西__________．

……………………………………………………………………………… ◆7.5三角形内角和定理

1．三角形内角和定理

三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.符号表示：△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.变式：∠A＝180°－∠B－∠C.谈重点

三角形内角和解读

(1)三角形内角和等于180°是三角形的一个重要性质．与三角形的具体形状或种类没有关系，即所有三角形的内角和都等于180°；

(2)三角形内角和等于180°是三角形本身固有的一个隐含条件，在有关角的计算或日常生活中应用广泛；

(3)利用定理在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角的关系求各角；(4)三角形内角和的一个重要结论：直角三角形的两个锐角互余． 【例1－1】 在一个三角形中，下列说法错误的是（）．

A．可以有一个锐角和一个钝角

B．可以有两个锐角 C．可以有一个锐角和一个直角

D．可以有两个钝角

【例1－2】 已知一个三角形三个内角度数的比是1∶5∶6，则其最大内角的度数为（）．

A．60°

B．75°

C．90°

D．120° 2．三角形的外角

(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角．

如图所示，∠ACD和∠BCE是△ABC的两个外角，而∠DCE不是三角形的外角．

(2)三角形外角的特征 三角形的外角特征：①顶点是三角形的一个顶点；②外角的一边是三角形的边；③外角的另一条边是三角形某条边的延长线．

(3)三角形外角的实质

是一个内角的邻补角，两个角的和等于180°.如上图中，∠ACB＋∠ACD＝180°.【例2】 如图所示，∠1为三角形的外角的是（）．

3．三角形内角和定理的证法

在解决几何问题时，当仅用已有条件解决问题比较困难时，常在图形中添加线，构造新的图形，形成新的关系，搭建已知与未知的桥梁，把较困难的问题转化为熟悉的、易解决的问题．这些在原来的图形上添加的线叫辅助线．辅助线通常画成虚线．

证明三角形内角和定理的基本思路：

想办法把分散的三个角“拼凑”成一个“整体”，即借助于辅助线，结合所学过的知识，达到证明的目的．

在证明三角形的内角和定理时，常用的辅助线主要有以下几种：

(1)构造平角：利用平行线的性质进行转化(作平行线)，让三个内角组成一个平角．如图①和图②.(2)构造同旁内角：如图③，过C点作CM∥AB，利用∠ABC与∠BCM是同旁内角可证． 4．三角形内角和定理的运用

(1)利用定理求角的度数或证明 生活中，三角形、四边形是常见的图形，在解决与角的度数有关的问题时，一般会用到三角形的内角和定理．

三角形的内角和定理的运用，主要是利用三角形内角和定理进行计算或证明．常见于求三角形中相关角的度数及证明角的相等关系．计算或证明时，往往与其他的知识相结合，如特殊三角形、余角、高线、角平分线等性质．

(2)利用定理判断三角形的形状

根据一个三角形的内角情况判断三角形的形状，关键是利用三角形内角和定理求出各个角，再根据各类三角形的性质判断．①若有两个角相等，则可判定为等腰三角形；②若有三个角相等，则可判定为等边三角形；③若有特殊角90°和两个45°，则为等腰直角三角形．

若一个三角形根据角来分类，可先求出最大的角．①若最大的内角是钝角，则三角形为钝角三角形；②若最大的角为直角，则三角形为直角三角形；③若最大的角为锐角，则三角形是锐角三角形．

【例3】 如图所示的四边形是平行四边形，如何利用ABCD证明三角形内角和定理？

【例4－1】 若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是（）．

A．直角三角形

B．锐角三角形

C．钝角三角形

D．等边三角形

【例4－2】 △ABC中，若∠B＝∠A＋∠C，则△ABC是__________三角形．

【例4－3】 如图，已知△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．

5.运用三角形内角和定理的推论进行计算或证明

(1)三角形内角和定理的推论1 推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 如图，符号表示：∠ACD＝∠A＋∠B.谈重点

三角形的外角 ①推论是由三角形内角和定理推理得到的，可作为定理使用； ②该推论反映的是三角形的外角与和它不相邻内角的关系．(2)三角形内角和定理的推论2 推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 符号表示：∠ACD＞∠A或∠ACD＞∠B.析规律

灵活使用三角形的外角 ①三角形的一个外角大于和它“不相邻”的任意一个内角，而不是大于任何一个内角； ②利用该推论证明角之间的不等关系时，先找到一个适当的三角形，使要证明的那个大角处于外角的位置上，小角处于内角的位置上．

【例5－1】 如图，△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，点D在BC的延长线上，则∠ACD等于（）．

A．100°

B．120°

C．130°

D．150° 【例5－2】 如图，∠1，∠2，∠3的大小关系为（）．

A．∠2＞∠1＞∠3 B．∠1＞∠3＞∠2

C．∠3＞∠2＞∠1 D．∠1＞∠2＞∠3

【例5－3】 如图，将一副三角板按图示的方法叠在一起，则图中∠α等于________．

解析：此题主要考查外角的性质和直角三角形的性质．由外角的性质可得，∠α＝45°－30°＝15°.6．三角形内角和定理的实际应用

三角形的内角和在生活中的应用非常广泛，如方位角与折叠问题，零件的合格判定等． 用三角形的内角和定理解决生活中的实际问题时，要注意几何图形中与问题中的对应条件．

析规律

灵活运用三角形的内角和 ①“三角形的内角和为180°”是隐含条件，在实际应用中必不可少； ②在方位角的计算中需要构造三角形，在三角形中计算其度数； ③折叠问题中，被折叠部分折叠后的图形与原图形对应角相等，再根据内角和、平角等知识列出方程计算．

【例6－1】 如图，是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝40°，则这块三角形木板另外一个角的度数为__________．

【例6－2】 如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，若∠B＝50°，则∠BDF＝__________.7.辅助线与角的转化应用

(1)辅助线与角的转化

有关三角形角度的计算与比较，常常利用添加不同辅助线的方法，把大角转化为小角，或者把不规则图形转化为规则图形等，从而利用相关性质进行解题．

在证明角度不等的问题中，常用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”这一性质，当角不在同一个三角形中时，可作辅助线使之转化到同一个三角形中再解．

析规律

辅助线的作法

辅助线的添加有很多种方法，基本方法是延长法和连接法．在本节中主要是构造三角形，利用“三角形内角和定理及其推论”解决角的问题．

(2)等腰三角形中内、外角的转换

对于等腰三角形，当不知道所给的角为顶角还是底角时，要分情况讨论，不能漏解． ①当等腰三角形的外角是钝角时，其相邻的内角一定是锐角．该锐角可能是等腰三角形的顶角，也可能是底角，要分情况讨论．

②当等腰三角形的外角是锐角或直角时，其相邻的内角是钝角或直角，所以该内角一定是等腰三角形的顶角，则这个外角一定是顶角的邻补角． 【例7－1】 如图1，直线a∥b，则∠ACB＝__________.【例7－2】 等腰三角形的一个外角为110°，则这个等腰三角形的三个内角分别为__________．

【例7－3】 已知：如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝120°，求∠DAC

的度数．

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第七章：证明

（一）章末总结

【基础知识】

1、判断一件事情的句子叫做命题，每个命题都由题设和结论两部分组成，正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题；

2、定理：同角或等角的补角相等；同角或补角的余角相等；三角形的任意两边之和大于第三边；

3、平行线的判定：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行；

4、平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补；

5、三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°；

6、外角：三角形的一条边与另一条边的反向延长线组成的角称为三角形的外角；

定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

定理：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角； 【解题方法总结】

方法1：证明两直线平行，步骤：①寻找两直线的截线，确定“三线八角”；②将已知的角的度数或关系转移到“三线八角”中的角中去；③选择合适的判定定理，证明两直线平行。方法2：已知平行求角度，步骤：①寻找两直线的截线，确定“三线八角”；②将所求角转移到“三线八角”中的角中；③利用条件，将已知度数的角转化到“三线八角”中的角中去；④通过平行线的性质，建立已知角与所求角的联系，求出所求角的度数； 方法3：已知平行判断角的关系，步骤：①根据已知平行的直线，寻找截线，确定“三线八角”；②将要判断关系的两个角转移到“三线八角”中的角中去；③根据平行线的性质，得到两个角的关系。

方法4：利用三角形内角和定理求角，步骤：①将未知角放入三角形中，利用内角和定理用其他角表示未知数角；②利用条件将其他角用已知角表示，直到所有表达式中的角的度数已知；③代入已知角的度数求出未知数角。

方法5：解决“利用三角形的外角性质求角的度数或相互关系”的问题，基本步骤是：①确定三角形的内角及相关外角；②利用三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角比较角的大小；③利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，以及外角和求解角的大小。

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2.初二数学讲义4证明 篇二

52(3)利用基本不等式，如：lg 3·lg 5<＝lg215

2

n＋n＋

n＋<；

(4)利用常用结论：

1①＋1<；

＋1＋k211111111②2－2－程度大)； kkk－k－1kkkk＋kk＋1111111③2

2(程度小)． kk－1k－k＋2k－1k＋1

六、换元法

换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式．换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简．常用的换元有三角换元和代数换元．如：

已知x2＋y2＝a2，可设x＝acos θ，y＝asin θ；

已知x2＋y2≤1，可设x＝rcos θ，y＝rsin θ(0≤r≤1)；

x2y

22＋21，可设x＝acos θ，y＝bsin θ.ab

七、构造法

通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式．

证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、结论的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．

八、判别式法

含有两个字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，可考虑判别式法．

九、数学归纳法

可用于证明与正整数n有关的不等式．(见下一节)

基础自测

1．lg 9×lg 11与1的大小关系是()A．lg 9×lg 11＝1B．lg 9×lg 11<1 C．lg 9×lg 11>1D．lg 9×lg 11≥1

lg 9＋lg 112＝lg 992<lg 1002＝1，故选B.解析：因为lg 9×lg 11<

222

答案：B

2．设a＝(m2＋1)(n2＋4)，b＝(mn＋2)2，则()A．a>bB．a

解析：因为(m＋1)(n＋4)－(mn＋2)＝(2m－n)≥0，所以a≥b.故选D.答案：D

x3x2

3．已知实数x，y满足1≤2≤3，则xy的取值范围是__________．

yy

x31y21

解析：由已知得1≤2≤

y3x2

两式相乘得≤xy≤2.31答案：2 3

2222

4．已知实数a，b，x，y满足a＋b＝1，x＋y＝3，则ax＋by的最大值为________．

解析：设a＝sin α，b＝

cos α，x＝3sin β，y＝3cos β，则ax＋by＝3sin αsin β＋3cos αcos β＝3(sin αsin β＋cos αcos β)3cos(α－β)≤3，故其最大值是3.答案：3

1．(2013·江苏卷)已知a≥b>0，求证：2a－b≥2ab－a2b.33222222

证明：2a－b－(2ab－ab)＝2a(a－b)＋b(a－b)

＝(a－b)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)． 因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.2．(2012·重庆卷)设数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＝a2Sn＋a1，其中a2≠0.(1)求证：{an}是首项为1的等比数列；

(2)若a2>－1，求证：Sn≤a1＋an)，并给出等号成立的充要条件．

证明：(1)由S2＝a2S1＋a1，得a1＋a2＝a1a2＋a1，即a2＝a2a1.n

a2a1

又由题设条件知Sn＋2＝a2Sn＋1＋a1，Sn＋1＝a2Sn＋a1,两式相减得Sn＋2－Sn＋1＝a2(Sn＋1－Sn)，即an＋2＝a2an＋1.an＋2

由a2≠0，知an＋1＝a2.an＋1

an＋1

＝a2对所有n∈N*成立，从而{an}是首项为1，公比为a2的等比数列.an

n

(2)当n＝1或2时，显然Sn＝a1＋an)，等号成立.因a2≠0，故a1＝1＝a2.n－1

设n≥3，a2>－1且a2≠0.由(1)知，a1＝1，an＝a2，所以要证的不等式化为：1＋a2＋

nn－1－1

a2≤(1＋an)(n≥3)，2＋„＋a22

n

即证1＋a2＋a22＋„＋a2≤

n＋1

当a2＝1时，上面不等式的等号成立.＋an2)(n≥2)．

n－r

当－1

－r

当a2>1时，ar2－1与an－1(r＝1,2，3，„，n－1)同为正． 2

n－r

因此当a2>－1且a2≠1时，总有(ar－1)>0，2－1)·(a2

rn－rn

即a2＋a2<1＋a2(r＝1,2,3，„，n－1).n－r

上面不等式对r从1到n－1求和得2(a2＋a2)<(n－1)(1＋an2)，2＋„＋a2

2nn＋1n

由此得1＋a2＋a2＋„＋a2<＋a2)．

综上所述，当a2>－1且a2≠0时，有Sn≤a1＋an)，当且仅当n＝1,2或a2＝1时等号

成立.112

1．设0

2m1－2m

解析：由题可知k＋.m1－2m

12221－2m2m又＋[2m＋(1－2m)]＝4＋2≥8，m1－2m2m1－2m2m1－2m

当且仅当2m＝1－2m，即m＝.故k的最大值为8.答案：8

2．(2013·广州调研)若函数f(x)对任意的实数x1，x2∈D，均有|f(x2)－f(x1)|≤|x2

－x1|，则称函数f(x)是区间D上的“平缓函数”．

(1)判断g(x)＝sin x和h(x)＝x2－x是不是实数集R上的“平缓函数”，并说明理由；

(2)若数列{xn}对所有的正整数n都有|xn＋1－xnyn＝sin xn，求证：

n＋2

|yn＋1－y1|<4

(1)解析：g(x)＝sin x是R上的“平缓函数”，但h(x)＝x2－x不是区间R的“平缓函数”；设φ(x)＝x－sin x，则φ′(x)＝1－cos x≥0，则φ(x)＝x－sin x是实数集R上的增函数，不妨设x1

又y＝x＋sin x也是R上的增函数，则x1＋sin x1x1－x2，②

由①，②得－(x2－x1)x2时，同理有|sin x2－sin x1|<|x2－x1|成立，又当x1＝x2时，不等式|sin x2－sin x1|＝|x2－x1|＝0，故对任意的实数x1，x2∈R，均有|sin x2－sin x1|≤|x2－x1|.因此g(x)＝sin x是R上的“平缓函数”． 由于|h(x1)－h(x2)|＝|(x1－x2)(x1＋x2－1)|

取x1＝3，x2＝2，则|h(x1)－h(x2)|＝4>|x1－x2|，n

因此，h(x)＝x2－x不是区间R上的“平缓函数”．

(2)证明：由(1)得：g(x)＝sin x是R上的“平缓函数”，则|sin xn＋1－sin xn|≤|xn＋1－xn|，所以|yn＋1－yn|≤|xn＋1－xn|.而|xn＋1－xn|≤，n＋2

11111

所以|yn＋1－yn|≤－.2<2

n＋4n＋4n4nn＋1

3.初二数学几何证明题 篇三

2.已知：在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上的一点，MN垂直DM于点M，且交∠CBE的平分线于点N.（1）求证：MD＝MN.（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”其余条件不变，则（1）的结论还成立吗？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由。

3.。如图，点E,F分别是菱形ABCD的边CD和CB延长线上的点，且DE=BF，求证∠E=∠F。

4，如图，在△ABC中，D,E,F,分别为边AB,BC,CA,的中点，求证四边形DECF为平行四边形。

5.如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60度，过点C作CE垂直AC且与AB的延长线交与点E，求证四边形AECD是等腰梯形？

6.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC,BD，相交与点0，E是BD延长线上的点，且三角形ACE是等边三角形。

1.求证四边形ABCD是菱形。

2.若∠AED=2∠EAD，求证四边形ABCD是正方形。

4.初二数学教案：命题与证明 篇四

第二十四章 证明与命题(一)复习

一、教学目标：

1、了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和结论。

2、会在简单情况下判断一个命题的真假。理解反例的作用，知道利用反例可证明一个命题是错误的。、了解证明的 含义，理解证明的必要性，体会证明的过程要步步有据。

4、会根据一些基本事实证明简单命题。

5、通过实例，体会反证法的含义。了解反证法的基本步骤。

6、初步会综合运用命题、证明以及相关知识解决简单的实际问题。

二、本章知识结构框架图：

三、教 学过程：

(一)知识回顾

1、一 般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。

命题分为真命题与假命题。

2、说明一个命题是假命题,通常只用找出一个反例,但要说明一个命题是真命题,就必须用推理的方法,而不能光凭一个例子。

(二)说一说

1.指出下列句子，哪些是命题，哪些不是命题?

(1)有两个角和夹边对应相等的三角形是全等的三角形;

(2)有两条边对应相等的两个三角形全等;

(3)作A的平分线;

(4)若a=b 则 a2= b2

(5)同位角相等 吗?

2.说出一个已学过 定理:

说出一个已学过公理:

3、下列把命题改写成如果，那么的形式。并判断下列命题的真假.(1)不相等的角不可能是对顶角.(2)垂直于同一条直线的两直线平行;

(3)两个无理数的乘积一定是无理数.(三)练一练 1.用反例证明下列命题是假命题：

(1)若x(5-x)=0，则x=0;

(2)等腰三角形一边上的中线就是这条边上的高;

(3)相等的角是内错角;

(4)若x2,则分式 有意义.(四)例题分析

例1求证:全等三角形对应角的平分线相等.证明命题的一般步骤:

(1)根据题意,画出图形;

(2)用符号语言写出已 知和求证

(3)分析证明思路;(4)写出证明过程;

例2已知：如图，△ABC中,C=2B，BAD=DAC.求 证：AB=AC+CD

还有其他方法吗? A A E

B D C B D C

(第三题)(第二题)

例3已知 ：如图D,E分别是BC,AB上的一点,BC、BD的长度之比为3:1, △ECD的面积是△ABC的面积的一半.求证： BE=3AE[来源:学|科|网]

例

4、已知：如图，直线AB，CD，EF在同一平面内，且AB ∥ EF，CD ∥ EF，[来源:学科网]

求证：AB ∥ CD。

证明：假设AB∥CD,那么AB与CD一定相交于一点P

∵AB ∥ EF，CD ∥ EF(已知)

过点P有两条直线AB，CD都与直线EF平行。

这与经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平行矛盾。[来源:学科网]

AB ∥ CD不能成立。

AB ∥ CD

反证法的一般步骤：[来源:学科网]

1.反设(否定结论);

2.归谬(利用已知条件和反设，进行推理，得出与已学过的公理、定理、定义或与已知条件矛盾);

3.写出结论(肯定原命题成立)。

练习：

如图,已知:AB=AE，BC=DE，AFCD于F.求证:CF=DF.(五)小结：

(六)作业布置：练习一份

5.初二数学教学计划4 篇五

邹东辉

教学目标：

1、要求学生掌握一些数学的概念和法则以及运算过程，并熟练地运用所学的知识解决问题。

2、理解几何的定理、性质、判别，并掌握其推理过程，且熟练几种图形的判定过程。

3、学会由浅入深，由特殊到一般的教学方法，并懂得用数形结合的数学思想解决问题。

4、通过教学，努力提高学生的及格率、优秀率、平均分、高分率缩小低分率。

5、以学生为主，提高课堂的教学效率，优化教学过程。教学措施：

1、采用我校“三．五高效”教学模式，因材施教，分层布置作业，让所有学生同时参与学习。

2、利用现有设备，尽量使用多媒体工具教学，以丰富感知的认识过程，使他们更接近数学，更好地理解数学。

3、建立教与学的关系，及时了解学生的动态，及时调整。

4、重视学生的兴趣与培养。

5、指导学生的学习方法，养成良好的学习习惯，克服学生无心、无方法、不主动等缺点。

6.初二数学讲义4证明 篇六

北京师范大学数学系王申怀

目前，数学教育界都在关注《国家数学课程标准(初稿)－－目标体系》的研讨，其中一个热门的话题是如何处理中学几何课程的改革。争论焦点之一是如何看待几何中逻辑推理的教育价值。为此，笔者认为首先应该探讨一下数学证明的教育价值。?

一、问题的提出

从一组原始概念和命题(即公理)出发，经过逻辑推理得到一系列的定理和证明，这就是几千年来数学学科所遵循的研究模式。但随着数学的发展，特别是电子计算机的出现，人们对上述研究模式产生了怀疑。其中最典型的一个例子就是所谓“四色问题”的证明。下面详细谈一下由“四色问题”所引起的争论。?1852年，英国数学家F.Guthrie(格思里)在给他弟弟的一封信中说：“看来每幅地图若用不同颜色标出邻国，只要用四种颜色就够了。”这就是“四色问题”的由来。一百多年来数学家们不断努力企图用数学方法来证明这个结论。直至1970年左右，问题归结为计算几千个不可约构形的问题〔1〕，但其计算量之大是难以想像的，因此人们望而生畏。1976年美国两位计算机专家K.Appel(阿佩尔)和W.Haken(哈肯)找到了一种新的计算方法。他们用了三台IBM计算机经过1000多个小时(约52天)的运算，“证明”了格思里提出的结论是正确的。因此，“四色问题”得到了“证明”。?

阿佩尔和哈肯的“证明”引起了人们的争论。首先，他们的“证明”，其计算机程序就达400多页，要用人工去检验其程序有无问题是十分吃力的。因此，似乎无人愿意再去重复阿－哈的“证明”。其次，能否保证计算机在计算过程中绝对不出错误？第三，人们无法确定计算出现错误是计算机本身的机械或电子方面的毛病，还是“证明”过程本身逻辑有问题。? 于是就引起了什么是“数学证明”的争论。?

有些数学家认为数学证明只能是以人工可重复检验的逻辑演绎(计算也是一种演绎)过程，否则只能称为计算机证明，二者不能混为一谈。因此，按这种观点，“四色问题”只能称已得到了计算机证明，而不能称已得到了数学证明。?但是，另一些数学家反驳说，用人工来检验也可能产生错误。例如，数学史上曾有不少数学家(如意大利的Saccheri，法国的Legendre)声称他们已“证明”了欧几里得第五公设(即欧氏平行公理)。但后来发现他们的“证明”均有问题，其主要错误在于他们利用了与第五公设等价的命题，因此从逻辑上说他们都犯了循环论证的错误。?

另外人工逻辑演绎证明可以重复吗??

众所周知，群论中有一个著名的所谓有限单群的分类定理，单群的概念是由Galois(伽罗华)在1830年最初给出的。一百多年来数学家企图对单群进行分类。直至20世纪80年代，由100多位数学家组成的非正规“队伍”，他们共同努力列出所有的单群并证明这样的列举是完全的。在花费了成千上万个小时以及发表了几百篇论文之后，这项工作才得以完成，证明长达15000多页!〔2〕试问谁还愿意(或说可能)去重复他们长达15000多页的证明?(恐怕连读一遍都不愿意。)?于是问题就不集中在“证明”是否可检验的问题上了，而在于人们如何来理解“证明”的真正含义。数学证明的功能到底是什么??

二、数学家们对数学证明的看法

国际数学教育委员会(ICMI)在《计算机对数学和数学教学的影响》报告中指出：“借助于计算机的证明不应该比人工证明加以更多的怀疑„„，我们不能认为计算机将增加错误证明的数目，恰恰相反对计算机证明的批评，例如四色问题的证明，主要集中在它仅依靠蛮力和缺乏思考的洞察力。„„计算机证明会给人们带来一些新启示，会激励人们去寻找更好的、更短的、更富有说服力的证明，会鼓励数学家去更准确地把握形式化的想法。”?

英国数学家Atiyah(阿蒂亚)在评论“四色问题”的证明时说：“这证明是一大成功，但在美学观点上看极令人失望。完全不靠心智创造，全靠机械的蛮力。科学活动的目的是理解客观世界并进而驾驭客观世界，然而我们能说‘理解’了四色问题的证明了吗?”“数学是一种艺术，一种使人摆脱蛮力计算，而且成熟概念和技巧，使人更轻松地漫游。”〔3〕

Bourbaki(布尔巴基)在《数学的建筑》一书中说：“单是验证了一个数学证明的逐步逻辑推导，都没有试图洞察获得这一连串推导的背后的意念，并不算理解了那个数学证明。”“电子计算机证明不满意者并非它没有核实命题，难道用人工花几个月检验几百页证明便更可靠了吗?而是它没有使我们通过证明获得理解。”?

C.Hanna说：“证明是一种透明的辩论，其中用到的论据、推理过程„„都清楚地展示给读者，任由人们公开批评，不必向权威低头。”?

J.Horgen在《科学的美国》杂志上发表一篇题为《证明的死亡》中指出：“用计算机作实验，来证明建立定理，如四色问题，任何人不能执行如此长的计算，也不能指望用其他办法验证它。„„因此这就突破了传统证明的观念，所以，不能再以逻辑推理作为证明数学命题的惟一手段。”?

R.Wilder(怀特)说：“我们不要忘记，所谓证明不只在不同的文化有不同的含义，就连在不同的时代也有不同的含义。”“很明显，我们不会拥有而且极可能永远不会有一个这样的证明标准独立于时代，独立于所要证明的东西，并且独立于使用它的个人或某个思想学派。”

更有甚者，英国数学家哈代(G.H.Hardy)说：“严格说起来根本没有所谓数学证明„„，归根到底我们只是指出一些要点，„„李特伍德(是和哈代长期合作的一位数学家?笔者注)和我都把证明称之为废话，它是为打动某些人而编造的一堆华丽辞藻，是讲演时来演示的图片，是激发小学生想像力的工具。”〔4〕从以上一些数学家对“证明”的看法，我们可以得出这样的结论：证明的真正含义并不在于检验核实命题，而在于理解命题，启迪思维，交流思想，导致发现。?

很明显，如果你能给出某一命题的一个证明，那么你可以说你理解了(或说你懂了)这个命题。如果你能用这个命题的证法去解决另一个问题，例如，学生用一个定理的证法去做一道习题，那么，你在解决这个问题的思维过程中必然是受到原来命题证法的启发。为了你和其他人交流对某一命题的理解，最好的办法就是你们共同商讨对此命题的证明。下面我们再来较详细地讨论一下证明能够导致发现的功能。?

前面已经说过，意大利数学家Saccheri和法国数学家Legendre对第五公设的“证明”，显然他们都没能证明欧氏平行公理，但是通过他们的证明使后来的数学家对欧氏平行公理有了更为深刻、更为清楚的理解，并最后导致了非欧几何的发现。因此，Saccheri和Legendre等人被公认为发现非欧几何的先驱者。事实上，Saccheri和Legendre等人的思想方法已经打开了一条通向非欧几何的大门。因为他们从第五公设不成立这一假定下推出的许多事实，恰恰就是非欧几何中的定理。?

计算机证明同样有导致发现的功能，其中一个较为典型的例子是分形几何的创立。早在20世纪20年代，法国数学家Julia就开始着手研究分形几何，但是由于这种几何图形的惊人复杂性，Julia的研究沉寂了几十年。直到60年代以后，美国数学家B.Mandelbrot(曼德勃罗)开始用计算机来画图，才使分形几何得到了真正的发展。因此人们普遍认为分形几何是由曼德勃罗创始的。〔5〕由于计算机的介入，新一代的数学家已经开始在计算机上实验自己的各种思想。甚至他们宣布自己是实验数学家，着手建立数学实验室，创办《实验数学》杂志。同时他们对数学提出了一些新的看法：

1.对数学追求的是理解，而不是证明；?

2.重视发现与创造，数学的本质在于思想的充分自由与发挥人的创造能力；?

3.追求对解决问题的数学精神，利用数学更好地解决、处理复杂的自然现象。?

三、数学证明教学价值的新理解

如前所述数学证明的真谛不在于能证明命题的真假，而在于它能启发人们对命题有更深刻的理解，并能导致发现，因此这就突破了传统教学中对数学证明的观念。特别是由于计算机介入了证明之中，用机器证明产生定理(如四色问题等)，所以人们不再以逻辑推理作为证明数学命题的惟一手段，于是提出“实验证明”的想法，即实验也应该成为判断数学命题真假的一种手段。人们不再一味地追求证明所得出的结论，而在于通过证明的过程去追求对数学知识的真正理解。?另外，从认知理论的观点来看，数学知识不能简单地由教师传递给学生，而应该通过学生自己认知结构的改变去建构学生自己对数学的理解。因此，在数学中如果只重视逻辑演绎式的数学证明将无助于学生真正掌握数学知识，无助于学生形成良好的认知结构。命题教学的目的不应是去核实命题的正确性，而是要让学生通过证明去理解命题，并能重新构建学生自己的新认知结构。?

综合以上观点，我们认为数学证明的教育价值在于：?

1.通过证明的教与学，使学生理解相关的数学知识；?

2.通过证明，训练和培养学生的思维能力(包括逻辑的和非逻辑的思维)以及数学交流能力；

3.通过证明，帮助学生寻找新旧知识之间的内在联系，使学生获得的知识系统化；?

4.通过证明，使学生更牢固地掌握已学到的知识，并尽可能让学生自己去发现新知识。

根据以上观点，我们在数学教学中应该重视非逻辑证明的教学；适当降低和减少逻辑演绎在数学教学中的地位与时间，加强实验、猜测、类比、归纳等合情推理在数学教学中的地位与作用。这里需要注意的是要合理选择学生能够接受的逻辑证明与非逻辑证明的方法，强调一种、排斥另一种证明方法都会妨碍学生对数学的认识与理解。

?注：

〔1〕K.Devlin著、李文林等译：《数学：新的黄金时代》，上海教育出版社版。?

〔2〕申大维等译：《数学的原理与实践》，高等教育出版社1998版。?〔3〕M.阿蒂亚著：《数学的统一性》，江苏教育出版社版。