勾股定理的应用教学设计

勾股定理的应用教学设计（共16篇）

1.勾股定理的应用教学设计 篇一

勾股定理的应用教学反思

勾股定理的应用教学反思

一、教师我的体会：

①、我根据学生实际情况认真备课这节课，书本总共两个例题，且两个例题都很难，如果一节课就讲这两题难题，那一方面学生的学习效率会比较低，另一方面会使学生畏难情绪增加。所以，我简化教材，使教材易于操作，让学生易于学习，有利于学生学习新知识、接受新知识，降低学习难度。

把教材读薄，②、除了备教材外，还备学生。从教案及授课过程也可以看出，充分考虑到了学生的年龄特点：对新事物有好奇心，但对新知识的钻研热情又不够高，这样，造成教学难度较大，为了改变这一状况，在处理教材时，把某些数学语言转换成通俗文字来表达，把难度大的运用能力降低为难度稍细的理解能力，让学生乐于面对奥妙而又有一定深度的数学，乐于学习数学。

③、新课选用的例子、练习，都是经过精心挑选的，运用性强，贴近生活，与生活实际紧密联系，既达到学习、巩固新知识的目的，同时，又充分展现出数学教学的重大特征：数学源于生活实际，又服务于生活实际。勾股定理源于生活，但同时它又能极大的为生活服务。

④、使用多媒体进行教学，使知识显得形象直观，充分发挥现代技术作用。

二、学生体会：课前，我们也去查阅了一些资料，关于勾股定理的证明以及有关的一些应用，通过这节课，真真发现勾股定理真真来源于生活，我们的几何图形和几何计算对于勾股定理来说非常广泛，而且以后更要用好它。对于勾股定理都应用时，我觉得关键是找到相关的三角形，并且分清直角边或斜边，灵活机智地进行计算和一些推理。另外与同学间在数学课上有自主学习的机会，有相互之间的讨论、争辩等协作的机会，在合作学习的过程中共同提高我觉得都是难得的机会。锻炼了能力，提高了思维品质，并且勾股定理的应用中我觉得图形很美，古代的数学家已经有了很好的研究并作出了很大的贡献，现代的艺术家们也在各方面用到很多，同时在课堂中渐渐地培养了我们的数学兴趣和一定的思维能力。不过课堂上老师在最后一题的画图中能放一放，让我们有时间去思考怎么画，那会更好些，自然思维也得到了发展。课上老师鼓励我们尝试不完善的甚至错误的意见，大胆发表自己的见解，体现了我们是学习的主人。数学课堂里充满了智慧。

2.勾股定理的应用教学设计 篇二

一、精心设计问题, 丰富数学内涵

课堂上能否激发学生的探究兴趣是有效探究中“愿意学、主动学”的前提.精心创设探究情境, 并从中提炼出有价值的问题, 学生就有了继续探究下去的欲望.因此, 在课堂教学中, 教师不应急于把方法和原理告诉学生, 而应精心设计问题, 让学生思考, 使学生在思维探索中, 获得知识, 提高综合分析能力和解决实际问题的能力.

在一次教学设计过程中我准备选用下面的素材:如图1, 在长30cm、宽50cm、高40cm长方体礼盒上, 有一只蚂蚁从点A处爬到点G处, 问蚂蚁爬行的最短路程是多少?

在教学中如果直接选用这个问题, 并由老师介绍用长方体的三种展开方式来计算蚂蚁爬行的最短路程, 学生可能很快就会“依葫芦画瓢”, 但大多数学生“知其然, 不知其所以然”, 更不要说应变思维的提高了.为此, 我尝试把问题的背景加以改编, 重新设计成以下问题让学生思考:

(1) 如图2, 张老师为了鼓励进步快的同学, 买了一些礼盒作为奖品, 现请你来帮忙, 在边长为30cm的正方体礼盒表面上粘贴彩带作为装饰, 若彩带一端粘在A处, 另一端粘在H处, 至少要多少长的彩带?

(2) 如图2, 同样的正方体礼盒, 若彩带沿正方体的表面一端粘在A处, 另一端粘在G处, 至少要多少长的彩带?

(3) 如图1, 若礼盒是长方体, 长30cm、宽50cm、高40cm, 彩带一端粘在A处, 另一端粘在G处, 至少要多少长的彩带?

经过这一改编, 不仅使问题与学生的生活更接近, 更便于学生展开操作与思考, 而且直观性更强.同时, 从问题 (1) 到问题 (3) , 使探究从浅表层次向纵深发展.以学生现有的认知结构和思维水平为基点, 紧扣新、旧知识的结合点和运用知识解决实际问题的生长点来设计和提出问题, 使问题符合学生的“最近发展区”.研究表明, 教师安排给学生什么样的学业任务会直接影响到他的学习动机, 任务过难或过易, 都会损害学习动机.从问题 (1) 到问题 (2) 学生自己就能体会出将立体图形转化为平面图形, 自然也就更能深刻理解这样的转化思想.所以注意力更集中, 思维更活跃.在教学中, 如果能诱导学生自主分析, 授人以渔, 那么不但有利于学生深入理解知识, 而且有利于培养他们的创造性思维.

二、拓展延伸, 引发数学思考

通过上述探究所建立起来的将立体图形转化为平面图形的方法, 它不是教师强加给学生的, 而是通过学生自己探究得出的.如果没有经过充分的讨论与交流, 反思与总结, 学生很难想到问题 (3) 需要分类讨论.《新课程标准》明确地把“形成解决问题的一些基本策略”作为一个重要的课程目标.为此数学教学中设置一些具有挑战性的问题情境, 激发学生进行思考, 提出具有一定跨度的问题串引导学生进行自主探索, 因此, 我又将问题拓展延伸.

(4) 如图3, 有一个圆柱体礼盒, 高20cm, 底面周长为40cm.准备在礼盒表面粘贴彩带作为装饰, 若彩带一端粘在A处, 另一端绕礼盒侧面一周后粘在B处, 你认为至少需要多少长彩带呢?

(5) 现在用一根彩带在圆柱体礼盒上缠绕两周, 你认为最少需要多少长彩带呢?

有了前面将正方体或长方体转化为平面图形的方法与经验, 学生很容易想到将圆柱体展开成长方形, 从而很快就解决了问题 (4) .

面对问题 (5) , 其思维的跨度较大, 学生有新的困难.这时让学生进行动手操作, 找出如何缠绕彩带使它最短.学生能从操作中感悟出过圆柱体高的中点时, 彩带最短.这时教师应提醒学生仅仅停留在操作的层面上是不够的, 应该转向用数学的目光来看待这一问题, 也就是用数学的方法来证明过中点时缠绕的彩带最短.让学生在亲身经历中提高对问题的分析能力, 发展空间观念.经过操作、小组讨论后, 部分学生画出了展开图的缠绕方法.如图4, 点E就是圆柱高的中点, 但是说不出为什么.部分同学把展开图画成图5, 再根据两点之间线段最短就可以说明是过圆柱高的中点时彩带最短.听了第二种方法后, 画图4的同学受到了启发, 说可以把图4的上部分向右平移成与图5一样, 这样也能说明原因了.我很惊讶同学具有的思考能力, 并马上肯定了他们.还有同学提出从家里墙壁粉刷时用的滚筒得到启示, 将缠绕彩带的圆柱在纸面上滚动两周, 画出展开图如图6, 这样更简单, 利用两点之间线段最短, 再结合三角形中位线定理就可以知道彩带绕过圆柱高的中点时最短了.图6是我在备课的时候没想到的, 所以课堂探究往往会收到意想不到的教学效果.

课堂教学是一种在教师指导下的问题解决、知识构建、能力培养的过程, 课堂教学的有序推进也必然依赖于课堂教学中所产生的递进性问题.所以从这一习题串入手, 挖掘其内涵, 进行必要的科学拓展, 于是我再继续拓展为:

(6) 将“另一端绕礼盒侧面二周后粘贴在点B处”改为“另一端绕礼盒侧面三周后粘贴在点B处”, 则需要多少彩带?如绕四周, 绕五周, ……绕n周呢?

由易到难, 形成课堂上具有探究价值的递进问题, 使得后续的探究有明确的目标和内容.通过这样处理不但可以提高学生的解题能力, 培养学生的学习兴趣, 还可以培养学生的联想能力, 渗透类比思想.更有益的是让相关、相似知识的规律性内化为学生的知识与能力.该问题的解决, 使学生对这类问题有了全面的认识, 既培养了转化思想, 又促使其多角度思考问题, 更主要的是让学生在层层拓展中, 从应用的角度与推而广之的视角来建立一种数学模型.

三、开放学习过程, 激发创造思维

如何培养学生的创造性思维能力, 目前是一个全球性的问题.“为创造性而教”已经成为学校的主要目标之一.研究表明, 在人的心灵深处, 都有一种根深蒂固的要求, 这就是希望自己是第一个发现者.因此, 教师应顺其特点, 鼓励学生自己去归纳、猜想、论证.事实证明, 学生的好奇心理一旦激发起来, 其注意力就最集中, 思维就最活跃, 其智力就处于“超常”状态, 在这种状态中进行教学, 有什么“难点”不能被突破呢?

本节课中, 我投入一“石”, 激起了学生学习的“千层浪”.改编后的问题 (1) 是平面内两点之间最短路程问题, 而问题 (2) 则是不同平面内两点之间最短路程问题.通过问题 (1) (2) 的对比, 学生自己就能体会出需将空间问题转化为平面问题来解决.然后再从问题 (2) 拓展到问题 (3) , 学生能用类比的方法探究出问题 (3) 需要用分类的方法来解决.这种由平面内的两点最短路程问题到不同平面内的两点最短路程问题, 再由缠绕圆柱侧面上的圈数从一圈到两圈再到n圈, 层层递进, 结果学生学习兴趣浓, 讨论激烈.通过动手实践、自主探索与合作交流, 主动构建出立体图形中最短路程问题的解决方法———立体转化成平面.尤其是对问题 (5) 的表现更令我满意, 他们能想到多种展开方式, 并能在展开图中说明彩带为什么过圆柱高线的中点时最短, 突破了本节课的难点, 所以在问题 (6) 中, 学生都能画出缠绕n圈时的展开图 (如图9) .至此, 学生已经形成了解决这类问题的数学能力.

在问题 (5) 后适时鼓励学生不受习惯限制、不受思维定势干扰, 打破框框、勇于创新, 全方位、多角度地寻求解题方法, 并能选择最简、最优的方法, 发挥学生思维的求异性和独创性.比如动手操作过程中有一学生提出, 假如没有绕圆柱侧面的这个条件, 那要从下底面一点缠到上底面某一点, 彩带最短可能不是绕圆柱侧面, 而是沿母线先到上底面, 再沿着上底面相应的一条弦时会更短.我非常惊讶学生的创造力, 同时给予他最高的评价, 从学生脸上得意和喜悦的表情中, 我知道他在这堂课里是有收获的.同时, 从这个学生得到的结果, 我顺势提出一个探究题:当圆柱的高与底面半径满足什么条件时沿侧面缠绕时彩带最短, 让学生在课外探究这一问题.因此, 开放的学习过程, 使得课堂变成了学生思维操练的场所, 学生真正成为学习的主人, 切身感受了学习的快乐, 品尝了求知、参与、成功、交流和自尊的需要.数学学习的内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的, 有利于学生想象力和创造力的发挥, 这也是本节课设计的出发点.在课堂中鼓励学生“知道多少就说多少”, 这充分调动了学生学习的积极性、主动性, 大大引发了学生潜在的创造动因, 创设了有利于个性发展的情境, 因而引出了不同的学习结果, 激发了学生创造性思维的发展, 提高了课堂效率.

3.关于切线长定理应用的教学反思 篇三

它的应用形式：

∵PA、PB分别切圆O于A、B

∴PA=PB ∠BPO=∠APO

在初中数学教材上，这是一个综合性比较强的图形，它贯穿了很多的初中几何知识点 ，包括

① 等腰三角形的性质

∵PA=PB ∠BPO=∠APO

∴BE=AEOP⊥AB

这其实就是等腰三角形“三线合一”

②三对全等三角形 Rt△OBP≌Rt△OAP,

Rt△OBE≌Rt△OAE Rt△EBP≌Rt△EAP

利用切线长定理或三角形全等可以得：

∠BOP=∠AOP ∠EBP=∠EAP∠OBP=∠OAP

以及线段BE=BAOA=OB PA=PB

③实际上这六个直角三角形连起来相似

Rt△OBP∽Rt△OAP∽ Rt△OBE∽Rt△OAE∽Rt△EBP∽Rt△EAP

④有射影定理的基本图形，所以又出现了一些相等关系的等式OB²=OE•OP =OA EB²=OE•EP= EB²

⑤有OP⊥AB以及切线的性质OA⊥AP,OB⊥BP这就引出了更重要的知识点:三个垂直关系

OA⊥AP,OB⊥BP，OP⊥AB

可以列出图形的面积关系。

即SAPBO=OA•AP=OB•BP=OP•AB

⑥在圆O中有OP⊥AB这就引出了圆中更重要的定理出现了垂径定理

∵在圆O中OP⊥AB

∴NB=NABM=MA

⑦事实上利用切线的性质OA⊥AP,OB⊥BP可以得到四边形OAPB四点共圆

⑧如果在圆周上任意取一点Q（或Q′） 有可以把圆中的圆心角、圆周角定理联系起来，这样图中∠APB、∠OPA、∠OPB、∠Q、∠AOB、∠BOA、∠OBA、∠OAB、∠EBP、可以已知其一可求其他

⑨当然过AB任意点做切线后图中又出现两组切线长MB=MT,NT=NA，于是有△PMN的周长=PA+PB=2PA

4.勾股定理的应用教学设计 篇四

这一节课的知识是前一节知识基础上的延伸，有一定的难度，但大部分同学都能做到积极思考问题，遇到障碍，只要在老师的适当点拨下，都能很好、很快把问题解决掉。的确对同学们课堂上的如此表现让我惊讶，很佩服。在这一节课教学设计时，我自始自终以培养学生能力，促进学生发展为指导思想，遵循教学原则中的系统性原则和主体性原则，以学生的“学”为出发点，将“自主探究、合作交流”的学习方式贯穿始终。这样充分调动了同学们学习的积极性和主动性，并达到了比较理想的效果。

在本章的教学中主要引导学生掌握两种数学思想方法：

1．转化的思想方法

在分析解决问题的过程中，将实际问题转化为勾股定理这一模型，为分析问题和解决问题创造有利条件． 2．方程的思想方法

在求有关线段的长度时，利用直角三角形这一基本图形，运用勾股定理巧设未知数，建立方程达到解决问题的目的．

在教学过程中，一、我将教学模式从传统的以教师讲授为主转变为以学生动脑动手自主研究、小组学习讨论交流为主，把数学课堂转为“数学实验室”，学生通过自己的活动得出结论、使创新精神与实践能力得到了发展。

二、学生在课堂中已经能够应用的非常灵活，这一点非常喜人．

反思成功的原因：第一、教学方法有了创新，采取了互动式教学，对学生来说很新奇。第二、采用填空式方式，将难点分散降低。第三、鼓励每个学生，给每个学生展示自己的机会，调动中下等学生，给他们机会发言。

5.勾股定理的应用 篇五

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

2、如何判定一个三角形是直角三角形（1）先确定最大边（如c）（2）验证c与a+b则△ABC不是直角三角形。

3、勾股数 满足c=a+b的三个正整数，称为勾股数 如（1）3，4，5；（2）5，12，13；

（3）6，8，10；（4）8，15，17（5）7，24，25（6）9, 40, 412、三角形的三边长为abcba2)(22+=+,则这个三角形是()

A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形

3.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）

（A）25（B）14（C）7（D）7或25

6.将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是()（A）钝角三角形

（B）锐角三角形（C）直角三角形（D）等腰三角形.7.如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是()

（A）25（B）12.5（C）9（D）8.54、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱 形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取 值范围是（）．

A．h≤17cmB．h≥8cmC．15cm≤h≤16cmD．7cm≤h≤16cm3、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m．同时梯子的顶端B下降 至B′，那么BB′（）．

A．小于1mB．大于1mC．等于1mD．小于或等于1m11、如图，甲船以16海里/时的速度离开港口，向东南航行，乙船在同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一个半小时后 分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，问乙船每小时航行多少 海里

6.《 勾股定理的应用方法小结》 篇六

绵竹市紫岩雨润中学

岳关芬

谈到勾股定理及它的逆定理，它是中学数学中最重要的定理之一，是几何学中的明珠，充满了魅力，我国把它又称为毕达哥拉斯定理。这是由于，他们认为最早发现直角三角具有“勾²+股²=弦²”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯。勾股定理揭示了直角三角形三边的数量关系。具体内容就是：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。逆定理揭示了从三角形三边的数量关系来判断三角形是否是直角三角形。具体的内容是：在三角形中，如果较小两边的平方和等于第三边的平方，那么三角形是直角三角形。它们不但是解直角三角形的重要依据，是每年中考的必考知识点之一，而且在实际生活中的应用十分的广泛。

我国伟大的数学家华罗庚将勾股定理称为茫茫宇宙星际交流的“语言”因为数学是一切有智慧生物的共同语言，所以我们有更多的理由要学好它。学习勾股定理时，应抓住三大关键，一是勾股定理及其逆定理的证明方法，二是勾股定理及其逆定理的应用，三是怎样寻找勾股数。对于第二个问题，又应抓住四个方面，一：是勾股定理在几何计算中的应用。二：是勾股定理在几何证明中的应用。三：是勾股定理及其逆定理的综合应用。四：是勾股定理在代数证题中的应用。在初中数学中常常提到的数学思想方法有数形结合思想、分类讨论思想、转化思想、方程思想、整体思想.在勾股定理的应用中，渗透了上述四种数学思想。

作为一名长期从事中学数学教学工作的教师，在教学的过程当中，我经常发现有许多学生在涉及到计算直角三角形中线段的长以及判断三角形的形状等问题时，还是不明白该如何入手解决问题。在此，我主要想谈谈在这两类问题上，怎样正确快速的应用勾股定理和它的逆定理解决问题。所以把自己总结的一些经验与大家一起分享，共同学习。一：怎样应用勾股定理在直角三角形中求线段的长： 1：

直接把勾股定理变式计算线段的长

已知两条边的具体的值，求第三边。例1：已知：在⊿ABC中:∠C=90°

(1)AC=4, BC=3 , 求AB的长。

(2)AB=13，AC=12，求BC的长

分析：根据题意可知：ACBCAB,直接带值进行计算就可以了。小结：像这个题，他就是勾股定理的一个直接的应用。

变式训练：

已知：在⊿ABC中:∠C=90°AB=13，AC=12，求以阴影部分的面积。

2：

结合勾股定理设未知数计算线段的长

已知一条边具体的值，同时已知另外两边的关系，求边长。例2：已知：在⊿ABC中:∠C=90°，(1)AC + BC= 7, AB=5 ,求AC ,BC的长。

222(2)AB –AC =8, BC=12，求AB ,AC 的长

分析：以（1）为例，设AC = x, 则 BC=7-x.又因为x+(7-x)= 25, 就可以找出线段的值。

小结：像这两个小题，它可以根据勾股定理再结合已知条件，把它转化成带有一个未知数的方程来解决问题。变式训练：

已知：小红用一张矩形纸片进行折纸。已知该纸片的宽AB为8厘米，长BC为10厘米，当小红折叠时，顶点D落在边BC上的点F处（折痕为AE）。想一想，此时CE有多长?

3: 应用三角形面积的不同表示方法求线段的长

已知两直角边的长，求斜边上的高。

例3：已知：在⊿ABC中:∠C=90°，AC =3, BC=4，求AB边上的高CD。

分析：先根据ACBCAB，求出AB的长，再根据三角形的面积

2222211ACBCABCD,就可以计算出斜边上的高CD 22

小结：这个题目先利用勾股定理求出斜边，再结合三角形面积不同的表示方法就可以求出斜边上的高。

变式训练

已知；在⊿ABC中:∠C=90°，AC=7，BC=24，点P是⊿ABC内的一点，并且点P到三角形三边的距离相等，求这个距离。

4：两次应用勾股定理构建等式计算线段的长

已知两个直角三角形有一条公共边或相等边，求线段的长

例4：已知：铁路上A,B两点相距25㎞，C, D为两村庄，已知：AD⊥AB于A,BC⊥AB于B,已知：AD=15㎞，BC=10㎞。现在要在铁路AB上修建一个土特品收购站E，使得C,D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多远处？

小结：这个题目单独利用直角三角形ADE没有办法解决问题，恰好⊿ADE和⊿BCE都是直角三角形，并且有相等的边DE和CE,于是设AE=x,BE=25-x,根据DE=CE222215+x=10+(25-x).即可找出线段的长。

变式训练：

已知：在正方形ABCD中，E为BC的中点，折叠正方形，使点A与点E重合，压平后折痕为MN,则梯形ADMN与BCMN的面积之比为________.5：应用全等三角形的知识计算线段的长

在一个直角三角形已知边和其它相等的角，计算线段的长

例：已知：在⊿ABC中:∠C=90°，∠1=∠2，CD=1.5，BD=2.5，求：AC的长？

分析：首先构造直角三角形，过点D向AB边做垂线DE，再结合条件得出CD=DE ,AC=AE,找出BE的长，最后利用Rt⊿ABC中ACBCAB解决问题.二：怎样应用勾股逆定理判断三角形的形状及计算图形的面积

1：判断三角形的形状

例：已知：在三角形中，a, b, c分别是它的三边，并且a+b=10, ab=18, c=8.判断三角形的形状。

分析：首先根据条件结合完全平方公式得出a+b的值，再检验a+b与c的大小，就可以得出结论。变式训练：

已知：在⊿ABC中: AB=13，BC=10, BC边上的中线AD=12.求证：⊿ABC是等腰三角形

22222

得2:与勾股定理结合计算图形的面积

例：已知：在四边形ABBCD中，∠ABC=90°，AB=3, BC=4, AD=12,CD=13.求：四边形ABCD的面积

分析：由于这种图形是不规则的四边形，所以要通过构造直角三角形再利用三角形的面积的和或差进行计算。

7.勾股定理的逆定理应用探究 篇七

一、利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状

例1:已知在三角形中, a、b、c分别是它的三边, 并且a+b=10, ab=18, c=8, 判断三角形的形状。

分析:由于题目中涉及两边之和与两边的积, 所以先结合完全平方公式得出a2+b2的值, 再检验a2+b2与c2的大小, 就可以得出相应的结论。

所以, 凡是给出三角形的三边或者边之间的关系判断三角形的形状, 都应考虑应用勾股定理的逆定理来进行判断。

变式训练:如图l所示, 已知:在△ABC中, AB=13, BC=l0, BC边上的中线AD=12。求证:△ABC是等腰三角形。

二、利用勾股定理的逆定理与勾股定理结合计算图形的面积

例2:如图2所示, 已知在四边形ABCD中, ∠ABC=90°, AB=3, BC=4, AD=12, CD=13。求四边形ABCD的面积。

分析:由于这是不规则的四边形, 所以不能直接计算面积, 可根据题目所给数据特征, 联想勾股数, 先连接AC, 转化成两个三角形的面积之差, 并判断两个三角形的形状, 就可以实现四边形向三角形转化, 得出相应的结论。所以, 计算不规则的四边形的面积, 一般要通过构造直角三角形再利用三角形的面积的和或差进行计算。

变式训练:如图3所示, 已知四边形ABCD中, ∠B=90°, AB=3, BC=4, CD=12, AD=13, 求四边形ABCD的面积。

以上我们讨论了利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状以及利用勾股定理的逆定理与勾股定理结合的方式计算图形的面积的问题, 利用这种方法应该说是一种比较简捷、有效的方法。我们在引导学生利用勾股定理的逆定理解决实际问题时, 一定要让学生进行变式训练, 并进行一题多解、一题多练, 从而达到举一反三、触类旁通的目的。同时, 我们还要注意发挥学生的主体作用, 让学生主动地去发现问题、探究问题进而解决问题, 从而培养学生的思维能力和创新能力。《课标》指出:“教师要处理好讲授与学生自主学习的关系, 引导学生独立思考、主动探索、合作交流, 使学生理解和掌握基本的数学知识与技能, 体会和运用数学思想与方法, 获得基本的数学活动经验。”让学生掌握基本的数学知识和基本的数学技能不是最根本的目的, 最根本的目的是通过数学学习, 训练学生的思维能力, 提高他们的创新性和创造性。

在学习和应用勾股定理的逆定理过程中, 我们可以结合“综合与实践”课给学生灌输“生活数学”的思想。《课标》指出:“‘综合与实践’内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题, 培养学生的问题意识、应用意识和创新意识, 积累学生的活动经验, 提高学生解决现实问题的能力。”我们要遵循《课标》的要求和教学理念, 灵活地应用勾股定理的逆定理, 把勾股定理的逆定理的应用同实际生活紧密地联系在一起。我们要让学生明白:数学知识来源于生活, 但又要应用于生活。没有生活就没有数学知识, 数学知识如果不应用于生活, 也就失去了数学知识的价值。

8.浅谈勾股定理的应用 篇八

勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.勾股定理为：两直角边的平方和等于斜边的平方表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么

勾股定理是初中数学，重要的一部分，在实际中如果能巧妙的运用勾股定理，会极大提高学生学习数学的乐趣。

题型一：利用勾股定理测量长度

例题 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？

解析：这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理！

题型二：勾股定理和逆定理并用

例题 如图3，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且 那么△DEF是直角三角形吗？为什么？

解析：这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。仔细读题可以发现规律 ，可以设AB=4a，那么BE=CE=2 a，AF=3 a，BF= a，那么在Rt△AFD 、Rt△BEF和 Rt△CDE中，分别利用勾股定理求出DF，EF和DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去判断△DEF是否是直角三角形。

题型三：折叠问题

例题 如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.

解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。

题型四：旋转问题：

如图，△ABC是直角三角形，BC是斜边，将△ABP绕点A逆时针旋转后，能与△ACP′重合，若AP=3，求PP′的长。

变式1：如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2，PB= ，PC=4，求△ABC的边长.

分析：利用旋转变换，将△BPA绕点B逆时针选择60°，将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形.

题型五：关于勾股定理在实际中的应用：

例题、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距離为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？

分析此题是把实际问题转化数学中勾股定理来解决的。

解：作AB垂直于MN交MN于B点，可知AB=80m<100m

故会受到影响

取B点右侧点C，连AC，设AC=100m

根据勾股定律BC=60，可知拖拉机在BC上行驶会影响学校

相应的，取B点左侧点D，设AD=100m

DB=60，可知拖拉机在DB上行驶会影响学校

故拖拉机在DC上行驶会影响学校，DC=BC+DB=120m

18km/h=5m/s 120/5=24秒

学校受到的影响的时间为24秒

题型六：关于最短性问题

例题如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径长是多少？

分析：在运用勾股定理解决有关问题时，常常需要将一些线段通过平移、旋转、翻折等运动变化从而转化到一个直角三角形中，即转化思想.

求几何体的表面的最短距离，可联系我们学过的圆柱体的侧面展开图，化“曲面”为“平面”，再寻找解题的途径.如右图，可得展开图中的AB长为2π，BS为2，根据勾股定理，在RtΔABS中，得AS=2 所以，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短路径长为2 。

9.例谈正弦定理、余弦定理的应用 篇九

例谈正弦定理、余弦定理的应用

作者：姜如军

来源：《理科考试研究·高中》2013年第08期

10.勾股定理应用说课稿 篇十

旦马中学 沈俊山

一．教材内容分析：

本课时是人教版版八年级（下）§18《勾股定理》部分的“勾股定理”第二课时内容。本节课是应用结论解决应用问题，教材中通过2个例题安排学习内容。勾股定理作为数学学习的工具，掌握好本节课内容对其他知识内容的学习创造良好的条件。通过学生积极参与数学活动，培养学生敢于面对数学学习中的困难并有独立克服困难和运用知识解决问题的能力，进一步体会数学的应用价值。

二．课例的设计思想：

教学中通过发现学生问题，用温故知新的方式解决问题。尤其是在知识点上通过设置追问，落实每个同学对知识的盲点，弥补对知识点掌握的不足，对学生合情推理、逻辑论证进行全方位思维训练。

课例的设计思路是：对于例1的教学通过情景创设将问题深入并解决。培养学生数形结合的思想。

例2是勾股定理及直角三角形判定定理的综合应用，重点在于培养学生的演绎推理能力。教学中侧重于学生的观察、分析和说理。

练习题的设计再次训练学生运用勾股定理解决实际问题的能力。

教学方法：教学中通过设置小组讨论的办法，让学生通过交流合作解决老师提出的问题，落实本课的学习目标。

三、教学过程设计

1、教学目标： 知识与能力目标：（1）股定理进行相关计算（2）能运用勾股定理的数学模型解决现实世界中的实际问题

2、方法与情感目标：

通过从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，初步掌握转化与数形结合的思想方法。培养学生合作、交流的意识和品质，让学生感受探究的苦中之趣。

3、教学重点：运用勾股定理解决实际问题

4、教学难点： 际问题转化建模与勾股定理的灵活运用

5、教学流程：先从上节课知识复习勾股定理的相关计算，再有笑话一则引入实际问题的解决，然后设置两道探究题进行探究，最后设置习题进行练习，检查上课效果。最后结本节课知识，再次回顾本节课目标，布置作业。四．课后反思：

成功之处：

1、完成教学目标，教学任务。

2、每一位同学都能积极参与探究问题，发挥了组长带领组员学习的作用，教师只起到指导作用，基本上沿用我校“学生学、教师导、学生动”的模式。不足之处：

1、学生的积极性、激情程度不高，没有很好发挥小组的团队合作精神。

2、数字计算能力较差，在开根号时用时太多

3、学生准备不充分，计算机没带

总之，在上课的过程中有好多不足之处，希望各位领导和老师提出宝贵的意见和建议，一便在今后的教学中更加完善自己！

11.勾股定理的两个变形及其应用 篇十一

1985年9月28日,侯明辉发现了具有重要应用价值的数学三弦定理.这个定理是:过圆上一点引该圆任意三条弦,则中间弦与最大角正弦的积等于其余两弦和它们不相邻角正弦积的和.这一定理的发现,得到了国内一些知名专家的肯定和赞誉,认为该定理是中学数学中的一个新亮点.

在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,则a2+b2=c2.这是同学们所熟知的勾股定理.本文给出勾股定理的两个变形,并举例说明其应用,供同学们参考.

一､勾股定理的两个变形

由勾股定理a2+b2=c2,可得到下面两个变形.

变形1: (a+b)2-2ab=c2. 变形2: (a-b)2+2ab=c2.

通过这两个变形,我们可以从a､b､c､a+b､a-b､ab中任意两个出发,求出其他各个量.

二､应用举例

应用上述两个变形求解某些直角三角形问题,十分简便.

例1 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC+BC=7,S△ABC=6,求AB的长.

解:因为∠C=90°,所以S△ABC= AC·BC=6,得AC·BC=12.由变形1及AC+BC=7,得AB2=72-2×12=25,则AB=5.

例2 一个直角三角形的周长是2+ ,斜边上的中线长是1,求这个直角三角形的面积.

解:设这个直角三角形的两条直角边分别为a､b,斜边为c.由a+b+c=2+ ,而斜边上的中线长是1,所以c=2,从而得a+b= .由变形1,得 2-2ab=22,故得ab=1.所以这个直角三角形的面积为 ab= .

例3 已知一个三角形的一边长为2,这条边上的中线长为1,另两条边长的和为1+ ,求这两条边长的积.

解:在△ABC中,设BC+AC=1+ ,AB=2.因为AB边上的中线长为1,所以∠C=90°.由变形1知,1+ 2-2BC·AC=22,得BC·AC= ,即为所求.

例4 在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c,a>b.如果S△ABC=30,c=13,求a+b与a-b的值.

解:因为∠C=90°,所以S△ABC= ab=30,得ab=60.由变形1,得(a+b)2-2×60=132,得a+b=17.由变形2,得(a-b)2+2×60=132,得(a-b)2=49,因a>b,故a-b=7.

例5 在△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.如果c= ,a-b= ,求△ABC的周长.

解:因∠C=90°,故由变形2,得(a-b)2+2ab=c2,即 2+2ab= 2,所以ab=3.由变形1,得(a+b)2-2ab= 2,则(a+b)2= +6= ,所以a+b= .所以,△ABC的周长= + =6.

注:本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文

12.勾股定理的应用教学设计 篇十二

【案例1】

师: (放幻灯片, 逐一显示下面图形) .图1中的x等于多少?

生:

师:图2中的x, y, z分别是多少?

生:x, y, z分别是

师:如果沿着图2继续画直角三角形, 还能得到哪些无理数?

生:还能得到

师:利用图2你们能在数轴上画出表示的点吗?

生:能! (让一名学生利用图2画出

师:怎样在数轴上画出表示的点?

生:以原点为圆心, 以长为半径画弧交负半轴于一点, 这点就表示

师:在数轴上表示的点怎样画出?

……

这个案例运用了数形结合的思想, 用直角三角形三边的长度来研究直角三角形的边的性质, 用作一个满足一定条件的直角三角形来构造一个带有根号的无理数, 充分地体现了数形结合思想的应用.

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来, 通过“以形助数”或“以数解形”, 即通过抽象思维与形象思维的结合, 可以使复杂问题简单化, 抽象问题具体化, 从而起到优化解题途径的目的.

【案例2】

如图3, 分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆, 其面积分别用S1、S2、S3表示, 则不难证明S1=S2+S3.

(1) 如图4, 分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形, 其面积分别用S1、S2、S3表示, 那么S1、S2、S3之间有什么关系? (不必证明)

(2) 如图5, 分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个等边三角形, 其面积分别用S1、S2、S3表示, 请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明.

解:设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a, b, c, 则a2+b2=c2,

(1) S1=S2+S3.

(2) S1=S2+S3.证明如下:

本题从特殊到一般, 从已知到未知, 类比勾股定理的探究过程, 其关键就在于理解勾股定理.当然, 学习了相似三角形的知识后, 还可以继续探究:分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形, 上述结论是否还成立呢?

波利亚曾说过:“类比是一个伟大的引路人.”类比思想是数学学习的重要发现式思维, 它是一种学习方法, 同时也是一种非常重要的创造性思维.

【案例3】

师:在我们的生活中有一些有趣的问题:有一个边长为10尺的正方形水池, 一棵芦苇AB生长在它中央, 高出水面部分BC为1尺.如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边, 那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边B′ (如图6) .问水深和芦苇长各是多少?

这个案例运用了转化和方程思想, 题目本身是一个实际问题, 要求出水深和芦苇的长是多少.怎样把水深和芦苇的长的计算这个实际问题转化为数学中的直角三角形问题来解决, 学生是有困难的.教师在教学时注意引导学生用转化的数学思想, 可通过设未知数转化为已知两条直角边求斜边的方程问题来解答.

有些几何问题表面上看起来与代数问题无关, 但是要利用代数方法———列方程来解决, 因此要善于挖掘隐含条件, 要具有方程的思想意识.本案例中设芦苇长为x, AC的长就是芦苇的长减去高出水面的部分, 还有一个隐含的已知条件———边长为10尺的正方形水池, 一棵芦苇AB生长在它中央, 所以BB′就是边长的一半, 这样就可以利用勾股定理来解题了.

【案例4】

在直线l上依次摆放着七个正方形 (如图7) .已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3, 正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4, 则S1+S2+S3+S4=.

分析:本题不可能求出S1、S2、S3、S4的值, 但我们可以利用三角形全等和勾股定理分别求出S1+S2、S2+S3、S3+S4的值.

解:易证Rt△ABC≌Rt△CDE, ∴AB=CD,

同理可得S1+S2=1, S2+S3=2,

这个案例运用了整体思想, 就是从问题的整体性质出发, 突出对问题的整体结构的分析和改造, 发现问题的整体结构特征, 善于用“集成”的眼光, 把某些式子或图形看成一个整体, 把握它们之间的关联, 进行有目的的、有意识的整体处理.利用整体思想, 不仅会使问题化繁为简, 化难为易, 而且有助于培养学生的创造性思维能力.

数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓, 是将数学知识转化为数学能力的桥梁.类型化、机械化的练习只会阻碍学生的数学思维的发展, 只有渗透数学思想方法, 才能使学生正确地进行数学思考.

13.正弦余弦定理应用定理 篇十三

一、选择题(共20题，题分合计100分)

1.已知在△ABC中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,那么cosC的值为

A.

14B.14C.23D.23

2.在△ABC中，a=λ,b=

λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是

A.0 个B.1 个C.2个D.无数个

3.在△ABC中，bcosA=acosB，则三角形为

A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

4.已知三角形的三边长分别为x2

+x+1,x2

-1和2x+1(x＞1)，则最大角为

A.150°B.120°C.60°D.75°

5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+23则边|

|等于

A.5B.5-23C.52D.523

6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形

7.在△ABC中，若b2

sin2

C+c2

sin2

B=2bccosBcosC，则此三角形为

A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

8.正弦定理适应的范围是

A.Rt△B.锐角△C.钝角△D.任意△

9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=

A.10+B.10（-1）C.（3+1）D.103

10.在△ABC中，bsinA＜a＜b，则此三角形有

A.一解B.两解C.无解D.不确定

11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2

-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为A.52B.2C.16D.4

12.在△ABC中，a2

=b2

+c2

+bc，则A等于

A.60°B.45°C.120

D.30°

13.在△ABC中，则△ABC是

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形

14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于

A.2B.22C.+1D.(1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sinAsinC等于

A.cos2BB.1-cos2BC.1+cos2BD.1+sin2B

17.在△ABC中，bCosA=acosB，则三角形为

A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

18.△ABC中，sin2

A=sin2

B+sin2

C，则△ABC为

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形

19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为

A.B.C.D.20.在△ABC中，,则k为

14.勾股定理的应用教学设计 篇十四

1.教学目标

1.1 知识与技能：

1．理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念；

2．能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形． 1.2 过程与方法：

1．经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力； 2．经历从实验到验证的过程，发展学生的数学归纳能力.1.3情感态度与价值观：

1．体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣2．在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心.2.教学重点/难点

2.1 教学重点：

掌握勾股定理的逆定理及简单应用 2.2 教学难点： 证明勾股定理逆定理.3.教学用具 4.标签

教学过程 复习引入

1.直角三角形有哪些性质?（1）直角三角形两锐角互余；

（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边一半；（3）30度角所对的直角边等于斜边一半；（4）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.如何判断三角形是直角三角形? 有一个角是直角的三角形是直角三角形.推进新课

（板书课题：勾股定理的逆定理）新知探究

问题1 据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.大家画一画、量一量，看看这样做出的三角形是直角三角形吗？

师：（指图）据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.这真是直角三角形吗？画画看，并用量角器检验一下.生：（学生画出这个三角形，并用量角器检验一下）是直角三角形.师：这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5，那么围成的三角形是直角三角形.这里注意3、4、5有什么关系呢？

生：……（有 “32+42=52”）.师：再画画看，如果三角形的三边分别为2.5 cm、6 cm、6.5 cm，并有“2.52+62=6.52，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4 cm、7.5cm、8.5 cm．再试一试，同学们在小组内共同合作，协手完成此活动.(学生小组内共同合作，教师巡视指导)生：这两组数组成的三角形是直角三角形.师：你发现了什么？ 生：三角形的三边满足a2+b2=c2.师：请写出符合上述特点的三组数，并分别以这三组数为边作三角形所作的三角形分别是什么三角形？

生：符合上述特点的三组数6cm、8cm、10cm；5cm、12cm、13cm；8cm、15cm、17cm.分别以这三组数为边作三角形所作的三角形都是直角三角形.师：我们进而会想：是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方，就能得到一个直角三角形呢？从而得出一个命题：

（课件/板书）

命题2 如果三角形的三边长：a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.师：接下来我们进一步来研究命题2.问题2 命题2与勾股定理即命题1，它们的题设和结论各有何关系？命题2正确吗？如何证明呢？

师：我们分析一下命题2：这个命题题设是什么？结论是什么？

生：题设是三角形的三边长：a，b，c满足a2+b2=c2，结论是这个三角形是直角三角形.师：命题2与勾股定理即命题1，它们的题设和结论各有何关系？ 生：题设和结论交换了位置.（课件/板书）

互逆命题：如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个

叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.师：△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，如果边是a，b的直角三角形全等．实际情况是这样吗？

师：我们画一个直角三角形ABC使BC=a，AC=b，∠C＝900（如下图），把画好的△ABC剪下，放在△ABC上，它们重合吗？

ABC是直角三角形，它应与直角

生：我们所画的Rt △ABC，AB2=a2+b2，又因为c2=a2+b2，所以AB2=c2，即AB=c.△ABC和△ABC三边对应相等，所以两个三角形全等，∠C＝∠C＝900，△ABC为直角三角形.即命题2是正确的.（课件/板书）

已知:在△ABC中，AB=c BC=a CA=b 且a2+b2=c2 求证:△ ABC是直角三角形

证明: 画一个直角三角形ABC使BC=a，AC=b，∠C＝90°

师：我们证明了命题2是正确的，那么命题就成为一个定理．由于命题1证明正确以后称为勾股定理，命题2又是命题l的逆命题，在此．我们就称定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理称为互为逆定理.（课件/板书）

互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理 互为逆定理.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么，这个三角形是直角三角形．

师：但是不是原命题成立，逆命题一定成立吗？举例说明.生：……

问题3 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a＝15 , b ＝8 , c＝17(2)a＝13 , b ＝15 , c＝14 师：刚才我们学习了勾股定理的逆定理，我们可以用它判断已知三角形的三边的长，判断这个三角形是否是直角三角形.（指题）由(1)a＝15 , b ＝8 , c＝17(2)a＝13 , b ＝15 , c＝14组成的三角形是不是直角三角形？同学们以小组为单位合作交流，说一说你是如何判断的？（学生交流、教师巡回指导）

师：谁来展示一下？ 生：……（课件/板书）

解：（1）∵152＋82＝225＋64＝289 172＝289 ∴ 152＋82＝172

∴这个三角形是直角三角形

（2）∵132＋142＝169＋196＝365 152＝225 ∴ 132＋142≠152 ∴这个三角形不是直角三角形

师：谁来总结一下：已知三角形的三边的长，如何判断这个三角形是否是直角三角形？ 生：先找最长边计算其平方看是否等于另两边的平方和.若是则是直角三角形，反之不是．

师：总结得非常好.（课件/板书）

方法总结：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方．若是则是直角三角形，反之不是．

问题4 如果三条线段长a，b，c满足a2-b2=c2。这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？

师：如果三条线段长a，b，c满足a2-b2=c2.这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？谁来说一下.生：三条线段长a，b，c满足a2-b2=c2组成的三角形是直角三角形.因为a2-b2=c2，所以b2+ c2= a2满足两边的平方和等于第三边的平方.（如果说错可多找几个同学发表见解）.师：谁是直角边，谁是斜边？ 生：b、c是直角边，a是斜边.师：也就是说斜边不是c.（课件/板书）

直角三角形最长边是斜边，但斜边不一定是c，解决问题要做到具体分析，不能想当然.3 典例剖析

例1 说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?(1)两条直线平行，同位角相等．

(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．(3)对顶角相等．(4)全等三角形的对应角相等．

解：逆命题: 同位角相等，两条直线平行.成立

逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等.不成立 逆命题:如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.不成立 逆命题:三组角分别相等的两个三角形是全等三角形.不 总结: 原命题成立时, 逆命题有时成立, 有时不成

例2 已知△ABC 的三边分别为a=m2-n2，b=2mn，c= m2+n2，立（m＞n，m、n是正整数）.△ABC是直角三角形吗？说明理由.分析：先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大.解： ∴△ABC是直角三角形.巩固提升

1.写出下列命题的逆命题!并判断其逆命题的真假!（1）同位角相等；

（2）如果两个数的平方相等!那么这两个数的绝对值相等；（3）全等三角形的面积相等.解：（1）相等的角是同位角!是假命题!（2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等，是真命题!（3）面积相等的三角形是全等三角形，是假命题.2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（B）A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。B．如果c2= b2—a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。C．如果（c＋a）（c－a）=b2，则△ABC是直角三角形。D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形。3．判断题

⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。（√）

⑵命题：“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半。”的逆）命题是真命题。（×⑶勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（√）

⑷△ABC的三边之比是1：1：，则△ABC是直角三角形。（√）

4．判断下列线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形（1）a=7，b=24，c=25（是）（2）a=1.5，b=4，c=2.5（不是）

（3）a=(4）a=，b=1，c=

（不是）

（是），b=2n，c= 课堂小结

（一）学生总结

这节课学习了什么？你有什么收获？（小组说--组内总结--组间交流）

1.互逆命题：如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.2.互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理 互为逆定理.3.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么，这个三角形是直角三角形． 4.勾股定理的逆定理应用：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方．若是则是直角三角形，反之不是．

（二）教师总结

今天，我们通过自己的努力，学会了这么多知识，老师真为你们骄傲！同时我们还发现很多数学知识都是相互联系、相互贯通的。我们在学习时要做到举一反三，运用旧知识来学到更多的新知识。

板书

17.2 勾股定理的逆定理

（一）1.互逆命题：如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫作互逆命题.如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题.2.互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理 互为逆定理.3.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么，这个三角形是直角三角形．

4.勾股定理的逆定理应用：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方．若是则是直角三角形，反之不是．

15.动能定理的实际应用 篇十五

例1新疆达坂城风口的风速约为v=20 m/s,设该地区空气密度ρ=1.4 kg/m3,若把通过横截面积为S=20 m2的风的动能全部转化为电能,则该处风力发电站的发电功率为多大?

思维点拨:取很短一段时间Δt内的空气作为研究对象,则这段时间内空气的质量:

点评:在生活、生产和科技实践中,经常会遇到这样的问题,例如水轮机发电、水力采煤、风力发电、火箭喷气、血液流动等,称为连续流体问题,处理这类问题时,不便于取整体为研究对象,通常是取很短一段时间内的质量Δm作为研究对象,将其看成质点,再进行分析讨论,这是解答连续流体问题的技巧.

二、探究物体从高处落地的安全问题

最近国务院下达了保障学生安全的相关条例,保护学生安全引起了全社会的关注,学生在单杠、跳马、攀越等体育运动中,可能发生从高处落下导致骨折等事故,下面讨论安全落地的高度.

例2人从一定的高度落地容易造成骨折,一般人胫骨的极限抗压强度约为1.5×108 N/m2,胫骨最小横截面积大约为3.2 cm2.假若一质量为50 kg的人从某一高度直膝双足落地,落地时其重心又约下降1 cm,试计算一下这个高度超过多少时,就会导致胫骨骨折.(g取10 m/s2)

思维点拨:胫骨最小处所受冲击力超过:F=pS=1.5×108×2×3.2×10-4 N=9.6×104 N时会造成骨折.

设下落的安全高度为h1,触地时重心又下降高度为h2,落地者质量为m.

由动能定理:mg(h1+h2)-Fh2=0得:

.

答案:高度超过1.9 m时,可能会导致骨折.

安全警示:在高度超过1.9 m以上的单杠上运动时,在单杠下方应备有海绵垫子,或者有同学做好保护,以防不测,其他活动(如:撑杆跳、跳伞、攀越高架等)也必须做好安全措施.

三、测量自行车运动时所受的平均阻力

例3在大操场跑道上,先用力蹬自行车,使之具有一定的速度,待自行车进入直跑道后停止用力,在道路阻力作用下,自行车逐渐停止运动.

(1)要测定自行车所受的平均阻力,需测定哪些物理量?需要哪些测量仪器?

(2)测定平均阻力运用的物理原理是______,其表达式为______,表达式中各个物理量的意义是______;

(3)如何测定相关的物理量?

(4)怎样减少实验的误差?

思维点拨:设自行车和人的质量为m,停止用力后其速度为v,所受平均阻力为f,滑行距离为s,据动能定理:,其中m用磅秤测量;

v的测定方法:在停止用力后取一小段距离s1,用秒表测定自行车通过s1所用的时间t1,因为t1较小,自行车在这段位移上的速度可视为匀速,即:,用皮尺测得滑行总位移s,代入上述式子求出f.

答案:(1)自行车和人的质量m、停止用力后自行车速度v、滑行距离s;磅秤、秒表、皮尺;

(2)动能定理;;f为平均阻力,s为滑行总位移,v为停止用力时自行车的速度,m为自行车及人的总质量;

(3)略;

(4)减少误差的关键为v的测定,因为s1较小,因此计时的开始和结束一定要及时,以减小误差.

四、利用动能定理求弹性势能

例4为了测量一根轻质弹簧压缩最短时储存的弹性势能,可以采用如图1所示的装置来进行,图中桌面带有凹槽,以保证小滑块P(可视为质点)在桌面上只能沿凹槽做直线运动,小滑块受到桌面阻力不能忽略,但大小恒定,弹簧的一端连接在固定物K上,K可以沿凹槽方向移动,又能在不同位置被固定,另外提供弹簧测力计与刻度尺,请根据以上说明以及实验要求回答以下问题:

(1)简要写出实验操作步骤;(写出需要测量的物理量名称及符号,并要体现出减小实验误差的操作)

(2)用(1)中测出的物理量表示弹簧压缩最短时的弹性势能,即Ep=______;

(3)若小滑块所受桌面阻力为滑动摩擦力,利用(1)中测出的物理量能不能求出滑块与桌面之间的动摩擦因数μ?若能,请写出求μ的表达式;若不能,请说明理由.

思维点拨:求解压缩状态的弹性势能,一种是用公式法,即,用刻度尺和弹簧测力计即可,方便易行,但不符合要求(没用题中所给装置,且该公式高中教材不作介绍).

另一种是用功能关系法:弹性势能等于弹簧形变恢复过程对外做的功,由动能定理:,W弹=-ΔFp,其中s为滑块在桌面上移动的距离,由刻度尺测量;v为滑块离开桌面的速度,可由滑块离开桌面后的平抛运动求解.考虑到摩擦力未知,就需实施变换思想,改变固定物K的位置以组成方程组,即,式中,,解得:,Ep=,式中s、h、x由刻度尺测量,G由弹簧测力计测量.

答案:(1)①用弹簧测力计称出小滑块重力C;②用刻度尺测出桌面到地面的高度h;③将K固定在桌面某一位置,用小滑块将弹簧压缩至最短.测量出此时K、P之间的距离L以及P到桌子右边缘的距离s1;④自由释放小滑块P,确定其在地面上的落点位置;⑤重复③④多次,找出其落点的中心位置,然后测出该中心位置到桌子右边缘的水平距离x1;⑥将K固定在桌子的另一位置,用小滑块压缩弹簧使K、P间的距离保持不变为L,测出P到桌子右边缘的距离s2;⑦类似步骤④⑤,测出相应的中心位置到桌子右边缘的水平距离x2.

(3)由f=μN=μG及实验原理中的摩擦力f的表达式可知,能求出:.

点评:新课程强调探究性学习,从探究性学习中可以学会实验设计,正确安排实验程序,分析实验数据,得出实验结果,进而培养自己的实验设计能力和探究能力.

五、动能定理与功率的综合问题

例5一列火车由机车牵引沿水平轨道行驶,经过时间t,其速度由0增大到v,已知列车总质量为M,机车功率P保持不变,列车所受阻力f为恒力,求这段时间内列车通过的路程.

思维点拨:以列车为研究对象,列车在水平方向受牵引力和阻力作用,设列车通过路程为s.

六、探究短跑运动中的体能消耗

例6一个体重为60 kg的短跑运动员,起跑时能在内冲出1 m远,能量全部由消耗体内葡萄糖提供,其热化学方程式为:C6H12O6(g)+602(g)=6CO2(g)+6H2O(L)+2800 kJ,则该运动员在这段时间内至少要消耗体内葡萄糖多少g?

解得:x=0.28 g.

答案:运动员在这段时间内至少消耗葡萄糖0.28 g.

16.浅谈勾股定理的证明与推广应用 篇十六

关键词：勾股定理；定理证明；推广应用

1引言

自我国改革开放以来，国内政治、经济、社会、文化等诸多环境得以完善，从而吸引了大量外国企业、居民进入国内，给中国当代文化氛围、科学技术发展带来了较为深刻的影响。中外文化的交流，在一定程度上给整个世界学术界、实务界的发展提供更加鲜活的血液与动力。（删除）勾股定理作为世界范围内数学界最为伟大的发明之一，其是一个十分伟大的数学定理。迄今为止，勾股定理已经被利用多种方法给予证明，并在较多领域中得以推广。作为一个具有历史厚重感的数学定理，在当前中学教课书中也是仅仅列举了一种证明方法，而对其他方法的证明及其推广应用的介绍十分之少。为此，作者将在本文中针对勾股定理的证明方法进行研究，作者谨此希望能够利用本文的研究丰富当代中学生的视野，使他们能够利用对定理背后历史的探究，更好的掌握数学应用方法，为步入大学校园继续深造奠定坚实的基础，为社会主义现代化建设需求人才素质的提升做出自身贡献（删除）。

2勾股定理的证明方法研究

勾股定理作为一种举世闻名的数学定理，其（删除）现存的证明方法繁复多样，可根据主流的分类方法将其归为三类。在下文当中，作者将对前两种方法分别进行一种证明方法的研究。

第一，面积法。该种证明方法是由毕达哥拉斯所发明的，其当初所使用的面积法证明采用了分解的思路，具体如下图所示：

在两个绘制的图形当中，可以发现，毕达哥拉斯共设计出了八个大小完全相等的直角三角形。并对每个直角三角形的边进行了赋值，其中直角边的赋值分别为a与b、斜边的赋值为c。接下来，在上述八个直角三角形的位置周围绘制出了三个等边正方形。最终就形成了如上两个图形。在做好上述准备工作之后，就可开始对勾股定理进行了证明，其证明思路主要为利用正方形所具有的面积对定理进行证明。可以发现，左图当中将所有小矩形的面积进行相加，就等于整个大正方形的面积。并可得出如下公式：

（a+b）2=a2+b2+4×1/2×ab

在得出上述等式基础上，再将面积相等的方法应用于右图当中，也可以得出另一等式：

（a+b）2=c2+4×1/2×ab=c2+2ab

通过上述两个公式之间的合并，最终可以得到勾股定理的公式：a2+b2=c2

第二，拼接法。拼接法证明与面积法证明之间存在着较大差异。为此，可以先绘制以下图形，以便于利用拼接法进行更为准确的证明：

其通常所采用的方法之一具体由上图列示。该图形主要由四个大小相同的直角三角形所构成。并对每个直角三角形的边进行赋值，赋值方法与面积法基本相同。在此基础上，可利用上述拼接图形进行勾股定理的证明。由上图可以发现，DE=AF=HE=b，且角GDE为90度，也存在有FB=FG=BC=a，且角BCG为90度。因此，上图当中的两个四边形就可以利用已经为直角三角形的赋值进行替代表示。从而又可将上图分解为两个图形，并实现勾股定理的证明。

3勾股定理的推广应用研究

勾股定理不但可以在平面图形当中得以应用，更加可以在三维图形，乃至n维图形当中得以应用，并给解决诸多较为复杂的数学问题提供重要帮助。例如：假设ABC为等边三角形，D是该三角形内部的一点。如果假设角BDC为150度，并假设BD长度为2，CD长度为1。那么，AD的长度应当是多少。在上述旋转三角形边长求解的运算当中，就可以借助勾股定理的方法实现对最终答案的求解。该求解的主要利用图形的旋转将现有三角形ABC等位移动至三角形AEC处，从而构造出了一个新的等边三角形ADC。那么，依据这一思路之后，就可以利用对现有容易求解的方法对ED求解，并利用两者之间相等的思想，实现对目标边AD长度的求解。其中针对EC的求解就可以应用到勾股定理，并构造如下等式：DE=（DC2+CE2）1/2=51/2。进而也就求得了边AD的长度。通过这则案例可以得出结论，勾股定理在平面图形之外的立体多位图形当中可以实现推广与应用。

4结论

通过本文的研究，可以发现，勾股定理作为一个举世闻名的数学定理，其现存的证明方法繁复多样，可根据主流的分类方法将其归为三类：其一为面积法；其次为拼接法；另外一种为定理法。通过对不同方法的探究，作者以案例的方式对其中两种方法的大致证明思路提出了思考，并在此基础上对不同方法的推广应用进行了研究。作者谨此希望，能够利用本文的研究，给数学界勾股定理应用范围及深度的提升带来促进作用，也希望能够在未来求学过程中继续深入思考研究数学理论的相关问题。

参考文献