二元一次方程组

二元一次方程组（共15篇）

1.二元一次方程组 篇一

的解．

学生活动：尝试总结二元一次方程组的解的概念，思考后自由发言．

教师纠正、指导后板书：

使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．

例题  判断 是不是二元一次方程组 的解．

学生活动：口答例题．

此例题是本节课的重点，通过这个例题，使学生明确地认识到：二元一次方程组的解必须同时满足两个方程；同时，培养学生认真的计算习惯．

3．尝试反馈，巩固知识

练习：（1）课本第6页第2题  目的：突出本节课的重点．

（2）课本第7页第1题  目的：培养学生计算的准确性．

4．变式训练，培养能力

练习：（1）P8 4．

【教法说明】使学生更深刻地理解二元一次方程组的解的概念，并为解二元一次方程组打下基础．

（2）P8 B组1．

【教法说明】为列二元一次方程组找等量关系打下基础，培养了学生分析问题、解决问题的能力．

（四）总结、扩展

1．让学生自由发言，了解学生这节课有什么收获．

2．教师明确提出要求：弄懂二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解．

3．中考热点：中考中有时会出现检验某个坐标点是否在一次函数解析式上的问题．

八、布置作业

（一）必做题：P7 3．

（二）选做题：P8 B组2．

（三）预习：课本第9～13页．

参考答案

略．

2.二元一次方程组 篇二

一、基本概念理解出现偏差

例1下列各式, 属于二元一次方程的个数有 () .

A.1 B.2 C.3 D.4

【错解】答案选B.

【辨析】根据二元一次方程的定义, ②、④毫无疑义属于二元一次方程;①中含有xy项, xy项的次数不为1;③为分式方程;⑤是二次方程;⑥是多项式, 不是方程;⑦是三元一次方程;⑧表面上是含有二次项, 实际上, 化简后未知数y的次数为1, 因此也是二元一次方程.正确答案应该选C.

【点评】本例重点考查了对于二元一次方程概念的理解, 其重点是: (1) 含有2个未知数; (2) 未知数的次数为1次; (3) 必须是整式方程.

例2已知方程为二元一次方程, 则m的值是 () .

A.1 B.-1 C.±1 D.无解

【错解】答案选B.

【辨析】根据定义, 未知数的次数应该为1, 第一项的次数为m2, 我们知道, 平方为1的数有2个即±1, 易见m=1时, 未知数y系数为0, 而m=-1时, 化简后未知数x的系数也为0, 故正确答案D.

例3下列方程组中, 是二元一次方程组的是 () .

【错解】答案选D.

【辨析】二元一次方程组的定义是:如果方程组中含有两个未知数, 且含未知数的项的次数都是一次, 那么这样的方程组叫作二元一次方程组.显然答案A有三个未知数, 答案B中第一个方程不是整式方程, 答案D中第二个方程是二次方程, 所以它们都不是二元一次方程组, 答案C中第二个方程虽然只含有一个未知数, 但定义中并没有要求组成方程组的两个方程都必须是二元一次方程, 事实上, 解的形式也是一个二元一次方程组, 如, 等, 正确答案应该选C.

【点评】例2、例3主要考查了对于二元一次方程组概念的正确理解.

例4已知方程3x+5y-3=0, 用含x的代数式表示y, 则有________.

【错解】

【辨析】本题要求用含x的代数式表示y, 也就是表示出的式子中应该含有x的代数式.错解实际上是用含y的代数式表示x, 正确答案应为

二、以偏概全, 用特殊代替一般

例5已知满足方程组的x、y值之和为2, 求k的值.

【错解】根据题意x+y=2, 设x=2, 则y=0.将它们带入方程3x+5y=k+1, 解得k=1.

【辨析】本题错解没有注意到x、y值还应该满足方程组中的第二个方程, 这样x、y值就唯一确定了.

解题时需要联立方程组解得, 代入方程3x+5y=k+1, 解得k=7.

例6若是关于a, b的二元一次方程ax+ay-b=3的一个解, 求代数式x2+2xy+y2-1的值.

【错解】将代入方程得, x+y=5, 设x=2, 则y=3.代入x2+2xy+y2-1=24.

【辨析】本题错解答案虽然正确, 但是计算过程有误, “特殊值法”常常被广泛地应用于选择题与填空题中.作为解答题, 此法不能使用.由于x2+2xy+y2-1= (x+y) 2-1, 本题实际上可以使用“整体代入法”的思路, 将x+y作为一个整体代入到上式求出结果;也可以将x=5-y或y=5-x代入x2+2xy+y2-1中化简, 这样也能得出正确答案.

【点评】例5、例6错解都想用特殊值来求解, 对于选择题和填空题来说, 这的确不失为一种好方法, 然而对于解答题来说, 不仅要注意到特殊值, 还要考虑到所有的可能性, 千万不能“挂一漏万”, 以偏概全.

三、解方程组中的错误

例7解方程组

【错解】将①×3-②得, 10x=-20, x=-2, 将x=-2代入①得y=-1/3, 方程组解为

【辨析】本题错在第一步常数项之差, 应该为 (-5) ×3- (-5) =-10, 这样x=-1, 将x=-1代入①得y=-1, 方程组解为

例8甲、乙两人同解方程组时, 甲看错了方程①中的a, 解得乙看错了②中的b, 解得试求的值.

【错解】将代入原方程组得, 求出, 于是有

【辨析】本题错在没有理解题意, 题目中清楚说明甲看错了方程①中的a, 由甲的解求出的a不能用, b是正确的, a的值只能由乙的解求出;通过计算得a=-1, b=10, 从而正确答案是

【点评】解方程组最重要的是结果正确, 这就需要每一步的计算都不能出现差错, 解题时一要细心, 二要多练习, 不断提高计算能力;例8以错题为背景, 要求学生“去伪存真”, 找出题中正确可用的信息, 为解题铺平道路.

四、应用问题中的错误

例9一张方桌由1个桌面, 4条桌腿组成, 如果1 m3木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条, 现有10 m3木料, 那么用多少立方米的木料做桌面, 多少立方米的木料做桌腿, 做出的桌面与桌腿, 恰好能配成方桌?

【错解】设用x m3的木料做桌面, y m3的木料做桌腿.

根据题意, 得方程组解得

答:用0.4 m3的木料做桌面, 9.6 m3的木料做桌腿.

【辨析】上述错解中所列方程组第一个方程是正确的, 问题在第二个方程, 根据题意“1个桌面、4条桌腿组成一张方桌”, 也就是说桌腿的数量应该是桌面的4倍, 列方程时相等关系应该是“桌面数×4=桌腿数”, 正确答案应该是:用6 m3的木料做桌面, 4m3的木料做桌腿.

3.“二元一次方程组”单元练习 篇三

1. 下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）.

A. xy=1，x+y=2. B. 5x-2y=3，■+y=3. C. 2x+z=0，3x-y=■. D.x=5，■+■=7.

2. 若x=1，y=2是关于x、y的二元一次方程ax-3y=1的解，则a的值为（ ）.

A. -5 B. -1 C. 2 D. 7

3. 由方程组x+m=6，y-3=m可得出x与y的关系式是（ ）.

A. x+y=9 B. x+y=3 C. x+y=-3 D. x+y=-9

4. 方程2x-y=1和2x+y=7的公共解是（ ）.

A. x=0，y=-1. B. x=0，y=7. C. x=1，y=5. D. x=2，y=3.

5. 若方程组3x+2y=a+2，2x+3y=a的解x与y的和是2，则a的值为（ ）.

A. -4 B. 4 C. 0 D. 任意数

6. 解方程组ax+by=2，cx-7y=8时，一学生把c看错而解得x=-2，y=2.而正确的解是x=3，y=-2.那么a、b、c的值是（ ）.

A. 不能确定 B. a=4，b=5，c=-2

C. a、b不能确定，c=-2 D. a=4，b=7，c=2

二、 精心填一填

7. 请写出方程x+2y=7的一个正整数解_______.

8. 若3a7xby+7和-7a2-4yb2x是同类项，则x=_______，y=_______.

9. 若一个二元一次方程的一个解为x=2，y=-1，则这个方程可以是______.（只要写出一个）.

10. 若关于x、y的方程组4x+y=5，3x-2y=1和ax+by=3，ax-by=1有相同的解，则a=_______，b=_______.

11. 若（2x-3y+5）2+|x+y-2|=0，则x=_______，y=_______.

12. 一个两位数的十位数字与个位数字的和为8，若把这个两位数加上18，正好等于将这个两位数的十位数字与个位数字对调后所组成的新两位数，则原来的两位数为_______.

三、 用心做一做

13. 解方程组：

（1） x+2y=9，y-3x=1. （2） x+4y=14，■-■=■.

14. 已知二元一次方程：（1） x+y=4；（2） 2x-y=2；（3） x-2y=1.

请从这3个方程中选择你喜欢的2个方程，组成一个方程组，并求出这方程组的解.

15. 若方程组ax+by=4，bx+a=2与方程组2x+3y=3，4x-5y=-5的解相同，则a，b的值分别是多少？

16. 已知方程ax+by=11，它的解是x=1，y=-4，x=5，y=2.求a，b的值.

17. 有黑白两种小球各若干只，且同色小球的质量均相同，在如图所示的两次称量中天平恰好平衡，若每只砝码的质量均为5克，则每只黑球和白球的质量各是多少克？

18. 夏季奥运会的比赛门票开始接受公众预订.下表为奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，球迷小王用8 000元作为预订下表中比赛项目门票的资金.

（1） 若全部资金用来预订男篮门票和乒乓球门票共10张，问男篮门票和乒乓球门票各订多少张？

（2） 小王想用全部资金预订男篮、足球和乒乓球3种门票共10张，他的想法能实现吗？请说明理由.

参考答案

1. D 2. D 3. A 4. D 5. B 6. B

7. 答案不唯一，如：x=1，y=3. 8. x=2，y=-3 9. 答案不唯一，如x+y=1.

10. a=2，b=1 11. x=■，y=■ 12. 35

13. （1） x=1，y=4. （2） x=3，y=■.

14. （1）（2）组合的解为x=2，y=2.（1）（3）组合的解为x=3，y=1.（2）（3）组合的解为x=1，y=0.

15. a=2，b=4.

16. a=3，b=-2.

17. 黑球是3克，白球是1克.

18. （1） 男篮门票6张，乒乓球门票4张.

（2） 男篮门票3张，足球门票5张，乒乓球门票2张.

4.二元一次方程组教案 篇四

授课老师：李老师

考点一：判断二元一次方程

考点二：二元一次方程组的解的应用

若x、y互为相反数，且x＋3y＝4，,3x－2y＝___________

4x3yk方程组的解与x与y的值相等，则k等于__________ 2x3y5

考点三：解二元一次方程组 1.代入消元法

名师传方法.有效提分

授课老师：李老师

x3y5yx3 2xy5y2x

59m2n35x2y5a(其中a为常数)4nm13x4y3a

2．加减消元法

2p3q132xy5 p54qxy1

考点4：“看错系数”问题的方法

看错方程组中哪个方程的系数，所得的解既是方程组中看错系数方程的解，也是方程组中没有看错系数方程的解，把解代入没有看错系数的方程中，构建新的方程组，然后解方程组

小明在解关于x、y的二元一次方程组xy3, 时得到了正确结果

3xy1x, 后来发现y1.“”“ ”处被墨水污损了，请你帮他找出、 处的值分别是__________

甲、乙两位同学解方程组{mx+y=5,① 2x-ny=13,②甲解题时看错了常数m,解得{x=7/2,y=-2,乙解题时看错了常数n,解得{x=3,y=-7,试求:(1)常数m、n的值;

名师传方法.有效提分

授课老师：李老师

考点五。利用同解方程组确定字母取值

3x5y6若方程组 的解也是方程３ｘ＋ｋｙ=10的解，则ｋ的值是__________ 6x15y16

若关于x，y的方程组2xym的解是x2，则mn为__________ xmyny

1考点六.二元一次方程组应用题

1.工程问题：工作量=工作效率×工作时间

玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元。玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成。（1）如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？（2）如果从节约开支的角度考虑呢？请说明理由。

2．增长率问题：原量=（1-增长率）=增长后的量 原量×（1-减少率）=减少后的量

为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动在2009年正式开始．某经销商在政策出

名师传方法.有效提分

授课老师：李老师

台前一个月共售出某品牌汽车的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共1228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30％和25％．

(1)在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台?(2)若手动型汽车每台价格为8万元，自动型汽车每台价格为9万元．根据汽车补贴

政策，政府按每台汽车价格的5％给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这l228台汽车用户共补贴了多少万元?

.3.配套问题：较大量=较小量+多余量 总量=倍数×一份的量

某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？

4.年龄问题:年龄增长数相等

甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁”．乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁”．请你算一算，甲、乙现在各多少岁？

名师传方法.有效提分

5.《解二元一次方程组》教案 篇五

教师 XXX

学科/班级 XXXX 单元（可以不写）

授课日期

课题

消元——二元一次方程组解法

一、教学目标

（一）知识与技能目标

1.能说出二元一次方程、二元一次方程组和二元一次方程组的解的概念； 2.会将一个二元一次方程写成用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式；

3.会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解。

（二）过程与方法目标

1.提高对实际问题观察、分析、归纳、猜想，养成良好的思维习惯；

2.通过将二元一次方程与二元一次方程（组）有关知识的对比学习，渗透类比的思想方法； 3.通过多个相似例题的练习，提高自身观察、归纳、猜想的能力。

（三）情感与价值观目标

1.解决生活实际问题，感受加减消元法的应用价值，激发学生的学习兴趣。

2.通过对比观察、研究探讨解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神。

二、教学重点和难点（教材分析、学情分析）

（一）教材分析：本节的内容就是用几种消元法解二元一次方程组，在此之前已学习了解二元一次方程组的概念和已经学习了二元一次方程组的解的概念，本节是对二元一次方程组的解法的进一步探究。

（二）学情分析：七年级的学生，知识上已经学过了一元一次方程的解法，掌握根据实际问题列出相关的方程和方程组，能力上他们已经具备了一定的探索能力，也初步养成了合作交流的习惯，但独立分析问题的能力和灵活应用的能力还有待提高。

三、准备导入新课（时间：5分钟）

提问同学二元一次方程组的定义。随后叫同学举几个二元一次方程的例子。例1.小亮和小樱练习赛跑。如果小亮让小樱先跑10米，那么小亮跑5秒就追上小莹；如果小亮让小樱先跑4秒，那么小亮跑4秒就追上小樱。问两人每秒各跑多少米？ 然后我们设小亮的速度为x,小樱的速度为y,根据题意我们很容易5y5x10得出下面一个方程组

4y4x4x

现在同学们开始从x=1,y=1依次代入上面的式子，看看当x,y分别等于什么的时候这两个方程组成立了，比比哪位同学先找到。大家是不是很快得出x=2,y=1的时候就能够成立了。

2yx10那么同学们肯定会想如果x,y的值太大了还要一个个试吗，比如①

yx53我们该怎么办呢？

所以这就需要我们学习二元一次方程组的解法.四、授新课（教学过程）（时间：20-25分钟）（回忆型提问、理解型提问、运用型提问、分析型提问、评价型提问、综合型提问）

（一）新知识导入

问 1.上面标号为①的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？（是不是可以把其中的一个二元一次方程看做一个一元一次方程）。【运用型提问】 可能的回答：

（1）不知道；可给与提示ⅰ在一元一次方程解法中，列方程时所用的等量关系是什么？ⅱ方程组中方程②所表示的等量关系是什么？ⅲ方程②与③的等量关系相同，那么它们的区别在哪里？（已学的知识点：多项式的变换）。（2）如果假设其中一个为指数是已知的话就变成了一元一次方程；告诉同学假设x=32，让同学来解答。

（3）可以把这个方程组改写成一个一元一次方程；让同学进行演示。讲解：我们不难发现上述的方程组的第一个方程可以改写为x=2y-10，同时第二个方程就可以改写为y+2y-10=53，运用一元一次方程的解法就能够得出y=21，然后把y的值代入得x=2*21-10，得到x=32；这样我们就得到了这个方程的解。

问2 怎样知道你运算的结果是否正确呢？【分析型提问】

引导回忆起一元一次方程的解释怎么检验的．其方法是将求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看看方程的左、右两边是否相等．检验可以口算，也可以在草稿纸上验算。

归纳：上面的解法，是把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二

元一次方程组的解，我们把这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

例2.用代入法解方程组

x-y3 3x-8y14问3.是把第一个式子代入第二个式子好还是第二个代入第一个式子好呢?为什么？【评价型提问】

让同学们都尝试一下这两个方法，然后叫几个同学回答这个问题。回答最大的可能是把第一个式子代入第二个式子，原因是这样计算比较方便 解得y=-1;

问4；现在把y的值代入那式子比较好？ 【评价型提问】答：第一个 例 3 我们知道，可以用代入法解方程组

xy22 2xy40问5：这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系呢？利用这种关系同学们能够发现新的消元方法吗？【分析型提问】

答：y的系数都是1。第2问的回答可能：（1）无法回答；诱导学生用第一个式子减去第二个式，让学生回忆起知识点：相等的两个数减去同样相等的数得到的值依然相等。（2）用第一个式子减去第二个式子；引导学生具体演练。追问：可不可以用第二个减去第一个。

问6：联系上述方法，想一想下面一个方程组该怎么解比较方便。【综合型4x10y3.6提问】

15x10y8归纳：两个二元一次方程中同一未知数的系数相同或相反，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

问 7 :我们上两个方程组都是凑好的相反数或者相同的系数,那比如说2yx10这个方程能够用消元法解决呢?(探究型提问)yx53

(下次内容)问：有哪位同学来说说加减法消元解方程组的基本步骤是什么，主要的步骤是什么呢？【理解型提问】（1）先观察方程组中的两个未知数是否有相同或相反的未知数，然后选择加减法 ； 追问：那如果遇到系数不同的又要求用加减法解方程组呢？

（ⅰ不知道，则开始讲解解法；ⅱ换算成相同的系数；让学生口述解答过程）（2）

x-y3不知道；让学生坐下，然后举出具体例子，开始讲解（3）先观察方

3x-8y14程组中的两个未知数是否有相同或相反的未知数，有的话直接用，没有的话就转换出相同的系数，在进行计算；让学生口述解答过程。总结:

（二）总结 方案一: 1.问：比较加减法和代入法各有什么特点？

同学的一般无法准确的概括出具体特点，所以举出具体的例子给学生进行判断用哪个方法更合适。

2.练习：请说出下列各方程组应先消哪个元，用哪一种方法简便，为什么？

3.能力提升题

axby2x1时，小张正确的解是，小李由于看错了方程组中的C，得到方cx3y5y2x3程的解为，试求a，b，c的值。

y1

方案二: 1．带领同学一起回顾一下代入消元法的主要思想和一般步骤 主要思想：二元一次方程一元一次方程。代入法的一般步骤：

（1）变形：选择其中一个方程，那他变形为用一个未知数的代数表示另一个未知数的形式；（2）代入求解：把变形后的方程代入到另一个方程中，消元后求出未知数的值；（3）回代求解：把求得值的未知数代入到变形方程中，求出另一个未知数的值；（4）写节：用xa的形式写出方程的解。

yb2、借鉴上述代入法的思想和步骤让同学讨论加减法的主要思想和步骤。主要思想：二元一次方程一元一次方程。

①利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式； ②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边，然后若未知数系数相等则用减法，若未知数系数互为相反数，则用加法）； ③解这个一元一次方程，求出未知数的值；

④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；

⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）。

6.二元一次方程组讲课稿 篇六

本节课是义务教育课程标准试验教科书人教版七年级下册第八章第一节的内容《二元一次方程组》，下面我将从以下几个环节对本节的教学设计进行说明，一、教材分析，二、教学目标，三、教学重难点，四、教法学法，五、教学过程，六、板书设计。

 教材分析

教材的地位与作用：《二元一次方程组》是人教版《数学》七年级下册第八章第一节的内容，本节内容的核心是对二元一次方程组及其相关概念的理解。它是继一元一次方程之后出现的，为后面学习二元一次方程组的解法打下基础，在教材中占据承上启下的地位。

 教学目标

作为一名教师除了把知识教给学生，更重要的是应该教给学生学习的方法，培养他们的自主探索、合作创新的意识，使他们会学，因此根据新课标的要求，教材的特点及学生实际情况我制定了如下目标：

 知识目标：了解二元一次方程的概念，会判断一组数是不是二元一次方程。 能力目标：在经历分析实际问题中数量关系过程中，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的数学模型，通过自由思考与小组合作交流，培养学生的探讨能力。

 情感目标：培养学生的发现意识和探索能力，使其具有强烈的好奇心和求知欲，认识知识的独立性。

 教学重难点

本节课的重点是通过与一元一次方程的类比来认识二元一次方程，通过相比较，讨论掌握二元一次方程的定义。本节课的难点是引导学生运用“实际问题—数学问题的建模意识来理解二元一次方程的定义，使学生能达到本节设定的教学目标、我再从教法和学法上谈谈。

 教法学法

在教法方面、结合课程标准的相关理念及七年级学生思维特征针对本节课的特点在教学中我主要采用了讲授式教学、合作式教学、探索式教学、自主式教学等教学方法，在教学过程中特别注意创设思维情境坚持以学生为主体、教师为主导的方针，在学法指导上、教给学生科学的学习方法、培养良好的学习习惯是最终目的。在本节课的教学中要帮助学生学会运用观察、猜想、合作、交流、抽象概括、总结归纳等方法来解决问题，将知识传授和能力培养融为一体，使学生不仅学到科学探究的方法。同时体验到探究的甘苦领会到成功的喜悦。

 教学过程

为突出重点、突破难点达到教学目标，根据学生的认知规律和学生心理，在本节课的教学中我设定教学过程如下：本节课的教学过程由情景引入、新课探究、共同总结、反馈练习、总结提炼、布置作业六个教学环节构成. 板书设计

我采用这样分块式板书。将整个版面分为三个部分。第一部分用来回顾以前所学的相关知识及后面所要探索新知识的相关概念。第二部分实例分析，探索新知是本节课所要学习的重要部分，需学生共同探索参与，理解所学知识的价值，而第三部分则用于课堂的相关练习，便于巩固新知，理解加深，让学生懂得如何运用新知。这样的板书设计是本节课所要学习内容清晰明了，学生更容易理解，以上是我的全部说课内容，我的说课完毕。

7.趣谈生活中的二元一次方程组 篇七

一、怎样计算水费?

例1为了强化公民的节水意识,合理利用水资源. 某市采用价格调控手段达到节约用水的目的.规定:每户居民每月用水不超过6 m3时,按基本价格收费;超过6 m3时,不超过的部分,仍然按基本价格收费,超过的部分要加价收费. 该市某户居民今年4、5月份的用水量和水费如下表所示,试求用水收费的两种价格.

【分析】解决问题的关键是找到能反映该问题全部含义的相等关系,本题的相等关系有两个:

(1)不超过6 m3的水费+超过6 m3的水费=21元;

(2)不超过6 m3的水费+超过6 m3的水费=27元

若设基本水价为x元/m3,超过6 m3的部分的水价是y元/m3,可列表如下:

解:设基本水价为x元/m3,超过6 m3的部分的水价是y元/m3,根据题意列方程组:

解这个方程组,得:

答:基本水价为1.5元/m3,超过6 m3的部分6元/m3 .

聪明的你能接着解决下列问题吗?

1. 上述问题中,如果某居民1月份用水4 m3,那么需要交水费______元,如果某居民6月份用水11 m3,那么需要交水费______元.

2. 在上面的问题中,如果某居民某月交水费45元,那么用水量为______m3.

二、如何确定成本?

例2甲、乙两件服装的成本共500元,商店老板为获取利润,决定将甲服装按50%的利润定价,乙服装按40%的利润定价. 在实际出售时,应顾客要求,两件服装均按九折出售,这样商店共获利157元.求甲、乙两件服装的成本各是多少元?

【分析】本题是销售问题,涉及成本、利润、利润率、定价、售价等基本概念.它们之间有如下关系:

(1)利润=售价- 成本;

(2)利润率=利润/成本;

(3)定价=成本×(1+利润率);

(4)售价=定价×90%.

能反映本题全部含义的相等关系有两个:

(1)甲服装的成本 +乙服装的成本=500元;

(2)甲服装的利润 +乙服装的利润=157元.

解:设甲服装的成本为x元,乙服装的成本是y元,根据题意,得

解这个方程组,得

答:甲服装的成本每件300元,乙服装的成本每件200元.

三、怎样分配?

例3某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨,准备加工上市销售.该公司的加工能力是:每天可以精加工6吨或粗加工16吨.现计划用15天完成加工任务,该公司应安排几天精加工,几天粗加工?

【分析】这是一个工程问题,涉及工作量、工作时间、工作效率三个基本量,它们之间的关系是:

(1)工作效率=工作量/工作时间;

(2)工作时间×工作效率=工作量;

(3)工作时间=工作量/工作效率.

能反映本题全部含义的相等关系有两个:

(1)精加工的天数+粗加工的天数=15天;

(2)精加工的蔬菜量+粗加工的蔬菜量=140吨.

解:设应安排x天精加工,y天粗加工,根据题意,得

解这个方程组,得

答:应安排10天精加工,5天粗加工.

四、怎样设计才能配套?

例4一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成.如果1立方米木料可制作方桌的桌面50个或制作桌腿300条,现有5立方米木料,请你设计一下,用多少木料制作桌面,多少木料制作桌腿,恰好配套?求出配成的方桌的张数.

【分析】本题隐含两个相等关系:

(1)桌腿数=4×桌面数;

(2)用于做桌腿的木料+用于做桌面的木料=5立方米.

解:设用x立方米的木料制桌腿,用y立方米的木料制作桌面,根据题意,得

解这个方程组,得

当y=3时,50y=150.

答:用3立方米的木料制桌面,用2立方米的木料制桌腿,恰好配套. 共配成150张桌子.

五、怎样测量火车速度?

例5某铁路桥长1 000 m,现有一列火车从桥上通过,测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1 min,整列火车完全在桥上的时间共40 s.求火车的速度和长度.

【分析】这是行程问题,涉及路程、速度、时间三个基本量之间的关系:

(1)路程=速度×时间;

(2)速度=路程/时间;

(3)时间=路程/速度.

能反映本题全部含义的相等关系有两个:

(1)火车从上桥到完全过桥用1 min(图1).

(2)整列火车完全在桥上的时间是40 s(图2).

解:设火车的速度为x m/s,火车的长为y m,根据题意,得:

解这个方程组得:

8.变式学习“二元一次方程组” 篇八

变式2（第87页引言）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？

解析：这个问题中包含两个条件：胜的场数+负的场数=总场数，胜场积分+负场积分=总积分.

例2（第99页“探究1”）养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg； -周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计每头大牛1天约需饲料18～20 kg，每头小牛1天约需饲料7～8 kg.你能通过计算检验他的估计吗？

解析：这个问题中包含两个条件：原来大牛1天所需饲料+原来小牛l天所需饲料=原来1天所需饲料，后来大牛1天所需饲料+后来小牛1天所需饲料=后来1天所需饲料.

故每头大牛1天约需饲料20 kg，每头小牛1天约需饲料5 kg.饲养员李大叔对大牛的食量估计较准确，对小牛的食量估计偏高.

点砰：解二元一次方程组一般要先消元.方法1使用的是代人消元法，简称代入法：方法2使用的是加减消元法，简称加减法.

变式1用适当的方法解下列方程组.

解析：这里我们只给出一些解题思路，解题过程请大家自己完成.

（1）可以将第一个方程变形后代入第二个方程，用代人法求解；也可以将第一个方程乘以3，与第二个方程相减消去x，然后再求解.

（2）可以将其中某一个方程变形，用代人法求解；也可以将第一个（第二个）方程乘以2，与第二个（第一个）方程相减消去y（x），然后再求解.

（3）可以将第一个方程乘以3，将第二个方程乘以2，并将得到的两个方程相加消去y，然后再求解.

9.二元一次方程组教学反思 篇九

这一节共安排了三个实际问题，这些问题比前面的问题更接近现实，数量关系相对比较隐蔽，因此这些问题的分析解决难度比以前的问题也要大些。这节课更为关注建立二元一次方程组数学模型的“探索”过程。它不仅为解决实际问题提供了重要的策略，而且为数学交流提供了有效的途径，它的模型化的方法，合理优化的思想意识为学生解决实际问题提供了理论上的科学依据。

所以我觉得设计此课的重点应该是使学生在探究如何用二元一次方程组解决实际问题的过程中，进一步提高分析问题中的数量关系、设未知数、列方程组并解方程组、检验结果的合理性等能力，感受建立数学模型的作用。教学中我应该根据学生的实际，选取学生熟悉的背景，让学生体会数学建模的思想。在教学中应发挥自主学习的积极性，引导学生先独立探究，再进行合作交流。基于以上原因，这节课的设计我选择了“学案导学”法，就是是以学案为载体，导学为方法的教学活动，其显著优点是发挥学生的主体作用，突出学生的自学行为，倡导学生自主学习，自主探索，自我发现，是学生学会学习，学会合作的有效途径。其操作要领主要表现为先学后教、问题教学、导学导练、当堂达标。

补充说明两个没有体现出来的阶段

课前预习阶段

教师将学案精心编写好后，于课前发给学生，让学生在课前明确学习目标，并在学案的指导下对课堂学习内容进行自主的预习。同时教师要对学习方法进行适当的指导，如要控制自己的预习时间，以提高效率;可以要求学生用红笔划出书中的重点、难点内容;带着学案上的问题看书，并标出自己尚存的疑问，带着问题走进课堂;逐步掌握正确的自学方法，有意识地培养自主学习的能力等等。教师要有意识地通过多种途径获得学生预习的反馈信息，以使上课的讲解更具针对性。

课后巩固深化阶段

课后教师要指导学生完成预习时有疑问而课堂上未能完成的问题，对学案进行及时的消化、整理、补充和归纳。同时教师要将希望生的学案收起，仔细审阅。对学案上反映出的个性问题及课堂上未解决的共性问题及时安排指导和讲解。做到教学一步一个脚印，以收到实效。

10.二元一次方程组教学反思 篇十

几个例题比较起来，学生做减法比较容易出错，看来减法的练习应该多些，上课应多花些时间解决减法的问题，

而在加减消元法的引入时我选择了创设情景，二元一次方程组的应用问题等量关系相对比较简单，这样不仅可以让学生感受数学的实际应用价值，而且可以增加他们对于解应用题的信心，因为有大部分的学生对于应用题有畏难的心理。这样做的效果不错。在第一课时着重讲解系数相同和互为相反数的加减消元，不要涉及其他的，要巩固前面的知识。第二节着重观察、整理方程组，要多板书几组规范的解题步骤!

11.《二元一次方程组》期末复习题 篇十一

1. 已知下列各式：①＋y＝2，②2x－3y＝5，③x＋xy＝2，④x＋y＝z－1，⑤＝.其中是二元一次方程的有（）.

A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个

2． 如果s=1，t=-2是方程-=k的解，则k的值是（）.

A. -B. C. D. -

3． 二元一次方程2x+y=7的正整数解有（）.

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

4． 以x=3，y=1为解建立一个二元一次方程，不正确的是（）.

A. 3x-4y=5B. x-y=0C. x+2y=-3D. -y=

5． 用加减消元法解方程组2x+3y=3，3x-2y=11时，有下列四种变形，其中正确的是（）.

A. 4x+6y=3，9x-6y=11 B. 4x+6y=6，9x-6y=33 C. 6x+3y=9，6x-2y=11 D. 6x+9y=3，6x-4y=11

6． 已知x=-1，y=0和x=2，y=3都是方程y=ax+b的解，则a和b的值是（）.

Ａ． a=-1，b=-1Ｂ． a=-1，b=1Ｃ． a=1，b=1Ｄ． a=1，b=-1

7. 已知关于x、y的方程组2x+y=-a+4，x+2y=3-a ，则x-y的值为（）.

A. －1 B. a-1 C. 0 D. 1

8. 如图1，以两条直线l1、l2的交点坐标为解的方程组是（）.

A． x-y=1，2x-y=1 B． x-y=-1，2x-y=-1

C． x-y=-1，2x-y=1D． x-y=1，2x-y=-1

二、填空题（每小题5分，共40分）

9. 已知方程4x-3y=5，用含x的代数式表示y：.当x=-时，y=．

10. 若一个二元一次方程的一个解为x=2，y=-1，则这个方程可以是.（只要求写出一个）

11. 方程4x+3y=20的所有非负整数解为.

12. 已知满足3x-y=5，2x-y=0的x、y是方程2x-ay=3的一个解， 那么a=.

13. 若（2x+2y-12）2+｜3x+2y-6｜=0，则2x+4y=．

14. 若方程x+y=3，x-y=1和x-2my=0有公共解，则m的值为．

15. 若买2支圆珠笔、1本日记本需4元，买1支圆珠笔、2本日记本需5元，则买4支圆珠笔、4本日记本需元．

16. 我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题: 今有鸡兔同笼， 上有三十五头， 下有九十四足， 问鸡兔各几只.如果设鸡有x只， 兔有y只， 则可列出的关于x、y的二元一次方程组为.

三、解答题

17. （10分）解下列方程组.

（1）3x+5y=8，2x-y=1.

（2）4（x-y-1）=3（1-y）-2，+=2.

18. （8分）已知方程组7x+3y=4，5x-2y=m-1的解能使等式4x-3y=7成立，求m的值．

19. （8分）已知方程组4x+y=5，3x-2y=1和ax+by=3，ax-by=1有相同的解，求a2-2ab+b2的值．

20. （10分）甲、乙两位同学解方程组ax+by=7，2ax-by=-2.甲看错了第一个方程，解得x=1，y=-1.乙看错了第二个方程，解得x=-2，y=-6.求原方程组的解.

21. （12分）某市从2008年秋季开始，减免学生在义务教育阶段的学杂费，并按照每学期小学每个学生250元，初中每个学生450元的标准，由财政拨付学校，作为办公经费.该市某学校小学生和初中生共有840人，2008年秋季收到本学期该项拨款290 000元，问：该学校小学生和初中生各有多少人？

12.二元一次方程组的解法之我见 篇十二

1.代入消元法

由 (2) 得y=15-2x,

将y=15-2x代入 (1) 得x=4,

把x=4代入y= (5-2x) 得y=7.

∴原方程组的解为

2.加减消元法

(1) + (2) 得250x+250y=750,

∴x+y=3, (3)

由 (3) 得:43x+43y=129, (4)

(1) - (4) 得:164x=164,

∴x=1,

(2) - (4) 得:164y=328,

∴y=2.

∴原方程组的解为

3.整体换元法

令x+5=a, y-4=b,

原方程可写为

解得a=8, b=2.∴x+5=8, y-4=2.

∴原方程组的解为

4.参数法

令x=t, y=4t,

由 (2) 可得:5t+6×4t=29,

29t=29, t=1.

∴原方程组的解为

【小结】在解二元一次方程组时,

1.若一个方程的系数比较简单, 可以对其进行变形, 变成y=ax+b或x=ay+b的形式, 将y=ax+b或x=ay+b代入另一个方程, 可消去一个未知数, 将另一个方程变成一元一次方程, 轻松求解;

2.若有同一个未知数的系数相同, 则可直接相减, 消去一个未知数, 若有同一个未知数的系数互为相反数, 则可直接相加, 消去一个未知数;

3.若不存在2中的情况, 可选择一个适当的数去乘方程的两边, 使其中同一个未知数的系数变成相同数 (或相反数) , 再把方程两边分别相减 (或相加) , 消去一个未知数, 得到一元一次方程.

13.解二元一次方程组教学反思 篇十三

“解二元一次方程组”是“二元一次方程组”一章中很重要的知识，占有重要的地位。通过本节课的教学，使学生会用加减消元法解二元一次方程组，进一步了解“消元”的思想。加减法解二元一次方程组的基本思想与代入法相同，仍是“消元”化归思想，通过代入法、加减法这些手段，使二元方程转化为一元方程，从而使“消元”化归这一转化思想得以实现。因此在设计教学过程时，注重化归意识的点拨与渗透，使学生在学习中逐步体会理解这种具有普遍意义的分析问题、解决问题的思想方法。

教学后发现，大部分学生能利用加减消元法解二元一次方程组，教学一开始给出了等式的基本性质的练习题和一个二元一次方程组。等式的基本性质的设置，有利于更好进行加减消元解二元一次方程组，然后让学生回顾用代入法求解二元方程组的基本思想，既复习了旧知识，又引出了新课题，引发学生探究的兴趣。通过学生的观察、发现、比较，理解加减消元法的原理和方法，使学生明确使用加减法的条件，体会在一定条件下使用加减法的优越性。之后，通过例题来帮助学生规范书写，同时明确用加减法解二元一次方程组的步骤。接下来，再通过一系列的练习来巩固加减消元法的应用，并在练习中摸索运算技巧，培养能力，训练学生思维的灵活性及分析问题、解决问题的综合能力。有个别同学在运算上比较容易出错，运用的灵活性掌握得不太好，解答起来速度较慢，我想只要多加练习，一定会又快又准确的。

14.二元一次方程组教学设计 篇十四

1、认识二元一次方程和二元一次方程组.

2、了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会求二元一次方程的正整数解.

重点、难点

重点:理解二元一次方程组的解的意义

难点:求二元一次方程的正整数解

教学过程

一、复习导入

什么是一元一次方程?“元”指什么?“次”指什么?

什么是方程的解?

设计意图：通过学生复习以前的内容，知道用元与次的含义，为这节课所学的二元一次方程组奠定基础。

二、观看视频

观看洋葱视频关于二元一次方程组的内容，通过熟悉的鸡兔同笼问题来引发思考。

视频内容

设计意图：用视频吸引学生注意力，引起学生的认知冲突，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望，通过视频内容，学生已激发了强烈的求知欲望，产生了强劲的学习动力，此时我把学生带入下一环节。

三、探究新知

根据视频内容归纳出二元一次方程的定义：含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.

把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.

提问：对比两个方程，你能发现它们之间的关系吗?

师生共同总结二元一次方程组的概念像这样方程组中有两个个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.

探究二元一次方程组的解：

满足x+y=10的值有哪些?请填入表中：

使二元一次方程两边相等的未知数的值，叫做二元一次方程的解，记作.

满足方程2x+y=16且符合问题的实际意义的x 、y的值如下表：

不难发现x=6,y=4既是x+y=10的解，也是2x+y=16的解，也就是说是这两个方程的公共解，我们把它们叫做方程组的解。

归纳二元一次方程组的解的定义：二元一次方程组中的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解.

思考：3x+y=10的解有多少个?一个解有几个数?正整数解有几个?

带着问题让学生观看洋葱数学视频二元一次方程组的解

视频内容

设计意图：现代数学教学论指出，数学知识的教学必须在学生自主探索，经验归纳的基础上获得，教学中必须展现思维的过程性，在这里，通过学习用坐标表示平移观察分析、独立思考、小组交流等活动，引导学生归纳。

四、例题讲解

例、若方程2x2m+3+3y3n-7=0是关于x、y的二元一次方程，求m+n的值。

例2、暴风雨即将来临,一群蚂蚁正忙着搬家.其中有大蚂蚁和小蚂蚁,已知大小蚂蚁总共有1 00只,小蚂蚁一次只能搬一粒食物,大蚂蚁一次能搬两粒,一场忙碌过后,洞里的160粒食物刚好一次被安全转移,求大小蚂蚁各有几只?

例3、

学生思考，试着解答，最后共同宣布答案。

设计意图：在例题讲解过程中，让学生充分活动起来，通过例题探究来进行总结，不要让学生死记硬背，重点在理解，会灵活运用。

五、随堂练习

1.下列方程中，是二元一次方程的是( )

A.3x-2y=4z B.6xy+9=0

C.+4y=6 D.4x=

2.下列方程组中，是二元一次方程组的是( )

A. B.

C. D.

3.在方程(k-2)x2+(2-3k)x+(k+1)y+3k=0中，若此方程为关于x，y的二元一次方程，则k值为( )

A.-2 B.2或-2 C.2 D.以上答案都不对

4.二元一次方程x-2y=1有无数多个解，下列四组值中不是该方程的解的是( )

A、B、C、D、

5.二元一次方程组的解为( )

A. B. C. D.

6.为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元，购买方案有( )

A.1种B.2种C.3种D.4种

设计意图：几道练习题由浅入深、由易到难、各有侧重，体现新课标提出的让不同的学生在数学上得到不同发展的教学理念。这一环节总的设计意图是反馈教学，升华知识

六、拓展延伸

1.有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨，设一辆大货车一次可以运货x吨，一辆小货车一次可以运货y吨，根据题意所列方程组正确的是( )

A. B.

C. D.

2.甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为试计算a2 016+(-b)2 017.

设计意图：这个环节是巩固本课知识点，通过设置练习，来检测学生的掌握情况，在这部分的设计中，主要是发挥学生作为教学主体的主动性，让学生感受学习的乐趣和成功的喜悦。

七、课堂小结

以提问进行：

(1)、二元一次方程(组)的特征是什么?

(2)、二元一次方程组的解要满足什么条件?

设计意图：通过共同小结使学生归纳、梳理总结本节的知识、技能、方法，将本课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联结，再一次突出本节课的学习重点，改善学生的学习方式。有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感.同时为以后的学习作知识储备.

八、教学反思

1.概念课教学模式：本节课的主要内容是二元一次方程(组)的有关概念，设计时按照“实例研究，初步体会——比较分析，把握实质——归纳概括，形成定义——应用提高，发展能力”的思路进行，让学生体会到是因为“需要”而学习新知识，逐步渗透应用意识。

2.类比法的运用：二元一次方程及其解的意义类比一元一次方程学习，一方面加深学生对于方程中“元”与“次”的理解，另一方面易于理清一元一次方程与二元一次方程“解”的相关知识的异同，同时为二元一次方程组相关概念扫清障碍。

15.二元一次方程组 篇十五

《课程标准》赋予数学以文化价值, 数学文化价值主要体现在:用悠久的数学历史展现数学文化的丰厚背景, 激发学生的民族自豪感;用数学的广泛应用来感受数学文化的博大精深;用数学的美学价值展现数学文化的无穷魅力, 从而激发学生学习数学的动机, 培养学生对数学的学习兴趣, 坚定学好数学的信心.

数学史中对于二元一次方程这个课题也有着丰富的文化内涵.但由于对有关的历史知识缺乏足够的了解, 在我们的日常教学中很少利用这些历史上的问题.在河南省新乡市四所中学的初中生学习数学情况的调查发现:“我不喜欢数学, 但为了考试, 我必须学好数学”的学生占被调查者的比例高达62.21%, 而对数学“很感兴趣”的只有23.12%.可见目前中学生的学习动机不明确, 对数学的兴趣也很不够, 这些都极大地影响了学习数学的效果.但这并不是因为数学本身无趣, 而是它被我们的教学所忽视了.在我订阅的杂志《中学数学教学参考》中连续几期拜读了华东师范大学数学系的汪晓勤老师的课堂设计, 他的设计完全打破了传统的设计方法, 令人耳目一新, 深有感触.我产生了对汪老师的这种新的教学方式进行实践尝试的冲动.

二、课堂实践教学片段

二元一次方程组概念的教学片段

师:你知道吗?

19世纪前期, 考古学家在十九世纪上半叶于美索不达米亚挖掘出约50万块泥版, 上面密密麻麻地刻有奇怪的符号.这些符号实际上就是巴比伦人所用的文字, 人们称它为“楔形文字”.科学家经过研究发现, 泥版上记载的, 是巴比伦人已获得的知识, 其中有大量的数学知识.其中有近400块被鉴定为载有数字表和一批数学问题的纯数学书板, 现在关于巴比伦的数学知识就源于分析这些原始文献.

有文字表述如下:

[ (1) 今有鸡兔同笼, 上有三十五头, 下有九十四足, 问鸡兔各几头?《孙子算经》]

[ (2) 已知两数之和为100, 差为40, 求这两个数 (丢番图《算术》) ]

(学生浏览题目并思考)

师:你能根据文字提供的信息列出一元一次方程吗?

生:设鸡为x头得:2x+4 (35-x) =94;设较小的数为x得:x+ (40+x) =100

师:除此之外, 在中国的《九章算术》、丢番图《算术》、斐波纳契《计算之书》、克拉维斯《代数》都能找到数学足迹.其中《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作;其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造;“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则.

(教师先让学生解上述问题, 然后让学生回答:所选择的未知量是什么?另一个量是什么?如何表示?根据题意得到怎样的一元一次方程?)

师生共同总结如下:

观察表格让学生思考:上面四个问题各涉及两个量, 我们在求解的时候, 只设其中一个量为x, 而另一个量则根据题设的其中一个数量关系用x来表示, 再利用另一个数量关系得到一元一次方程.如果我们把另一个量也看做未知量, 并设为y, 情况又如何呢?

学生讨论后回答:两个未知量分别是什么?根据题意可得怎样的等式?有几个等式?

师生共同作出总结如下表:

(学生浏览了解.要求学生仔细观察上面所列方程.)

师:观察上表中每一题中的两个等式, 回答:未知数有几个?次数是几次?

生:两个未知数, 都是一次.

师:每一题中各未知数所表示的意义是一样的, 我们把这样的两个方程用大括号把它们连起来组成一个方程组, 你能给这样的方程组命名吗?

生: (轻松说出二元一次方程组.)

(多媒体显示4组方程组让学生判断是否为二元一次方程组以巩固概念)

师:《九章算术》“方程”章中还有如下的表述.

[①今有牛五、羊二, 直金十两.牛二、羊五直金八两.问牛羊各直金几何?《九章算术》]

[②今有 (人) 共买物, (每) 人出八 (钱) , 盈 (余) 三钱;人出七 (钱) , 不足四 (钱) , 问人数、物价各几何?《九章算术》]

[③今有二马、一牛价过一万, 如半马之价.一马、二牛价不满一万, 如半牛之价.问牛、马价各几何?《九章算术》]

[④今有五雀、六燕, 集称之衡, 雀俱重, 燕俱轻.一雀一燕交而处, 衡适平.并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何?《九章算术》]

[⑤今有甲乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十, 乙得甲太半而亦钱五十.问甲、乙持钱各几何?《九章算术》]

(学生浏览题目并思考)

师:你能根据文字表述列出方程组吗?

注意分析以免引起混淆.

(师帮助学生一起用现代语言来解释题意, 让学生感受数学老师的专业能力以及对数学历史问题的研究)

师:美国著名数学史家史密斯认为, 代数学正是始于那些数字谜题, 如公元前1650年古代埃及纸草书上的问题:“一个量, 它的undefined, 它的undefined, 它的undefined, 它的全部, 加起来总共是33”.荷兰著名数学家范德瓦登则区分了两种数学传统, 一则是以逻辑证明为特征的演绎数学传统, 一则是以计算为特征的大众数学传统, 有关方程的计算问题均属后一传统.

三、教学反思

数学史对揭示数学知识的来源和应用、激发数学思考有着重要的作用.课堂教学要多角度地创造条件, 适时融入数学史, 丰富数学的文化内涵, 发挥数学的教育功能.本节课的实践尝试, 通过对二元一次方程组概念的相关内容的交流和展示, 使学生充分感受到数学在人类文化发展中的作用和价值, 从而进一步体会数学的文化功能.历史上的名题有的直接提供了相应数学内容产生的现实背景, 有的揭示了实质性的数学思想方法, 对于学生理解掌握数学内容和方法非常有意义.

1.融入数学历史问题的教学有利于培养学生对数学的兴趣, 激发学生学习数学的动机.

动机是激励人、推动人去行动的一种力量, 从心理学的观点讲, 动机可分为两个部分;人的好奇心、求知欲、兴趣、爱好构成了有利于创造的内部动机;社会责任感构成了有利于创造的外部动机, 兴趣是最好的动机.在数学教学中适当结合数学史有利于培养学生对数学的兴趣, 克服动机因素的消极倾向.对于学生来说, 历史上的问题是真实的, 因而更为有趣;历史名题往往可以提供生动的人文背景;历史问题的提出一般来说都非常自然, 它或者直接提供了相应数学内容产生的现实背景, 或者揭示了实质性的数学思想方法, 对于学生理解数学内容和方法都十分重要.课后对学生进行了调查, 事实证明, 大部分学生表示这一堂数学课与之前的数学课不一样, 并表示喜欢这样的数学课, 并有学生表示希望在今后的数学课堂中能多学一些数学历史知识.

2.融入数学历史问题的教学中也渗透着德育教育.

《数学课程标准》指出“在数与代数部分, 可以穿插介绍代数及代数语言的历史, 也可以介绍与方程及其解法有关的材料”.在“教学建议”中指出:“数学教学应从学生的实际出发, 创设有助于学生自主学习的问题情境.”“在教学活动中, 教师要创造性地使用教材, 积极开发、利用各种教学资源, 为学生提供丰富多彩的学习素材.”而数学史上的有关问题是学生学习的好素材.

中国古代是一个世界上数学先进的国家, 用近代科目来分类的话, 可以看出无论在算术、代数、几何和三角各方而都十分发达.而现行的中学教材讲的大都是外国的数学成就, 对我国在数学史上的贡献提得很少, 其实中国数学有着光辉的传统, 有刘徽、祖冲之、祖暅、杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰等一批优秀的数学家.数学历史内容的加入使数学教育有更强大的德育教育功能, 更好地挖掘学习潜力, 促成学生成才.

3.融入数学历史问题的教学有利于培养学生的人文素养.