单摆的教学设计（11篇）
1.单摆的教学设计 篇一
研究单摆的振动周期（教学设计案例）
（教学设计案例）研究单摆的振动周期（旧人教版必修+选修2）〖教学目标〗
1、学生能积极地参与小组的讨论、操作、记录或总结发言。
2、学生能了解单摆做简谐运动的条件，理解此时的周期公式。
3、小组成员能相互配合设计出合理的实验方案，并按照自己的实验方案进行有计划的探究。
4、小组成员能各司其职相互配合顺利完成操作——如按教师的示范正确地组装单摆、控制单摆在竖直面内做简谐运动、进行摆长和周期的相应测量。
5、学生能够通过交流讨论对自己的实验方案有一个初步的评价或有改进的措施。
〖实验材料〗
教师提供的材料有：铁架台、夹子、五号电池、二号电池、一号电池各若干、鱼网线一卷。
学生自备的材料有：学生的学习用具和生活用品（如文具、手表等）〖实验设计与实施〗 ※教师在讲桌上用铁架台、鱼网线和一节电池动手组装一个单摆，介绍单摆模型和单摆做简谐运动的条件，并观察单摆的简谐运动。
※对学生进行分组：相邻的六人组成一个小组，小组成员要有明确的分工。※分三个阶段对单摆做简谐运动的周期进行研究。第一阶段：理论预测和实验设计阶段（约8分钟）教师提出问题：
1、猜测单摆做简谐运动的周期可能与哪些因素有关？
2、如何设计实验去证实你的猜测？
3、在实验中应注意哪些问题？ 学生分小组讨论。经验交流和总结：
1、猜测与单摆做简谐运动的周期有关的因素可能来自三个方面：一是来自摆线——如摆长、摆线质量等；二是来自摆球——如摆球的体积、质量、形状等；三是来自运动状况——如振幅（或最大摆角）。
教师提示：根据单摆的模型，可以排除“摆线质量”这一条，且摆线足够长时，一般的小重物也可当作摆球，如本实验中使用的电池，这样，就又可以排除“摆球形状”、“摆球体积”这两条。这时，有学生提出：据简谐运动的周期与振幅无关，可以直接排除“单摆的振幅”这一条；将单摆做简谐运动的条件代入弹簧振子做简谐运动的周期公式（有同学从参考书上了解到的），可以直接推出单摆做简谐运动的周期公式。
教师进一步明确要求：本节课我们使用实验的方法来探讨影响单摆周期的因素；从理论上已经得出结论的同学，可以用实验来验证你的结论。
2、设计的实验方案——用单摆进行多次对比实验，得出定性的结论。摆动中，摆角不要超过5°；对比实验要用到控制变量法。第二阶段：实验实施和探究阶段（约17分钟）
教师提出启发性问题：周期用什么办法测？摆长怎么测？摆角怎么控制？ 学生边思考边动手探索。
第三阶段：交流总结、得出成果阶段（约10分钟）
1、实验结论：
单摆在摆角小于5°的情况下做简谐运动，其周期与摆球的质量无关，也与振幅无关。
单摆做简谐运动的周期随摆长的增大而增大，但周期与摆长之间不是正比关系（有两组学生补充说明：周期的平方与摆长成正比）。（教师肯定学生的实验成果，并补充：科学家通过大量事实得出——单摆做简谐振动的周期公式为，其中，l为单摆的摆长，g为当地的重力加速度。
另外，对于刚才已经从理论上推导出正确结论的小组给予肯定。）
2、实验方法总结：
⑴如何测量周期？各组提供的方法有： ①用手表测量一个周期的时间；
②用手表测量多个周期的总时间再求平均值；
③两组配合，同时从单摆运动的最高点释放摆球，对比周期的长短。⑵如何测量摆长？各组提供的方法有： ①用课桌边长进行测量； ②用手作尺进行测量； ③用学生用尺进行测量； ④用对折法确定长度关系。
⑶如何控制摆角？各组都使用量角器来控制。（教师补充：在已知摆长时也可以通过估算振幅来控制。）⑷实验误差分析（学生分析，教师补充）：
①因为周期太小，用手表直接测量一个周期时误差较大。（教师补充：因为摆球的运动速率不同，所以计时起点的选择也会影响到测量的精度。）②测量长度误差较大或者只能进行定性对比。（教师补充：摆长的值应是在单摆自然悬挂时从悬点到摆球重心的距离。）⑸实验可能的改进措施： 学生归纳：
①用累积法测周期，且应在摆球通过最低点时计时和计数。
②测量摆长时，使用更合适的仪器（如最小刻度为mm的米尺），并从悬点测到摆球中心。
③可以在多次测量后用计算结果说明问题；也可以根据所测数据用作图法找寻规律。
④可以尝试课后到兰山的山顶（约海拔2050m）进行对比实验，研究周期与重力加速度的关系。教师小结：
第一：这次实验中，我们尝试了物理学中最常见的研究方法： 观察、实验→理论预测、提出假设→实验验证→修改假设→实验验证„„→形成理论。
第二：实验的改进措施是我们总结实验的经验和教训得来的，在这次小实验中，我们有成功的喜悦，也有各种各样的遗憾，不过，这些遗憾可以通过后面的一个定量化的学生实验——“用单摆测定重力加速度”来弥补。
※最后，由同学们根据各组的表现，颁发各种口头奖励：如“最具创意奖”、“最默契小组奖”、“最佳组间合作奖”、“最佳周期测法奖”、“最佳摆长控制奖”、“最节约材料奖”等等。
〖学生反馈〗
学生在实验中兴趣高涨，大多数学生都能积极地参与小组实验活动。在实验设计阶段，学生在组内的活动较多；第一次交流过后，有的小组已经受到其他小组的启发，及时调整了自己的策略；在实际操作阶段，各组除了在实验中摸索和调整方案外，组与组之间也有相互影响；第二次交流阶段，各小组对本组的研究方案和实验结论都能做出一个比较客观的结论，并能对其他组的方案给出比较合理的评价。
通常，在做学生实验“用单摆测重力加速度”之前，教师都要花半节课到一节课的时间给学生讲授如何进行摆长和周期的测量，但还是会有许多学生在实验中出错。在进行了上述课堂小实验后，学生对实验中可能出现的问题已有所了解，并由他们自己总结了实验的改进措施，所以教师在要求学生预习实验的基础上，没有详细讲解实验的细节，只是着重介绍了秒表的读数规则，就放手让学生去做，结果很多学生都按时完成了实验，并得到了比较令人满意的结果。
〖总结与反思〗
⑴侧重于培养学生探究和解决问题能力的课堂小实验对学生的要求较高，应分层次有步骤地进行
分层次是指对学生的要求要符合学生的实际水平。如，在测量周期的过程中，大多数小组都用手表直接测一次摆动周期，但有几个小组在教师给出累积法测时间前就自行提出了这一方法。这时，对后几个小组给予肯定的同时，也应肯定前一种方法，但可以指出它在本实验中的误差较大。有步骤是指探究过程中，教师控制着实验进行的节奏，按照“提出问题、制订方案→交流心得、修改方案→动手实验、探索规律→交流总结、得出结论→进行评价”的程序进行的小实验中，教师引导着学生的研究进程。尽管这样的探究似乎还不完整，但在有限的课堂时间内依然可以使学生感受到探索带来的乐趣、学到探索知识的方法。⑵在以学生设计和动手实验为主的小实验中，教师的主导性体现在，适时给学生以具有启发性的提示、在巡视中关注各小组的进程、帮助学生总结方法和结论，并尽可能保护学生的积极性和创造性。⑶课堂探究性小实验应以定性和半定量实验为主
首先是考虑到课堂时间有限，不可能将一个过于复杂的问题展开来进行研究，对于测量和计算方法也不能要求过高，所以课堂小实验多采用定性和半定量实验。
另外，定性和半定量的研究方法实际上也是物理学研究中不可或缺的重要方法。赵凯华教授在他的专著《定性与半定量物理学》中指出：“当一位成熟的物理学家进行探索性的科学研究时，常常从定性和半定量的方法入手。他们通过定性思考，半定量的试验，力求先对问题的性质、面貌取得一个总体的估计和理解，否则，一下子陷入细微末节的探讨，往往会一叶障目，只见树木，不见树林。”[1] ⑷建立4～6人组成的学习小组，一方面是使学生能与实验材料近距离接触，更有利于细致地观察实验现象；另一方面，学生可以在以小组为单位的实验中，学会搜集和处理信息，学会和他人在学习过程中团结协作、交流并分享信息；还有，在实践中发现，学生（尤其是物理学习水平中等偏下的学生）在小组学习过程中，更容易获得自信。说明：这是本人学位论文中的一部分，略有修改。
[1] 转引自叶瑞英，等.物理演示实验开放教学的探讨.物理实验，2003，22（3），24～26.
2.单摆的教学设计 篇二
一、教学目标分析
单摆是第十一章“简谐运动”继弹簧振子之后的又一个基本运动模型, 是机械振动的核心内容, 既是本章的中心, 又是本章的教学重点, 也是一个圆周运动的典型模型, 因而是很多省份高考中考察的热点.这节课还用到了理想化方法、科学近似处理方法、控制变量法帮助学生建构"单摆"这个物理模型.
二、情景创设
在新教学之前设计一个故事讲述和一些演示实验使学生很快熟悉单摆的运动形式, 为学生建立单摆模型提供必要的直观形象.
(1) 讲述故事 (伽利略发现"摆"的等时性) .通过故事将"摆"的规律用于制作摆钟的技术, 对学生是一次很好的模型教学的教育.学生将形成从建立到应用模型的直观感受. (2) 小实验.演示实验1:单摆摆球的摆动;演示实验2:摆钟的摆动.
在引入生动的故事的基础上, 通过实验演示, 向学生展现单摆的各部零件, 给学生以单摆这个实体模型的初步认识.另外也能使得学生很快熟悉单摆这种运动形式, 为学生建立单摆振动模型提供必要的直观形象.
三、建构单摆简谐运动模型
单摆模型是把实际摆球视作质点, 系统质量集中在摆球上, 这样摆球受到的空气阻力可以忽略不计, 摆球的运动只是由重力和绳子的拉力决定, 摆球只有在竖直平面内作偏角很小的振动条件下.
1. 演示:
用力将摆球拉离平衡位置, 使摆线与竖直方向成一角度, 然后释放, 并利用多媒体课件动画模拟单摆的摆动.
2."抛出式"教学实施过程
(1) 由教师提出问题
问题1:学生认为摆球做什么运动?
(2) 由学生对照以往学习过的运动模型的特点进行判断学生可能回答:以悬挂点为圆心在竖直平面内做圆弧运动.学生还可能答:摆球以平衡位置O为中心往复运动.
(3) 再由教师提出问题
问题2:是什么原因导致摆球以平衡位置O为中点的一段圆弧做往复运动呢?
(4) 由学生根据圆周运动模型和弹簧振子振动模型的受力特点对单摆小球受力情况进行分析, 如图1所示, 找到圆周运动所需的向心力和机械振动所需的回复力.
(5) 教师小结:正是沿运动垂直方向的合力F-F2提供了摆球摆动做圆周运动的向心力, 沿运动方向的合力F1=mgsinθ提供了摆球摆动的回复力.
(6) 利用科学近似的方法和图象法建构单摆简谐运动模型
(1) 小角度摆动时 (摆角θ<10°) :所以单摆在较小偏角摆动时: (x表示摆球偏离平衡位置的位移, l表示单摆的摆长) .
对照简谐运动的回复力特征可以得出这样的结论:单摆在较小偏角摆动时, 回复力的方向与摆球偏离平衡位置的位移方向相反, 大小成正比, 单摆做简谐运动.
(2) 关于单摆在小角度摆动是简谐运动, 还可以从单摆振动图象中得到证实.实验演示:做课本图9-19的演示实验, 并用实物投影仪投影———漏斗的漏砂落到匀速拉动的硬纸板上形成的图象是简谐运动的图象.
3.单摆的教学设计 篇三
加德纳研究认为，学生在认知结构、智力因素、接受能力等方面存在差异.而实际实验教学中，教师很少考虑学生的差异，采取对实验要求“一视同仁”、实验评价 “一把尺子量到底”这种“一刀切”教学方法，严重影响了学生实验的积极性和主动性，不利于提高学生的实验技能与水平，导致优等生“吃不饱”而不能尽情展现个性与特长，中等生“吃不好”而不能提高实验能力，学困生“吃不了”而不能完成实验任务.实验分层教学就是从学生的差异出发，依据全体参与性、 自主性、可接受性原则，设计多层次实验目标，使学生在不同实验任务的驱使下自主实验，教师采取“导优补差”辅导策略，对实验结果“多尺度”评价，探索从学生的差异中寻求实验分层教学的最佳结合点，下面是实验分层教学设计的流程图（图1）.
1 调查学情，对学生分层
分层前采取谈话、问卷等方式了解学生对要探究的科学问题的原有认知和存在的疑惑，结合平时对学生思维方式、知识基础、接受能力、学习积极性等方面的观察了解，综合分析后将学生分为物理基础薄弱、学习积极性不高、接受能力较差的达标组；物理基础与接受能力一般、有一定学习主动性的争优组；物理基础扎实、学习积极主动、接受能力强的创新组.通过实验分层教学，使达标组学生能根据实验情境进行初步猜想，了解实验目的和原理，在老师引导与示范下，学会设计简单的实验方案及选择实验器材，处理简单的实验数据，得出实验结论，并简单应用实验结论；使争优组学生会根据实验情境进行大胆猜想，在教师指导下，明确实验目的及原理，设计合理的实验方案，选择合适的实验器材，处理实验数据，得出实验结论，能应用实验结论解决一些实际问题，尝试对实验进行简单改进； 使创新组学生会从系统的高度对实验情境进行大胆猜想，通过教师点拨，理解实验目的及原理，设计科学的实验方案，选择合适的实验器材，能独立处理实验数据得出实验结论，灵活运用实验结论解决一些较复杂的问题，会对实验进行改进和创新.
2 实验分层教学的课堂设计
2.1 创设情境，形成猜想
利用图2实验装置演示实验，创设实验情境.
实验1：摆长相同，摆球为相同钢球（或铝球）的两个单摆；
实验时，拉开不同角度、让两摆球从同一位置、同时自由摆动，观察两个摆球摆动快慢情况.
实验2：摆长相同，摆球为大小相同的钢球和铝球的两个单摆；
实验3：摆长不同，摆球为相同钢球（或铝球）的两个单摆；
做实验2和3时，拉开相同角度、让两摆球从同一位置、同时自由摆动，观察两个摆球摆动快慢情况.
实验后，组织学生思考、讨论，大胆猜想影响单摆周期的因素，以下是学生们的猜想及相应的理由.
（1）单摆周期与摆线长度有关，摆线越长，周期越大；原因：摆线长的摆球振动得比较慢.
（2）单摆周期与摆线长度有关，摆线越长，周期越大；原因：摆线越长，摆球偏离平衡位置越远，振动的时间会变长.
（3）单摆周期与摆球质量有关，摆球质量越小，摆球运动越慢，周期越大；原因：摆球质量小些，运动得就慢一些.
（4）单摆周期与摆球质量有关，摆球质量越大，惯性越大，摆动的越慢，周期越大；原因：根据弹簧振子做简谐运动的周期与振子质量有关.
（5）单摆周期与摆角有关，摆角越大，周期越大；原因：摆角越大，到平衡位置的距离越大，回到平衡位置的时间就越长.
（6）单摆周期与振幅有关，振幅越大，周期越长；原因：振幅越大，回到平衡位置的时间越长.
（7）单摆周期与振幅或摆角的关系相同，摆角或振幅越大，周期越大；原因：摆角与振幅其实是一回事.
（8）单摆周期与摆球的重力有关，摆球的重力越大，周期越小；原因：摆球的重力越大，重力加速度越大，小球运动时间越短.
（9）单摆周期与重力加速度有关；原因：单摆做简谐运动时所受合力F=mgsinθ，加速度a=gsinθ，g不同，加速度也不同，运动所需的时间也会不同.
2.2 自主实验，分层辅导
（1）对达标组学生
采取低起点、密台阶、小步子、细讲解的原则.教师指导学生将猜想（1）至（7）总结为单摆周期与摆长、摆球质量、摆角（或摆角）的关系.以“探究摆长与周期关系”为例说明操作过程：首先，将学生分组，通过教师讲解使学生明白实验原理，帮助学生设计实验方案，选择合适的实验仪器，装好实验装置；其次，指导学生用米尺测出悬点到小球下端的长度l，用游标卡尺测摆球直径d，根据L=l-[SX（]d[]2[SX）]算出摆长L，多次测量求平均值[AKL-]；再次，指导学生用秒表记下单摆做30次～50次全振动的总时间t，根据T=[SX（]t[]n[SX）]算出单摆振动的平均周期，每个实验做三次，求周期的平均值[AKT-]=[SX（]T1+T2+T3[]3[SX）]；根据实验数据总结周期T与摆长L的关系，验证猜想是否正确；最后，引导学生总结实验中的注意事项，如为减小误差，摆线长些好还是短些好？摆球摆到哪个位置开始计时更合适？在有难度的地方，教师需现场示范，学生再模仿老师完成实验.
（2）对争优组学生
3 实验评价
由于不同组实验任务不同，要采取“多尺度”的评价方式.对达标组学生采取表扬性评价，要多找“闪光点”给予及时肯定与表扬，以提高实验兴趣和信心；对争优组学生采取激励性评价，以表扬“亮点”为主，指出不足为辅，帮助学生树立知难而上的进取心，明白下一步努力的方向；对创新组学生采取竞争性评价，坚持高标准、严要求、重应用、求创新的标准，鼓励相互竞争，对表现突出的学生顺势提出更高的要求，争取更多的创新与突破.
4 初探总结
这次教学初探充分展示了教师的主导作用、学生的自主与协作意识；学生充分体验了探究过程带来的失败的焦虑感和成功的喜悦；激发了达标组学生的实验兴趣，提高了实验操作的基本技能；培养了争优组学生初步的探究意识，初步掌握了科学探究的方法；培养了创新组学生的创新意识，挖掘了学生的潜在智能，但还有以下值得注意的问题.
（1）充分做好课前准备，精心设计探究活动，对学生可能出现的问题做好应对方案.
（2）在探究过程中，学生对面临的问题没有解决思路时，教师要适时判断学生的困惑，给予适当的启发与帮助，鼓励学生继续探究.
（3）对探究要素较多的实验，教师要根据教学内容的特点，给不同组选择一个或几个探究要素进行重点探究，探究过程中组内要采取分工合作的方式.
（4）为保护学生的自尊心，分层结果要尽量隐性处理，哪个学生归入哪个层级，教师心中有数即可，不能人为将学生分成三六九等、好与坏，给学生贴标签.
（5）长期的分层教学，对学生分层应采取动态原则，根据学生提高的情况及时调整层级， 使学生处在最佳层级.
实验分层教学中还有许多问题有待深入探讨与研究，如对学生分层前，需综合考虑哪些因素呢？如何分析这些因素对学生的影响，实现真正的科学分层？在有限的课时内，如何操作才能使各组有条不紊地完成实验探究任务？实验探究过程中，如何处理教师的主导性和学生探究自主性的矛盾，促进学生的“探究-建构”，才不让自主实验探究演变为“找方抓药”的机械模仿等.
4.单摆的说课稿 篇四
1. 教材的地位和作用
《单摆》是司南版高中《物理》选修(3—4)第一章第3节的内容。本节内容是简谐运动的实例应用，是高考的常考点，既是本章的核心内容，又是教学重点。 2. 教材的特点
本节教材先从实际生活中各种各样的摆，例如秋千，挂钟等抽象出单摆，通过对单摆的运动和受力分析，使学生掌握单摆做简谐运动的条件。设计探究性实验，让学生探究单摆的周期，最后设计分组实验，让学生懂得如何利用单摆测重力加速度，并提出周期的应用。
依据教材特点及学生知识基础，本节课在教学设计时突出以下几个特点： 1)重视实验：通过实验设疑、解疑，充分体现了物理是以实验为基础的学科，体现科学实验是揭示自然规律的重要方法和手段。
2)重视多媒体辅助教学手段的运用：运用多媒体展示直观的生活实例，动态分析受力，出示练习，可提高课堂教学的效率。
3)注重对学生进行物理研究方法的指导：如控制变量法。
4)充分发挥学生的主体作用：通过实验探索、设问点拨，创设问题情境，引导学生积极参与，激发学习兴趣，活跃课堂气氛，使学生始终保持积极探索的学习心态。
5)层次分明：这节课的程序是：(1)通过对生活实例的分析及实验观察，建立单摆模型;(2)结合单摆运动状态分析其受力，理论证明单摆的振动是简谐运动;(3)实验探究单摆的周期受哪些因素的影响，并得出周期公式，最后提出周期的应用。
3. 教学目标 知识与技能：
1.知道什么是单摆;
2.理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动;
3.知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算;
4.知道用单摆可测定重力加速度。 过程与方法：
1.通过单摆的教学，知道单摆是一种理想化的系统，学会用理想化的方法建立物理模型;
2.通过单摆做简谐运动条件的学习，体会用近似处理方法来解决物理问题; 3.通过研究单摆的周期，掌握用控制变量法来研究物理问题; 4.培养学生的观察实验能力、思维能力。 情感态度和价值观：
1.单摆在小角度情况下做简谐运动，它既有简谐运动的共性，又有其特殊性，理解共性和个性的概念; 2. 通过介绍科学家的情况，激发学生发现知识，热爱科学的热情;鼓励学生像科学家那样不怕困难，善于发现，勇于创造。 4. 教学中的重点和难点
重点：1. 知道单摆的回复力的来源;
2. 单摆的周期公式。
难点：1.单摆做简谐运动的条件——摆角小于或等于5°时的振动;
2.单摆振动的回复力的来源; 3.单摆振动的周期与什么有关。
突破的方法：通过课堂实验和课件演示以及巩固练习来突破重难点，同时引导学生看书自主学习。 二. 教法和学法
1.关于单摆的构成的教学——采用问题教学法进行。
2.关于单摆的振动，单摆回复力的教学——采用分析归纳法、推理法进行。 3.关于单摆在摆角很小时做简谐运动的证明——采用数学公式推导法进行。 4.关于单摆周期的教学——采用实验探究的方法进行。
教学中创设物理情景教师边演示边提问，学生边观察边思考，引导学生来探索规律并让学生试着自己得出结论。一改过去教师讲，学生被动接受的局面，最大限度地调动学生积极参与教学活动，教师可给予恰当的思维点拨。采用：“复习提问——直观演示——分析讨论——揭示规律——巩固知识”并辅以现代教育教学手段等多种形式的综合启发式教学。
对学生来说，重要的是让他们学会学习，“教是为了不教”，让他们掌握获取新知
识的过程和方法，养成良好的科学素养。因此在学习过程中，要让学生主动参与、乐于探究、善于思考、勤于动手，注重搜集和处理信息，获取新知识学会解决问题。采用：“提取旧知识——积极思维——实验探索——构建新知——巩固深化”的学法。
与以往传统教学相比，本节课重视实验及多媒体辅助教学手段的运用，注重对学生进行物理学研究方法的教育，充分发挥学生的主体作用，体现了师生互动的新课程理念。
在教学过程中，要善于发现和利用周围事物及生活现象这些宝贵的教学资源。适当对学生的学习过程进行评价，适当评价他们的学习态度，在思考和讨论问题中表现
5.单摆实验报告 篇五
院（系）名称
物理系
班
姓名
别
专业 名称
物理教育
学号
实验课 程名称
普通物理实验 I 实验项 目名称
力学实验 ：单摆
实验时间
实验 地点
实验 成绩
指 指导 老师签 名
一、实验 目的（1）学会用单摆测定当地的重力加速度。
（2）研究单摆振动的周期和摆长的关系。
（3）观察周期与摆角的关系。
θ L
二、实验 原理
如图所示，将一根不易伸长而且质量可忽略的细线上端固定，下端系一体积很小的金属小球绳长远大于小球的直径，将
mg sinθ
小球自平衡位置拉至一边（摆角小于 5°），然后释放，小球即 θ mg cosθ
在平衡位置左右往返作周期性的摆动，这里的装置就是单摆 mg
设摆点 O 为极点，通过 O 且与地面垂直的直线为极轴，逆时针方向为角位移的正方向。由于作用于小球的重力和绳子张力的合力必沿着轨道的切线方f mgsin
向且指向平衡位置，其大小
设摆长为 L，根据牛顿第二定律，并注意到加速度的切d a l 2
dt 向方向分量，即得单摆的动力学方程d
ml mgsin 2 dtd g 2
dtl 结果得
由上式可知单摆作简谐振动，其振动周期l
T 2
g
文档 l 2
g 4 T
或
利用上式测得重力加速度 g，可采取两种方法：第一，选取某给定的摆长 L，利用多次测 lT量对应的振动周期 i T，算出平均值，然后求出 i
g ；第二，选取若干个摆长，测出各对应的周期，T l ii
作出图线，它是一条直线，由该直线的斜率 K 可求得重力加速度。
三、实验仪器 器
单摆，秒表，米尺，游标卡尺。
四、实验 内容
1、用给 定摆长测 定重力加速度
①选取适当的摆长，测出摆长；
②测出连续摆动 50 次的总时间 t ；共测 5 次。
③求出重力加速度及其不确定度；
④写出结果表示。2、、绘 制单摆 周期与摆长 的关系曲线
①分别选取 5 个不同的摆长，测出与其对应的周期。
②作出 T-L 图线，由图的斜率求出重力加速度 g。3、、观测 周期与摆 角的关系
定性观测: 对一定的摆长，测出 3 个不同摆角对应的周期，并进行分析。
四、实验 内容和步骤
（1）
仪器的调整
1．调节立柱，使它沿着铅直方向，衡量标准是单摆悬线、反射镜上的竖直刻线及单摆悬线的像三者重合。
2．为使标尺的角度值能真正表示单摆的摆角，移动标尺，使其中心与单摆悬点间的距离 y 满足下式 AB y 180
AB 式中为标尺的角度数，可取，而是标尺上与此 5°相对应的弧长，可用米尺量度。
（2）
利用给定摆长的单摆测定重力加速度
1．适当选择单摆长度，测出摆长。注意，摆长等于悬线长度和摆球半径之和。
2．用于使摆球离开平衡位置（﹤5°），然后令它在一个圆弧上摆动，待摆动稳定后，测出连续摆动 50 次的时间 t，重复 4 次。
3．由上述结果求出重力加速度及其标准偏差。
（3）
绘制周期与摆长的关系曲线 2
T l 在 60cm—100cm 之间取 5 个摆长，并测出与它们对应的周期，作出图线。若图线为直线，文档 则求出其斜率和重力加速度。
五、实验 数据与处理 理
摆球直径：
d 2.190cm
d 2.188cm
d 2.186cm
d 2.188cm
1． 用计算法 g 及其标准偏差：
给 定摆长 m L=72.39cm 的周期
n(2 3 4平均
次)
T(s)
50T 85.21 85.37 85.40 85.36 —
T 1.704 1.707 1.708 1.707 1.707 ΔT-0.003 0 0.001 0 0.002
T T 1.707 0.002
(s)
l l 72.39 0.05
(cm)
(单次测量)
l72.39 22 cm ∴
g 4 4 3.14 980.78()s 22
T1.707
计算 g 的标准偏差：
T0.003 0 0.001 0 22222
i 4
9.13 10(s)T n(n 1)4(4 1)l 0.059.13 10 g22T22 3()2()()4()1.28 10
glT72.391.707cm 1.28 10 980.78 1.26()
g2 s
结果
g 9.81 0.02(ms)
g 2． 根据不同摆长测得相应摆动周期数据
不同摆长对应 的周期
L(cm)i 98.90 88.90 78.90 68.90 58.90 48.90
L(cm)50T(S)100.00 90.00 80.00 70.00 60.00 50.00 N（次）100.16 95.00 89.82 84.10 77.48 70.82 2 100.60 94.95 89.70 84.18 77.53 70.81
文档 3 100.21 95.12 89.50 84.04 77.64 70.91 4 100.11 95.05 89.84 84.20 77.50 70.96 50T 100.27 95.03 89.72 84.13 77.54 70.88（S）
T 2.005 1.900 1.794 1.683 1.551 1.418（S）T 4.020 3.610 3.218 2.832 2.406 2.011
（S）
由上表数据可作 T-L 图线如下图所示：
又由图可知 T-L 图线为一条直线，可求得其
斜率为：k=26.046(cm/s)
所以
g=4πk=10.72(m/s)
文档
六、实验结 果与分析
测量结果：用单摆法测得实验所在地点重力加速度为：
g 2 1072 1.9(cm s)
U(g)1.26% r
实验 分析：
单摆法测重力加速度是一种较为精确又简便的测量重力加速度方法。本实验采用较精密的数字毫秒仪计时减小了周期测量误差。实验误差由要来源于①摆长的测量误差，但由于摆长较长，用钢卷尺测量产生的相对误差也较小，所以用钢卷尺也能达到较高的准确度；②系统误差：未能严格满足单摆模型造成的误差，如未严格在竖直平面摆动。
要提高本实验的准确度可从以下方面着手：尽可能满足理想单摆条件,如增大摆长；测时间
七、实验 分析与讨论
由以上两种方法可看出，用计算法求得重力加速度比较接近标准值，且其标准偏差为 0.02,2
说明测量比较准确。而用作图法求重力加速度时，求得的 g 为 10.72(m/s)，误差较大，可见在描点绘图的过程中又增在了误差。
八、实验 心得
通过这次实验学习了简单设计性实验的基本方法，应用误差均分原则选用适当的仪器和测量方法，分析基本误差的来源及进行修正的方法。但是实验测得数据的误差较大，计算所得的重力加速度与实际相差较大，所以对测量的掌握不够，应熟悉测量方法和技巧，同时明白到物理是一门严谨的科学，尤其对于物理实验，稍有不慎将产生巨大错误，因此我们应该以严谨的态度对待物理实验，并在实验中感受物理实验的乐趣，掌握物理实验方法。
6.国外教育123——单摆实验 篇六
——记美国小学五年级的科学课
小学五年级学生正在学习运动、方向和速度，教学要求是理解为什么只能改变一个变量，如何改变。结合学习内容设计一个实验——单摆，学生要评价和构造一个每秒钟摆动六次的单摆。
教师没有告诉学生，单摆的摆动次数取决于单摆的长度，但提醒学生记录科学活动时有不同的记录方式，以及需要哪些数学知识和技能。
学生分为每四人一组，做实验的材料：一段绳子、一把剪刀、一卷胶带和几个尺寸及质量各不相同的垫圈。所要完成的任务是：建造一个钟摆；把铅笔用胶带固定在桌子上，把单摆挂在铅笔上使其能自由摆动；计算单摆在15秒内的摆动次数。
将测定的结果记录下来之后，讨论为什么每组记录的摆动次数都不一样。大家提出的原因包括：绳子的长度、垫圈的质量、垫圈的直径，以及在启动单摆时把垫圈举起的高度。讨论之后，再做实验以便验证哪个原因是正确的。每个组选择证实一种说法的实验。
一个小组把直径不同的单摆挂在长度一样的绳子上，单摆启动的高度也一样。另一组采用一条绳子和一个垫圈，但每次启动单摆的高度越来越高。第三组把绳子剪成不同的长度，但是采用同样的垫圈和同样的启动高度。最后大家得出的结论是：摆动次数的差别是由于绳子长度的不同造成的。
第二天，教师在教师里放了一个为单摆制作的木板。木板顶部有一排挂单摆的木桩，木板底部是一排连续的数字。教师让每组把原来的单摆挂在与固定时间内的摆动次数相对应的木桩上，然手解释结果并讨论，经过很长时间的讨论，最后大家得出的结论：固定时间内的摆动次数随绳子长度的减少而有规律地增加。
教师发现，大家制作地单摆在15秒内摆动了5次和7次，没有6次的，于是要求每组制作一个在15秒内摆动6次的单摆。又经历的长时间的测试和关于怎么才算一次“摆动”的激烈争论，最后各组均制作成功。教师又提出要求，如何将绳子的长度与摆动次数之间的关系用比实物更简洁的方式表达出来，学生则或画图形或画图表。
第三堂课是讨论图表，学生则将图画简化为以线和点为主的示意图。最后，教师要求每个学生根据自己的图制作一个摆动一定次数的单摆。
在这一过程中，学生描述、解释和预测了一种自然现象，同时学到了位置和运动的概念，掌握了搜集、分析和表达数据的能力。
单摆实验并不难，但是这样的教学设计，这样的教学过程，可以使学生理解为什么要控制变量。学生在学习自然定律的同时，按照科学研究的正规要求做科学实验，不仅有利于他们理解科学定律的含义，也让他们亲身经历的获得科学结论的验证过程。这有利于他们了解科学发展的规律和领悟科学精神，也有利于培养他们自主探究能力、动手实践能力。
在我国，讲单摆的原理用不上三节课，只需要先讲三分钟的原理，然后由老师做演示实验，最后使学生课后做有关单摆的习题。至于单摆原理的理解和为什么要控制变量，学生们多是从教科书上背定义，因为观看演示实验并没有多么深刻的印象。我们的教学进度之所以快，是因为我们省略了学生自己动手制作试验材料，省略了系统记录试验数据，省略了分析不同实验现象，省略了对变换不同变量后的实验结果进行集体讨论。
7.单摆周期的一个推论式及其例解 篇七
一、计算单摆周期的通用推论式
单摆模型在平衡位置 (最低点) 静止时, 所受合力为零, 所以摆球所受重力与摆线对摆球的拉力平衡, 即F拉=mg, 也就是重力加速度可以用
二、应用举例
【例1】 如图1所示, 在一倾角为θ的光滑斜面上固定一长为l的单摆, 若使其小角度摆动, 它的运动周期为 ( ) .
解析:通常情况下, 解此题是用等效摆长的方法, 如果等效不正确就会得出选项B的错误答案.
根据推论式, 现只要求出摆球在平衡位置静止时摆线对摆球的拉力, 即拉力等于摆球所受重力沿斜面向下的分力:F=mgsinθ, 就可运用推论式求出此单摆的运动周期:
【例2】 在O点固定一摆长为l细线, 另一端固定一个质量为m, 带电量为+q的小球 (可视为质点) , 然后沿水平方向加以电场强度为E的匀强电场, 小球处于静止状态, 如图2所示.若将其拉开一个较小的角度由静止释放, 求小球运动的周期.
解析:摆球在平衡位置静止时的受力如图3所示.
摆球所受的拉力为:
单摆的周期为:
【例3】 在以加速度为a的匀加速上升的电梯的水平地面上固定一光滑圆弧, 圆弧半径为R, 有一质量为m的小球 (可视为质点) 静止在圆弧最低点.若将小球拉离一段较小的弧线由静止释放, 如图4所示, 求小球运动的周期.
解析:此小球的运动可等效为单摆, 圆弧的半径即可视为单摆的摆长, 小球在平衡位置所受的支持力即可视为摆球受到的拉力.
小球在平衡位置静止时的受力如图5所示.
8.理想化多控式单摆的组装方法 篇八
1单摆的组装制作。
（1）用废旧桌垫塑胶板（三合板、硬纸板亦可）剪制半径为0.5m扇状摆角标度盘，在盘面上刻画零度垂线和左、右分别5°、10°的标记线。取2109摩擦计附件长木板一块，在其一面顺长边方向画一条中线；在其下端前面用两个图钉钉住摆角标度盘，使盘面零度垂线与木板中线重合；在其上端适当位置的中线上钻一个6.5的孔（供穿挂木板用），要使标度盘下弧线距摆线悬点保持0.5m为宜。
（2）用2mm厚废有机玻璃条打孔、折制如图2所示的角形胶塞固定板，在水平面的大孔内由下而上塞入一个胶塞（链霉素注射液瓶的二号橡胶塞），将系好摆球的细线一头用小缝衣针牵引由下而上穿过胶塞中央位置（既固定牢固又能上下抽动）。
（3）取2507光具座附件中的金属插杆（6）一根，在有螺纹一端用M4螺母安装上悬着摆球的角形胶塞固定板；紧挨固定板套挂下端钉有标度盘的长木板；然后将金属插杆另一端水平夹在铁架台竖杆上部。这时，长木板既灵活下垂又不靠挨摆线。
（4）铁架台置实验桌边，让摆球自由下垂稳定后，仔细调整使摆线正视时，正好与标度盘中间的零度垂线重合。
2解决问题及优点
（1）固定了摆线悬点。按课本要求用铁夹把摆线上端往铁架台横杆上夹时，铁夹的两页铁片难以合拢夹线，只好用一页铁片与圆形横杆夹线。摆球左右摆动时，详细观察会发现：摆向铁夹一侧时悬点降低（摆线变短），摆向圆杆一侧时悬点升高（摆线变长）。而采用摆线穿过胶塞中心固定悬点的办法，较好地解决了摆线左右摆动时悬点高低变动的问题。
（2）以摆角标度盘的竖直平面作参照，可以保持单摆在竖直平面内振动。
（3）以摆角标度盘上的角度线为标准，能使单摆摆角控制在5°以内的很小范围内。
（4）由于摆线的悬点固定，使摆长测定也较为准确。
（5）重做几次实验需变更摆长时，只要把借橡胶弹力夹固在胶塞中心部位的摆线向上或向下抽动一下即可，极为方便、省时。
综上所述，这种接近理想化程度的多控式单摆与现行高中物理课本上介绍的单摆相比，有诸多优点，制作也很简单。用这种单摆开学生实验时，只要学生个个静坐别乱走动、实验桌稳定不摇动、室内无内，不多记或漏记振动次数、测准时间（周期），读准测量的长度毫米数和秒表的十分位数，同学们测得的当地重力加速度精确度很高。
9.单摆的教学设计 篇九
[关键词]Mathematica 椭圆积分 大摆角运动 周期
[中图分类号]G633.7 [文献标识码]A [文章编号] 16746058（2016）050052
一、引言
摆动是最基本的物理现象，单摆是高中物理的一个重要实验，可用来展现多种力学现象。对于单摆，教材通过推导得出摆角小于5度时，其运动规律近似为简谐振动，并直接给出其周期公式T0=2πl/g，这里l是摆长，g是重力加速度。但是当摆角大于5度时，其周期为多少？能不能通过什么方法计算出来？这个问题有不少人想过，但大多数都束手无策，原因有以下两点：（1）实际单摆在做大摆角运动时，由于各种阻力作用，其摆角减小较快，因此很难用实验的方法准确测量较大摆角下的周期；（2）大摆角单摆的运动方程为非线性微分方程，很难用高中数学求其周期，但是周期可以用数学中的椭圆积分来表示。椭圆积分是数学中的一个特殊函数，对高中学生来说极为陌生。Mathematica软件中有专门的内部数学函数可以计算椭圆积分。本文尝试用Mathematica软件得出不同摆角下的周期值。
二、较大摆角下单摆周期的推导
众所周知，单摆在摆动过程中，必须满足能量守恒。为了讨论方便，本文以摆球下摆到最低点时，摆球重力等于摆球运动所需向心力情况下的摆角为讨论的最大摆角，由此有：mg=mv2/l；由机械能守恒有：mgl（1-cosα）=mv2/2。从上面两式可得单摆的“最大”摆角为60度。
以摆角α（角度°）为横坐标，以约化周期T/T0为纵坐标，画出图像如下图所示。人教版物理选修3-5标注中给出“用高等数学进行计算：偏角为15度时与公式相差0.5%，23度时相差1%，”与本方法所得的结论完全吻合。
[参考文献]
梅宇航，董平.基于MATLAB的单摆初始摆角的讨论[J].中学物理，2009（6）：21-24.
10.单摆测重力加速度实验的误差分析 篇十
图1是单摆的原理示意图。由振动理论可以证明, 单摆的周期:
若θ非常小时, 取零级近似, 则:
通过对该实验所用公式及测量过程进行分析, 该实验中误差的来源主要有以下几个方面:
1方法误差
1) 摆角。实验中所用计算重力加速度的公式 (2) , 是在θ趋近零时的近似, 因此测量一般是在摆角小于5度下进行的, 因此摆角会带来误差, 这属于系统误差的范围。要减小该部分误差, 应取公式 (1) 的一级近似[1]:
2) 空气阻力。公式 (2) 中没有考虑空气阻力, 单摆近似是简谐振动。实际空气阻力的存在会导致单摆做阻尼振动, 所以用公式 (2) 计算出的重力加速度显然是存在误差的。针对这部分误差, 需加上空气阻尼修正项来计算重力加速度。
阻尼存在时的重力加速度公式为[2]:
实际实验中由于摆线较长, 运动速度较小, 阻尼项产生的误差可以忽略。
3) 摆线质量和摆球半径。实验中摆线质量和摆球半径不能忽略时, 都会影响周期的计算公式, 通过微小测量比较, 这部分误差非常微小, 通常可以不予考虑[3]。
4) 摆线弹性。实验中要求摆线不能伸缩, 完全没有弹性, 通过选择合适的摆线材料, 可以减小摆线弹性带来的误差, 但无法完全消除。
2 测量误差
1) 周期测量。使用电子秒表进行单摆周期测量, 如果是重复单周期测量, 由于计时开始和结束的时机选择导致的误差对测量周期的影响非常大, 因此, 实际测量时应用等值累计测量, 即一次测50或者100个周期的时间, 然后求平均值, 得到单摆的周期T。通过对比计算, 多周期测量得比多次单周期测量得到的
周期误差小得多。这部分误差不可避免, 但可以尽量减到最小。
2) 摆长测量。如果用钢卷尺直接测量摆线的长度, 由于摆球的中心位置不容易确定, 会导致测量误差偏大。如图2所示, 实验中, 可以先用钢卷尺测量L1和L2, 再用游标卡尺测出摆球直径d, 则摆长表示为:
实验中摆线长度通常50cm以上, 用最小刻度为1mm的钢卷尺进行测量, 小球直径2cm左右, 用卷尺不容易测量, 使用游标卡尺测量, 最小分度0.02mm。对比计算发现, 公式 (4) 计算出的摆长误差小于直接测量摆长的误差。
3 数据处理误差
实验中通过改变摆长, 测量不同摆长对应的周期, 通过做L—T2曲线求斜率, 或者用线性回归法, 也可以得到重力加速度。但通过上面的理论分析, 我们知道, L—T2并不是严格的线性关系, 因此我们按直线作图求斜率或者最小二乘法求出的重力加速度g必然带来误差。
4 结论
通过对单摆测重力加速度实验的误差分析, 明确了误差的来源, 其中摆角产生的误差较大, 实验中摆角应小于5°。通过多次测量求平均值来减小测量过程的随机误差。实验中通过修正实验理论, 选择合适的测量工具, 可以最大限度减小实验误差。
参考文献
[1]姜永超.大学物理实验[Z].2015, 1:50.
[2]戚明.大学物理[Z].198712:11.
11.从单摆运动到混沌理论 篇十一
关键词：单摆,相图,滴水龙头,混沌,非线性,随机性
有时候, 看似简单的问题实际上却很复杂, 一个简单的情况, 当条件发生一定的变化时就变得不可预测, 比如说, 水流在水管中低速流动时, 它的运动是规则的, 可以预测的, 但当流速达到一定临界值时, 水流就变成了湍流, 行为十分混乱。下面以一个简单的物理系统为例来介绍这种情况。
一、一个简单的物理系统 (单摆)
在一根不能伸缩的长度为l的细线下端悬挂一个小球, 微微移动后, 就可以在一竖直面内来回摆动, 如图所示, 这种装置称为单摆。
只要有一定物理常识就知道, 在一定的条件下 (忽略细线质量、空气阻力及系统内的摩擦力, 且摆角θ<5°) , 回复力F=-kx, 单摆振动的回复力跟位移成正比而方向相反, 单摆做简谐振动。
下面应用牛顿运动定律来清楚认识一下这个平面单摆。
单摆受到的重力矩M=-mglsinθ, 我们希望得到摆角θ的关于时间的函数, 来描述单摆运动。由力矩与角加速度的关系不难得到, M=J×β
其中J=ml2是单摆的转动惯量, undefined是角加速度, 于是化简得到运动微分方程:
undefined
当研究小摆角 (通常指θ<5°) 摆动的情况, sinθ≈θ, 则上式变为
undefined
(2) 式是一个二阶线性微分方程, 解为θ=Acos (ωt+φ0) , 其中A称为振幅, φ0称为初相, 频率ω表示振动的快慢, 是由undefined决定的常数, 此时单摆的运动是简单的简谐振动。
二、简单系统中的复杂行为
但是大摆角的情况又是怎样的呢?很显然不会像上面所述的那么简单了, 单摆的运动方程 (1) 式是一个二阶非线性微分方程, 下面就用非线性力学中最基本的研究方法——相图法来研究分析该系统。
“相”的意思是运动状态, 质点在某一时刻的运动状态就是它在该时刻的位置和速度, 位置和速度的关系曲线就是它的相图。相图法是一种图解分析方法, 可用于分析一阶、二阶非线性微分方程的动态过程, 取得稳定性、时间响应等有关的信息。在现代计算机模拟计算下, 可比较迅速与精确地获得相轨迹图形, 用于系统的分析与设计。现在我们以质点的速度和位置作为坐标轴构成直角坐标平面, 称之为相平面;质点的每一个运动状态对应相平面上的一个点, 称之为相点;质点运动发生变化时, 相点就在相平面内运动, 相点的运动轨迹称为相迹线或相图;相点在相平面内运动的速度称为相速度。在相图中能得到质点运动状态的整体概念。
当摆角很大时, 用细线构成的单摆系统有可能无法完成摆动, 可以用轻杆来代替细线完成大角度摆动。
对单摆的运动方程 (1) 式进行积分, 可得到
undefined, 式中C为积分常数。
设初始条件为t=0时, undefined, 可得undefined, 得出
undefined
由 (3) 式作出相图如下图所示。
中心O点对应单摆下垂的平衡位置, 是一个稳定的不动点, 在中心O周围 (θ<5°) , 相图是椭圆, 对于小角度摆动, 把 (2) 式积分得出的也是椭圆方程, 两种情况相符。摆动幅度再增大, 相图不再是椭圆但仍然闭合, 说明单摆仍作周期运动。若能量再高, 相图不再闭合, 表示单摆不再往复摆动, 而是沿正向或反向转动起来了。当θ=θ0=π, 即单摆摆到最高点时, undefined, 说明最高点是一个不稳定平衡点。但是要让单摆摆到最高点时恰好静止是不可能的, 因为两个分支点G1、G2是介于单向旋转和往复旋转之间的一个临界状态, 究竟如何运动取决于初始条件的细微差别。在求解非线性力学问题时, 相图中出现了分支点, 这表明在该状态下力学系统的行为不是完全确定的, 于是, 一个确定性方程演化出了内在的随机性, 一个简单的系统顿时变得复杂起来了。
单摆系统的行为不是完全确定的, 还有很多类似的情况, 比如说滴水龙头。我们来做一个小实验, 很小心地打开水龙头, 等上几秒钟, 待流速稳定下来, 通常会产生一系列规则的水滴, 这些水滴以规则的节律、相同的时间间隔落下。但假如缓缓打开水龙头, 使水流量增大, 并调节水龙头, 使一连串水滴以很不规则的方式滴落, 这种滴落方式似乎是随机的。实验时要均匀地打开水龙头, 别把龙头开大到让水成了不间断的水流, 我们需要的是中速滴流, 如果调节得合适, 就可以在好多分钟内听不出任何明显的模式出现。水龙头滴下的水滴是一个确定性系统, 原则上流入水龙头中的水的流量是平稳、均匀的, 水流出时发生的情况完全由流体运动定律规定。但这个简单而有效的实验证明, 显然这一确定性的系统可以产生不可预言的行为。
在一开始介绍的单摆运动到滴水龙头, 现在大家一下就能看出, 单摆的运动和水滴的花样由稳态变为随机, 这种不可预测的、随机的现象就是混沌。实际上, 混沌现象到处可见, 它揭示了绚丽多彩、千姿百态的大千世界内在的一种机制, 它是那么瞬息万变, 充满复杂性, 确定性系统包含着混沌, 混沌中也存在着特殊的有序。
三、混沌简介
混沌在我国传说中指宇宙形成以前模糊一团的景象, 中国人常用混沌一词表达某种令人神往的美学境界或体道致知的精神状态, 把混沌当做自然界固有的一种秩序, 一种生命的源泉。这与历史上的中国神话、中国哲学有很大关系, 最终与中国人独特的思维方式有很大的关系。
在西方文化中, 混沌是“无形”、“空虚”、“无秩序”。《圣经》英译文常写作“without any order” (无任何秩序) 、“a place of disorder” (无序之所) 、“the state of formless, of utter disorder and confusion” (无形、极端无序和混乱的状态) 、“the condition of emptiness, unreality, and desolation” (空虚、无实在性、荒芜的境况) 、“a meaningless existence” (无意义的存在) 。
现代科学所讲的混沌, 其基本含义可以概括为:聚散有法, 周行而不殆, 回复而不闭。意思是说混沌轨道的运动完全受规律支配, 但相空间中轨道运动不会中止, 在有限空间中永远运动着, 不相交也不闭合。混沌运动表观上是无序的, 产生了类随机性, 也称内在随机性。混沌模型一定程度上更新了传统科学中的周期模型, 用混沌的观点去看原来被视为周期运动的对象, 往往有新的理解。
在非线性科学中, “混沌”这个词的含义和本意相似但又不完全一致, 非线性科学中的混沌现象指的是一种确定的但不可预测的运动状态。它的外在表现和纯粹的随机运动很相似, 即都不可预测。但和随机运动不同的是, 混沌运动在动力学上是确定的, 它的不可预测性是来源于运动的不稳定性。或者说混沌系统对无限小的初值变动和微扰也具有敏感性, 无论多小的扰动在长时间以后, 也会使系统彻底偏离原来的演化方向。混沌现象是自然界中的普遍现象, 天气变化就是一个典型的混沌运动。混沌现象的一个著名表述就是蝴蝶效应, 意思是说:一只蝴蝶今天拍打了一下翅膀, 使大气的状态产生了微小的改变, 但过了一段时间, 这个微小的改变能够使本来会产生的龙卷风避免了, 或者能使本来不会产生的龙卷风产生了。南美洲一只蝴蝶扇一扇翅膀, 就会在佛罗里达引起一场飓风。
混沌也是一种数学现象, 有其自身颇为古怪的几何学意义, 它与被称为奇异吸引子的离奇分形形状相联系。蝴蝶效应表明, 奇异吸引子上的详细运动不可预先确定, 但这并未改变它是吸引子这个事实。
四、混沌的特征
1.系统方程无任何随机因子, 但必须有非线性项。
混沌是决定性动力学系统中出现的一种貌似随机的运动。所谓“决定性”是指描述系统运动状态的方程是确定的, 不包含随机变量。要产生混沌运动, 则确定性方程一定是非线性的。
2.系统的随机行为是其内在特征, 不是外界引起的。
随机性可分为有外界施加的外在随机性和动力学系统本身所固有的内在随机性两种。实际上内在随机并不是一种真正的随机, 它的行为是完全正确的, 只是表现得太复杂, 不可预测, 就像是随机一样, 这种混乱、随机是系统自身的一种内在特征, 或者说系统本身就是这样, “混乱”才正常。
3.对初始条件极端敏感。
内在随机性是通过对初始条件的极端敏感性表现出来的, 初始条件的误差在非线性动态系统中可能会按指数规律增长, “失之毫厘, 谬以千里”。处于混沌状态的系统, 运动轨道将敏感地依赖初始条件, 从两个极其邻近的初值出发的两轨道, 在足够长的时间以后, 必然会呈现出显著的差别来。无论多么精密的测量都存在误差, 我们无法给出真正精确的初始值, 再小的误差经系统各部分之间的非线性相互作用都可能被迅速放大, 初始状态的信息很快消失, 从而表现为行动的不可预测, 这就是混沌运动。
一般地, 如果一个接近实际而没有内在随机性的模型仍然具有貌似随机的行为, 就可以称这个真实物理系统是混沌的。一个随时间确定性变化或具有微弱随机性的变化系统, 称为动力系统, 它的状态可由一个或几个变量数值确定。而一些动力系统中, 两个几乎完全一致的状态经过充分长时间后会变得毫无一致, 恰如从长序列中随机选取的两个状态那样, 这种系统被称为敏感地依赖于初始条件。而对初始条件的敏感的依赖性也可作为混沌的一个定义。
五、混沌无处不在
混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动, 一个确定性理论描述的系统, 其行为却表现为不确定性、不可重复、不可预测, 这就是混沌现象。进一步研究表明, 混沌是非线性动力系统的固有特性, 是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统, 而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此, 在现实生活和实际工程技术问题中, 混沌是无处不在的。例如, 一支点燃的香烟冒出的烟在开始时烟柱是直立的, 达到某一高度突然变得紊乱起来;湍流是一种典型的混沌现象;人体的自身免疫被认为是一种混沌行为;生物进化是有反馈的混沌。
混沌也不是独立存在的科学, 它与其他各门科学互相促进、互相依靠, 由此派生出许多交叉学科, 如混沌气象学、混沌经济学、混沌数学等。混沌学不仅极具研究价值, 而且有现实应用价值, 能直接或间接创造财富。混沌中蕴涵有序, 有序的过程也可能出现混沌, 大自然就是如此复杂, 纵横交错, 包含着无穷的奥秘。因此, 对混沌科学的进一步研究将使我们对大自然有更深刻的理解。
参考文献
[1]谢东, 王祖源.人文物理[M].北京:清华大学出版社, 2006:331-336.
[2]王荣成, 郝超.大学物理基础[M].苏州:苏州大学出版社, 2005:29-30.
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