概率复习

概率复习（精选11篇）

1.概率复习 篇一

20131218概率复习重点

两个事件并集、三个事件并集概率值的公式；两个事件互不相容；分布函数的性质；极值分布函数；切比雪夫不等式；全概率公式，贝叶斯公式；随机变量和的方差公式；相关系数公式；正态分布，均匀分布，指数分布；独立的两个随机变量均服从正态分布，求其随机变量函数的期望、方差；两个独立的离散的随机变量，已知边缘分布，求联合分布；古典概型，求概率；事件独立性；已知离散型随机变量的分布列，求其随机变量函数的期望、方差、未知参数；连续型随机变量独立的充要条件；正态分布的标准正态化，求概率，求参数；利用分布函数性质，求参数，求概率，参照P116,16；已知联合概率密度，求参数，求边缘概率密度，判断随机变量是否独立，并会求随机变量函数的概率密度

附注：考试时间：2013年12月18日8,9节

考试地点：机电5,6班在3-207；微电子1,2班在3-209

祝大家考出好成绩！

2.概率复习 篇二

1市场上某种食品的某种添加剂的含量是否符合国家标准;

2检测某地区空气质量;

3调查全市中学生一天的学习时间.

A. 1 2B. 1 3C. 2 3D. 1 2 3

2. 今年我市有近4万名考生参加中考,为了了解这些考生的数学成绩,从中抽取1 000名考生的数学成绩进行统计分析,以下说法正确的是().

A. 这1 000名考生是总体的一个样本B. 近4万名考生是总体

C. 每位考生的数学成绩是个体D. 1 000名学生是样本容量

3. 有甲、乙两个箱子,其中甲箱内有98颗球,分别标记号码1~98,且号码为不重复的整数,乙箱内没有球. 已知小育从甲箱内拿出49颗球放入乙箱后,乙箱内球的号码的中位数为40. 若此时甲箱内有a颗球的号码小于40,有b颗球的号码大于40,则关于a,b的值,下列正确的是().

A. a=16B. a=24C. b=24D. b=34

4. 某次射击训练中,一小组的成绩如表所示:已知该小组的平均成绩为8环,那么成绩为9环的人数是______.

5.“服务他人,提升自我”,七一学校积极开展志愿者服务活动,来自九年级的5名同学(3男2女)成立了“交通秩序维护”小分队,若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护,则恰好是一男一女的概率是 ______.

6. 跳远运动员李刚对训练效果进行测试,6次跳远的成绩如下:7.6,7.8,7.7,7.8,8.0,7.9(单位:m). 这六次成绩的平均数为7.8,方差为1/(60). 如果李刚再跳两次,成绩分别为7.7,7.9. 则李刚这8次跳远成绩的方差 ______.(填“变大”“不变”或“变小”)

7. 在读书月活动中,学校准备购买一批课外读物. 为使课外读物满足同学们的需求,学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查(每位同学只选一类),如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图.

(第 7 题 )

请你根据统计图提供的信息,解答下列问题:

(1)本次调查中,一共调查了 ______ 名同学;

(2)条形统计图中,m=______,n=______;

(3)扇形统计图中,艺术类读物所在扇形的圆心角是 ______ 度;

(4)学校计划购买课外读物6 000册,请根据样本数据,估计学校购买其他类读物多少册比较合理?

8. 为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛,现对他们进行一次测验,两个人在相同条件下各射靶10次,为了比较两人的成绩,制作了如下统计图表:

(1)请补全上述图表;(请直接在表中填空和补全折线图)

(2)如果规定成绩较稳定者胜出,你认为谁应胜出?说明你的理由;

(3)如果希望(2)中的另一名选手胜出,根据图表中的信息,应该制定怎样的评判规则?为什么?

参考答案

1. D 2. C 3. D 4. 3 5.3/56. 变小

7.(1)200 (2)40,60 (3)72 (4)900 册

8.(1)甲射击成绩的中位数:7,方差:4;乙射击成绩的平均数:7,中位数:7.5,方差:5.4;甲第8次命中环数为9环;

(2)由甲的方差小于乙的方差,甲比较稳定,故甲胜出;

3.《概率》期末复习检测题 篇三

1． （2007年四川绵阳）下列说法错误的是（）

A． 必然发生的事件发生的概率为1

B． 不可能发生的事件发生的概率为0

C． 随机事件发生的概率大于0且小于1

D． 不确定事件发生的概率为0

2． （2007年江苏淮安）根据最新规则,乒乓球比赛采用七局四胜制(谁现赢满四局为胜),2007年5月27日晚9点10分,第19届世乒赛男单比赛结束了前四局,马琳以3:1领先王励勤,此时甲、乙、丙、丁四位同学给出了如下说法（）

甲： 马琳最终获胜是必然事件

乙： 马琳最终获胜是随机事件

丙： 王励勤最终获胜是不可能事件

丁： 王励勤最终获胜是随机事件

四位同学说法正确的是（）

A． 甲和丙B. 乙和丁 C． 乙和丙 D． 甲和丁

3． （2007年山西省太原）下面有关概率的叙述，正确的是（）

A． 投掷一枚图钉，钉尖朝上的概率和钉尖着地的概率不相同

B． 因为购买彩票时有“中奖”与“不中奖”两种情形，所以购买彩票中奖的概率为

C． 投掷一枚均匀的正方体骰子，每一种点数出现的概率都是 ，所以每投掷6次，肯定出现一次6点

D． 某种彩票的中奖概率是1%，买100张这样的彩票一定中奖

4． （2007年北京）一个袋子中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为()

A．B．C． D．

5． （2007年黑龙江哈尔滨）随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这个骰子向上的一面点数是奇数的概率为（）

A． B．C． D．

6． （2007年福建福州）随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是（）

A． 1 B．C．D．

7． （2007年河北）在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（ ）

A． 12B． 9C． 4D． 3

8． （2007年山东潍坊）小强、小亮、小文三位同学玩投硬币游戏。三人同时各投出一枚均匀硬币，若出现三个正面向上或三个反面向上，则小强赢；若出现2个正面向上一个反面向上，则小亮赢；若出现一个正面向上2个反面向上，则小文赢。下面说法正确的是（ ）

A． 小强赢的概率最小

B． 小文赢的概率最小

C． 小亮赢的概率最小

D． 三人赢的概率都相等

9． （2007年湖北天门）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（ ）

A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率

B．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率

C．抛一枚硬币，出现正面的概率

D．任意写一个整数，它能被2整除的概率

10. （2007年浙江杭州）将三粒均匀的分别标有1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，出现的数字分别为a,b,c，则a,b,c正好是直角三角形三边长的概率是()

A.B.C.D.

二、填空题（每小题3分，满分30分）

11． （2007年湖南永州）夏雪同学每次数学测试成绩都是优秀，则在这次中考中他的数学成绩_______（填“可能”，“不可能”，“必然”）是优秀。

12． （2007年福建泉州）口袋中放有黄、白、红三种颜色的小球各1个，这3个球除颜色外没有任何区别，随机从口袋中任取1个球，写出这个实验中一个可能发生的事件： 。

13． （2007年湖南湘潭）足球比赛前，裁判用抛一枚硬币猜正反面的方式让甲、乙两个队长选进攻方向，猜对正面的队长先选，则队长甲先选的概率是 。

14． （2007年四川资阳）现有50张大小、质地及背面图案均相同的北京奥运会吉祥物福娃卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘福娃的名字后原样放回，洗匀后再抽，不断重复上述过程，最后记录抽到欢欢的频率为20℅，则这些卡片中欢欢约为____________张。

15.（2007年海南）在一个不透明的布袋中装有 2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同。若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率是 ，则n =。

16． （2007年广东梅州）小明与父母从广州乘火车回梅州参观叶帅纪念馆，他们买到的火车票是同一排相邻的三个座位，那么小明恰好坐在父母中间的概率是 。

17． （2007年江苏南通）把6张形状完全相同的卡片的正面分别写上数字1、2、3、4、5、6，且洗匀后正面朝下放在桌子上，从这6张卡片中同时随机抽取两张卡片，则两张卡片上的数字之和等于7的概率是___________。

18． （2007年湖南益阳）如图，电路图上有编号为①②③④⑤⑥共6个开关和一个小灯泡，闭合开关①或同时闭合开关②、③或同时闭合开关④⑤⑥都可使一个小灯泡发光，问任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为

。

19． （2007年湖南株州）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想数字，把乙所猜数字记为b，且a，b分别取数字0，1，2，3，若a，b满足│a-b│≤1 ，则称甲、乙两人“心有灵犀”。现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为。

20． （2007年山东济宁）如图所示，将转盘等分成六个扇形，并在上面依次写上数字1、2、3、4、5、6，指针的位置固定。自由转动转盘，当它停止时，指针指向偶数区域的概率是(指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形)；请你用这个转盘设计一个游戏，当自由转动的转盘停止转动时，指针所指区域的概率为。

三、解答题（第21、22题各6分，第23、24题各8分，第25、26题各10分，第27题12分，满分60分）

21． （2007年广东佛山）一个瓶中装有一些幸运星，小王为了估计这个瓶中幸运星的颗数，他是这样做的：先从瓶中取出20颗幸运星做上记号，然后把这些幸运星放回瓶中，充分摇匀；再从瓶中取出30颗幸运星，发现有6颗幸运星带有记号。请你帮小王估算出原来瓶中幸运星的颗数。

22． （2007年湖南株州）一枚质量均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，连续抛掷两次。（1）用列表法或树状图表示出朝上的面上的数字所有可能出现的结果；（2）记两次朝上的面上的数字分别为p，q，若把p，q分别作为点A的横坐标和纵坐标，求点A（p，q）在函数y=的图象上的概率。

23． （2007年山东青岛）在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成16份），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会。如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得50元、30元、20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物。如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元。

（1）求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数；

（2）如果你在该商场消费125元，你会选择转转盘还是直接获得购物券？说明理由。

24． （2007年湖北咸宁)某中学九年级共有6个班，要从中选出两个班代表学校参加一项重大活动，九(1)班是先进班，学校指定该班必须参加，另外再从九(2)班到九(6)班中选出一个班，九(4)班有同学建议用如下方法选班：从装有编号为1，2，3的三个白球的A袋中摸出一个球，再从装有编号也为1，2，3的三个红球的B袋中摸出一个球（两袋中球的大小、形状与质地完全一样），摸出的两个球编号之和是几就派几班参加。

(1)请用列表或画树形图的方法列举出摸出的两球编号的所有可能出现的结果；

(2)如果采用这一建议选班，对五个班是一样公平的吗？请说明理由。

25． （2007年浙江丽水）在课外活动时间，小王、小丽、小华做“互相踢踺子”游戏，踺子从一人传到另一人就记为踢一次。

（1）若从小丽开始，经过两次踢踺后，踺子踢到小华处的概率是多少？（用树状图或列表法说明）

（2）若经过三次踢踺后，踺子踢到小王处的可能性最小，应确定从谁开始踢，并说明理由。

26．（2007年山东威海）如图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域内的数字之和小于10，小颖获胜；指针所指区域内的数字之和等于10，为平局；指针所指区域内的数字之和大于10，小亮获胜。如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止。

（1）请你通过画树状图的方法求小颖获胜的概率。

（2）你认为该游戏规则是否公平？若游戏规则公平，请说明理由；若游戏规则不公平，请你设计出一种公平的游戏规则。

27． （2007年贵州贵阳）小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了60次实验，实验的结果如下：

（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率。

（2）小颖说：“根据实验，一次实验中出现5点朝上的概率最大”；小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次。”小颖和小红的说法正确吗？为什么？

（3）小颖和小红各投掷一枚骰子，用列表或画树状图的方法求出两枚骰子朝上的点数之和为3的倍数的概率。

参考答案

1.C2.C3.A4.B5.A6.D7.A8.A

9.B10.C11.可能12.随机从口袋中任取1个球，可能是白球的概率为13. 14.10张

15.816.17.18.19. 20. ；

分别将1和2所在的扇形涂成红色，3和4所在的扇形涂成绿色，5和6所在的扇形涂成黄色，则指针指向红色区域的概率为 。 21.100颗22.（1）略；

（2）P= = 23.⑴50× +30× +20× =11.875（元）； ⑵ ∵11.875元＞10元，∴选择转转盘。 24.（1）

（2）不公平。∵P(2班）= ；P(3班）= ；P(4班）= ；P(5班）= ；P(6班）=∴P(4班）＞P(3班）=P(5班）＞P(2班）=P(6班），即不公平。

25.（1）踺子踢到小华处的概率是 。

（2）小王。理由：若从小王开始踢，三次踢踺后，踺子踢到小王处的概率是 ，踢到其它两人处的概率都是 ，因此，踺子踢到小王处的可能性是最小。

26.（1）画树状图如下：

可见，共有12种等可能的情况，其中和小于10的有6种。小颖获胜的概率为 = 。（2）该游戏规则不公平。由（1）可知，共有12种等可能的情况，其和大于10的情况有3种，小亮获胜的概率为 = ，显然 ≠ ，故该游戏规则不公平。

游戏规则可修改为：①当两个转盘指针所指区域内的数字之和大于或等于10时，小亮获胜；当两个转盘指针所指区域内的数字之和小于10时，小颖获胜。②当两个转盘指针所指区域内的数字之和为奇数时，小亮获胜；为偶数时，小颖获胜。

27．（1）“3点朝上”出现的频率是 = ；“5点朝上”出现的频率是 = ；（2）小颖的说法是错误的。这是因为，“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的频率最大。只有当实验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近。小红的判断是错误的，因为事件发生具有随机性，故“6点朝上”的次数不一定是100次。（3）列表如下：

P（点数之和为3的倍数）= = 。

(责任编辑 钱家庆)

4.统计与概率复习课 篇四

胡桂芬

一、教学目标

（一）知识与技能

让学生经历收集数据、整理数据、分析数据的活动，使他们在解决问题的整个过程中进一步巩固所学的统计知识，培养梳理知识结构的能力。

（二）过程与方法

通过整理、分类、制图、观察、比较、分析信息，形成统计观念，进而形成依据数据和事实来分析和解决问题的方法。

（三）情感态度和价值观

使学生进一步体会数学与生活的紧密联系，形成尊重事实、用数据说话的态度，形成科学的世界观与方法论。

二、教学重难点

能根据收集的数据制成合适的统计表和统计图。

三、教学准备 多媒体课件，作业纸。

四、教学过程

（一）谈话引入，复习旧知

教师：同学们，今天这节课，我们一起来复习统计与概率的知识。首先，请大家回忆一下，在小学阶段我们学过哪些统计与概率的知识？学生独立完成后，教师继续引导：同桌之间互相交流和补充，然后想一想，可以怎样对这些知识进行分类整理？

汇报讨论、交流结果，师板书。教师：谁能简要地说一说，怎样求平均数？ 预设：平均数=总数量÷总份数。

教师：这三种统计图各有什么特点？适合在什么情况下使用呢？ 预设：条形统计图便于直观了解数据的大小及不同数据的差异。折线统计图便于直观了解数据的变化趋势。扇形统计图能清楚地反映各部分与整体之间的关系。

【设计意图】通过“独立思考──互补交流──分类整理”的过程，让学生从整体上复习有关统计的知识，并借助树形图形成知识结构。

（二）整理数据，自主探究 1．收集整理数据，制作统计图表。

教师：同学们，这是你们上节课集体智慧设计的个人情况调查表，现在学校想了解咱们六（2）同学的整体情况，大家想想下面我们该怎么做？

预设：将调查表上的信息整理分类、统计制成统计图表。教师：同学们，你们课前已经填好了个人情况调查表，这是数学课代表将你们要整理的项目条收集起来了，请六个组长将你们组感兴趣的项目拿去，先整理分类，再用合适的统计图表进行统计。动手之前，请看学习要求。

学生开始按课前分好的小组收集项目条，教师巡视并帮助有困难的小组进行数据整理。

【设计意图】本环节中各小组都有各自的分工，便于学生经历数据收集和整理的过程，并利用统计表进行简单的分析。

说明：教学设计中接下来将选用教材提供的数据。在实际教学中，教师应充分利用学生实际调查所得的数据展开教学。

2．求统计量和分析。

教师：经过大家的共同努力，各小组的统计表和统计图已经整理好了，请负责统计身高情况和负责统计体重情况的小组到前面来展示你们的成果。

学生1：我们小组整理的是全班同学的身高情况，制成的统计表是这样的。

教师：观察这张统计表，你们有什么发现？ 预设：身高是1.52米的同学人数最多，身高是1.40米的人数最少。

学生2：我们小组整理的是全班同学的体重情况，从表中可以知道，体重是39千克的人数最多，体重是30千克的人数最少。

教师：现在请男生算出咱们班的平均身高，女生算出咱们班的平均体重。用什么数据能代表全班同学的身高、体重？

学生先独立练习，再小组讨论，教师指导小组合作学习。教师：哪个小组来交流一下你们的学习成果？

学生3：平均身高是1.50425米。我认为用平均数能代表全班同学的身高情况。

学生4：平均体重是39.6千克。我认为平均数可以代表全班同学的体重情况。

教师：同学们合作学习的效率非常高。老师这里还有个问题，你能很快解答吗？

如果把全班同学编号，随意抽取一名学生，该生体重在36千克及以下的可能性大？还是在39千克及以上的可能性大？

预设：在39千克及以上的可能性大。因为体重在39千克及以上的人数比体重在36千克及以下的人数更多。

教师：你能提出类似的问题让小组同学解答吗？

【设计意图】用统计表表示全班同学的身高和体重分布情况，然后完成三个任务：计算平均数；讨论用什么数据能代表全班同学的身高和体重情况；依据数据判断哪个现象出现的可能性大。整个过程以小组合作和交流汇报的形式展开，激发学生学习的积极性和主动性。

3．制作统计图并进行分析。教师：我们已经了解了咱们班身高和体重的情况，下面请负责统计咱们班男女生人数的小组展示你们的成果。

预设：我们先用统计表统计了男女生的人数，我们又想反映男女生人数分别占总人数的百分之几，所以又用扇形统计图进行了统计。

教师：你们真有自己的思想，能根据实际情况的需要选择合适的统计图进行统计，下面请用统计图统计你们小组负责的项目的组长来展示你们的成果。

学生5：为了反映男女生最喜欢的运动的人数的多少和人数的差别，我们小组将六（1）班同学最喜欢的运动项目做成了复式条形统计图（课件出示）。

教师：观察这个统计图，你得到了哪些信息？

预设：六（1）班同学最喜欢的运动项目中，男生喜欢足球的人数最多，女生喜欢跳绳的人数最多。学生6：为了反映同学们对自己一到六年级综合表现满意情况的变化趋势，选用的是折线统计图（课件出示）。

教师：从这张统计图中，你能获得怎样的信息？

预设：六（1）班同学对各年级综合表现满意情况总体呈现上升趋势。

教师追问：想一想，这说明了什么？

预设：说明随着年级的升高，同学们对自己各方面表现的评价也越来越好。

【设计意图】从教师提供的素材引入，让学生在讨论和交流的前提下，制作合适的统计图表示各组统计的数据，充分体现了这部分知识的应用价值。后续的分析紧紧围绕各种统计图的特点，体现尊重事实、用数据分析实际情况的思想。

（三）练习巩固，加深理解

1．学生独立完成练习二十一第1题。根据所要描述的情况，填写合适的统计图。

（1）描述六（2）班同学身高分组的分布情况，用___________。（2）描述从一年级到六年级的平均身高变化情况，用___________。（3）描述身高组别人数占全班人数的百分比情况，用___________。指名回答，集体订正。

2．完成练习二十一第2题。

下面是某汽车公司去年汽车生产量和销售量情况。

（1）该公司去年全年的生产和销量情况如何？（2）该公司的发展前景怎样？（3）你还能提出哪些问题？

四、课堂总结，小议收获

教师：这节课复习了什么内容？用平均数表示一组数据时要注意什么？怎样根据实际情况恰当地选择统计图？

五、课外作业，实践应用

5.信计 概率论期末复习提纲 篇五

题型：填空题（16分，每小题2分）；选择题（18分，每小题3分）；计算题（5个小题共60分），证明题（一个小题共6分）。

第一章

1.2.3.4.熟练掌握概率的性质与计算。熟悉几种常用的古典概型和几何概型的计算。会求条件概率，掌握事件独立、事件互斥的定义与关系。熟练掌握乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式的应用。

第二章

1.要非常熟悉常用分布的分布函数、分布列或密度函数、数学期望、方差等，特别要注意指数分布、均匀分布、泊松分布、正态分布的定义及有关计算。

2.对于一维离散型随机变量，要会求其落在某个区间的概率，会求数学期望和方差。

3.对于一维连续型随机变量，给定密度函数或分布函数，会求未知系数，会求概率，求数学期望和方差。特别注意二项分布与其他分布相结合的题目。

4.已知X服从某种分布，会求Yg(X)的分布列或密度函数。

第三章

1.熟悉二维均匀分布、二维指数分布的概念与计算，总结二维正态分布的各种性质。熟悉连续型随机变量的密度函数和分布函数的定义与性质。

2.会求较为简单的二维离散型随机变量的联合分布列，会求相应的概率，会求边际分布列，会求协方差和相关系数，会判断独立性，会判断X,Y是否相关。

3.对于二维连续型随机变量，给定联合密度函数，要会求未知系数，求概率，求期望和方差，会求边际分布，会求协方差和相关系数，判断独立性，会判断X,Y是否相关。

4.已知X,Y各自的分布列，会求ZXY,Zmax(X,Y),min(X,Y)的分布列，要注意总结哪些常用分布具有可加性。

5.要非常熟悉期望、方差、协方差、相关系数的计算与性质。

6.会用切比雪夫不等式估计概率。

第四章

6.第三章《概率》复习测试题 篇六

三、解答题

12.(·福建文)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数依次为1，2，3，4，5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：

1

2

3

4

5

0.2

0.45

⑴若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求的值;

⑵在⑴的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为，等级系数为5的2件日用品记为，现从，，这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.

考查目的：考查概率统计有关知识，函数方程和分类整合思想，以及数据处理和运算求解能力等.

答案：⑴;⑵0.4.

解析：⑴由频率分布表得即.∵抽取的20件日用品中，等级系数为4的.恰有3件，∴.等级系数为5的恰有2件，∴，从而，∴.

⑵从日用品，中任取两件，所有可能的结果为，，，，，，，，，.设事件A表示“从日用品，中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为，，，共4个，又∵基本事件的总数为10，∴所求的概率.

13.口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5.甲先摸出一个球，记下编号为，放回袋中后，乙再摸一个球，记下编号为.

⑴求“”事件发生的概率;

⑵若点落在圆内，则甲赢，否则算乙赢，这个游戏规则公平吗?试说明理由.

考查目的：本题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力.

答案：⑴;⑵对乙不公平.

解析：⑴设“”为事件A，其包含的基本事件为(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)共5个，又∵基本事件总数有5×5=25(个)，∴.

⑵这个游戏规则不公平.设甲胜为事件B，则其所包含的基本事件为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)共13个，∴，故而对乙不公平.

14.(·湖南文)为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表(单位：人)

高 校

相 关 人 数

抽 取 人 数

A

18

B

36

2

C

54

⑴求;

⑵若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率.

考查目的：巩固分层抽样的知识，列举法求随机事件包含的基本事件数.

答案：⑴;⑵.

解析：⑴由题意得，∴;⑵记从高校B抽取的2人为，从高校C抽取的3人为，则从高校B，C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有，共10种.设选中的2人都来自高校C的事件为，则包含的基本事件有共3种，∴，∴选中的2人都来自高校C的概率为.

15.(2010·陕西文)为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如下：

⑴估计该校男生的人数;

⑵估计该校学生身高在170～185cm之间的概率;

⑶从样本中身高在180～190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190cm之间的概率.

考查目的：本题考查频数，频率及概率，频率与概率的关系，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识.

答案：⑴400;⑵0.5;⑶.

解析：⑴样本中男生人数为40，由分层出样比例为10%估计全校男生人数为400.

⑵有统计图知，样本中身高在170～185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在170～185cm之间的频率，故由估计该校学生身高在170～180cm之间的概率.

⑶样本中身高在180～185cm之间的男生有4人，设其编号为①，②，③，④，样本中身高在185～190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤，⑥，从上述6人中任取2人的树状图为：

7.初中概率教学与复习策略漫谈 篇七

教学时应紧扣定义, 准确理解定义, 熟练掌握计算方法.概率定义共有四种:

1. 描述定义, 表示事件发生的可能性大小的数值.

2. 古典定义, 表示事件可能发生的结果数占所有等可能结果数的比值.

3.几何定义, 表示事件可能发生的点所在区域的范围占所有等可能点所在区域范围的比值.

4.统计定义 (也称频率定义) , 表示在重复实验中事件发生的频率的稳定性.据后三种定义, 可得到概率计算的三种方法:

1.列举法

适用古典概型问题, 公式为.解题时要理解公式中m和n的含义, 把握古典概型的两个基本特征: (1) 有限性:在一次实验中, 可能出现的结果总数只有有限个, 即只有有限个不同的基本事件. (2) 等可能性:每个基本事件发生的可能性都是相等的.

例1小刚和小明两名同学玩一个游戏.游戏规则为:两人各执“象、虎、鼠”三张牌, 同时各出一张牌定胜负, 其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象, 若两人所出牌相同, 则为平局.例如, 小刚出象牌, 小明出虎牌, 则小刚胜;又如, 两人同时出象牌, 则两人平局.

(1) 一次出牌小刚出“象”牌的概率是多少?

(2) 如果用A, B, C分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌, 用A1, B1, C1分别表示小明的象、虎、鼠三张牌, 那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少?用列表法或画树状图 (树形图) 法加以说明.

解 (1) P (一次出牌小刚出“象”牌) =1/3.

(2) 树状图 (树形图)

看图知, 可能出现的结果共有9种, 且每种结果出现的可能性都相同, 其中小刚胜小明的结果只有3种.

列举法求简单事件概率步骤:第一步, 先判断每个事件结果发生的可能性是否相等, 如果都相等, 再进行第二步, 即用列举法计算概率.如果每个事件结果发生的可能性不都相等, 则不能用列举法计算概率.

2.几何法

适用几何概型问题.公式为:

几何概型的意义是指如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的范围大小 (长度或面积或体积) 成正比例, 则称这样的概率模型为几何概率模型, 简称几何概型.

解题时要考查所有可能发生的点 (结果) , 虽然不能一一列出, 但通过计算线段长度、封闭图形面积或体积, 可求出线段长度之比, 或区域面积之比, 或空间体积之比的比值, 来确定概率.

解题步骤:

(1) 验证全部基本事件的发生具有等可能性.否则不能用几何法计算概率.

(2) 选择适当观察角度, 把问题转化为几何概型.

(3) 把全部基本事件转化为与之对应的区域D.

(4) 把随机事件A转化为与之对应的区域d.

(5) 用几何概型概率公式计算概率.

解题关键:建立几何概型, 找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域, 把问题转化为几何概型问题, 利用几何概型概率计算公式求解.

例2在如图所示的8×8正方形网格纸板上进行投针实验, 随意向纸板投中一针, 投中阴影部分的概率是___________.

解正方形网格总面积为8×8=64 (面积单位) , 阴影部分面积为8 (面积单位) , 投中阴影部分的概率为P=8÷64=0﹒125.

3. 频率估计法

频率估计法适用于随机事件的所有可能结果不是有限个, 或各种可能结果发生的可能性不相等情形.

频率估计法解题思想:一次实验获得随机事件的一个频率, 直接用这个频率作为随机事件概率的估计值;几次重复实验, 获得随机事件的一组频率, 用这组频率的平均值作为随机事件概率的估计值.在相同条件下, 大量重复试验时, 一个随机事件发生的频率可能逐渐稳定到某个常数, 用这个常数作为事件发生的概率.

注意问题:弄清楚用频率估计概率的条件及方法, 正确进行频率到概率的转换.

例3在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个, 小颖做摸球实验, 她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色, 再把它放回盒子中, 不断重复上述过程, 下表是实验中的一组统计数据:

(1) 请估计:当n很大时, 摸到白球的频率将会接近____. (精确到0.1)

(2) 假如你摸一次, 你摸到白球的概率P (白球) =____.

(3) 试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只?

解 (1) 当n很大时, 摸到白球的频率将会接近0.6.

(2) 摸一次, 我摸到白球的概率P (白球) =0.6.

(3) 设盒子里有白球x只, 则有黑球 (40-x) 只, x40≈x40≈0.6, x≈24.

答:估计盒子里有白球24只, 黑球16只.

要关注应用问题, 概率应用问题有两大类:

1.在游戏中的应用

对游戏规则的公平性进行判断.中考试题较多是判断游戏规则是否具有公平性或按公平性原则设计或修改游戏规则.

注意: (1) 游戏类概率问题, 解题时要对游戏是否具有公平性作出说明. (2) 在设计或修改游戏规则时, 要预先计算各方获胜的概率, 看其是否相等的关键是正确计算各方获胜的概率.

例4将背面完全相同, 正面上分别写有数字1, 2, 3, 4的四张卡片混合后, 小明从中随机地抽取一张, 把卡片上的数字作为被减数, 将形状、大小完全相同, 分别标有数字1, 2, 3的三个小球混合后, 小华从中随机地抽取一个, 把小球上的数字作为减数, 然后计算出这两个数的差.

(1) 请你用画树状图或列表的方法, 求这两数差为0的概率;

(2) 小明与小华做游戏, 规则是:若这两数的差为非负数, 则小明赢;否则, 小华赢.你认为该游戏公平吗?请说明理由.如果不公平, 请你修改游戏规则, 使游戏公平.

解画树状图或列表格 (略) .

(1) 两数差为0的概率

(2) 不公平.因为两数差为非负数的概率, 而两数差为负数的概率, ∵P1≠P2, ∴游戏不公平.游戏规则可修改为:若这两数差为正数, 则小明胜;否则小华胜.

2.在经营活动中的应用

用概率知识进行经营决策.

(1) 估算效益——保险公司怎样才能不亏本?

例5某航班每次约有100名乘客, 一次飞行中飞机失事的概率P=0.00005, 一家保险公司要为乘客保险, 许诺一旦飞机失事, 就向每位乘客赔偿40万人民币.平均来说, 保险公司应该如何收取保险金?

解设保险公司平均向每位乘客收取保险费x元.在每n次的飞行中, 平均失事np次.保险公司收取到的保险费共100nx元, 而向乘客赔偿共100×400000×np元.当然保险公司本着收入不能小于支出的原则, 即100nx≥100×400000×np, 100nx≥400000×n×0.00005, x≥20 (元) .

所以保险公司应向每位乘客收取的保险费应不低于20元.但实际上, 如今飞机失事的概率已越来越小于0.00005, 故保险公司向每位乘客收取20元的保险费, 平均来说, 对保险公司还是比较有利的.

(2) 选择方式——哪种方式更合算?

例6某商场为了吸引顾客, 设立了一个可以自由转动的转盘, 并规定:顾客每购买100元的商品, 就能获得一次转动转盘的机会, 如果转盘停止后, 指针正好对准红色、黄色、绿色区域, 那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券, 凭购物券可以在该商场继续购物, 如果顾客不愿意转转盘, 那么可以直接获得购物券10元, 转转盘和直接获得购物券, 你认为哪种方式更合算?

(3) 估算产量——池塘里有多少条鱼?

8.概率复习 篇八

回答

对于算法初步这章内容，考查用自然语言叙述算法思想的可能性不大，而应重视流程图表示的算法及算法语句（伪代码）表示的算法.虽然不同版本教材中的算法语句不同，但是流程图是相同的，因此更应该重视对流程图的复习.在对本章内容进行复习的时候，不宜搞得太难，掌握基本思想及格式即可.另外要注意的是流程图与其他知识相结合的实际应用型题目，如2008年江苏高考第7题.

要做好算法的题目，首先必须熟练掌握程序框图和基本算法语句.不管做哪种形式的算法问题，都要特别注意条件结构和循环结构.常常用条件结构来设计算法的有分段函数的求值、数据的大小关系等问题，而循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和、累乘求积等问题.在循环结构中，要注意分析计数变量、累加变量以及循环结构中条件的表达和含义,特别要注意避免出现多一次循环或少一次循环的情况.

问题二 复数问题会以什么形式出现？主要考查哪些知识点？

回答高考对复数的要求还是围绕着“数系扩充”和基本概念、基本运算展开的，在考查时，题型仍以小题为主，难度不大.

复数的基本概念中，难点在于对复数中诸多概念的正确理解.特别要领会和掌握的有以下几点： ① 复数是实数的条件：z=a+bi∈R（a,b∈R）b=0z=z-；② 复数是纯虚数的条件：z=a+bi（a,b∈R）是纯虚数z+z-=0（z≠0）；③ 两个复数相等的条件：a+bi=c+dia=c且b=d（其中，a,b,c,d∈R），特别地，a+bi=0a=b=0；④ 复数z=a+bi（a,b∈R）的模|z|=a2+b2，共轭复数z-=a-bi.

复数的代数形式运算类似多项式的运算，加法类似合并同类项，乘法类似多项式相乘，除法实际是分母实数化（类似分母有理化）.复数运算常用的结论有：① i2=-1；② i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i，其中n∈N；③ （1±i）2=±2i；④ ω=-12+32i,ω2=ω-,ω=1ω2,ω3=1,1+ω+ω2=0.

复数的几何意义是复数中的难点，化解难点的关键是对复数的几何意义的正确理解.理解复数的几何意义可以从以下方面入手：① 复数z=a+bi（a,b∈R）的模|z|=a2+b2实际上就是指复平面上的点Z（a,b）到原点O的距离；|z1-z2|的几何意义是复平面上的两点Z1，Z2之间的距离；② 复数z、复平面上的点Z及向量OZ一一对应，即z=a+bi（a,b∈R）Z（a,b）OZ.

解答复数问题，要学会从整体的角度出发去分析和求解.如果遇到复数就设z=a+bi（a,b∈R），则有时会给问题的解答带来不必要的运算上的困难，如能把握住复数的整体性质，充分运用整体思想求解，则能事半功倍.

问题三 概率统计部分考查的侧重点是什么？会出哪些题型？

回答统计初步主要考查对统计思想、统计方法的理解与运用.

统计初步的考查重点是：

（1） 随机抽样的三种方法，即简单随机抽样：适用于总体中的个体数量不多的情况；系统抽样：适用于总体中的个体数量较多的情况；分层抽样：适用于总体中的个体具有明显层次的情况.三种抽样方法的共同点是：它们都是等概率抽样，体现了抽样的公平性.

（2） 频率分布表和直方图是表示样本数据的图表，在频率分布表中我们可以看出样本数据在各个组内的频数以及频率；而频率分布直方图更加直观地表示了样本数据的分布情况，值得注意的是频率分布直方图中纵轴上的点表示频率除以组距.解答频率分布图表问题的关键是弄清楚其含义.

（3） 理解样本数据平均数与方差的意义和作用，能从已有样本数据中提取基本的数字特征（如平均数，方差）.

概率部分的考查内容主要包括古典概型、几何概型以及随机变量的概率问题.古典概型是学习以及高考的重点，几何概型是等可能概型的一种，直观性强，特别要注意对几何图形的构造，体会测度的含义——对线段而言为长度，对平面图形而言为面积，对立体图形而言是体积.对古典概型和几何概型的考查多以小题的形式出现，以中等难度题目为主.

古典概型和几何概型的复习关键是：

（1） 一个事件是否为古典概型，在于这个实验是否具有“有限性和等可能性”这两个基本特征.

（2） 几何概型具有“无限性和等可能性”这两个特点.化解实际问题向几何概型的转化过程中，要清楚几何概型的意义和计算公式，特别要注意的是很多几何概型往往要通过一定的手段才能转化到几何度量值的计算上来.在解决问题时要善于根据问题的具体情况进行转化，如把从两个区间内取出的实数看成坐标平面上的点的坐标，将问题转化为平面上的区域问题等，这种转化策略是化解几何概型试题难点的关键.

（3） 在求互斥事件概率时，要合理利用公式P（A+B）=P（A）+P（B）.在求对立事件概率时，要运用公式P（A-）=1-P（A）.对于比较复杂的概率问题，可尝试利用其对立事件求解（即逆向思维），或分解成若干个互斥事件（即分类讨论），利用互斥事件的概率加法公式求解.

概率初步研究的是孤立的事件发生与否的概率，而随机变量研究的概率问题是在一次试验中，某类现象发生概率的状态（即分布）.要理解离散型随机变量的数学期望与方差的意义，掌握其计算公式，而超几何分布和二项分布需要引起重视.

离散型随机变量的期望公式是E（X）=x1p1+x2p2+…+xnpn+…，此外有：E（aX+b）=aE（X）+b；方差公式是V（X）=（x1-μ）2p1+（x2-μ）2p2+…+（xn-μ）2pn=∑ni=1（xi-μ）2pi或 V（X）=∑ni=1x2ipi-μ2，此外也有：V（aX+b）=a2V（X）.

问题四 近几年高中计数原理的重点在哪里？会以什么样的题型进行考查？

回答近几年高中普遍提高了对计数原理应用的考查要求，即高考对计数问题的考查更多着眼于对计数原理的应用，而淡化了技巧与繁琐的运算，很多考题已经很难区分是单独地考查计数原理还是排列组合，更多的是趋于统一与融合.

计数原理的复习关键是：

（1） 要理解两个原理的含义，分类加法计数原理强调完成一件事有若干种方法，每一种方法都可以独立完成这件事，各种方法互不干涉；而分步计数原理强调完成一件事分成几个步骤，各步之间彼此依赖，只有完成所有的步骤才能完成这件事，缺少其中任何一步都不能完成这件事且各步中的方法是相互独立的.

（2） 解排列、组合应用题时，首先要认真审题，弄清是组合问题还是排列问题，可以按元素的性质分类，按事件发生的过程分步；然后要弄清楚题目中的关键字眼“在”与“不在”，“相邻”与“不相邻”等，常用的方法有“先排特殊元素或特殊位置”、“捆绑法”、“插空法”等.

（3） 常见的解题策略有以下几种：① 特殊元素优先安排的策略；② 合理分类与准确分步的策略；③ 排列、组合混合问题先选后排的策略；④ 正难则反、等价转化的策略；⑤ 相邻问题捆绑处理的策略；⑥ 不相邻问题插空处理的策略；⑦ 定序问题除法处理的策略；⑧ 分排问题直排处理的策略；⑨ “小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩ 构造模型的策略.

（4） 对于排列数与组合数的计算问题，要注意依据排列数与组合数公式及其变形，在计算过程中要注意阶乘的运算、组合数性质的使用和提取公因式等方法的运用.另外，含有排列数或组合数的方程都是在正整数范围内求解.利用这一点可以根据题目的条件将方程及时化简.证明题一般用Amn=n!（n-m）!或Cmn=n!m!（n-m）!及组合数的性质，证明过程中要注意阶乘的运算及技巧.

9.概率复习 篇九

1.达州市某中学举行了“中国梦，中国好少年”演讲比赛，菲菲同学将选手成绩划分为A、B、C、D四个等级，绘制了两种不完整统计图．

D

根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）参加演讲比赛的学生共有 人，扇形统计图中m=，n=，并把条形统计图补充完整．（2）学校欲从A等级2名男生2名女生中随机选取两人，参加达州市举办的演讲比赛，请利用列表法或树状图，求A等级中一男一女参加比赛的概率．（男生分别用代码 A1、A2表示，女生分别用代码B1、B2表示）

2.为了掌握我市中考模拟数学试题的命题质量与难度系数，命题教师赴我市某地选取一个水平相当的初三年级进行调研，命题教师将随机抽取的部分学生成绩（得分为整数，满分为160分）分为5组：第一组85～10；第二组100～115；第三组115～130；第四组130～145；第五组145～160，统计后得到如图所示的频数分布直方图（每组含最小值不含最大值）和扇形统计图，观察图形的信息，回答下列问题：

（1）本次调查共随机抽取了该年级多少名学生？并将频数分布直方图补充完整；

（2）若将得分转化为等级，规定：得分低于100分评为“D”，100～130分评为“C”，130～145分评为“B”，145～160分评为“A”，那么该年级1500名考生中，考试成绩评为“B”的学生大约有多少名？

10.概率复习指导 题型训练的重要性 篇十

一部分考生在概率论第一轮复习结束后，针对教材，对大纲要求的知识点认认真真地学习了一遍，并将课后题也全部都做了。在这个时候将一道题目放在他的面前，会出现这样一种情况：这个题目是考察哪个知识点或哪几个知识点的综合，做这类题目要用到哪几个公式，这些公式的应用条件是什么，这些全部都很清楚;可是做题还是感觉无从下手，这是什么原因呢?

出现这种情况主要是因为对题目要用到的公式理解的还不够深刻，公式中的各个量到底代表什么，每个量有什么特点，这些量在不同的题目中可能会出现哪些表现形式，没有太好的把握，不能做到正确的应用这些公式。这一类型的题目做的太少了。

解决这个问题需要做一定量的针对训练，在训练中借鉴别人总结的解题方法，并在此基础上得到自己的解题心得及注意事项，改正错误解题步骤，每做一道题目有一道题目的收获。每一次专项训练做多少题目合适因题型而异，有些公式及知识只要少量的题目训练就可以掌握(离散型随机变量的考察多是这种情况);而对于一些相对来说较复杂的公式，就需要我们通过大量的题目训练来掌握(连续性随机变量的考察多是这种情况)。在针对题型的`专项训练中，我们要处理各种各样的不同情况，在不断的总结这类题目的解题方法和解题技巧的同时，我们对于公式就有了更深一层次的理解和把握，从而可以不断提高做这类题目的正确率。

考研路上并不是一帆风顺的，在遇到困难时，积极地寻找解决方法，找到适合自己的解决办法，不断的进步，不断的提高，最后一定能走到胜利的终点!

11.概率复习 篇十一

关键词：滑坡； 概率密度函数； 联合概率结构； Dirac δ函数序列； 混合分布模型

中图分类号：TU312；O213 文献标志码：A 文章编号：16744764（2012）05005707

降雨型滑坡预测方法主要分为2类：基于过程的预测模型（亦称为物理模型）和经验模型。雨水渗入导致岩土体内的孔隙压力增大、有效应力减小和岩土体的抗剪强度降低是降雨型滑坡发生的主要机制[1]。滑坡预测的物理模型则从上述机制出发判断滑坡的状态，即充分考虑降雨数据、降雨入渗过程及其对岩土体的影响，结合岩土体滑坡的稳定性分析，最终确定引发滑坡的降雨量，从而判定滑坡是否发生[29]。然而，该模型所需输入信息，如局部地形条件、岩土的力学参数和水文学参数等都很难准确获得，阻碍了该模型的实际应用[10]。经验模型则部分体现了滑坡产生的机制，仅通过对降雨和滑坡的历史数据进行统计给出滑坡的降雨阈值。模型不同，降雨阈值所采用的控制变量亦不相同，所适用的地区亦不相同。但由于简便易行，经验模型是目前滑坡预测中最为实用的方法。范文亮，等：滑坡概率分析中降雨的联合概率结构〖=〗

本质上，无论是物理模型还是经验模型，均是通过将降雨数据和滑坡的降雨阈值进行对比来判定滑坡的发生与否，只不过前者的降雨阈值是基于物理机制分析得到的，而后者则是通过经验统计给出的。借鉴可靠度理论的概念，滑坡概率Pf可表示为。

式中：Pr{·}表示事件发生的概率；R表示当前降雨数据，类似于可靠度分析中的效应；[R]表示降雨阈值，类似于可靠度分析中的抗力。然而，由于降雨型滑坡影响因素的复杂性，很难由单一控制变量判定，因此R和[R]均为向量，而在可靠度分析中，效应和抗力均为标量。

目前，关于降雨型滑坡的研究主要集中于降雨与滑坡的关系、降雨的入渗和边坡的稳定性分析方面[1116]，即更多地关注[R]，对于降雨数据R的概率描述鲜有研究涉及。笔者力图针对重庆地区的历年降雨数据，建立可用于重庆地区滑坡概率预测的降雨特征的概率模型。

欲建立R的概率模型，必须先将其具体化，明确其分量。文献[10]详细列举了各研究者曾经使用过的控制变量，包括日降雨量、前期累计降雨量、降雨强度和降雨持时等共25种。结合文献[13]和[17]，笔者取日降雨量和前期累计降雨量为控制变量，且取10 d为前期降雨的计算时间段。1 滑坡概率分析

若记日降雨量为R1，10 d累计降雨量为R10，与之对应的阈值分别为[R1]、[R10]，那么式（1）可改写为式（2）。

值得指出的是，现有研究中关于R1、R10的处理方式是截然不同的。日降雨量往往用降雨等级表示，即将R1视为离散变量，而10 d累计降雨量则采用真实的数据，即R10视为离散变量，然后根据日降雨量的不同等级再结合10 d累计降雨量的具体数值判定滑坡状态。

一般而言，根据日降雨量大小可分为4个等级，即等级1（小雨，R1∈[0，10） mm）、等级2（中雨，R1∈[10，25） mm）、等级3（大雨，R1∈[25，50） mm）和等级4（暴雨，R1∈[50，∞） mm）。若记第i个降雨等级为Ei，那么式（2）可进一步改写为

若已知Pr{Ei}·pR10|Ei（y）和p[R10]|Ei（z），则滑坡概率计算颇为简单。本文则着重于关注Pr{Ei}·pR10|Ei（y）的获取。由于Pr{Ei}·pR10|Ei（y）描述了2个变量的联合概率结构，但是此2变量分别为离散变量和连续变量，因此，文中将称之为离散连续混合变量的联合概率结构。2 离散连续混合变量的联合概率模型 由上所述，Pr{Ei}表示事件Ei发生的概率，pR10|Ei（y）则表示随机变量的条件概率密度，本质上仍属于概率密度函数。根据降雨历史数据可以方便地给出Pr{Ei}的统计值，但是欲较为准确地确定pR10|Ei（y）的模型则较为困难。目前应用最为广泛的由采样数据确定随机变量概率模型的方法是假设检验方法。该方法的优点在于可以给出一个简单的可用概率模型，但其确定亦是显而易见的，即只能确定单峰的概率密度模型。然而，由于影响因素的复杂性，现实中的许多随机变量并不能采用简单的单峰，往往呈现出多峰性态。笔者拟由密度变换解获得概率密度函数的近似值，然后引入混合分布模型对其进行建模，并通过回归拟合确定关键参数，最后确定联合概率模型。

2.1 累计降雨量的条件密度变换解及其数值逼近

式中：δρ[·]表示Dirac δ函数序列；ρ为适当小量；N为观测数据数量；H（θq）表示θ取θq时的累计降雨量，H0=maxθ∈ΩΘHθ，由于累计降雨量已由实测获得，因此H（θq）和H0实际上表示第q个实测样本R10，q和所有实测值的最大值；Pq=pΘ|Ei（θq）Δθq表示点θq的赋得概率，由于概率守恒，其数值等于H（θq）出现的概率。不失一般性，可假设各观测数据出现的概率均等，即Pq=1/N。于是，式（9）可进一步改写为式（10）。

2.2 混合变量的联合概率模型

根据由式（10）获得的条件概率密度函数计算值，可采用如下的混合分布模型对其进行建模，即[19]

重庆市气象局提供了重庆市自1980年至2009年共30 a的小时降雨数据和2003年至2009年间的分钟降雨数据。基于以上数据可获得日降雨量和10 d累计降雨量的联合观测样本共10 818条。其中，日降雨等级为小雨的樣本10 007条，日降雨等级为中雨的样本530条，日降雨等级为大雨的样本211条，日降雨等级为暴雨的样本70条。

nlc202309032322

需指出的是，10 007條小雨样本中日降雨量为0且累计降雨量很小的记录占有很大比例。一方面，这样的降雨基本不会引起滑坡，另一方面，这些数据会极大地引起建模困难。例如，两者均为0的样本约占16.7%，而理论上连续随机变量取任意值的概率均为零。为简单且便于应用，对日降雨等级为小雨时累计降雨量的概率建模时仅考虑了累计降雨量超过20 mm的数据，共3 763条。此时，E1发生时滑坡的概率为

3.2 10 d累计降雨量的概率密度估计

首先，利用条件密度变换解的Dirac δ逼近对降雨等级为小雨实测样本中选取的3 763条累计降雨量超过20 mm的样本子集进行累计降雨量的概率密度估计，结果如图1所示。为验证密度估计的准确性，将其与频数直方图和经验累积分布函数进行了对比。图1（a）和（b）分别表示与等间距直方图和等频数直方图的对比，其中等频数直方图分10个等频率区间，图1（c）表示与经验累积分布函数的比较，下同。不难发现，计算结果和三者均吻合良好。

类似地，可给出降雨等级为中雨、大雨和暴雨时的密度估计，结果分别示于图2～4。通过与直方图、经验累积分布函数的比较可知上述密度估计是合理且准确的。

值得注意的是，图2中等间距直方图和等频数直方图在累计降雨较小时存在着显著差异，甚至体现于图形趋势上。究其原因在于此区间存在大量样本，在等间距直方图内均位于同一条带内，不能描述出更精细的概率变化；而等频数直方图可以较好地弥补了这一缺陷。

3.3 10 d累计降雨量的混合分布概率模型

显然，上述密度估计值是不便于应用的，为此需建立解析的概率模型。

首先，采用常用的概率模型对其进行建模。由于累计降雨量存在明显的边界（即≥0），因此，可尝试用对数正态分布和3参数Weibull分布对其进行建模，建模准则为均值和标准差一致。将不同降雨等级的建模结果与直方图、密度估计结果进行对比，分别示于图5～8，其中（a）图均为与等间距直方图的比较，（b）图则为与等频数直方图的比较。

图6和图7表明此2种情形对数正态分布较Weibull分布更接近于计算结果，但效果均不理想；图8表明降雨等级为大暴雨时无论是对数正态分布还是Weibull分布均与实际分布相差太远。为此需要采用式（11）所描述的混合模型对此三者进行建模。

根据试算，可得到降雨等级分别为中雨、大雨和暴雨时累计降雨量的混合模型分别为式（17）、（18）、（19）。

3.4 联合概率模型

由式（12）可知，欲建立日降雨量与累计降雨量的联合概率结构，除累计降雨量的条件概率密度模型外，尚需确定Pr{Ei}。根据降雨实测数据，可统计出不同降雨等级的频度函数，如表1所示。

将表1的频度函数和第3.3节累计降雨量的条件概率密度模型代入式（12）即可得到重庆市日降雨量和累计降雨量的联合概率模型。

4 结 论

降雨型滑坡的概率分析和预测中，作为主要输入的降雨是关键参数。笔者以日降雨量和累计降雨量为降雨量的控制参数，结合重庆气象局提供的降雨观测数据，建立了日降雨量和累计降雨量的联合概率模型。与经典意义上的联合概率结构不同，文中沿用降雨型滑坡分析的习惯，将日降雨量视为离散变量，而累计降雨量为连续变量。在此基础上导出了离散变量和连续变量的联合概率模型和条件密度变换解及其Dirac δ函数序列逼近，并提出了基于上述计算结果建立可用的联合概率模型的思路。然后，将上述思路用于重庆市的降雨数据，建立了适用于重庆地区的日降雨量和累计降雨量的联合概率模型。

值得指出的是，文中借鉴可靠度概念建立的滑坡概率分析方法思路清晰、简单、直接，但相比较而言，对相关数据的要求却更为严格，除了降雨量的概率模型之外，尚需获得降雨阈值的概率结构。

参考文献：

[1]李长江. 降雨型滑坡预报的理论、方法及应用[M]. 北京：地质出版社. 2008.

[2]Montgomery D R， Dietrich W E. A physically based model for topographic control on shallow landsliding[J]. Water Resources Research，1994，30：11531171.

[3]Wu W， Sidle R C.A distributed slope stability model for steep forested basins[J].Water Resources Research， 1995， 31：20972110.

[4]Dietrich W E.A processbased model for colluvial soil depth and shallow landsliding using digital elevation data[J]. Hydrological Processes，1995，9（3/4）：383400.

[5]Montgomery D R，Sullivan K，Greenberg H M.Regional test of a model for shallow landsliding[J]. Hydrological Processes，1998，12：943955.

[6]Iverson R M.Landslide triggering by rain infiltration[J].Water Resources Research，2000，36（7）：18971910.

[7]Borga M.Assessment of shallow landsliding by using a physically based model of hillslope stability[J].Hydrological Processes，2002，16：28332851.

nlc202309032322

[8]Casadei M， Dietrich W E， Miller N L.Testing a model for predicting the timing and location of shallow landslide initiation in soilmantled landscapes[J].Earth Surface Processes and Landforms，2003，28：925950.

[9]Tsai T L， Yang J C.Modeling of rainfalltriggered shallow landslide[J].Environmental Geology，2006，50：525534.

[10]Guzzetti F.Rainfall thresholds for the initiation of landslides in central and southern Europe[J].Meteorology and Atmospheric Physics，2007，98（3/4）：239267.

[11]林孝松.滑坡與降雨研究[J].地质灾害与环境保护，2001，12（3）：17.

LIN Xiaosong.The study of landslide related to rainfall[J].Journal of Geological Hazards and Environment Preservation， 2001，12（3）：17.

[12]张友谊，胡卸文，朱海勇.滑坡与降雨关系研究展望[J].自然灾害学报，2007，16（1）：104108.

ZHANG Youyi，HU Xiewen，ZHU Haiyong.Prospect of research on relationship between landslide and rainfall[J].Journal of Natural Disasters，2007，16（1）：104108.

[13]张珍，李世海，马力.重庆地区滑坡与降雨关系的概率分析[J].岩石力学与工程学报，2008，24（17）：31853191.

ZHANG Zhen，LI Shihai，MA Li.Probability analysis of relationship between landslide and rainfall in Chongqing area[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2005，24（17）：31853191.

[14]李汝成， 王复明. 降雨入渗对泥岩土混填路堤稳定性的影响[J]. 岩石力学与工程学报，2008，27（11）：22602266

LI Rucheng，WANG Fuming.Effect of rainfall infiltration on stability of mudstonesoil mixture embankment[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2008， 27（11）：22602266.

[15]王军.降雨入渗对流变介质隧道边坡稳定性的分析[J].岩土力学，2009，30（7）：21582162，2167

WANG Jun.Analysis of stability of tunnelslope with rheological medium under rainfall infiltration[J].Rock and Soil Mechanics，2009，30（7）：21582162，2167.

[16]张卢明.降雨入渗对滑坡渗流场和稳定性的影响分析[J].铁道工程学报，2009（7）：1519.

ZHANG Luming.Effects analysis of rainfall infiltration on the landslide seepage field and stability[J].Journal of Railway Engineering Society，2009，7：1519.

[17]Crozier M J.Prediction of rainfalltriggered landslides： a test of the antecedent water status model[J].Earth Surface Processes and Landforms，1999，24：825833.

[18]范文亮，李杰.广义密度演化方程的δ函数序列解法[J].力学学报，2009，41（3）：398409.

FAN Wenliang，LI Jie.Solution of generalized density evolution equation via a family of δ sequences[J].Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics，2009，41（3）：398409.

[19]McLachlan G J，Peel D.Finite mixture models[M].John Wiley & Sons， Inc..2000.

（编辑 王秀玲）doi：10.3969/j.issn.16744764.2012.05.010