考研复习概率公式大全

考研复习概率公式大全（通用6篇）

1.考研复习概率公式大全 篇一

2013考研高等数学概率复习与技巧

对于20的考研学子，如何在如今的冲刺初期阶段复习中凸显效率尤为重要。特别是那些数一，数三的考生们，因为数学复习的任务量较为繁多，所以想要在2013年的研究生考试中站稳脚跟，现阶段也是一个十分关键的时期。下面，针对区别于数2的数1 数3考生数学中概率方面的一些复习技巧和计划做个总结。

首先，结合历年考纲，我们先把全书进行剖析：

第一章

1、交换律、结合律、分配率、的摩根律;(解题的基础)

2、古典概型――有限等可能、几何模型――无限等可能;

3、抽签原理――跟先后顺序无关;

4、小概率原理――小概率事件在一次试验不可能发生，一旦发生就怀疑实现规律的正确性;

5、条件概率：注意当条件的概率必须大于0;

6、全概：原因>结果 贝叶斯：结果>原因;

7、相容通过事件定义，独立通过概率定义。

第二章

1、0――1分布，二项分布，泊松分布X的取值都是从0开始;

2、分布函数是右连续的，在求分布函数也尽量写成右连续的;

3、分布函数的性质、概率密度的性质;

4、连续性随机变量任一指定值的概率为0;

5、概率为0不一定是不可能事件，概率为1不一定是必然事件;

6、正态分布的图形性质;

7、求函数的分布尽量按定义法，按定义写出基本公式;

8、分段单调时应该分段使用公式再相加。

第三章(这章比较容易出错)

1、二维分布函数的性质;(不减函数而不是单增函数;右连续)

2、求分布函数一定要按定义来，注意画对图形;

3、求边缘分布的时候，注意不同变量的区间用在什么地方;求X的边缘分布的话，先对X的区间进行划分，再不同的区间对Y的全部区间进行积分(Y在不同的区间可能有不同的函数表达)

4、负无穷到正无穷的E的负的二分之T平方的积分;(浙三P83)

5、算条件概率也一样，注意相应的区间;(这种题细节丢分太可惜)

6、max(x，y)与min(x，y)相互独立的情况是什么?独立同分布又是什么?(参见08选择题)

7、边缘分布一般不能确定分布的，只有当变量相互独立才可以。

第四章

1、级数绝对收敛，期望才存在;

2、期望的和等于和的期望，xy之间不要求任何关系;期望的乘积等于乘积的`期望，xy要相互独立;

3、浙三P120：分解的思想，还有P126;

4、方差的和在独立和不独立时公式不一样;

5、独立推出不相关;不相关推不出独立;不相关只是线性不相关;题目中如果xy的关系能够表示出来的话(一般)都是不独立;

6、二维正态分布、独立不相关等价;

7、提示：求一些积分的时候有时候可以用到对称性;

8、数一400题P140那个评注上面T(4)=3!(会用，那么做题会很方便)

第五章

1、切比雪夫大数定律条件：相互独立、方差存在一致有上界;

2、辛钦大数定律条件：独立同分布、期望存在;

3、二项分布、泊松定理、拉普拉斯大数定理结合着看一下。

第六章

1、样本的变量独立同分布;

2、统计量不含未知参数;

3、X2分布的期望和方差看下去年真题最后一道;

4、t分布图形对称性a的那个对称性公式看下;

5、三个分布的形式一定要掌握;

6、P168对后面检验和估计很有帮助。

第七章

1、矩估计就是x的1、2次方的期望;

2、最大似然估计!有可能最大似然估计的两种方法结合在一起;(开下思路)

3、区间估计;(如果能好好看书的话不难懂，不然就把P205复印下没事看两眼)

第八章

1、拒绝域与备择假设的符号相同P229

2.P436期望和方差;

注意：浙三上面每章都有小结，要看看。概率论与数理统计一共是八章，前五章是概率论，考研时，数学一、数学三、数学四都要考的。数理统计是后面三张，只有数学一、数学三要考的。作为前面五章的初等概率论，第一章是随机事件和概率，它的重点内容主要是事件的关系和运算。作为另外两个重点，是全概公式和几何概型。第一章不单独命题，至少不单独命大题。第二章是一维随机变量及其分布，这部分的重点内容是常见分布，它和第一章一样，也是基本概念多。单独命题和单独命大题的可能性比较少。第三章二维随机变量，重点内容是随机变量的独立性，第二是有关随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布之间的关系。第二章当中常见分布的重点在均匀分布，这方面是考研中，经常命题的。因此，作为这章来综合题相对多一些，我认为八章当中第一个重点考核章。第四章随机变量的数字特征，这里面主要牵扯到一些重点的概念，如均值方差等，重点内容是讨论随机变量的相关性和独立性之间的关系。这也是重点章。每年考研必须考的一章。第五章有三个内容，分别是切比雪夫不等式、大数定律和中心极限定理。这不是重点章，考的机会也比较少，但至少把这三个概念要复习一下。这是概率论的五章，重点章是三、四。

数理统计另外三章，那就是第六章基本概念、第七章参数估计、第八章是假设检验。重点是第七章参数估计。第六章的基本概念目前考得比较多的，可能和分位数有关。作为第七章的有三个内容，分别是点估计、区间估计和估计量的优良性。考得比较多的有关点估计的两种方法，分别是矩法和最大似然法。第八章考得比较少。在数学仅考过一道题，后来就没有考过，所谓第八章不作为重点。还是要全面复习、重点突出。整个概率论可以说一句话，里面没有任何技巧，只要把基本概念、基本方法掌握住的话，肯定会把这部分题答好。但目前同学反映比较多的概率论和数理统计得分比较低，这是由于概率论和数理统计，与微积分、线性代数的学科特点不一样，它是一种不确定的数学，因此在复习考研的时候是把基本概念复习好，掌握最基本有关的方法，不要试图找一些技巧和解题的简单途径，那是没有可能的。所以，作为重点章，每年百分之百考，像三、四、七每年百分之考。作为数学一，有人反映数理统计是不是不作为重点，据我们统计，占概率统计总分的1/3左右，因此数理统计对数学一来说也是很重要的，数学三也是一样。

因为概率在整体数学考试中的比重不是很大，所以一些同学很容易对其放松警惕性，这样是不对的。结合历年真题分析，虽然比重不大，但是确实一些名校竞争中，关键之所在，加上其考点明确，该哪出大题就是哪出。所以希望考生能够认真对待，争取高分。

。

2.研究生考试概率考研名师复习指导 篇二

概率这门学科与别的学科是不太一样的，首先我建议这位同学你可以看一下教育部考试中心一本杂志，专门出了一个针对研究生考试的书，这个里面请我写了一篇文章，里面我举很多例子，你看了之后有一个详细复习方法。

概率这门学科与概率统计、微积分是不一样的，它要求对基本概念、基本性质的理解比较强，有个同学跟我说高等数学不存在把题看不懂的问题，但是概率统计的题尤其文字叙述的时候看不懂题，从这个意义上来说同学平常复习时候，只要针对每一个基本概念，要把它准确的理解，概念要理解准确，通过例子理解概念，通过实际物体理解概念。

例如：比如我们一个盒子一共有十件产品，其中三件次品，七件正品，我们做一个实验，每次只取一件产品，取之后不再放回去，现在我提两个问题：一个是第三次取的次品是什么事件，这个事件就是积事件，第一次没有取到次品，第二次没有取到次品，第三次是取到次品，求这么一个事件的概率，但是换一个问题，我说你求前面两次没有取到次品情况下，第三次取到次品的概率，这个就不是积事件了，我第二个问题是知道了前面两次没有取到次品，这个信息已经知道了，然后问你第三次取到次品概率是多少，这是条件概率，这个信息已经知道了，另外一个事件发生的概率，这叫条件概率，这是容易混淆的。还有绝对概率，拿我们刚才举的例子来讲，如果我让你求第三次取到次品是什么概率，那是绝对事件的概率，这和前面两个又不一样。我举这个例子提醒考生复习时候把这些基本概念搞清楚了，把公式把握了，这个就比较容易了。跟微积分比较起来这里没有什么公式，公式很少。

所以我们把基本概念弄清楚以后，计算的技巧比微积分少得多，所以有同学跟我说，他说概率统计这门课程要么就考高分，要么考低分，考中间分数的人很少，这就说明了这种课程的特点。件概率，这是容易混淆的。还有绝对概率，拿我们刚才举的例子来讲，如果我让你求第三次取到次品是什么概率，那是绝对事件的概率，这和前面两个又不一样。我举这个例子提醒考生复习时候把这些基本概念搞清楚了，把公式把握了，这个就比较容易了。

跟微积分比较起来这里没有什么公式，公式很少。所以我们把基本概念弄清楚以后，计算的技巧比微积分少得多，所以有同学跟我说，他说概率统计这门课程要么就考高分，要么考低分，考中间分数的人很少，这就说明了这种课程的特点。件概率，这是容易混淆的。还有绝对概率，拿我们刚才举的例子来讲，如果我让你求第三次取到次品是什么概率，那是绝对事件的概率，这和前面两个又不一样。我举这个例子提醒考生复习时候把这些基本概念搞清楚了，把公式把握了，这个就比较容易了。

跟微积分比较起来这里没有什么公式，公式很少。所以我们把基本概念弄清楚以后，计算的技巧比微积分少得多，所以有同学跟我说，他说概率统计这门课程要么就考高分，要么考低分，考中间分数的人很少，这就说明了这种课程的特点。件概率，这是容易混淆的。还有绝对概率，拿我们刚才举的例子来讲，如果我让你求第三次取到次品是什么概率，那是绝对事件的概率，这和前面两个又不一样。

我举这个例子提醒考生复习时候把这些基本概念搞清楚了，把公式把握了，这个就比较容易了。跟微积分比较起来这里没有什么公式，公式很少。所以我们把基本概念弄清楚以后，计算的技巧比微积分少得多，所以有同学跟我说，他说概率统计这门课程要么就考高分，要么考低分，考中间分数的人很少，这就说明了这种课程的特点。件概率，这是容易混淆的。还有绝对概率，拿我们刚才举的例子来讲，如果我让你求第三次取到次品是什么概率，那是绝对事件的概率，这和前面两个又不一样。

我举这个例子提醒考生复习时候把这些基本概念搞清楚了，把公式把握了，这个就比较容易了。跟微积分比较起来这里没有什么公式，公式很少。所以我们把基本概念弄清楚以后，计算的技巧比微积分少得多，所以有同学跟我说，他说概率统计这门课程要么就考高分，要么考低分，考中间分数的.人很少，这就说明了这种课程的特点。条件概率，这是容易混淆的。还有绝对概率，拿我们刚才举的例子来讲，如果我让你求第三次取到次品是什么概率，那是绝对事件的概率，这和前面两个又不一样。我举这个例子提醒考生复习时候把这些基本概念搞清楚了，把公式把握了，这个就比较容易了。跟微积分比较起来这里没有什么公式，公式很少。所以我们把基本概念弄清楚以后，计算的技巧比微积分少得多，所以有同学跟我说，他说概率统计这门课程要么就考高分，要么考低分，考中间分数的人很少，这就说明了这种课程的特点。件概率，这是容易混淆的。还有绝对概率，拿我们刚才举的例子来讲，如果我让你求第三次取到次品是什么概率，那是绝对事件的概率，这和前面两个又不一样。我举这个例子提醒考生复习时候把这些基本概念搞清楚了，把公式把握了，这个就比较容易了。跟微积分比较起来这里没有什么公式，公式很少。所以我们把基本概念弄清楚以后，计算的技巧比微积分少得多，所以有同学跟我说，他说概率统计这门课程要么就考高分，要么考低分，考中间分数的人很少，这就说明了这种课程的特点。

3.考研复习概率公式大全 篇三

在考研数学中，除数二外，数一和数三都考查概率统计的知识，在整张试卷中占22%的分值，和线性代数所占比重是一样的，考生要想取得高分，学好概率统计也是必要的。纵观考研数学各科，概率这门学科与别的学科是不太一样的。概率要求对基本概念、基本性质的理解比较强，对计算的技巧要求反而较少。

概率论与数理统计可分为概率和数理统计两部分。在考研中，概率的重点考查对象在于随机变量及其分布和随机变量的数字特征。从历年试题看，概率论与数理统计这部分内容考查考生对基本概念、原理的深入理解以及分析解决问题的能力要求较高，需要考生做到能够灵活地运用所学的知识，建立起正确的概率模型，综合运用高等数学中的极限、连续、导数、极值、积分、广义积分以及级数等知识去解决概率问题。

建议大家参考2013年考研数学大纲规定（2014考研新大纲还没有发布），将概率论与数理统计的内容细细梳理一遍，将基本概念、基本理论和基本方法结合一定的基本题练习彻底吃透，这样才能在题目形式千变万化的情况下把握“万变不离其宗”的本质，做到灵活应变。同时，在学习中要明确重点，对于不太重要的内容，如古典概型与几何概型，只要掌握一些简单的概率计算即可，不需要投入太多精力。

数理统计这部分考查的重点则在于与抽样分布相关的统计量的分布及其数字特征。建议考生首先做到将基本概念都了解清楚。χ2分布、t分布和F分布的概念及性质要熟悉，考题中常会有涉及。参数估计的矩估计法和最大似 然估计法，验证估计量的无偏性是要重点掌握的。假设检验考查到的不多，但只要是考纲中规定的都不应忽视。显著性检验的基本思想、假设检验的基本步骤、假设检验可能产生的两类错误以及单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验是考点。

4.考研复习概率公式大全 篇四

南京师范大学概率论与数理统计冲刺考研复习谈

考研后，就一直想着将自己曾积累的东西整理后发给大家，因为走过这段路才懂得其中的艰辛与汗水。我也是靠学长的经验得以熬下来，希望自己的考研经验能够帮助到大家！现在回想起来所以付出的一切都值得。今年南师大的概率统计复试线355，现在将我的复习建议和全部资料留给心怀梦想的你们。(本人今年数分122，高代130)

一、数学分析

个人建议把课本多看几遍，把课后题动笔做一下，不会的再答案。初试我看的华东师范大学的教材，课本看了三四遍，课后题连做带看过了三遍。其它的资料我没看，不过建议如果有时间的话看下钱吉林的《数学分析题解精粹》和裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》。建议把课本上定理知识点弄熟，不然会本末倒置。真题的价值我就不用说了，特别是数分的真题，大家一定要特别重视，我用的是文汇南师大的《南京师范大学数学分析考研复习精编》这本书，通过真题可以看出它重点考察的知识点。我是剩下一个月才开始做真题，比较后悔，感觉至少花了一般的时间去搞比较难的知识点和习题。

二、高等代数

高代用的北京大学的那版，感觉这本教材很是不错，特别是课后习题很经典。书看了五六遍，课后题认认真真做了3、4遍。自我感觉高代还是有点学通了，虽然没考好。其实下了考场感觉能考将近140的。高代辅导教材推荐《南京师范大学高等代数考研复习精编》，我当时是动笔做的，最后由于数分进度太慢，后期高代分的时间就比较少，剩下大概两章没做，抽了一些题翻看了一下。真题掐着时间做一下，时间应该是比较充足的，有助于掌握南师大出题的难易度。

关于英语和政治的帖子比较多，你们可以参阅一下，在此我就不多讲了。感觉政治是事半功倍的，花的功夫并不多，因为平时看的新闻多，当代经济与政治那些我本来都比较熟。后期联系模拟题正确率还是令同桌眼红的，最终考了74，算是我最满意的一个科目了。

三、关于复试

重点在笔试，面试自信从容面对。整个面试过程气氛蛮融洽的，老师都面带微笑，今年我们进去是直接抽题，没让自我介绍，五个题目，在一个纸条上面。我抽到的那张第一题是用英语介绍专业和志向，比较简单。第二题题是数学专有名词，尽量多记，常见的一定要记。后面三个题，一个是数分、一个概率、一个实变，比较简单，所以答得比较轻松。南师大的复试是很公平的，我是没感觉到丝毫的水分。复试完与其它同学聊天，感觉自己答得相对算好的，结果也仅仅略高了几分，今年大家面试成绩基本都差不多，拉不开差距。再就是英语，概率论与数理统计的很简单，一张试卷，难度不到，就是有15个选择题，是与数学有关的，要懂一些数学英语才会做，所以大家都不要担心哦。

5.概率论与数理统计公式整理 篇五

随机事件及其概率

（1）排列组合公式

从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。

从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

（2）加法和乘法原理

加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n

种方法来完成。

乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n

种方法来完成，则这件事可由m×n

种方法来完成。

（3）一些常见排列

重复排列和非重复排列（有序）

对立事件（至少有一个）

顺序问题

（4）随机试验和随机事件

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

（5）基本事件、样本空间和事件

在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：

①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。

一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是的子集。

为必然事件，Ø为不可能事件。

不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。

（6）事件的关系与运算

①关系：

如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：

如果同时有，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。

A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。

A、B同时发生：AB，或者AB。AB=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。

②运算：

结合率：A(BC)=(AB)C

A∪(B∪C)=(A∪B)∪C

分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)

(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)

德摩根率：，（7）概率的公理化定义

设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：

1°

0≤P(A)≤1，2°

P(Ω)

=1

3°

对于两两互不相容的事件，…有

常称为可列（完全）可加性。

则称P(A)为事件的概率。

（8）古典概型

1°，2°。

设任一事件，它是由组成的，则有

P(A)=

=

（9）几何概型

若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。

（10）加法公式

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)

（11）减法公式

P(A-B)=P(A)-P(AB)

当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)

当A=Ω时，P()=1-

P(B)

（12）条件概率

定义

设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为。

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A)

（13）乘法公式

乘法公式：

更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有

…………。

（14）独立性

①两个事件的独立性

设事件、满足，则称事件、是相互独立的。

若事件、相互独立，且，则有

若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。

必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。

Ø与任何事件都互斥。

②多个事件的独立性

设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)

并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

那么A、B、C相互独立。

对于n个事件类似。

（15）全概公式

设事件满足

1°两两互不相容，2°，则有。

（16）贝叶斯公式

设事件，…，及满足

1°，…，两两互不相容，>0，1，2，…，2°，则，i=1，2，…n。

此公式即为贝叶斯公式。，（，…，），通常叫先验概率。，（，…，），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。

（17）伯努利概型

我们作了次试验，且满足

u

每次试验只有两种可能结果，发生或不发生；

u

次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；

u

每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。

用表示每次试验发生的概率，则发生的概率为，用表示重伯努利试验中出现次的概率。

第二章

随机变量及其分布

（1）离散型随机变量的分布律

设离散型随机变量的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为

P(X=xk)=pk，k=1,2,…，则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：。

显然分布律应满足下列条件：

（1），（2）。

（2）连续型随机变量的分布密度

设是随机变量的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有，则称为连续型随机变量。称为的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。

密度函数具有下面4个性质：

1°。

2°。

（3）离散与连续型随机变量的关系

积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。

（4）分布函数

设为随机变量，是任意实数，则函数

称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。

可以得到X落入区间的概率。分布函数表示随机变量落入区间（–

∞，x]内的概率。

分布函数具有如下性质：

1°；

2°

是单调不减的函数，即时，有；

3°，；

4°，即是右连续的；

5°。

对于离散型随机变量，；

对于连续型随机变量。

（5）八大分布

0-1分布

P(X=1)=p,P(X=0)=q

二项分布

在重贝努里试验中，设事件发生的概率为。事件发生的次数是随机变量，设为，则可能取值为。，其中，则称随机变量服从参数为，的二项分布。记为。

当时，，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。

泊松分布

设随机变量的分布律为，，则称随机变量服从参数为的泊松分布，记为或者P()。

泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。

超几何分布

随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。

几何分布，其中p≥0，q=1-p。

随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。

均匀分布

设随机变量的值只落在[a，b]内，其密度函数在[a，b]上为常数，即

a≤x≤b

其他，则称随机变量在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。

分布函数为

a≤x≤b

0，xb。

当a≤x1

指数分布,0，其中，则称随机变量X服从参数为的指数分布。

X的分布函数为,x<0。

记住积分公式：

正态分布

设随机变量的密度函数为，其中、为常数，则称随机变量服从参数为、的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为。

具有如下性质：

1°的图形是关于对称的；

2°

当时，为最大值；

若，则的分布函数为

。

参数、时的正态分布称为标准正态分布，记为，其密度函数记为，分布函数为。

是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。

Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝。

如果~，则~。

（6）分位数

下分位表：；

上分位表：。

（7）函数分布

离散型

已知的分布列为，的分布列（互不相等）如下：，若有某些相等，则应将对应的相加作为的概率。

连续型

先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。

第三章

二维随机变量及其分布

（1）联合分布

离散型

如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称为离散型随机量。

设=（X，Y）的所有可能取值为，且事件{=}的概率为pij，称

为=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：

Y

X

y1

y2

…

yj

…

x1

p11

p12

…

p1j

…

x2

p21

p22

…

p2j

…

xi

pi1

…

…

这里pij具有下面两个性质：

（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；

（2）

连续型

对于二维随机向量，如果存在非负函数，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|a

则称为连续型随机向量；并称f(x,y)为=（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。

分布密度f(x,y)具有下面两个性质：

（1）

f(x,y)≥0;

（2）

（2）二维随机变量的本质

（3）联合分布函数

设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数

称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：

（1）

（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即

当x2>x1时，有F（x2,y）≥F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2)

≥F(x,y1);

（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即

（4）

（5）对于

.（4）离散型与连续型的关系

（5）边缘分布

离散型

X的边缘分布为；

Y的边缘分布为。

连续型

X的边缘分布密度为

Y的边缘分布密度为

（6）条件分布

离散型

在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为

在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为

连续型

在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为；

在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为

（7）独立性

一般型

F(X,Y)=FX(x)FY(y)

离散型

有零不独立

连续型

f(x,y)=fX(x)fY(y)

直接判断，充要条件：

①可分离变量

②正概率密度区间为矩形

二维正态分布

＝0

随机变量的函数

若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立，h,g为连续函数，则：

h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。

特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。

例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。

（8）二维均匀分布

设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。

例如图3.1、图3.2和图3.3。

y

D1

O

x

图3.1

y

D2

O

x

图3.2

y

D3

d

c

O

a

b

x

图3.3

（9）二维正态分布

设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

其中是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，记为（X，Y）～N（由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即X～N（但是若X～N（，(X，Y)未必是二维正态分布。

（10）函数分布

Z=X+Y

根据定义计算：

对于连续型，fZ(z)＝

两个独立的正态分布的和仍为正态分布（）。

n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。，Z=max,min(X1,X2,…Xn)

若相互独立，其分布函数分别为，则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为：

分布

设n个随机变量相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和的分布密度为

我们称随机变量W服从自由度为n的分布，记为W～，其中

所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。

分布满足可加性：设

则

t分布

设X，Y是两个相互独立的随机变量，且

可以证明函数的概率密度为

我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)。

F分布

设，且X与Y独立，可以证明的概率密度函数为

我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f(n1,n2).第四章

随机变量的数字特征

（1）一维随机变量的数字特征

离散型

连续型

期望

期望就是平均值

设X是离散型随机变量，其分布律为P()＝pk，k=1,2,…,n，（要求绝对收敛）

设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，（要求绝对收敛）

函数的期望

Y=g(X)

Y=g(X)

方差

D(X)=E[X-E(X)]2，标准差，矩

①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即

νk=E(Xk)=,k=1,2,….②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为，即

=，k=1,2,….①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即

νk=E(Xk)=

k=1,2,….②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为，即

=

k=1,2,….切比雪夫不等式

设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式

切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率的一种估计，它在理论上有重要意义。

（2）期望的性质

（1）

E(C)=C

（2）

E(CX)=CE(X)

（3）

E(X+Y)=E(X)+E(Y)，（4）

E(XY)=E(X)

E(Y)，充分条件：X和Y独立；

充要条件：X和Y不相关。

（3）方差的性质

（1）

D(C)=0；E(C)=C

（2）

D(aX)=a2D(X)；

E(aX)=aE(X)

（3）

D(aX+b)=

a2D(X)；

E(aX+b)=aE(X)+b

（4）

D(X)=E(X2)-E2(X)

（5）

D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立；

充要条件：X和Y不相关。

D(X±Y)=D(X)+D(Y)

±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。

而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。

（4）常见分布的期望和方差

期望

方差

0-1分布

p

二项分布

np

泊松分布

几何分布

超几何分布

均匀分布

指数分布

正态分布

n

2n

t分布

0

(n>2)

（5）二维随机变量的数字特征

期望

函数的期望

＝

＝

方差

协方差

对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩为X与Y的协方差或相关矩，记为，即

与记号相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为与。

相关系数

对于随机变量X与Y，如果D（X）>0,D(Y)>0，则称

为X与Y的相关系数，记作（有时可简记为）。

||≤1，当||=1时，称X与Y完全相关：

完全相关

而当时，称X与Y不相关。

以下五个命题是等价的：

①；

②cov(X,Y)=0;

③E(XY)=E(X)E(Y);

④D(X+Y)=D(X)+D(Y);

⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).协方差矩阵

混合矩

对于随机变量X与Y，如果有存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为；k+l阶混合中心矩记为：

（6）协方差的性质

(i)

cov

(X,Y)=cov

(Y,X);

(ii)

cov(aX,bY)=ab

cov(X,Y);

(iii)

cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);

(iv)

cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).（7）独立和不相关

（i）

若随机变量X与Y相互独立，则；反之不真。

（ii）

若（X，Y）～N（），则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。

第五章

大数定律和中心极限定理

（1）大数定律

切比雪夫大数定律

设随机变量X1，X2，…相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D（Xi）

特殊情形：若X1，X2，…具有相同的数学期望E（XI）=μ，则上式成为

伯努利大数定律

设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，有

伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即

这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。

辛钦大数定律

设X1，X2，…，Xn，…是相互独立同分布的随机变量序列，且E（Xn）=μ，则对于任意的正数ε有

（2）中心极限定理

列维－林德伯格定理

设随机变量X1，X2，…相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：，则随机变量的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有

此定理也称为独立同分布的中心极限定理。

棣莫弗－拉普拉斯定理

设随机变量为具有参数n,p(0

（3）二项定理

若当，则

超几何分布的极限分布为二项分布。

（4）泊松定理

若当，则

其中k=0，1，2，…，n，…。

二项分布的极限分布为泊松分布。

第六章

样本及抽样分布

（1）数理统计的基本概念

总体

在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。

个体

总体中的每一个单元称为样品（或个体）。

样本

我们把从总体中抽取的部分样品称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，表示n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。

样本函数和统计量

设为总体的一个样本，称

（）

为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不包含任何未知参数，则称（）为一个统计量。

常见统计量及其性质

样本均值

样本方差

样本标准差

样本k阶原点矩

样本k阶中心矩，，,其中，为二阶中心矩。

（2）正态总体下的四大分布

正态分布

设为来自正态总体的一个样本，则样本函数

t分布

设为来自正态总体的一个样本，则样本函数

其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。

设为来自正态总体的一个样本，则样本函数

其中表示自由度为n-1的分布。

F分布

设为来自正态总体的一个样本，而为来自正态总体的一个样本，则样本函数

其中

表示第一自由度为，第二自由度为的F分布。

（3）正态总体下分布的性质

与独立。

第七章

参数估计

（1）点估计

矩估计

设总体X的分布中包含有未知数，则其分布函数可以表成它的k阶原点矩中也包含了未知参数，即。又设为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为

这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有

由上面的m个方程中，解出的m个未知参数即为参数（）的矩估计量。

若为的矩估计，为连续函数，则为的矩估计。

极大似然估计

当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为，其中为未知参数。又设为总体的一个样本，称

为样本的似然函数，简记为Ln.当总体X为离型随机变量时，设其分布律为，则称

为样本的似然函数。

若似然函数在处取到最大值，则称分别为的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。

若为的极大似然估计，为单调函数，则为的极大似然估计。

（2）估计量的评选标准

无偏性

设为未知参数的估计量。若E

（）=，则称

为的无偏估计量。

E（）=E（X），E（S2）=D（X）

有效性

设和是未知参数的两个无偏估计量。若，则称有效。

一致性

设是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有

则称为的一致估计量（或相合估计量）。

若为的无偏估计，且则为的一致估计。

只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。

（3）区间估计

置信区间和置信度

设总体X含有一个待估的未知参数。如果我们从样本出发，找出两个统计量与，使得区间以的概率包含这个待估参数，即

那么称区间为的置信区间，为该区间的置信度（或置信水平）。

单正态总体的期望和方差的区间估计

设为总体的一个样本，在置信度为下，我们来确定的置信区间。具体步骤如下：

（i）选择样本函数；

（ii）由置信度，查表找分位数；

（iii）导出置信区间。

已知方差，估计均值

（i）选择样本函数

(ii)

查表找分位数

（iii）导出置信区间

未知方差，估计均值

（i）选择样本函数

(ii)查表找分位数

（iii）导出置信区间

方差的区间估计

（i）选择样本函数

（ii）查表找分位数

（iii）导出的置信区间

第八章

假设检验

基本思想

假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的，即小概率原理。

为了检验一个假设H0是否成立。我们先假定H0是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定H0是不正确的，我们拒绝接受H0；如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝接受H0，我们称H0是相容的。与H0相对的假设称为备择假设，用H1表示。

这里所说的小概率事件就是事件，其概率就是检验水平α，通常我们取α=0.05，有时也取0.01或0.10。

基本步骤

假设检验的基本步骤如下：

(i)

提出零假设H0；

(ii)

选择统计量K；

(iii)

对于检验水平α查表找分位数λ；

(iv)

由样本值计算统计量之值K；

将进行比较，作出判断：当时否定H0，否则认为H0相容。

两类错误

第一类错误

当H0为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的检验法则，应当否定H0。这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立（即否定了真实的假设），称这种错误为“以真当假”的错误或第一类错误，记为犯此类错误的概率，即

P{否定H0|H0为真}=；

此处的α恰好为检验水平。

第二类错误

当H1为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的检验法则，应当接受H0。这时，我们把客观上H0。不成立判为H0成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误，记为犯此类错误的概率，即

P{接受H0|H1为真}=。

两类错误的关系

人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量n一定时，变小，则变大；相反地，变小，则变大。取定要想使变小，则必须增加样本容量。

在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率，即给定显著性水平α。α大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真”、而不愿“以真当假”时，则应把α取得很小，如0.01，甚至0.001。反之，则应把α取得大些。

单正态总体均值和方差的假设检验

条件

零假设

统计量

对应样本

函数分布

否定域

已知

N（0，1）

未知

6.考研复习概率公式大全 篇六

2015年考研复习计划与时间安排

从时间和事件上，我们可以将2015年的考研划分为20个阶段。

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业课一年复习的引路人了。不过，实施这项活动是有前提的：首先是活动的成本不宜太高。比方说，你要考的学校和自己同在一个城市，不需要千里迢迢奔赴另外一个城市。其次，在2-5月份之前，你心中已经有一个报考院校专业比较清晰的认知和偏向，不要什么都不知道，很盲目地去参加一场又一场的复试见证！

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一开始她就坚定梦想，跟着法学院专业听课，用别人休息的时间来复习，最终她考取了海商法的研究生，现在成为了一名专业的海事律师。举这个例子并不是要求大家都从大一开始准备考研，而是想给大家提个醒：如果你确定了所要报考的专业，那么越早准备越好，特别是对于不考数学的同学而言，专业课占据至少半壁江山，所以一定要重视，趁早着手。

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不然，考试大纲及大纲解析是对考研整体范围的一个划定和考试内容的解释说明，吃透考试大纲，就可以省很多力，对于大纲不要求的范围，同学可以相对的放松。考研备考是个寸时寸金的过程，大家一定要做到重点把握，提高效率。

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年的专业课指定书目多了一本。顿时方寸大乱，大呼“救命”。我们可以想象一下，突然间多出来一本书，不是一篇文章，在这么短的时间内真是不知该如何是好。最关键的是会对正常的复习心态带来巨大的摧毁作用。

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该阶段考生注意事项：这一阶段考生需要关注的事情是比较多的。如硕士研究生考生一律采取网上报名方式，逾期不再补报，也不得再修改报名信息；网上报名时间为此期间每天9：00-22：00；考生自行登录“中国研究生招生信网”(公网网址：yz.chsi.com.cn，教育网址：yz.chsi.cn)浏览报考须知，按教育部、考生所在地省级高校招生办公室、报考点以及报考招生单位的网上公告要求报名，凡不按公告要求报名、网报信息误填、错填或填报虚假信息而造成不能考试或复试的后果，由考生本人承担。在上述报名日期内，考生可自行修改、校正网报信息；已被招生单位接收的推荐免试生，不得再报名参加统考。否则，将取消推免生资格，列为统考生；同等学力的报考人员，应按招生单位要求如实填写学习情况和提供真实材料。也就是说考生一定要核实清楚报名信息，确保其真实和准确。

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生按规定交纳报考费(考生办理报考手续交纳报考费后，不再退还)；到报考点按规定采集考生本人图像信息(照相)。

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该阶段考生注意事项：调整作息时间、平和心态、全力以赴考试。

提醒：这里要告诫大家，考试前一天千万不要再熬夜看书了。考研对于每位考生来说都是复习不完的，因为当你复习的越多，知识面越广，就会发现自己未知的东西也越多。考前你需要的是自信，相信自己之前的努力是不会白费的。每年都有不少很“勤奋”的同学，因为考试前一天熬夜背题，结果没有休息好，文思华工考研网

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认为必要时，可再次复试，外国语听力及口语测试在复试进行，成绩计入复试成绩，对以同等学力资格(以报名时为准)报考的考生，一般要求加试，少数民族地区仅指国务院有关部门公布的《全国民族区域自治地方简表》中所列的民族自治区域，各招生单位原则上进行120%左右的差额复试。

该阶段考生注意事项：准备外国语口语听力的学习；收集往年专业课笔试、面试真题、及时复习专业课知识；联系导师

提醒几个复试小点：

1、复试前口语一定要突击练。学了很多年英语，但是很多时候学得却是哑巴式英语，我们很少张口说。而到复试这个关口，英语发音虽说短时间很难提高，但是日常的表达短时间还是可以突击达到的。建议大家去参加一下英语角，基本上每个学校都会有英语角，只是以前大家很少参加，这个时候尽量要求自己去一下吧。另外，找几个话题，比如自我介绍，为什么要考研、为什么要考这个专业、对自己未来的发展有什么展望等等，先把答案草拟出来，然后对着答案每天进行练习朗诵。

2、一定要把初试专业课指定书目以及复试指定书目浏览一遍，做到重要的观点和重要的人物心中有数。

5、面试的时候注意仪态仪表，穿着“简单、整洁、大方”，不可打扮太过花哨，女生记住不要浓妆艳抹。

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憾的。所以，一旦要调剂时，同学们务必多方位关注学校调剂信息，利用一切可以利用的获取消息渠道。

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该阶段考生注意事项:及时领取录取通知书，准备学费。准备迎接自己的研究生活。

经过这二十个阶段，整个考研就划上了一个圆满的句号

（一）从现在——5.1考研预备期

1、英语学习2.5小时（1.5单词、0.5语法、05精读）

2、专业课 1小时专业课指定教材

5、院校专业的选择，早选择早准备

2、全年规划——安排好细节，有所取舍。做精神食粮的准备

原因:考研分四个时间段：现在——四月亢奋期；5——8月量变，9、10迷茫期，11、12平静质变。很多人在9/10月放弃，做精神食粮的准备就是为了突破迷茫期。

方法：一般是考研之初准备励志书、励志音乐电影；或者储备现在的激情，（盲目乐观型幻想症）如写考研日记，录音日记，把自己对自己的承诺记录下来，还有每次的收获对自己的鼓励，记录生命的精彩，享受考研，快乐考研。

（二）5．1——5.1基础学习期

1、英语2小时（1小时单词，1小时阅读专项训练）

2、专业课（1.5小时）这个其实是他们考数学的复习数学

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5、专业课（1.5小时）

2、亲临师哥师姐的复试现场（认识师哥师姐，收集复习资料，收集复试题）

(三)5.1——5.7阶段调整期 做一套模拟试题，针对性调整计划(四)5．8——

6、20基础学习期

1、政治的预习开始 20分钟/天 哲、历、法三部分内容 考研政治红宝书和大纲解析 2、1.5小时（0.5单词。1小时阅读）

5、专业课

（一）1.5小时

2、专业课

（二）1.5小时(五)6.20——7.7期末考试周

期末考试期间仍要坚持看考研内容，持之以恒，时间可以稍短2小时/天

(六)7.8——9.1暑期，得暑期者得天下

建议：1在校学习不回家，或者回家几天再返校，选择一个学习氛围好的学校。

5利用暑期上文思华工考研网的辅导班，整理笔记，注意老师讲的补充知识点/不上辅导班，政治，英语，数，专各2小时

(七)9.1——10.1迷茫期

1政治0.5小时（背笔记，做习题）2英语1小时（作文，翻译）

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5专业一1.5专二2小时，看导师的论文，专著、课题(八)10.1——10.7阶段调整期

10．1、10.2全真模拟试题（大题要做，调整偏科）(九)10.8——考研前2周 冲刺期

1、政治1.5（强化记忆，模拟训练五套就够）2英语1小时 模拟题

注意：

1、报名9月在校生网上预报名，10月网上报名，11月现场确认，11月底缴费，电子银行转账 2、11月底 专业课命题完毕5、12月，公共课命题完毕

(十)考前两周——考试当天 恢复调整期，主要做模拟训练

1、政治、专业课从头到尾看5遍 2英语，被四篇作文板块

5、千万不要再考试前两天休息，如果要休息那就考试前两周，彻底放松一下(十一)复试调剂

考研25天成绩公布，7天分数线公布，一定要再分数线公布前就联系调剂。

三、学习资料

（一）、政治理论{考试大纲、大纲解析、政治理论标准复习全书真题解析、习题集、冲刺卷}

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（二）、英语{单词《星火词汇巧学快记》、语法有对语句的分析《无敌英语语法》、阅读：《阅读理解200篇》《阅读理解 技巧标准复习全书》《高分进阶120篇》[考前做]真题解析，模拟题}选择一些即可，没必要全做。

（三）、专业课（五种）

1、参考教材（指定教材、建议教材、补充教材）

2、历年真题（目标院校5~5年真题、目标院校兄弟院校真题）

5、笔记，讲义，非真题集（研究生必考笔记，研究生课程笔记，本科生笔记）

2、学术论文（导师，命题组，主流老师）

5、导师专著

四、考研英语

阅读，完形填空，翻译，作文[大议论文，小应用文]（考试内容）

1、常考学术论文，科技文献

2、单词，往往考最后一个意思

5、语法，句法考查（虚拟语气，动词时态，动词的非谓语形式，主谓一致，倒装，省略，强调，复合句，there be）

2、阅读命题思路考察队问题的研究

（二）怎么做：1背单词2小时/tian 2先浏览一遍，熟词新意，单独记录，再背生词 5快速浏览法

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2先筛选再记忆 5.念单词

（三）资料

1历年真题

2、新概念5 2册，大学英语

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7.1——9.1强化学习150小时 9.1——11.1时政1.5小时/天 11.1——考前 1.5小时模拟训练

七、专业课的学习方案

（一）基础：本科指定教材、多看真题（主要是用文思华工考研网的《复习精编》）、合理利用笔记（像文思华工考研网的《冲刺宝典》《模拟五卷套》每年都有人买，可以问下别人有没有）、不系统整理笔记

（二）1能找出真题的所有考点，能在书上找到该书的考点，对照书把题做对

2给自己划重点：把题还原，统计考的概率和分值

3整理笔记 不考的20%放弃*整理好笔记后复印一份，防止丢失

（三）研究真题解析 考前20天，把放弃的20%看一遍

八、导师的沟通{锦上添花}

1、时间：最早9月初，最晚复试前

2、地点：研究生一年级课堂上

5、资源（高校资源，师哥师姐介绍）