放缩法(不等式、数列综合应用)

放缩法(不等式、数列综合应用)（共10篇）

1.放缩法(不等式、数列综合应用) 篇一

2017高三复习灵中黄老师的专题

放缩法证明数列不等式

编号：001 引子：放缩法证明数列不等式历来是高中数学的难点，在高考数列试题中经常扮演压轴的角色。由于放缩法灵活多变，技巧性要求较高，所谓“放大一点点太大，缩小一点点太小”。为了揭开放缩法的神秘面纱，黄老师特开设这一专题，带领大家走近“放缩法”。一．放缩法证明不等式的理论依据： １．不等式的传递性：

２．同向不等式的可加性：

３．同向的正数不等式的可乘性：

二．常见的数列求和的方法及公式特点： １．等差数列的和;an_____sn______(nN)２．等比数列的和：ankqn,sn３．错位相减法：等差×等比

４．裂项相消法：若anan1d(d为常数）在三.常见题型分析：

１．放缩目标模型：可求和 １．１等差模型

1111()(nN)

anan1dan1ana1(1qn)（q1）(nN)1qn(n1)n(n2)1223...n(n1)例１.（１９８５全国卷）求证：(nN)22

n(n1)n(n3)1223...n(n1)变式：(nN)22

１.２等比模型

1111例２.求证：23....n1(nN)2222

变式.求证：1121112231......2n11(nN21)

例３.（２０１４全国卷Ⅱ１an满足a11,an13an1,1）证明：a1n2是等比数列.并求an的通項公式 2）证明：1a113a.......12an2

变式：求证：1211211152231......2n13(nN)

例４.（２００２全国卷理２２题７题）第２问已知数已知数列

列（（）an满足an1an2nan1,n1,2,3.......当a13时，证明对所有的n1,nN(1）ann2（2）证明：1a11a.......11121an12

１.３错位相减模型

例５.求证：12123n222233.......2nn2(nN)

１.４裂项相消模型

例2(2013广东文19第(3)问)求证：11313515711(2n1)(2n1)2

11111例６.证明：n12n12232......n2n(nN)

(nN)

111变式１.证明：122......22(nN)

变式２.证明：

变式３.证明：

变式４.证明：

变式５.证明：

23n 111172232......n24(nN)112115232......n24(nN)1213......1n2n(nN)1113252......(2n1)232

1115变式６.证明：122......235(2n1)4

常见的放缩技巧总结：

2.放缩法(不等式、数列综合应用) 篇二

证题中经常用到的放缩方法有:

1.“添舍”放缩:对不等式一边添项或舍项以达到放大和缩小的效果.

2.分式放缩:分别放缩分式的分子、分母或者同时放缩分子分母以达到放缩的效果.

3.利用重要的不等式或结论放缩:把欲证不等式变形构造,然后利用已知的公式或恒不等式进行放缩,例如,均值不等式、柯西不等式、绝对值不等式、二项式定理、贝努力公式、真分数性质定理等.

4.单调性放缩:挖掘不等式的结构特征和函数内涵来构造单调数列或单调函数,利用单调性、值域产生的不等关系进行放缩.

二、常见的放缩控制

当我们选择了正确的放缩方法后,却往往会在放缩的过程中不知不觉间失控,导致放缩的过大或过小,达不到欲证的目标.那么如何控制好放缩的尺度.

例1求证:

分析1:不等式左边不能直接求和,我们希望通过合适的放缩后可以求和.若采取的方法向右端放大,

则左边

很明显,放得有点大了,导致传递性失败,不等式链中断,放缩失败.那怎么办呢?

1.调整放缩的“量”的大小

分析2:分析1中“放”的有点过大,因为放大了放大了,…所以可以通过调整放大的“量”来控制放缩的效果.在分母减少了n,我们可以把分母只减少1,即这样放的量就少了。

证明1:左边

2.调整放缩的“项”的起点

分析3:分析1中从第二项开始放缩,放的最终有点大.可以调整放缩的项数,从第三项开始放缩.

证明2:左边

由此可见,调整成功.显然从第三项开始放缩所得的结果比从第二项开始放缩所得的结果又更小些.以此类推,当放缩的项数越少,放缩后的结果就会越来越精细,越来越逼近目标.

除此之外,还可以调整放缩的次数,通过多次放缩的调整来达到效果;有时也可以根据欲证式子的结构特点,把相邻的项分组捆绑后进行放缩,也可以达到控制放缩合理和尺度的效果.

三、常见的问题类型

数列型不等式的一边常与求和有关,所以可以通过放缩后求和(或求和后放缩)来达到欲证的目标.下面我们通过典型例题来体会常见问题的处理手法.

1.放缩与“公式法求和”

选择恰当的放缩方法,通过“通项”的适度放缩使之转化为等差或等比数列,从而求和达到简化证题的目的.

例2设

证明:因为所,即

说明:分别利用“添舍项”和“均值不等式”把通项放缩为等差数列,然后求和得证.

2.放缩与“裂项法求和”

在例1中,不等式的左边无法求和,但通过放缩产生裂项相消的求和效果后,使问题解决.例2的右边也是利用放缩产生了裂项的效果,然后求和.下面我们再通过例题的证明体会裂项求和效果的运用.

例3求证

证明:因为

所以因为

所以

说明:例1分式、例3根式的放缩后裂项相消求和的处理手法是很多灵活题目的原型,值得体会.

3.放缩与“并项法求和”

例4求证

分析:观察分母的变化规律,把若干项“捆绑”并为一项后进行放缩,然后求和就很容易实现欲证的目标.

证明:左边

4.利用递推关系式放缩

利用递推关系式本身蕴含的不等关系或放缩产生的不等关系,在很多题目中可以起到很好的放缩效果.

例5已知求证:.

分析:根据欲证不等式的结构特点,通过递推关系式构造关于1+ak的不等式,然后实现对通项的放缩.

证明:因为且

所以所以

所以左边

5.构造和数列后进行放缩

如果数列不等式没有直接的求和的形式,很多时候可以间接的构造和数列,然后进行放缩处理.

例6已知正数列满足证明:

分析:根据已知构造关于的递推关系式,然后利用“累加法”把不等式的左边转化为和数列的形式.

证明:因为所以.所以

所以所以

总之,运用放缩法进行数列不等式的证明,要认真分析条件和结论的结构特征,明确方向,防止盲目放缩.同时还要多总结、多思考,多掌握一些常用的放缩技巧,以提高分析问题和解决问题的能力.

摘要：放缩法证明数列不等式,不仅需要学生掌握常用的放缩方法和技巧,控制好放缩的目标和尺度,同时也需要熟悉常见的问题类型.为了帮助更多的学生突破这一难点,本文对放缩法证明数列不等式的基本策略进行分析.

3.巧用“放缩法”证数列不等式 篇三

一、利用数列通项放缩

例1 已知数列[an]的前[n]项和为[Sn]，且满足[an=1(2n+1)2]，求证：[Sn<14].

分析 我们首先想到的是如下的放缩方式

而[12>14]，这样的放缩以失败告终，失败的原因是分母缩得太小. 下面要控制放缩量，以达到预期的目的，于是有下列放缩方法：

[an=1(2n+1)2<1(2n+1)2n=12n-12n-1,∴Sn=a1+a2+⋯+an<12-13+14-15+⋯+12n-12n+1,]

到此已意识到又一次失败，因为放缩的分式无法裂项求和. 进一步调控 ，尝试可得：

例2 数列{[an]}满足：[an+1=anan+2,]求证：[a1a2+a2a3+⋯+anan+1<37].

分析 由递推关系式易求出[an=][12n-1,不等式左边为数列{anan+1}的前n项的和，]不等式左边为数列[{anan+1}]的前[n]项的和，其通项为[anan+1=1(2n-1)(2n+1-1)]，观察其结构特点，可考虑将其放缩到等比数列或放缩至能裂项相消求和的形式.

法一

而数列[{122n-1}]是等比数列，其前[n]项的和垂手可得.

于是[a1a2+a2a3+⋯+anan+1<23×(1-14n)<23，]

而[23>37,]意识到放得太大,可将前面的若干项保持不变，从某一项开始放大，通过调控尝试得到成功,方法如下：

[n=1,2]时，不等式显然成立.

法二 直接将通项裂开，即：

[anan+1=1(2n-1)(2n+1-1)=12n×(12n-1-12n+1-1)],

但此时裂项后无法相消，于是进一步放缩如下：

[n≥3时，anan+1≤123×(12n-1-12n+1-1)，此时，a1a2+a2a3+⋯+anan+1≤13+121+123×(17-115+115-131+⋯+12n-1-12n+1-1)<821+18×17<37，]

[n=1,2时，不等式显然成立．]

二、利用递推关系式放缩

有些题目，不易求出数列的通项，此时可根据相邻两项的递推关系式，借助迭代的手段，将通项放缩至求和的程度.

例3 数列[xn]满足[xn+1=xn+4xn+1,x1=1,][设an=xn-2]，数列[an]前[n]项的和为[Sn]，求证：[Sn<2].

分析 此题若正面求[an]，对[an]进行放缩，难度较大，我们可避开这个难点，通过[xn]与[xn-1]间的关系，容易得到[an]与[an-1]间的关系，采用迭代的方法，最终达到将通项[an]放缩成等比数列的效果.

解 [xn-2]=[xn-1+4xn-1+1-2]

三、构造辅助数列后放缩

例3 数列[an]各项均为正数，[Sn]为其前[n]项的和，且[an=n-n-1(n∈N*)].

求证：[12S1+13S2+⋯+1(n+1)Sn<2(1-1Sn+1)].

分析 此不等式的两边都是关于[n]的代数式，左边很明显是数列[1(n+1)Sn]的前[n]项的和，右边也可看作是某个数列前[n]项的和，我们可以构造出这个数列.只要能比较出这两个数列通项的大小，它们对应的前[n]项的和的大小也就清楚了.

解 易求出[Sn=n,则1(n+1)Sn=1(n+1)n],

令数列[bn前n项的和为Tn,]

即原不等式成立.

通过构造辅助数列来解决不等式的证明问题时，通常要注意该不等式两边都是关于[n]的代数式,并且两边均可看成某个数列前[n]项的和.

4.放缩法(不等式、数列综合应用) 篇四

利用放缩法证明数列不等式的技巧“揭秘” 作者：顾冬生

来源：《新高考·高三数学》2013年第06期

5.用放缩法证明不等式 篇五

蒋文利飞翔的青蛙

所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。

一.“添舍”放缩

通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。

例1.设a，b为不相等的两正数，且a3－b3＝a2－b2，求证1＜a＋b＜4。

3证明：由题设得a2＋ab＋b2＝a＋b，于是（a＋b）2＞a2＋ab＋b2＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又ab＜（a＋b），而（a＋b）＝a＋b＋ab＜a＋b＋

＋b）2＜a＋b，所以a＋b＜

例2.已知a、b、c不全为零，求证：

a2abb2b2bcc2c2aca2＞3（abc）21422132（a＋b），即（a4444，故有1＜a＋b＜。3

3证明：因为a2abb2

同理b2bcc2＞bc，2（ab23）b2＞42（ab2）2abb≥a，22c2aca2＞ca。

23（abc）2所以a2abb2

二.分式放缩 b2bcc2c2aca2＞

一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。

例3.已知a、b、c为三角形的三边，求证：1＜abc＋＋＜2。bcacab

证明：由于a、b、c为正数，所以baab＞＞，bcabcacabc

cc

＞ababc，所以

abcabc

＋＋＞＋＋＝1，又a，b，c为三角形的bcaca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋cab

边，故b+c＞a，则

c2c，＜

ababc

a2a2b

为真分数，则a＜，同理b＜，bcabcacabcbc

故

abc2a2b2c

＋＋＜＋＋2.bcacabcabcabcab

abc

＋＋＜2。bcacab

综合得1＜

三.裂项放缩

若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例4.已知n∈N*，求1

1n

„

1n

2n

n



„

1n

＜2n。

证明：因为＜

nn13

2（nn1），则1

＜12（21）2（2）„2（nn1）2n1＜2n，证毕。

例

n(n1)2

5.an

已知

(n1)2

nN

*

且

an

223n(n1)，求证：

对所有正整数n都成立。

n

证明：因为n(n1)又n(n1)

122

n，所以an12n

n(n1)，n(n1)

232，n(n1)

2n12

(n1)

所以an立。

，综合知结论成四.公式放缩

利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。

例6.已知函数f(x)证明：由题意知

f(n)

nn1

2121

nn

2121

x

x，证明：对于nN*且n3都有f(n)

nn1。



nn1

(1

221

n)(1

1n1)

1n1



221

n



2(2n1)(n1)(21)

n

n

又因为nN*且n3，所以只须证2n2n1，又因为，n

(11)

n

Cn

CnCn

Cn

n1

Cn

n

1n

n(n1)

n12n1

所

以f(n)

nn1。

例7.已知f(x)x2，求证：当ab时f（a）f（b）ab。证

f（a）f（b）

1a2

b2

明

a2b2a

：



b



ababa

b2

1



ababab



(ab)ab

ab

ab证毕。

五.换元放缩

对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目的。

例8.已知abc，求证

1ab



1bc



1ca

0。

证明：因为abc，所以可设act，bcu(tu0)，所以tu0则

1ab



1bc



1ca



1tu

1u1t1u1ttutu

0，即

1ab



1bc



1ca

0。

例9.已知a，b，c为△ABC的三条边，且有a2b2c2，当nN*且n3时，求证：anbncn。

证明：由于a2b2c2，可设a=csina，b=ccosa（a为锐角），因为0sina1，0cosa1，则当n3时，sinnasin2a，cosnacos2a，所以anbncn(sinnacosna)cn(sin2acos2a)cn。

六.单调函数放缩

根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。例10.已知a，b∈R，求证

x1x

ab1ab



a1a



b1b。

证明：构造函数f(x)

f(x1)f(x2)

x11x1



(x0)，首先判断其单调性，设0x1x2，因为

x21x2



x1x2(1x1)(1x2)

0，所以fx1fx2，所以f(x)在[0,]上是增函数，取x1ab，x2ab，显然满足0x1x2，所以f(ab)f(|a||b|)，即

|ab|1|ab|



|a||b|1|a||b|



|a|1|a||b|



|b|1|a||b|



|a|1|a|



|b|1|b|

6.浅谈用放缩法证明不等式 篇六

山东省 许 晔

不等式的证明是中学数学教学的重点，也是学生接受时感到头痛的难点。不等式的证明方法很多。如：比较法（比差商法）、分析法、综合法、数学归纳法、反证法和放缩法等。限于篇幅，下面仅就用放缩法证明不等式的问题加以证明。

所谓放缩法，就是针对不等式的结构特征，运用不等式及有关的性质，对所证明的不等式的一边进行放大或缩小或两边放大缩小同时兼而进行，似达到证明结果的方法。但无论是放大还是缩小都要遵循不等式传递性法则，保证放大还是缩小的连续性，不能牵强附会，须做到步步有据。比如：证a＜b，可先证a＜h1，成立，而h1＜b又是可证的，故命题得证。

利用放缩法证明不等式，既要掌握放缩法的基本方法和技巧，又须熟练不等式的性质和其他证法。做到放大或缩小恰到好处，才有利于问题的解决。现举例说明用放缩法证明不等式的几种常用方法。

一、运用基本不等式来证明

①求证：lg8·lg12＜

1证明：∵lg8＞0，lg12＞0，而 lg96＜lg100=2 ∴lg8·lg12＜1.说明：本题应用对数函数的单调性利用不等式平均值，不等式两次放大，使不等式获证。

说明：本题采用了与基本不等式结合进行放缩的有关解题技巧。

解：

∵a2b2≥2ab（当且仅当a=b时，等号成立）同理a2+c2≥2ac（当且仅当a=c时，等号成立）b2＋c2≥2bc（当且仅当b=c时，等号成立）

∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac（当且仅当a=b=c时，等号成立）∵由已知可得a2+b2＋c2=ab＋bc＋ac，说明：此题完全使用了不等式的基本性质便可解此题。

二、运用放大、缩小分母或分子的办法来达到放缩的目的证明：

说明：本题观察数列的构成规律，采用通项放缩的技巧把一般数列转化成特殊数列，从而达到简化证题的目的。

证明：

本题说明采用了分别把各项的分母换成最大的2m或最小的m＋1的技巧。③求证：

证明：

本题说明：此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即放不能太宽、缩不能太窄，真正做到恰到好处。

④求证：

证明：

本题说明，此题采用了通项放缩，使放缩后能拆项相消的技巧。⑤若a、b、c为不全相等的非实数 求证：

证明：

∵a、c、b不全为零，上述三式不能全取等号，相加得

说明：本题考虑到是齐次对称式，应用不舍弃非负项缩小的技巧。⑥求证：

证明：

当a＋b=0时，不等式显然成立。

当a＋b≠0时，∵0＜｜a＋b｜≤｜a｜+｜b｜，即：左边≤右边.说明：本题是运用了放大分母而缩小一个正分数的技巧。

三、放缩法在数学归纳法和数列中的应用

证明：当n=k+1时，则得

本题采用放缩法和数学归纳法相结合的解题方法。

证明：由递推公式有：

∴x100＞45.本题采用了数列的递增和放缩法相结合的解题技巧。

7.微调在放缩法证明不等式中的应用 篇七

【例1】证明:. (n∈N*)

【例2】证明:. (n∈N*)

2.运用 (n≥2) , 从n=6开始放缩即可.

3.前面的解答都是对项数进行调整, 能否对系数进行调整呢?事实上,

当n=1时, 不等式显然成立, 于是原不等式得证.

说明:这里, 既有系数的调整, 也有项数的调整.

【例3】证明:<2n+1. (n∈N*) (ln2≈0.6931)

(高2011届毕业班成都“二诊”数学 (理) 第22题第3小题, 有改动)

分析:容易想到常用结论:ln (1+x) <x (x>0) ,

显然原不等式没有得到证明.观察目标中n的系数, 可否将放缩式子中的3改为2呢, 即ln.为了证明它的正确性, 引入函数:

8.数列不等式结合的题的放缩方法 篇八

2011-4-6 11:51 提问者：makewest | 悬赏分：20 | 浏览次数：559次

2011-4-6 11:53 最佳答案

放缩法一般来说是高考的难点 要求又比较强的观察力计算能力分析能力等 个人感觉高考压轴题出个放缩法再结合构造函数估计就是难倒一片了

放缩法的规律性说有也有 比如说常见的数列的裂项相消可以说是一种放缩

需要掌握一些比较简单的放缩 具体的我在下面会为你提供一个百度文库的资料 专门讲放缩的

其实个人感觉放缩难点一是是否能够正确地寻求提供放缩的不等式 基本不等式应用要熟练 二是要放得合适 放缩范围大了小了就都得不出答案 三是观察能力 通过合并拆项 舍弃部分项（这个二项式定理用的多 不过近几年二项式定理证明的比较少 我们这边的模拟题倒是有几份出了）等等 再就是由过硬的计算了

这些在这个文档中都有提到 你参考下http://wenku.baidu.com/view/c42786eb6294dd88d0d26bf1.html

下面就这这个题我给你讲下我的思路

第一问没问题吧 一个简单的配凑

第二问的关于b(k+1)-根2 大于0的证明也好办 关键是右边的小于的那个证明

b(k+1)-根2>(3-2根2)(bk-根2）/（2bk+3)分母上尽量不要有bk 因为你证明的b(k+1)-根2>a(4k+1)-根2 所以右边就必须去分母 而且要把bk换成与ak有关的

注意到数学归纳法要用上归纳假设 我们已经假设 bk>根2 你最好看着这个题答案同时再看我的说明

bk>根2 那么分母中2bk+3就大于2根2+3 所以b(k+1)-根2就小于

(3-2根2）^2（bk-根2）而bk-根2 又可以换成n=k时我们假设的 bk<=a(4k-3)原式化为(3-2根2）^2【a(4k-3)-根2】 这两个式子的积

下面要求一定的观察能力 注意到(3-2根2）^2=（根2-1）^4

你会问了 怎么会想到它呢？

因为你看 题目中要证明的与ak有关 而它的通项公式与根2-1有关系 而且后面出了【a(4k-3)-根2】这个因式 因此必定要寻求要证明的式子与数列通项的关系 观察出这一点了(3-2根2）^2=（根2-1）^4 那么把它再换上 要证明的就是 b(k+1)-根2<=（根2-1）^4【a(4k-3)-根2】

到了这一步 接下来的事就好办多了 你把a(4k-3)换成数列an的通项表示出来 就会发现(根2-1）^4【a(4k-3)-根2】=根2乘以（根2-1）的4k+1次幂 结合an的通项 你可以看出这个就是a(4k+1)-根2 所以原式b(k+1)-根2<=a(4k+1)-根2就得到了证明 即n=k+1 时 也成立 综上 要证明的就成立

不知道我这样你看明白没有 没法编辑公式讲起来只能用语言加数字叙述比如（根2-1）^4 看起来怪费劲的总之这个题要比单纯的放缩法还稍要来得简单 因为有数学归纳法帮助你寻求解题的突破口 因为你必定要用上归纳假设 否则就不是数学归纳法了 这样一来它还是给你提供了一定的思路的本题的难点可能在观察不出来(3-2根2）^2=（根2-1）^4 卡住

本人做这个题用了30分钟做出来

后来对照答案看的差不多 但是估计在考场上就做不出来了 因为最后很可能没有这么多时间 加上紧张啊等等可能思路就得受限制

9.高中数学放缩法公式 篇九

1、添加或舍弃一些正项（或负项）

例

1、已知an2n1(nN*).求证：

k

n

2

3

a1a2



a2a3

...

anan1

(nN).*

证明： 

akak

1

212

k1

1





12(2

k1

1)





13.222

k

k



1211

.k,k1,2,...,n, 32



a1a2n2



a2a3

...

anan1



n2



1111n11n1(2...n)(1n), 322223223

n2

*



a1a2



a2a3

...

anan1

(nN).若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了2k2，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）

例

2、函数f（x）=

4xx，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+

2n

11

4nn



2(nN)

*

.证明：由f(n)=

14

=1-

114

n

1

122

122

112

n

122

n

得f（1）+f（2）+…+f（n）>1

n

14(1

1214

n1

22

1)n

n1

(nN)

*

.此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和.若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。

3、逐项放大或缩小

例

3、设an证明：∵∴ n

223

n

34

n

n(n1)(n1)

ann(n1)求证2

2(n

12)

n(n1)n(n1)

n(n1)

2n12

2n12，∴

n(n1)2

an

(n1)

∴ 123nan

本题利用n



13(2n1)

2n

1，对an中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。

4、固定一部分项，放缩另外的项；

例

4、求证：

1n

1

2

3

1n



4证明：



1n(n1)





1n1

1



1n

1n1

1n

1n





n

()().此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根

据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。

5、函数放缩

ln

2例5.求证：



ln3

3

ln4

4

ln33

n

n

3

1x

n

5n66

ln2

(nN)

ln33

*

.

ln33

nn

解析:先构造函数有

lnxx1

lnxx

1,从而



ln44

31（n





n)

因为2





n

1111111111

1nnn

213 234567892

n1

3n193339

23n13n

66918275n

6

n

5n66

ln2

所以



ln33



ln44



ln33

n

n

31

n

5n6

3

6、裂项放缩

n

例6求证:k1k





53.1n



1n

4

1

12

4n12n12n1

n

解析:因为,所以

k

k1

112511

121

2n12n133357、均值不等式放缩

例7.设

Sn

2

23

k

n(n1).求证

n(n1)

2Sn

(n1)2

.解析: 此数列的通项为a

k

k(k1)

kk

1n(n1)2

k(k1),k1,2,,n.n

n

k

12，kSn

k1

(k

k1

12)，n(n1)

即

Sn



n2



(n1)2

.ab

ab2

注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式

n，若放成k(k1)k1

则得

Sn



k1

(k1)

(n1)(n3)



(n1)2，就放过“度”了！

②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里

n1

1an



n

1an

a1an

n



a1an

n

a1



其中，n2,3等的各式及其变式公式均可供选用。

8、二项放缩

n

(11)

n

CnCnCn2nCn0Cnn1

01n，2C

n

n

C

1n

C

2n



n

n22

n

10.放缩法(不等式、数列综合应用) 篇十

一．引入

（1）a克糖水中有b克糖ab0，若再添上m克糖m0，则糖水就变甜了，试根据这个事实提

炼一个不等式：_______________（3）当nN时，求证：1二．基本概念

131

①添加或舍去一些项，

an，aa

242

*

1111 222

223nn

②将分子或分母放大（或缩小）

③真分数的性质：“若0ab，m0，则④利用基本不等式，如：lg3lg5(⑤利用函数的单调性；

⑥利用函数的有界性：如：sinx1xR；x2x⑦利用常用结论：





22

aam

” 

bbm

lg3lg52n(n1))lg2lg2

lg24

xR；2x0xR

4kN,k1，*

kN,k1

*

Ⅱ、Ⅲ、1111111

1（）；k

2k2k(k1)k1kk2k(k1)kk1111111

； ()（k2）

k2k21(k1)(k1)2k1k1

n

4n

（1）14

22(5)(15)

2111(2)11 212

4n12n12n1Cn1Cn(n1)n(n1)n(n1)n(n1)

42111(6)nn

nn

2(21)212

n2 n2

nn1(n2)

n(n1)

n

(13)2n122n(31)2n33(2n1)2n2n12

312n

2n1

3(9)

11111111

,

k(n1k)n1kkn1n(n1k)k1nn1k

n11(11)

1

2(n12n1)(n1)!n!(n1)!

n

22n12n1



n

211

n22

(10)

(11)

2n2n2n2n111n1n(n2)n2nnnnnn1

(21)(21)(21)(21)(22)(21)(21)2121



1nn2



111

n(n1)(n1)(n1)n(n1)1n1

(12)1

n3

1n111n12n11n11

n1

n(13)2n122n(31)2n33(2n1)2n2n12312n2n13 ⑧绝对值不等式：ababab；⑨应用二项式定理.三．典型例题

例

1、若a,b,c,dR，求证：1

例

2、求证：21

例

3、当n2时，求证：logn(n1)logn(n1)

1*abcd2 abdbcacdbdacnN*

例

4、已知an21nN

（2）设An*，求证：an1a1a2....n 22a2a3an11111，则A与1的大小关系是21021012102211

1四．课堂练习

(1)求证：1

(2)设n为大于1的自然数，求证

11113.112123123n11111.n1n2n32n

22(3)设f(x)xx13，xa1，求证：f(x)f(a)2a1； 

五．课堂小结

1.放缩法的实质是非等价转化，放缩没有确定的准则和程序，放缩目的性很强，需按题意适当放缩.即通过放缩将复杂的一边化简，凑出另一边的形式。

2.放缩法的尺度：根据不等式两端的特点及已知特点，谨慎的采取措施，进行适当的放缩，任何不适宜都会导致推证的失败；这就需要认真的分析结论特点，由结论的特点探究解题规律；放缩标准：放缩到可裂项，放缩到可用公式，放缩到可控范围。