2011年高考数学试题分类_专题几何证明选讲_理

2024-08-28

2011年高考数学试题分类_专题几何证明选讲_理（精选2篇）

1.2011年高考数学试题分类_专题几何证明选讲_理篇一

推理与证明

M1 合情推理与演绎推理

15．B13，J3，M1[2013·福建卷] 当x∈R，|x|<1时，有如下表达式： 12n

1＋x＋x＋„＋x.1－x

11121n1

1两边同时积分得：∫01dx0xdx＋∫0xdx＋„＋∫0xdx0，222221－x从而得到如下等式：

1n＋1111211311×＋＋＋„＋＋„＝ln 2.22232n＋12请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：

1111212131n1n＋1CCn×＋n×＋„＋n×＝__________．

22232n＋12

13n＋1n0122nn

15.[解析](1＋x)＝Cn＋Cnx＋Cnx＋„＋Cnx，－1n＋12

11121n1012nn

两边同时积分得Cn∫01dx＋Cn∫0xdx＋Cn∫xdx＋„＋Cn∫0xdx＝∫(1＋x)dx，***n1n＋113n＋10

得Cn×Cn×＋n×Cn＝－1.22232n＋12n＋1

214．M1[2013·湖北卷] 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形n（n＋1）121

数1，3，6，10，„，第n个三角形数为＝n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，222以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：

121

三角形数 N(n，3)＝＋n，22正方形数 N(n，4)＝n，321

五边形数 N(n，5)＝－n，22

六边形数 N(n，6)＝2n－n，„„

可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________.11k－22

14．1 000 [解析] 观察得k每增加1，n项系数增加n项系数减少，N(n，k)＝

222n2

n＋(4－k)N(10，24)＝1 000.20，0

ln x，x≥1.

＋

2-1-

①若a>0，b>0，则ln(a)＝blna；

＋＋＋

②若a>0，b>0，则ln(ab)＝lna＋lnb；

＋a＋＋

③若a>0，b>0，则ln≥lna－lnb；

b

＋b＋

④若a>0，b>0，则ln(a＋b)≤lna＋lnb＋ln 2.其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)

b＋bb

16．①③④ [解析] ①中，当a≥1时，∵b>0，∴a≥1，ln(a)＝ln a＝bln a＝bln＋b＋b＋

a；当00，∴0

＋＋＋

②中，当01时，左边＝ln(ab)＝0，右边＝lna＋lnb＝ln a＋0＝ln a>0，∴②不成立；

aa＋＋

≤1，即a≤b时，左边＝0，右边＝lna－lnb≤0bba

时，左边＝lnln a－ln b>0，若a>b>1时，右边＝ln a－ln b，左边≥右边成立；若01ba

时，右边＝0, 左边≥右边成立；若a>1>b>0，左边＝ln＝ln a－ln b>ln a，右边＝ln a，b左边≥右边成立，∴③正确；

④中，若0

＋

＋＋＋

(a＋b)＝0，右边＝ln＋a＋ln＋b＋ln 2＝ln 2>0，左边≤

a＋b，2

(a＋b)－ln 2＝ln(a＋b)－ln 2＝a＋ba＋ba＋ba＋b又∵≤a或≤b，a，b至少有1个大于1，∴lnln a或lnln b，即

2222有ln

＋

(a＋b)－ln 2＝ln(a＋b)－ln 2＝ln

a＋b＋＋

≤lna＋lnb，∴④正确． 2

14．M1[2013·陕西卷] 观察下列等式： 2

1＝1 22

1－2＝－3 222

1－2＋3＝6 2222

1－2＋3－4＝－10 „„

照此规律，第n个等式可为________． 14．1－2＋3－4＋„＋(－1)

n＋12

n＝(－1)

n＋1

n（n＋1）

[解析] 结合已知所给几项的特2

点，可知式子左边共n项，且正负交错，奇数项为正，偶数项为负，右边的绝对值为左边底

2222n＋12n

数的和，系数和最后一项正负保持一致，故表达式为1－2＋3－4＋„＋(－1)n＝(－1)

＋1

n（n＋1）

M2 直接证明与间接证明

20．M2，D2，D3，D5[2013·北京卷] 已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an＋1，an＋2，„的最小值记为Bn，dn＝An－Bn.-2-

(1)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3，„，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N，an

＋4＝an)，写出d1，d2，d3，d4的值；

(2)设d是非负整数，证明：dn＝－d(n＝1，2，3，„)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；

(3)证明：若a1＝2，dn＝1(n＝1，2，3，„)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.20．解：(1)d1＝d2＝1，d3＝d4＝3.(2)(充分性)因为{an}是公差为d的等差数列，且d≥0，所以a1≤a2≤„≤an≤„.因此An＝an，Bn＝an＋1，dn＝an－an＋1＝－d(n＝1，2，3，„)．

(必要性)因为dn＝－d≤0(n＝1，2，3，„)．所以An＝Bn＋dn≤Bn.又因为an≤An，an＋1≥Bn，所以an≤an＋1.于是，An＝an，Bn＝an＋1.因此an＋1－an＝Bn－An＝－dn＝d，即{an}是公差为d的等差数列．

(3)因为a1＝2，d1＝1，所以A1＝a1＝2，B1＝A1－d1＝1.故对任意n≥1，an≥B1＝1.假设{an}(n≥2)中存在大于2的项．设m为满足am>2的最小正整数，则m≥2，并且对任意1≤k2，于是，Bm＝Am－dm>2－1＝1，Bm－1＝min{am，Bm}>1.故dm－1＝Am－1－Bm－1<2－1＝1，与dm－1＝1矛盾．

所以对于任意n≥1，有an≤2，即非负整数列{an}的各项只能为1或2.因为对任意n≥1，an≤2＝a1，所以An＝2.故Bn＝An－dn＝2－1＝1.因此对于任意正整数n，存在m满足m>n，且am＝1，即数列{an}有无穷多项为1.M3 数学归纳法

M4 单元综合1111

1．[2013·黄山质检] 已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋„＋234n＋1

1112(＋„＋)时，若已假设n＝k(k≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设n＋2n＋42n

再证n＝()时等式成立()

A．k＋1B．k＋2 C．2k＋2D．2(k＋2)

1．B [解析] 根据数学归纳法的步骤可知，则n＝k(k≥2为偶数)下一个偶数为k＋2，故答案为B.2．[2013·石景山期末] 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：

①2 013∈[3]；②－2∈[2]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④整数a，b属于同一“类”的充要条件是a－b∈[0]．

其中，正确结论的个数为()

A．1B．2C．3D．

42．C [解析] 因为2 013＝402×5＋3，所以2 013∈[3]，①正确．－2＝－1×5＋3，－2∈[3]，所以②不正确．因为整数集中的数被5除的余数可以且只可以分成五类，所以③正确．整数a，b属于同一“类”，则整数a，b被5除的余数相同，从而a－b被5除的余数为0，反之也成立，故整数a，b属于同一“类”的充要条件是a－b∈[0]，故④正确．所以正确的结论个数为3，选C.223344

3．[2013·汕头期末] 已知2＋＝3＋3 4＋＝，33881515aa

6＋＝(a，t均为正实数)，类比以上等式，可推测a，t的值，则a－t＝________． tt

3．－29 [解析] 类比等式可推测a＝6，t＝35，则a－t＝－29.x

4．[2013·福州期末] 已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数y＝a(a>1)的图像上任意不同两点，依据图像可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图像的上方，因此有结论

x1＋x2

ax1＋ax2

>a2成立．运用类比思想方法可知，若点A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函数y2

＝sin x(x∈(0，π))的图像上的不同两点，则类似地有________成立．

sin x1＋sin x2x1＋x24.[解析] 函数y＝sin x在x∈(0，π)的图像上任意不同两

sin x1＋sin x2

点A，B，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的下方，所以

x1＋x2

[规律解读] 类比推理中的结论要注意问题在变化之后的不同，要“求同存异”才能够正确解决问题．

5．[2013·云南师大附中月考] 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3，4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为n＝(－1，－2，1)的平面(点法式)方程为________．

5．x＋2y－z－2＝0 [解析] 设B(x，y，z)为平面内的任一点，类比得平面的方程为(－1)×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0，即x＋2y－z－2＝0.*

6．[2013·黄山质检] 已知数列{an}满足a1＝1，an＝logn(n＋1)(n≥2，n∈N)．定义：

使乘积a1·a2·„·ak为正整数的k(k∈N)叫作“简易数”．则在[1，2 012]内所有“简易数”的和为________．

lg（n＋1）

6．2 036 [解析] ∵an＝logn(n＋1)＝，lg n

lg 3lg 4lg（k＋1）lg（k＋1）

∴a1·a2·„·ak·＝＝log2(k＋1)，则“简

lg 2lg 3lg klg 2

易数”k使log2(k＋1)为整数，即满足2＝k＋1，所以k＝2－1，则在[1，2 012]内所有“简

2（1－2）1210

易数”的和为2－1＋2－1＋„＋2－1＝－10＝1 023×2－10＝2 036.1－2

若