复数 复数与方程 教案

复数 复数与方程 教案（共9篇）

1.复数 复数与方程 教案 篇一

教学准备

1.教学目标

1、掌握复数的加、减、乘、除四则运算及其运算律；理解复数加、减法的几何意义。

2、培养类比思想和逆向思维。

3、培养学生探索精神和良好的学习习惯。

2.教学重点/难点

教学重点：复数的加、减、乘、除四则运算及其运算律。教学难点：运用类比思想由实数运算法则探究复数运算法则。

3.教学用具 4.标签

教学过程 教学过程：

一、复习引入

复数的加法：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，则它们和为z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i 复数的和仍然为一个复数，其实部为z1、z2的实部和，虚部为z1、z2的虚部和。

复数加法满足(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)复数的减法：(加法的逆运算)复数a＋bi减去复数c＋di的差是指满足(c＋di)＋(x＋yi)＝a＋bi的复数x＋yi，记作(a＋bi)－(c＋di)根据复数相等的定义：(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i 复数的差仍然是一个复数，其实部为两个复数实部的差，虚部为两个复数虚部的差。

显然，减法不满足交换律和结合律。复数加法的几何意义：

复数可以用向量表示，复数加法的几何意义即为平行四边形法则。

课堂练习：课本107练习1、2、3、4 课堂小结：1.复数乘法 2.共轭复数作业布置：习题5-2A组2、3、4

3.复数除法

2.复数 复数与方程 教案 篇二

即使无需语言学，我们也知道量词是定义汉语的词类。但基于大规模比较的语言类型学能告诉我们一个更隐秘的事实：量词性语言往往缺失复数的语法标记（如英文中表达复数而加在名词词尾的s），反之也亦然。

当然，复数标记并未完全在汉语里绝迹，在常用语中的那个就是我们所熟知的“们”。换句话说，我们有两种表达多的方式，一种是数字加量词，一种是人称词或人物词后加“们”。后者在“不符合正规语法”或“过于西化”的语用中可以拓展到大多数名词。

有趣的是，”们”无法和量詞同时使用。我们会说“一队士兵”或“士兵们”而不是“一队士兵们”。当然我们也可以说只说“士兵”，并可以通过调整上下文使这个词的意涵也能延伸到复数的士兵上，如“士兵的职责”。表达复数的语言的缺失并不意味着复数的缺失，而不同复数的表达方法各有各的效果。量词的起源可能是一些用以数数或计量的名词（注意：量词）。把量词套在名词前就好比用一个特殊的手型牵走这个词，能牵多少，怎么牵都和手型有关。复数标记的复数性则并不如此这么客观化，事实上“们”本身预设了一种基于同种（人类）的经验互通性。这种“人化”而非“物化”的复数形式往往缺少数字的精确剥离感，却多了一份粘合你我的力量。

世界是多也是一，是精密也是亲密。摆在诗人面前的任务是如何用不同的手型把这种多庖解出来，再在恰当的关节处用新的经验耦合在一起。这种熟练的尺规作图法是黎衡诗歌的一大特征：

2006

走廊上的斜照

夕阳从楼道转弯处绕进来

走廊如石板画，挂满衣物

——大衣、内裤、人影、空衣架

嗫嚅着滴下水，这灰烬的尽头

是一湾斜照

很多人泊过来，沿着通道走进我

一直是这样的时刻，安静胜过

熟睡后一场雪：我们用啤酒起子撬开短信

我们读一支烟里的战争火灾

醒来已是多年后

把黄昏当成了拂晓

把你当成我，仍能叠好死去的

放回自己，在暗中看你们完好地

沐着祥光

需要注意，破折号后面的例举是语用学意义上而非语义学意义上的“多”，诗歌张力真正的拱顶在下判断的点题句“是一湾斜照”后开始。当“多”融合成“我们”之后，世界的其余部分变得异常可感（“我们读一支烟里的战争火灾”），清醒（“熟睡后一场雪”），以至于即使“把你当成我”之后，还是能够在祥光中辨认“完好”的“你们”。

2007

某地

某地你曾经去过，后来把它剪成

一部老电影

某地你总是说起它、计划它

你约好的人过早死去

那个地方成了一具

透亮的骨灰盒

某地是你的安身之处，每天读它

读一封错字连篇的情书

某地会突然闯进你

一到那里就到了另一个地方

叠好地图，你问：“我来了吗？”

2007

夜间上坟

大家打着手电，亮光一点一点

剖开山坳的路

我看见石头、杂草、泥巴

随后它们就像卷轴

合成一道黑暗的缝，我看不见自己

他们也看不见

这道缝怎么收拢了我

接着收拢深沟和群山

接着这个夜晚成为一个点

或者这个点，就是我们还未找到的

曾祖父的孤坟

比起“一直是这样的时刻”，这两首早期诗则代表了黎衡时刻语法在空间上的纵深。某地在短暂地“被居”之后恢复为某地，突然闯进主体的某地；而空间上的奇点可以在夜丛的拓扑学中突然显现为曾祖父的孤坟。空间的不实现和实现，这两个象限在语言学上来说都是不定（indefinite）代/名词和定（definite）代/名词转换的魔术。

值得一提，汉语的复数标记“们”永远出现在定代/名词后面。不会有“某们”，“士兵们”往往是比“三个士兵”更加确立的指代。这种确立不同与量词所切削的具体。“们”所蕴指的确立依仗的是列维纳斯意义上的面容，自我与他者最亲密的直视、交流与抵触。

2亲密与精确

2008

默片

我不是每一个人，我听不见三眼桥路背后的棚户区

屋檐的松动，我听不见北湖夜市几个和我年龄

相仿的卖假鞋的男人，叫卖声里的狂欢和

瓦砾崩落的细响，我听不见远在家乡的潦倒赌徒

睡梦中锥子反复的冲刺，我听不见有毒的河流

在震区的废墟下沉默地转弯，我听不见有谁

用那些虚伪的文字扑灭了什么，我听不见我的双手里

有另一双手在扭动着锁铐，我站在天空下垂的

深井里，哭声的棉絮落下来，就成了泥浆

2008

露天电影院

石幕吸收了整个夏天的光，晃动在

一片惨白的秋影里，成排的石凳空着

空气长满了茸毛。一个孩子在石凳的

间隙里穿行，街市的尖呼和一只

空洞的手牵引他，同时他又站在

忽高忽低的楼顶，他的夜晚的脸突然

照亮了石幕上通道般的光屏，那光在更多的

屋顶上来回扫着，像水银柱踩过一群蜗牛

夜晚被这群蜗牛驮起，缓慢爬向以后的

无数个夜晚，直到露天电影院再也不能

被他找到，一个陌生人悄悄坐下

在他胸中的石凳中央

2010

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新雪

一给小明

世界厌倦了懒惰的观察

雪带来谜语

为了清晨的信号

风变成水晶的耳朵

十二月，耳朵吹落，耳朵飘扬

耳朵挂满枝头

大气的鼓膜填满音乐

但大多数人是聋子

我们也不是去听

而是想变成乐器

新雪是出发前的邮差

他不敲门，他迟到了

树木很安静

2011

给D

去你想去的地方，成为你不愿说出的人

模仿自己，模仿海岸线形状的镜子

一个镜子构成的世界袭击了你

使你加速着分身，又像愈合的

不倒翁晃动在我面前，带我穿过

崎岖的深巷，在半山养昨日花草

我们坐轮渡从岛抵达更小的岛

被礁石，遮挡了潮水一样埋伏的明天

对岸的海上公路，如同银色救生圈

等着晨曦从海里扑上来，但没有呼救

来看这四首，第一首是非常武汉的否定性的诗，也许与某个年龄时期有关。其引擎为“我不是每一个人”，是一个面容性的代词对量词的精确化的抵抗。第二首是黎衡式的伪格物诗。使事物意义显现的是某人的闯入，视角总是相对于一个主体，无论是银幕的反光还是踩踏蜗牛的水银柱。而成为“他”绝不仅仅是“一个孩子”的历险，那是穿过许多也经过许多，即便最终也未曾获救的孤旅。

真正使代词获救的往往是代词们或代词“们”的出现，比如接下来的两首。世界总是被历数，这种基于量词的数是视觉性的，被“我们”所否定而通过听觉迎来新雪。他不敲门，他迟到了：这样的新雪在听觉里暴露的亲密性好比整个世界留给我们的剩余。不能不让人想起策兰：“走出屋外，/给你那有花斑的梦套上马具，/让它的蹄子/跟雪说说话，那是你/从我心脊吹落的雪。”（《双重意象》，孟明译）

而D是黎衡在赠诗中致意的众多好友里的另一个。在两次自指（成为你不愿说出的人/模仿自己）中因被“一个”世界袭击而分身。而这是一首海色的诗，锚链仍然是“我们”，在另一次自指（从岛抵达更小的岛）后仿佛集聚在最亲密的核里，不再呼救。这几乎是这节特朗斯特罗姆格物诗的对跖点：“我见过世界的意志航行/它们走着同一航线——唯一的船队/我们早已解散。不再是追随者。/白色的帆这样说。”（《从山上》，李笠译）

3民数记与圣餐礼

我们知道，摩西带领以色列人出埃及之后来到西奈山，听取十诫。这不是水到渠成的律法，在随后的旅程中遍布了风暴、烈火和异教徒。这也让人能够理解，毕竟这些也是随后两个千年一神教历史里的重要配角。最让人疑惑的恐怕是《民数记》所载，在西奈旷野流浪的三十八年：那是本想應许之地的无法化约的三十八年，屡次信心不足的三十八年，征战和受罚的三十八年，不洁的三十八年，净化的三十八年。疑惑甚至是更技术性的：不断的统计，以色列人的孳生，受刑，减员，无不以精确的数字载入圣书，所谓民数。福柯会告诉我们这种统计本身是一个不可感的权威对我们不断施加绝望的过程，玛丽·道格拉斯的经典研究（In the Wilderness：The Doctrine of Defilement in the Book of Numbers）则把人与整数和分类搏斗的过程——数数是最典型的显现——的背后是洁净与污染的基本原则。

2009

回声

风以巨大的镜子

晃入我们

从一数到七

从一数到三

从一

数到一，时候近了

所以我们能在这节康托式的公式诗里听到神秘的紧迫感：“我们”在对数字的排查中回归到最根本的数字一，并在这种自指的数数里消除了量纲，摆脱了量词。而这种排查更集中地体现在长诗《幻象》里：一辆一辆的车，又一面墙，一只黑色的喙，一列加速度的火车，一把钥匙，一个我，一双眼睛，一场洪水，一阵浪，一张嘴，一只手，一张脸，无数个角落，一个孩子，一枚钉子，一条黄昏的单行道，一束光，一把刀子，无限！

这些场景和物件是“我们”，或“你”和“我”所居住，体验和成为的词。武汉并不是特别干净的城市，量词印制了这些最坚硬的幻象，一个代替另一个，穿过你我的面容而逐渐洁净。

这更是一首提出而非解决问题的诗，正如洁净永远是一个相对的词。这种不确定性除了《民数记》里追赶以色列人的暴怒还能是什么？直到诗集的结尾，黎衡给出了一个《新约》式的答案。

2012

给无名者的信

我一定认识你，因为如你所见，

世界在乏味的黑夜里，太阳、火焰

和人造光，并不能改变我们的失明，

于是无论你正与我拥抱，还是在

一条陌生的街道失去勇气，我们的

距离并没有区别，我触摸你如同

拂晓的礼仪队触摸每一个不再恐惧

的前额。那么让我们交谈，我能看到

你无所适从的脸在不断的告别中快速

衰老，如一壶清水反复煮沸、冷却，

直到干涸，但你的，美的沸点从不降低；

我也曾从我母亲的脸上看到一个少女的

无知和惶惑，她在她之中为那时的

错误与艰辛痛苦。我也知道，你常梦见

自己是被反向的拉线扯动的木偶，

表演现在就是表演记忆，表演记忆

就是表演未来。不要厌倦，当我们

各自进餐，也就是在由你我定义形状的

桌子上欢聚，食物是陌生人的契约，

而时代的肤浅始于浪费和不满足。

至少，我们可以微笑，以真实的喜悦

和羞怯，在你我没有面孔的光明里。

圣餐礼的基本逻辑是把一分为多而保持各自的一。是各自进餐，更是桌上的欢聚，有浪费和不满足的危险，但并不招来洁净与污染的判决，因为这是害怕没有面孔的面容。在此，无名者也不需要命名就能落人最亲密的确定性。

3.复数的概念精选教案 篇三

1.(福建)i是虚数单位，若集合S=-1，0，1，则( )

A.i∈S B.i2∈S C.i3∈S D.2i ∈S

2.(201 1年全国)复数z=2-i2+i(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

3.(20江西)若(x-i)i=y+2i，x、y∈R，则复数x+yi=( )

A.-2+i B.2+i

C.1-2i D.1+2i

4.(年江苏)设复数z满足i (z+1)=-3+2i(i是虚数单位)，则z的实部是________.

5.若将复数1+i1-i表示为a+bi(a、b∈R，i是虚数单位)的形式，则a+b=________.

6.(2011年全国)复数2+i1-2i的共轭复数是 ( )

A.-35i B.35i C.-i D.i

7.(2011年安徽)设i是虚数单位，复数1+ai2-i为纯虚数，则实数a为( )

A.2 B.-2 C.-12 D.12

8.i是虚数单位，复数z=2+3i-3+2i的虚部是( )

A.0 B.-1 C.1 D.2

9.(2011年浙江)把复数z的共轭复数记作 z-，i为虚数单位，若z=1+i，则(1+z) •z-=( )

A.3-i B.3+i C.1+3i D.3

10.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z=(1+ai)i为“等部复数”，则实数a的值为________.

11.(2011年浙江) 把复 数z的共轭复数记作z-，i为虚数单位，若z=1+i，则1+z•z-_______.

4.复数 复数与方程 教案 篇四

本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址第十五章 复 数高考导航考试要求重难点击命题展望

1.理解复数的基本概念、复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.会进行复数代数形式的四则运算.了解复数的代数形式的加、减运算及其运算的几何意义.4.了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想，体会理性思维在数系扩充中的作用.本章重点：1.复数的有关概念；2.复数代数形式的四则运算.本章难点：运用复数的有关概念解题.近几年高考对复数的考查无论是试题的难度，还是试题在试卷中所占比例都是呈下降趋势，常以选择题、填空题形式出现，多为容易题.在复习过程中，应将复数的概念及运算放在首位.知识网络15.1 复数的概念及其运算

典例精析

题型一 复数的概念【例1】如果复数是实数，则实数m＝

；在复平面内，复数对应的点位于第 象限；复数z＝3i＋1的共轭复数为＝

.【解析】＝m2－m＋i是实数⇒1＋m3＝0⇒m＝－1.因为＝＝1－i，所以在复平面内对应的点为，位于第四象限.因为z＝1＋3i，所以＝1－3i.【点拨】运算此类题目需注意复数的代数形式z＝a＋bi，并注意复数分为实数、虚数、纯虚数，复数的几何意义，共轭复数等概念.【变式训练1】如果z＝为纯虚数，则实数a等于A.0

B.－1

c.1

D.－1或1在复平面内，复数z＝对应的点位于A.第一象限

B.第二象限

c.第三象限

D.第四象限【解析】设z＝xi，x≠0，则xi＝⇔1＋ax－i＝0⇔⇔或故选D.z＝＝＝－1－i，该复数对应的点位于第三象限.故选c.题型二 复数的相等【例2】已知复数z0＝3＋2i，复数z满足z·z0＝3z＋z0，则复数z＝

；已知＝1－ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m＋ni＝

；已知关于x的方程x2＋x＋2＋ki＝0有实根，则这个实根为

，实数k的值为

.【解析】设z＝x＋yi，又z0＝3＋2i，代入z·z0＝3z＋z0得＝3＋3＋2i，整理得＋i＝0，则由复数相等的条件得解得所以z＝1－.由已知得m＝＝＋i.则由复数相等的条件得所以m＋ni＝2＋i.设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得由复数相等的充要条件得解得或所以方程的实根为x＝或x＝－，相应的k值为k＝－2或k＝2.【点拨】复数相等须先化为z＝a＋bi的形式，再由相等得实部与实部相等、虚部与虚部相等.【变式训练2】设i是虚数单位，若＝a＋bi，则a＋b的值是A.－

B.－2

c.2

D.若i＝b＋i，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝

.【解析】c.＝＝，于是a＋b＝＋＝2.3.2＋ai＝b＋i⇒a＝1，b＝2.题型三 复数的运算【例3】若复数z＝－＋i，则1＋z＋z2＋z3＋…＋zXX＝

；设复数z满足z＋|z|＝2＋i，那么z＝

.【解析】由已知得z2＝－－i，z3＝1，z4＝－＋i＝z.所以zn具有周期性，在一个周期内的和为0，且周期为3.所以1＋z＋z2＋z3＋…＋zXX＝1＋z＋＋…＋＝1＋z＝＋i.设z＝x＋yi，则x＋yi＋＝2＋i，所以解得所以z＝＋i.【点拨】解时要注意x3＝1⇔＝0的三个根为1，ω，其中ω＝－＋i，＝－－i，则1＋ω＋ω2＝0，1＋＋2＝0，ω3＝1，3＝1，ω·＝1，ω2＝，2＝ω.解时要注意|z|∈R，所以须令z＝x＋yi.【变式训练3】复数＋等于A.B.c.－

D.已知复数z＝＋XX，则复数z等于A.0

B.2

c.－2i

D.2i【解析】D.计算容易有＋＝.A.总结提高复数的代数运算是重点，是每年必考内容之一，复数代数形式的运算：①加减法按合并同类项法则进行；②乘法展开、除法须分母实数化.因此，一些复数问题只需设z＝a＋bi代入原式后，就可以将复数问题化归为实数问题来解决.第十六章 几何证明选讲高考导航考试要求重难点击命题展望

1.了解平行线截割定理.2.会证明并应用直角三角形射影定理.3.会证明并应用圆周角定理，圆的切线的判定定理及性质定理，并会运用它们进行计算与证明.4.会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理，并会运用它们进行几何计算与证明.5.了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证明平面与圆柱面的截线是椭圆.6.了解下面的定理.定理：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于点o，其夹角为α，l′围绕l旋转得到以o为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l的交角为β，则：①β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；②β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；③β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线.7.会利用丹迪林双球证明上述定理①的情形：当β＞α时，平面π与圆锥的交线为椭圆.8.会证明以下结果：①在7.中，一个丹迪林球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行.记这个圆所在的平面为π′.②如果平面π与平面π′的交线为m，在6.①中椭圆上任取点A，该丹迪林球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常数e.9.了解定理6.③中的证明，了解当β无限接近α时，平面π的极限结果.本章重点：相似三角形的判定与性质，与圆有关的若干定理及其运用，并将其运用到立体几何中.本章难点：对平面截圆柱、圆锥所得的曲线为圆、椭圆、双曲线、抛物线的证明途径与方法，它是解立体几何、平面几何知识的综合运用，应较好地把握.本专题强调利用演绎推理证明结论，通过推理证明进一步发展学生的逻辑推理能力，进一步提高空间想象能力、几何直观能力和综合运用几何方法解决问题的能力.第一讲与第二讲是传统内容，高考中主要考查平行线截割定理、直角三角形射影定理以及与圆有关的性质和判定，考查逻辑推理能力.第三讲内容是新增内容，在新课程高考下，要求很低，只作了解.知识网络

6.1 相似三角形的判定及有关性质 典例精析题型一 相似三角形的判定与性质【例1】如图，已知在△ABc中，D是Bc边的中点，且AD＝Ac，DE⊥Bc，DE与AB相交于点E，Ec与AD相交于点F.求证：△ABc∽△FcD；若S△FcD＝5，Bc＝10，求DE的长.【解析】因为DE⊥Bc，D是Bc的中点，所以EB＝Ec，所以∠B＝∠1.又因为AD＝Ac，所以∠2＝∠AcB.所以△ABc∽△FcD.过点A作Am⊥Bc，垂足为点m.因为△ABc∽△FcD，Bc＝2cD，所以＝2＝4，又因为S△FcD＝5，所以S△ABc＝20.因为S△ABc＝Bc·Am，Bc＝10，所以20＝×10×Am，所以Am＝4.又因为DE∥Am，所以＝，因为Dm＝Dc＝，Bm＝BD＋Dm，BD＝Bc＝5，所以＝，所以DE＝.【变式训练1】如右图，在△ABc中，AB＝14cm，＝，DE∥Bc，cD⊥AB，cD＝12cm.求△ADE的面积和周长.【解析】由AB＝14cm，cD＝12cm，cD⊥AB，得S△ABc＝84cm2.再由DE∥Bc可得△ABc∽△ADE.由＝2可求得S△ADE＝cm2.利用勾股定理求出Bc，Ac，再由相似三角形性质可得△ADE的周长为15cm.题型二 探求几何结论【例2】如图，在梯形ABcD中，点E，F分别在AB，cD上，EF∥AD，假设EF做上下平行移动.若＝，求证：3EF＝Bc＋2AD；若＝，试判断EF与Bc，AD之间的关系，并说明理由；请你探究一般结论，即若＝，那么你可以得到什么结论？【解析】过点A作AH∥cD分别交EF，Bc于点G、H.因为＝，所以＝，又EG∥BH，所以＝＝，即3EG＝BH，又EG＋GF＝EG＋AD＝EF，从而EF＝＋AD，所以EF＝Bc＋AD，即3EF＝Bc＋2AD.EF与Bc，AD的关系式为5EF＝2Bc＋3AD，理由和类似.因为＝，所以＝，又EG∥BH，所以＝，即EG＝BH.EF＝EG＋GF＝EG＋AD＝＋AD，所以EF＝Bc＋AD，即EF＝mBc＋nAD.【点拨】在相似三角形中，平行辅助线是常作的辅助线之一；探求几何结论可按特殊到一般的思路去获取，但结论证明应从特殊情况得到启迪.【变式训练2】如右图，正方形ABcD的边长为1，P是cD边上中点，点Q在线段Bc上，设BQ＝k，是否存在这样的实数k，使得以Q，c，P为顶点的三角形与△ADP相似？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.【解析】设存在满足条件的实数k，则在正方形ABcD中，∠D＝∠c＝90°，由Rt△ADP∽Rt△QcP或Rt△ADP∽Rt△PcQ得＝或＝，由此解得cQ＝1或cQ＝.从而k＝0或k＝.题型三 解决线的位置或数量关系【例3】如图，在四边形ABcD中，△ABc△BAD，求证：AB∥cD.【证明】由△ABc≌△BAD得∠AcB＝∠BDA，所以A、B、c、D四点共圆，所以∠cAB＝∠cDB.再由△ABc≌△BAD得∠cAB＝∠DBA，所以∠DBA＝∠cDB，即AB∥cD.【变式训练3】如图，AA1与BB1相交于点o，AB∥A1B1且AB＝A1B1，△AoB的外接圆的直径为1，则△A1oB1的外接圆的直径为

.【解析】因为AB∥A1B1且AB＝A1B1，所以△AoB∽△A1oB1因为两三角形外接圆的直径之比等于相似比.所以△A1oB1的外接圆直径为2.总结提高1.相似三角形的判定与性质这一内容是平面几何知识的重要组成部分，是解题的工具，同时它的内容渗透了等价转化、从一般到特殊、分类讨论等重要的数学思想与方法，在学习时应以它们为指导.相似三角形的证法有：定义法、平行法、判定定理法以及直角三角形的HL法.相似三角形的性质主要有对应线的比值相等，对应角相等，面积的比等于相似比的平方.2.“平行出相似”“平行成比例”，故此章中平行辅助线是常作的辅助线之一，遇到困难时应常考虑此类辅助线.16.2 直线与圆的位置关系和圆锥曲线的性质典例精析题型一 切线的判定和性质的运用【例1】如图，AB是⊙o的直径，Ac是弦，∠BAc的平分线AD交⊙o于点D，DE⊥Ac，交Ac的延长线于点E，oE交AD于点F.求证：DE是⊙o的切线；若＝，求的值.【解析】证明：连接oD，可得∠oDA＝∠oAD＝∠DAc，所以oD∥AE，又AE⊥DE，所以DE⊥oD，又oD为半径，所以DE是⊙o的切线.过D作DH⊥AB于H，则有∠DoH＝∠cAB，＝cos∠DoH＝cos∠cAB＝＝，设oD＝5x，则AB＝10x，oH＝2x，所以AH＝7x.由△AED≌△AHD可得AE＝AH＝7x，又由△AEF∽△DoF可得AF∶DF＝AE∶oD＝，所以＝.【变式训练1】已知在直角三角形ABc中，∠AcB＝90°，以Bc为直径的⊙o交AB于点D，连接Do并延长交Ac的延长线于点E，⊙o的切线DF交Ac于点F.求证：AF＝cF；若ED＝4，sin∠E＝，求cE的长.【解析】方法一：设线段FD延长线上一点G，则∠GDB＝∠ADF，且∠GDB＋∠BDo＝，所以∠ADF＋∠BDo＝，又因为在⊙o中oD＝oB，∠BDo＝∠oBD，所以∠ADF＋∠oBD＝.在Rt△ABc中，∠A＋∠cBA＝，所以∠A＝∠ADF，所以AF＝FD.又在Rt△ABc中，直角边Bc为⊙o的直径，所以Ac为⊙o的切线，又FD为⊙o的切线，所以FD＝cF.所以AF＝cF.方法二：在直角三角形ABc中，直角边Bc为⊙o的直径，所以Ac为⊙o的切线，又FD为⊙o的切线，所以FD＝cF，且∠FDc＝∠FcD.又由Bc为⊙o的直径可知，∠ADF＋∠FDc＝，∠A＋∠FcD＝，所以∠ADF＝∠A，所以FD＝AF.所以AF＝cF.因为在直角三角形FED中，ED＝4，sin∠E＝，所以cos∠E＝，所以FE＝5.又FD＝3＝Fc，所以cE＝2.题型二 圆中有关定理的综合应用【例2】如图所示，已知⊙o1与⊙o2相交于A、B两点，过点A作⊙o1的切线交⊙o2于点c，过点B作两圆的割线，分别交⊙o1、⊙o2于点D、E，DE与Ac相交于点P.求证：AD∥Ec；若AD是⊙o2的切线，且PA＝6，Pc＝2，BD＝9，求AD的长.【解析】连接AB，因为Ac是⊙o1的切线，所以∠BAc＝∠D，又因为∠BAc＝∠E，所以∠D＝∠E，所以AD∥Ec.方法一：因为PA是⊙o1的切线，PD是⊙o1的割线，所以PA2＝PB·PD，所以62＝PB·，所以PB＝3.在⊙o2中，由相交弦定理得PA·Pc＝BP·PE，所以PE＝4.因为AD是⊙o2的切线，DE是⊙o2的割线，所以AD2＝DB·DE＝9×16，所以AD＝12.方法二：设BP＝x，PE＝y.因为PA＝6，Pc＝2，所以由相交弦定理得PA·Pc＝BP·PE，即xy＝12.①因为AD∥Ec，所以＝，所以＝.②由①②可得或，所以DE＝9＋x＋y＝16.因为AD是⊙o2的切线，DE是⊙o2的割线，所以AD2＝DB·DE＝9×16，所以AD＝12.【变式训练2】如图，⊙o的直径AB的延长线与弦cD的延长线相交于点P，E为⊙o上一点，DE交AB于点F，且AB＝2BP＝4.求PF的长度；若圆F与圆o内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度.【解析】连接oc，oD，oE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中已知条件可得∠cDE＝∠Aoc.又∠cDE＝∠P＋∠PFD，∠Aoc＝∠P＋∠ocP，从而∠PFD＝∠ocP，故△PFD∽△Pco，所以＝.由割线定理知Pc·PD＝PA·PB＝12，故PF＝＝＝3.若圆F与圆o内切，设圆F的半径为r，因为oF＝2－r＝1，即r＝1，所以oB是圆F的直径，且过点P的圆F的切线为PT，则PT2＝PB·Po＝2×4＝8，即PT＝2.题型三 四点共圆问题【例3】如图，圆o与圆P相交于A、B两点，圆心P在圆o上，圆o的弦Bc切圆P于点B，cP及其延长线交圆P于D，E两点，过点E作EF⊥cE，交cB的延长线于点F.求证：B、P、E、F四点共圆；若cD＝2，cB＝2，求出由B、P、E、F四点所确定的圆的直径.【解析】证明：连接PB.因为Bc切圆P于点B，所以PB⊥Bc.又因为EF⊥cE，所以∠PBF＋∠PEF＝180°，所以∠EPB＋∠EFB＝180°，所以B，P，E，F四点共圆.因为B，P，E，F四点共圆，且EF⊥cE，PB⊥Bc，所以此圆的直径就是PF.因为Bc切圆P于点B，且cD＝2，cB＝2，所以由切割线定理cB2＝cD·cE，得cE＝4，DE＝2，BP＝1.又因为Rt△cBP∽Rt△cEF，所以EF∶PB＝cE∶cB，得EF＝.在Rt△FEP中，PF＝＝，即由B，P，E，F四点确定的圆的直径为.【变式训练3】如图，△ABc是直角三角形，∠ABc＝90°.以AB为直径的圆o交Ac于点E，点D是Bc边的中点.连接oD交圆o于点m.求证：o，B，D，E四点共圆；2DE2＝Dm·Ac＋Dm·AB.【证明】连接BE，则BE⊥Ec.又D是Bc的中点，所以DE＝BD.又oE＝oB，oD＝oD，所以△oDE≌△oDB，所以∠oBD＝∠oED＝90°，所以D，E，o，B四点共圆.延长Do交圆o于点H.因为DE2＝Dm·DH＝Dm·＝Dm·Do＋Dm·oH＝Dm·＋Dm·，所以2DE2＝Dm·Ac＋Dm·AB.总结提高1.直线与圆的位置关系是一种重要的几何关系.本章在初中平面几何的基础上加以深化，使平面几何知识趋于完善，同时为解析几何、立体几何提供了多个理论依据.2.圆中的角如圆周角、圆心角、弦切角及其性质为证明相关的比例线段提供了理论基础，为解决综合问题提供了方便，使学生对几何概念和几何方法有较透彻的理解.第十七章 坐标系与参数方程高考导航 考试要求重难点击命题展望

一、坐标系1.了解在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，理解坐标系的作用.2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.3.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.4.能在极坐标系中给出简单图形的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义.5.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别.二、参数方程1.了解参数方程，了解参数的意义.2.分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程.3.了解平摆线和渐开线的生成过程，并能写出它们的参数方程.4.了解其他摆线的生成过程；了解摆线在实际中应用的实例；了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用.本章重点：1.根据问题的几何特征选择坐标系；坐标法思想；平面直角坐标系中的伸缩变换；极坐标系；直线和圆的极坐标方程.2.根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义；分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程.本章难点：1.对伸缩变换中点的对应关系的理解；极坐标的不唯一性；曲线的极坐标方程.2.根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程.坐标系是解析几何的基础，为便于用代数的方法研究几何图形，常需建立不同的坐标系，以便使建立的方程更加简单，参数方程是曲线在同一坐标系下不同于普通方程的又一种表现形式.某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更加方便.本专题要求通过坐标系与参数方程知识的学习，使学生更全面地理解坐标法思想；能根据曲线的特点，选取适当的曲线方程表示形式，体会解决问题中数学方法的灵活性.高考中，参数方程和极坐标是本专题的重点考查内容.对于柱坐标系、球坐标系，只要求了解即可.知识网络17.1 坐标系典例精析题型一 极坐标的有关概念【例1】已知△ABc的三个顶点的极坐标分别为A，B，c，试判断△ABc的形状，并求出它的面积.【解析】在极坐标系中，设极点为o，由已知得∠AoB＝，∠Boc＝，∠Aoc＝.又|oA|＝|oB|＝5，|oc|＝4，由余弦定理得|Ac|2＝|oA|2＋|oc|2－2|oA|·|oc|·cos∠Aoc＝52＋2－2×5×4·cos＝133，所以|Ac|＝.同理，|Bc|＝.所以|Ac|＝|Bc|，所以△ABc为等腰三角形.又|AB|＝|oA|＝|oB|＝5，所以AB边上的高h＝＝，所以S△ABc＝××5＝.【点拨】判断△ABc的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，所以先计算边长.【变式训练1】点A在条件：①ρ＞0，θ∈下极坐标为

，②ρ＜0，θ∈下极坐标为

；点P与曲线c：ρ＝cos的位置关系是

.【解析】；.点P在曲线c上.题型二 直角坐标与极坐标的互化【例2】⊙o1和⊙o2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.把⊙o1和⊙o2的极坐标方程化为直角坐标方程；求经过⊙o1和⊙o2交点的直线的直角坐标方程.【解析】以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，且两坐标系取相同单位长.因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ，得ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0为⊙o1的直角坐标方程.同理，x2＋y2＋4y＝0为⊙o2的直角坐标方程.由解得或即⊙o1，⊙o2的交点为和两点，故过交点的直线的直角坐标方程为x＋y＝0.【点拨】互化的前提条件：原点对应着极点，x轴正向对应着极轴.将互化公式代入，整理可以得到.【变式训练2】在极坐标系中，设圆ρ＝3上的点到直线ρ＝2的距离为d，求d的最大值.【解析】将极坐标方程ρ＝3化为普通方程x2＋y2＝9，ρ＝2可化为x＋y＝2.在x2＋y2＝9上任取一点A，则点A到直线的距离为d＝＝，它的最大值为4.题型三 极坐标的应用【例3】过原点的一动直线交圆x2＋2＝1于点Q，在直线oQ上取一点P，使P到直线y＝2的距离等于|PQ|，用极坐标法求动直线绕原点一周时点P的轨迹方程.【解析】以o为极点，ox为极轴，建立极坐标系，如右图所示，过P作PR垂直于直线y＝2，则有|PQ|＝|PR|.设P，Q，则有ρ0＝2sinθ.因为|PR|＝|PQ|，所以|2－ρsinθ|＝|ρ－2sinθ|，所以ρ＝±2或sinθ＝±1，即为点P的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程为x2＋y2＝4或x＝0.【点拨】用极坐标法可使几何中的一些问题得到很直接、简单的解法，但在解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些.【变式训练3】如图，点A在直线x＝5上移动，等腰△oPA的顶角∠oPA为120°，求点P的轨迹方程.【解析】取o为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x＝5的极坐标方程为ρcosθ＝5.设A，P，因为点A在直线ρcosθ＝5上，所以ρ0cosθ0＝5.①因为△oPA为等腰三角形，且∠oPA＝120°，而|oP|＝ρ，|oA|＝ρ0以及∠PoA＝30°，所以ρ0＝ρ，且θ0＝θ－30°.②把②代入①，得点P的轨迹的极坐标方程为ρcos＝5.题型四平面直角坐标系中坐标的伸缩变换【例4】定义变换T：可把平面直角坐标系上的点P变换成点P′.特别地，若曲线m上一点P经变换公式T变换后得到的点P′与点P重合，则称点P是曲线m在变换T下的不动点.若椭圆c的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且焦距为2，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2.求椭圆c的标准方程，并求出当tanθ＝时，其两个焦点F1、F2经变换公式T变换后得到的点F1′和F2′的坐标；当tanθ＝时，求中的椭圆c在变换T下的所有不动点的坐标.【解析】设椭圆c的标准方程为＋＝1，由椭圆定义知焦距2c＝2⇒c＝，即a2－b2＝2.①又由已知得a2＋b2＝4，②故由①、②可解得a2＝3，b2＝1.即椭圆c的标准方程为＋y2＝1，且椭圆c两个焦点的坐标分别为F1和F2.对于变换T：当tanθ=时，可得设F1′和F2′分别是由F1和F2的坐标经变换公式T变换得到.于是即F1′的坐标为；又即F2′的坐标为.设P是椭圆c在变换T下的不动点，则当tanθ＝时，有⇒x＝3y，由点P∈c，即P∈c，得＋y2＝1⇒因而椭圆c的不动点共有两个，分别为和.【变式训练4】在直角坐标系中，直线x－2y＝2经过伸缩变换

后变成直线2x′－y′＝4.【解析】总结提高1.平面内一个点的极坐标有无数种表示方法.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示；反之也成立.2.熟练掌握几种常用的极坐标方程，特别是直线和圆的极坐标方程.17.2 参数方程典例精析题型一 参数方程与普通方程互化【例1】把下列参数方程化成普通方程：

；

.【解析】所以5x2＋4xy＋17y2－81＝0.由题意可得所以①2－②2得－＝4，所以－＝1，其中x＞0.【变式训练1】把下列参数方程化为普通方程，并指出曲线所表示的图形.【解析】x2＝2，－≤x≤，图形为一段抛物线弧.x＝1，y≤－2或y≥2，图形为两条射线.x2＋y2－3y＝0，图形是一个圆，但是除去点.－＝1，图形是双曲线.题型二 根据直线的参数方程求弦长【例2】已知直线l的参数方程为，曲线c的极坐标方程为ρ2cos2θ＝1.求曲线c的普通方程；求直线l被曲线c截得的弦长.【解析】由曲线c：ρ2cos2θ＝ρ2＝1，化成普通方程为x2－y2＝1.①方法一：把直线参数方程化为标准参数方程.②把②代入①得2－2＝1，整理得t2－4t－6＝0.设其两根为t1，t2，则t1＋t2＝4，t1t2＝－6.从而弦长为|t1－t2|＝＝＝＝2.方法二：把直线的参数方程化为普通方程为y＝，代入x2－y2＝1，得2x2－12x＋13＝0.设l与c交于A，B，则x1＋x2＝6，x1x2＝，所以|AB|＝·＝2＝2.【变式训练2】在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为，若以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线c的极坐标方程为ρ＝cos，求直线l被曲线c所截的弦长.【解析】将方程化为普通方程为3x＋4y＋1＝0.将方程ρ＝cos化为普通方程为x2＋y2－x＋y＝0.表示圆心为，半径为r＝的圆，则圆心到直线的距离d＝，弦长＝2＝2＝.题型三 参数方程综合运用【例3】已知曲线c1：

，c2：

5.推理与证明复数习题 篇五

1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（）Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件

2．类比“等差数列的定义”给出一个新数列“等和数列的定义”是（）Ａ．连续两项的和相等的数列叫等和数列

Ｂ．从第二项起，以后第一项与前一项的差都不相等的数列叫等和数列 Ｃ．从第二项起，以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等和数列 Ｄ．从第一项起，以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等和数列

3．已知数列1，aa2，a2a3a4，a3a4a5a6，，则数列的第k项是（）Ａ．akak1a2kＢ．ak1aka2k1 Ｃ．ak1aka2kＤ．ak1aka2k2

4.在等差数列an中，若an0，公差d0，则有a·4

a6a3·a7，类比上述性质，在等比数列bn中，若bn0，q1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是（）Ａ．b4b8b5b7

Ｂ．b5b7b4b8Ｃ．b4b7b5b8

Ｄ．b4b5b7b8

5．（1）已知p3q32，求证

pq2，用反证法证明时，可假设pq2，（2）已知a，bR，ab1，求证方程x2axb0的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设x1≥1，以下结论正确的是（）

Ａ．(1)与(2)的假设都错误Ｂ．(1)与(2)的假设都正确

Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确

6．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，ABa，CDb(ab)．若EF∥AB，EF到CD与AB的距离之比为m:n，则可推算出EF

manb

mn

．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD中，延长梯形两腰AD，BC相交于O点，设△OAB，△OCD的面积分别为S1，S2，EF∥AB且EF到CD与AB的距离之比为m:n，则△OEF的面积S0与S1，S2的关系是（）Ａ．S1nS2

nS1mS2

0

mSmn

Ｂ．S0

mn



7．用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n··13··(2n1)，从k到k1，左边需要增乘的代数式为（）Ａ．2k1

Ｂ．2(2k1)

Ｃ．

2k1

k1

Ｄ．

2k3

k1

8.下列表述正确的是（）.①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A．①②③； B．②③④； C．②④⑤； D．①③⑤.9．观察数列1121231234

2213214321

，则数6将出现在此数列的第（）

Ａ．21项Ｂ．22项Ｃ．23项Ｄ．24项 10．正整数按下表的规律排列

12510173611188 71219142023 22

则上起第2005行，左起第2006列的数应为（）

213．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：

设第n个图有an个树枝，则an1与an(n≥2)之间的关系是．

14．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为． 15．已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．(请用反证法证明）

16.观察以下各等式：

sin2

300

cos2

600

sin300

cos600

34sin2200cos2500sin200cos500

4

sin2

150

cos2

450

sin150

cos450



3，分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．

17．已知命题：“若数列a

n是等比数列，且an0，则数列bnnN)也是等比数列”．类

比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．

．已知abc，且abc

018

19.已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1,(1)写出a1, a2, a3,并推测an的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论。

1.若复数zm2

5m6

m3i是实数，则实数m

2.若复数za21(a1)i是纯虚数(其中aR)，则z=________.3.复数z=

2i,则z的共轭复数为__________ 4.若复数z1a2i, z234i，且z1

z为纯虚数，则实数a的值为2

5.复数

2i

1i

(i是虚数单位)的实部为6.已知复数zm2(1i)(mi)(mR),若z是实数，则m的值为。

7.已知

m

1i

1ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则z(mni)2在复平面内对应的点Z位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 8.复数z13i，z21i，则复数z1z在复平面内对应的点位于第__ ____象限．

9．数z

mi

1i

（mR，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

10．复数z11i,|z2|3，那么|z1z2|的最大值是。11.已知zC，且z22i1,i为虚数单位，则z22i的最小值是()

（A）2.（B）3.（C）4.（D）5.12.化简(cos225isin225)2(其中i为虚数单位)的结果为13.若z，则z100z50

1____________ 14.x1iy12i513i，则xy__________ 15.已知复数z满足zz10,z1

z1

是纯虚数，求复数z

16.已知复数z2

1m(4m)i,z22cos(3sin)i,(,mR,[0,

])，z1z2，求的取值范围。

6.复数 复数与方程 教案 篇六

一、 对复数概念和运算的理解与转换

无论是复数的分类、还是复数的相等,这些概念都是通过复数的实部和虚部来分类和定义的,因此复数问题可以转化为关于实部和虚部的实数问题.

复数的四则运算本质上为实部和虚部的四则运算,因此进行复数四则运算既可套用复数四则运算的定义、法则,又可以视i为字母,按照关于实数的代数式的运算法则进行.

例1 (2008年上海卷)若复数z满足z=i(2-z)(i是虚数单位),则z=________.

解法一 设z=a+bi(a,b∈R),则i(2-z)=i(2-a-bi)=b+(2-a)i.

由复数相等的充要条件,得a=b,b=2-a,解得a=b=1,所以z=1+i.

解法二 可将z=i(2-z)中的z,i均看作实数变量,按照实数方程处理如下:由z=i(2-z),得(1+i)z=2i,所以z===1+i.

评注 利用z=a+bi(a,b∈R)以及复数相等的定义(充要条件),可以化“虚”为“实”,将复数方程转化为实数(实部、虚部)方程组,实现问题的化归.如本例的解法一及例2的解法一.

例2 计算:.

解法一 令=a+bi(a,b∈R),则1+i=(1-i)•(a+bi),即1+i=(a+b)+(b-a)i,所以1=(a+b),1=(b-a),解得a=0,b=1,即=i.

解法二 ===i.

解法三 =+i=i.

评注 复数中的i完全可以看作实数的一个“小伙伴”,与实数同等对待,如例1的解法二与本例的解法二.

例3 如果虚数z满足z3=8,那么z3+z2+2z+2的值是_____.

解法一 设z=a+bi(b≠0),先利用条件求得z,然后代入,可得结果为6.

解法二 因为z3=8,所以(z-2)(z2+2z+4)=0.

因为z是虚数,所以z≠2,所以z2+2z+4=0,即z2+2z+2=2.

故z3+z2+2z+2=8-2=6.

评注 解法一设z=a+bi(b≠0),是求解复数问题的最基本策略,但求解本题时,计算复杂,费时易错.解法二把握住复数的整体性质,运用整体代入的策略,则显得简洁明快.

例4 已知z-|z|=-1+i,则z=_____.

解法一 设z=a+bi(a,b∈R),则a+bi-|a+bi|=-1

+i,即(a-)+bi=-1+i.

由复数相等的充要条件,得a-=-1,b=1,解得a=0,b=1,所以z=i.

解法二 由z-|z|=-1+i,得z=|z|-1+i,

两边同取模,得|z|=||z|-1+i|,即|z|=,

解关于|z|的方程,得|z|=1,

代入原等式,得z-1=-1+i,所以z=i.

评注 解法二注意到条件式的特征,含有z,|z|,

其他项为已知数.故若能求出|z|,代入已知等式,则也能求出z.而|z|为实数,为此需考虑利用复数模的性质作变形.

例5 计算:i+2i2+3i3+…+2 010i2 010.

解法一 设T=i+2i2+3i2+…+2 010i2 010,则iT=i2+2i3+3i4+…+2 010i2 011.

两式相减,得(1-i)T=i+i2+i3+i4+…+i2 010-2 010i2 011

=-2 010i2 011,

所以(1-i)T=+2 010i,所以T=

=-1 006+ 1 005i.

解法二 设Tn=i+2i2+3i3+…+2 010i2 010=i-2-3i+4+5i-6-7i+8+9i-10-11i+12+…+2 009i-2 010=(i+5i+9i+…+2 009i)-(2+6+10+…+2 010)-(3i+7i+11i+…+2 007i)+(4+8+12+…+2 008)=(2 010i×503)-(2 012×503)-(2 010i×502)+(2 012×502)=-1 006+1 005i.

评注 将i看作实变量,i+2i2+3i3+…+2 010i2 010可以看作一个数列各项的和,从结构形式看,为一个等差数列与一个等比数列的对应项的乘积构成的数列的各项和.法一为错位相减法,法二为分组转化法.

例6 已知关于x的方程x2+zx+4+3i=0有实数根,求复数z的模的最小值.

解 设x∈R且x≠0,则z=-=-x+-i,

则|z|==≥3,当且仅当x2=,即x=±时,取等号,故|z|min=3.

评注 注意到x可为实数,显然直接解出z(含x的表达式)是最快捷的方法.

二、 对复数几何意义的理解与转换

建立复平面,使复数和点、向量建立一一对应关系,复数加、减法的几何意义遵循平行四边形(或三角形)法则,复数问题即可以看作是直角坐标平面中点的问题,并转化为解析几何问题,利用数形结合思想辅助解题.

例7 (2008上海春季卷)已知z∈C,且|z-2-2i|=1,i为虚数单位,则|z+2-2i|的最小值是_____.

解法一 设z=x+yi(x,y∈R),则(x-2)2+(y-2)2=1.

令x-2=cosθ,y-2=sinθ,则x=2+cosθ,y=2+sinθ,所以

|z+2-2i|==≥3,当且仅当cosθ=-1,即x=1,y=2,即z=1+2i时,取等号,则|z+2-2i|的最小值是3.

解法二 考虑几何意义,z对应的点为以(2,2)为圆心,1为半径的圆上的动点,|z+2-2i|表示z对应的点到点(-2,2)的距离,则|z+2-2i|的最小值是3.

例8 已知虚数(x-2)+yi(x,y∈R)的模为,则的最大值是________.

解 由已知条件|(x-2)+yi|=,可得关于实数变量x与y的等式(x-2)2+y2=3.

又y≠0,所以动点(x,y)的轨迹为以(2,0)为圆心,为半径的圆(除去点(2±,0)),可看作动点Z(x,y)与定点O(0,0)连线的斜率.

如右图,当OZ为上半圆的切线时,的值最大,即max=tan∠AOP=.

1. 已知z是纯虚数,是实数,那么z=_____.

2. 若复数z满足z(1+i)=1-i,则其共轭复数=____.

3. 在复平面内,复数z=i(1+2i)对应的点位于第_____象限.

4. 已知复数z满足z+=1,求|z|的最值.

7.复数与推理证明练习题 篇七

1．若复数z134i,z212i,则z1z2。2．若复数(1i)(ai)是实数，则实数a。3．已知复数z的实部为1，虚部为2，则

i13iz的虚部为。

4.(i是虚数单位)对应的点在第象限。

5．复数za23a2(lga)i(aR)是纯虚数，则a_________。

6.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为。7．已知cos

π1π2π1π2π3π1cos＝coscos，…，根据这些结果，猜想325547778

出的一般结论是。8.已知：f(x)＝

x

1－x

f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(n>1且n∈N)，则f3(x)的表达式为

*

______ ______，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为________。

9.设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)=；当n>4时，（用n表示）f(n)=。

10.设P是ABC内一点，ABC三边上的高分别为hA、hB、hC，P到三边的距离依次为la、lb、lc，则有

lahA

lbhB

lchC

1；类比到空间，设P是四面体ABCD内一点，四顶点

到对面的距离分别是hA、hB、hC、hD，P到这四个面的距离依次是la、lb、lc、ld，则有_________________。

11.在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是,，则有

coscos1，类比到空间，在长方体中，一条对角线与从某一顶点出发的三条棱

2所成的角分别是,,，则有。12.在等差数列an中，若a100，则有等式a1a2an

类比上述性质，相应地：在等比数列bn中，a1a2a19n(n19,nN)成立，若b91，则有等式 13． 把偶数按一定的规则

排成了如图所示的三角形数表．2设aij(i，j∈N)是位于这个三角形数表中46 从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如8 101

2*

a42＝16，若aij＝2 012，则i与j的和为14161820。

14．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠 部分的面积恒为

a

.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一

个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为。

15.已知扇形的圆心角为2（定值），半径为R（定值），分别按图一、二作扇形的内接矩形，若按图一作出的矩形面积的最大值为为。

2Rtan，则按图二作出的矩形面积的最大值

图一

第15题图

图二

第14题

16.若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N2，则三角形面积之比为：

SOM1N1SOM2N

2OMOM



ONON

.若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP、OQ

和OR上分别有点P1、P2与点Q1、Q2和R1、R2，则类似的结论为：。

17．一同学在电脑中打出如下图若干个圆（○表示空心圆，●表示实心圆）

○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○……

问：到120个圆中有个实心圆。

iii1i

18.求值（1）复数

（2）复数z，求z

（3）若(xi)iy2i,x,yR，求复数xyi

（4）已知复数z1满足(z12)(1i)1i（i为虚数单位），复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求z2．

19.已知abc，且abca



．

20.（1）设函数f(x)

12

x，类比课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求2

得f(4)f(0)f(5)f(6)的值为。

（2）已知数列{an}满足a11，anan1()n(nN*,n≥2)，令

Tna12a22an2，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得3Tnan2

n1

2n

8.复数 复数与方程 教案 篇八

2表示“民族”，此时为可数名词，其前可用不定冠词，也可有复数形式。如：

The Chinese are a hard-working people. 中国人是一个勤劳的民族。

The English-speaking peoples share a common language. 讲英语的各民族拥有共同的语言。

比较下面两句：

How many peoples live in Asia? 亚洲有多少个民族?

How many people live in the room? 这房间住了多少人?

3. 泛指“人们”时，其前不用定冠词;泛指“人民”时，其前通常要用定冠词。如：

People say oil prices will be going up soon. 人们说油价快要上涨了。

The people turned against their president. 人民变得不满意他们的总统。

即使其后受到限制性定语的修饰，也不一定就必须要带定冠词：如果表特指，其前用定冠词，如果意义较泛，其前仍不用定冠词。如：

The people who work next door are architects. 在隔壁工作的那些人是建筑师。

9.复数 复数与方程 教案 篇九

数系的扩充与复数的引入是复数的基础内容，它是数学发展史上的一个重要的里程碑，也是高等代数的基础.全国各地每年高考的试卷中基本上都有一道复数题，考查复数的基本概念及其几何意义、复数的代数运算，题型是选择题或填空题，分值4分或5分，难度比较容易.综观历年全国各地高考卷，主要考查复数、纯虚数、共轭复数、复数的模、复数相等、复数的几何表示，考查复数的四则运算.

湖北近几年的高考情况，考查了复数的加法、乘法、除法、[in]的运算，考查了共轭复数、复数相等的概念，考查了复数的几何表示.文科与理科不同，考查了复数的加法、乘法运算、复数的几何意义，难度低于理科.

命题特点

经过认真分析近几年的湖北高考卷和全国各地省市高考卷，我们发现，数系的扩充与复数的引入在近年来高考命题中主要围绕三个方面展开，一是围绕复数的概念及几何意义；二是围绕复数的四则运算及几何意义；三是围绕复数与其他知识交汇.

1. 概念及意义考查重基础、重应用

复数的概念包括：复数定义、复数的实部与虚部、实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、复数的模，对复数概念的考查仍然注重对考查概念的理解，考查方式不会直接考概念，往往是通过简单的运算来考查概念的应用，以检测学生对概念的理解程度.

例1 设[m∈R]，[z=（m2+m-2）+（m2-1）i]，其中[i]是虚数单位，当[m]为何值时，[z]是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）0？

解析 由于已知[z]是标准的复数的代数形式，所以由复数为实数、虚数、纯虚数、0的充要条件可得.（1）当[m2-1=0]即[m=±1]时，[z]是实数.（2）当[m2-1≠0]即当[m≠±1]时，[z]是虚数.（3）当[m2+m-2=0]且[m2-1≠0]，即[m=-2]时，[z]是纯虚数.（4）当[m2+m-2=0]且[m2-1=0]，即[m=1]时，[z]是0.

例2 设复数[z=x+yi]，若[i（y+3i）=x+4i]，则[z]=_________.

解析 由条件得[-3+yi=x+4i]，由复数相等定义得[x=-3，y=4]，即[z=-3+4i]，所以[z=-3-4i]，从而[z=（-3）2+（-4）2=5].

答案 5

点拨 复数相等的充要条件是实部相等且虚部相等，复数共轭的充要条件是实部相等且虚部相反.复数的模是指表示复数的向量的模，若复数[z=a+bi]，则它的模[z=a+bi][=a2+b2]，显然任意复数的模都是非负数，只有零的模为零.

例3 设z是复数， 则下列命题中的假命题是 （ ）

A. 若[z2≥0]， 则z是实数

B. 若[z2<0]， 则z是虚数

C. 若z是虚数， 则[z2≥0]

D. 若z是纯虚数， 则[z2<0]

解析 法一：设[z=a+bi，a，b∈R][?z2=a2-b2+2abi]. 对选项A： 若[z2≥0，]则[b=0?z]为实数，所以[z]为实数真.对选项B： 若[z2<0，]则[a=0]且[b≠0?z]为纯虚数，所以[z]为纯虚数为真.对选项C：若[z]为纯虚数，则[a=0，]且[b≠0?z2<0]，所以[z2≥0]为假.对选项D：若[z]为纯虚数，则[a=0]且[b≠0?z2<0]，所以[z2<0]为真.

法二：经观察，C和D选项可能互相排斥. 取[z=i]，则[z2=-1<0]，所以C为假命题.

答案 C

点拨 实数扩充到复数以后，实数的四则运算法则仍然成立，但实数的有些性质不再成立.如复数的平方不一定非负，复数之间不一定有大小关系，只有实数的平方非负，实数之间才有大小关系.复数的几何意义是近年来高考命题的热点，主要考查复数在复平面内对应点的位置，有时也考查相反复数、共轭复数在复平面内的几何性质.

例4 复数[z1]，[z2]在复平面内对应点[A]，[B]，[z1=3+4i]，将点[A]绕原点[O]逆时针旋转[90°]得点[B]，则[z2=] （ ）

A. [3-4i] B. [-4-3i]

C. [-4+3i] D. [-3-4i]

解析 由复数几何意义得，[A（3，4）]，由[OA⊥OB]，且[B]在第二象限，从而[B（-4，3）]，所以[z2=-4-3i].

答案 B

点拨 复数的几何意义有两种，一是复数[z=a+bi]与复平面内的点[Z（a，b）]是一一对应的；二是[z=a+bi]与平面向量[OZ]是一一对应的.实数可用实轴上的点表示，虚数只能用实轴外的点表示，纯虚数用虚轴上除原点外的点表示.相反复数的对应点关于原点对称，共轭复数的对应点关于实轴对称.

2. 运算考查重基础、重综合

近年来复数的四则运算命题注重基本运算与基本概念综合，在考查基本运算能力的同时考查复数概念的理解水平.四则运算的考查特别注重复数乘法和除法法则以及方程思想.

例5 设复数[z1=1-i]，[z2=3+i]，其中[i]为虚数单位，则[z1z2]的虚部为 （ ）

A. [1+34i] B. [1+34]

C. [3-14i] D. [3-14]

解析 因为[z1z2=1+i3+i=（1+i）（3-i）3+1=3+14+3-14i，]所以[z1z2]的虚部为[3-14].

答案 D

点拨 复数的乘除运算要注意复数乘法法则和除法法则的不同之处，特别是除法法则的分子.复数的实部与虚部都是实数，特别是复数[z=a+bi]的虚部是[b]而不是[bi].

nlc202309032007

3. 与其它知识交汇考查重创新

例6 已知集合[M={1，2，zi}]，[i]为虚数单位，[N={3，4}]，[M?N={4}]，则复数[z]= （ ）

A. [-2i] B. [2i]

C. [-4i] D. [4i]

解析 由[M?N={4}]得[zi=4]，所以[z=-4i].

答案 C

点拨 本题考查集合的运算、复数的运算，由于在未引入复数之前，学生所见的数集都是实数集，因此此题命题有一定的创新，但新而不难，属容易题.对于含虚数的数集运算，本质上与实数集的运算没有区别，还是依据集合运算定义来解题.

例7 设[a，b∈R]，[i]是虚数单位，则“[ab=0]”是“复数[a+bi]为纯虚数”的 （ ）

A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

解析 法一：因为[a+bi=a-bi]，[a，b∈R]，所以复数[a+bi]为纯虚数的充分必要条件是[a=0]且[b≠0]，由[ab=0]得[a=0]或[b=0]，所以“[ab=0]”是“复数[a+bi]为纯虚数”的必要不充分条件，选B.

法二：若[a=b=0]，则[a+bi=0]，排除A，C项；若[a=0，b=1]，则[a+bi]为纯虚数，排除D项.

答案 B

例8 设[a]是实数，若复数[a1-i+1-i52]（[i]为虚数单位）在复平面内对应的点在曲线[x2+y2=1]上，则[a]的值为 （ ）

A. 1 B. 2

C. [±1] D. [±2]

解析 因为[a1-i+1-i52=a（1+i）2+1-i2=a+12+][a-12i]，所以[（a+12）2+（a-12）2=1]，解得[a=±1].

答案 C

点拨 本题是在复数的几何意义和曲线方程的交汇处设计，考查复数运算及几何表示、曲线与方程关系，属容易题.复数共有三种表示代数表示、几何表示和向量表示，几何表示、向量表示提供了复数与解析几何、复数与平面向量融合的依据，因此复数在解析几何、平面向量中有足够的展示舞台.

例9 设复数[x=2i1-i]（[i]是虚数单位），则[C12013x+C22013x2]

[+C32013x3+…+C20132013x2013=] （ ）

A. [i] B. [-i]

C. [-1+i] D. [1+i]

解析 ∵[x=2i1-i=i（1+i）=-1+i]，

∴[C12013x+C22013x2+C32013x3+…+C20132013x2013]

[=（1+x）2013-1=][i2013-1=i-1].

答案 C

点拨 课本上的二项式定理，是指在实数集内的二项展开问题.但引入复数后，它的适用范围可以扩大到复数集. 本题易错点是对二项式展开式的项数出现记忆错误.从上可得知，复数也可以作为数学中的活跃元素，自然地加入到其它知识之中，这就给复数考题的命制提供了更大的空间，但由于高考对这部分内容的要求不高，所以创新题不会太难.

备考指南

数系的扩充与复数的引入是高考必考的内容，在复习备考过程中，一定要认真研读考试大纲和考试说明，把握复习的度.不可穿新鞋走老路，拔高高考要求，补充特殊复数的运算性质、复数模的运算性质、复数的三角形式、实系数一元高次方程，加大学生的课业负担，劳而无功.

复习的重心应放在复数相等的充要条件和复数的四则运算上，其中特别要注意近几年的热点问题，也就是在复数的基本概念、几何意义与复数的四则运算相互交织的问题，应加强这方面的训练. 另外还要注意高考的冷点，近几年的湖北卷一直没有考查共轭虚数、复数的模和复数的加法、减法的几何意义，有可能在今后的高考中出现，所以在备考中要覆盖这些知识点.

限时训练

1. 若复数[z]满足[iz=2+4i]，则在复平面内，[z]对应的点的坐标是 （ ）

A. [（2，4）] B. [（2，-4）]

C. [（4，-2）] D. [（4，2）]

2. 已知[i]为虚数单位， 则复数[i2-i]的模等于 （ ）

A.[5] B.[3]

C.[33] D.[55]

3. 在复平面内，复数[z]（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于 （ ）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

4. 若复数[z]满足[（3-4i）z=|4+3i|]，则[z]的虚部为 （ ）

A. [-4] B. [-45]

C. 4 D. [45]

5. [i]为虚数单位，则[（1+i1-i）2013]= （ ）

A. [-i] B. -1

C. [i] D. 1

6. 设[i]为虚数单位，若复数[z=m2+2m-3+m-1i]是纯虚数，则实数[m=] （ ）

A. [-3] B. [-3]或[1]

C. [3]或[-1] D. [1]

7. 若[z∈C]且[|z|=1]，则[|z-2-2i|]的最小值是 （ ）

A. [22] B. [22+1]

C. [22-1] D. [2]

8. 已知复数[z1=m+2i，z2=3-4i]，若[z1z2]为实数，则实数m的值为 （ ）

nlc202309032007

A. [83] B. [32]

C. [-83] D. [-32]

9. 设[z1，z2]是复数，则下列命题中的假命题是 （ ）

A. 若[z1-z2=0]，则[z1=z2]

B. 若[z1=z2]，则[z1=z2]

C. 若[z1=z2]，则[z1?z1=z2?z2]

D. 若[z1=z2]，则[z12=z22]

10. 设复数[z=（1-i）n]，其中[i]为虚数单位，[n∈N*].若[z∈R]，则n的最小值为 （ ）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

11. 已知复数[z1]满足[（z1-z2）（1+i）=1-i，]复数[z2]的虚部为2，且[z1?z2]是实数，则[z2]等于______.

12. 已知[a，b∈R]，[i]是虚数单位.若[（a+i）（1+i）=bi]， 则[a+bi]= .

13. 在复平面内，[O]是原点，[OA]，[OC]，[AB]表示的复数分别为[-2+i，][3+2i，1+5i]那么[BC]表示的复数为 .

14. 若[z=2]且[z+i=z-1]，则复数[z]=________.

15. 已知复数[z=（2m2+3m-2）+（m2+m-2）i][（m∈R）]根据下列条件，求[m]的值.

（1）[z]是实数； （2）[z]是虚数；

（3）[z]是纯虚数； （4）[z=0].

16.已知复数[z1=3a+2+（a2-3）i，z2=2+（3a+1）i][（a∈R，i是虚数单位）].

（1）若复数[z1-z2]在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；

（2）若虚数z1是实系数一元二次方程[x2-6x+m=0]的根，求实数m值.

17. （1）把复数[z]的共轭复数记作[z]，已知[（1+2i）z=4+3i]，求[z]及[zz].

（2）求虚数[z]，使[z+9z∈R]，且[z-3=3].

18. 设[z]是虚数，[ω=z+1z]是实数，且[-1<ω<2].

（1）设[u=1-z1+z]，求证：[u]是纯虚数.

（2）求[ω-u2]的最小值.