1.5.3《定积分的概念》教案(新人教A版选修2-2)

1.5.3《定积分的概念》教案(新人教A版选修2-2)（共3篇）

1.1.5.3《定积分的概念》教案(新人教A版选修2-2) 篇一

精品教学网 .net 第五章 定积分的概念

教学目的与要求：

1． 解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。

2． 解广义积分的概念并会计算广义积分。

3．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。

5.1定积分概念 一． 定积分的定义

不考虑上述二例的几何意义，下面从数学的角度来定义定积分 定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点，把区间[a,b]分成n个小区间，记xixixi1,i1,2,......n,max{x1,x2,......,xn}在[xi1,xi]上任意取一点i，作和式：

1)f()x.......(iii1n如果无论[a,b]作怎样分割，也无论i在[xi1,xi]怎样选取，只要0有f(i)xiI（I为一个确定的常数），则称极限I是i1nf(x)在[a,b]上的定积分，简称积分，记做

baf(x)dx即I=f(x)dx其

ab

第-35 –页 精品教学网 .net 中f(x)为被积函数，f(x)dx为积分表达式，a为积分下限，b为积分上限，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间。注

1． 定积分还可以用语言定义 2由此定义，以上二例的结果可以表示为A=

baf(x)dx和S=v(t)dt

T1T23有定义知道ba与函数f(x)以及区间[a,b]f(x)dx表示一个具体的书，有关，而与积分变量x无关，即

baf(x)dx=f(u)du=f(t)dt

aabb4定义中的0不能用n代替

n5如果Lim0f()x存在，则它就是f(x)在[a,b]上的定积分，那iii1么f(x)必须在[a,b]上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？

经典反例：f(x)1]中的有理点1,x为[0，在[0，1]上不可积。

1]中的无理点0，x为[0，可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。以下给出两个充分条件。

定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3 设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

6几何意义

第-36 –页 精品教学网 .net 当f(x)0时，baf(x)dx表示曲边梯形的面积；当f(x) 0时，baf(x)dx表示曲边梯形的面积的负值；一般地，若f(x)在[a,b]上有正有负，则0baf(x)dx表示曲边梯形面积的代数和。

[例1]计算1exdx

解：显然f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积，现将[0，1]分成n个等分，分点为xi取ixi作和式：

ni,i0,1,2,.....n，xi1/n，1/nnLim0i1111e[(e)n1]f(i)xiLimeLimeLime1100n0nni1i1en1nninin1n1n所以：10exdx=e-1 7．按照定义

5．2定积分的性质积分中值定理 有定积分的定义知，baf(x)dx是当ab时无意义，但为了计算及应用的方便，特作两个规定： 1． a=b时，2． a>b时，babf(x)dx=0 f(x)dx=-f(x)dx

baa 性质1：和差的定积分等于它的定积分的和差，即

ba[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx

aabb

性质2：常数因子可以外提（可以推广到n个）

第-37 –页 精品教学网 .net bakf(x)dxkf(x)dx

ab性质3：无论a,b,c的位置如何，有

baf(x)dxf(x)dxf(x)dx

accb性质4：f(x)1则baf(x)dxba

性质5：若f(x)g(x)则性质6：baf(x)dxg(x)dx,ab

abbaf(x)dxf(x)dx

ab性质7：设在a,b，mfxM，则

bmbaafxdxMba

性质8：（积分中值定理）若f(x)在[a,b]上连续，则[a,b]上至少存 一点，使下式成立，例1．利用定积分几何意义，求定积分值上式表示介于x面积

例

2、（估计积分值）证明 2103 证： baf(x)dx(ba)f()

011x2dx

4之间0, x1, y0, y1x2dx2xx21 29912xxx在0,1 上最大值为，最小值为2

44222∴ 212xx231 第-38 –页 精品教学网 .net ∴ 230112xx21 25．3定积分的计算方法 一．变上限积分函数的导数

设函数f(x)在[a,b]上连续，x为[a,b]上任一点，显然，f(x)在[a,b]上连续，从而可积，定积分为

xaf(x)dx由于积分变量与积分上限相同，为防止混淆，修改为(x)变上限积分的函数。

xaf(t)dt（ab）称(x)是定理1：设f(x)在[a,b]上连续，则(x)导，且导数为(x)证明省略

xaf(t)dt在[a,b]上可

dx(f(t)dt)f(x)dxa定理2：如果函数f(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数(x)f(t)dt是f(x)在[a,b]上的一个原函数。

ax注意：

1定理说明了连续函数的原函数一定存在 2此定理指出了定积分与原函数的关系

二、基本定理 牛顿—莱伯尼兹公式

定理 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则

。(1)证 已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数

第-39 –页 精品教学网 .net

也是f(x)的一个原函数。于是这两个原函数之差为某个常数，即

。(2)在上式中令x = a，得。又由的定义式及上节定积分的补充规定知，因此，C = F(a)。以F(a)代入(2)式中的C，以代入(2)式中的，可得，在上式中令x = b，就得到所要证明的公式(1)。由积分性质知，(1)式对a>b的情形同样成立。为方便起见，以后把F(b)– F(a)记成。

公式(1)叫做牛顿(Newton)-莱步尼兹(Leibniz)公式，它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法，也称为微积分基本公式。

例1 计算定积分。

解。

例2 计算。

解。

第-40 –页 精品教学网 .net 例3 计算。

解。

例4 计算正弦曲线y = sinx在[0, ]上与x轴所围成的平面图形的面积。

解。

例5 求

解 易知这是一个型的未定式，我们利用洛必达法则来计算。

因此。

第-41 –页 精品教学网 .net 例

6、limcosxx01tlntdtx4limcosxlncosxsinx 3x04x1sinxlncosx limcosxlimlim2x0x0x04xx

11sinx limx042xcosx85．4定积分的换元法

定理：设（1）f(x)在[a,b]上连续，（2）函数x(t)在[.]上严格单调，且有连续导数，（3）t时，a(t)b 且()a,()b则有换元公式：

baf(x)dxf((t))(t)dt…….(1)注

1． 用换元法时，当用x(t)将积分变量x换成t求出原函数后，t不用回代，只要积分上下限作相应的变化即可。2． x(t)必须严格单调 3． 可以大于

4． 从左往右看，是不定积分的第二换元法；从右往左看，可以认为是第一换元法。

例

1、02x22xx2dx02x21-(x1)2dx

法一

设 x-1sin t

第-42 –页 精品教学网 .net π2π2π(1sin t)2322cos t dt20(1sint)dtπ cost2 设 法二 x2sin2t

π20原式

8 例2．设fsin4 t dt83！π3π 4！22x在,Fxx0上连续，且

x2tftdt, 证明：若f(x)为偶函数，则F(x)也是偶函数。证：

Fxx0x2tftdttux2uftdtx0

x0x2tftdt

Fx

例3． 奇偶函数在对称区间积分性质，周期函数积分性质(1)fx在[-a,a]连续，a0 x为偶数，则-axaTa当f当f(2)af(x)dx20f(x)dxaa

为奇函数，则

T-af(x)dx0

f(x)dx0f(x)dx，fx以T为周期

说明在任何长度为T的区间上的积分值是相等的。

第-43 –页 精品教学网 .net 例

4、-11x(1x2001)(ex-e-x)dx4 e原式 2011x(ex-e-x)dx

x-x

2xd(e-e)

0

2x(exex)10

例

5、4 eπcos xcos x2dxdx π222cosx2sinx1sinx2π200π 1dsin x2arctansinx21sinxπ20π 2 例

6、设f解： 设x为连续函数，且f(x)sinxπ0π0f(x)dx 求fx

则fxsinxA f(x)dxA

两边积分

 π0f(x)dx(sinxA)dx

0πAcosx0Ax0

Aππ2 1π

第-44 –页 精品教学网 .net ∴ f(x)sinx2 1π5.5定积分的分部积分法

定理：若u(x),v(x)在[a,b]上有连续导数，则

bauvdxuv|bauvdx

ab证明：因为(uv)uvuv，则有uv(uv)uv，两边取定积分。有babuvdxuv|bauvdx也可以写成：udvuv|avdu

aaabbb例1．解：10xexdx

110010xxexdxxdexxex|10edxe(e1)1 e例2．解：sin(lnx)dx

1ee1esin(lnx)dxxsin(lnx)|xdsin(lnx)esin1xcos(lnx)dx1111xee1e=esin1cos(lnx)dxesin1xcos(lnx)|1xsin(lnx)dx

11xe=esin1ecos11esin(lnx)dx

1e1=[esin1ecos11] sin(lnx)dx12例

3、设 fx1xln tdt1tx0，1求fxf

x1x1ln tlnt解：fxfdt1xdt 11t1tx

第-45 –页 精品教学网 .net

1lnx1 x2 1x11xxln例4． 设f(x)在[a,b]连

(a,b)可导，且f(x)0，F(x)x1f(t)dt证明在(a,b)内，有F(x)0 axa证：F(x)(xa)f(x)af(t)dt(xa)2x

(xa)f(x)(xa)f()(xa)2xaaxb

f(x)f()

f(x)0f(x)在(a,b)单调减，x

f()f(x)故 F(x)0

5．6定积分的近似计算 5．7广义积分 一 无穷限的广义积分

定义1 设函数f(x)在区间[a , +)上连续，取b>a，若极限

存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a , +)上的广义积分，记作，即

(1)。

第-46 –页 精品教学网 .net 这时也称广义积分分发散。

收敛；若上述极限不存在，称为广义积类似地，若极限存在，则称广义积分收敛。

设函数f(x)在区间(- ,+)上连续，如果广义积分和都收敛，则称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间(-, +)上的广义积分，记作收敛；否则就称广义积分，也称广义积分发散。

上述广义积分统称为无穷限的广义积分。

例1：计算广义积分0arctgxdx 1x2解：0barctgxarctgx122bdx=limdxlim[arctgx]|0

b01x2b21x28例2．计算广义积分sinxdx以及0sinxdx

解： 0sinxdxcosx|0(1limcosa)显然发散

a同理sinxdxsinxdxsinxdx也发散

00例3： 证明广义积分证 当p = 1时，(a>0)当p>1时收敛，当p 1时发散。

第-47 –页 精品教学网 .net , 当p1时，因此，当p > 1时，这广义积分收敛，其值为广义积分发散。

二．无界函数的广义积分

；当p1时，这现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形。

定义2 设函数f(x)在(a,b]上连续，而在点a的右领域内无界，取，如果极限(a,b]上的广义积分，仍然记作收敛。

类似地，设函数f(x)在[a,b]上除点c(a

与

都收敛，则定义

存在，则称此极限为函数f(x)在，这时也称广义积分；

(2)否则，就称广义积分发散。

第-48 –页 精品教学网 .net 例1 证明广义积分证 当q = 1时，当q < 1时收敛，当q  1时发散。，当q 1时，因此，当q < 1时，这广义积分收敛，其值为这广义积分发散。

；当q 1时，例2．计算广义积分4dx4x0

解：4dx4x0lim4dx4x004lim(24x)|0lim[224]400例3：广义积分可以相互转化

sin1x201xdx1sintdt

第-49 –页

2.1.5.3《定积分的概念》教案(新人教A版选修2-2) 篇二

1.2

第1课时

几个常用的函数的导数

一、选择题

1．下列结论不正确的是()

A．若y＝0，则y′＝0

B．若y＝5x，则y′＝5

C．若y＝x－1，则y′＝－x－2

[答案]　D

2．若函数f(x)＝，则f′(1)等于()

A．0

B．－

C．2

D.[答案]　D

[解析]　f′(x)＝()′＝，所以f′(1)＝＝，故应选D.3．抛物线y＝x2在点(2,1)处的切线方程是()

A．x－y－1＝0

B．x＋y－3＝0

C．x－y＋1＝0

D．x＋y－1＝0

[答案]　A

[解析]　∵f(x)＝x2，∴f′(2)＝li

＝li

＝1.∴切线方程为y－1＝x－2.即x－y－1＝0.4．已知f(x)＝x3，则f′(2)＝()

A．0

B．3x2

C．8

D．12

[答案]　D

[解析]　f′(2)＝

＝

＝

(6Δx＋12)＝12，故选D.5．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－2，则α的值等于()

A．2

B．－2

C．3

D．－3

[答案]　A

[解析]　若α＝2，则f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A.6．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于()

A．1

B．2

C．3

D．4

[答案]　D

[解析]　∵y＝x3＋x2－x－1

∴＝

＝4＋4Δx＋(Δx)2，∴y′|x＝1＝li

＝li[4＋4·Δx＋(Δx)2]＝4.故应选D.7．曲线y＝x2在点P处切线斜率为k，当k＝2时的P点坐标为()

A．(－2，－8)

B．(－1，－1)

C．(1,1)

D.[答案]　C

[解析]　设点P的坐标为(x0，y0)，∵y＝x2，∴y′＝2x.∴k＝＝2x0＝2，∴x0＝1，∴y0＝x＝1，即P(1,1)，故应选C.8．已知f(x)＝f′(1)x2，则f′(0)等于()

A．0

B．1

C．2

D．3

[答案]　A

[解析]　∵f(x)＝f′(1)x2，∴f′(x)＝2f′(1)x，∴f′(0)＝2f′(1)×0＝0.故应选A.9．曲线y＝上的点P(0,0)的切线方程为()

A．y＝－x

B．x＝0

C．y＝0

D．不存在[答案]　B

[解析]　∵y＝

∴Δy＝－

＝

＝

∴＝

∴曲线在P(0,0)处切线的斜率不存在，∴切线方程为x＝0.10．质点作直线运动的方程是s＝，则质点在t＝3时的速度是()

A.B.C.D.[答案]　A

[解析]　Δs＝－＝

＝

＝

∴li

＝＝，∴s′(3)＝

.故应选A.二、填空题

11．若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为________．

[答案]　某物体做瞬时速度为1的匀速运动

[解析]　由导数的物理意义可知：y′＝1可以表示某物体做瞬时速度为1的匀速运动．

12．若曲线y＝x2的某一切线与直线y＝4x＋6平行，则切点坐标是________．

[答案](2,4)

[解析]　设切点坐标为(x0，x)，因为y′＝2x，所以切线的斜率k＝2x0，又切线与y＝4x＋6平行，所以2x0＝4，解得x0＝2，故切点为(2,4)．

13．过抛物线y＝x2上点A的切线的斜率为______________．

[答案]

[解析]　∵y＝x2，∴y′＝x

∴k＝×2＝.14．(2010·江苏，8)函数y＝x2(x>0)的图像在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．

[答案]　21

[解析]　∵y′＝2x，∴过点(ak，a)的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)，又该切线与x轴的交点为(ak＋1,0)，所以ak＋1＝ak，即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.三、解答题

15．过点P(－2,0)作曲线y＝的切线，求切线方程．

[解析]　因为点P不在曲线y＝上，故设切点为Q(x0，)，∵y′＝，∴过点Q的切线斜率为：＝，∴x0＝2，∴切线方程为：y－＝(x－2)，即：x－2y＋2＝0.16．质点的运动方程为s＝，求质点在第几秒的速度为－.[解析]　∵s＝，∴Δs＝－

＝＝

∴li

＝＝－.∴－＝－，∴t＝4.即质点在第4秒的速度为－.17．已知曲线y＝.(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；

(2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程；

(3)求满足斜率为－的曲线的切线方程．

[解析]　∵y＝，∴y′＝－.(1)显然P(1,1)是曲线上的点．所以P为切点，所求切线斜率为函数y＝在P(1,1)点导数．

即k＝f′(1)＝－1.所以曲线在P(1,1)处的切线方程为

y－1＝－(x－1)，即为y＝－x＋2.(2)显然Q(1,0)不在曲线y＝上．

则可设过该点的切线的切点为A，那么该切线斜率为k＝f′(a)＝.则切线方程为y－＝－(x－a)．①

将Q(1,0)坐标代入方程：0－＝(1－a)．

解得a＝，代回方程①整理可得：

切线方程为y＝－4x＋4.(3)设切点坐标为A，则切线斜率为k＝－＝－，解得a＝±，那么A，A′.代入点斜式方程得y－＝－(x－)或y＋＝－(x＋)．整理得切线方程为y＝－x＋或y＝－x－.18．求曲线y＝与y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积．

[解析]　两曲线方程联立得解得.∴y′＝－，∴k1＝－1，k2＝2x|x＝1＝2，∴两切线方程为x＋y－2＝0,2x－y－1＝0，所围成的图形如上图所示．

3.1.5.3《定积分的概念》教案(新人教A版选修2-2) 篇三

人教A版必修1

教学目标：

1．理解向量数乘的含义及向量数乘的运算律；

2．培养学生在学习向量数乘的过程中能够相互合作,在不断探求新知识中,培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.教学重点：

向量数乘的定义及几何意义.教学难点：

向量数乘的几何意义的理解.教学方法：

问题探究学习.教学过程：

一、情境引入

一条细绳横贯东西，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，若蚂蚁从O点向东方向一秒钟的位移对应的向量为a.a O A

二、学生活动

问题1 在图中作出同一方向上3秒钟的位移对应的向量，你能式子表示吗？ 问题2 学生讨论3a是何种运算？3a是数量还是向量？（初步理解数与向量积的定义）

问题3 蚂蚁向西3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？那a的大小和方向又如何确定？（学生继续探求向量数乘的含义，并能结合图形来继续对数乘进行探究）

三、建构数学 1．表述给出实数与向量的积的定义：

一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下：（1）|a||||a|；

（2）当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当a＝0时，a＝0；当0 时，a＝0．

实数与向量a相乘，叫做向量的数乘.向量的加法、减法、数乘向量的综合运算叫向量的线性运算.2．对向量数乘理解的深入.问题4 当0 时，a＝0；若a＝0，0会有a＝0吗？

问题5 实数有哪些运算律？能不能结合实数的运算律去探求向量数乘的运算律.（当给出几个实数的运算律之后，可以类比到向量进行以下运算律的验证）.（1）(a）＝()a；

（2）()a= a+a；

（3）（a＋b）＝a＋b ．

四、数学运用 1.例题．

例1 已知向量a和向量b，求作向量-2.5a和向量2a-3b.a b

例2 计算：

（1）3(a-b)-2(a+2b)；

（2）2(2a+6b-3c)-3(-3a+4b-2c).课本思考：向量数乘与实数数乘有哪些相同点和不同点？ 2.练习．（1）计算：

①3(-4a＋5b)；② 6(2a-4b)-(3a-2b).（2）如图，已知向量a，b，求作向量： ①-2a； ②-a＋b；

a

b ③2a-b.（3）已知向量a=e1+2e2，b=3e1-5e2，求4a-3b（用e1，e2表示）.（4）已知OA和OB是不共线的向量，APtABtR,试用OA和OB表示OP.1（5）已知非零向量a，求向量a的模.|a|