初三数学等腰三角形

初三数学等腰三角形（精选9篇）

1.初三数学等腰三角形 篇一

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等腰三角形

（一）教学目标：

1．等腰三角形的概念.2．等腰三角形的性质.3．等腰三角形的概念及性质的应用． 教学重点

1．等腰三角形的概念及性质．

2．等腰三角形性质的应用． 教学难点

等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用． 教具准备：圆规、三角尺、教学过程

一．提出问题，创设情境

1.①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？

2.满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形． 二．导入新课

1.同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形．

AABI

BIC

作一条直线L，在L上取点A，在L外取点B，作出点B关于直线L的对称点C，连结AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形．

思考：

(1)．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．

(2)．等腰三角形的两底角有什么关系？

(3)．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？

(4)．底边上中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？•底边上的高所在的直线呢？

2.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．

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(它的两个底角有什么关系？)

3.等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．(这个结论由学生共同探究得出的)等腰三角形的性质：

1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．

2．等腰△的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．

4.[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．

AB三．随堂练习

课本P51练习1、2、3． 四．课时小结

DC

这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．

我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们． 五．课后作业

课本P56习题12．3 1、3、4、题．

等腰三角形

（二）教学目标

探索等腰三角形的判定定理，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念． 教学重点：

等腰三角形的判定定理及其应用．探索等腰三角形的判定定理． 教学难点：

等腰三角形的判定定理及其应用． 教学过程

一．提出问题，创设情境

1.等腰三角形有些什么性质呢？

2.满足了什么样的条件就能说一个三角形是等腰三角形呢？

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中考网 二．导入新课

1.思考：如图，位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，•能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？

0AB

2.在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？

[例1]已知：在△ABC中，∠B=∠C（如图）． 求证：AB=AC．

证明：作∠BAC的平分线AD．

在△BAD和△CAD中

12,

BC,ADAD,A12BDCAB=AC．

∴△BAD≌△CAD（AAS）． ∴3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角 所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．

4.[例2]求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么 这个三角形是等腰三角形．

已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC（如图）． 求证：AB=AC．

证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．

又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角对练习：已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC． 求证：

证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）．

又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD（等角对等边）．

BCADBCA12ED等边）． AB=AD．

[例3]如图（1），标杆AB的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C•向地面上与点B距离相等的D、E两点拉两条绳子，使得D、B、E在一条直线上，量得DE=4米，•绳子CD和CE要多长？

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ACMCDDB(1)EBN(2)E

分析：这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模型．本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高，求腰长的问题． 三．随堂练习

课本P51 1、2、3． 四．课时小结

本节课我们主要探究了等腰三角形判定定理，•在利用定理的过程中体会定理的重要性．在直观的探索和抽象的证明中发现和养成一定的逻辑推理能力． 五．课后作业

课本P56-57 2、4、5、9题．

等腰三角形（练习课）

教学目的：

1．使学生进一步熟练理解和掌握等腰三角形的概念及性质、判定定理及的应用． 2．能灵活地运用等腰三角形的知识解决问题.教学重点：

能灵活地运用等腰三角形的知识解决问题。教学难点：

能灵活地运用等腰三角形的知识解决问题。教具准备：三角板、小黑板 教学过程：

一、复习知识要点

1．有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．

不等边三角形

2．三角形按边分类：三角形底边和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形等边三角形(正三角形)

3．等腰三角形是轴对称图形，其性质是：

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）

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性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．

4．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．

二、例题

例：如图，五边形ABCDE中AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，点F是CD的中点．•求证：AF⊥CD.分析：要证明AF⊥CD，而点F是CD的中点，联想到这是等腰三角形特有的性质，•于是连接AC、AD，证明AC=AD，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论．

证明：连接AC、AD 在△ABC和△AED中

ABAE(已知)ABCAED(已知)BCED(已知)∴△ABC≌△AED（SAD）

∴AC=AD（全等三角形的对应边相等）

又∵△ACD中AF是CD边的中线（已知）

ABECFD

∴AF⊥CD（等腰三角形底边上的高和底边上的中线互相重合）

三、练习

（一）、选择题

1．等腰三角形的对称轴是（）

A．顶角的平分线

B．底边上的高

C．底边上的中线

D．底边上的高所在的直线

2．等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（）

A．17cm

B．22cm

C．17cm或22cm

D．18cm 3．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（）

A．40°

B．50°

C．60°

D．30° 4．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（）

A．100°

B．100°或40°

C．40°

D．80°

5．如图1，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°，则∠GEF的度数是（）

A．80°

B．90°

C．100°

D．108°

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如图1

答案:

BDC1．D 2．B 3．A 4．C 5．B

如图2

（二）、填空题

6．等腰△ABC的底角是60°，则顶角是________度． 7．等腰三角形“三线合一”是指___________．

8．等腰三角形的顶角是n°，则两个底角的角平分线所夹的钝角是_________．

9．如图2，△ABC中AB=AC，EB=BD=DC=CF，∠A=40°，则∠EDF•的度数是_____． 10．△ABC中，AB=AC．点D在BC边上

（1）∵AD平分∠BAC，∴_______=________；________⊥_________；

（2）∵AD是中线，∴∠________=∠________；________⊥________；

（3）∵AD⊥BC，∴∠________=∠_______；_______=_______． 11．△ABC中，∠A=65°，∠B=50°，则AB：BC=_________．

12．已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，要使AD•∥BC，•则△ABC•的边一定满足________． 13．△ABC中，∠C=∠B，D、E分别是AB、AC上的点，•AE=•2cm，•且DE•∥BC，•则AD=________． 答案:

6．60

7．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合 8．（90+ 1n）°

9．70°

10．略

11．1

12．AB=AC

13．2cm

14．30海里 21AB，你知道∠ACB的度数是多少吗？由

2（三）、解答题

15．如图，CD是△ABC的中线，且CD= 此你能得到一个什么结论？请叙述出来与你的同伴交流．

ADCB

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DBEA答案:

FC

15．∠ACB=90°．结论：若一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形

16．连接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB．∵CB=CD，∴∠CBD=∠CDB． ∴∠ABC=∠ADC 17．证明∠D=∠BED

等边三角形

（一）教学目标

经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程． 教学重点：

等边三角形判定定理的发现与证明． 教学难点：

引导学生全面、周到地思考问题． 教具准备：圆规、三角尺、教学过程

一．提出问题，创设情境

1．把等腰三角形的性质用到等边三角形，能得到什么结论？

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2．一个三角形满足什么条件就是等边三角形？

3．你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？•你能证明你的结论吗？把你的证明思路与同伴交流．

二．导入新课

1.探索等腰三角形成等边三角形的条件．

如果等腰三角形的顶角是60°，那么这个三角形是等边三角形．你能给大家陈述一下理由吗？

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

2．你在与同伴的交流过程中，发现了什么或受到了何种启示？

今天，我们探索、发现并证明了等边三角形的判定定理；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，我们在证明这个定理的过程中，还得出了三角形为等边三角形的条件，是什么呢？

[生]三个角都相等的三角形是等边三角形．

[师]下面就请同学们来证明这个结论．

已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C．

求证：△ABC是等边三角形．

证明：∵∠A=∠B，∴BC=AC（等角对等边）．

又∵∠A=∠C，∴BC=AC（等角对等边）．

∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形．

等腰三角形的性质和判定方法就可以得到：

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；

三个角都相等的三角形是等边三角形．

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

3．讲解P51例4 三．随堂练习

课本P54 练习1、2．

四．课时小结

这节课，我们自主探索、思考了等腰三角形成为等边三角形的条件，•并对这个结论的证明有意识地渗透分类讨论的思想方法．这节课我们学的定理非常重要，在我们今后的学习中起着非常重要的作用．

五．课后作业

课本课本P56-57 5、6、7、10题．

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ABC

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中考网 等边三角形

（二）教学目标

1．探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质．

2．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用． 教学重点：含30°角的直角三角形性质定理发现与证明．

教学难点：含30°角的直角三角形性质定理发现与证明．引导学生全面、周到地思考问题． 教具准备：圆规、三角尺、教学过程

一．提出问题，创设情境

1.用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？•能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．

2.由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？ 二．导入新课

1.用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．

AABD(1)CB

D(2)C

其中，图（1）是等边三角形，因为△ABD≌△ACD，所以AB=AC，又因为Rt△ABD中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

图（1）中，已经知道它是等边三角形，所以AB=BC=AC．•而∠ADB=90°，即AD⊥BC．根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=DC=所对的边BD是斜边AB的一半．

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，•那么它所对的直角边等于斜边的一半．

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=

11BC．所以BD=AB，即在Rt△ABD中，∠BAD=30°，它221AB． 中考网

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AACB

BCD

分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD．

[例5]右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多长？

分析：观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB以DE=

DAECB中，由于∠A=30°，所DE=11AD，BC=AB，又由D是AB的中点，所以221AB． [例]等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高．

已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠腰AB上的高．

求：CD的长．

分析：观察图形可以发现，在Rt△ADC中，BDACABC=∠ACB=15°，CD是

AC=2a，而∠DAC是△ABC的一个外角，•则∠DAC=15°×2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，•可求出CD． 三．随堂练习

课本P56练习四．课时小结

这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含30°的直角三角形的边的关系．这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用． 五．课后作业

课本P57-58 11、12、13、14题．

等边三角形（练习课）

教学目的：

1．使学生进一步熟练理解等边三角形判定定理和性质． 2．能灵活地运用等边三角形判定定理和性质的知识解决问题.教学重点：

能灵活地运用等边三角形的知识解决问题。教学难点：

能灵活地运用等边三角形的知识解决问题。

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中考网 教具准备：三角板、小黑板

一、复习知识要点

1．三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．

2．等边三角形的性质：•等边三角形的三个内角都相等，•并且每一个内角都等于60°

3．等边三角形的判定方法：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．

4．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

二、练习

（一）、选择题

1．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（）

A．60°

B．90°

C．120°

D．150°

2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；•③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；•④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）

A．①②③

B．①②④

C．①③

D．①②③④

3．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF•的形状是（）

A．等边三角形

B．腰和底边不相等的等腰三角形

C．直角三角形

D．不等边三角形

AFDBEC

4．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（）

A．2cm

B．4cm

C．8cm

D．16cm 5．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准备的判断是（）

A．等腰三角形

B．等边三角形

C．不等边三角形

D．不能确定形状 答案：

AE1D2BC

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（二）、填空题

6．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=_______．

7．已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=______． 8．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________．

9．△ABC中，∠B=∠C=15°，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，•则CD•的长度是_______． 答案：

6．60°

7．60°8．三；三边的垂直平分线

9．1cm

（三）、解答题

10．已知D、E分别是等边△ABC中AB、AC上的点，且AE=BD，求BE与CD•的夹角是多少度？

11．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC•于点D，•求证：•BC=3AD.ABDC

12．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE•都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，①求证：△BCE≌△ACD； ②求证：CF=CH；

③判断△CFH•的形状并说明理由．

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AEFB

13．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度数．（提示：连接CE）

HCD

ADEB答案：

10．60°或120°

11．∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∴在Rt△ADC中CD=•2AD，•

∵∠BAC=120°，∴∠BAD=120°-90°=30°，∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∴BC=3AD 12．①∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCE=∠ACD． 又∵BC=AC，CE=CD，∴△BCE≌△ACD； ②证明△BCF≌△ACH； ③△CFH是等边三角形．

13．连接CE，先证明△BCE≌△ACE得到∠BCE=∠ACE=30°，再证明△BDE•≌△BCE得到∠BDE=∠BCE=30°

C

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2.初三数学等腰三角形 篇二

一、全等三角形的构造

在初中的几何证明题中,有时题目给出的图形是没有现成的全等三角形,需要学生自己想办法去构造。那么问题来了,如何构造全等三角形呢?构造全等三角形,从大方向来说主要有2种方法:旋转法和作辅助线法。作辅助线一般都是指中线、角平分线、三角形的高、平行线等等。

1.旋转法构造全等三角形

旋转法构造全等三角形通常是通过旋转对应线段或者旋转等腰三角形的顶角来得到。

旋转等腰三角形的顶角一定角度,得到全等的三角形也是跟旋转三角形对应线段所用的思想是一样的。

2.作辅助线构造全等三角形

三角形的辅助线我们一般用得较多的是中线、角平分线和三角形的高。但是通过作平行线来构造全等三角形这种方法就比较少用,下面笔者主要分析作平行线来构造全等三角形。因为只要提到线段的中点,我们很容易想到把中点和顶角连接起来;提到角度,也容易想起角平分线;提到直角三角形或者等腰三角形,会想起三角形的高。唯独平行线我们是最容易遗忘的一种辅助线。

如上图,△ABC中,∠B=∠C,D是AB上的一点,CE=BD,求证:FD=FE。仔细观察左图,并没有全等三角形,而证明两条线段相等的最常用方法为,证明这两线段所在的三角形全等。过点D作平行线DG交于BC于点G,这样在图形上就出现了一组全等三角形△DGF和△EFC,再利用题目给出的已知条件即可证明这组三角形全等,FD=FE也得以求证。为什么在这里要利用作辅助线平行线而不是其他的线呢?因为题目里面没有提到角度也没有提到重点,所以只能尝试平行线,而且平行线可以得出角度相等。

总之,发现题目给出的图形没有全等三角形,但是求证的是角度相等或者线段相等,最简单直接的方法就是构造出一组全等三角形。

二、全等三角形的判定

课本上提到了5种证明全等三角形的判断定理:(1)边角边(SAS)(2)角边角(ASA)(3)边边边(SSS)(4)角角边(AAS)(5)斜边和直角边相等的两直角三角形(HL)。在这里教师要提醒学生,在这5组判断定理中,最后一组必须要在直角三角形中才能使用,另外的4组没有限制。其中“边边边”是最容易判断的,只要证明两个三角形的三条边长度相等即可得出这两个三角形为全等三角形。

三、全等三角形的实际应用

在生活中我们发现很多东西,由于地理位置或者物体自身形状所导致部分的长度尺寸很难用测量工具去测出来。这时候利用全等三角形的概念,把实际问题转化成数学问题来解决。

例如:河流宽度的测试,容器内径的测试(如下图)

作图中,如果按照常规方法要测该池塘的长度,要在水面上测量,这样的方法是麻烦和困难的,但通过全等三角形在平地上建立模型,测量另外一条和AB相等的边的长度是比较容易,我们可以先在平地上找一点,可以直接分别达到A、B两点的C,连接AC并延长到点D,使DC=AC;连接BC并延长到点E,使BC=CE,再根据全等三角形的判断定理边角边求证△ACB≌△DCE,则得出DE=AB,直接在平地量出DE的长度即为AB的长度。容器的内径检测的工具卡钳,所用的也是全等三角形的定理,图中相交的实线即为卡钳的形状,是根据全等三角形的性质来制作的。

由此可见,学好全等三角形性质和定理,不仅是为了应付考试,更多的可以运用这个定理来解决生活中比较棘手的问题,化困难为容易。全等三角形这个概念还会促进一些生产测量用具的诞生的。数学理论和生活联系起来才是最有意义的。

摘要：全等三角形是初中数学几何图形中重要的一章,在几何证明题中也经常运用到构造全等三角形来证明线段相等或者角度相等。全等三角形的判定也是常考的知识点,它在生活中的运用也很广泛。因此,本文将从全等三角形的构造、判定以及在生活中的实际应用进行分析。

关键词：初中数学,全等三角形,构造,判定,实际应用

参考文献

[1]马亚丽.问题来了:如何构造全等三角形解题.中学生数理化,2014(12):14-15

[2]施克全.判定全等三角形的方法提炼.成才之路,2014(24):86

[3]李圣春,万春.利用全等三角形解决实际问题.初中生世界,2014(38):29-30

3.初三数学等腰三角形 篇三

【关键词】 等腰三角形；探究能力

动手探知未知问题或现象，是学生主观能动性的有效体现。学生作为具有社会性和自然性的社会存在个体，在学习新知、解答问题过程中，表现出能动的探究解答潜在情感。初中阶段，是学生学习能力和学习素养积淀和形成的关键时期和重要阶段，在学生能力素养形成中占有重要地位。新实施的初中数学课程标准也要求，应将培养学生动手探究能力贯穿在整个教学活动始终。等腰三角形是三角形的重要“构件”之一，其自身所具有的特殊属性、所蕴含的性质定理等内容，在三角形章节体系中占据重要位置。这就为学生探究能力培养提供了丰富的载体和平台。近年来，培养具有动手实践的技能型人才，已成为学科教学的重要目标和任务。

一、在创设等腰三角形问题情境中，激励学生主动动手探究

情感是学生自主学习的重要“因子”，也是学习状态持之以恒的重要“保障”。而初中生受自身心理影响，易受外界因素影响和制约，出现不愿探究的内在情感，想吃“现成饭”。学生探知新知、解答问题的过程，不是一蹴而就，而是克服内在因素和外在因素下，进行的有效活动。在等腰三角形教学中，教师应该将知识传授的过程变为学生探知新知的过程，抓住学生情感发展“敏感区”，利用教学资源网站，通过创设具有启发性的、学生感兴趣的、有助自主学习和探索的问题情境，使学生在活动丰富、思维积极的状态中进行探究学习，使学生朝着有利于知识建构的方向发展。

如在“等腰三角形的性质”一课教学时，教师采用问题情境法教学策略，激发学生探究内在情感。先引导学生进入教学网站，进入学习资源栏目，生活中的几何图形栏目，对出现的相关图片，进行观察活动，找出图片中的等腰三角形。接着要学生找出这些等腰三角形具有什么特征，自然而然进入到“等腰三角形的性质”探究中。上述教学活动中，教师从学生的生活和已有知识出发，创设情境，引导学生观察、联想，使学生感受到生活中处处有数学，并学会从数学的角度去观察事物，思考问题，激发学生对学习数学、探究数学、解答数学的兴趣和愿望。

二、在指导等腰三角形问题解答中，传授学生探究问题要领

案例：如图一所示，已知AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求证：DC⊥AC。

上述求证问题是关于等腰三角形知识内容的问题案例，出题的初衷是考查学生对“三线合一”的运用能力。因此，教师在问题解答中，将传授该类型问题解答方法，作为根本目标。在解题中，将探究问题“任务”交给学生，教师只作指导作用，向学生提出，通过该问题条件内容分析，可以看出，该问题是关于什么方面的求证题，这时，引导学生开展探究活动，学生在探究问题条件、内涵过程中，认识到，要证DC⊥AC，就是要证明∠ACD=90°，由于DA=DB，可以联想到“等腰三角形的三线合一”性质。这时，教师要求学生添加辅助线，这样，学生提出，可以采用“作DE⊥AB交点E，利用全等三角形内容”和“延长AC到F，使AF=AB，连结DF，利用三线合一性质求证”等两种方法，最后，教师进行总结，向学生指出，进行该问题类型求证时，可以采用两种方法，一是现构造直角，然后证明它等于∠ACD=90°，二是构建起“三线合一”的基本图形，证得足够条件，直接用性质证DC⊥AC。这样就为学生探究等腰三角形问题活动提供了方法支持。

三、在辨析等腰三角形问题过程中，提升学生探究实践素养

初中生学习能力水平受自身智力发展和思维实际的制约，对自身学习活动表现不能及时、全面的掌握，难免出“缺点”或不足。因此，在等腰三角形问题解答过程中，教师将评价问题解答过程作为学生探究能力培养的重要补充，要求学生对问题解答过程进行反思、评析，从而将问题评析的过程演变为反思探究活动方法及表现的过程，并实时引导学生进行总结提炼，指明解题思想，有效推进学生探究素养提升进程。

案例：如图二所示，已知△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：∠DEF=∠DFE。

教师出示学生解题过程：

证明：连结AD，∵AB=AC，D是BC的中点，

∴AD平分∠BAC

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴∠DEF=∠DFE。

此时，教师引导学生组成学习小组，开展问题解答辨析评价活动，学生在探究分析问题解答过程，结合等腰三角形的性质及定理，提出：“该问题解答中，利用了等腰三角形的性质定理和全等三角形内容，通过添加辅助线的方法，进行了问题解答。”其他学生也提出“在该问题解答中，也运用了构建法，通过构建等腰三角形，借助“三线合一”性质进行证明”。这时，教师进行课堂总结，向学生指出，该问题解答过程中，利用了构建法，借助“三线合一”性质，进行了问题的解答。在实际问题解答中，添加辅助线是经常运用的一种方法。同时，该解题过程渗透了数形结合思想，让学生对数学解题思想有初步的感知。

上述解题过程中，教师通过评析解题过程，使学生将自主反思探析融入到问题评析活动中，既得到了对问题过程的有效辨析，又促进了学生探究思维效能的有效提升。

4.初三数学等腰三角形 篇四

教学目的：会根据等腰三角形的识别与性质去解决问题，学会总结、归纳。教学重点：找出问题中的等腰三角形并运用其性质解决问题。教学难点：感悟转化、分类、由一般到具体的思想。教学过程：

问题1．如图，已知∠ABD=∠BDA=∠ADC=∠DCA=75°。请你写出由已知条件能够推出等腰三角形有______________,有关线段关系得正确结论（注意：不添加任何字母和辅助线，线段仅限于垂直、相等）。①____________②_________③___________④_____________.问题1 问题2 若把上述几个角变成60°（即∠ABD=∠BDA=∠ADC=∠DCA=60°），则等边三角形有__________；上面的4个结论还成立吗？

问题2：在直角坐标系中，点A（4，0）落在x轴上，点B落在y轴上，如果A、B、O（原点）三点构成一个等腰三角形，则点B坐标为___________.拓展：（1）问题2中的点A坐标变成（4，3），其他不变，则点B的坐标为_________；

（2）把（1）中的B点变成落在x轴上，则B点的坐标为______________。

变式：如图，直角坐标系中，已知点A（2，4），B（5，0），动点P从点B出发沿BO向终点O点运动，动点Q从A点出发沿AB向终点B运动，两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了xs。

当x为何值时，⊿APQ是一个以AP为腰的等腰三角形？

问题3：如图，⊿ABC中，AB=AC，D为底边BC上一点，E为AC上一点，且AE=AD。（1）若∠BAD=30°，∠B=65°，求∠EDC

拓展：若D变为BC上一动点，那么∠BAD和∠CDE之间的数量关系怎样？

5.初三数学等腰三角形 篇五

教学内容： 教材30 — 32页

教学目标：

1、让学生在实际操作中认识等腰三角形和等边三角形，知道等腰三角形边和角的名称，知道等腰三角形两个底角相等，等边三角形3个内角相等。

2、让学生在探索图形特征以及相关结论的活动中，进一步发展空间观念，锻炼思维能力。

3、让学生在学习活动中，进一步产生对数学的好奇心，增强动手能力和创新意识。

教学重点： 认识等腰三角形和等边三角形以及它们的特征

教学难点： 探索等腰三角形和等边三角形以及它们的特征

教学准备： 长方形、正方形纸，剪刀、尺等

教学流程：

一、复习：关于三角形，你有那些知识？

1、按角分成三种角

2、三个内角和是180度

算第三个角的度数，如果是一般三角形，那就用180去减；如果是直角三角形，那就是90去减„„

二、认识等腰三角形：

1、比较老师手边的两块三角板，他们有什么相同？（都是直角三角形）

有什么不同？（其中有一块三角板的两条边相等，两个角相等；而另一块三角板的角和边都不相同。）

2、折一折、剪一剪：

取一张长方形纸，对折；画出它的对角线，沿对角线剪开；展开

观察：这样剪出来的三角形就是我们今天要认识的等腰三角形。想一想：为什么要对折后再剪呢？（这样剪出来的两条边肯定是相等的。）

除了两条边是相等的，还有什么也是相等的？你是怎么知道的？

（还有两个角也是相等的，因为也是重合的。）

3、画一画：

讨论一下，如果我要把这个等腰三角形画下来，应该怎么画？

师生共画等腰三角形。板书：等腰三角形

4、教学各部分名称：

读“等腰三角形”，想一想，这名字是什么意思？

在图上标出：这两条相等的边，我们就叫它“腰”；这第三条边和它们是不相等的，我们叫它“底”

在底边上的这两个角是相等的，就可以共用一个名字“底角”；剩下的这个角，称之为“顶角”。

三、认识等边三角形：

1、刚才有的同学画的等腰三角形，看上去三条边都是相等的。如果真是那样，那它还有一个名字，叫“等边三角形”

2、为了确保三条边都相等，我们可以这样折：取一正方形形纸，边折边示范，并讲清楚为什么要这样折？

3、画等边三角形：很容易保证两条边相等，但保证三条边都相等有一定的困难，所以等边三角形不好画。你有什么办法？

6.初三数学等腰三角形 篇六

案例:【教学片段一】

在教学中, 教师按照教材的编写思路设计了以下几个教学层次:

(1) 创设情境:长颈鹿在房子里面, 站在哪个位置比较舒服, 出示一幅三角形“人字梁”的房子。 (生回答站在“人字梁”中间)

(2) 提问:你能量出图中“人字梁”的高度吗?量之前先说说准备从哪儿去测量?

(3) 在刚才“人字梁”测量的部位画上一条线段。得出这就是三角形的高。看书本上高的定义。

(4) 教师边讲解边示范三角形高的画法。 (过点A做边BC的垂线段)

指名演示画高, 其他同学在纸稿上画。观察并提问:在这个三角形中, 还有其他的高和底吗?

学生在三角形中画出其他的高, 并在小组里交流、讨论出三角形有三组高和底。

传统数学概念教学比较注重概念的形式, 忽视其形成过程, 重机械记忆, 轻体验, 往往造成学生对概念的内涵和外延把握不准, 对概念产生模糊的认识, 这对概念运用不利。就如上述教学片断中出示“人字梁”后, 让学生找出“人字梁”的高, 当学生说出中间那条时, 引出了三角形高的概念, 学生理解起来比较困难, 而书上要求学生画高是先指定三角形的高, 再根据指定的底画高, 增加了学生的难度。为此, 先讲出概念, 仅用练习加强记忆, 忽视概念的实质、注重结论的记忆, 仅以课本知识为导向, 割裂了系统间的概念, 不利于学生抽象思维能力的培养, 严重影响了学生的发展, 不利于学生学习能力的培养。

【教学片段二】

出示三角形图:

同学们, 今天我们着重研究三角形的边:先以BC边为研究对象, 请同学们动手画一画和BC边相交的线, 比一比, 谁画得最多。 (学生动手画)

刚才你们画的线中, 它们有什么特点?请给它们分分类。 (有垂线、斜线)

今天我们重点研究和BC边垂直的线。 (得到一个只与BC边垂直的线的图)

请你再仔细观察这些与BC边垂直的线, 它们还可以怎么分? (与BC边垂直的线有3条很特殊, 它们是过点A、点B、点C的, 得到下图)

这三条过点的垂线, 哪些是可以度量的? (过点A的垂线, 与BC交于D点, 垂线段AD是可以度量的, 过点B、点C的垂线不可以度量)

三角形除了BC边, 还有AB边、AC边是否也有这样的垂线段呢?请你用刚才我们发现BC边上的垂线段的方法, 试着验证AB边、AC边上的垂线段。 (学生动手操作, 得出AB边、AC边上的垂线段) 。

你能用自己的话说说怎样得到三角形3条边的垂线段吗? (先做边的垂线、找过点的垂线、可以度量的垂线、有3条边对应的垂线段)

这样的3条对应的垂线段, 叫做三角形的高。

上述案例中, 为了使学生顺利地获取有关概念, 提供了丰富的感性材料让学生观察, 在观察的基础上通过教师的启发引导, 对感性材料进行比较、分析、综合, 最后再抽象概括出概念的本质属性。它遵循着概念的教学步骤:材料的生成, 分类分析 (一级分析、二级分析) , 然后进行概括命名。其展开的逻辑是运用大量的材料进行教学, 材料感知→寻找相同中的不同——分类 (或者寻找不同中的相同——聚类) →归纳提炼、定义命名。

反思:概念教学, 它必须是从一个具体情境中抽象出来→然后进行辨析记忆→运用概念进行解题的过程。在小学数学教学过程中, 学生数学能力的培养、数学问题的解决, 实际上是运用概念做出判断、进行推理的过程。从认识的过程来说, 形成概念是从感性认识上升到理性认识的过程。即从个别的事例中总结出一般性的规律, 巩固概念则是识记概念和保持概念的过程, 是加深理解和灵活运用概念的过程, 即从一般到个别的过程。概念教学既要重视概念的阶段性 (关注学生现实的知识经验基础和思维能力) , 又要注意到概念发展的连续性 (关注学生的可持续性发展) , 要有计划地发展概念的含义, 按阶段发展学生的抽象概括能力。通过运用, 加深学生对概念的认识, 使学生找出概念间的纵向与横向联系, 形成系统的认识结构, 达到深化概念的目的。

7.数学思想在解三角形题中的应用 篇七

一、分类讨论思想

由于题目的约束较弱(条件趋一般)或图形位置的变化常常使同一问题具有多种形态,因而有必要全面(所有不同情况)考查才能把握问题的实质。此种情况下应当进行适当分类,就每种情形研究讨论结论的正确性。

例1.在等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分为15cm和6cm两部分，求三角形各边的长（如图1）。

分析:要注意等腰三角形有两边相等,一腰上的中线把它的腰分成的两段相等。由于问题中未指明哪一段为15cm、哪一段为6cm,故需分类讨论。

解:设腰长为x cm,底边为y cm,即AB=x,则AD=CD=■x,BC=y

⑴若x+■x=6时,则y+■x=15。

由x+■x=6得x=4。把x=4代入y+■x=15得y=13。

因为4+4<13,所以不能构成三角形。

⑵若x+■x=15时,则y+■x=6。

由x+■x=15得x=10。把x=10代入y+■x=15得y=1。

10+1>10符合题意,所以三角形三边长分别为10cm、10cm、1cm。

二、整体思想

研究某些数学问题时,往往不是以问题的某个组成部分为着眼点,而是将待解决的问题看作一个整体,通过研究问题的整体形式、整体结构作整体处理后,达到解决问题的目的。

例2.如图2,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数。

分析:观察图形可得,图由一个四边形和一个三角形构成,可根据四边形和三角形的内角和定理求度数之和。

解:因为∠A+∠C+∠E=180°,

又因为∠B+∠D+∠F+∠G=360°,

所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°。

三、方程思想

求值时，当问题不能直接求出时，一般需要设未知数后建立方程。用解方程的方法求出结果,这也是解题中常见的具有导向作用的一种思想。

例3.如图3,在△ABC中,∠B=∠C，∠1=∠2，∠BAD=40°，求∠EDC。

分析：利用三角形的外角性质，设法建立关于∠EDC的方程。

解:设∠EDC=x。

因为∠1是△DEC的外角,所以∠1=x+∠C。

又因为∠1=∠2,所以∠2=x+∠C。

又因为∠2是△ABD的外角,所以∠ADC=∠B+∠BAD。

所以∠B+∠BAD=∠2+x,即∠B+40°=∠C+2x。

因为∠B=∠C,所以2x=40°,解得x=20°。

四、转化思想

用简单、已学过的知识解决复杂、未知的知识，把复杂的问题转化为简单的问题，将陌生的问题转化为熟悉的问题来解，这种解题思想叫转化思想。

例4.如图4，求五角星各顶角之和。

分析:因为∠A、∠B、∠C、∠D、∠E较分散，本例中又不知其度数，因此，应设法将它们集中起来，将问题转化为三角形来处理。根据三角形外角性质和内角和定理可以求解。

解:因为∠1=∠C+∠E,∠2=∠B+∠D,

又因为∠1+∠2+∠A=180°,

所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。

五、数形结合思想

例5.如图5，在△ABC中,已知AD是角平分线,∠B=60°,∠C=45°,求∠ADB和∠ADC的度数。

分析:在△ABD中,∠ADB是一个内角,它等于180°-∠B-∠BAD,故求出∠BAD即可求出∠ADB的度数,这由已知条件不难求得;同理可求出∠ADC的度数。

解:在△ABC中,

因为∠B=60°,∠C=45°,∠B+∠C+∠BAC=180°,

所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-45°=75°。

又因为AD是角平分线,

所以∠BAD=∠DAC=∠BAC=37.5°。

在△ABD中,

∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-60°-37.5°=82.5°。

同理∠ADC=180°-∠C-∠DAC=180°-45°-37.5°=97.5°。

（作者单位：江西省南康市太窝中学）

8.初三数学等腰三角形 篇八

教学内容

等腰三角形的性质．

教学过程

一、导入新课

思考：我们知道，如果一个三角形中有两条边相等，那么它们所对的角相等．反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？

二、探究新知

1．等腰三角形的判定定理

让学生思考如何证明刚才的猜想，并初步作答，教师及时点评，并规范作答步骤． 证明：在△ABC中，∠B＝∠C（如图）． 作∠BAC的平分线AD． 在△BAD和△CAD中，∠1＝∠2，∠B＝∠C，AD＝AD，∴△BAD≌△CAD（AAS）． ∴AB＝AC．

由此，我们可以得到等腰三角形的判定方法：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 2．判定定理的应用

例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 已知：∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC（如图）． 求证：AB＝AC．

分析：要证明AB＝AC，可先证明∠B＝∠C．因为∠1＝∠2，所找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系．

证明：∵AD∥BC，∴ ∠1＝∠B（两直线平行，同位角相等），以可以设法

∠2＝∠C（两直线平行，内错角相等）． 而已知∠1＝∠2，所以 ∠B＝∠C．

∴ AB＝AC（等角对等边）． 3．作等腰三角形

例3 已知等腰三角形底边边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形．

作法:（1）作线段AB＝a．

（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于D．（3）在MN上取一点C，使DC＝h．

（4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．

三、课堂小结

1．探索等腰三角形判定定理．

2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明． 3．了解等腰三角形的尺规作图．

四、课后作业

9.初三数学等腰三角形 篇九

等腰三角形

课时训练

一、选择题

1.以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是()

A．1，1，2

B．1，1，3

C．2，2，1

D．2，2，5

2.如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为D，则AD与BD的长度之比为()

A．2∶1

B．3∶1

C．4∶1

D．5∶1

3.如图，在等腰三角形中，若∠1＝110°，则∠2的度数为()

A．35°

B．70°

C．110°

D．35°或55°

4.如图，已知直线l垂直平分线段AB，P是l上一点，已知PA＝1，则PB()

A．等于1

B．小于1

C．大于1

D．最小为1

5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，P是BC边上的动点，则AP的长可能是()

A．2

B．5.2

C．7.8

D．8

6.具备下列条件的三角形为等腰三角形的是()

A．有两个角分别为20°，120°

B．有两个角分别为40°，80°

C．有两个角分别为30°，60°

D．有两个角分别为50°，80°

7.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是()

A．20°

B．35°

C．40°

D．70°

8.如图，AC＝AD，BC＝BD，则有()

A．CD垂直平分AB

B．AB垂直平分CD

C．AB与CD互相垂直平分

D．CD平分∠ACB

9.下列条件不能得到等边三角形的是()

A．有两个内角是60°的三角形

B．有一个角是60°的等腰三角形

C．腰和底相等的等腰三角形

D．有两个角相等的等腰三角形

10.如图，在△ABC中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则图中有等腰三角形()

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

二、填空题

11.如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝12，∠A＝30°，则△ABC的面积等于________．

12.等腰三角形的两边长分别为6

cm，13

cm，其周长为________

cm.13.如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，BD⊥AC，垂足为D.若∠EAD＝20°，则∠ABD＝________°.14.如图所示，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝________.15.如图所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5

cm，△ABD的周长为18

cm，则△ABC的周长为.三、解答题

16.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.求证：DF＝2DC.17.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F.求证：△CEF是等腰三角形．

18.如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°.(1)求海岛B到灯塔C的距离；

(2)这条船继续向正北方向航行，在什么时间小船与灯塔C的距离最短？

19.已知:如图所示，锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB=OC.(1)求证:△ABC是等腰三角形;

(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由.20.如图①，在△ABC中，AB＝AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E，F，H.易证PE＋PF＝CH.证明过程如下：

连接AP.∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴S△ABP＝AB·PE，S△ACP＝AC·PF，S△ABC＝AB·CH.又∵S△ABP＋S△ACP＝S△ABC，∴AB·PE＋AC·PF＝AB·CH.∵AB＝AC，∴PE＋PF＝CH.如图②，若P为BC延长线上的点，其他条件不变，PE，PF，CH之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．

八年级数学下册

等腰三角形

课时训练-答案

一、选择题

1.【答案】C

2.【答案】B　[解析]

∵在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，∴2BD＝BC，2BC＝AB.∴AB＝4BD.∴AD∶BD＝3∶1.3.【答案】A

4.【答案】A

5.【答案】B　[解析]

根据垂线段最短，可知AP的长不能小于3.∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝6.∴AP的长不能大于6.6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】D　[解析]

有两个内角是60°的三角形，有一个角是60°的等腰三角形，腰和底相等的等腰三角形均可以得到等边三角形，而有两个角相等的等腰三角形不能得到等边三角形．

10.【答案】D　[解析]

∵∠BAC＝72°，∠C＝36°，∴∠ABC＝72°.∴∠BAC＝∠ABC.∴CA＝CB.∴△ABC是等腰三角形．

∵∠BAC的平分线AD交BC于点D，∴∠DAB＝∠CAD＝36°.∴∠CAD＝∠C.∴CD＝AD，∴△ACD是等腰三角形．

∵∠ADB＝∠CAD＋∠C＝72°，∴∠ADB＝∠B.∴AD＝AB.∴△ADB是等腰三角形．

二、填空题

11.【答案】36　[解析]

过点B作BD⊥AC于点D.∵∠A＝30°，AB＝12，∴在Rt△ABD中，BD＝AB＝×12＝6.∴S△ABC＝AC·BD＝×12×6＝36.12.【答案】32　[解析]

由题意知，应分两种情况：

(1)当腰长为6

cm时，三角形的三边长为6

cm，6

cm，13

cm，6＋6＜13，不能构成三角形；

(2)当腰长为13

cm时，三角形的三边长为6

cm，13

cm，13

cm，能构成三角形，周长＝2×13＋6＝32(cm)．

13.【答案】50　[解析]

∵AB＝AC，E为BC的中点，∴∠BAE＝∠EAD＝20°.∴∠BAD＝40°，又∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°－∠BAD＝90°－40°＝50°.14.【答案】2　[解析]

过点P作PE⊥OB于点E.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE＝PD.∵∠BOP＝∠AOP＝15°，∴∠AOB＝30°.∵PC∥OA，∴∠BCP＝∠AOB＝30°.∴在Rt△PCE中，PE＝PC＝×4＝2.∴PD＝PE＝2.故答案是2.15.【答案】

cm

三、解答题

16.【答案】

证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∠DEC＝∠A＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.∵∠ACB＝∠EDC＝∠DEC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴DE＝DC.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝2DC.17.【答案】

证明：∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD⊥AB，∴∠CAD＋∠ACD＝90°.∴∠ACD＝∠B.∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠EAB.∵∠EAB＋∠B＝∠CEF，∠CAE＋∠ACD＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEF.∴CF＝CE.∴△CEF是等腰三角形．

18.【答案】

解：(1)∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，∴∠ACB＝30°.∴AB＝BC.∵AB＝15×2＝30(海里)，∴BC＝30

海里，即从海岛B到灯塔C的距离为30海里．

(2)过点C作CP⊥AB于点P，则线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离．

∵∠NBC＝60°，∠BPC＝90°，∴∠PCB＝90°－60°＝30°.∴PB＝BC＝15海里．

∵15÷15＝1(时)，∴这条船继续向正北方向航行，在上午11时小船与灯塔C的距离最短．

19.【答案】

解:(1)证明:∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB.∵锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，∴∠BEC=∠CDB=90°.∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠CDB+∠DBC+∠ACB=180°，∴180°-∠BEC-∠BCE=180°-∠CDB-∠DBC，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形.(2)点O在∠BAC的平分线上.理由:连接AO并延长交BC于点F.在△AOB和△AOC中，∴△AOB≌△AOC(SSS)，∴∠BAF=∠CAF，∴点O在∠BAC的平分线上.20.【答案】

解：PE＝PF＋CH.证明如下：