二次函数增减性问题

二次函数增减性问题（共13篇）

1.二次函数增减性问题 篇一

另辟蹊径 解决二次函数中平行四边形存在性问题

以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解．为此，笔者另辟蹊径，借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题． 1 两个结论，解题的切入点

数学课标，现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式，也没有平行四边形的顶点坐标公式，我们可帮助学生来探究，这可作为解题的切入点。1.1 线段中点坐标公式

平面直角坐标系中，点A坐标为(x1,y1)，点B坐标为(x2,y2)，则线段AB的中点坐标为(x1x2y1y2,).22证明 ： 如图1，设AB中点P的坐标为(xP,yP).由xP-x1=x2-xP，得xP=yP=y1y2xx2y1y2，所以线段AB的中点坐标为(1,).222x1x2，同理2

1.2 平行四边形顶点坐标公式 图1 □ABCD的顶点坐标分别为A(xA,yA)、B(xB,yB)、C(xC,yC)、D(xD,yD)，则：xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD.证明： 如图2，连接AC、BD，相交于点E． ∵点E为AC的中点，∴E点坐标为(xAxCyAyC,).22xBxDyByD,).22图2 又∵点E为BD的中点，∴E点坐标为(∴xA+xC=xB+xD；yA+yC=yB+yD.即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．

图3 2 一个基本事实，解题的预备知识

如图3，已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内另找一个点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．答案有三种：以AB为对角线的□ACBD1，以AC为对角线的□ABCD2，以BC为对角线的□ABD3C． 3 两类存在性问题解题策略例析与反思

3.1 三个定点、一个动点，探究平行四边形的存在性问题

例1 已知抛物线y=x2-2x+a(a＜0）与y轴相交于点A，顶点为M.直线y=

1x-a分别2与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线AM相交于点N.(1)填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M(), N()；

1(2)如图4，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连接CD，求a的值和四边形ADCN的面积；

(3)在抛物线y=x2-2x+a(a＜0）上是否存在一点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.941189解：(1)M(1,a-1)，N(a,-a)；(2)a=-；S四边形ADCN=；

4331641(3)由已知条件易得A(0,a)、C(0,-a)、N(a,-a).设P(m,m2-2m+a).33①当以AC为对角线时，由平行四边形顶点坐标公式（解题时熟练推导出），得： 4500amm32.,∴aa1am22maa1583∴P1(55,-)； 28②当以AN为对角线时，得: 450a0mm32(不合题意，舍去).,∴a1aam22maa1583图4 ③当以CN为对角线时，得: 410a0mm32.,∴a1aam22maa383∴P2(-17,).281755,-)和P2(-,)，使得以P、A、C、N为顶点的四边形

2828∴在抛物线上存在点P1(是平行四边形.反思：已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形顶点坐标公式列方程（组）求解.这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论.3.2 两个定点、两个动点，探究平行四边形存在性问题

例2 如图5，在平面直角坐标系中，抛物线A(-1,0),B(3,0),C(0,-1)三点.（1）求该抛物线的表达式；

（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为 顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标.12解 ：（1）易求抛物线的表达式为y=x2x1；

33(2)由题意知点Q在y轴上，设点Q坐标为(0,t)；点P在抛物线上，12设点P坐标为(m,m2m1).33图5 尽管点Q在y轴上，也是个动点，但可理解成一个定点，这样就转化为三定一动了．

①当以AQ为对角线时，由四个顶点的横坐标公式得：-1+0=3+m，∴m=-4，∴P1(-4,7)；

5②当以BQ为对角线时，得：-1+m=3+0，∴m=4，∴P2(4,)；

3③当以AB为对角线时，得：-1+3=m+0，∴m=2，∴P3(2,-1).5综上，满足条件的点P为P1(-4,7)、P2(4,)、P3(2,-1).3反思：这种题型往往特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴（y轴）或对称轴或某一定直线上．设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式；若在y轴上，横坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式．该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式．本例中点Q的纵坐标t没有用上，可以不设．另外，把在定直线上的动点看成一个定点，这样就转化为三定一动了，分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论.例3 如图6，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

解：（1）易求抛物线的解析式为y=

2x+x-4； 2（2）s=-m2-4m(-4

（3）尽管是直接写出点Q的坐标，这里也写出过程．由题意知O(0,0)、B(0,-4).由于点Q是直线y=-x上的动点，设Q(s,-s)，把Q看做定点；设P(m,①当以OQ为对角线时，0s0m 120s4mm421

2m+m-4).2∴s=-225.∴Q1(-2+25,2-25)，Q2(-2-25,2+25)； ②当以BQ为对角线时，0m0s 120mm44s2图6 ∴s1=-4，s2=0(舍).∴Q3(-4,4)；

③当以OB为对角线时，00sm 1204smm42∴s1=4，s2=0(舍).∴Q4(4,-4).综上，满足条件的点Q为Q1(-2+25,2-25)、Q2(-2-25,2+25)、Q3(-4,4)、Q4(4,-4).反思：该题中的点Q是直线y=-x上的动点，设动点Q的坐标为(s,-s)，把Q看做定点，就可根据平行四边形顶点坐标公式列方程组了.4

问题总结

这种题型，关键是合理有序分类：无论是三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为定点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程（组）．这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广．其本质是用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、数形结合的思想.

2.二次函数增减性问题 篇二

1. 代入求值法

已知点A (-2, y1) , B (-1, y2) 都在反比例函数的图象上, 则y1与y2的大小关系 (从大到小) 为＿＿＿＿＿＿＿＿＿, 当-4≤x≤-1时, y的最大值与最小值分别是＿＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

解:略

2. 直接用反比例函数图象的性质

例:若函数的图象在其每一象限内y的值随x的值增大而增大, 则m的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿。

练习:若点 (1, m) (2, n) 在反比例函数的图象上, 则m＿＿＿＿n (填“>”“<”“=”) 。

归纳:直接用反比例函数图象的性质的前提是同一象限。

二、不同象限大小比较

1. 特值法

例:若A (x1, y1) , B (x2, y2) , C (x3, y3) 是反比例函数y=3/x图象上的点, 且x1<x2<0<x3, 则y1, y2, y3的大小关系为。

分析:由x1<x2<0<x3可令x1=-3, x2=-1, x3=1代入求得y1=-1, y2=-3, y3=3因此y3>y1>y2。

2. 图象法

y3>y1>y2

3. 分段推理法

把x1<x2<0<x3分成x1<x2<0和x3>0两段。

综合 (1) (2) 得:y3>y1>y2

练习:如下图, 曲线是反比例函数图象的一支。

(1) 这个反比例函数图象的另一支位于哪个象限?常数n的取值范围是什么?

(2) 若M (x1, y1) , N (x2, y2) , P (x3, y3) 在反比例函数图象上, 且x1<0<x2<x3, 试比较y1, y2, y3的大小关系。

三、不明确是否在同一象限分类讨论

例:若点A (x1, y1) , B (x2, y2) 在函数的图象上, 则x1, x2满足＿＿＿＿＿时, y1>y2。

3.二次函数增减性问题 篇三

关键词：二次函数;特殊四边形;数学思想

以二次函数为背景与四边形相结合的存在性问题，对知识的迁移能力、灵活的运用能力和分析能力要求较高，因此，近几年成为全国各省、市中考压轴题.

一、与平行四边形相结合的存在性问题

例1.（2013年临沂）如图1，抛物线经过A（-1，0），B（5，0），C（0，-）三点.

（1）求抛物线的解析式;

（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标;

（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以 A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标;若不存在，请说明理由.

解：（1）y=x2-2x-.

（2）点P的坐标是（2，-）.

（3）存在.

①当存在的点N在x轴的下方时，如图2所示，

∵四边形ACNM是平行四边形，∴CN∥x轴，

∴点C与点N关于对称轴x=2对称.

∵C点的坐标为（0，-），

∴点N的坐标为（4，-）.

②当存在的点N1在x轴上方时，如图2所示，作N1H⊥x轴于点H

∵四边形ACM1N1是平行四边形，

∴AC=M1N1，∠N1M1H=∠CAO

∴Rt△CAO≌Rt△N1M1H，∴N1H=OC

∵点C的坐标为（0，-），∴N1H=，即N1点的纵坐标为，

∴x2-2x-=，解得x1=2+，x2=2-.

∴点N1的坐标为（2-，）和（2+，）.

综上所述，满足条件的点N共有三个，分别为（4，-），

（2+，），（2-，）.

二、与矩形相结合的存在性问题

例2.（2014年浙江湖州）如图3，已知在平面直角坐标系xoy中，O是坐标原点，抛物线y=-x2+bx+c（c>0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC=AC，连接OA，OB，BD和AD.

（1）若点A的坐标是（-4，4），

①求b，c的值;

②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由;

（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标;若不存在，请说明理由.

解：（1）①b=-4，c=4.

②四边形AOBD是平行四边形;理由如下：

由①得抛物线的解析式为y=-x2-4x+4，∴顶点D的坐标为（-2，8）

过D点作DE⊥AB于点E，则ED=OC=4，AE=2

∵AC=4，∴BC=AC=2，∴AE=BC.∵AC∥x轴，∴∠AED=∠BCO=90°

∴△AED≌△BCO，∴AD=OB.∠DAE=∠CBO，∴AD∥OB

∴四边形AOBD是平行四边形.

（2）存在，点A的坐标可以是（-2，2）或（2，2）

要使四边形AOBD是矩形;则需∠AOB=∠BCO=90°

∵∠ABO=∠OBC，∴△ABO∽△OBC，∴=

又∵AB=AC+BC=3BC，∴OB=BC

∴在Rt△OBC中，根据勾股定理可得：OC=BC，AC=OC

∵点是抛物线与y轴交点，∴OC=c

∴A点坐标为（c，c），∴顶点横坐标=c，b=c

∵将A点代入可得c=-（c）2+c·c+c

∴横坐标为±c，纵坐标为c即可，令c=2

∴A点坐标可以为（2，2）或者（-2，2）.

三、与菱形相结合的存在性问题

例3.（2013年枣庄卷）如图4，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.

（1）求这个二次函数的表达式.

（2）連接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP1C，那么是否存在点P，使四边形POP1C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标;若不存在，请说明理由.

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

解：（1）y=x2-2x-3.

（2）存在点P，使四边形POP1C为菱形;

如图5，设P点坐标为（x，x2-2x-3），PP1交CO于E点.

若四边形POP1C是菱形，则有PC=PO;

连接PP1，则PE⊥CO于E.

∴OE=EC=，

∴y=-

∴x2-2x-3=-

解得x1=，x2=（不合题意，舍去）

∴P点的坐标为（，-）

（3）如图6，过点P做y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3），易得直线BC的解析式为y=x-3，则 点Q的坐标为（x，x-3）;

S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ

=AB·OC+PQ·BF+PQ·OF

=×4×3+（-x2+3x）×3

=-（x-）2+

当x=时，四边形ABPC的面积最大，此时P点的坐标为（，-），四边形ABPC面积的最大值为.

参考文献：

樊龙.一道二次函数的动点问题[J].中学生数学，2014（4）.

4.二次函数最值问题 篇四

大河镇 件，设所获利润为y元，则y＝（x-2.5）［500+200(13.5-x)］，这样，一个二元二次方程就列出，这也为后面学习二次函数与一元二次方程的关系奠定了基础，针对上述分析，把所列方程整理后，并得到y＝－200x2＋3700x-8000，这里再利用二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式中a、b、c的大小来确定问题的最值。把问题转化怎样求这个函数的最值问题。

b4acbb4acb根据a>0时，当x=－，y最小＝；a<0时，当x＝－,y最大＝

2a4a2a4a的公式求出最大利润。

例2是面积的最值问题（下节课讲解）

教学反馈：讲得丝丝入扣，大部分学生能听懂，但课后的练习却“不会做”。反思一：本节课在讲解的过程中，不敢花过多的时间让学生争辩交流，生怕时间不够，完成了不教学内容，只能按照自己首先设计好的意图引领学生去完成就行了。实际上，这节课以牺牲学生学习的主动性为代价，让学生被动地接受，去听讲，体现不了学生是学习的主人这一关键环节。

反思二：数学教学的目标不仅是让学生学到一些知识，更重要的是让学生学会运用知识去解决现实问题，让学生“从问题的背景出发，建立数学模型”的基本流程，如例题中，可让学生从“列方程→转化为二次函数解析式→

b4acb当x＝－时，y最大（小）＝→解决问题”，让学生在实践中发现数2a4a学，掌握数学。

5.二次函数的最值问题教案 篇五

班级：莘庄职校03级（4）班

2003/12/4 [教学目标]1、2、3、4、使学生掌握二次函数在给定区间上最值的理论和方法。引入数形结合和分类讨论的思想。

培养学生敏锐的观察能力，运算准确性，思维的灵活性，培养学生发现问题的创新意识，探索问题的创新精神以及多层次，多角度思考问题的创新思维。[教学重点、难点] 重点：当区间端点不定时，讨论二次函数最值问题。难点：分类讨论思想的正确运用。[教学过程]

一、知识回顾

1、二次函数概念：形如yax2bxc(a0)的函数叫一元二次

函数。

bb4acb2)

其中对称轴为x，顶点坐标为(,2a2a2a2、图象性质

（动画演示）

（1）单调性（2）最值

二、问题探究

例题：求函数f(x)x22x1在下列区间最大值和最小值。（动画演示）

（1）R

f(x)minf(1)

（2）[-2，2]

f(x)minf(1)

f(x)maxf(2)

（3）[1，3]

f(x)minf(1)

f(x)maxf(3)

5（4）[-2，]

45f(x)minf()

f(x)maxf(2)

41f(2)

[-2，]

f(x)minf(1)

f(x)max31[-2，]

3f(x)minf(1)

f(x)ma1f()x3（5）[-2，a]

（学生观察，讨论）

f(2)f(a)

f(x)max①当-2≤a＜-1时

f(x)minf(2)f(1)

f(x)max②当-1≤a＜0 时

f(x)minf(a)③当a≥0时

f(x)minf(1)

f(x)max

三、问题引申

求函数f(x)x22x1在区间[m，m+2]上的最大值和最小值。

（动画演示）

f(m)解：当m＜-3时

f(x)minf(m3)

f(x)maxf(m)f(1)

f(x)max当-3＜m＜-2时

f(x)minf(m2)f(1)

f(x)max当-2＜m＜-1时

f(x)minf(m2)当m＞-1时

f(x)minf(m)

f(x)max

四、总结归纳

五、开拓思维

当二次函数对称轴变化时，在指定区间内求最值

6.实际问题与二次函数反思(改完) 篇六

人教版实际问题与二次函数第一个探究题是用二次函数求解最大利润问题。题目内容是：

已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价一元，每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？

第一节是十三班的课，我知道二次函数应用是难点，何况该题目又是涨价又是降价。我怕把学生弄糊涂，上课后先让学生读题弄明白题意，后又让学生讨论。大约10分钟，检查结果很不理想。大部分学生对该题目感觉无从下手。相当一部分学生考虑问题的出发点总离不开方程。

给十四班上课之前我就琢磨，怎样才能让学生从方程思想过渡到函数。函数也是解决实际问题的一个重要的数学模型，是初中的重要内容之一。其实这这类利润问题的题目对于学生来说很熟悉，在上学期的二次方程的应用，经常做关于利润的题目，其中的数量关系学生也很熟悉，所不同的是方程题目告诉利润求定价，函数题目不告诉利润而求如何定价利润最高。如何解决二者之间跨越？于是在第二节课的教学时我做了如下调整，设计成三个题目：

1、已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。要想获得6000元的利润，该商品应定价为多少元？

（学生很自然列方程解决）

改换题目条件和问题：

2、已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价一元，每星期要少卖出10件。该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？

分析：该题是求最大利润，是个未知的量，引导学生发现该题目中有两个变量——定价和利润，符合函数定义，从而想到用函数知识来解决——二次函数的极值问题，并且利润一旦设定，就当已知参与建立等式。

于是学生很容易完成下列求解。

解：设该商品定价为x元时，可获得利润为y元 依题意得： y ＝（x－40）·〔300－10（x－60）〕

＝－10x2＋1300x－36000

＝－10(x－65)2＋6250

300－10（x－60）≥ 0

当x=65时，函数有最大值。

得x≤ 90

（40≤x ≤ 90）

即该商品定价65元时，可获得最大利润。

增加难度，即原例题

3、已知某商品的进价为每件40元。现在的售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整价格，每涨价一元，每星期要少卖出10件；每降价一元，每星期可多卖出20件。如何定价才能使利润最大？

7.例析二次函数最值问题的错误类型 篇七

课堂上通常会选择大量的相关题型训练来达到巩固知识方法的目的，但效果甚微.笔者认为，消除错误的关键是要帮学生剖析清楚错误的原因.再者，学生训练的题目不在于量多，而需教师精选典型题目，最好是在综合应用时选择一两道能集中反映各类问题的题目，通过对问题的解决让学生有比较整体、综合的认识，从而获得相应的方法技能.下面通过一个具体的例子对学生在解决二次函数最值问题时的常见错误进行探讨.

例：若利用景区内一堵长为24米的墙和一卷长120米的展布围成矩形展览区，怎样设计可使展览区的面积最大?

学生要着手解决这个问题倒不是难事.通常有以下几种解题思路:

错误一：如图1，设矩形展览区的一边AB为x米，则BC为米，展区面积根据二次函数的性质，当x=60时，展览区取得最大面积为1800平方米.

以上解答没有考虑到实际情况中的取值范围，根据图1的设计，x的取值范围为(0, 24].

错误二：按照图1的设计可得，x∈(0, 24].函数 (x-60) 2+1800在区间 (0, 24]上是增函数，所以当x=24时取得最大面积为1152平方米.

乍一看上述解答已几近完美，既利用了二次函数的性质，又考虑到了x的实际取值范围.然而，我们还忽略了另外一种设计情况.如图2设计矩形展览区ABCD，墙DE的长为24米，设AB为x米，则BC为米.这样设计展览区的最大面积与图1相比，谁更大?

正确解答：根据图2的设计，x+ (x-24) <120，得x<72，所以x∈[24, 72).展览区面积S=x· (72-x) =- (x-36) 2+1296，当x=36时取得最大面积为1296平方米.

按照图1进行设计矩形展览区是由思维定势引起的，根据题意学生不自觉地限定与墙平行的一边AB≤24米，因此有了错误一和错误二.而错误一的另一个典型错误就是由于学生在处理实际问题时常常忘记要结合实际对变量进行讨论.图2的设计则考虑到了其他可能的实际情况，通过计算发现图2的设计能保证展览区取得最大面积.此设计方案同时也说明了“在周长一定的矩形中，正方形的面积最大”这一结论.

数学来源于生活，又应用于生活.新课程标准特别强调培养学生对数学的应用意识，有关实际问题的数学题目也层出不穷，别有新意.然而，即使是学生对数学的概念和原理已熟练掌握，在处理实际问题时由于没能结合具体情况进行讨论仍然会出现各种各样的错误.在实际教学中应重视数学与实际的联系和应用，创设各种与现实生活相关的问题情境，在培养学生解决实际问题能力的同时增强其对数学的应用意识.

摘要：二次函数的性质与图像是初中数学的重要内容之一, 关于二次函数最值问题及其应用也是中考常见题型.本文对这类题型常见的错误进行分析讨论, 对症下药, 寻找解决策略.

8.二次函数问题中的常见错误 篇八

例1当m为何值时,函数y=（m+2）xm-2+2x-3是二次函数.

错解：m2-2=2,故m=2或m=-2.

分析： 根据二次函数的定义，要使y=（m+2）xm-2+2x-3是二次函数，m不仅应满足m2-2=2,还应满足m+2≠0,而上述解法忽略了m+2≠0这一隐含条件.

正解：由题可知m2-2=2，m+2≠0.∴ m=2.

故当m=2时，函数y=（m+2）xm-2+2x-3是二次函数.

例2 已知抛物线y=(m-1)xm-m开口向下，求m的值.

错解:∵抛物线开口向下,

∴ m-1＜0,∴ m＜1.

分析:解题时只考虑了m-1＜0是不全面的，因为抛物线是二次函数的图象，所以x的次数应该是2，即m2-m=2.

正解:根据题意，得m2-m=2，m-1＜0.

解得m=-1.

例3已知抛物线y=x2-2ax+16的顶点在坐标轴上,试求a的值.

错解:∵抛物线y=x2-2ax+16=(x-a)2+16-a2.

∴ 顶点坐标为(a,16-a2).

由题意可知16-a2=0，则 a=±4.

分析：坐标轴包括x轴和y轴，错解只考虑了一种情况，解答此题需分两种情况进行讨论.

正解：∵ y=（x-a）2+16-a2,

∴ 顶点坐标为(a,16-a2).

当顶点在x轴上时，16-a2=0，a=±4.

当顶点在y轴上时，a=0.

故a=-4或a=4或a=0.

例4 已知点P在抛物线y=x2上，又知x轴上有一点A（ ，0），若OP=OA，求点P的坐标.

错解：如图，设P（a，b），过P作PM⊥OA于M.

则OP= =

∵ OP=OA，A（ ，0），

∴ OA= ，OP= ，OP2=6.

∴ a2+b2=6.

又∵ P在抛物线上y=x2上，

∴ b=a2＞0. ∴ b2+b=6, b2+b-6=0.

解得b=2或b=-3.

当b=2时，a=± ,而点P在第一象限，故a=- ，b=-3舍去.

∴ P的坐标为（ ，2）.

分析：错误的原因是舍去了（- ，2）.由抛物线的对称性易知，满足条件的点P有两个，分别在第一、二象限，因此我们要正确舍值，防止多解、漏解.

正解：P（ ，2）或（- ，2）.

9.《实际问题与二次函数》教学设计 篇九

教学目标：

21．使学生掌握用待定系数法由已知图象上一个点的坐标求二次函数y＝ax的关系式。

2.使学生掌握用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。

3．让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识。重点难点：

重点：已知二次函数图象上一个点的坐标或三个点的坐标，分别求二次函数y＝ax2、y＝ax2＋bx＋c的关系式是教学的重点。

难点：已知图象上三个点坐标求二次函数的关系式是教学的难点。教学过程：

一、创设问题情境

如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。它的拱高AB为4m，拱高CO为0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢? 分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。

如图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，2开口向下，所以可设它的函数关系式为：y＝ax(a＜0)(1)因为y轴垂直平分AB，并交AB于点C，所以CB＝错误！未指定书签。＝2(cm)，又CO＝0.8m，所以点B的坐标为(2，－0.8)。

因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得－0.8＝a×22所以a＝－0.2 因此，所求函数关系式是y＝－0.2x2。

请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线。

二、引申拓展

问题1：能不能以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系? 让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A点为原点，AB所在的直线为x轴，过点A的x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系也是可行的。

问题2，若以A点为原点，AB所在直线为x轴，过点A的x轴的垂直为y轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗? 分析：按此方法建立直角坐标系，则A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0),OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB，AC＝2m，O点坐标为(2；0．8)。即把问题转化为：已知抛物线过(0，0)、(4，0)；(2，0．8)三点，求这个二次函数的关系式。

二次函数的一般形式是y＝ax2＋bx＋c，求这个二次函数的关系式，跟以前学过求一次函数的关系式一样，关键是确定o、6、c，已知三点在抛物线上，所以它的坐标必须适合所求的函数关系式；可列出三个方程，解此方程组，求出三个待定系数。

2解：设所求的二次函数关系式为y＝ax＋bx＋c。因为OC所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC＝CB，AC＝2m，拱高OC＝0.8m，所以O点坐标为(2，0.8)，A点坐标为(0，0)，B点坐标为(4，0)。

由已知，函数的图象过(0，0)，可得c＝0，又由于其图象过(2，0.8)、(4，0)，可得到错误！未指定书签。解这个方程组，得错误！未指定书签。所以，所求的二次函数的关系式为y＝－错误！未指定书签。x2＋错误！未指定书签。x。

问题3：根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线，其图象是否与前面所画图象相同? 问题4：比较两种建立直角坐标系的方式，你认为哪种建立直角坐标系方式能使解决问题来得更简便?为什么?(第一种建立直角坐标系能使解决问题来得更简便，这是因为所设函数关系式待定系数少，所求出的函数关系式简单，相应地作图象也容易)请同学们阅渎P18例7。

三、课堂练习：P18练习1．(1)、(3)2。

四、综合运用

例1．如图所示，求二次函数的关系式。

分析：观察图象可知，A点坐标是(8，0)，C点坐标为(0，4)。从图中可知对称轴是直线x＝3，由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在x轴上的另一交点B的坐标是(－2，0)，问题转化为已知三点求函数关系式。

解：观察图象可知，A、C两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x＝3。因为对称轴是直线x＝3，所以B点坐标为(－2，0)。

设所求二次函数为y＝ax2＋bx＋c，由已知，这个图象经过点(0，4)，可以得到c＝4，又由于其图象过(8，0)、(－2，0)两点，可以得到错误！未指定书签。解这个方程组，得错误！未指定书签。

所以，所求二次函数的关系式是y＝－错误！未指定书签。x2＋错误！未指定书签。x＋4 练习：一条抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(0，0)与(12，0)，最高点的纵坐标是3，求这条抛物线的解析式。

五、小结：二次函数的关系式有几种形式，函数的关系式y＝ax2＋bx＋c就是其中一种常见的形式。二次函数关系式的确定，关键在于求出三个待定系数a、b、c，由于已知三点坐标必须适合所求的函数关系式，故可列出三个方程，求出三个待定系数。

六、作业

1．P19习题26．2 4．(1)、(3)、5。2．选用课时作业优化设计，每一课时作业优化设计

1.二次函数的图象的顶点在原点，且过点(2，4)，求这个二次函数的关系式。2．若二次函数的图象经过A(0，0)，B(－1，－11)，C(1，9)三点，求这个二次函数的解析式。

3．如果抛物线y＝ax2＋Bx＋c经过点(－1，12)，(0，5)和(2，－3)，；求a＋b＋c的值。4．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，求这个二次函数的关系式；

10.《实际问题与二次函数》教学设计 篇十

广厚乡中心学校 李晓秋

教学目标：

1．复习巩固用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的关系式。

2．使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式。

重点难点：

根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式是教学的重点，也是难点。

教学过程：

一、复习巩固

1．如何用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式? 2．已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，3)，C(－1，1）。(1)求二次函数的关系式，(2)画出二次函数的图象；(3)说出它的顶点坐标和对称轴。

答案：(1)y＝x＋x＋1，(2)图略，(3)对称轴x＝－，顶点坐标为(－，)。

3．二次函数y＝ax＋bx＋c的对称轴，顶点坐标各是什么? [对称轴是直线x＝－，顶点坐标是(－，)]

二、范例

2例1．已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。

分析：二次函数y＝ax＋bx＋c通过配方可得y＝a(x＋h)＋k的形式称为顶点式，(－h，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为：y＝a(x－8)＋9 由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a的值。

请同学们完成本例的解答。练习：P18练习1．(2)。

例2．已知抛物线对称轴是直线x＝2，且经过(3，1)和(0，－5)两点，求二次函数的关系式。

解法1：设所求二次函数的解析式是y＝ax＋bx＋c，因为二次函数的图象过点(0，－5)，可求得c＝－5，又由于二次函数的图象过点(3，1)，且对称轴是直线x＝2，可以得

解这个方程组，得：所以所求的二次函数的关系式为y＝－2x＋8x－5。

解法二；设所求二次函数的关系式为y＝a(x－2)＋k，由于二次函数的图象经过(3，1)和(0，－5)两点，可以得到解这个方程组，得：

所以，所求二次函数的关系式为y＝－2(x－2)＋3，即y＝－2x＋8x－5。

例3。已知抛物线的顶点是(2，－4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。

解法1：设所求的函数关系式为y＝a(x＋h)＋k，依题意，得y＝a(x－2)－4 因为抛物线与y轴的一个交点的纵坐标为4，所以抛物线过点(0，4)，于是a(0－2)2－4＝4，解得a＝2。所以，所求二次函数的关系式为y＝2(x－2)－4，即y＝2x－8x＋4。

解法2：设所求二次函数的关系式为y＝ax＋bx＋c?依题意，得解这个方程组，得：所以，所求二次函数关系式为y＝2x－8x＋4。

三、课堂练习

1.已知二次函数当x＝－3时，有最大值－1，且当x＝0时，y＝－3，求二次函数的关系式。

解法1：设所求二次函数关系式为y＝ax＋bx＋c，因为图象过点(0，3)，所以c＝3，又由于二次函数当x＝－3时，有最大值－1，可以得到：解这个方程组，得：

所以，所求二次函数的关系式为y＝x＋x＋3。解法2：所求二次函数关系式为y＝a(x＋h)＋k，依题意，得y＝a(x＋3)－1 因为二次函数图象过点(0，3)，所以有3＝a(0＋3)－1解得a＝

所以，所求二次函数的关系为y＝44/9(x＋3)－1，即y＝x＋x＋3．

小结：让学生讨论、交流、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就是已知该函数顶点坐标，应用顶点式求

222

解方便，用一般式求解计算量较大。

2．已知二次函数y＝x＋px＋q的图象的顶点坐标是(5，－2)，求二次函数关系式。

简解：依题意，得解得：p＝－10,q＝23 所以，所求二次函数的关系式是y＝x－10x＋23。

四、小结

1，求二次函数的关系式，常见的有几种类型? [两种类型：(1)一般式：y＝ax＋bx＋c(2)顶点式：y＝a(x＋h)＋k，其顶点是(－h，k)] 2．如何确定二次函数的关系式? 让学生回顾、思考、交流，得出：关键是确定上述两个式子中的待定系数，通常需要三个已知条件。在具体解题时，应根据具体的已知条件，灵活选用合适的形式，运用待定系数法求解。

五、作业：

1.已知抛物线的顶点坐标为(－1，－3)，与y轴交点为(0，－5)，求二次函数的关系式。

2．函数y＝x＋px＋q的最小值是4，且当x＝2时，y＝5，求p和q。

3．若抛物线y＝－x＋bx＋c的最高点为(－1，－3)，求b和c。

4．已知二次函数y＝ax＋bx＋c的图象经过A(0，1)，B(－1，0)，C(1，0)，那么此函数的关系式是______。如果y随x的增大而减少，那么自变量x的变化范围是______。

5．已知二次函数y＝ax＋bx＋c的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x＝2，求这个二次函数的关系式。

6．如图是抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面宽4米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽4米，若2洪水到来时，水位以每小时线后几小时淹到拱桥顶?

米速度上升，求水过警戒

11.二次函数最值问题及其解决方法 篇十一

一、分类举例

1.轴定区间定问题

【例1】 求二次函数f（x）=x2-2x-3在以下区间上的最值.

（1）x∈[-2，0]；（2）x∈[0，3]；（3）x∈[2，4].

分析： f（x）=（x-1）2-4.

①若对称轴在给定区间的右侧或左侧，此时函数在该区间上是单调函数，最大值和最小值分别在区间端点处取得，比如本题的（1）（3）小题；

②若对称轴穿过区间，此时函数在该区间上先减后增，最小值在对称轴处取得.而最大值在端点处取得.此时只需计算哪个端点处的函数值较大即可，或比较哪个端点距离对称轴较远（端点离对称轴越远，函数值越大）即可，比如本题的（2）小题；

③函数的最大、最小值只在区间的端点或对称轴处取得.

2.轴定区间变问题

【例2】 求二次函数f（x）=x2-2x-3在区间[t，t+2]上的值域.

分析：随着区间位置的改变，对称轴和区间的相对位置对函数值域的影响便一目了然了.

①当对称轴位于区间的左侧，即t≥1时，函数f（x）在区间[t，t+2]上为增函数，此时f（x）的取值范围是f（t）≤f（x）≤f（t+2）；

②当对称轴位于左半区间，即t≤1≤t+1时，函数f（x）在区间[t，t+2]上是先减后增，右端点t+2距离对称轴较远，此时f（x）的取值范围是f（1）≤f（x）≤f（t+2）；

③当对称轴位于右半区间，即t+1≤1≤t+2时，函数f（x）在区间[t，t+2]上也是先减后增，此时是左端点t距离对称轴较远，所以f（x）的取值范围是f（1）≤f（x）≤f（t）；

④当对称轴位于区间的右侧，即t+2≤1时，函数f（x）在区间[t，t+2]上为减函数，此时f（x）的取值范围是f（t+2）≤f（x）≤f（t）.

部分学生可能只讨论了三种情况，将②③合并，这是出错的主要原因.

3.轴变区间定问题

【例3】 求函数f（x）=x2-2mx+2在区间[-1，1]上的值域.

分析：对称轴x=m可改变，对称轴与区间[-1，1]的相对位置也是变化的，仿照例2可以求出函数的值域.

①当对称轴位于区间的左侧，即m≤-1时，有f（-1）≤f（x）≤f（1）；

②当对称轴位于左半区间，即-1≤m≤0时，有f（m）≤f（x）≤f（1）；

③当对称轴位于右半区间，即0≤m≤1时，有f（m）≤f（x）≤f（-1）；

④当对称轴位于区间的右侧，即m≥1时，有f（1）≤f（x）≤f（-1）.

4.轴变区间变问题

【例4】 求函数f（x）=x2-2mx+2在区间[a，b]上的值域.

分析：还是同前面的例子相同的讨论.

①当对称轴位于区间的左侧，即当m

②当对称轴位于左半区间，即a≤m≤

学生在初中阶段接触最多的，而且觉得比较难以理解的函数便是二次函数.为了使学生更好地理解函数的单调性的作用，笔者补充了一节关于求二次函数最值问题的探究性的课.这节课一方面起到了扩充知识的作用，提高学生对知识的应用能力；另一方面培养学生的探究意识和数形结合的思想方法.

一、分类举例

1.轴定区间定问题

【例1】 求二次函数f（x）=x2-2x-3在以下区间上的最值.

（1）x∈[-2，0]；（2）x∈[0，3]；（3）x∈[2，4].

分析： f（x）=（x-1）2-4.

①若对称轴在给定区间的右侧或左侧，此时函数在该区间上是单调函数，最大值和最小值分别在区间端点处取得，比如本题的（1）（3）小题；

②若对称轴穿过区间，此时函数在该区间上先减后增，最小值在对称轴处取得.而最大值在端点处取得.此时只需计算哪个端点处的函数值较大即可，或比较哪个端点距离对称轴较远（端点离对称轴越远，函数值越大）即可，比如本题的（2）小题；

③函数的最大、最小值只在区间的端点或对称轴处取得.

2.轴定区间变问题

【例2】 求二次函数f（x）=x2-2x-3在区间[t，t+2]上的值域.

分析：随着区间位置的改变，对称轴和区间的相对位置对函数值域的影响便一目了然了.

①当对称轴位于区间的左侧，即t≥1时，函数f（x）在区间[t，t+2]上为增函数，此时f（x）的取值范围是f（t）≤f（x）≤f（t+2）；

②当对称轴位于左半区间，即t≤1≤t+1时，函数f（x）在区间[t，t+2]上是先减后增，右端点t+2距离对称轴较远，此时f（x）的取值范围是f（1）≤f（x）≤f（t+2）；

③当对称轴位于右半区间，即t+1≤1≤t+2时，函数f（x）在区间[t，t+2]上也是先减后增，此时是左端点t距离对称轴较远，所以f（x）的取值范围是f（1）≤f（x）≤f（t）；

④当对称轴位于区间的右侧，即t+2≤1时，函数f（x）在区间[t，t+2]上为减函数，此时f（x）的取值范围是f（t+2）≤f（x）≤f（t）.

部分学生可能只讨论了三种情况，将②③合并，这是出错的主要原因.

3.轴变区间定问题

【例3】 求函数f（x）=x2-2mx+2在区间[-1，1]上的值域.

分析：对称轴x=m可改变，对称轴与区间[-1，1]的相对位置也是变化的，仿照例2可以求出函数的值域.

①当对称轴位于区间的左侧，即m≤-1时，有f（-1）≤f（x）≤f（1）；

②当对称轴位于左半区间，即-1≤m≤0时，有f（m）≤f（x）≤f（1）；

③当对称轴位于右半区间，即0≤m≤1时，有f（m）≤f（x）≤f（-1）；

④当对称轴位于区间的右侧，即m≥1时，有f（1）≤f（x）≤f（-1）.

4.轴变区间变问题

【例4】 求函数f（x）=x2-2mx+2在区间[a，b]上的值域.

分析：还是同前面的例子相同的讨论.

①当对称轴位于区间的左侧，即当m

②当对称轴位于左半区间，即a≤m≤

学生在初中阶段接触最多的，而且觉得比较难以理解的函数便是二次函数.为了使学生更好地理解函数的单调性的作用，笔者补充了一节关于求二次函数最值问题的探究性的课.这节课一方面起到了扩充知识的作用，提高学生对知识的应用能力；另一方面培养学生的探究意识和数形结合的思想方法.

一、分类举例

1.轴定区间定问题

【例1】 求二次函数f（x）=x2-2x-3在以下区间上的最值.

（1）x∈[-2，0]；（2）x∈[0，3]；（3）x∈[2，4].

分析： f（x）=（x-1）2-4.

①若对称轴在给定区间的右侧或左侧，此时函数在该区间上是单调函数，最大值和最小值分别在区间端点处取得，比如本题的（1）（3）小题；

②若对称轴穿过区间，此时函数在该区间上先减后增，最小值在对称轴处取得.而最大值在端点处取得.此时只需计算哪个端点处的函数值较大即可，或比较哪个端点距离对称轴较远（端点离对称轴越远，函数值越大）即可，比如本题的（2）小题；

③函数的最大、最小值只在区间的端点或对称轴处取得.

2.轴定区间变问题

【例2】 求二次函数f（x）=x2-2x-3在区间[t，t+2]上的值域.

分析：随着区间位置的改变，对称轴和区间的相对位置对函数值域的影响便一目了然了.

①当对称轴位于区间的左侧，即t≥1时，函数f（x）在区间[t，t+2]上为增函数，此时f（x）的取值范围是f（t）≤f（x）≤f（t+2）；

②当对称轴位于左半区间，即t≤1≤t+1时，函数f（x）在区间[t，t+2]上是先减后增，右端点t+2距离对称轴较远，此时f（x）的取值范围是f（1）≤f（x）≤f（t+2）；

③当对称轴位于右半区间，即t+1≤1≤t+2时，函数f（x）在区间[t，t+2]上也是先减后增，此时是左端点t距离对称轴较远，所以f（x）的取值范围是f（1）≤f（x）≤f（t）；

④当对称轴位于区间的右侧，即t+2≤1时，函数f（x）在区间[t，t+2]上为减函数，此时f（x）的取值范围是f（t+2）≤f（x）≤f（t）.

部分学生可能只讨论了三种情况，将②③合并，这是出错的主要原因.

3.轴变区间定问题

【例3】 求函数f（x）=x2-2mx+2在区间[-1，1]上的值域.

分析：对称轴x=m可改变，对称轴与区间[-1，1]的相对位置也是变化的，仿照例2可以求出函数的值域.

①当对称轴位于区间的左侧，即m≤-1时，有f（-1）≤f（x）≤f（1）；

②当对称轴位于左半区间，即-1≤m≤0时，有f（m）≤f（x）≤f（1）；

③当对称轴位于右半区间，即0≤m≤1时，有f（m）≤f（x）≤f（-1）；

④当对称轴位于区间的右侧，即m≥1时，有f（1）≤f（x）≤f（-1）.

4.轴变区间变问题

【例4】 求函数f（x）=x2-2mx+2在区间[a，b]上的值域.

分析：还是同前面的例子相同的讨论.

①当对称轴位于区间的左侧，即当m

12.求二次函数在闭区间上的最值问题 篇十二

当函数的对称轴确定, 所给区间也确定时, 可直接利用单调性求其最值.

二、动轴定区间问题

当函数的对称轴不确定, 所给区间确定时, 需要讨论对称轴与区间的位置关系, 分对称轴在区间左、区间中、区间右三种情况讨论.

当二次项系数不确定时, 需要讨论二次项系数的符号, 当二次项系数为0时, f (x) 是一次函数, 单调性确定, 直接求最值即可;当二次项系数为正数时, 函数开口向上, 此时, 需讨论对称轴与区间的位置;当二次项系数为负数时, 函数开口向下, 对称轴在区间的左侧, 直接求解.

三、定轴动区间问题

当函数的对称轴确定, 所给区间不确定时, 仍需要讨论对称轴与区间的位置关系, 分对称轴在区间左、区间中、区间右三种情况讨论.

13.二次函数增减性问题 篇十三

【背景分析】

1. 课堂的最高境界就是让学生觉得自己是课堂的主人.本节课正是从这种教学思想出发，通过学生讲解、学生自评、同学纠错、教师点评的模式，充分发挥学生的主观能动性的.

2.二次函数建模问题在初中教材中只有一道例题的论述，所以需要通过这样的专题课对该题型的特点以及解题的策略作分析.

3.数学来源于生活，生活离不开数学.通过学生身边的实例―-喷泉问题、篮球问题架起了抽象的数学与精彩的生活之间的桥梁.

【教学目标】

1．通过对实际问题情景的分析，能够建立二次函数的数学模型，并利用二次函数的知识求解；能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理.

2．经历利用二次函数解决实际问题的过程，学会用数学的思想方法去观察、研究和解决日常生活中所遇到问题，体验数学建模的思想.

3．通过将二次函数的有关的知识灵活用于实际，让学生体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣，并获得成功感．

【教学重点】

重点:探究利用二次函数的图象和性质解决实际问题的方法．

难点:如何将实际问题转化为二次函数的问题．

【教法学法】

1．教学方法

遵循“教师的主导作用与学生主体地位相统一的教学规律”，采用导学自主的教学模式，体现学生为主体的课前预习和小组合作学习．

2．教学手段

利用多媒体辅助教学，分散教学难点，增大教学容量，提高课堂教学效果．

3．学法指导

引导学生运用数形结合、转化、数学建模等重要数学思想方法，力求使学生多思、多说、多练以达到最佳的双边活动效果．

【教学过程】

（一）创设情景，引入新课

以旅游为主线，将公园修建喷泉时遇到的问题抛出，巧妙引出课题：《实际问题与二次函数》．

设计意图：

运用生活中常见的场景创设问题情境，目的是激发学生的兴趣和求知欲望，为新课的探究做好铺垫．

（二）知识链接，复习提问

1.二次函数常见的形式有哪几种？

2.二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标是_____，对称轴是______.

当a>0时，图像开口向____，函数有最____值，等于________;

当a<0时，图像开口向____，函数有最____值，等于________.

3．二次函数 的图像

向上平移k(k>0)个单位得到解析式________,

向下平移k(k>0)个单位得到解析式________；

向左平移h(h>0)个单位得到解析式________,

向右平移h(h>0)个单位得到解析式________.

设计意图：

在已有知识的基础上提出新问题，能为学生营造一个主动观察、思考、探索的氛围，提高学生的学习兴趣．

（三）分组展示，探索新知

问题 1:如图某公园要修建一喷泉，水流由中间喷出，在四个方向沿形状相同的抛物线落下．已知喷头所在点A距地面1.25米, 水流路线最高处点B距地面2.25米，且距喷头A点的水平距离为1米．如果不计其它因素，那么喷头A点距地面小孔点C的水平距离为多少米时，才能使喷出的水流恰好落入孔内？

探索过程：

（1）分组展示预习成果

由课代表和小组长课前检查学案的完成情况，汇总解题方法，分小组展示，课上派代表讲解．在讲解过程中其他同学可提出质疑，教师做最后点评．着重引导学生思考如何将实际问题转化为数学问题，建立的坐标系不同是否会影响实际问题的最后结果；鼓励学生在存在一题多解现象时积极尝试，力争寻求最佳方法．

（2）分组讨论归纳总结运用二次函数的知识解决实际问题的一般步骤：实际问题→二次函数→建立平面直角坐标系→确定点的坐标→求出解析式→利用图像和性质解决实际问题

设计意图：

1.通过解决此问题，能使学生初步掌握运用二次函数的知识解决实际问题的一般步骤，渗透理论联系实际的辩证唯物主义思想．

2.通过分组展示、学生自评、生生互评、教师点评的评价方式为学生搭建展示自我的平台，充分尊重学生的主体地位.通过丰富多彩的集体讨论、小组活动，以合作学习促进自主探究．

（四）综合应用，巩固提高

问题2：在一场NBA比赛中，一名球员在关键时刻投出一球，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，已知篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3.19米.

(1)此球能否投中？

(2)在球出手角度和力度都不变的情况下，如何才能使球正中篮圈中心？

探索过程：

（1）对于第一问，安排小组代表运用展台展示并讲解预习成果，着重分析如何判断球是否能投进.学生容易说出在求出函数解析时后，求当x=7时y的值与3.19比较；教师引导说出也可以通过求当y=3.19时x的值与7比较，进而提升为实质是判断坐标为（7，3.19）的点是否在函数图像上．

（2）对于第二问，教师首先引导学生理解“球出手的角度和力度不变”的`含义，即函数解析式的a不变，将问题转化为抛物线平移的问题；然后将学生分为两大组，在独立思考的基础上小组合作探究，组间PK.在将数学问题的答案回归到实际问题时，注意合理取舍．

设计意图：

1.此问题是教学的一个难点，通过学生讲解、教师引导、小组合作探究等方式分散难点．

2.数学来源于生活又服务于生活．通过学生所熟知的投篮实例，让学生体会到数学与生活的密切联系，提升学生用数学的意识．

（五）归纳总结，知识升华

在学生讨论归纳的基础上，做课堂小结：

1.这堂课学习了什么内容，解决了什么问题？还有哪些疑惑？

2.运用二次函数的知识解决实际问题的一般步骤：

实际问题→二次函数→建立平面直角坐标系→确定点的坐标→求出解析式→利用图像和性质解决实际问题

3.函数思想、数形结合思想都是很重要的数学思想，运用这些思想可以解决生活中的有关实际问题！

设计意图：

通过归纳总结，使学生所学知识条理化，系统化，构成知识网络，帮助学生全面理解和掌握所学知识．

（六）下节预告，学案导学

将下节《实际问题与二次函数――最大利润问题》学案发给学生，就学案上学生自学有困难的部分进行精要的导学.

设计意图：

“导学自主” 教学模式区分于传统模式的最大特点就是将课堂上有限的学习时间延伸到课下，将单一的课堂学习扩充为课前导学、课下自学和课上互学三个环节．提前将下节学案发给学生，教师进行简要的导学是此教学模式顺利实施保证．

（七）推荐作业，分层落实

必做题：《实际问题与二次函数----最大利润问题》学案

选做题：P83页第5题

课外实践：寻找你身边所碰到的抛物线问题,自编一题,组内交流.

设计意图：

作业以推荐的形式进行，必做题体现了新课标下“人人能获得必要数学”；选做题体现了让“不同的人在数学上得到不同的发展”；课外实践题鼓励学生寻找身边的数学问题，使学生学有所用.

（八）板书设计

教学反思：

1.教法特点：

（1）采用“导学自主”的教学模式。“导学自主”的教学模式，是以学案为载体，以导学为方法，实行课上导学、课下自学和课堂互学的一种教学模式。它改变了过去教师单纯地讲，学生被动地听的“满堂灌”的教学模式，充分体现了教师的主导作用和学生的主体地位，使“两主”和谐统一，发挥出最大效益。在这种模式中，学生首先认真阅读教材，了解教材内容，然后努力独立研究教师精心设计的学案，并尝试完成学案上的相关内容，从本质上提高了学生课前的预习效率。这种教学模式，一方面实现了新课标关于教学角色改变的要求，尊重了学生主体，另一个方面又能满足学生数学思维和个性发展的需要。在尝试这种教学模式的过程中，教师不仅仅充当知识传授者的角色，更重要的职责是培养学生的自学能力和学习习惯，教会他们怎样学习，怎样思考，从而使教学工作收到事半功倍的效果。

（2）注重问题解决的实效性。教学过程中 ,教师不把现成的结论和方法直接告诉学生,而是设计了一系列问题,激发学生的探索精神和求知欲望；同时营造一种宽松、和谐、积极民主的学习氛围,使每位学生都成为问题的探索者、研究中的发现者。

（3）注意培养合作意识．合作能力是现代人才必备的基本素质之一。是否具有协作精神,能否与他人有效合作,已成为决定一个人能否成功的重要因素。教师要创设合作学习的机会,使学生学会与他人合作。

（4）进一步培养数学应用意识。作为数学教师 ,我们的主要任务是培养学生用数学的眼光去观察和分析实际问题,提高对数学的兴趣,增强学好数学的信心,达到培养创新精神的目的。以上问题的解决过程，实际上就是要求学生作为主体去面对解决的问题，主动去探索、讨论,寻找问题解决的途径,用数学的方法和技术来处理实际模型,最终得出结论。

2．预期效果分析

（1）逐层分散学习难点

本节的难点在于“把实际问题利用二次函数转化为数学问题加以解决”，通过“课前教师导学――课下学生自学――课堂同学互学”的教学环节逐层分散难点。

（2）注重突出学习重点

在探索过程中，教学活动设计了“学生讲解――小组讨论――同学质疑――教师点评”的螺旋上升的进程，在实际教学活动中学生通过自主探索使所学知识进一步内化和系统化。