数量关系

数量关系（8篇）

1.数量关系 篇一

数

量

关

系

第一节

代入排除法

代入排除法： 范围：

1、特征选项：年龄、不定方程、余数、多位数；

2、选项充分：问法特征：分别、各位、比例。

3、两项必代：只剩两项时，代入一项即可

4、条件复杂：题长、数多、关系乱，要么放弃要么代入 方法：

1、先排除：尾数、奇数、偶数、倍数

2、再代入：最值、好算

第二节

数字特性

一、奇偶特性

看答案是奇数还是偶数

1、和差：同奇同偶则为偶，一奇一偶才为奇，■和差同性很重要：a+b与a-b的奇偶性相同。■着重点为和或者差，两个数确定，做和做差奇偶同性

2、乘（除法不考虑奇偶）：

一个（至少一个）为偶数则为偶，全部为奇才为奇。三个数相乘，只要有一个数为偶，则乘积为偶；三个数都是奇数，则乘积为奇。

3、不定方程：看到ax+by=c,a,b,c可正可负，先看c的奇偶性，c为常数，可确定奇偶性，观察式子左侧，哪个的系数为偶数则乘积为偶数，可推算出剩余的数的奇偶性。

4、其他：

①质数：逢质必奇，2是唯一特殊的偶质数；

②两者相等：A和B相等，假设都为X，A=B=X，则A+B=2X为偶数； ③A是B的2倍：A是2的倍数，则A为偶数。知识点链接：整除判定法则

1、一般口诀发（3/9看各位和；4/8看末2/3位；2/5看末位）

2、懒得记口诀的可以用拆分法

要验证是否是a的倍数，只需要将它拆分成a的整数倍+（-）一个小数字，若小数字也能被a整除，原数即能被a整除。

3、复杂倍数用因式分解

判断一个数能否15整除，只需要判断它是3和5的倍数即可

注意：分解后的2个数必须互质

二、倍数特性

范围：

1、分数、百分数、比例、倍数

2、平均分配

方法：

1、A/B=m/n；A是m的倍数，B是n的倍数，则A加减B是m加减n的倍数

2、ax+b，若b是a的倍数，答案-b能被a整除；若b不是a的倍数，则答案不被a整除

第三节

方程法

一、普通方程：设小不设大、设中间量、求谁设谁；

二、不定方程（组）：

1、数字特性：奇偶特性；倍数特性、尾数法

2、代入排除：

3、不定方程组：先消元，转化成不定方程

三、赋零法

1、范围：不定方程组；未知数可以非整数；求的是算式；

2、方法：社方程中系数较复杂的未知数为零，解出其余未知数即可

第四节

工程问题

一、给具体题型

1、识别：题干有效率，总量的具体值

2、方法：代公式，列方程求解，主要是计算难度大一点。

二、赋值总量型

1、识别：题干只给多个完工时间

2、方法：赋值总量——算出效率——列式求解

3、技巧：总量——设公倍数，公倍数难算用乘积。

四、赋值效率型

1、识别：题干给出效率比，效率倍数

2、方法：赋值效率——求出总量——列式求解

3、技巧：按照比例设效率，尽量设整数。

第五节

行程问题

一、行程问题

1、基础公式：路程=速度*时间（s=v*t）（两个变形：速度=路程/时间

时间=路程/速度）

2、平均速度：

平均速度=总路程/总时间

3、等距离平均速度：

V平均=（2V1*V2）/（V1+V2）

4、火车过桥（路程上有坑）：

①过车过桥的时间有多久：火车车头到桥头即为时间开始0，火车车尾离开桥尾的时间为t,，过桥时间为t ②火车运动的路程=车身长度+桥长=火车速度*过桥时间 ③火车在桥/隧道上的时间：桥长-车长=车速*在桥上的时间

知识点链接：

1、两地之间有上下坡（无论上下坡多少次），且是往返，则可以直接用等距离平均公式

2、极端思维：上下坡比例不确定时，可以想象从家到学校几乎只有下坡，从学校到家几乎只有上坡 知识点链接

相遇公式：路程和=速度和*相遇时间

直线相遇与环形相遇：相向而行/背向而行（环形）/反向而行，最终都会相遇。

1、直线相遇：两个小动物从两端出发，速度分别为V1、V2，经过t时间相遇，则V1*t+V2*t=（V1+V2）*t=S和

2、环形相遇：两人同点背向而行，则V1*t+V2*t=1圈=S和

3、相遇公式：S和=V1*t+V2*t=（V1+V2）*t 追及公式：路程差=速度差*追击时间

1、直线追及：兔子（速度为V快）追乌龟（速度为V慢）

则S差=V快*t追-V慢*t追=（V快-V慢）*t追

注意：S差是两者进入追及状态最开始的路程差，不需要考虑中途的路程差会变化之类的

2、环形追及

公式：S差=V快-V慢）*t追

结论：同时同向出发，第n次追上，路程差就是n圈 知识点链接：

一、直线多次相遇

结论：

1、从两头出发往返第n次相遇，共走了（2n-1）个全程（即奇数个全程）。

2、从同一头出发往返第n次相遇，共走了2n个全程

二、流水行船问题

1、相关概念：V船即为船的自身速度；V水即为水流速度

2、公式：V顺=V船+V水；V逆=V船-V水

V船=（V顺+V逆）/2（相当于等差数列中项），V水=（V顺-V逆）/2

3、V静即为船在静水中的速度，V漂为船的漂流速度；V静=V船：V漂=V水

二、比例行程

1、公式：S=V*t

2、结论：路程S定，则V和T成反比；V（T）一定，则S与T（V）成正比。

第六节

经济利润问题

一、基础公式：利润=售价-成本

利润率=利润/成本

总价=单价*数量

折扣=折后价/折前价

二、拓展公式：售价=进价*（1+利润率）注意：利润率有两种考法：

1、数学中：利润率-利润/成本（进价）

2、资料分析中：利润率=利润/售价（营收）

三、折扣=折后价/折前价

其他说法：降价30%=7折；降价到30%=3折

五、总价=单价*数量

类似有总成本=单件成本*数量

总收入=单价售价*数量

总利润=单价利润*数量 必须带单位才能同这样的公式

六、分段计算

第七节 排列组合和概率

一、排列组合

分类用加法（1或者2；要么……要么……），分步用乘法（1且2；先……再……）有序用排列A（不可互换），无序用组合C（可以互换）题型：

1、排队： A.B.C.站一排，全排列；

要相邻，捆绑法，先考虑可相邻的； 不相邻，插空法，先考虑可相邻。

2、插板法：n个相同的物品分给m个人。

3、全错位排列（0、1、2、4、9、44），常考9和44，拓展了部分错位。

二、概率

1、给情况求情况数：概率=满足要求的情况数/所有情况数

2、给概率求概率：分类用加法，分不用乘法。

3、正面太难就从反面想，1-反面情况概率 知识点链接：

插板法：n个物品分给m个人，每个人至少分1个，总共有C（n-1，m-1）种情况

结论：将n个相同的物品看为n-1个空隙，m个人看成m-1个木板，故共有C（n-1，m-1）种情况

注意：若给每个人分多个物品，则先分一部分

第八节

容斥原理

一、公式

1、两集合：A+B-AB=总数-都不

2、三集合标准公式（满足两个条件的给出三个数据）

A+B+C-AB-BC-AC+ABC=总数-都不

3、三集合非标准公式（满足两个条件的给出1个数据）

A+B+C-满足两个-满足三个*2=总数-都不

二、画图

1、画圆圈，标数据，去重复

2、交叉部分重点标注（从内往外标）

第九节 最值问题

最不利情况+1 提问：至少保证……

有m中情况，保证至少n，则每种取n-1，再加1。

2.数量关系 篇二

一、正确看待“数量关系”, 彰显“以人为本”的理念

1.“数量关系”也要生活化

基本的数量关系是小学阶段的重要模型之一。它是从一类有共同规律的数学问题中总结出来的揭示数量之间的本质联系, 并以数量的关系式来表示这种联系。这为学生解决数学问题指明了方向, 提供了基本的解决方法, 形成一种策略, 是一种有数学价值的解决问题的模式。

2. 生活需要“数量关系”

人们的生活、工作需要“数量关系”为我们认识事物、分析事物、解决问题。把复杂问题简单化, 是智慧的表现。如每一个行业的生产、调查、统计等, 都要用到“数量关系”。即使是一场球也要统计投球的命中率等各种数据。学生了解和总结生活中一些常见的“数量关系”, 并且熟练地记住它, 用它去分析生活用品中各种数学因素之间的联系, 体验有价值的数学, 感悟数学的魅力, 从而走出为应用而应用的尴尬境地。

3. 新教材并不排斥“数量关系”

《课标》指出:“让学生探索并理解简单的数量关系, 应使学生经历从实际问题抽象出数量关系, 并运用知识解决问题的过程”。深入研究我们会发现学生在解决问题中完成了两个转化, 从纷乱的实际问题中获取有用的信息, 抽象成数学问题, 这是第一个转化;分析其中的数量关系用数学方法求解, 并在实际中检验, 这是第二个转化。以往教材中应用题只要学生完成第二个转化, 至于第一个转化就由教科书代劳了。新教材比较注重第一个转化, 经常提供情境, 让学生自己发现问题, 这是长处。但在完成第二个转化时新教材往往一带而过, 显得十分单薄, 甚至认为学生了解了生活情境, 就自然而然地会列式解题, 不需要去分析其中的数量关系。

二、应用数量关系, 展示“低耗高效”的魅力

1. 要注重应用题数量关系的分析

解答应用题的核心是分析数量关系, 传统的教学从解题的过程中概括出基本的数量关系, 如单价×数量=总价, 工作效率×工作时间=工作总量, 速度×时间=路程等, 这些基本的数量关系的掌握为学生解决问题打下了良好的基础。我们经常发现有些数学能力较强的学生, 当他们读完一道应用题后, 就能立即看到题目的“骨架”, 这个就是数量关系。现在有些人认为, 新课程的解决问题可以不讲数量关系。其实不然, 试想一下:一个不知数量之间的关系的学生, 怎么会提出问题、分析问题、解决问题呢?因此教学中要强调基本的数量关系, 引导学生建立“数学模型”, 学生在动手、动口、动脑中获得大量的感性知识, 再抽象概括出基本的数量关系, 并上升到理性认识。经历这样一个过程后学生才会真正运用知识解决问题。

2. 要重视对应用题分析方法的渗透

学生是否能顺利地解决问题, 除了具有一定的生活经验和数学模型外, 还取决于是否具有了一定的分析能力。应用题变化多样, 有些题目的结构特殊, 并不是所有题目一开始就能抓住其数量关系。因此应让学生掌握一些行之有效的方法, 如分析综合法、逆推法、转化法等等。这些是我国小学界的宝贵财富。但现在教师似乎只注重学生进行观察实验推理及交流等数学活动, 而忽视了这些方法的渗透。

3. 要注重学生形成基本的解题策略

在《课标》中明确提出:“形成解决问题的一些基本策略, 体验解决问题策略的多样性”。传统教学中教师也形成了许多解题策略, 有着不可替代的价值。随着对传统应用题教学的批判, “数量关系”似乎离我们越来越远。当然, 重视对数量关系的分析, 也不能从一个极端走向另一个极端。其实我们可以提供相对真实的现实情境, 注重培养学生从数学角度看问题的能力和识别有用信息的能力, 让学生在解决实际问题的过程中, 动态探索、理解感悟数量关系, 并实事求是地为学生提供一些行之有效的解题方法。在构建诸如数量关系式之类的数学模型的同时, 教师完全可以大胆地作正面“总结”, 对有困难的学生而言, 显得至关重要。

3.数量关系“三步曲” 篇三

关键词：数学；数量；教学研究

在义务教育阶段的数学课程中，相对于数与代数、空间与图形、概率与统计这三个内容来说，解决实际问题历来都是孩子们比较薄弱的方面。对于学生来说，比较难懂的并不是简单的一步计算的实际问题，而是包含有两步、三步甚至更多步的实际问题。

比如有这样一道实际问题：“吴小冬准备在一个星期之内将一本300页的故事书看完，前4天平均每天看了42页，要按时看完，接下来需要平均每天看多少页？”这道题是需要三步计算才能完成。其中涉及的数量关系有“每天看的页数×天数=已看页数”“总页数-已看页数=未看页数”“未看页数÷看的天数=平均每天要看的页数”。

要能顺利解决这道题，学生除了需要有计算三步以上试题的计算能力之外，最重要的就是对以上数量关系的完全掌握。而学生要对这样的数量关系完全掌握并不是在四年级教学这部分知识时才开始理解的，而是需要从一接触数学知识时就开始由教师进行数量关系的渗透，一点一点积累相关经验。

通过探索与尝试，对于怎样帮助学生理解数量关系的内容，我自创了“数量关系三步曲”的教学方式，它其实从一年级刚入学就开始诞生了。

一、低年级教学三句式，理解加、减、乘、除含义

在低年级时，“直接告诉”是最基本的方式。我们首先要告诉学生，将两个数量合在一起用加法，从一个数量中去掉一部分求另一部分用减法，将几个相同的数相加用乘法，将一个数平均分成几份求一份数或者将一个数每几个分一份求分成了几份用除法。在正确理解了加、减、乘、除的意义之后，可以尝试用三句式来引导学生进行训练与记忆，比如“我有3张卡片，哥哥又送我9张，我现在一共有几张？”用3+9来算。“爷爷种了4行树，每行种了5棵，一共种了多少棵？”用4×5来算。“一共有30本书，平均分给5个小朋友，每个小朋友分到几本？”用30÷5来算。

在一二年级教学这些最基本的一步加、减、乘、除法意义时，就让学生用以下的三句式来练习建立模型：“求几和几合在一起是多少用加法，从几里去掉几得几用减法，求几个几相加是多少用乘法，将几平均分成几份求一份是多少用除法，将几每几个分一份求分成了几份也是用除法。”在具体的问题情境中，将这种模型赋予具体的数量，刚开始时让学生反复说，熟练到一定程度后让学生自己创编类似的实际问题来解答。

二、中年级建立模型，理解基本数量关系

当低年级进行了这样比较完整、系统的训练后，到了高年级，就可以将“单价×数量=总价，总价÷数量=单价，总价÷单价=数量；速度×时间=路程，路程÷速度=时间，路程÷时间=速度；工作效率×工作时间=工作总量，工作总量÷工作时间=工作效率，工作总量÷工作效率=工作时间”这样的数量关系以概括性的具体公式来呈现。在呈现的时候，帮助学生明白总价、数量与单价，速度、时间与路程，工作效率、工作时间与工作总量在生活中具体是指哪些量，从而加深数量关系在实际生活中的应用和理解。

三、高年级进行综合，提高解决复杂问题的能力

到了高年级，开始涉及两三步的实际问题时，可以帮助学生运用“分析法”或“综合法”来进行题意分析，从而确定一道实际问题中需要涉及哪两个或者哪三个数量关系，先运用哪一个数量关系，最后运用哪一种数量关系，正确列出算式从而解答。

我们还是以文章一开始所举的“吴小冬看书”的那道题为例。如果运用分析法，从问题出发，就需要知道还剩下多少页没看以及剩下的要在几天内看完；再去思考怎样算出多少页没看，就要看一本书的总页数以及已经看了多少页；接着要去通过前面看了4天以及每天看42页来得出已经看的页数，再一步步列出算式解答。而如果运用综合法，就要从条件出发，根据前4天平均每天看了42页得出已经看的页数，再根据总页数300页和算得的已看页数来得出未看页数，最后根据未看页数和接下来要在3天内看完来得出接下来平均每天看的页数。

通过这样的三步曲的练习之后，再碰到稍复杂的实际问题时，孩子们都能立即从储存的大脑中主动寻找与之相关的数量关系，从而综合运用已有知识，顺利解决实际问题，解决问题的能力就在数量关系的帮助下，自然而然地得到了提高。

经过一个循环教学的实践，我发现按照以上的“数量关系三步曲”来对数量关系进行强化训练与巩固，孩子们头脑中就会清晰地明了各种复杂的数量之间的关系应该分解成怎样简单的三句式的加、减、乘、除的关系，从而顺利解题。实践证明，我所带班级的孩子们在解决实际问题方面的正确率远远大于其他未曾重视数量关系教学的班级。所以，数量关系“三步曲”的教学方法在教学实践中可以大大推广。

参考文献：

4.《常见的数量关系》教案 篇四

【教学模式】“三六一”教学模式

【教学内容】小学数学四年级上册第52--53页例4和例5。【教学目标】

1、知识与技能：通过自学，使学生理解单价、速度的概念，掌握单价×数量＝总价、速度×时间＝路程这两组数量关系。

2、过程与方法：培养学生分析归纳概括能力以及解决实际问题的能力。

3、情感态度与价值观：感受数学知识与生活的密切联系，树立生活中处处有数学的思想。

【教学重点】理解单价、速度的概念，掌握单价×数量＝总价、速度×时间＝路程这两组数量关系。

【教学难点】应用数量关系解决实际问题。【教学准备】小黑板。【教学过程】

一、复习导入（3分）

小黑板展示信息：检测学生预习情况并反馈：（1）每个书包50元，4个书包多少钱？

300元钱买了6个同样的书包，每多少钱？（2）一辆动车每小时行200千米，4小时行多少千米？

一辆动车行了800千米，每小时行200千米，行了多少小时？

二、出示目标（学生学习目标）

三、新课探究：

1、学生自主学习教材52页例4。（1）什么叫单价、数量、总价。（2）举例说明。

（3）讨论总结关系式：单价×数量=总价；总价÷单价=数量；总价÷数量=单价。

2、尝试训练：教材52页做一做。

3、学生自主学习教材53页例5。

（1）什么叫路程、速度（千米每时）、时间。（2）讲解速度的。

（2）讨论总结关系式：速度×时间=路程；路程÷速度=时间；

路程÷时间=速度。

4、尝试训练：教材53页做一做。

四、当堂检测（8分）

根据所学数量关系解决实际问题：

1、学校图书室买了12本故事书，每本4元，一共用去了多少元？

2、学校图书室买了故事书一共用去48元，每本故事书4元，买了几本故事书？

3、学校图书室买了12本故事书，一共用去48元，每本故事书多少元？

4、甲乙两地相距320千米，一辆车从甲地开往乙地，每小时行驶75千米，问4小时它能否到达目的地？

五、课堂小结（4分）学生谈收获和自我评价。

六、作业布置：

5.数量关系知识点总结 篇五

第一章 带入与排除法 一，直接带入法

直接带入法常用于多位数问题，不定方程问题，同余问题，年龄问题，周期问题，复杂行程问题和和差倍比问题，并与其它运算方法相结合，带入排除法不仅仅意味着把选项带入题干，而且在计算过程中，一边计算一边比较答案选项，很可能算到一半答案就出来了。

二，倍数特性法

倍数特性法是一种特殊的带入排除法

1，2，5—后一位； 4，25—后两位； 8，,125—后三位 3—数字和除以三； 9—数字和除以9 7—末一位的两倍与剩下的数之差为7的倍数

7--末三位与剩下数的差（大数减小数）是7的倍数 11—奇数位之和与偶数位之和的差是11的倍数（1）直接倍数法

两个数的和为a，差为b，则两个数分别为a+b/2，a-b/2.（2）因子倍数法

当题干中涉及小数的时候，相乘不一定保留原来的倍数关系，2和5因子相乘后会消失，但是3,7,9,11,13等质因子会一直存在

（3）比例倍数法（和差倍比）

若a:b=m:n，则说明a占m份，是m的倍数；b占n份是n的倍数，(m与n互质)a+b占m+n份，是m+n的倍数，a-b占m-n份是m-n的倍数 三，综合特性法

大小特性，奇偶特性，尾数特性，余数特性，幂次特性，质数特性

（1）两个数字和差为奇，二者奇偶相反；两个数字和差为偶，二者奇偶相同。（2）两个数字的和为奇数，二者差也为奇数；两个数字和为偶数，二者差也为偶数

（3）正整数加，减，乘运算中，每个数最后N位，经过同样运算，可以得到结果最后N位

经典例题：

奇偶运算基本法则 【基础】奇数±奇数= ； 偶数±偶数= ； 偶数±奇数= ； 奇数±偶数=。【推论】

一、任意两个数的和如果是奇数，那么差也是奇数；如果和是偶数，那么差也是偶数。

二、任意两个数的和或差是奇数，则两数奇偶相反；和或差是偶数，则两数奇偶相同。

倍数关系核心判定特征

如果，则 a是m 的倍数； b是n 的倍数。

如果，则 a是m 的倍数； b是n 的倍数。如果，则应该是 m±n 的倍数。

【例1】两个数的差是2345，两数相除的商是8，求这两个数之和？（）

A.2353 B.2896 C.3015 D.3456

【解析】：两个数的差为奇数，所以两个数的和也应该为奇数，排除掉B和D，两数相除商为8，即a:b=8:1,所以a+b 是9的倍数，所以选C

【例2】：一单位组织员工乘车去泰山，要求每辆车上的员工数相等。起初，每辆车22人，结果有一人无法上车;如果开走一辆车，那么所有的旅行者正好能平均乘到其余各辆车上，已知每辆最多乘坐32人，请问单位有多少人去了泰山？（）

A.269 B.352

C.478 D.529

【解析】：每辆车22人，结果有一人无法上车，即总人数除以22余1，也就是总人数-1能被22整除，即能同时被2和11整除，首先排除掉B和C，A和D减1后都能被2整除，只要看下能不能被11整除即可，所以答案为D.【例3】某公司去年有员工830人，今年男员工人数比去年减少6%，女员工人数比去年增加5%，员工总数比去年增加3人，问今年男员工有多少人？

A.329 B.350

C.371 D.504

【解析】：这是2011年的国考题。如果设去年男员工人数为x时，那今年男员工人数则为（1-6%）x=0.94x。也就是说今年男员工人数含有0.94的因子，即能被0.94整除，答案选A。

所以熟练掌握数字特性法对于解决某一类数学运算非常有效，所以考生须熟记几个非常常用的特性，比如因子、倍数、因子、比例特性。

【例22】（江苏2006B-76）在招考公务员中，A、B两岗位共有32个男生、18个女生报考。已知报考A岗位的男生数与女生数的比为5：3，报考B岗位的男生数与女生数的比为2：1，报考A岗位的女生数是（）。A.15 B.16 C.12 D.10

【答案】C，【解析】报考A岗位的男生数与女生数的比为5：3，所以报考A岗位的女生人数是3的倍数，排除选项B和选项D；代入A可发现不符合题意，所以选择C。【例23】（上海2004-12）下列四个数都是六位数，X是比10小的自然数，Y是零，一定能同时被2、3、5整除的数是多少？（）

A.XXXYXX B.XYXYXY C.XYYXYY D.XYYXYX

【答案】B，【解析】因为这个六位数能被 2、5整除，所以末位为0，排除A、D；因为这个六位数能被3整除，这个六位数各位数字和是3的倍数，排除C，选择B。【例24】（山东2004-12）某次测验有50道判断题，每做对一题得3分，不做或做错一题倒扣1分，某学生共得82分，问答对题数和答错题数（包括不做）相差多少？（）A.33 B.39 C.17 D.16

【答案】D，【解析】答对的题目+答错的题目=50，是偶数，所以答对的题目与答错的题目的差也应是偶数，但选项A、B、C都是奇数，所以选择D。

【例25】（国2005一类-

44、国2005二类-44）小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是多少元？（）A.1元 B.2元 C.3元 D.4元

【答案】C，【解析】因为所有的硬币可以组成三角形，所以硬币的总数是3的倍数，所以硬币的总价值也应该是3的倍数，结合选项，选择C。

【注一】很多考生还会这样思考：“因为所有的硬币可以组成正方形，所以硬币的总数是4的倍数，所以硬币的总价值也应该是4的倍数”，从而觉得答案应该选D。事实上，硬币的总数是4的倍数，一个硬币是五分，所以只能推出硬币的总价值是4个五分即两角的倍数。

【注二】 本题中所指的三角形和正方形都是空心的。

【例26】（国2002A-6）1998年，甲的年龄是乙的年龄的4倍。2002年，甲的年龄是乙的年龄的3倍。问甲、乙二人2000年的年龄分别是多少岁?（）

A.34岁，12岁 B.32岁，8岁 C.36岁，12岁 D.34岁，10岁

【答案】D，【解析】由随着年龄的增长，年龄倍数递减，因此甲、乙二人的年龄比在3-4之间，选择D。

【例27】（国2002B-8）若干学生住若干房间，如果每间住4人则有20人没地方住，如果每间住8人则有一间只有4人住，问共有多少名学生？（）。

A.30人 B.34人 C.40人 D.44人

【答案】D，【解析】由每间住4人，有20人没地方住，所以总人数是4的倍数，排除A、B；由每间住8人，则有一间只有4人住，所以总人数不是8的倍数，排除C，选择D。

【例28】（国2000-29）一块金与银的合金重250克，放在水中减轻16克。现知金在水中重量减轻1/19，银在水中重量减轻1／10，则这块合金中金、银各占的克数为多少克？（）A.100克，150克 B.150克，100克 C.170克，80克 D.190克，60克 【答案】D，【解析】现知金在水中重量减轻1/19，所以金的质量应该是19的倍数。结合选项，选择D。

【例29】（国1999-35）师徒二人负责生产一批零件，师傅完成全部工作数量的一半还多30个，徒弟完成了师傅生产数量的一半，此时还有100个没有完成，师徒二人已经生产多少个？（）A.320 B.160 C.480 D.580

【答案】C，【解析】徒弟完成了师傅生产数量的一半，因此师徒二人生产的零件总数是3的倍数。结合选项，选择C。

【例30】（浙江2005-24）一只木箱内有白色乒乓球和黄色乒乓球若干个。小明一次取出5个黄球、3个白球，这样操作N次后，白球拿完了，黄球还剩8个；如果换一种取法：每次取出7个黄球、3个白球，这样操作M次后，黄球拿完了，白球还剩24个。问原木箱内共有乒乓球多少个?（）A.246个 B.258个 C.264个 D.272个

【答案】C，【解析】每次取出7个黄球、3个白球，这样操作M次后，黄球拿完了，白球还剩24个。因此乒乓球的总数=10M+24，个位数为4，选择C。

【例34】（北京社招2005-11）两个数的差是2345，两数相除的商是8，求这两个数之和？（）A.2353 B.2896 C.3015 D.3456 【答案】C，【解析】两个数的差是2345，所以这两个数的和应该是奇数，排除B、D。两数相除得8，说明这两个数之和应该是9的倍数，所以答案选择C。

【例35】（北京社招2005-13）某剧院有25排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有70个座位。这个剧院共有多少个座位？（）A.1104 B.1150 C.1170 D.1280 【答案】B，【解析】剧院的总人数，应该是25个相邻偶数的和，必然为25的倍数，结合选项选择B。

【例36】（北京社招2005-17）一架飞机所带的燃料最多可以用6小时，飞机去时顺风，速度为1500千米/时，回来时逆风，速度为1200千米/时，这架飞机最多飞出多少千米，就需往回飞？（）A.2000 B.3000 C.4000 D.4500 【答案】C，【解析】逆风飞行的时间比顺风飞行的时间长，逆风飞行超过3小时，顺风不足3小时。飞机最远飞行距离少于1500³3＝4500千米；飞机最远飞行距离大于1200³3＝3600千米。结合选项，选择C。

【例37】（北京社招2005-20）红星小学组织学生排成队步行去郊游，每分钟步行60米，队尾的王老师以每分钟步行150米的速度赶到排头，然后立即返回队尾，共用10分钟。求队伍的长度？（）A.630米 B.750米 C.900米 D.1500米 【答案】A，【解析】王老师从队尾赶到队头的相对速度为150+60＝210米／分；王老师从队头赶到队尾的相对速度为150-60＝90米／分。因此一般情况下，队伍的长度是210和90的倍数，结合选项，选择A。

第二章

转化归纳法

一，化归为一法

如果题干中没有涉及某个具体量的大小，并且不影响最终结果，我们可以用化归为一法，将这个量设为某一个计算的数值。

一般应用于工程问题，混合比例问题，和差倍比问题，加权平均数问题，流水行船问题，往返行程问题，几何问题和经济利润问题。

※其中，设“1”思想是设“1”或设“100”或设“最小公倍数”，（每题只能设一次）二，比例假设法—利用数字矛盾

尽管假设数字会与题干已知条件矛盾，但我们仍然可以强行假设某一个数字，然后利用倍数关系对推算出来的矛盾双方进行比较，按照比例放大或缩小即可，假如一次假设计算过程中出现分数或小数，可以二次假设或重新假设方便计算的量。※（采用假设比例法时，必须有一个量固定不变，其它两个量成比例关系）三，工程问题（重点必考点）

工程问题是研究工作量，工作时间和工作效率之间的关系 工作量=工作时间*工作效率

核心思想：化归为一法，比例假设法，特值法

主要分类：1.基础运算型；2.同事合作型；3.先后合作型；4.交替合作性（注意周期）5.撤出加入型；6.两项工程型；7.三项工程型 工程问题经典题型：

1.某行政村計劃15天完成春播任務1500畝，播種5天後，由於更新機械，工作效率提高25%，問這個行政村會提前幾天完成這1500畝的春播計劃？ A.4 B.3 C.2 D.1 2.某工廠的一個生產小組，當每個工人在自己的工作崗位上工作時，9小時可以完成一項生產任務。如果交換工人甲和乙的工作崗位，其他人的工作崗位不變時，可提前1小時完成任務；如果交換工人丙和丁的工作崗位，其他人的工作崗位不變時，也可提前1小時完成任務。如果同時交換甲和乙、丙和丁的工作崗位，其他人的工作崗位不變，可以提前多少小時完成這項任務？ A.1.6 B.1.8 C.2.0 D.2.4 3.有20人修築一條公路，計劃15天完成。動工3天後抽出5人植樹，留下的人繼續修路。如果每人工作效率不變，那麼修完這段公路實際用多少天？ A.16 B.17 C.18 D.19 4.單獨完成某項工作，甲需要16小時，乙需要12小時，如果按照甲、乙、甲、乙、„„的順序輪流工作，每次1小時，那麼完成這項工作需要多長時間？ A.13小時40分鍾B.13小時45分鍾C.13小時50分鍾D.14小時

5.甲、乙兩車運一堆貨物。若單獨運，則甲車運的次數比乙車少5次；如果兩車合運，那麼各運6次就能運完，甲車單獨運完這堆貨物需要多少次？ A.9 B.10 C.13 D.15 6.某計算機廠要在規定的時間內生產一批計算機，如果每天生產140臺，可以提前3天完成；如果每天生產120臺，要再生產3天纔能完成，問規定完成的時間是多少天？ A.30 B.33 C.36 D.39 7.甲、乙兩單位合做一項工程，8天可以完成。先由甲單位獨做6天後，再由兩單位合做，結果用6天完成了任務。如該工程由乙單位獨做，則需多少天纔能完成任務？ A.8 B.12 C.18 D.24 8.甲1天做的工作等於乙2天做的工作，等於丙3天做的工作。現有一工程，甲2天可完成。問乙與丙合作要多少天完成？ A.12天 B.5天 C.2.4天 D.10天

9.一只木桶，上方有兩個注水管，單獨打開第一個，20分鍾可注滿木桶；單獨打開第二個，10分鍾可注滿木桶。若木桶底部有一個漏孔，水可以從孔中流出，一滿桶水用40分鍾流完。問當同時打開兩個注水管，水從漏孔中也同時流出時，木桶需經過多長時間纔能注滿水？

A.8分鍾 B.9分鍾 C.10分鍾 D.12分鍾

10.一個游泳池，甲管注滿水需6小時，甲、乙兩管同時注水，注滿要4小時。如果只用乙管注水，那麼注滿水需多少小時？ A.14 B.12 C.10 D.8 答案及解析：

1.中公解析：本題答案選C。原來的工作效率為100畝/天，提高25%後則每天播種125畝，剩餘的1000畝需要8天播完，因此可以提前2天完成任務。

3.中公解析：本題答案選D。設每人每天乾活1個單位，那麼，題意可以理解為15人乾活需要乾滿20天。因為有5個人另乾了3天，即相當於15個人乾了一天的活，所以15人現在只需乾活20-1＝19天。

6.中公解析：本題答案選D。生產的計算機總量不變，每天生產120臺比每天生產140臺多用6天，故每天生產140臺需要120³6÷(140-120)=36天，故規定時間為36+3=39天。本題也可用方程法求解。

第三章 典型解题技巧 一，十字相乘法—本质就是一个简化方程

※ 算出来的是总量比，如要算单位比，再除以单价。二，构造设定法（与极端思维法配合使用）

根据题目要求，直接进行构造，如有必要，可以回头验证构造结果。我们构造的只是满足题目的情况之一，不是唯一。

三，极端思维法（当题干中出现至多，至少，最多，最少，最大，最小时）使用极端构造思维构造极端思维时可能得到的是非整数解：

如果题目问最大时，就往小取整；如果题目问最小时，就往大取整。四，枚举列举法

1.直接枚举说满足条件的所有情况（当满足条件情况较少时用）

2.当答案要求数字很大时，我们可从较小的数字出发，总结归纳出通用规律 N条直线可将平面分割成n(n+1)/2个部分

（2，4，7，11,16,22,29,37,46,56）差为（2,3,4,5,6,7,8,9,10）五，逆向思维法（除以2，加1→减1，乘以2）

1.逆向推导型：将运算过程完全颠倒，从后往前逆推。

2.正反互补型：若“正面”不好求解，用总体剔除与之互补的“反面”求解。十字相乘法：

十字相乘法用来解决一些比例问题特别方便。但是，如果使用不对，就会犯错。

（一）原理介绍

通过一个例题来说明原理。

某班学生的平均成绩是80 分，其中男生的平均成绩是75，女生的平均成绩是85。求该班男生和女生的比例。方法一：男生一人，女生一人，总分160 分，平均分80 分。男生和 女生的比例是l : 1。

方法二：假设男生有A，女生有B。(A * 75 + B85)/(A 十B)= 80 整理后A = B，因此男生和女生的比例是1 : 1。方法三：

男生：75 5 80 女生：85 5 男生：女生= 1 : l。

一个集合中的个体，只有2 个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A 的个体与取值为B 的个体的比例。假设A 有x , B 有（1 一X）。

AX + B(1 一X)= C X =（C 一B)/(A 一B)1 一X =（A 一C)/ A 一B 因此：X :(l 一X)=(C 一B):(A 一C)上面的计算过程可以抽象为： A C 一B C B A 一C 这就是所谓的十字相乘法。十字相乘法使用时要注意几点：

第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。

第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。

第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。．某体育训练中心，教练员中男占90 %，运动员中男占80 %，在教练员和运动员中男占82 %，教练员与运动员人数之比是 ： A 2: 5 B l: 3 C 1: 4 D l: 5 答案：C，分析：

男教练：90 % 2 % 82 % 男运动员：80 % 8 % 男教练：男运动员＝2 % : 8 ％= 1 ：4 2 ．某公司职员25 人，每季度共发放劳保费用15000 元，己知每个男职必每季度发580 元，每个女职员比每个男职员每季度多发50 元，该公司男女职员之比是多少 A.2: 1 B 3: 2 C 2: 3 D.1: 2 答案：B 分析：职工平均工资15000 / 25 = 600 男职工工资：580 30 600 女职工工资：630 20 男职工：女职工＝30 : 20 = 3 : 2 3 ．某城市现在有70 万人口，如果5 年后城镇人口增加4 %，农村人口增加5.4 %，则全市人口将增加4.8 ％。现在城镇人口有（）万。A 30 B 31.2 C 40 D 41.6 答案A 分析：城镇人口：4 % 0.6 %

4.8 % 农村人口：5.4 % 0.8 % 城镇人口：农村人口=0.6 % ：0.8 ％=3 : 4 70 *(3 / 7)= 30 4 ．某班男生比女生人数多80 %，一次考试后，全班平均成级为75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20 %，则此班女生的平均分是： A 84 分 B 85 分 C 86 分 D 87 分 答案：A 分析：假设女生的平均成绩为X，男生的平均Y。男生与女生的比例是9：5。男生：Y 9 75 女生：X 5 根据十字相乘法原理可以知道，X=84 5 ．某高校2006 毕业学生7650 名，比上增长2 % ．其中本科毕业生比上减少2 % ．而研究生毕业数量比上增加10 % ,那么，这所高校今年毕业的本科生有：

A 3920 人B 4410 人C 4900 人D 5490 人 答案：C 分析：去年毕业生一共7500 人。7650 /(1 + 2 %)= 7500 人。本科生：-2 % 8 % 2% 研究生：10 % 4 % 本科生：研究生=8 % : 4 % = 2 : 1。7500 *(2 / 3)= 5000 5000 * 0.98 = 4900 6 资料分析：

根据所给文字资料回答121 一125 题。

2006 年5 月份北京市消费品市场较为活跃，实现社会消费品零售额272.2 亿元，创今年历史第二高。据统计，l-5 月份全市累计实现社会消费品零售额1312.7 亿元，比去年同期增长12.5 ％。

汽车销售继续支撑北京消费品市场的繁荣。5 月份，全市机动车类销售量为5.4 万辆，同比增长23.9 ％。据对限额以上批发零售贸易企业统计，汽车类商品当月实现零售额32.3 亿元，占限额以上批发零售贸易企业零售额比重的20.3 ％。

据对限额以上批发零售贸易企业统计，5 月份，家具类、建筑及装潢材料类销售延续了4 月份的高幅增长，持续旺销，零售额同比增长了50 ％。其中，家具类商品零售额同比增长27.3 %，建筑及装演材料类商品零售额同比增长60.8 ％。同时由于季节变换和节日商家促销的共同作用，家电销售大幅增长，限额以上批发零售贸易企业家用电器和音像器材类商品零售额同比增长13.6 ％。

．北京市2006 年5 月份限额以上批发零售贸易企业社会消费品零售额占社会消费品零售总额的百分比约为：

A.50.5 % B.58.5 % C , 66.5 % D.74.5 % 答案：B 分析：(32.3 / 2 0.3 %)/ 272.2。结果和160 / 270 相当。接近60 ％。所以选B。

．若保持同比增长不变，预计北京市2007 年前5 个月平均每月的社会消费品零售额：

A ．将接近255 亿元B，将接近280 亿元C ．将接近300 亿元D ．将突破300 亿元 答案：C 分析：(1312.5 / 5)*(l + 12.5 %）。12.5 ％=l / 8。（1312.5 * 9)/ 40 接近300。

2006 年5 月份，限额以上批发零售贸易企业中，家具类商品零售额占家具类和建筑及装演材料类商品零售额的比例是：A.27.4 % B.29.9 % C.32.2 % D.34.6 % 答案：A 分析：两种方法。

方法一：比较常规的做法假设2005 年家具类所占比例为X。X *(l + 27.3 %)+(l 一X)*(l + 60.8 %)= l + 50 % X = 32.2 ％。

【32.2 % *(l + 27.3 %)】/【32.2 % *(l + 27.3 %)+(l 一32.2 %)*(1 + 60.8 % 0)】= 27.4 % 整个过程计算下来，至少5 分钟。方法二：十字相乘法原理．最快． 家具27.3 %，近似为27 %;建筑60.8 %，近似为61 ％。

家具：27 % 11% 50 % 建筑：61 % 23 % 家具：建筑＝11 % : 23 ％大约等于1 : 2。注意这是2006 年4 月份的比例。建筑类2006 年所占比例为：l *(l + 27.3 %)/ [ 1 *(l + 27.3 %)+ 2 *(l + 60.8 %)= 1.27 /(1.27 + 3.2)= 1.27 / 4.5 = 28 ％。和A 最接近。124 ．下列说法正确的是：.2006 年1-5 月份北京市每月平均社会消费品零售额比去年同期增长12.5 % 11.2006 年5 月份家具类、建筑及装潢材料类、家电类限额以上批发零售贸易企业零售额的增长率相比较，建筑及装潢材料类增长最快 1ll.2005 年，北京市机动车类销售量约为4.36 万辆

A ．仅1 B ．仅11 C.I 和11 D.II 和111 答案：C 分析：1 一5 月份全市累计实现社会消费品零售额1312.7 亿元，比去年同期增长12.5 ％。累计增长A/B＝同比增长（A/5)/(B / 5）。I 正确,11 正确，文中直接找答案。5.4 /(1 + 23.9 %）约等于4.36。125 ．下列说法肯定正确的是：

A.2006 年前5 个月中，5 月份的社会消费品零售额最高

B.2006 年5 月，几类商品的零售额都比前4 个月高

C.2006 年5 月，限额以上批发零售贸易企业零售额比前4 个月都高

D ．至少存在一类商品，其2006年前5个月的零售额同比增长不高于12.5%，答案：D 分析：1 一5 月份全市累计实现社会消费品零售额1312.7 亿元，比去年同期增长12.5 %，而5 月份各类零售增长率都超过了12.5 ％。因此可以肯定，至少存在一类商品，其2006 年前5 个月的零售额同比增长不高于12.5 ％。构造题型题目解析：

当题干中出现“至少„„(才)保证„„”、“至少„„”、“最„„最多(少)„„”、“排名第„„最多(少)”等字眼时，均可判定该题为最值问题。

常见题型：

1.最不利构造：

特征：至少(最少)„„保证；方法：答案=最不利的情形+1。

2.多集合反向构造：

特征：都„„至少„„；方法：反向、加和、做差。

3.构造数列：

特征：最„„最„„，排名第„„最„„；方法：构造一个满足题目要求的数列

2012-河北42.要把21棵桃树栽到街心公园里5处面积不同的草坪上，如果要求每块草坪必须有树且所栽棵数要依据面积大小各不相同，面积最大的草坪上至少要栽几棵？()

A.7 B.8

C.10 D.11

【答案】A

【解析】本题属于构造数列题型。要使面积最大的草坪栽种的树最少，就要保证其他的草坪栽种的树最多，设面积最大的草坪至少栽种X棵，则其他的草坪可栽种X－1,X－2, X－3,X－4棵，则X＋X－1＋X－2＋X－3＋X－4=21，即5X－10=21，X=6.2，而X必须取整数，所以X=7。因此，答案选择A选项。

2011-河北-44.某中学在高考前夕进行了四次语文模拟考试，第一次得90分以上的学生为70%，第二次是75%，第三次是85%，第四次是90%，请问在四次考试中都是90分以上的学生至少是多少？()

A.40% B.30%

C.20% D.10%

【答案】C

【解析】设共有100人考试，则得90分以上的同学依次有70、75、85、90人，因此没过90分的依次有30、25、15、10人，则没过90分的最多有30+25+15+10=80(人)，故90分以上的至少有100-80=20(人)，占20%。因此，答案选择C选项。

2010-河北-39.某中学初二年级共有620名学生参加期中考试，其中语文及格的有580名，数学及格的有575名，英语及格的有604名，以上三门功课都及格的至少有多少名同学？()

A.575 B.558

C.532 D.519

【答案】D

【解析】要使三门功课都及格的人数最少，则需要三门功课的人中，每人都只有一门不及格，不及格的人数总数为(620-575)+(620-580)+(620-604)＝101(人)，故三门功课都及格的人数最少为620-101＝519(名)。因此，答案选择D选项。

2009-河北-108.100名村民选一名代表，候选人是甲、乙、丙三人，每人只能投票选举一人，得票最多的人当选。开票中途累计前61张选票中，甲得35票，乙得10票，丙得16票。在尚未统计的选票中，甲至少再得多少票就一定当选？()

A.11 B.12

C.13 D.14

【答案】A

【解析】本题属于构造数列题型。甲至少再得多少票就一定当选的意思就是票数最多的甲最少得多少张票。我们可以发现对甲最有竞争力的就是丙，所以最极端的情况就是甲取得了x票，剩下的39-x全部投给了丙，这样甲也当选了。即满足35+x＞16+39-x，即2X＞20，X＞10，所以甲至少要得11张。因此，答案选择A选项。

第四章 方程与不等式 方程法是整个数学运算的第一重要方法（通常可知列不求）

主要题型：盈亏问题，鸡兔同笼问题，和差倍比问题，牛吃草问题 一，基本方程思想（巧设未知数，快速解方程）

1.当方程有小数或是分数而计算复杂时，同乘化整。

2.方程组中若存在多个未知数，尽量消去无关未知数，保留所求未知数。3.方程中存在一些无关未知数，完全可以作为整体直接消去。4.比例型的方程形式，可能存在很好的化简方法。5.未知数转变且无法消除时，可直接令x=0得到答案。6.若题目中存在xy这样的乘积项，先化简或消掉。

（1）A/B=C/D→A+C/B+D=A-C/B-D(当两个分子或分母的和或差为常数时)（2）A/B=C/D→A±B/B=C±D/D→A/B±A=C/D±C（条件同上）整体解方程—整体代换，无需求出每一个未知数。逆向解方程—倒推法。

二，不定方程（组）--最新考察热点 多元不定方程或方程组：特值代入法；

二元不定方程：带入试值法，令最复杂的一项为“0”； 三，不等式—直接解出满足不等式的范围

列出不等式，找好是“＞”还是“≥”，是“＜”还是“≤”。四，盈亏与鸡兔同笼问题

列方程，解方程是最高效，最准确的方法。五，和差倍比

第五章 基础运算模块 一，纯粹计算问题 基本公式：

a²-b²=（a+b）（a-b）；a+b≥2跟下ab；ab≤（a+b/2）²→（a-b）²≥0；(a±)²= a²+2ab+b²； a*b*c≤（a+b+c/3）³

a的m次方*a的n次方=a的m+n次方，a的m次方的n次方=a的m*n次方；（a*b）的n次方= a的n次方+b的n次方

※ 弃九法※（当整数范围内+，-，*三种运算方法中可使用）

1.在计算中，将计算过程中数字全部除以9，留其余数进行相同的计算；

2.计算中如有数字不在0—8之间，通过加上或减去9或9 的倍数调整到0—8之间； 3.将选项除以9留其余数，与上面计算结果对照，得到答案。注意循环数的求法，因数分解！※ 裂项相消公式

B/M*(M+A)=(1/M-1/M+A)*B/A(“小分之一”减去“大分之一”乘以二者差分之分子)在比较复杂的计算中，将相近的数化为相同，从而作为一个整体相抵消

乘方尾数的算法：地鼠留个位，指数除以4，留余数，余数为零，去4！1.直接计算题；2.弃九推断；3.乘法分配率；4.循环数字； 5.比较大小； 6.裂项相消；7.整体消去； 8.乘方尾数。二，运算拓展模型

1.定义运算：XΦY,X△Y，2.抽象函数f（x）3.恒等变换； 4.二次方程； 5.极值求解 一，数列综合运算 1.等比数列：

设首项为；末项为 , 项数为 , 公差为 , 前 项和为

则有:① ② ③ ④ 其中 ：

=平均数*项数=中位数*项数；

通项公式：

等差数列奇数项求和=项数² 2.等比数列

等比数列求和公式：an=a1*q^(n-1)

第六章 计数问题模块 一，容斥原理

（一）两集合容斥原理

1.当题目中出现①满足条件A的数目，②满足条件B的数目，③同时满足A，B的数目，④条件A,B都不满足的数目，⑤总数

公式：满足A+满足B-满足A,B+A，B都不满足=总数 2.若出现：只满足条件A或只满足条件B→用两集合图示标数。

（二）三集合容斥原理

1.关于满足两个条件的描述，如果题目只涉及①满足A，B条件；②满足B，C条件；③满足A，C条件的数目→标准公式

2.若题目涉及“只满足条件A，B的数目”，一般采用三集合图示标数； 3.若题目涉及“满足一个条件的数目”和“满足两个条件的数目”； 只给出一个总数而不是分项数字，一般用“三集合整体重复型”。

※标准型公式：1.两个集合的容斥关系公式：A∪B = A+BA∩BC∩A +A∩B∩C 如左边代表至少满足三个条件之一的情况，也等于总数减去三个条件都不满足的情况；

（三）三集合图示标数型

1.特别注意“满足某条件”和“仅满足某条件”的区别； 2.特别注意有没有“三个条件都不满足”的情况； 3.标数时，注意从中间向外围标记。

（四）三集合整体重复型

在三集合容斥题型中，假设三个条件的元素数量分别是A,B,C,而至少满足三个条件之一的元素的总量为W；其中：满足一个条件的元素数量为X，满足两个人条件的元素数量为Y，满足三个条件的元素数量为Z。① W=X+Y+Z;② A+B+C=X*1+Y*2+Z*3 详细推理：

1、等式右边改造 = {[（A+BB∩C]-C∩A }+ A∩B∩C

2、文氏图分块标记如右图图：1245构成A，2356构成B，4567构成C

3、等式右边（）里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分： 那么A∪B∪C还缺部分7。

4、等式右边[]号里+C（4+5+6+7）后，相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分，减去B∩C（即5+6两部分）后，还多加了部分4。

5、等式右边{}里减去C∩A（即4+5两部分）后，A∪B∪C又多减了部分5，则加上A∩B∩C（即5）刚好是A∪B∪C。如图所示：

二，基础排列组合

加法原理 排列：与顺序有关，乘法原理 组合：与顺序无关，排列公式： 组合公式：

逆向公式：满足条件的情况—不满足条件的情况数。三，拓展排列组合

1.相邻问题—捆绑法—先考虑相邻元素，然后将其视为一个整体考虑；

2.不邻问题—插孔法—先考虑剩余元素，然后将不邻元素进行插孔（路灯熄灭问题）3.错位配列—0,1,2,9,44,256； 4.重复剔除型

平均分租时，一旦有N个组人数相同，最后都要除以Ann以剔除重复情况，例：将6个人平均分成3组，请问一共有多少种分法？ C62*C42*C22/A33=15 5.圆桌排列：N个人排成一圈，有Ann/n=（n-1）！种方法；

6.分配插板型（将M个元素，分到N组，每组至少分一个），Cm-1，n-1 需满足条件：①元素相同，②分配到不同的组，③每个组至少分一个（三者缺一不可）

① 如果没有至少分到一个，只说把6个苹果分到3组，可以先借三个苹果没人分一个，再按照公式去分；

② 如果题干说至少分得N的元素，则分给每组N-1元素，构造成每组至少分得一个的情况。经典例题分析： 难点：

⑴从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； ⑵限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词（特别是逻辑关联词和量词）准确理解；

⑶计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； ⑷计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。例题

【例1】 从1、2、3、„„、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有多少个？

分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c，可知b由a,c决定，又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，即：分别从1，3，5，„„，19或2，4，6，8，„„，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，A（10,2）*2=90*2，因而本题为180。

【例2】 某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法? 分析：对实际背景的分析可以逐层深入：

（一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步；

（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法；

（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右；

从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数。∴ 本题答案为：C（8,3）=56。分析

分析是分类还是分步，是排列还是组合

注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合。【例3】在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有多少种？ 分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。第一类：A在第一垄，B有3种选择；

第二类：A在第二垄，B有2种选择； 第三类：A在第三垄，B有1种选择，同理A、B位置互换，共12种。

【例4】从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有多少种？（A)240(B)180(C)120(D)60 分析：显然本题应分步解决。

（一）从6双中选出一双同色的手套，有6种方法；

（二）从剩下的十只手套中任选一只，有10种方法。

（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有8种方法；

（四）由于选取与顺序无关，因

（二）（三）中的选法重复一次，因而共240种。或分步

⑴从6双中选出一双同色的手套，有C（6,1）=6种方法 ⑵从剩下的5双手套中任选两双，有C（5,2）=10种方法

⑶从两双中手套中分别拿两只手套，有C（2,1）³C（2,1）=4种方法。同样得出共⑴³⑵³⑶=240种。

【例5】．身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为_______。分析：每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有C（6,2）³C（4,2）³C（2,2）=90种。

【例6】在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法? 分析：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。

以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。第一类：这两个人都去当钳工，C（2,2）³C（5,2）³C（4,4）=10种； 第二类：这两个人都去当车工，C（5,4）³C（2,2）³C（4,2）=30种； 第三类：这两人既不去当钳工，也不去当车工C（5,4）³C（4,4）=5种。

第四类：这两个人一个去当钳工、一个去当车工，C（2,1）³C（5,3）³C（4,3）=80种；

第五类：这两个人一个去当钳工、另一个不去当车工，C（2,1）³C（5,3）³C（4,4）=20种；

第六类：这两个人一个去当车工、另一个不去当钳工，C（5,4）³C（2,1）³C（4,3）=40种；

因而共有185种。

【例7】现有印着0，1，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9可以作6用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数? 分析：有同学认为只要把0，1，3，5，7，9的排法数乘以2即为所求，但实际上抽出的三个数中有9的话才可能用6替换，因而必须分类。抽出的三数含0，含9，有32种方法； 抽出的三数含0不含9，有24种方法； 抽出的三数含9不含0，有72种方法； 抽出的三数不含9也不含0，有24种方法。因此共有32+24+72+24=152种方法。

【例8】停车场划一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法有多少种? 分析：把空车位看成一个元素，和8辆车共九个元素排列，因而共有A（9,9）=362880种停车方法。特殊优先

特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑。【例9】六人站成一排，求

⑴甲、乙既不在排头也不在排尾的排法数

⑵甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数 分析：⑴按照先排出首位和末尾再排中间四位分步计数 第一步：排出首位和末尾、因为甲乙不在首位和末尾，那么首位和末尾实在其它四位数选出两位进行排列、一共有A（4,2）=12种；

第二步：由于六个元素中已经有两位排在首位和末尾，因此中间四位是把剩下的四位元素进行顺序排列，共A（4,4）=24种；

根据乘法原理得即不再排头也不在排尾数共12³24=288种。⑵第一类：甲在排尾，乙在排头，有A（4,4）种方法。第二类：甲在排尾，乙不在排头，有3³A（4,4）种方法。第三类：乙在排头，甲不在排尾，有3³A（4,4）种方法。

第四类：甲不在排尾也不在排头，乙不在排头也不在排尾，有6³A（4,4）种方法（排除相邻）。

共A（4,4）+3³A（4,4）+3³A（4,4）+6³A（4,4）=312种。

【例10】对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能? 分析：本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。

第一步：第五次测试的有C（4,1）种可能； 第二步：前四次有一件正品有C（6,1）中可能。第三步：前四次有A（4,4）种可能。∴ 共有576种可能。捆绑与插空

【例11】8人排成一队 ⑴甲乙必须相邻 ⑵甲乙不相邻

⑶甲乙必须相邻且与丙不相邻 ⑷甲乙必须相邻，丙丁必须相邻 ⑸甲乙不相邻，丙丁不相邻

分析：⑴甲乙必须相邻，就是把甲乙 捆绑（甲乙可交换）和7人排列A（7,7）³A（2，2）

⑵甲乙不相邻，A（8,8）-A（7,7）³2。或A（6,6）³A(7,2)

⑶甲乙必须相邻且与丙不相邻，先求甲乙必须相邻且与丙相邻A（6,6）³2³2 甲乙必须相邻且与丙不相邻A（7,7）³2-A（6,6）³2³2 ⑷甲乙必须相邻，丙丁必须相邻A（6,6）³2³2

⑸甲乙不相邻，丙丁不相邻，A（8,8）-A（7,7）³2³2+A（6,6）³2³2

【例12】某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况? 分析：∵ 连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题。另外没有命中的之间没有区别，不必计数。即在四发空枪之间形成的5个空中选出2个的排列，即A（5,2）。

【例13】 马路上有编号为l，2，3，„„，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种? 分析：即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别，因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。∴ 共C（6,3）=20种方法。方法二：

把其中的3只灯关掉总情况有C（8，3)种 关掉相邻的三只有C（6，1)种

关掉相邻的两只有2*C（7，2)-12种

所以满足条件的关灯方法有:

C（8，3)-C（6，1)-[2*C（7，2)-12]

=56-6-(42-12)

=20种 间接计数法 ⑴排除法

【例14】三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形? 分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。

所求问题的方法数=任意三个点的组合数-共线三点的方法数，∴ 共76种。

【例15】正方体8个顶点中取出4个，可组成多少个四面体? 分析：所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数，∴ 共C（8,4）-12=70-12=58个。

【例16】1，2，3，„„，9中取出两个分别作为对数的底数和真数，可组成多少个不同数值的对数? 分析：由于底数不能为1。

⑴当1选上时，1必为真数，∴ 有一种情况。

⑵当不选1时，从2--9中任取两个分别作为底数，真数，共A（8,2）=56，其中log2为底4=log3为底9，log4为底2=log9为底3,log2为底3=log4为底9,log3为底2=log9为底4.因而一共有56-4+1=53个。

【例17】 六人排成一排，要求甲在乙的前面，（不一定相邻），共有多少种不同的方法? 如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢? 分析：

（一）实际上，甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称，具有相同的排法数。因而有A(6，6)/2=360种。

（二）先考虑六人全排列A(6,6)种；其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序站位，因而前面的排法数重复了A(3,3)种，∴ 有A(6，6)/A(3,3)=120种。

【例18】5男4女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法? 分析：首先不考虑男生的站位要求，共A（9,9）种；男生从左至右按从高到矮的顺序，只有一种站法，因而上述站法重复了A(5,5)次。因而有A(9,9,)/A(5,5,)=9³8³7³6=3024种 若男生从右至左按从高到矮的顺序，只有一种站法，同理也有3024种，综上，有6048种。

【例19】 三个相同的红球和两个不同的白球排成一行，共有多少种不同的方法? 分析：先认为三个红球互不相同，共A（5,5）=120种方法。

而由于三个红球所占位置相同的情况下，共A（3,3）=6变化，因而共A（5,5）/A（3,3）=20种。

公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列（即排序）。（P是旧用法，教材上多用A，Arrangement)公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列（即不排序）。挡板的使用

【例20】10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法? 分析：把10个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，选出七个位置放置档板，则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共36种。区别与联系

所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充一个阶段（排序）可转化为排列问题。

【例21】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，⑴可组成多少个不同的四位数? ⑵可组成多少个不同的四位偶数

⑶可组成多少个能被3整除的四位数? 分析：⑴有A（6,4）-A（5,3）=300个。

⑵分为两类：0在末位，则有A（5,3）=60种：0不在末位，则有C（2,1）³A（5,3）-C（2,1）³A（4,2）=96种。∴ 共60+96=156种。

⑶先把四个相加能被3整除的四个数从小到大列举出来，即先选 0，1，2，3 0，1，3，5 0，2，3，4 0，3，4，5 1，2，4，5 它们排列出来的数一定可以被3整除，再排列，有：4³[A（4,4）-A（3,3）]+A（4,4）=96种。分组问题

【例22】 5名学生分配到4个不同的科技小组参加活动，每个科技小组至少有一名学生参加，则分配方法共有多少种？

分析：

（一）先把5个学生分成二人，一人，一人，一人各一组。

其中涉及到平均分成四组，有C（5,3）=10种分组方法。可以看成4个板三个板不空的隔板法。

（二）再考虑分配到四个不同的科技小组，有A（4,4）=24种，由

（一）（二）可知，共10³24=240种。几何问题

【例23】某区有7条南北向街道，5条东西向街道（如右图）⑴图中共有多少个矩形？

⑵从A点到B点最近的走法有多少种？

分析：⑴在7条竖线中任选2条，5条横线中任选2条，这样4条线 可组成1个矩形，故可组成矩形C（7,2）²C（5,2）=210个

⑵每条东西向的街道被分成4段，每条南北向的街道被分成6段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定包括10段，其中6段方向相同，另外4段方向相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的，共有C（10,6）=C（10,4）=210种走法（同样可以从10段中选出4段走南北方向，每一种选法即是1种走法）。所以共有210种走法。口诀

排列、组合、二项式定理公式口诀：

加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。[4] 两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。四，概率问题（基于排列组合）

（一）基础计算题

（二）分步乘法型=满足条件的每个步骤的概率之积（猜密码）；

（三）分类加法型=总体概率=满足条件的各种情况概率之和（比赛问题）；

（四）逆向计算型=某条件成立概率=1-该条件不成立的概率；

（五）拓展技巧型

1.几何概率：满足条件的概率=满足条件的几何区域面积（总几何面积）； 2.条件概率：“A成立”时，“B成立”的概率=“A,B同时成立的概率/A成立的概率”； 3.概率期望值：各个实现值乘以各自成立的概率，最后再相加。五，抽屉原理

1.最不利原则：考虑对于需要满足的条件的“最不利情况”，最后加“1”即可； 2.遇到有排列组合的，先算出排列组合再算最不利原则。

第七章 比例计算模块 一，溶液问题—基本方法—十字相乘（注意饱和溶液陷阱）1.混合稀释型

③ 溶液倒出比例为a％的溶液，再加入相同的溶液，则浓度变为：1-a％； ④ 溶液加入比例为a％的溶液，再倒出相同的溶液，则浓度变为：1/1+a％ 2.在浓有关度问题中，有类题目不涉及具体溶液总量，只涉及溶质和溶液的相对比例，通常令其中的“不变量”或者“相等量”为一特值，简化计算过程。行测考试中，“溶液问题”是一类典型的“比例型”计算问题，大家首先要熟悉“溶液”、“溶质”和“溶剂”三者的关系，这是解题的基础和关键，然后考生还需掌握溶液问题常用的方法和技巧，比如方程法，赋值法等。

一、需要掌握的关键点

溶液=溶质+溶剂;浓度=溶质÷溶液;

溶质=溶液³浓度;溶液=溶质÷浓度

二、重点题型

溶质不变型(简单溶液混合、等溶质增减溶剂、溶液比例问题)

溶质变化型(混合稀释问题)

饱和浓度型

三、重点方法

简单溶液混合：运用溶液基本概念或基础公式

等溶质增减溶剂：设处溶质，得出溶液，即可解决

溶液比例问题：运用设整思想，根据所给条件将溶质或者溶液设出

溶质变化混合稀释问题：抓住浓度本质，看溶质最后剩下多少就能快速得到答案

四、例题巩固

1、溶质不变型

例：一容器内有浓度为30%的糖水，若再加入30千克水与6千克糖。则糖水的浓度变为25%。问原来糖水中含糖多少千克?()

A.15千克 B.18千克

C.21千克 D.24千克

【答案】B

【讲授说明】方程法。设原有糖水里糖为3X，则糖水的质量为10X，(3X+6)÷(10X+36)=25%。可知3X=18，原有糖水中含糖18千克。

2、溶质变化型

例：杯中原有浓度为18%的盐水溶液100ml，重复以下操作2次，加入100ml水，充分配合后，倒出100ml溶液，问杯中盐水溶液的浓度变成了多少?

A.9% B.7.5% C.4.5% D.3.6%

【答案】C

【讲授说明】加入比例为1，则浓度为：18%³(1/2)2=4.5%,选择C。

小结：等于混合稀释型溶液问题，需记得下列两个公式：

溶液到出比例为M的溶液，再加入相同的溶液，则浓度变成原来的(1-M)

溶液加入比例为M的溶剂，再倒出相同的溶液，则浓度变成原来的1/1+M

3、饱和浓度型

例：将28g某种溶质放入99g水中恰好配成饱和溶液，从中取出溶液加入4g溶质和11g水，请问此时浓度

A.21.61% B.22.05% C.23.53% D.24.15%

【答案】B

【讲授说明】由于99g水最多可溶解28g溶质，则11g水最多可溶解28/9g溶质，即小于4g的溶质，因此饱和溶液加入4g和11g谁为饱和溶液，故浓度为28/(28+99)=22.05%。

小结：判断溶液的浓度，首先要判断溶液是否饱和。特别是题目中出现“饱和”字眼，或再次加溶质的问题，一定要判断溶液是否饱和。

二，牛吃草问题

经典公式：原有草量=（牛头数-每天草长量）*天数

草长速度=（牛头数1*吃草时间1-牛头数2*吃草时间2）/（吃草时间1-吃草时间2）① 基本公式题型

牛头数*天数=原有草量+每天草长量*天数；

当题干出现“连续不断的开采”或“不至于枯竭”时，指的是时间整无穷大； ② 牛羊混吃型

将其全部转化为牛或羊，再代入公式进行计算； ③ 自然消亡型（不用牛吃草也可以自行消亡）

当计算出草长量为负数时，则不是自然生长，而是自然消亡； ④ 大小草场型

如果草场有面积区别“如m头牛吃w亩草”，则N用m/w表示； 将题干转换成m/w头牛，一亩地，吃多长时间； ⑤ 增添型或撤减型

N出现阶段性变化，则先算出总量，再根据：时间*（牛头数-草长速度）来计算； ⑥ 特殊变形

售票厅或收银员问题（针对好每个量对应牛吃草中的含义）；

行测秒杀技巧之“牛吃草”问题

【含义】 “牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。

【数量关系】 草总量＝原有草量＋草每天生长量³天数

【解题思路和方法】 解这类题的关键是求出草每天的生长量。

例1 一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？

解 草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量³天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5 天内的草总量要5 天吃完的话，得有多少头牛？ 设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：（1）求草每天的生长量

因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1³10³20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以

1³10³20＝原有草量＋20天内生长量

同理 1³15³10＝原有草量＋10天内生长量

由此可知（20－10）天内草的生长量为

1³10³20－1³15³10＝50

因此，草每天的生长量为 50÷（20－10）＝5（2）求原有草量

原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1³15³10－5³10＝100

（3）求5 天内草总量 5 天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5³5＝125（4）求多少头牛5 天吃完草

因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。

因此5天吃完草需要牛的头数 125÷5＝25（头）答：需要5头牛5天可以把草吃完。

例2 一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？

解 这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：（1）求每小时进水量

因为，3小时内的总水量＝1³12³3＝原有水量＋3小时进水量 10小时内的总水量＝1³5³10＝原有水量＋10小时进水量

所以，（10－3）小时内的进水量为 1³5³10－1³12³3＝14 因此，每小时的进水量为 14÷（10－3）＝2（2）求淘水前原有水量

原有水量＝1³12³3－3小时进水量＝36－2³3＝30（3）求17人几小时淘完

17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17－2），所以17人淘完水的时间是 30÷（17－2）＝2（小时）

答：17人2小时可以淘完水。

华图差量法解读牛吃草：

牛吃草问题是公务员考试中比较难的一类问题，常规的解决牛吃草问题的办法是牛吃草公式，即y=（N-x）³T，其中y代表原有存量（比如原有草量），N代表促使原有存量减少的外生可变数（比如牛数），x代表存量的自然增长速度（比如草长速度），T代表存量完全消失所耗用时间。注意此公式中默认了每头牛吃草的速度为1。运用此公式解决牛吃草问题的程序是列出方程组解题，具体过程不再详细叙述，接下来我们从牛吃草公式本身出发看看此公式带给我们的信息。

牛吃草公式可以变形为y+Tx=NT，此式子表达的意思是原有存量与存量增长量之和等于消耗的总量，而一般来说原有存量和存量的自然增长速度是不变的，则在此假定条件下我们可以得到x△T=△(NT)，此式子说明两种不同吃草³方式的该变量等于对应的两种长草方式的改变量，而且可以看出草生长的改变量只与天数的变化有关，而牛吃草的改变量与牛的头数和天数都有关。这个式子就是差量法解决牛吃草问题的基础。例如：

例

1、有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天？（）（2003年广东公务员考试行测第14题）

A、20 B、25 C、30 D、35

这道题目用差量法求解过程如下：设可供x头牛吃4天。则10头牛吃20天和15头牛吃10天两种吃法的改变量为10³20—15³10,对应的草生长的改变量为20—10；我们还可以得到15头牛吃10天和x头牛吃4天两种吃法的改变量为15³10—4x,对应的草生长的改变量为10—4。则我们可以列出如下的方程：

=，解此方程可得x=30。

如果求天数，求解过程是一样的，比如下面这道题目：

例

2、林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可以在9周内吃光，21只猴子可以在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光？（假定野果生长的速度不变）（）（2007年浙江公务员考试行测A类第24题）

A、2周B、3周C、4周D、5周

这道题目可设需要x周吃光，则根据差量法列出如下比例式：

=，解此方程可得x=4.以上两种情况是最常规的牛吃草问题，实际上牛吃草问题还有很多变形，比如有些时候牛吃草的速度会改变，但是依然可以用差量法解决。

例

3、一个水库在年降水量不变的情况下，能够维持全市12万人20年的用水量。在该市新迁入3万人之后，该水库只够维持15年的用水量，市政府号召节约用水，希望能将水库的使用寿命提高到30年。那么，该市市民平均需要节约多少比例的水才能实现政府制定的目标？（）（2009年国家公务员考试行测试卷第119题）

A、2/5

B、2/7

C、1/3

D、1/4

这道题目设该市市民需要节约x比例的水才能实现政府制定的目标。则12万人20年和15万人15年两种吃水方式的差为12³20—15³15，对应的降水量的改变量为20—15；15万人30年与15万人15年两种吃水方式的差为15³（1—x）³30-15³15，对应的降水量的改变量为30—15，则可列出如下的比例式：

=，解此方程得x=2/5。

如果改变的是草生长的速度一样可以用差量法解答。例如下面的例子：

例

4、在春运高峰时，某客运中心售票大厅站满等待买票的旅客，为保证售票大厅的旅客安全，大厅入口处旅客排队以等速度进入大厅按次序等待买票买好票的旅客及时离开大厅。按照这种安排，如果开出10个售票窗口，5小时可使大厅内所有旅客买到票；如果开出12个售票窗口，3小时可使大厅内所有旅客买到票，假设每个窗口售票速度相同。如果大厅入口处旅客速度增加到原速度的1.5倍，在2小时内使大厅中所有旅客买到票，按这样的安排至少应开售票窗口数为（）（2008年江苏公务员考试行测试卷C类第19题）

A.15 B.16 C.18 D.19

此题设至少应开售票窗口数为x。10个售票窗口5小时可使大厅内所有旅客买到票和开出12个售票窗口3小时可使大厅内所有旅客买到票两种方式票的差量为5³10—3³12，对应的旅客差量为5-3；10个售票窗口5小时可使大厅内所有旅客买到票和大厅入口处旅客速度增加为原速度1.5倍时开出x个售票窗口2小时可使大厅内所有旅客买到票这两种方式的差量为5³10—2x，对应的旅客差量为5-2³1.5，则可列出下列比例式：

=

解得x=18。

除了上述两种变形的情况以外，还有另外一种变形的牛吃草问题，即改变原有草量。此种类型的题目表面上看似乎不能用差量法解了，实际上经过简单的变换后依然可以用差量法解答，比如：

如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后可以吃尽，17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草，需要多少头牛？（）

A、50

B、46

C、38

D、35

根据题意我们可以知道40公亩牧场吃54天需要22³40÷33=80/3头牛，而40公亩牧场吃84天需要17³40÷28=170/7头牛，列出差量法的比例式如下：

=，解得x=35。

本例子中出现了不是整头牛的情况，不太容易理解，实际上把消耗量的整体看作一个整体的话，牛的数目并不重要，只要计算出消耗草的能力即可。

综上所述，差量法是一种比牛吃草公式更为简捷的办法，而且对于所有变形的牛吃草问题都适用，是一种很值得推广的方法。核心公式

【熟记】 牛吃草问题的核心公式：草场草量=（牛数－每天长草量)×天数，通常设每天长草量为x 基础题型演练

【例1】有一块牧场可供10头牛吃20天；15头牛吃10天；则它可供25头牛吃？天

【解答】 根据核心公式：（10－x)×20=（15－x)×10=（25－x)×？

（10－x)×20=（15－x)×10→x=5

将x=5代入，?=5

【例2】有一块牧场，可供10头牛吃20天；15头牛吃10天；则它可供?头牛吃4天

【解答】 根据核心公式：（10－x)×20=（15－x)×10=（?－x)×4（10－x)×20=（15－x)×10→x=5

将x=5代入，?=30 较为复杂的情形

【例3】22头牛吃33公亩牧场的草，54天可以吃尽；

17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽；

？头牛吃40公亩牧场的草，24天可以吃尽？

A.50 B.46 C.38 D.35

【解答】 设每公亩牧场每天新长出来的草可供x头牛吃1天，每公亩牧草量为y 根据核心公式：33y=（22－33x)×54→y=（2－ 3x)×18=36－54x 28y=（17－28x)×84→y=（17－28x)× 3=51－84x

40y=（?－40x)×24 36－54x=51－84x→x=1/2→y=9

40×9=(?-20)×24→?=35 其它情形 ：漏水问题，排队等候问题...等均可看作这种问题。

三，钟表问题

1.钟表一圈分成12格，则时针每小时转一格30°，分针12格/小时； 2.钟表表面每两格之间30°，时针与分针成某种角度都有对称的两种； 3.重合问题的实质是追击问题

4.快钟，慢钟问题，根据标准时间进行对比（常用比例法）；

时钟问题是一类古典题型，在行测考试中经常出现。有关时钟问题的题目中，考查得比较多的是表盘计算与快慢钟计算问题，在本文中，华图公务员[微博]考试研究中心将给出解决这两类问题的思路方法。1.表盘计算

表盘计算，主要涉及的是时间和指针(通常是时针和分针)角度的对应关系。我们知道，n点时，分针与时针之间的角度为30n度(这个度数是指分针沿顺时针方向到时针的度数)；同时，时针每分钟走0.5°，分针每分钟走6°，所以过m分时，分针比时针多走度(6-0.5)m=5.5m，因此，n点m分时，时针和分针之间的角度就应该是30n-5.5m度(这个度数仍然是指分针沿顺时针方向到时针的度数)。

这样，我们就得到了关于表盘计算的核心公式：n点m分，时针和分针之间的角度为30n-5.5m度，利用该公式，我们可以轻松解决很多行测考试中的表盘指针计算问题。关于该公式的使用，需注意以下两点：1.该公式算出的度数为分针沿顺时针方向到时针的度数，因此，若算出的角度为负数，则取其绝对值；若算出的角度大于180°，则用360°减去该角即可；2.当时间为12点时，取n=12或n=0皆可，但为了计算方便，往往取n=0。

【例3】(黑龙江2010)张某下午六时多外出买菜，出门时看手表，发现表的时针和分针的夹角为110°，七时前回家时又看手表，发现时针和分针的夹角仍是110°，那么张某外出买菜用了多少分钟？()A.20分钟 B.30分钟C.40分钟 D.50分钟 [答案]C

2.快慢钟计算

钟表问题中，常常涉及到的第二类问题就是快慢钟问题。快慢钟的产生，是因快(慢)钟走的速度与标准钟走的速度不同导致的，所以，快慢钟问题本质上是比例行程问题，解决快慢钟问题的关键，是抓住不同钟表的“速度比”。

【例1】(深圳事业单位2010)火车速度为118千米/时，一位旅客的手表比标准时间每小时要慢1分钟，则在该旅客手表所显示的2小时内，火车跑了大约()千米。A.230 B.236 C.240 D.248 [答案]C

【例2】(河北2009)一个快钟每小时比标准时间快3分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢2分钟。如果将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示11点整时，慢钟显示9点半。则此时标准时间是()A.10点35分 B.10点30分C.10点15分 D.10点06分 [答案]D

【例3】(浙江2010)有一只怪钟，每昼夜设计成10小时，每小时100分钟。当这只怪钟显示5点时，实际上是中午12点，当这只怪钟显示8点50分钟，实际上是什么时间？()A.17点50分 B.18点10分C.20点04分 D.20点24分 [答案]D

由以上例题可以看出，处理“已知时间，求角度”的问题，直接使用表盘计算公式计算即可，而在处理“已知角度，求时间”的问题时，分析出分针沿顺时针方向到时针的度数是正确使用表盘计算公式的关键之处。

而对于快慢钟问题，首先需根据已知条件找出不同钟表的“速度比”，再根据“速度比”求出题目中要求的时间。只要掌握了以上两种问题的处理方法，便能轻松应对行测考试中的时钟问题了。

第八章 初等数学模块

一，最大公约数和最小公倍数（短除法）

1.小数分数型

① 将给定的小数和分数乘以N（可以不是整数），使之全部变为整数； ② 求第一步得到的整数的最大公约数和最小公倍数；

③ 将得到的最大公约数和最小公倍数分别除以N，即是结果； 2.约数个数型

如果将一个数进行质因数分解，把各个质因数的幂次分别加1，再相乘，得到的数字就是这个数字的约数的个数，最小公约数为1，最大公约数为自己 例如：360=2³*3²*5，共有（3+1）*（2+1）*（1+1）=24个约数； 二，多位数字问题

代入排除法：逐位选择型（考虑各个位置可以选择的范围，利用排列组合）页码数字型：利用公式 三位数页码公式—页码=字数÷3+36，多位数表示型：100a+10b+c； 三，余数同余问题 1.代入排除法，2.余数等式型：被除数=除数*商+余数（0≤余数＜除数）3.余同加余，和同加和，差同补差，公倍数做周期

4.经典题型：

在1000以内除以3余2，除以7余3，除以11余4的数共有几个？

挨个尝试：满足除以3 余2 的数有：2,5,8,11,14,17„„；同时满足除以7余3的第一个数是17，→同时满足两个条件的是21N+17；同理所求在21N+17中找第一个满足除以11余4 的数是59，所以，同时满足三个条件的数是：21N*11+59=231N+59.四，平均数值问题

核心公式：总和=平均数*个数，等差数列中，平均数=中位数； 1.总体平均数：直接利用公式，列方程解决； 2.等差中位数 若条件是给出“等差数列”，我们可以通过计算其“平均数”来得到数列的“中位数”； 3.参照相对数

当数字较大时，我们可以以平均数作为参照，计算所有数字减去平均数之后的相对数字，用这个相对数字来代替原来的数字，这样可以简化计算。五，星期日期问题 1.星期每七天一循环

2.“每隔N天”指的是“每N+1天”，但是“每隔N小时”，就是“每N小时”； ① 日期加总型：实质是等差数列，注意跨年/跨月的情况； ② 日期推断型，按整月计算，③ 星期推断型，如果条件日期与提问日期相差不到一年，利用上述方法计算；

如果提问N年之后星期几=N天之后（无闰年）；

如果之间有闰年，先按平年计算，再看之间经过几个2月29日； 六，循环周期

若一连串事物以“T”为周期，且“A÷T=N„„a”,那么第A项等于第a项； ① 以7为分母的分数，化为小数后，循环周期为6；

② 若算余数时出现整数，即余数为0，那就等同于周期的最后一项。

第九章 行程问题模块

一，基础计算型—方程，方程组，比例法（尽量多设未知数，多列方程）

（一）双人运动型—比例法

（二）变速运动型—比例法

（三）提前出发型—提前多长时间出发，就相当于多用了多长时间；

（四）迟到早到型—迟到多长时间就多用多长时间，早到多长时间就少用多长时间；

（五）火车运动型—桥长+车长；

（六）比例计算型—S甲/S乙=V甲/V乙*T甲/T乙，若T相等，S与V成正比；若V相等，S与T成反比；若S相等，V与T成反比；

（七）间歇运动型—考虑与选项相近的一个整周期，带入其中进行计算； 二，相对速度问题

相对速度问题中，带入公式计算出的速度是两个速度的和或差；

（一）相遇追击型：

1.相遇问题：相遇距离=（大速度+小速度）*相遇时间； 2.追击问题：追击距离=（打速度-小速度）*相遇时间； 3.背离问题：背离距离=（打速度+小速度）*背离时间；

（二）环形运动型

1.反向运动：第N次相遇路程和为N个周长

环形周长=（大速度+小速度）*相遇时间； 2.同向运动：第N次相遇路程差为N个周长

环形周长=（大速度-小速度）*相遇时间；

（三）流水行船问题

1.顺水：S=（V船+V水）*T顺，V静=（V顺+V逆）/2； 2.逆水：S=（V船-V水）*T逆，V水=（V顺-V逆）/2；

（四）上下扶梯型

1.顺行：扶梯长度=（V人+V梯）*V顺，L梯=S人+S梯； 2.逆行：扶梯长度=（V人-V梯）*V逆，L梯=S人-S梯；

（五）队伍行进型（同追击，相遇）

（六）往返相遇型（画图数关键）1.两端同时出发型

第N次迎面相遇，路程和=全程*（2N-1），第N次追击相遇，路程差=全程*（2N-1）；

2.一端出发型

第N次迎面相遇，路程和=全程*2N，第N次追击相遇，路程差=全程*2N;三，典型行程模块

（一）等距离平均速度：V=2V1V2/V1+V2(结果略小于算数平均数)，（二）等时间间隔发车

发车时间间隔=2V1V2/V1+V2=T，V车/V人=T1+T2/T1-T2；

（三）不变速沿途数车

计算出途中所见车辆的出发时间，从而确定可以遇到的车辆数，（四）不间歇相遇（只限两次）1.单岸型：S=3S1+S2/2，2.两岸型：S=3S1-S2；

（五）无动力顺水漂流

漂流时间T=2T顺*T逆/T逆-T顺

行程问题经典例题解析：

一、相遇问题 1.一次相遇

例1.甲、乙二人同时从相距54千米的A、B两地同时相向而行，甲的速度为4千米/时，乙的速度为5千米/时。问：假设甲乙相遇地点为C，则CB相距多少千米?这一段路程和甲乙第一次相遇时乙走过的路程是什么关系? 解析：CB为30千米，即为到第一次相遇时乙走过的路程。甲再一次回到C点是从B到的C，故甲走过的路程实际上是一个全程加上CB，即54+30=84(千米);甲乙再一次相遇的时候，两人走过的路程和为3倍的全程，每个人所走过的路程也是他第一次相遇时走过的路程的3倍，则甲走过的路程是24³3=72(千米)(甲第一次相遇时走过的路程为4³6=24千米)。2.多次相遇

例2.甲从A地、乙从B地同时以均匀的速度相向而行，第一次相遇离A地6千米，继续前进，到达对方起点后立即返回，在离B地3千米处第二次相遇，则AB两地相距多少千米? 解析：根据“多次相遇中的2倍关系”原理，可知甲从第一次相遇之后到第二次相遇走了6³2=12千米，在整个时间段内甲走了6+12=18千米。因为甲是到达B地之后返回，相遇地点距离B地3千米，因此AB两地间的距离是18-3=15千米。3.环行相遇问题

例题3.甲、乙两人同时从A点背向出发，沿400米环形跑道行走，甲每分钟走80米，乙每分钟走50米，两人至少经过多少分钟才能在A点相遇?【2011-事业单位】 A.10 B.12 C.13 D.40 解析：甲、乙要在A点相遇，则甲、乙行走的路程必是400的整数倍，而甲乙的速度和是130米/分钟，设所需时间为t，则有130t必然是400的倍数，排除A、B、C三项，选择D。若正面求解：甲走一圈需400÷80=5分钟;乙走一圈需400÷50=8分钟，取5和8的最小公倍数，即40分钟。

二、追及问题

1.两者追及问题 例4.高速公路上行驶的汽车A的速度是100公里每小时，汽车B的速度是每小时120公里，此刻汽车A在汽车B前方80公里处，汽车A中途加油停车10分钟后继续向前行驶。那么从两车相距80公里处开始，汽车B至少要多长时间可以追上汽车A? A.2小时 B.3小时10分 C.3小时50分 D.4小时10分

解析：汽车AB间的追及距离为80公里，当A车加油停车时两者的速度差为120公里每小时，当A车行驶时两者速度差为120-100=20公里每小时。A车加油的10分钟B车追上120³ =20公里。剩下80-20=60公里，B车追上用时为60÷20=3小时。故汽车B至少要3小时10分钟可以追上汽车A。

备考：相遇问题里面有多次相遇，那么追及里面的多次追及有没有，如果有是怎么样的情况? 1.环形追及问题

例5.甲乙分别在环形跑道的直径上同时同向出发，环形跑道周长为60米，甲得速度为60米/分，乙的速度为70米/分，那么乙要多少分钟才能第二次追上甲? 解析：甲乙为追及问题，甲乙的速度差为10米/分，环形周长为60米，所以第一次追上的追及路程为30米，所以用了3分钟，第二次追上甲追及路程为一个环形跑道的周长，即需要用6分钟，那么总共用了9分钟。

三、流水行船问题

例6.一客船往返于A、B两地，已知A、B相距36千米，客船一往一返分别需要2小时和3小时，假设水流速度保持不变，求水流速度及船速分别是多少千米/小时? A.5，13 B.4，14 C.3，15 D.2，16 解析：设水速为x千米/小时，船的静水速度是y千米/小时，则有下面两个方程：，解得：x=3，y=15 备考：商场里面的扶梯问题;人在风中行走„等也属于流水行船问题。

四、牛吃草问题

例7.有一牧场长满牧草，每天牧草匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，问可供25头牛吃多少天? A.8 B.6 C.5 D.4 解析：此题为典型的牛吃草问题。设一头牛一天吃草量为1，牧草的生长速度为x，牧场可供25头牛吃t天。根据题意可得(10-x)³20=(15-x)³10=(25-x)³t，由第一个等式解得x=5，代入x解得t=5天，故选择C。

备考：池塘抽水问题;森林砍树问题...也都属于牛吃草问题。

五、时钟问题

例8.四点半钟后，时针与分针第一次成直线的时刻为()。

A.4点40分 B.4点45 分

C.4点54 分 D.4点57分

解析：时针一小时走30度，每分钟走0.5度;分针1分钟走6度。四点半时，时针与分针的夹角是45度，则第一次成直线需要(180-45)÷(6-0.5)=24又54又分时第一次成直线。

分，即4点备考：时钟问题里面还常常考一个钟坏了，经过多少时间，坏钟实际时间等。

六、接送问题

例9.AB两个连队同时分别从两个营地出发前往一个目的地进行演习，A连有卡车可以转载正好一个连的人员，为了让两个连队的士兵同时尽快到达目的地，A连士兵坐车出发一定时间后下车让卡车回去接B连的士兵，两营的士兵恰好同时到达目的地，已知营地与目的地之间的距离为32千米，士兵行军速度为8千米/小时，卡车行驶速度为40千米/小时，求两营士兵到达目的地一共要多少时间? 解析：由于卡车的速度为士兵行军速度的5倍，因此卡车折回时已走的路程是B连士兵遇到卡车时已走路程的3倍，而卡车折回所走的路程是B连士兵遇到卡车时已走路程的2倍，卡车接到B连士兵后，还要行走3倍B连士兵遇到卡车时已走路程的才能追上A连士兵，此时他们已经到达了目的地，因此总路程相当于4倍B连士兵遇到卡车时已走路程，所以B连士兵遇到卡车时已走路程为8千米，而卡车的总行程为(3+2+3)³8=64，这一段路，卡车行驶了64/40=1.6小时，即1小时36分钟也是两营士兵到达目的地所花的时间。

第十章 几何问题模块 一，几何公式法

1.几何长度

正方形周长C正=4a，C长=2（a+b），C圆=2πR，C扇=n/360°*2πR，2.几何面积

S正=a²，S菱或正=（对角线1*对角线2）/2，S圆=πR²，S△=ah/2=absinc/2=acsinb/2=bcsina/2，S梯=（a+b）h/2，S扇=n°/360*πR²，S球表面积=4πR²=πD²，3.几何体积

V正=a³，V长=a*b*c，V球=4/3πR³，V棱柱=SH,V圆锥=1/3SH=1/3πR³，特殊勾股数：5,12,13；7,24,25；8,15,17；10,24,26； 二，割，补，平移（单一或组合使用）

1.分割求解型

将一个不规则的图形分割成多个有规则的部分 2.嵌套求补型

当两个规则图形存在包含关系的时候，大规则图形挖去小规则图形所剩下的形状往往是不规则的，其面积一般是两个有规则面积的差； 3.平移补齐型

4.立体切割型（利用空间想象）； 三，几何特性法

1.一个几何图形，若其尺度为原来的M倍，则：

①内角角度不变，②边长为原来的M倍，③面积原来的M²倍，④体积为原来的M³倍 2.①平面图形中，若周长一定，越接近于圆，面积越大； ②平面图形中，若面积一定，越接近于圆，面积越小； ③立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大； ④立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越小； 四，几何极端问题

（一）植树问题

1.单边线性植树，棵树=总长÷间隔+1；总长=（棵树-1）*间隔； 2.单边环形植树，棵树=总长÷间隔，总长=棵树*间隔； 3.单边楼间植树，棵树=总长÷间隔-1，总长=（棵树+1）*间隔；

（二）方阵问题

1.最外层 每条边有M个人：

三角形 3M-3，五边形 5M-5，四方形 4M-4，M边型 MN-N，2.M排N列 长方形方阵（实心）S总=M*N, 最外层：2M+2N-4，S总=M²，最外层：4N-4，① 无论是矩形，还是长方形，相邻两圈差8人，② 在方阵中，总人数=N²=（最外层÷4+1）²，3.①M排N列长方形（一行一列），M*N-（M-1）*（N-1）； ②N排N列的方阵（一行一列），N²-（N-1）²； ③N排N列的方阵（最外一层），N²-（N-2）²； ④N排N列的方阵（最外二层），N²-（N-4）²；

（三）排队型

队伍有N人，A排在第M位，则A前面有M-1人，后面有N-M人，（四）爬楼梯问题

1.从地面爬到第N层楼，要爬N-1层，休息N-2次； 2.从M楼爬到N楼，要爬|M-N|层楼，休息|M-N|-1次；

（五）割绳子问题

一条绳子，对折N次，切M刀，分成X段，X=2的N次方*M+1（X必为奇数）；

（六）空间分割问题

1.N条直线分割平面或分割圆

当N取1,2,3,4,5,6，7,8,9,10时，可把空间分成2,4,7,11，16,22,29,37,46,56份； 是一个差为2,3,4,5,6,7,8,9,10的二级等差数列； 2.N个圆分割平面

当N取1,2,3,4,5,6,7,8,9,10时，可把平面分割成2,4,8,14,22,32,44,58,74,92份； 是一个差为2,4,6,8,10,12,14,16,18的二级等差数列；

第十一章 趣味杂题模块

一，比赛问题

N支队伍单循环，共有N*（N-1）/2场比赛，淘汰赛：注意轮空—最常用方法：

二，年龄问题（年龄差永远不会变）--尽可能根据条件多列方程 1.核心知识点

主要特点是：时间发生变化，年龄在增长，但是年龄差始终不变。年龄问题往往是“和差”“差倍”等问题的综合应用。解题时，我们一定要抓住年龄差不变这个解题关键。解答年龄问题的一般方法：几年后的年龄=大小年龄差÷倍数差－小年龄 ；

几年前的年龄=小年龄－大小年龄差÷倍数差 ；

2.解题方法

（一）直接分析法

例题1：父亲今年44岁，儿子今年16岁，当父亲的年龄是儿子的年龄的8倍时，父子的年龄和是多少？

A.36 B.54 C.99 D.162 【答案详解】父子的年龄差是一个不变量，二者的年龄差为44-16=28岁。因此，当父亲的年龄是儿子的8倍时，儿子的年龄为28÷（8-1）=4岁，此时父子的年龄和为4³（8+1）=36岁。

例题2：在一个家庭中有爸爸、妈妈、女儿和儿子。现在把所有成员的年龄加在一起是77岁，爸爸比妈妈大3岁，女儿比儿子大2岁。5年前，全家所有人的年龄总和是58岁。现在爸爸的年龄是多少岁？ A.67 B.32 C.35 D.78 【答案详解】根据5年前全家所有人的年龄和是58岁，可以推出现在全家人的年龄总和应该是58+4³5=78岁。但实际上的年龄总和却是77岁，差了1岁，说明有一个人只长了4岁，这个人只能是儿子（5年前尚未出生）。女儿就应该是4+2=6岁，现在父母的年龄和是77-4-6=67岁，又知他们的年龄差是3岁，可求出爸爸的年龄是（67+3）÷2=35岁。

（二）方程法

例题3：1998年，甲的年龄是乙的年龄的4倍。2002年，甲的年龄是乙的年龄的3倍。问甲、乙二人2000年的年龄分别是多少岁? A．34岁，12岁 B．32岁，8岁 C．36岁，12岁 D．34岁，10岁

【答案详解】设1998年乙的年龄是x岁，那么甲的年龄是4x岁。从1998年到2002年经过了4年，两个人都长了4岁，那么这个时候，甲的年龄是4x+4岁，乙的年龄是x+4岁。由于甲的年龄是乙的 3倍，所以，4x+4=3（x+4），x=8。也就是说1998年，乙的年龄是8岁，则2000年的年龄是10岁，直接选择D。

（三）和差倍关系法

例题4：2004年小强小学毕业时正好12岁，妈妈40岁，多少年前妈妈的年龄正好是小强的5倍？

A.4 B.5 C.8 D.7 【答案详解】妈妈和小强的年龄差为40-12=28岁；当妈妈的年龄是小强的5倍时，妈妈与小强的年龄差就相当于小强年龄的4倍，此时小强的年龄为28÷（5-1）=7岁。12-7=5，故5年前妈妈的年龄正好是小强的5倍。

（四）表格法 例题5：5年前甲的年龄是乙的3倍，10年前甲的年龄是丙的一半，若用y表示丙当前的年龄，下列哪一项能表示乙当前的年龄？

（五）数轴法

例题6：甲、乙两人年龄不等，已知当甲像乙现在这么大时，乙8岁；当乙像甲现在这么大时，甲29岁。问今年甲的年龄为多少岁？ A．22 B．34 C．36 D．43

（六）代入排除法

例题7：张繁30多岁时她女儿出生，2008年她女儿的年龄是她的年龄5的倍数，2009年张繁多少岁？

A.61 B.51 C.62 D.52 【答案详解】由题意可知，2008年张繁的年龄为5的倍数，因此2009年张繁的年龄除以5余1，排除C、D两项。

若2008年张繁60岁，则她女儿为24岁，张繁36岁时女儿出生，符合题意，选择A。

6.数学教案－常见数量关系 篇六

1、知道单价、数量、总价的含义以及它们之间的关系。

2、会用常见数量关系的术语去分析解答有关的问题。

教学重点：

理解常见的数量关系，并能运用常见的数量关系的术语分析，解答有关的问题。

教学难点：

理解常见数量――单价、数量、总价各自的含义以及它们之间的关系。

教学用具：实物投影、小黑板。

教学过程（）：

一、新授：

（一）理解单价、数量、总价的含义。

1、  单价的含义：

师：昨天张老师请同学们到超市等地方去了解一些商品的价

钱，老师也去了解了一下。这是老师了解到的两件商品。

（出示实物投影。）

师：力士香皂上标着￥4元，表示什么意思？

英雄钢笔上标着零售价6元，表示什么意思？

师：刚才这些都是老师了解到的商品价格，下面请你们来说

说你所了解的一件商品的价钱。

（学生举例）

绘制成表

品  名

每块（支，…）价钱

几块（支，…）

总 的 价 钱

力士香皂

英雄钢笔

……

师：我知道很多同学都想说，老师等会儿再请你们说，好不好？

师：我们知道了这些商品以及它相对应的价钱，那么如果现

在请你做个营业员，想想这些商品及它所对应的价钱应

该填在你手中发票的哪一栏里，请你们选择一件商品填

一填。

（实物投影反馈）

师：为什么把这些价钱都填在了单价这栏里？你是

怎样想的？请把你的意见在小组内交流。

反馈。

师：对了，这些价钱都是每一件商品的价钱，在商业上我们

称它为单价。所以这些价钱都表示商品的什么？

一起说：单价（把表格中每条等改成单价）

师：接下来张老师要同学们用我们刚才学的知识告诉大家你

所了解的一件商品价钱。（反馈）

师：张老师知道还有很多同学们想说，下课后再与老师交流。

2、  数量、总价的含义：

师：现在老师买了2块这样的香皂，请你口算一下，总共需

要多少钱？

买这样的3支钢笔呢？

买这样的4      呢？

买这样的5      呢？

反馈并填在表格里。

师：接下来请同学们想一想，如果把这些买商品的件数以及

这些总的价钱填在发票里，你准备填在哪一栏里呢？请

把你的意见在小组里交流交流。（反馈）

师：对，这些都表示买商品的件数，在商业上我们称作数量。

而这些总价钱在商业上我们称作金额，在数学上我们称作

总价。

（二）巩固单价、数量、总价的含义。

1、师：刚才我们学习了单价、数量、总价这三个数量，接下来老

师考考你们，请同学们仔细听老师说的.这个数量是属于单

价、数量、总价中哪一个量，想清楚后把这个量找出来。

1）每条毛巾8元。

2）一共用去500元。

3）买了6台电视机。

2、师：既然同学们都理解了单价、数量、总价这三个数量的含义，

那么你们能不能根据以前学过的知识，想一想他们三者之

间有什么关系？请你们四人一组来摆一摆他们之间的关

系，看那组同学摆的关系最齐全。

（请两个同学上黑板摆。）

单价×数量＝总价

总价÷单价＝数量

总价÷数量＝单价

师：反馈（跟黑板上一样的小组举手）。那么，这三个数量关

系式中哪个是最基本的？请每个同学把你认为最基本的那

个摆出来。

单价×数量＝总价

师：只要记住了这个数量关系式也就可以运用乘除法关系把

另外两个写出来。

师：通过今天的学习认识了单价、数量、总价，还认识了单

价×数量＝总价这个常见的数量关系式。下面请同学们

运用今天新学的知识来分析、解答应用题。

二、应用知识解题。

（一）已知什么，求什么，数量关系怎样？

1、康明小学买5台投影仪，每台售价400元，一共付款多少元？

2、康明小学买投影仪，每台售价400元，付了元，可以买多少台投影仪？

3、康明小学用2000元买了一批投影仪，每台售价400元，一共

买了多少台？

师：刚才同学们都做得很好，下面我们再来看下一题。

（二）数量关系怎样？

1、3台空调的总价是8160元，平均每台空调的价格是多少元？

2、毛线每千克售价38元，李阿姨买了2千克的毛线，一共需要多少钱？

3、每件童装80元，用800元可以买童装多少件？

（三）先摆出数量关系式，再列式解答。

1、商店卖出长虹电视机8台，每台售价2500元，共收款多少元？

2、学校买了6只足球，共付了240元，每只足球售价多少元？

3、每条毛毯500元，用3000元可以买多少条毛毯？

三、总结：

师：今天我们学习了常见数量关系：单价、数量、总价，并

且知道了单价×数量＝总价。

四、作业：P102/1――3。

教学内容：

1、知道单价、数量、总价的含义以及它们之间的关系。

2、会用常见数量关系的术语去分析解答有关的问题。

教学重点：

理解常见的数量关系，并能运用常见的数量关系的术语分析，解答有关的问题。

教学难点：

理解常见数量――单价、数量、总价各自的含义以及它们之间的关系。

教学用具：实物投影、小黑板。

教学过程（）：

一、新授：

（一）理解单价、数量、总价的含义。

1、  单价的含义：

师：昨天张老师请同学们到超市等地方去了解一些商品的价

钱，老师也去了解了一下。这是老师了解到的两件商品。

（出示实物投影。）

师：力士香皂上标着￥4元，表示什么意思？

英雄钢笔上标着零售价6元，表示什么意思？

师：刚才这些都是老师了解到的商品价格，下面请你们来说

说你所了解的一件商品的价钱。

（学生举例）

绘制成表

品  名

每块（支，…）价钱

几块（支，…）

总 的 价 钱

力士香皂

英雄钢笔

……

师：我知道很多同学都想说，老师等会儿再请你们说，好不好？

师：我们知道了这些商品以及它相对应的价钱，那么如果现

在请你做个营业员，想想这些商品及它所对应的价钱应

该填在你手中发票的哪一栏里，请你们选择一件商品填

一填。

（实物投影反馈）

师：为什么把这些价钱都填在了单价这栏里？你是

怎样想的？请把你的意见在小组内交流。

反馈。

师：对了，这些价钱都是每一件商品的价钱，在商业上我们

称它为单价。所以这些价钱都表示商品的什么？

一起说：单价（把表格中每条等改成单价）

师：接下来张老师要同学们用我们刚才学的知识告诉大家你

所了解的一件商品价钱。（反馈）

师：张老师知道还有很多同学们想说，下课后再与老师交流。

2、  数量、总价的含义：

师：现在老师买了2块这样的香皂，请你口算一下，总共需

要多少钱？

买这样的3支钢笔呢？

买这样的4      呢？

买这样的5      呢？

反馈并填在表格里。

师：接下来请同学们想一想，如果把这些买商品的件数以及

这些总的价钱填在发票里，你准备填在哪一栏里呢？请

把你的意见在小组里交流交流。（反馈）

师：对，这些都表示买商品的件数，在商业上我们称作数量。

而这些总价钱在商业上我们称作金额，在数学上我们称作

总价。

（二）巩固单价、数量、总价的含义。

1、师：刚才我们学习了单价、数量、总价这三个数量，接下来老

师考考你们，请同学们仔细听老师说的这个数量是属于单

价、数量、总价中哪一个量，想清楚后把这个量找出来。

1）每条毛巾8元。

2）一共用去500元。

3）买了6台电视机。

2、师：既然同学们都理解了单价、数量、总价这三个数量的含义，

那么你们能不能根据以前学过的知识，想一想他们三者之

间有什么关系？请你们四人一组来摆一摆他们之间的关

系，看那组同学摆的关系最齐全。

（请两个同学上黑板摆。）

单价×数量＝总价

总价÷单价＝数量

总价÷数量＝单价

师：反馈（跟黑板上一样的小组举手）。那么，这三个数量关

系式中哪个是最基本的？请每个同学把你认为最基本的那

个摆出来。

单价×数量＝总价

师：只要记住了这个数量关系式也就可以运用乘除法关系把

另外两个写出来。

师：通过今天的学习认识了单价、数量、总价，还认识了单

价×数量＝总价这个常见的数量关系式。下面请同学们

运用今天新学的知识来分析、解答应用题。

二、应用知识解题。

（一）已知什么，求什么，数量关系怎样？

1、康明小学买5台投影仪，每台售价400元，一共付款多少元？

2、康明小学买投影仪，每台售价400元，付了2000元，可以买多少台投影仪？

3、康明小学用2000元买了一批投影仪，每台售价400元，一共

买了多少台？

师：刚才同学们都做得很好，下面我们再来看下一题。

（二）数量关系怎样？

1、3台空调的总价是8160元，平均每台空调的价格是多少元？

2、毛线每千克售价38元，李阿姨买了2千克的毛线，一共需要多少钱？

3、每件童装80元，用800元可以买童装多少件？

（三）先摆出数量关系式，再列式解答。

1、商店卖出长虹电视机8台，每台售价2500元，共收款多少元？

2、学校买了6只足球，共付了240元，每只足球售价多少元？

3、每条毛毯500元，用3000元可以买多少条毛毯？

三、总结：

师：今天我们学习了常见数量关系：单价、数量、总价，并

且知道了单价×数量＝总价。

7.数量关系在解决问题中的作用 篇七

关键词：数量关系,基础,能力,解题

《 数学课程标准 》 ( 实验稿) 在 “ 解决问题” 课程目标中有这样的表述:“初步学会从数学角度提出问题、 理解问题, 并且能够综合运用所学知识解决问题, 发展应用意识;掌握解决问题的一些基本策略, 体验解决问题策略的多样化, 发展实践能力和创新精神”. 这里的“策略”, 不仅包括传统应用题教学中的“数量关系”和“分析方法”, 包括“提出问题”的策略、“分析情境”的策略、“搜集信息”的策略, 等等. 也就是说这里的“策略”在辩证扬弃传统内涵的基础上具有了更为丰富的内涵.

现在的“解决问题”与传统的“应用题”虽然在呈现方式素材范围、学习内容、价值取向、教学方式等方面有一定的区别, 这种区别是建立在让学生更好地感知数学, 理解数学, 应用数学基础上的, 但是解决问题的数学化过程仍然建立在数量关系分析的基础上, 其解决问题的思维本质还是相同的传统应用题教学中积累的成功经验, 在现在解决问题教学中仍然具有指导作用. 如此, 我们要用新课程的理念来重新审视数量关系的数学价值, 在解决问题的教学中重新确立数量关系的应有地位.

一、正确理解数量关系的是解决问题的基础

数量关系是指应用题中已知数量与已知数量、已知数量与未知数量之间的关系. 只有搞清楚数量关系才能恰当的选择算法, 把数学问题转化成数学式子, 通过计算进行解答. 小学阶段的基本数量关系主要有:把两个数合在一起用加法计算、已知两个数的和以及其中的一个数, 求另一个数用减法计算、求几个几是多少或者求一个数的几倍是多少用乘法计算、求几个几分之几是多少或者求一个数的几分之几是多少用乘法计算、把一个数平均分成若干份, 求一份是多少, 或者把一个数平均分, 已知一份是多少, 求平均分成了几份用除法计算. 这些基本的数量关系其实就是加减乘除法的意义是解决问题的基础. 小学中的每一个实际问题都可以找到这样的数量关系. 比如:小明有10 张邮票, 小方比小明少2 张邮票, 小方有多少张邮票? 实际上小方的邮票数与相差的张邮票合在一起就是小明的10 张邮票应该从10 张邮票里去掉2 张就是小方的邮票数, 所以10 - 2 = 8 (张) . 再比如:一辆汽车3 小时行了240 千米, 平均每小时走多少千米? 把24千米平均分成3 份, 求每份是多少?所以240 ÷ 3 = 80 (千米) 只有很好的理解并且掌握这些最基本的数量关系, 才能在解决多步的实际问题中清晰地找到已知跟已知、已知跟未知之间的联系, 选择正确的运算方法解决问题.

二、抽象合适的数量关系是解决问题的有效工具

数量关系是学生解决实际问题的一个有效的工具, 是发展学生思维能力, 培养学生创新能力的有力载体. 学生在解决实际问题过程中需要将数量关系作为理论基础和思维支撑. 数量关系的学习是一个由易到难逐步深入的过程. 在大量积累的基础上, 学生在适当的引导下就会逐步进行比较、分析, 寻找其中的规律, 进而抽象出数量之间的关系. 如六 (4) 班同学做广播操时每行站立12 人, 站了4 行, 六 (4) 班一共有多少人? 低年级的同学先是这样想的:每一行12 人, 就是1 个12, 4 行就是4 个12, 求一共多少人? 就是求4 个1是多少?用乘法来算列式是12 × 4. 等学生积累了大量的有关的事实经验, 包括植树, 物品摆放等类似的情境后, 发现求几个几是多少, 都是用乘法计算, 便抽象和概括出“每行数量 ×行数= 总数”这一抽象的数量关系, 这时的学生思维已经撇开了具体的情境和具体的运算意义, 由原先的应用生活经验解决问题过渡到运用数学知识解决问题, 完成了数量关系从感性到理性的质的飞跃, 从此数量关系成了学生解决问题的有力工具, 学生在实际应用时不再思考运算的意义, 而是直接根据数量之间的关系进行列式, 简化了繁琐的思维过程, 提高了解决问题的效率.

三、灵活运用数量关系是解决实际问题的关键

实际问题的难易不仅取决于数据的多少, 往往是由问题的情节部分和数量关系交织在一起的复杂程度所决定.一道实际问题往往隐藏着多个数量关系.如:农场里养鸡120只, 鸭的只数是鸡的16.农场里鸡比鸭多多少只?首先根据“求一个数的几分之几是多少用乘法计算”确定具体数量关系:鸡的只数×1/6=鸭的只数.120×1/6= (只) .再确定题目所求的问题跟鸡的只数和鸭的只数的关系:鸡的只数-鸭的只数=鸡比鸭多的只数.120-20=100 (只) .只有找到每一个数量关系加以综合运用并转化成数学算式才能顺利的解决问题.所以在教学中我们应该多让学生说数量关系.读题和审题后, 让学生说说哪些条件之间有关系, 有什么样的关系.哪些条件与问题之间有关系, 又有什么样的关系.开始以老师示范说、领着说为主, 慢慢地让学生多说, 做到人人会说.这样学生在说和听的过程中巩固前面所说的基本数量关系.基本数量关系的巩固又可以反过来提升各种数量关系综合运用的能力, 形成良性循环, 从而逐步提升学生解决实际问题的能力.

8.幼儿感知数量关系教学的策略 篇八

关键词：幼儿；感知数量关系；思维能力；教学；策略

中图分类号：G612 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）11-150-01

数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学，幼儿感知数量关系的教育是幼儿数学教育的重中之重。数学教育不仅仅只追求幼儿建构数知识，更多的还要在建构知识的同时学会生活、获得更多的生活经验。

一、幼儿感知数量关系教学的内容

幼儿数学教学中数量关系的内容主要有以下十二种：1和许多、对应、大小和多少、等量、守恒、可逆、等差、互补、互换、传递、包含以及函数关系。

通过数学活动教学，使幼儿能感知和区分物体的大小、多少、高矮、长短、粗细、厚薄、轻重等量方面的特点，并能用相应的词语描述；能通过一一对应的方法比较两组物体的多少；能通过实际操作理解数与数之间的关系，会用数词描述事物的排列顺序和位置；初步理解量的相对性；借助实际情境和操作（如合并或拿取）理解“加”和“减”的实际意义；能通过实物操作或其它方法进行10以内的加减运算，理解10以内数中相邻两数的关系；能用简单的记录表、统计图等表示简单的数量关系。

根据幼儿的发展水平有选择地进行有关数量关系的教育，在理解过程中训练思维，使理解数量关系成为思维训练的工具。

特别注意的是，上述各种数量关系的名称、概念及术语等不宜让幼儿掌握。

二、幼儿感知数量关系教学的意义

1、幼儿感知数量关系是发展思维的重要因素

现有幼儿数学教育内容中蕴含着的数量关系是促进幼儿思维发展的有利因素，通过对数量关系的感知，可以让幼儿积累起感性经验，从而促进幼儿思维能力的发展。数量关系是数学本身内在联系及其规律的反映。幼儿掌握了诸如此类简单的数量关系，我们就赋予儿童一种获取新知识的智力上的潜在能力。这就是数量关系是发展幼儿思维的积极因素的本质所在。

另一方面，掌握数量关系的同时思维能力也得到同步增长。因为幼儿要掌握一些数量关系，需具有相应的思维水平，特别是抽象概括的思维能力。再以自然数为例，幼儿认识10以内的每一个数，都是先认识一个数的形成（l添上1是2，2添上1是3……），再比较相邻两数多1少1的关系，进而再比较相邻三个数之间的关系，最后再理解自然数列的等差关系。这一过程是逐步抽象出、等差关系的过程，同时也是幼儿抽象能力逐步发展的过程。

因此，数量关系及幼儿掌握数量关系是数学内容中，能起到发展幼儿思维作用的核心因素。我们的任务是将现有幼儿数学教育内容中蕴含着的一些简单的数量关系揭示出来，引导幼儿去探索并初步理解，借以达到发展幼儿思维的目的。在方案要点中的目标一栏内，提出“改革部分幼儿数学教育内容，突出数量关系”，就是以上述理论观点为依据的。

2、幼儿感知数量关系是数学教学的核心

幼儿掌握数学知识，一种是记忆水平上的掌握。这种学习，知识间缺乏联系，主要靠反复练习，机械地记住知识，更不理解数量之间的关系，不能掌握规律，因而知识不能迁移；另一种是理解水平的掌握，它包括了理解数量关系，掌握规律，从而能运用推理获取新的知识。

数学知识间的内在联系及其规律性称为数量关系。例如，自然数列中的等差关系，是一种数量关系。在幼儿认识10以内数时，先认识数的形成特点，再比较两个相邻数之间的多1少1的关系，进而比较三个相邻数之间的关系，最后理解按顺序排列的1～10的数，其中任意一个数都比前面一个数多1，比后面一个数少1，这就是对自然数列等差关系的理解。幼儿理解了这一关系，对于今后运用这一规律性的知识进行推理都是十分有利的，从而可以更进一步认识20以内的数甚至更多的数。这样就对10以内的数达到了理解水平上的掌握。反之，只要求幼儿记住孤立的每一个数，而不知其中的关系和特点，就就谈不上知识的迁移和应用。由此可见，数量关系反映了数学知识间的内在联系及其本质规律性。

幼儿掌握现有大纲内容中的数量关系，一方面加深了对有关数学概念的理解，另一方面促进了思维抽象能力和推理能力的发展。因此，掌握初步数学知识中的数量关系，是幼儿数学教育内容方面体现思维发展的核心。

三、幼儿感知数量关系教学的策略

1、趣味化教学策略

兴趣是一种积极的情感唤醒状态和认识倾向，是人们从事各种活动的内在动力，当孩子对某一事物具有兴趣时，往往可以激发起他们的主动性和潜在能力。而数学由于其学科特点，相对而言比较抽象和枯燥，幼儿很少对数学产生直接的兴趣，针对如此现状，我们只有选择恰当的方法，内容和途径，才能间接地诱发孩子们积极参与数学活动。要把孩子引入这个神秘而绮丽的世界，让他们在这个世界中畅游，活动的趣味性的培养是第一步。

我们可以让孩子在大自然中感受数学、学习数学，理解数的实际意义和数的运算。在学习点数时，我们引导孩子点数池塘里的蝌蚪、荷花；采摘野花、捡落叶，使孩子理解数的实际意义，通过摘桑子、猜田螺等游戏感知数的组成与加减，了解分类和排序的方法，从而使幼儿了解数与大自然界的关系等等。

2、游戏化教学策略

幼儿感知数量关系是建立在直觉行动和具体形象的基础上，并逐步向抽象思维过渡，这就决定了幼儿思维的发展离不开具体的生活和游戏情景。为了激发幼儿对数学知识的感知兴趣，教师要有意识地组织有问题情境的游戏活动，使幼儿获得数学知识，并有机会自由地表现自己，表达自己的感受。采用游戏的形式，千方百计地把幼儿的注意力吸引过来，让他们全身心地投入到活动中，这样，枯燥的数学知识就会变得有趣，简单重复的练习也因游戏而变得生动起来，小朋友学得轻松、学得愉快，效果也会更好。

玩具是幼儿的天使，游戏是幼儿的伴侣，幼儿就是在游戏中、在玩中一天天长大和进步的。游戏深受幼儿喜爱，融入数学知识的游戏或者说将数学活动设计成游戏则更受幼儿的欢迎。

3、生活化教学策略

生活环境中充满了数量关系，它可以启发人、养育人、造就人。幼儿是在与环境中的数量关系相互作用中认识周围世界、增长智慧、发展能力的。为使幼儿在生活和游戏中对数量关系的感知能力进一步得以提升，除了在活动区展示能够感知数量关系的认知材料，以供幼儿反复操作、模仿之外，还要为幼儿创设生活化的数学学习环境， 让幼儿感觉到数学就在我们的生活中，以此引发幼儿积极地投入到数学学习中去。

例如，教师可以妙利用一日生活中与数量有关的问题，让幼儿感知和体验数学与生活的关系，在轻松的生活中获得数学知识和经验，学会解决问题。在解决问题的过程中，幼儿通过积极地思考，思维能力得到了发展。

4、情境化教学策略

创设教育情景让孩子在参与表演中感知数量关系，孩子的兴趣在，注意在，学起来也快，学得也轻松。通过创设问题情境，也能激发起幼儿活动的兴趣，促使幼儿积极思考，主动去解决问题。创设问题情境还有利于诱发幼儿的问题意识。幼儿问题意识主要表现为对事物的好奇心，它是促使幼儿积极、主动地关注和发现问题的内驱力。缺少问题意识，就不会对事物产生兴趣，也就不会去主动发现和感知数量关系，思维也就难以获得良好发展。

如“过家家”是幼儿感兴趣和喜欢的游戏，在游戏的过程中，幼儿对玩具的色彩、形状、特点等会感到好奇，对物品的摆弄与操作有着浓厚的兴趣，因此，在游戏过程中可以让幼儿去分发碗、勺，去整理物品等活动，充分理解“1和许多”“一一对应”等数概念，发展思维能力。

5、直观化教学策略

幼儿感知数量关系离不开直观和具体形象思维，提倡让幼儿动手操作，主动探索，自主学习，在教学活动中让幼儿通过生活中的实物模型或直观形象，引起学生的兴趣，激发学生积极思考，这不仅符合幼儿思维发展的特点，也有益于幼儿对学习内容的理解、掌握。操作是一个手、眼、脑等多种器官协作活动的过程，在这个过程中，手的活动促使脑的发展，脑使手的动作更加灵活，而手脑并用能使人的思维得到均衡发展。

如在教10的分解及减法时，提供直观教具小棒，让幼儿操作：熊伯伯听说大一班的小朋友很会分棒子，现在有10根棒子请小朋友们把它分成两分，看看有多少种分法？幼儿已有9的分解作基础，很快就会将10分解出来了，相对老师的示范讲解不仅节约时间，而且简单明了，学生自己动手动脑，锻炼了思维。

总之，幼儿感知数量关系的教育只有紧密联系生活实际，在真实的情境中解决生活中遇到的困难，才更加适宜、高效。

参考文献：

[1] 张慧和.张俊.幼儿园数学教育[M].北京:人民教育出版社.2003

[2] 中华人民共和国教育部.幼儿教育指导纲要(试行)[M].北京:人民教育出版社.1999(9).

[3] 王志明.张慧.科学[M].南京:南京师范大学出版社.1997.

[4] 陈立.葛凤林.让幼儿的数学学习积极主动而有实际意义[J].学前教育.2004(5).

[5] 郑慧英,幼儿教育学[M].福州:福建教育出版社.1996(8).