勾股定理应用教案

2024-10-16

勾股定理应用教案（精选15篇）

1.勾股定理应用教案篇一

勾股定理应用优秀教案

教学课题：勾股定理的应用

教学时间(日期、课时)：

教材分析：

学情分析：

教学目标：

能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题.

在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化” 思想(把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题)，进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值.

教学准备

《数学学与练》

集体备课意见和主要参考资料

页边批注

教学过程

一. 新课导入

本课时的教学内容是勾股定理在实际中的应用。除课本提供的情境外，教学中可以根据实际情况另行设计一些具体情境，也利用课本提供的素材组织数学活动。比如，把课本例2改编为开放式的问题情境：

一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑0.5m，你认为梯子的底端会发生什么变化?与同学交流 .

创设学生身边的问题情境，为每一个学生提供探索的空间，有利于发挥学生的主体性;这样的问题学生常常会从自己的生活经验出发，产生不同的思考方法和结论(教学中学生可能的结论有：底端也滑动 0.5m;如果梯子的顶端滑到地面上，梯子的顶端则滑动8m，估计梯子底端的滑动小于8m，所以梯子的顶端下滑0.5m，它的底端的滑动小于0.5m;构造直角三角形，运用勾股定理计算梯子滑动前、后底端到墙的垂直距离的差，得出梯子底端滑动约0.61m的结论等);通过与同学交流，完善各自的想法，有利于学生主动地把实际问题转化为数学问题，从中感受用数学的眼光审视客观世界的乐趣 .

二. 新课讲授

问题一在上面的情境中，如果梯子的顶端下滑 1m，那么梯子的底端滑动多少米?

组织学生尝试用勾股定理解决问题，对有困难的学生教师给予及时的帮助和指导.

问题二从上面所获得的信息中，你对梯子下滑的变化过程有进一步的思考吗?与同学交流.

设计问题二促使学生能主动积极地从数学的角度思考实际问题.教学中学生可能会有多种思考.比如，①这个变化过程中，梯子底端滑动的距离总比顶端下滑的距离大;②因为梯子顶端下滑到地面时，顶端下滑了8m，而底端只滑动4m，所以这个变化过程中，梯子底端滑动的距离不一定比顶端下滑的`距离大;③由勾股数可知，当梯子顶端下滑到离地面的垂直距离为6m，即顶端下滑2m时，底端到墙的垂直距离是8m，即底端电滑动2m等。教学中不要把寻找规律作为这个探索活动的目标，应让学生进行充分的交流，使学生逐步学会运用数学的眼光去审视客观世界，从不同的角度去思考问题，获得一些研究问题的经验和方法.

3.例题教学

课本的例1是勾股定理的简单应用，教学中可根据教学的实际情况补充一些实际应用问题，把课本习题2.7第4题作为补充例题.通过这个问题的讨论，把“32+b2=c2”看作一个方程，设折断处离地面x尺，依据问题给出的条件就把它转化为熟悉的会解的一元二次方程32+x2=(10—x)2，从中可以让学生感受数学的“转化”思想，进一步了解勾股定理的悠久历史和我国古代人民的聪明才智.

三. 巩固练习

1.甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往东走了4km，乙往南走了6km，这时甲、乙两人相距__________km.

2.如图，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程( 取3)是( ).

(A)20cm (B)10cm (C)14cm (D)无法确定

3.如图，一块草坪的形状为四边形ABCD，其中∠B=90°，AB=3m，BC=4m，CD=12m，AD=13m.求这块草坪的面积.

四. 小结

我们知道勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的数量关系，已知直角三角形中的任意两边就可以依据勾股定理求出第三边.从应用勾股定理解决实际问题中，我们进一步认识到把直角三角形中三边关系“a2+b2=c2”看成一个方程，只要依据问题的条件把它转化为我们会解的方程，就把解实际问题转化为解方程.

2.勾股定理应用教案篇二

关键词：勾股定理,逆定理,应用

勾股定理,又称毕达哥拉斯定理,是几何学中一颗光彩夺目的明珠,被称为“几何学的基石”,在许多数学分支、建筑以及测量等方面,有着广泛的应用,而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用.著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”(勾股定理)带到其他星球,作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言.这一著名的定理,是每年中考命题的必选内容,命题形式变化多端.现举几例,供大家赏析.

例1如图,已知AD=4,CD=3,∠ADC=90°,AB=13,BC=12,求四边形ABCD的面积.

点评本题考查了勾股定理及逆定理的运用,求证△ABC是直角三角形是解题的关键.

例2如图所示,圆柱的高等于16 cm,底面半径等于4 cm.在圆柱的下底面的A点有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与A相对的C点的食物,需要沿圆柱的侧面爬行的最短路程是多少(π取整数3)?

解将圆柱体展开,连接A,C,△ABC是直角三角形,根据两点之间线段最短,AC为所求最短路程.根据题意可得:

点评本题是一道趣味题,将圆柱体展开,得到一个矩形,运用勾股定理解答即可.

例3如图,将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F点处,已知CE=3 cm,AB=8 cm,则图中阴影部分面积为多少?

解∵CE=3,AB=8,∴EF=DE=5,从而CF=4,设BF=x,则AF=AD=BC=x+4,在直角三角形ABF中,由勾股定理,得82+x2=(x+4)2,解得x=6,故阴影部分的面积

点评在折叠前后,折痕两边能够完全重合的部分是全等图形,它们的对应线段相等、对应角相等.找到直角三角形利用勾股定理建立一元一次方程解决.

例4如右图是“水浒影视城”的圆弧形门,张帆同学到影视城游玩,很想知道这扇门的相关数据.于是她从景点管理人员处打听到:这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的,AB=CD=20 cm,BC=200 cm,且AB,CD与水平地面都是垂直的.根据以上数据,请你帮助张帆同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少.

答:这个圆弧形门的最高点离地面的高度为520 cm.

点评本题解决的关键是利用垂径定理构造直角三角形,进而运用勾股定理求出圆弧形门所在圆的半径.

例5 如图所示,在一次夏令营活动中,小亮从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了到达B点,然后再沿北偏西30°方向走了500 m到达目的地C点.

(1)求A,C两点之间的距离.

(2)确定目的地C在营地A的什么方向.

解(1)过B点作BE∥AD,如图,∴∠DAB=∠ABE=60°,∵30°+∠CBA+∠ABE=180°∴∠CBA=90°,即△ABC为直角三角形.

由勾股定理可得:AC2=BC2+AB2,

(2)在Rt△ABC中,∵BC=500 m,AC=1000 m.

∴∠CAB=30°,∵∠DAB=60°,∴∠DAC=30°,即点C在点A的北偏东30°的方向.

点评本题是一道利用方位角的实际题目,从已知条件出发判断出△ABC是直角三角形,利用勾股定理是解决问题的关键.本题还涉及平行线的性质的知识及直角三角形中30°的判定.

勾股定理及其逆定理揭示了直角三角形中的三边之间的数量关系,是从“形”到“数”的飞跃,是几何计算、证明的重要工具.中考中单纯考查勾股定理的题目不多,它是解决含有直角三角形或能构造直角三角形的题目的主要方法,所以同学们一定要牢固掌握并熟练运用.

参考文献

[1]吴敏.位置与数量关系:几何入门教学的用力点——以七年级“相交线”教学设计为例[J].中学数学,2015(18).

[2]赵尔书,陈昌.浅议数量关系在数学问题解决中的地位、作用及教学[J].教育革新,2015(12).

[3]田载今.整式、分式可以表达同一数量关系[J].中学生数理化(八年级数学)(配合人教社教材),2015(12).

[4]朱亚邦.说说余角和补角[J].中学生数理化(七年级数学)(配合人教社教材),2015(11).

3.勾股定理的应用检测题篇三

1 如图1，圆柱形玻璃容器高18 cm，底面周长为60 cm，在外侧距下底1 cm的点Ｓ处有一只蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形玻璃容器的上口外侧距开口处1 cm的点F处有一只苍蝇，若蜘蛛要想吃到苍蝇，它需走的最短路线的长度是（）.

A 32 cm B 33 cm

C. 34 cm D. 35 cm

2. 小明想测量教学楼的高度．他用一根绳子从楼顶垂下，发现绳子垂到地面后还多了2 ｍ，当他把绳子的下端拉开6 m后，发现绳子下端刚好接触地面，则教学楼的高为（）.

A. 8 mB. 10 m

C. 12 mD. 14 m

3. 如果梯子的底端离建筑物9 ｍ，那么15 ｍ长的梯子可以到达建筑物的高度是（）.

A. 10 mB. 11 m

C. 12 mD. 13 m

4. 直角三角形三边的长分别为3、4、ｘ，则ｘ可能取的值有（）.

A. 1个B. 2 个C. 3个D. 无数多个

5 直角三角形有一条直角边的长为13，另外两边的长也是自然数，那么它的周长为（）.

A. 182B. 170

C. 169D. 以上都不对

二、填空题

6 在△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 10，AC= 8，CD⊥AB于D，则AD =

7 如图2，为修建铁路需凿通隧道AC，测得∠C =90°，AB = 5 km，BC = 4 km.若每天开凿隧道03 km，则需天才能把隧道凿通.

8 如下页图3，一棱长为3 cm的正方体，把所有的面都分成3 × 3个小正方形，其边长都是1 cm．设一蚂蚁每秒爬行2 cm，则它从下底面A点沿正方体表面爬行到右侧面的B点，至少需要花s

9 有一圆柱形油罐，如图4，要从底部A点开始环绕油罐建梯子，使梯子正好到达A点正上方的B点.已知油罐的底面周长为12 m，高AB是5 m，则梯子最短需要m

10 如图5，为了求出位于湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C处设桩，使△ABC恰好为直角三角形，其中∠B为直角通过测量，得知AC长为160 m，BC长为128 m，则点A、B之间的距离为m.

三、解答题

11 某工厂的大门形状如图6，四边形ABCD是长方形，上部是以AD为直径的半圆，其中AB = 23 m，AD = 2 m.现有一辆装满货物的卡车，高29 m，宽17 m．这辆卡车能否通过厂门？请说明理由.

12 在一棵树的10 m高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20 m的A处，另一只猴子爬到树顶后跳向A处.如果两只猴子经过的距离相等，试求这棵树有多高．

13 一货轮以每小时30海里的速度向正北方向行驶，货轮在A处观察到灯塔C在北偏西30°处，20 min后货轮行至B处，此时灯塔C在北偏西60°处.已知灯塔C周围8海里内有暗礁，问：货轮沿原方向行驶会不会有触礁的危险？

14 如图７，有一直立标杆，它的上半部被风从B处吹折，标杆顶端着地处 C 离杆脚2 m.修好后又被风吹折，因新折断的D处比前一次低05 m，故标杆顶端着地处 E 离杆脚比前一次远1 m．求原标杆的高.

15 长方体盒子A1B1Ｃ1Ｄ1 － A2B2Ｃ2Ｄ2如图8所示，其中A1A2 = 20 ｃｍ，A2B2 =10 ｃｍ，B1C1 = 5 ｃｍ.一只蚂蚁要沿长方体盒子表面从A2点爬到C1点，那么沿哪条路线爬行最近？

4.高一数学《正弦定理的应用》教案篇四

正弦定理的应用

教学目标

（一）知识与技能目标

会利用正弦定理求解简单的斜三角形边角问题．

（二）过程与能力目标

(1)通过用向量的方法证明正弦定理，体现向量的工具性，加深对向量知识应用的认识．

(2)通过启发、诱导学生发现和证明正弦定理的过程，培养学生观察与分析、归纳与猜想、抽象与概括等逻辑思维能力．

（三）情感与态度目标

通过三角函数、正弦定理、向量数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．教学重点

正弦定理的应用．教学难点

正弦定理在解三角形时的应用思路．教学过程

一、复习

正弦定理： abc2R sinAsinBsinC变式

(1)a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC；(2)sinA : sinB : sinC = a : b : c；

(3)S ABC111absinCbcsinA acsinB 222正弦定理可以解决三角形问题：

1.两角和任意一边，求其它两边和一角；

2.两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角.二、应用

例 1.在ABC中，已知a20,b28,A40, 求B(精确到1)和c(保留两个有效数字).例 2.在ABC中，已知a60,b50,A38, 求B(精确到1)和c(保留两个有效数字).湖南省长沙市第一中学数学教案高一（下）第五章平面向量

归纳：在△ABC中，已知a, b和A时解三角形的各种情况： 1.当A为锐角时：

CbAaBCbAB2aaB1CbAab一解aBa=bsinA一解bsinA

CabAab无解BCbAaBa > b一解练习

在ABC中，已知A30,b4,试分别讨论下列情况的解的个数(1)a1,(2)a1,(3)a3,(4)a4,(5)a5.例 3.在ABC中, 若a2tanBb2tanA, 试判断这个三角形的形状.例 4.在ABC中，若B30，AB23，AC2，求ABC的面积.课堂小结：

已知三角形的两边及其中一边的对角，其解的6种情况.作业：

5.勾股定理应用教案篇五

1．甲乙两个质量相等的物体，以相同的初速度在粗糙程度不同的水平面上运动，甲物体先停下来，乙物体后停下来，则()A．甲物体受到的冲量大 C．两物体受到的冲量相等

B．乙物体受到的冲量大 D．两物体受到的冲量无法比较

2．关于冲量的概念，以下说法正确的是（）

A．作用在两个物体上的力大小不同，但两个物体所受的冲量大小可能相同 B．作用在物体上的力很大，物体所受的冲量一定也很大 C．作用在物体上的力的作用时间很短，物体所受的冲量一定很小 D．只要力的作用时间和力的大小的乘积相同，物体所受的冲量一定相同 3．下面关于冲量的说法正确的是()A．物体受到很大的力时，其冲量一定很大 B．当力与位移垂直时，该力的冲量一定为零

C．不管物体做什么运动，在相同的时间内重力的冲量相同 D．只要力的大小恒定，其冲量就等于该力与时间的乘积 4．在物体(质量不变)运动过程中，下列说法正确的是()A．动量不变的运动，一定是匀速运动 B．动量大小不变的运动，可能是变速运动

C．如果在任何相等时间内物体所受的冲量相等(不为零)，那么该物体一定做匀速直线运动 D．若某一个力对物体做功为零，则这个力对该物体的冲量也一定为零

5．在滑冰场上，甲、乙两小孩分别坐在滑冰板上，原来静止不动，在相互猛推一下后分别向相反方向运动。假定两板与冰面间的动摩擦因数相同。已知甲在冰上滑行的距离比乙远，这是由于（）

A．在推的过程中，甲推乙的力小于乙推甲的力 B．在推的过程中，甲推乙的时间小于乙推甲的时间 C．在刚分开时，甲的初速度大于乙的初速度

D．在分开后，甲的加速度的大小小于乙的加速度的大小

6．古时有“守株待兔”的寓言．假设兔子质量约为2kg，以15m/s的速度奔跑，撞树后反弹的速度为1m/s，则兔子受到撞击力的冲量大小为（）A．28N？s B．29N？s

C．31N？s

D．32N？s 7．质量为m的物体以初速υ0做竖直上抛运动。不计空气阻力，从抛出到落回抛出点这段时间内，以下说法正确的是（）

A．物体动量变化大小是零 B．物体动量变化大小是2mυ0

C．物体动量变化大小是mυ0 D．重力的冲量为零

8．在距地面高为h，同时以相等初速V0分别平抛，竖直上抛，竖直下抛一质量相等的物体m，当它们从抛出到落地时，比较它们的动量的增量△P，有（）A．平抛过程较大 B．竖直上抛过程较大 C．竖直下抛过程较大 D．三者一样大

9．竖直上抛一球，球又落回原处，己知空气阻力的大小f=KV，（其中K为比例常量，且整个过程中KV小于重力），则（）

A．上升过程中克服重力做的功大于下降过程中重力做的功 B．上升过程中重力的冲量小于下降过程中重力的冲量 C．上升过程中动能的改变量大于下降过程中动能的改变量 D．上升过程中动量的改变量小于下降过程中动量的改变量

10．物块从斜面的底端以某一初速度沿粗糙斜面上滑至最高点后再沿斜面下滑至底端，下列说法正确的是（）

A．上滑过程中摩擦力的冲量大于下滑过程中摩擦力的冲量 B．上滑过程中机械能损失等于下滑过程中机械能损失

C．上滑过程中物块的动量变化的方向与下滑过程中动量变化的方向相反 D．上滑过程中地面受到的压力大于下滑过程中地面受到的压力

参考答案： 1．答案： C 解析：

2．答案： A 解析：冲量是矢量，其大小由力和作用时间共同决定． 3．答案： C 解析：由冲量的定义可知，力很大作用时间很短，冲量也可以很小．A错．冲量的大小与力的方向和位移的方向无关，所以B错．在相同时间内物体重力的冲量IG＝mg·t，C对．如果只是大小不变，方向总发生变化，I＝F·t不适用，D错． 4．答案： AB 解析：由于动量是矢量，因此动量不变包括大小和方向都不变，一定是匀速运动，选项A正确；而动量大小不变的运动，方向可能发生变化，可能是变速运动，选项B也正确；如果在任何相等时间内物体所受的冲量相等，可以理解为受到一个恒力作用，有可能做匀变速曲线运动，选项C错误；功和冲量是两个完全不同的概念，某一个力对物体做功为零，这个力对该物体的冲量可以不为零，选项D错误．

225．答案： C 6．答案： D 解析：设初速度方向为正方向，则由题意可知，初速度v0=15m/s；末速度为v=-1m/s；则由动量定理可知： I=mv-mv0=-2-2×15=32N？s 7．答案： B 8．答案： B 9．答案： BC 解析： A、因物体在上升和下降过程中高度相同，则重力做功的大小相等，故A错误； B．因向上运动时受向下的重力及阻力，而向下运动时，物体受向下的重力及向上的阻力，故向上时的加速度大于向下时的加速度，因高度相同，故向上时的时间小于下降时的时间，故上升过程中重力的冲量小于下降过程中重力的冲量；故B正确；

C．由B的分析可知，向上时的合外力大于向下时的合外力，故由动能定理可知，向上时的动能改变量大于下降时的动能改变量，故C正确；

D．因阻力做功，故落回到地面上时的速度小于上抛时的速度，故向上运动时动量的改变量大于下降过程动量的改变量；故D错误；故选BC．

6.勾股定理教案篇六

教学目标

知识与技能：

通过观察猜想得出勾股定理的结论。过程与方法：

通过观察、归纳、猜想、探索的过程，发展学生的合情推理能力，体会数形结合的思想。

情感态度与价值观：

通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学生的爱国热情。

教学重、难点

重点：探索三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论，从而发现勾股定理。

难点：勾股定理的证明。教学过程

1、创设问题情境、引入新课

问题1：我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做钩、长的直角边叫做股、斜边叫做弦。根据我国古算书《周髀算经》记载，约在公元前1100年人们已经知道钩是

三、股是四，那么弦就是五，你知道是为什么吗？

（设计意图：问题设置具有一定的挑战性，为的是激发学生探究的欲望。在学生感到困惑时教师指出：通过本章的学习可以解开困惑。）

2、探索交流、开展新科活动1 问题2：毕得格拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500年前，一次他去朋友家做客，发现朋友家的用砖铺成的地面反映了直角三角形三边的某种关系。我们来观察一下图中的地面，看看能发现些什么？

问题3：你能发现下图中等腰直角三角形A、B、C有什么性质吗？

问题4：等腰三角形都有上述性质吗？观察下图，回答问题。（1）观察图1 正方形A中含有个小方格，即A的面积是个单位面积。正方形B中含有个小方格，即B的面积是个单位面积。正方形C中含有个小方格，即C的面积是个单位面积。（2）在图

2、图3中，正方形A、B、C中个含有多少个小方格？它们的面积各是多少？你如何得到上述结果的？与同伴交流。

（2）请将上述结果填入下表，你能发现正方形A、B、C的面积关系吗？

（设计意图：通过学生观察计算，发现对于等腰直角三角形而言，满足两直角边的平方和等于斜边的平方。通过探究、发现，体会数形结合思想。）命题一如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2

活动2 问题5：等腰三角形有上述性质，其他的三角形也有这个性质吗？如下图，每个小方格的面积均为1，请分别计算出下图中A、B、C、A‘、B‘、C’的面积，看看能得出什么结论？（问题6：给出一个边长为0.5、1.2、1.3，这种含小数的直角三角形，也满足上述结论吗？

（设计意图：进一步让学生体会观察、猜想、归纳这一数学结论的发现过程，提高学生的分析问题、解决问题的能力。体会结论具有一般性。）介绍赵爽弦图

3、案例剖析，知识升华活动3 问题7：小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机，小明量了电视机的音幕后，发现银幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？

问题8：（1）如图，一根旗杆在离地面9m出断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，问旗杆折断之前有多高？

（2）就斜边长17cm，一条直角边长15cm的直角三角形的面积。

（设计意图：两个问题都是贴近学生生活的实例，学生可利用勾股定理解决。直角三角形的三边关系告诉我们已知两边可求出第三边，从而体验用勾股定理解决实际问题的过程。）

4、课堂回顾，知识小结

掌握勾股定理及应用；会利用勾股定理解决实际问题。板书设计

5、作业设计

7.勾股定理应用教案篇七

【案例1】

师: (放幻灯片, 逐一显示下面图形) .图1中的x等于多少?

生:

师:图2中的x, y, z分别是多少?

生:x, y, z分别是

师:如果沿着图2继续画直角三角形, 还能得到哪些无理数?

生:还能得到

师:利用图2你们能在数轴上画出表示的点吗?

生:能! (让一名学生利用图2画出

师:怎样在数轴上画出表示的点?

生:以原点为圆心, 以长为半径画弧交负半轴于一点, 这点就表示

师:在数轴上表示的点怎样画出?

……

这个案例运用了数形结合的思想, 用直角三角形三边的长度来研究直角三角形的边的性质, 用作一个满足一定条件的直角三角形来构造一个带有根号的无理数, 充分地体现了数形结合思想的应用.

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来, 通过“以形助数”或“以数解形”, 即通过抽象思维与形象思维的结合, 可以使复杂问题简单化, 抽象问题具体化, 从而起到优化解题途径的目的.

【案例2】

如图3, 分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆, 其面积分别用S1、S2、S3表示, 则不难证明S1=S2+S3.

(1) 如图4, 分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形, 其面积分别用S1、S2、S3表示, 那么S1、S2、S3之间有什么关系? (不必证明)

(2) 如图5, 分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个等边三角形, 其面积分别用S1、S2、S3表示, 请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明.

解:设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a, b, c, 则a2+b2=c2,

(1) S1=S2+S3.

(2) S1=S2+S3.证明如下:

本题从特殊到一般, 从已知到未知, 类比勾股定理的探究过程, 其关键就在于理解勾股定理.当然, 学习了相似三角形的知识后, 还可以继续探究:分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形, 上述结论是否还成立呢?

波利亚曾说过:“类比是一个伟大的引路人.”类比思想是数学学习的重要发现式思维, 它是一种学习方法, 同时也是一种非常重要的创造性思维.

【案例3】

师:在我们的生活中有一些有趣的问题:有一个边长为10尺的正方形水池, 一棵芦苇AB生长在它中央, 高出水面部分BC为1尺.如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边, 那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边B′ (如图6) .问水深和芦苇长各是多少?

这个案例运用了转化和方程思想, 题目本身是一个实际问题, 要求出水深和芦苇的长是多少.怎样把水深和芦苇的长的计算这个实际问题转化为数学中的直角三角形问题来解决, 学生是有困难的.教师在教学时注意引导学生用转化的数学思想, 可通过设未知数转化为已知两条直角边求斜边的方程问题来解答.

有些几何问题表面上看起来与代数问题无关, 但是要利用代数方法———列方程来解决, 因此要善于挖掘隐含条件, 要具有方程的思想意识.本案例中设芦苇长为x, AC的长就是芦苇的长减去高出水面的部分, 还有一个隐含的已知条件———边长为10尺的正方形水池, 一棵芦苇AB生长在它中央, 所以BB′就是边长的一半, 这样就可以利用勾股定理来解题了.

【案例4】

在直线l上依次摆放着七个正方形 (如图7) .已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3, 正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4, 则S1+S2+S3+S4=.

分析:本题不可能求出S1、S2、S3、S4的值, 但我们可以利用三角形全等和勾股定理分别求出S1+S2、S2+S3、S3+S4的值.

解:易证Rt△ABC≌Rt△CDE, ∴AB=CD,

同理可得S1+S2=1, S2+S3=2,

这个案例运用了整体思想, 就是从问题的整体性质出发, 突出对问题的整体结构的分析和改造, 发现问题的整体结构特征, 善于用“集成”的眼光, 把某些式子或图形看成一个整体, 把握它们之间的关联, 进行有目的的、有意识的整体处理.利用整体思想, 不仅会使问题化繁为简, 化难为易, 而且有助于培养学生的创造性思维能力.

数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学学科的精髓, 是将数学知识转化为数学能力的桥梁.类型化、机械化的练习只会阻碍学生的数学思维的发展, 只有渗透数学思想方法, 才能使学生正确地进行数学思考.

8.勾股定理及其逆定理的应用篇八

一、直接应用

三、构造应用

例３（2006年湖南省常德市中考试题）如图３，P是等边三角形ABC

内的一点，连接PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ=BP，连接CQ.

（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．

（2）若PA:PB:PC=3:4:5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

解析：（1）猜想：AP=CQ.

证明：在△ABP与△CBQ中，因为AB=CB，BP=BQ，∠ABC=∠PBQ=60°，所以∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ -∠PBC=∠CBQ，所以△ABP≌△CBQ，所以AP=CQ.

（2）由PA∶PB∶PC=3∶4∶5，可设PA=3a,PB=4a，PC=5a，连接PQ，在△PBQ中，由于PB=BQ=4a，且∠PBQ= 60°，所以△PBQ为正三角形，所以PQ=4a.于是在△PQC中，因为PQ2+QC2=PQ2+PA2=16a2+9a2=25a2=PC2，所以△ＰQＣ是直角三角形.

9.勾股定理的教案篇九

1、通过拼图,用面积的方法说明勾股定理的正确性.

2.探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数型结合的思想。

重点难点

或学习建议学习重点：用面积的方法说明勾股定理的正确.

学习难点：勾股定理的应用.

学习过程教师

二次备课栏

自学准备与知识导学：

这是1955年希腊为纪念一位数学家曾经发行的邮票。

邮票上的图案是根据一个著名的数学定理设计的。

学习交流与问题研讨：

1、探索

问题：分别以图中的直角三角形三边为边向三角形外

作正方形，小方格的面积看做1，求这三个正方形的面积?

S正方形BCED=S正方形ACFG=S正方形ABHI=

发现：

2、实验

在下面的方格纸上，任意画几个顶点都在格点上的三角形;并分别以这个三角形的各边为一边向三角形外做正方形并计算出正方形的面积。

请完成下表：

S正方形BCEDS正方形ACFGS正方形ABHIS正方形BCED、S正方形ACFG、S正方形ABHI的关系

112

145

41620

91625

发现：

如何用直角三角形的三边长来表示这个结论?

这个结论就是我们今天要学习的勾股定理：

如图：我国古代把直角三角形中，较短的直角边叫做“勾”，较长的直角边叫做“股”，斜边叫做“弦”，所以勾股定理可表示为：弦股还可以表示为：或勾

练习检测与拓展延伸：

练习1、求下列直角三角形中未知边的长

练习2、下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少。

(注：下列各图中的三角形均为直角三角形)

例1、如图，在四边形中，∠，∠，，求.

检测：

1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)若a=5，b=12，则c=________;

(2)b=8，c=17，则S△ABC=________。

2、在Rt△ABC中，∠C=90，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是()

A、5、4、3、;B、13、12、5;C、10、8、6;D、26、24、10

3、若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16cm,那么第三边上的高为()

A.12cmB.10cmC.8cmD.6cm

4、要登上8m高的建筑物，为了安全需要，需使梯子底端离建筑物6m，至少需要多长的梯子?(画出示意图)

5、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4千米处，过了20秒，飞机距离这个男孩5千米，飞机每小时飞行多少千米?

课后反思或经验总结：

1、什么叫勾股定理;

2、什么样的三角形的三边满足勾股定理;

10.初二数学勾股定理教案篇十

本节课在教材处理上，先让学生带着三个问题预习完成网上作业，自制4个两条直角边不等的全等的直角三角形，准备一张坐标纸。从而初步了解勾股定理的历史和内容以及证法，并制作成课件或打印资料，为课上活动做了充分的准备。为突破本课重、难点起到了至关重要的作用。勾股定理这部分内容共计两课时，本节课是第一课时。教学重点定位为勾股定理的探索过程及简单应用。教学难点是勾股定理的证明。把勾股定理的应用放在第二课时进行专题训练。

八年级数学勾股定理教案(教法、学法及教学手段)

自主探索、合作交流、引导点拨

11.勾股定理在生活中的应用篇十一

一､测量问题

例1 老师要求同学们测量学校旗杆的高度.小明发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1 m.当他把绳子的下端拉开5 m后,发现绳子下端刚好接触地面.你能帮小明求出旗杆的高度吗?

分析:根据题意,可以把旗杆与地面看成一个直角三角形的直角边,绳子当做斜边.先设出绳子的长,然后利用勾股定理列出方程求解.

解:如图1,设绳子AB长为x m,则旗杆的高度AC为(x-1) m.在Rt△ABC中,由勾股定理,得

AC2+BC2=AB2,即(x-1)2+52=x2.

解得x=13,则x-1=12.故旗杆的高度为12 m.

说明: 测量某些建筑物的高度时,常利用勾股定理列方程求解.

二､建筑问题

例2 某工程队验收工程时,为了检测某建筑物四边形地基的四个墙角是否是直角,分别测量了地基的两边长和一条对角线的长,得到的数据为16 m,9 m,19 m,如图2.请问:这个建筑物是否合格?(是直角则合格,否则不合格)

分析:如果满足勾股定理逆定理,说明墙角为直角,否则不是直角.

解:如图2,由题意知AB=9 m,BC=16 m,AC=19 m.

AB2+BC2=92+162=337.AC2=192=361.

因AB2+BC2≠AC2,所以∠ABC≠90°.所以不合格.

三､地毯花费问题

例3 如图3,如果在高为3 m､斜坡长为5 m的楼梯表面铺地毯,则至少需要多少米长的地毯?若楼梯宽2 m,每平方米地毯需要30元,那么购置地毯至少需要花费多少钱?

分析:楼梯水平方向的长度和为AC,竖直方向的长度和为BC,要求地毯的长度,只需利用勾股定理先求出AC,再求AC+BC即可.

解:在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,所以AC2=AB2-BC2=52-32=16=42.

所以AC=4 m.故地毯长度至少为AC+BC=4+3=7(m).

所以地毯总面积为7×2=14(m2),花费至少为30×14=420(元).

说明: 解决本题的关键是构建数学模型,即直角三角形,并且借助勾股定理求出AC的长.

四､台风预测问题

例4 据气象台预报,一个由南向北移动的台风,其中心在A市南偏东45°方向,且离A市 400 km的B地登陆.已知在距台风中心260 km的范围内都会受到台风侵袭,那么A市会不会受到此次台风的侵袭?为什么?

分析:本题提供了较多的文字信息,需要在阅读的基础上提炼出有用的信息.要想知道A市是否会受到台风的侵袭,关键是看当台风到达A市的正东方向时(这时台风最接近A市),A市是否在台风的侵袭范围内.

解:如图4,过点A作AC⊥BC,垂足为C,则AB=400 km,∠CAB=∠CBA=45°,△ABC是等腰直角三角形.

由勾股定理,得AC2+BC2=AB2,即2AC2=AB2,所以AC===200≈282.8(km),AC>260 km.

故A市不会受到此次台风的侵袭.

说明:这类“影响范围”的问题,常常要作有关直线的垂线,从“最短距离”处进行判断.

五､航海问题

例5 一艘轮船A以16海里 / 时的速度离开港口O向西南方向航行,另一艘轮船B同时以12海里 / 时的速度离开港口O向东南方向航行,则1.5 h后两船相距多远?

分析:根据题意画出图形,得知两轮船航线的夹角为90°.分别求出两船航行1.5 h的路程,再根据勾股定理求出两船的距离.

解:如图5,东南方向即南偏东45°,西南方向即南偏西45°,故两船航行的方向OA､OB的夹角为直角,OA=16×1.5=24(海里),OB=12×1.5=18(海里).

连接AB,在Rt△AOB中,由勾股定理得AB2=OA2+OB2=242+182=900,所以AB=30海里.

所以1.5 h后两船相距30海里.

说明:解决此问题的关键是画出正确的图形,并利用方位角的概念发现特殊角.然后找出直角三角形,应用勾股定理来解题.

12.勾股定理应用教案篇十二

正弦定理:三棱柱的三个侧面面积的比等于其相对二面角的正弦的比:

$\frac{S_{1}}{\sin (A A_{1})} = \frac{S_{2}}{\sin (B B_{1})} = \frac{S_{3}}{\sin (C C_{1})} .$

余弦定理:三棱柱的任一侧面面积的平方等于其他两个侧面面积的平方和,再减去这两个侧面面积与其所夹二面角余弦的积的两倍:

S $_{1}^{2}$ =S $_{2}^{2}$ +S $_{3}^{2}$ -2S2S3cos(AA1).

(其余二式略写)

这里,S1,S2,S3分别表示侧棱AA1,BB1,CC1所对侧面的面积,(AA1)表示以侧棱AA1为棱的二面角,(BB1)表示以侧棱BB1为棱的二面角,(CC1)表示以侧棱CC1为棱的二面角.

证明:三棱柱ABC-A1B1C1如图1.任取一与它的侧棱垂直的平面α,设A,B,C在α的射影分别为A′,B′,C′.

在△A′B′C′中由正弦定理与余弦定理得

$\begin{array}{l} \frac{B^{'} C^{'}}{s i n A^{'}} = \frac{C^{'} A^{'}}{s i n B^{'}} = \frac{A^{'} B^{'}}{s i n C^{'}} . ① \\ B^{'} C^{'}^{2} = A^{'} C^{'}^{2} + A^{'} B^{'}^{2} - 2 A^{'} C^{'} \cdot A^{'} B^{'} \cos A^{'} . ② \end{array}$

在①中各分子乘以三棱柱的侧棱长l即得

$\frac{S_{1}}{\sin (A A_{1})} = \frac{S_{2}}{\sin (B B_{1})} = \frac{S_{3}}{\sin (C C_{1})} .$

在②中两边遍乘l2即得

S $_{1}^{2}$ =S $_{2}^{2}$ +S $_{3}^{2}$ -2S2S3cos(AA1).

正、余弦定理证毕.定理的应用举例如下:

【例1】求证:平行六面体的两个对棱截面面积的平方和等于四个侧面面积的平方和.

证明:如图2,在三棱柱和ABC-A1B1C1和ABD-A1B1D1中用余弦定理得:

S $_{B D_{1}}^{2}$ =S $_{A B_{1}}^{2}$ +S $_{D A_{1}}^{2}$ -2SAB1SDA1cos(AA1), ③

S $_{C A_{1}}^{2}$ =S $_{A B_{1}}^{2}$ +S $_{B C_{1}}^{2}$ -2SAB1SBC1cos[π-(AA1)]. ④

注意SAB1=SCD1,SBC1=SDA1,

③+④即得

S $_{B D_{1}}^{2}$ +S $_{C A_{1}}^{2}$ =S $_{A B_{1}}^{2}$ +S $_{B C_{1}}^{2}$ +S $_{C D_{1}}^{2}$ +S $_{D A_{1}}^{2}$ .

【例2】在四面体ABCD中,已知棱长AC及(AC),S△ABC=S1,S△ADC=S2,试求相对棱AC与BD的距离.

解:将四面体ABCD补成三棱柱B1AD1-BCD,如图3,则AC与BD的距离即为AC与平面B1D的距离d.

设侧棱AC与D1D的距离为m,则易知

d=msin(D1D). ⑤

而 $\frac{S_{B_{1} C}}{\sin (D D_{1})} = \frac{S_{B_{1} D}}{\sin (A C)}$ .(正弦定理)

故 $\sin (D D_{1}) = \frac{S_{B_{1} C} \sin (A C)}{S_{B_{1} D}}, ⑥$

⑥代入⑤得 $d = \frac{m S_{B_{1} C} \sin (A C)}{S_{B_{1} D}} . ⑦$

又 $m = \frac{2 S_{2}}{A C}, S_{B_{1} C} = 2 S_{1},$

而 $S_{B_{1} D} = \sqrt{(2 S_{1})^{2} + (2 S_{2})^{2} - 2 \times 2 S_{1} \cdot 2 S_{2} \cos (A C)}$ (余弦定理),

将这三式代入⑦整理得

$d = \frac{2 S_{1} S_{2} \sin (A C)}{A C \times \sqrt{S_{1}^{2} + S_{2}^{2} - 2 S_{1} S_{2} \cos (A C)}} . ⑧$

这就是相对棱AC与BD的距离.

说明:例2的结果⑧实际上给出了两异面直线距离的一个公式.特别地,当(AC)=90°时,⑧成为更简单的形式 $d = \frac{2 S_{1} S_{2}}{A C \sqrt{S_{1}^{2} + S_{2}^{2}}} .$

【例3】已知矩形ABCD的AB=3,BC=4.现沿对角线AC将矩形折成60°的二面角.求对折后BD与AC的距离.

解:问题的实质是求四面体ABCD的对棱AC与BD的距离.对照⑧,得

$\begin{array}{l} S_{1} = S_{2} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6, A C = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5, (A C) = 60 °, \\ \sin (A C) = \frac{\sqrt{3}}{2}, \cos (A C) = \frac{1}{2} . \end{array}$

13.勾股定理的逆定理教案篇十三

活动1(1)总结直角三角形有哪些性质.(2)一个三角形，满足什么条件是直角三角形?

设计意图：通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，提高学生发现反思问题的能力.

师生行为学生分组讨论，交流总结;教师引导学生回忆.

本活动，教师应重点关注学生：①能否积极主动地回忆，总结前面学过的旧知识;②能否“温故知新”.

生：直角三角形有如下性质：(1)有一个角是直角;(2)两个锐角互余，(3)两直角边的平方和等于斜边的平方：(4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半.

师：那么，一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢?

生：有一个内角是90°，那么这个三角形就为直角三角形.

生：如果一个三角形，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形.

师：前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b斜边c具有一定的数量关系即a2+b2=c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢?我们来看一下古埃及人如何做?

二、讲授新课

活动2问题：据说古埃及人用下图的`方法画直角：把一根长蝇打上等距离的13个结，然后以3个结，4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.

这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5.有下面的关系“32+42=52”.那么围成的三角形是直角三角形.

画画看，如果三角形的三边分别为2.5cm，6cm，6.5cm，有下面的关系，“2.52+62=6.52，画出的三角形是直角三角形吗?换成三边分别为4cm、7.5cm、8.5cm.再试一试.

设计意图：由特殊到一般，归纳猜想出“如果三角形三边a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就为直免三角形的结论，培养学生动手操作能力和寻求解决数学问题的一般方法.

师生行为让学生在小组内共同合作，协手完成此活动.教师参与此活动，并给学生以提示、启发.在本活动中，教师应重点关注学生：①能否积极动手参与.②能否从操作活动中，用数学语言归纳、猜想出结论.③学生是否有克服困难的勇气.

生：我们不难发现上图中，第(1)个结到第(4)个结是3个单位长度即AC=3;同理BC=4，AB=5.因为32+42=52.我们围成的三角形是直角三角形.

生：如果三角形的三边分别是2.5cm，6cm，6.5cm.我们用尺规作图的方法作此三角形，经过测量后，发现6.5cm的边所对的角是直角，并且2.52+62=6.52.

再换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm的三角形，目标可以发现8.5cm的边所对的角是直角，且也有42+7.52=8.52.

是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方，就能得到一个直角三角形呢?

14.八年级数学元勾股定理教案篇十四

张窝中学马宏跃

一、教材分析：

１、人民教育出版社出版，人民教育出版社中学数学室编著，九年义务教育八年级教科书《几何》，第三章第五单元《勾股定理》２、本节内容在全书及章节的地位：《勾股定理》是初中数学知识中非常重要的一个定理，在此之前，学生已经知道直角三角形两个锐角互余，会解方程，本节内容是直角三角形边与边之间的关系，它会为学生将来学习解直角三角形，四边形，函数等知识作好准备。

二、教学目标

1、了解勾股定理的证明，掌握勾股定理的，初步会用它进行有关的计算。

2、通过对勾股定理的应用，培养学生方程的思想和逻辑推理能力

3、对比介绍我国古代数学家和西方数学家对勾股定理的研究，培养学生的爱国主义精神。

三、教学重点难点

重点是勾股定理的应用。难点是勾股定理的证明；

四、多媒体计算机

五、新授课

六、教学方法与学法

采用直观的方法，以多媒体手段辅助教学，引导学生、启发学生发现问题、思考问题，培养学生逻辑思维能力。逐步设疑，引导学生积极参与讨论，肯定成绩，使其具有成就感，提高他们学习约兴趣和学习的积极性。

八年级的学生形象思维较好，理性思维欠缺，教师需及时引导，帮助学生形成结论。

七、教学过程

（一）、激发学生兴趣，引人新课

请同学以组为单位，利用事先准备好的三角形（边长为a,b,c）,拼成边长为a,b,c的正方形。

（二）定理的探求，证明及命名

1、探求定理，猜想结论

教师用计算机演示：在RtΔABC中，∠A、∠B、∠C所对的边为a、b、c，通过平移、旋转，变动ΔABC的形状、大小，以改变a、b、c的长度。在此过程中始终计算a2、b2、c2请同学们观察a2、b2、c2之间的数量关系，得到猜想。再演示非直角三角形的a2、b2、c2 之间不具备这样的关系，得到a2+b2=c2 是直角三角形所特有的性质。

请同学们用语言叙述猜想，并画图写出已知、求证。

2、定理的证明

目前世界上已有几百种勾股定理的证明方法，而我国古代数学家用割补、拼接图形计算面积的方法也有了很多种证法。

（1）

（2）

３、定理的命名

(1).约 2000年前,代算书《周髀算经》中就记载了公元前1120年我国古人发现的“勾三股四弦五”.当时把较短的直角边叫做勾, 较长的直角边叫做股,斜边叫做弦.“勾三股四弦五”的意思是,在直角三角形中，如果勾为3,股为 4,那么弦为5.这里

.人们还发现,勾为6,股为8,那么弦一定为10.勾为5,股为12,那么弦一定为13等.同样，有 ,„„即

.所以我国称它为勾股定理.(2).西方国家称勾股定理为毕达哥拉斯定理

毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前580—前500年)是古希腊杰出的数学家,天文学家,哲学家.他不仅提出了定理,而且努力探求了证明方法.（三）定理的应用

例1在 Rt△ABC中，∠C＝ 90°，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c．（1）已知a＝ 6，b＝8，求c；你能求出哪些量？（2）a＝40，c＝41,求 b；（3）b＝15，C＝25求 a；（4）a:b＝3:4,c＝15,求b．

（四）深入探索

在 Rt△ABC中，∠C＝ 90°，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c．已知a＝ 6，b＝8，你能求出哪些量？ “知二求一”（１）面积（２）周长（３）斜边上的高（４）斜边被高分成的两条线段的长„„ 例３已知△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AC=4cm,求ＡＢ，ＢＣ的长例４如图，Ａ＝６０，ＡＢ＝６０ＣＭ，ＣＤ＝３０ＣＭ，求ＢＣ，ＡＤ的长

（五）小结

（六）作业：习题3.9 4题八教学评价

本节课从学生的实际情况出发, 由浅入深,层层递进.教学设计的说明：

15.动能定理的实际应用篇十五

例1新疆达坂城风口的风速约为v=20 m/s,设该地区空气密度ρ=1.4 kg/m3,若把通过横截面积为S=20 m2的风的动能全部转化为电能,则该处风力发电站的发电功率为多大?

思维点拨:取很短一段时间Δt内的空气作为研究对象,则这段时间内空气的质量:

点评:在生活、生产和科技实践中,经常会遇到这样的问题,例如水轮机发电、水力采煤、风力发电、火箭喷气、血液流动等,称为连续流体问题,处理这类问题时,不便于取整体为研究对象,通常是取很短一段时间内的质量Δm作为研究对象,将其看成质点,再进行分析讨论,这是解答连续流体问题的技巧.

二、探究物体从高处落地的安全问题

最近国务院下达了保障学生安全的相关条例,保护学生安全引起了全社会的关注,学生在单杠、跳马、攀越等体育运动中,可能发生从高处落下导致骨折等事故,下面讨论安全落地的高度.

例2人从一定的高度落地容易造成骨折,一般人胫骨的极限抗压强度约为1.5×108 N/m2,胫骨最小横截面积大约为3.2 cm2.假若一质量为50 kg的人从某一高度直膝双足落地,落地时其重心又约下降1 cm,试计算一下这个高度超过多少时,就会导致胫骨骨折.(g取10 m/s2)

思维点拨:胫骨最小处所受冲击力超过:F=pS=1.5×108×2×3.2×10-4 N=9.6×104 N时会造成骨折.

设下落的安全高度为h1,触地时重心又下降高度为h2,落地者质量为m.

由动能定理:mg(h1+h2)-Fh2=0得:

答案:高度超过1.9 m时,可能会导致骨折.

安全警示:在高度超过1.9 m以上的单杠上运动时,在单杠下方应备有海绵垫子,或者有同学做好保护,以防不测,其他活动(如:撑杆跳、跳伞、攀越高架等)也必须做好安全措施.

三、测量自行车运动时所受的平均阻力

例3在大操场跑道上,先用力蹬自行车,使之具有一定的速度,待自行车进入直跑道后停止用力,在道路阻力作用下,自行车逐渐停止运动.

(1)要测定自行车所受的平均阻力,需测定哪些物理量?需要哪些测量仪器?

(2)测定平均阻力运用的物理原理是______,其表达式为______,表达式中各个物理量的意义是______;

(3)如何测定相关的物理量?

(4)怎样减少实验的误差?

思维点拨:设自行车和人的质量为m,停止用力后其速度为v,所受平均阻力为f,滑行距离为s,据动能定理:,其中m用磅秤测量;

v的测定方法:在停止用力后取一小段距离s1,用秒表测定自行车通过s1所用的时间t1,因为t1较小,自行车在这段位移上的速度可视为匀速,即:,用皮尺测得滑行总位移s,代入上述式子求出f.

答案:(1)自行车和人的质量m、停止用力后自行车速度v、滑行距离s;磅秤、秒表、皮尺;

(2)动能定理;;f为平均阻力,s为滑行总位移,v为停止用力时自行车的速度,m为自行车及人的总质量;

(3)略;

(4)减少误差的关键为v的测定,因为s1较小,因此计时的开始和结束一定要及时,以减小误差.

四、利用动能定理求弹性势能

例4为了测量一根轻质弹簧压缩最短时储存的弹性势能,可以采用如图1所示的装置来进行,图中桌面带有凹槽,以保证小滑块P(可视为质点)在桌面上只能沿凹槽做直线运动,小滑块受到桌面阻力不能忽略,但大小恒定,弹簧的一端连接在固定物K上,K可以沿凹槽方向移动,又能在不同位置被固定,另外提供弹簧测力计与刻度尺,请根据以上说明以及实验要求回答以下问题:

(1)简要写出实验操作步骤;(写出需要测量的物理量名称及符号,并要体现出减小实验误差的操作)

(2)用(1)中测出的物理量表示弹簧压缩最短时的弹性势能,即Ep=______;

(3)若小滑块所受桌面阻力为滑动摩擦力,利用(1)中测出的物理量能不能求出滑块与桌面之间的动摩擦因数μ?若能,请写出求μ的表达式;若不能,请说明理由.

思维点拨:求解压缩状态的弹性势能,一种是用公式法,即,用刻度尺和弹簧测力计即可,方便易行,但不符合要求(没用题中所给装置,且该公式高中教材不作介绍).

另一种是用功能关系法:弹性势能等于弹簧形变恢复过程对外做的功,由动能定理:,W弹=-ΔFp,其中s为滑块在桌面上移动的距离,由刻度尺测量;v为滑块离开桌面的速度,可由滑块离开桌面后的平抛运动求解.考虑到摩擦力未知,就需实施变换思想,改变固定物K的位置以组成方程组,即,式中,,解得:,Ep=,式中s、h、x由刻度尺测量,G由弹簧测力计测量.

答案:(1)①用弹簧测力计称出小滑块重力C;②用刻度尺测出桌面到地面的高度h;③将K固定在桌面某一位置,用小滑块将弹簧压缩至最短.测量出此时K、P之间的距离L以及P到桌子右边缘的距离s1;④自由释放小滑块P,确定其在地面上的落点位置;⑤重复③④多次,找出其落点的中心位置,然后测出该中心位置到桌子右边缘的水平距离x1;⑥将K固定在桌子的另一位置,用小滑块压缩弹簧使K、P间的距离保持不变为L,测出P到桌子右边缘的距离s2;⑦类似步骤④⑤,测出相应的中心位置到桌子右边缘的水平距离x2.

(3)由f=μN=μG及实验原理中的摩擦力f的表达式可知,能求出:.

点评:新课程强调探究性学习,从探究性学习中可以学会实验设计,正确安排实验程序,分析实验数据,得出实验结果,进而培养自己的实验设计能力和探究能力.

五、动能定理与功率的综合问题

例5一列火车由机车牵引沿水平轨道行驶,经过时间t,其速度由0增大到v,已知列车总质量为M,机车功率P保持不变,列车所受阻力f为恒力,求这段时间内列车通过的路程.

思维点拨:以列车为研究对象,列车在水平方向受牵引力和阻力作用,设列车通过路程为s.

六、探究短跑运动中的体能消耗

例6一个体重为60 kg的短跑运动员,起跑时能在内冲出1 m远,能量全部由消耗体内葡萄糖提供,其热化学方程式为:C6H12O6(g)+602(g)=6CO2(g)+6H2O(L)+2800 kJ,则该运动员在这段时间内至少要消耗体内葡萄糖多少g?

解得:x=0.28 g.

答案:运动员在这段时间内至少消耗葡萄糖0.28 g.

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