等腰三角形的定义

等腰三角形的定义（精选10篇）

1.等腰三角形的定义 篇一

定理1 已知△ABC中, AB=AC, 如果D为BC边上任意一点, 那么AD2-AB2=BD·DC。

现把定理1条件中的点在底边上改为点在底边的延长线上, 就得:

定理2 如图1, 已知△ABC中, AB=AC, 如果D为BC延长线上任意一点, 那么AD2-AB2=BD·DC。

证明:作△ABC的外接圆⊙O, 交AD于E, 连接CE。由切割线割定理的推论, 得BD·DC=AD·DE=AD (AD-AE) =AD2-AD·AE, 因为∠CED是圆内接四边形ABCE的外角, 所以∠CED=∠B=∠ACB, 又因为∠AEC+∠CED=180°, ∠ACD+∠ACB=180°, 所以∠AEC=∠ACD, 又因为∠CAE=∠DAC, 所以∠ACE∽∠ADC, 所以 , 所以∠AE·AD=AC2, 即AE·AD=AB2, 因此AD2-AB2=BD·DC。

由定理1和定理2得:

定理3:等腰三角形底边所在直线上任意一点到底边两端点的距离的积等于腰长与这点到顶点距离的平方差的绝对值。

灵活巧妙地应用定理2, 也可非常简捷地解一类与等腰三角形有关的问题, 举例说明如下:

例1:如图1, 在△ABC中, AB=AC=1, D是BC延长线上的一点, 且 , 求BD·DC的值。

解:由定理2得 。

例2:△ABC中, AB=AC=2, BC边延长线上有100个不同的点P1, P2…P100, 记mi=AP2i-BPi·PiC (i=1, 2, …100) , 则m1+m2+……+m100=______。

解:由定理2得APi2-BPi·PiC=AB2=22=4,

即mi=4, 故m1+m2+……+m100==4×100=400。

例3:已知△ABC为等腰锐角三角形, AB=AC, D为BC延长线上一点, 使DA⊥AB。求证:BD2+BD·CD=2AD2。

证明 因为DA⊥AB, 所以AD2+AB2=BD2, …… (1)

又由定理2得AD2-AB2=BD·DC…… (2)

由 (1) , (2) 得BD2+BD·DC=2AD2。

例4:某船在B处以每小时8千米的速度向正东方向航行, 1小时后到达C处, 在B, C两处均测得与灯塔A的距离为8千米。 (1) 问再经过2小时该船距A多少千米? (2) 设该船从B处出发后某时刻所处的位置为P, 若PB=x, PA2=y, 求y关于x的函数解析式及x与y的取值范围。

解: (1) 设再经过2小时后该船在D处 (如图1) , 由题意得AB=AC=8, BD=24, CD=16, 由定理2得AD2=BD·CD+AB2=24×16+8=448, 所以 (千米) 。

(2) (1) 当P在线段BC上时, 由定理1得AP2=AB2-BP·PC, 所以x的取值范围是0

(2) 当P在线段BC的延长线上时, 由定理2得AP2=AB2+BP·PC, 所以y=82+x (x-8) , 即y关于x的函数解析式是y=x2-8x+64。x的取值范围是x>8, y的取值范围是y>64。

综合 (1) , (2) , 得y与x的函数关系式是y=x2-8x+64, x与y的取值范围分别是x>0, y≥48。

由定理还可以得到关于直角三角形的两个性质:

性质1 在Rt△ABC中, ∠C=90°, D是BC上任一点, 那么AD2+2BD·DC+DB2=AB2。

证明:延长BC到点E, 使CE=BC, 连接AE (如图2) , 则AE=AB, 由定理1得AB2=AD2+DB·DE=AD2+BD (2DC+BD) =AD2+2BD·DC+BD2

性质2 在RT△ABC中, ∠C=90°, D是边CB延长张上任一点, 那么AD2+BC2=DC+AB2。

证明:延长BC到点E, 使CE=BC, 连接AE (如图3) , 则AE=AB, 由定理2得AD2-AB2=BD·DE= (DC-BC) (DC+BC) =DC2-BC2, 所以AD2+BC2=AB2+DC2。

参考文献

2.与等腰三角形有关的中考题 篇二

一、画等腰三角形

例1如图1，已知在△ABC中，AB = AC，∠A = 36O，仿图1，请你再用两种不同的方法，将△ABC分割成3个三角形，使每个三角形都是等腰三角形(图2、图3供画图用，作图工具不限，不要求写出作法和证明，要标出所分得每个等腰三角形三内角的度数).

（江苏省镇江市）

说明：答案如图4、图5、图6. 此题不仅能培养同学们动手能力，还可考查同学们的发散思维能力.

二、摆放等腰三角形

例2在平面内，分别用3根、5根、6根火柴，首尾依次相接能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下所示：

问：（1）4根火柴能搭成三角形吗?

（2）8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形?请画出图形.

（福建省宁德市）

解：（1）4根火柴不能搭成三角形因为1 + 1 = 2不满足三边关系.

（2）8根能搭成等腰三角形（如图7）；而12根能搭成等边三角形（如图8），或等腰三角形（如图9），或直角三角形（如图10）.

说明：此题对我们动手操作能力要求较高.

三、剪裁等腰三角形

例3在劳技课上，老师请同学们从一张长为17cm，宽为16cm的长方形纸板上，剪下一个腰长为10cm的等腰三角形(要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，另外两个顶点在长方形两边上). 请你帮助同学们画出剪裁的等腰三角形.(黑龙江省)

解：分三种情况

①如图11，AE = AF = 10cm，沿EF剪裁；

②如图12，AE = EF = 10cm，沿EF和AF剪裁；

③如图13，AE = EF = 10cm，沿AF和EF剪裁.

说明：题目中没有明确地要求剪几个等腰三角形，故要把所有情况都考虑进去.

四、证明等腰三角形

例4如图14， 在△ABC中， D、E分别是AC、AB上的点， BD与CE交于点O. 给出下列三个条件：①∠EBO =∠DCO；②∠BEO =∠CDO；③BE = CD.

（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形)；

（2）选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形.

（江苏省扬州市）

解：（1）①③， ②③；（2）①③.证明过程如下：

∵∠EOB =∠DOC，∠EBO=∠DCO， BE = CD.

∴△EBO≌△DCO.

∴BO = CO.∴∠OBC =∠OCB.

又∵∠EBO =∠DCO，

∴∠OBC +∠EBO =∠OCB +∠DCO.

∴∠ABC =∠ACB.∴△ABC为等腰三角形.

说明：例4是一道结论开放题，有助于培养发散思维能力.

3.等腰三角形判定的教案 篇三

本单元教学三角形的相关知识，这是在学生直观认识过三角形的基础上教学的，也是以后学习三角形面积计算的基础。内容分五段安排：第一段通过例1、例2第22～25页形成三角形的概念教学三角形的基本特征，三角形的高和底;第二段通过第26～27页教学三角形的分类，认识锐角三角形、直角三角形和钝角三角形;第三段第28～29页通过例4教学三角形的内角和;第四段通过第30～32页例5、例6认识等腰三角形和等边三角形及其特征。第五段第33～34页单元练习。全面整理知识，突出三角形的分类以及关于边和角的性质。

教材中的思考题有较大的思维容量，能促进学生进一步理解并应用三角形的知识。编写的三篇“你知道吗”介绍三角形的稳定性、制作雪花图案的方法和埃及的金字塔，能激发学生学习三角形的兴趣，丰富对三角形的认识。

二、教材编写特点和教学建议

1、让学生在“做”图形的活动中感受三角形的形状特点和结构特征。

空间与图形的概念教学，一般要让学生经历感知——表象——形成概念的过程，教材注意按学生的认识规律安排教学过程。 学生在第一学段直观认识了三角形，本单元继续教学三角形的知识，教材经常采用“活动——体验”的教学策略，即组织学生“做”图形，让他们在做的过程中体会图形的特点，主动构建对图形的比较深入的认识。

(1) “做”三角形，感受边、角和顶点。第22页例题教学三角形的边、角和顶点，分三个层次编写：首先呈现一幅宜昌长江大桥的照片，引起学生对三角形的回忆，并联系生活里的三角形进行交流，感知三角形;;然后安排学生想办法做每人至少“做”一个三角形并在小组里交流进一步强化表象;;最后讲解三角形的边、角和顶点。

学生“做”三角形并不难，做的方法必定是多样的。用小棒摆、在钉子板上围、在方格纸上画三角形在第一学段都曾经做过，现在学生还可能剪、折、拼……“做”三角形的目的不在结果，要注重学生在做的过程中是怎样想的、怎样做的，把精力放在建立边、角和顶点等概念上。所以，交流的时候要分析各种做法的共同点，如用三根小棒、三段细绳、三条线段……才能“做”成三角形，三角形有三条边;小棒、细绳、线段……必须两两相连，三角形有三个顶点和三个角。

(2) 围三角形，体会两条边的长度和必须大于第三边。《标准》要求：

通过观察、操作，了解三角形的两边之和大于第三边。这是新课程里增加的教学内容，第23页例题教学这个知识。教材通过学生的具体体验来使学生知道这一点。首先，为学生提供四根长度分别是10cm、6cm、5cm、4cm的小棒，向学生提出问题：任意选三根小棒，能围成一个三角形吗?然后让学生在操作中发现有时能围成三角形，有时围不成三角形，并直觉感受这是为什么。最后通过比较每次选用的三根小棒的长度，找到原因、理解规律。

例题的编写特点是不把知识结论呈现给学生，而让学生在“做”图形活动中发现现象、研究原因、体会规律。因此，教学这道例题时要注意三点：第一，课前作好充分的物质准备，力求让每一名学生都有长10cm、6cm、5cm、4cm的四根小棒。第二，课上要让学生自由地选择小棒，充分地围，经历围成和围不成三角形的过程，并给学生提供思考“为什么”的时间。第三，要引导学生从直觉感受上升到理性认识。在用小棒围的时候，他们的直觉感受是如果两根较短的小棒的另一端能够碰到一起，就围成了三角形;如果不能碰到一起，就围不成三角形。这种直觉感受是必要的，但不是最终的。要在直觉感受的基础上，进一步对三根小棒的长度进行分析研究，这才是“数学化”的过程，才能在获得数学结论的同时又学习用数学的方法进行思考。

(3)对图形量、剪、折，亲身感知并认识体会等腰三角形、等边三角形的特点。第30页的两道例题分别教学等腰三角形和等边三角形，认识等腰三角形和等边三角形，首先要感知各自的特点，教材注意突出教学的这一过程。都分三个层次教学：

第一层次是通过学生量三角形边的长度，理解“等腰”“等边”的含义;第二层次是仿照例题示范的方法剪出一个等腰三角形和一个等边三角形，继续体会它们的边的长度关系;第三层次是给出等腰三角形各部分的名称，发现等腰三角形、等边三角形的角的大小关系。其中第二层次的教学比较难。两道例题里“茄子”和“白菜”提的问题不同，前一道例题的问题是“用下面的方法剪成的三角形是等腰三角形吗”，因为学生容易看懂图文结合表述的剪法，通过这个问题引导学生关注到两条腰是同时剪的，长度肯定相同。后一道例题的问题是“你会像下面这样剪出一个等边三角形吗”，因为学生不容易看懂教材展示的方法，教材希望通过这个问题引导学生先研究剪法、弄懂剪法。关键在找到那个红色的点，先对折又斜折是为了让三条边的长度都相同。

2、从已有经验中提炼数学概念。

在具体的感性材料里提取本质特征，形成理性认识是概念教学的渠道之一。丰富的感性经验与清晰地认识特征是建立正确概念的前提。

(1)循序渐进，帮助学生逐步理解三角形的高。三角形的底和高是三角形里的重要概念，为了让学生自己感受底和高，教材用人字梁为素材，利用学生在生活中对人字梁“高度”的认识进行测量，感受三角形人字梁的高，以此为基础引入三角形高的概念。第24页例题、“试一试”以及“想想做做”里的部分习题把三角形高的教学分成四步进行：

第一步让学生量出人字梁图形的高度是多少厘米。这里讲的“高”度还是生活中的高，是从上往下竖直的距离。虽然与数学里的高含义不同，但也有相似的地方——垂直的、最短的。设计这一步教学的目的是唤醒已有的生活经验，营造认识三角形高的基础。第二步结合图形讲述三角形的高。学生对教材里的一段话，既要联系人字梁的高来体会，又要超越人字梁这个具体实物比较概括地理解。联系人字梁的高能降低理解概念内涵的难度，超越人字梁具体实物才能形成真正的数学概念。教材表述的是三角形高的描述式定义，描述了高的位置，描述了画高的方法。教学时可以把教师边画边讲与学生边描边体会相结合，重在对概念的理解，不要死记硬背。第三步通过“试一试”扩大概念的外延。数学里平面图形的高的本质属性是“垂直”而不是“竖直”，竖直是“从上往下”，垂直是“相交成直角”。例题教学三角形的高先从竖直的位置讲起，“试一试”举出各种摆放位置的、不同类型的三角形以及不同边上的高，要求学生测量三角形的高和底的长度，使学生在操作中进一步体会高的概念，认识只要是从一个顶点到对边的垂直线段就是三角形的高，感受底和高的相应关系，进一步理解三角形底和高的意义。这样让学生准确地理解概念的内涵，全面地把握概念的外延，深刻地体会高与底之间的对应联系。第四步通过“想想做做”P25第1题的画高练习，进一步感受描述式定义，巩固对高的理解。其中最右边的是直角三角形，它的两条直角边互为高和底，学生在画高的时候能够体会到这一点。另外让学生阅读资料了解三角形的稳定性三角形的稳定性是其重要特性，教材安排了“你知道吗”，让学生通过阅读并做实验体会这一特性。这里注意一点本册教材知识要求学生画请指定底边的高，这些高都是在三角形里面的，三角形外的高不做要求。还有就是在作图的时候一定要注意一些作图规范。

(2)联系对直角、锐角、钝角的认识，引导学生探索三角形的分类。三角形的分类教学，必须使学生在充分的感知中体会三个内角大小有几种情况，理解三角形分类的方法及分类的合理性。第26页例题让学生在给角分类的活动中体会三角形的分类。首先呈现了6个不同形状的三角形，要求学生仔细观察各个三角形的每个角是什么角，并把观察结果填在预设的表格里。然后引导学生分析研究表格里的数据信息，发现有些三角形的三个角都是锐角，有些三角形里有一个直角和两个锐角，有些三角形里有一个钝角和两个锐角，从而引发可以给三角形按角分类，获得直角三角形、锐角三角形和钝角三角形的认识，掌握不同三角形的特点。准确而精炼的语言总结了什么样的三角形是锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。最后还用集合图表达三角形的分类以及各类三角形与三角形整体的关系。

教学三角形的分类要特别注意三点：第一，必须组织学生积极参与分类活动，在独立思考的基础上合作交流，逐渐形成共识。第二，要扣紧概念的关键，让学生理解为什么锐角三角形强调三个角都是锐角，直角三角形和钝角三角形只讲一个直角或一个钝角，从而掌握判断时的思考要点。如第33页第2题里左边和中间的三角形能确定它们分别是钝角三角形和直角三角形，因为在图中分别看到了1个钝角和1个直角。右边的三角形只看到1个锐角，不能确定它是什么三角形。第三，要用好第27页“想想做做”第3～7题，让学生在图形的变换中加强对各类三角形的认识。认识了三角形的分类，还要通过具体的观察、判断和操作、画图等活动进一步巩固对不同三角形的认识。教材在这方面有比较多的安排。例如P27的“想想做做”第3～7题，分别让学生判断各是什么三角形，巩固对各类三角形的认识;围出、折出、剪出和画出指定的三角形，使各类三角形的表象再现。特别是第7题是一道开放题，可以让学生通过画一画、说一说，互相交流，加深对各类三角形的认识，掌握各类三角形的特征。

3、从特殊到一般，通过实验得出三角形的内角和是180°。

让学生“了解三角形的内角和是180°”是《标准》规定的教学内容和教学要求，这里讲的“了解”不是接受和知道，而是发现并简单应用。教材安排三角形内角和的学习，主要让学生由特殊到一般，通过自己的探索活动认识与掌握三角形内角和是180°。

(1) 第28页教学三角形的内角和，采用了“质疑——解疑”的教学策略，实验是策略的核心，是解疑的手段。

首先计算同一块三角尺上的3个角的度数和。由于学生在四年级(上册)教材里已经知道了两块三角尺上的每一个角的度数，所以能够很快求得每块三角尺的3个角的和都是180°。并由此产生疑问：其他三角形的内角和也是180°吗? 由此产生学习的愿望。接着安排学生通过实验解疑，用实验的方法验证、确认三角形内角和的结论。把一个三角形的3个角拼在一起，从拼成的是平角得出3个角的度数和是180°。教材要求小组合作，剪出不同类型的三角形进行实验，通过实验获得直接认识，验证自己的猜想，从而确认三角形的三个内角的和是180°，得出结论。因此，实验的对象有较大的包容性，实验的结论有很强的可靠性。学生会完全信服三角形的内角和是180°这一普遍规律。最后并通过“试一试”，应用三角形内角和求未知角的度数，巩固三角形内角和的结论。

(2)为了让学生深刻地理解三角形内角和的规律。在认识三角形内角和以后，教材通过应用促进学生掌握这一内容，并应用解决问题。如P29.“想想做做”1～3题，应用三角形内角和求未知角的度数，在三角形的变换中判断内角和各是多少，巩固所获得的结论;。“想想做做”巧妙地设计了两道辨析题一道是第2题：一块三角尺的内角和180°，两块同样的三角尺拼成的一个大三角形的内角和又是多少呢?另一道是第3题：正方形内角和360°，对折出的三角形内角和180°，再对折成的小三角形内角和又是多少呢?解答这两道题时，学生的思考会在180°和360°以及180°和90°不同答案上碰撞，碰撞的结果是进一步认识三角形的内角和是一个普遍规律，不因三角形的大小而改变，不因拼、折等图形变换而改变。另外，教材还从两个方面引导学生应用三角形的内角和：一是根据三角形中已知的两个角的度数，求另一个角的度数;二是解释为什么直角三角形里只有1个直角，钝角三角形里只有1个钝角。第6题，通过思考一个三角形中最多有几个钝角或直角，并应用三角形内角和的知识合理解释，加深认识三角形内角和及钝角三角形、直角三角形的特征。

4、注意三角形知识的内在联系

三角形的分类是按角的大小为标准的，而等腰三角形和等边三角形是以边的长度特点来定义的。不同特征的三角形中又存在内在联系，认识三角形应该让学生了解这些联系。在P31～32第2～4题里，就让学生了解等腰三角形可以同时是直角三角形、锐角三角形或钝角三角形，体会等腰三角形都是轴对称图形。P33第2题通过判断，进一步认识钝角三角形、直角三角形分别只有一个钝角或直角，而每类三角形都有锐角，即只看一个锐角无法判断是什么三角形。第3题使学生体会两个一样的直角三角形，可以拼成三角形，也可以拼成四边形，而且可以有不同的拼法。第5题需要综合本单元学习的三角形知识，依据三角形边长之间的关系，选择小棒按要求摆出等腰三角形和等边三角形。第6题，要应用对等边三角形特征的认识进行解释，第7题，让学生观察三角形判断各是什么三角形，感受可以从不同角度判定一个三角形是什么三角形，体会知识之间的内在联系。

5.注意培养学生的空间观念

观察、举例、做图形感受三角形

在P22例题里，引导学生先观察情景中的三角形，举出日常生活里接触过的三角形，加强三角形的表象，同时还要求学生做一个三角形，P23第1题也要求学生画三角形,把表象转化成具体的三角形再现出来，形成三角形的空间形象。

学生在看、围、折、剪等活动中获得各类三角形特征的直接体验

在空间与图形的学习中，引导学生实际操作，具体感受所学图形，积累对其形状、大小、位置关系的的感性认识，可以发展空间观念。教材在P27第2题通过观察、判断加强不同三角形形状的直接感受，第3～6题让学生围、折、剪图形，依据头脑里的表象再现出相应的图形，可以培养空间观念。第7题，需要依据三角形的特点进行分析、判断，知道可以分成两个怎样的三角形，才能有不同的分法。这些都有利于空间观念的发展。

让学生折一折、剪一剪、画一画掌握等腰三角形和等边三角形的直观形象

4.等腰三角形的性质定理教案 篇四

等腰三角形的性质定理教案

教学内容： 等腰三角形的性质定理 教学目标： 知识与能力：探索并掌握等腰三角形性质定理，能运用它们进行有关的论证和计算。 理解等腰三角形和等边三角形性质定理之间的联系。 过程与方法：培养学生对命题的抽象概括能力，逐步渗透几何证题的`基本思想方法：分析法和综合法。 情感与态度：引导学生进行规律的再发现，培养学生勇于实践、大胆探索的精神。 加强学生数学应用意识。 教学重点与难点 重点：等腰三角形的性质定理。 难点：等腰三角形三线合一性质的运用 教学过程： (一)、导入新课 1、等腰三角形的有关概念，轴对称图形的有关概念。 提问：等腰三角形是不是轴对称图形?如果是，那么什么是它的对称轴? 2、 教师演示(模型)并导入新课：等腰三角形还有其它特殊性质吗?这节课我们就要一起来研究等腰三角形的性质(由此引出课题) (二)、自学课本：由学生自学课本，然后指出各自的发现，并加以引导用规范的数学语言进行逐条归纳，最后得出等腰三角形的性质1、2 性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。 在△ABC中，∵AB=AC( ) ∴∠B=∠C( ) 性质定理2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和中线互相重合。 (1)∵AB=AC ∠1=∠2( ) ∴BD=DC AD⊥BC( ) (2) ∵AB=AC BD=DC ( ) ∴∠1=∠2 AD⊥BC( ) (3) ∵AB=AC AD⊥BC ∴ BD=DC ∠1=∠2( ) 强调性质定理2中三线头前的定语的重要性，可让学生实际画图验证。 (三)出示尝试题 证明：等腰三角形两底角的平分线相等 引导学生说出解题步骤，结合定理1的证明过程自己尝试写出过程 (四)尝试练习(二板齐练，分组竞赛式，教师个别指导) (五)针对尝试中出现的问题有针对性讲解 (六)课堂测试P133例题 (七)小结：通过本节课学习，掌握等腰三角形的性质定理1、2，等边三角形的性质，能利用等腰三角形的性质证明两角相等，两线段相等，两直线互相垂直，要充分发挥联想的作用，对做题大有裨益。 (八)作业;习题1、2、3、5 课后反思

5.《等腰三角形的判定》教学反思 篇五

等腰三角形是一类特殊的三角形，因而它比一般的三角形在理论和实际中的应用更为广泛。教材专门设计一个单元的内容来研究它。这个单元的重点之一就是等腰三角形的判定，同时这也是本章的重点之一。大纲对此的要求是“掌握等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，并能灵活应用它们进行论证和计算”（“灵活应用”是大纲中“了解、理解、掌握、灵活应用”四个层次中的最高要求）。在学过等腰三角形的性质和判定后，推理依据增多了，学生所接触到的题目难度也会明显加大，证明思路不再那么简单。

近几年的许多中考题目常以等腰三角形为命题背景，结合四边形、相似形、圆、函数等相关知识点出一些综合性题目和压轴题目。所以要求学生能掌握并灵活应用。

学生刚刚学过等腰三角形的性质，对等腰三角形已经有了一定的了解和认识。学生在这个阶段逐渐在各方面开始成熟，思维深刻性有了明显提高，有着自己独特内心世界，有着独特认识问题和解决问题的思维方式。

6.等腰三角形的定义 篇六

义务教育课程标准教科书数学 (人教版) 八年级上册150页第12题:等腰三角形两底角的平分线相等吗?两腰上的中线呢?两腰上的高呢?证明其中的一个结论.显然, 等腰三角形两底角的平分线相等, 两腰上的中线相等, 两腰上的高也相等。它们都很容易用全等三角形证明.由此我们很自然地思考与它们相反的问题:有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形吗?有两条中线相等的三角形是等腰三角形吗?有两条高相等的三角形是等腰三角形吗?经过探究会得到结论:有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形, 有两条中线相等的三角形是等腰三角形, 有两条高相等的三角形也是等腰三角形.但是证明上述命题, 有难有易.我们很容易用全等三角形证明“有两条高相等的三角形是等腰三角形”, 但是用全等三角形证明“有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形, 有两条中线相等的三角形是等腰三角形”却比较困难.令我欣喜的是有学生还根据“三角形的面积等于底乘高的一半”, 很方便地用等式性质证明了“有两条高相等的三角形是等腰三角形, 等腰三角形两腰上的高相等”。这就启发我们, 也可以用等式的性质证明“有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形, 有两条中线相等的三角形是等腰三角形.等腰三角形的两底角的平分线相等, 等腰三角形两腰上的中线相等”。

上面的命题的题设和结论都很简单, 分别是三角形角平分线的关系、中线的关系、边之间的关系.如果能得到三角形的中线、角平分线与三角形的三边关系式, 就有可能用等式的性质证明上述命题。

二、三角形的中线、角平分线与三角形三边的关系的公式推导

1、证明余弦定理.

如图1, 在△A BC中, A B=c, BC=a, CA=b, 过点B作BD⊥A C, 垂足为D。在△A BD中, BD=A Bsin A=csin A, A D=A Bcos A=ccos A, CD=A C-A D=b-ccos A。在△BCD中, 用勾股定理得, BC2=BD 2+D C2= (csin A) 2+ (b-ccos A) 2=b2+c2-2bccos A, 即a2=b2+c2-2bccos A.如果垂线段BD不在三角形内部, 同样可以得到结论。

2、证明三角形中线与三边的关系.

如图2, 在△A BC中, A M是中线, 三边BC=a, A C=b, A B=c.由余弦定理得:AM2=AB2+BM2—2AB×BM×cos B=c2+ (2—1a) 2-2*21a*c*2aca2+c2-b2=c2+41a2-21 (a2+c2-b2) =41 (2b2+2c2-a2) 。即得中线A M=Ma=21

3、证明角平分线与三边的关系.

三、等腰三角形的有关性质与判定的证明

1、等腰三角形两腰上的中线相等

如图3, 在△A BC中, AB=AC, BD和CE是两腰上的中线.根据公式得:。又b=c, 所以BD=CE。

2、有两边上的中线相等的三角形是等腰三角形

如图3, 在△A BC中, BD和CE分别是两边A C、A B上的中线, 且BD=CE.根据公式得:

即AB=AC。

3、等腰三角形两底角的平分线相等

如图4在△A BC中, A B=A C, BD和CE是两底角的平分线。根据公式得, 又b=c, 所以, BD=CE。

4、有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形

如图4, 在△A BC中, BD和CE分别是∠A BC和∠A CB的角平分线, 且BD=CE.根据公式得

7.聚焦等腰三角形中的探索型问题 篇七

近几年的中考数学试题中，与等腰三角形有关的探索型问题已成为热点之一.现举例予以说明.

一、条件补充型

例1（济南）如图1，△ABC中，已知AB=AC，要使AD=AE，需要添加的一个条件是__.

简析：从确定△ADE是等腰三角形着眼，应添加∠ADB=∠AEC或∠BAD=∠CAE或BD=CE等条件.

二、结论判断型

例2（南通）如图2所示，△ABC中，∠ACB=90°，△ACE、△CBD都是等边三角形.试判断EC与BD的位置关系，并证明你的结论.

简析：因△ACE、△CBD都是等边三角形，故∠ECA=∠DCB=60°.又因为∠ACB=90°，所以∠ECB=∠ECD=150°.连接EB、ED，如图3.又EC=EC，CB=CD，则△ECB≌△ECD，所以EB=ED，∠DEC=∠BEC.由等腰三角形三线合一的性质知EC⊥BD.

三、辨别改错型

例3（江西）如图4，D是△ABC中BC边上的一点，E是AD上的一点.EB=EC，∠1=∠2.求证：AD⊥BC．

请你先阅读下面的证明过程．

证明：在△AEB和△AEC中，EB=EC，AE=AE，∠1=∠2，

∴△AEB≌△AEC.（第一步）

∴AB=AC， ∠BAE=∠CAE.（第二步）

∴AD⊥BC.（等腰三角形的“三线合一”）

上面的证明过程是否正确？如果正确，请写出每一步的推理依据；如果不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．

简析：第一步错误．在△AEB和△AEC中，有两边和其中一边的对角对应相等，并不能判定它们全等．证明思路如下：由EB=EC，得∠EBC=∠ECB.再由∠1=∠2，可得∠ABC=∠ACB，故AB=AC.下同上面证法．

四、条件组合型

例4（扬州） 如图5，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O. 给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD.

（1）上述三个条件中，哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？用序号写出所有情形.

（2）请选择（1）题中的某一种情形，证明△ABC是等腰三角形.

简析：（1）有两种情形：①、③，②、③.

（2）以①、③为例.

∵∠EOB=∠DOC，∠EBO=∠DCO，BE=CD，

∴△EBO≌△DCO（AAS）.

∴BO=CO.∠OBC=∠OCB.

由条件∠EBO=∠DCO，

∴∠ABC=∠ACB.△ABC为等腰三角形.

五、实验操作型

例5（天门）在平面内，分别用3根、5根、6根火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表表示如下.请阅读下表后再回答问题.

问：（1）4根火柴能搭成三角形吗？

（2）8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？请在下表中画出它们的示意图.

简析：（1）因为4根火柴只能搭成长为1，1，2的三条线段，而长为1，1，2的三条线段不能构成三角形（因1+1=2），所以4根火柴不能搭成三角形.

（2）在搭的同时要注意三条线段长必须满足三角形三边关系定理.8根火柴可以搭成一个三边长分别为3，3，2的等腰三角形；12根火柴可以搭成一个三边长分别为5，5，2的等腰三角形，也可以搭成一个三边长分别为4，4，4的等边三角形，还可以搭成一个三边长分别为3，4，5的直角三角形.示意图略.

说明：这类搭三角形的题可运用列举法解.先画三个方框.在最左边的第一个方框中依次填上1，2，3，…，在第二个方框中再填入不小于第一个方框的数，然后在第三个方框中填入不小于第二个方框的数.这三个数如果满足前两个之和大于第三个，且这三个数之和为（火柴）总数，那么就可以搭成三角形，否则不能.

六 图形分割型

例6（无锡）已知△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°.试画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．请你选用下面给出的备用图（图6），把不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数.

简析：如图7，有2种不同的分割方法.

说明：此题的解决也提示我们: 遇到与等腰三角形有关的问题时，一定要避免多解、漏解.

七 猜想探究型

例7（南充）如图8，已知△ABC为等边三角形，点M是线段BC上任意一点，点N是线段CA上任意一点，且BM=CN.直线BN与AM相交于Q点．

（1）请问：∠BQM等于多少度？

（2）如果M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其他条件不变，如图9所示，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由．

8.等腰三角形的性质教学设计 篇八

授课教师： 秦安县五营中学 赵俊堂

一、学习目标

①知识与技能目标：

掌握等腰三角形的有关概念和相关性质。熟练运用等腰三角形的性质解决等腰三角形内角以及边的计算问题。②过程与方法目标：

通过对性质的探究活动和例题的分析，培养学生多角度思考问题的习惯，提高学生分析问题和解决问题的能力。③情感与态度目标：

通过对等腰三角形的观察、试验、归纳，体验数学活动充满着探索性 和创造性，突出数学就在我们身边。在操作活动中，培养学生之间的合作精神，在独立思考的同时能够认同他人。

学习重难点

重点：探索等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的性质。难点：等腰三角形中关于底和腰，底角和顶角的计算问题。

二、教学过程：

1、创设情景

①请同学们拿出事先准备好的剪刀和半透明矩形纸一张，将纸对折，剪得一个等腰三角形。

②引入新课：

问题：等腰三角形是轴对称图形吗？

③相关概念：定义：两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

边：等腰三角形中,相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边.角：等腰三角形中,两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.2、探究问题

①动动手：让同学们把做出的等腰三角形的半透明纸片对折，让两腰重合在一起，你能发现什么现象？请你尽可能多的写出结论。

②得出结论：可让学生有充分的时间观察、思考、交流、可能得到的结论：

(1)等腰三角形是轴对称图形(2)∠B =∠C

(3)BD=CD, AD为底边上的中线

(4)∠ADB =∠ADC =90°，AD为底边上的高线(5)∠BAD =∠CAD , AD为顶角平分线

得出性质

性质1：等腰三角形的两底角相等。（简写成“等边对等角”）

性质2：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合。

（简称“三线合一”）

如图，在△ABC中，AB =AC, 点 D在BC上（1）如果∠BAD =∠CAD ,那么AD⊥BC，BD=CD（2）如果 BD=CD，那么∠BAD =∠CAD，AD⊥BC（3）如果 AD⊥BC，那么∠BAD =∠CAD，BD=CD

（为了方便记忆可以说成“知一求二！”）

3、例题部分：

例一：

1、在等腰△ABC中，AB =3，AC = 4，则 △ABC的周长=________

2、在等腰△ABC中，AB =3，AC = 7，则 △ABC的周长=________ 此例题的重点是运用等腰三角形的定义，以及等腰三角形腰和底边的关系，仔细比较以上两个例题，并强调在没有明确腰和底边之前，应该分两种情况讨论。而且在讨论后还应该思考一个问题，就是这样的三条边能否够成三角形。

例二：

1、在等腰△ABC中，AB =AC, ∠A = 50°, 则∠B =_____，∠C=______

2、在等腰△ABC中，∠A =100°, 则∠B =______，∠C=______ 此例题的重点是运用等腰三角形“等边对等角”这一性质，突出顶角和底角的关系，强调等腰三角形中顶角和底角的取值范围：0°＜顶角＜180°, 0°＜底角＜90°。仔细比较以上两个例题，得出结论一个经验：在等腰三角形中，已知一个角就可以求出另外两个角。

例三：在等腰△ABC中，∠A = 40°, 则∠B =______ 此题是一道陷阱题，可以先让学生进行分析，和例二的2小题比较，估计会出一些状况，大多数学生会按照两种情况讨论，得到两个答案。然后跟学生 画出图形进行分析，分两种情况讨论，但是答案是“三个”。强调需要自己画图解题时，一定要三思而后行！

例四：在△ABC中，AB =AC，点D是BC的中点，∠B = 40°，求∠BAD的度数？

此题的目的在于等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”性质的综合运用，以及怎么书写解答题，强调“三线合一”的表达过程。

4、练习部分：

练功房Ⅰ（基础知识）填空题

1、在△ABC中，若AB＝AC，若顶角为80°，则底角的外角为_________.2、在△ABC中，若AB＝AC，∠B＝∠A，则∠C＝____________.3、在△ABC中，若AB＝AC，∠B的余角为25°，则∠A＝____________.4、已知：如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，AD＝DC，∠B=35°，∠ACD＝43°，则∠BCD＝____________

练功房Ⅱ（实践运用）实践题

如图，是一屋顶的截面几何简图，已经知道它的两边AB和AC是相等的.建筑工人师傅对这个建筑物做出了两个判断：

①工人师傅在测量了∠B为37°以后，并没有测量∠C，就说∠C 的度数也是37°。

②工人师傅要加固屋顶，他们通过测量找到了横梁BC的中点D，然后在AD两点之间钉上一根木桩，他们认为木桩是垂直横梁的。请同学们想想,工人师傅的说法对吗？请说明理由。

三．小结部分

提问：今天我们学习了什么？你觉得在等腰三角形的学习中要注意哪些问题？

1、等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形的定义，以及相关概念。

2、等腰三角形的两底角相等。（简写成“等边对等角”）

3、等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合。（简称“三线合一”）

4、注意等腰三角形关于底和腰的计算题，特别是需要的讨论的时候,最后还要进行

检验，看看这样的三条边是否可以构成三角形。

5、注意等腰三角形的顶角和底角的取值范围：0°＜顶角＜180°,0°＜底角＜90°

6、重视需要自己画图解题时一定要“三思而后行”！

四．作业部分

1、教科书P86

习题9.3 1,2,3,4题

2、请问：在等腰三角形中,等腰三角形两腰上的中线（高线）是否相等？

为什么？

3.已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC上，D在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。请问：DE⊥BC成立吗？、4、等腰三角形是特殊的三角形，思考一下，什么三角形又是特殊的等腰三角

9.《等腰三角形的性质》教学设计 篇九

河北肥乡第二中学

牛海美

教学目标：

知识技能：

1、理解掌握等腰三角形的性质

2、运用等腰三角形的性质进行证明和计算 数学思考：

1、观察等腰三角形的对称性，发展形象思维

2、通过实践、观察、证明等 腰三角形的性质，发展学生合情推理能力和演绎推理能力

情感态度：引导学生对图形的观察、发现、激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心 重点

：等腰三角形的性质及应用 难点

：等腰三角形的性质说明

情景描述

1、创设情境，引出课题

教师活动：现在农村经济条件好了，大部分家庭盖有楼房。大家知道农村的楼房都有房梁，并且这些房梁都保持水平状态，你知道木匠师傅采用什么方法来确定房梁是否保持水平呢？

学生活动：学生思考。学生1：用水平尺。学生2：用铅垂线，使房梁与铅垂线互相垂直。学生3：木匠师傅眼睛估计。„„

教师活动：教师肯定以上学生回答，同时指出学生3凭估计来判断，总是令人不放心，花上几万元，造出的房子是一高一低的。

现在有这样一种方法，不知道这根房梁能否保持水平？ 如图，房梁上放一把三角尺（等腰直角三角形），从顶点A挂一条铅垂线，使线经过三角尺斜边的中点O。

AO 我们学习了本节课的内容，就能解决这类问题。然后引出课题：9.3.1 等腰三角形。

意图：通过问题情境，让学生体验生活中的经历，调动学生学习的主动性、积极性，激发学生的兴趣和求知欲望。

2、实验操作，探究规律

教师发给每位学生一张方格纸、一张白纸。活动一：在方格纸上画出等腰三角形

方格纸上学生画出各种等腰三角形（锐角等腰三角形、钝角等腰三角形、等腰直角三角形）。

意图：由于学生对等腰三角形已有初步的认识，通过画各种等腰三角形，进一步加深理解等腰三角形的概念，同时为下面的“折”的实验作好准备。

活动二：等腰三角形的概念

由方格纸所画等腰三角形，说出等腰三角形及相的腰、底边、顶角、底角的概念。

并给出等边三角形的概念：三条边相等的三角形是等边三角形。同时在概念的基础上理解等腰三角形与等边三角形的关系。活动三：一张白纸，如何折出一个等腰三角形

AAD白纸片沿虚线对折BCDB

剪下△ABD思考：这样折出的△ABC为什么就是等腰三角形呢？

意图：让学生积极地参与到活动中来，都能成为数学活动的一分子。活动四：等腰三角形除了有两条边相等外，还有其他什么结论？（学生小组讨论）

由于等腰三角形是轴对称图形，把△ABC对折，使两腰AB、AC重叠，则折痕AD就是对称轴，因此可以得出一系列等腰三角形的性质。

结论：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）

“三线合一”——等腰三角形底边上的中线、顶角的平分线、底边上的高线互相重合。

意图：（1）留给学生充足的时间和空间进行实践、探究和交流。（2）设计活动情境，让学生通过画一画、折一折，合作讨论和探索交流，发现不同的等腰三角形有着类似的特征——两底角相等、“三线合一”。由学生探讨、归纳得出规律，充分发挥学生学习的积极性，体现了教学过程中学生的主体地位。

3、应用新知，尝试成功 尝试练习一：

（1）如果等腰三角形的一个底角为50°，则其余两个角为 和 ；

（2）如果等腰三角形的顶角为80°，则它的一个底角为 ；（3）如果等腰三角形的一个外角为70°，则它的三个内角为 ；

（4）如果等腰三角形的一个外角为100°，则它的三个内角为 ；

（5）等边三角形的一个内角为，为什么？

意图：通过本练习，巩固理角等腰三角形“等边对等角”的性质和等边三角形的性质；特别通过练习（4）设计，得出不同的结果，培养学生思维的开放性与灵活性。

尝试练习二：

如图，房梁上放一把三角尺（等腰直角三角形），从顶点A挂一条铅垂线，使线经过三角尺斜边的中点O。这根房梁是否保持水平呢？为什么？

意图：此例与引入课题时提出的问题模型呼应，体现了数学来源于实践，反过来又作用于实践的辩证唯物主义的观点。培养学生学数学，用数学的意识。

4、课堂小结，掌握方法

（1）小结本堂课的收获。（学生畅所欲言）

（2）掌握方法：等腰三角形的性质提供了说明两角相等的常用方法；“三线合一”是说明两条线段相等、两个相等及两条直线互相垂直的依据。

5、布置作业，课外拓展 教材156页第5、6题

设计说明

1、问题是数学的心脏。问题的解决允许运用直观的方法，还应当鼓励学生不停留在直观的认识上，要进行合情的推理、精确计算，科学地判断。本教学设计把“问题”贯穿于教学的始终，运用“提出问题——探究问题——解决问题”的方式，让学生发现规律和运用规律，使学生在长知识的同时，也长智慧、长能力，进一步培养学生良好的思维品质。

2、让数学思想方法渗透于课堂教学之中。本教学设计引导学生通过折一折的手段来运用于“转化”思想，将等腰三角形转化为轴对称变换。同时渗透数学与实践相结合的辩证唯物主义思想，培养学生的应用意识。

10.等腰三角形的定义 篇十

【关键词】 等腰三角形；探究能力

动手探知未知问题或现象，是学生主观能动性的有效体现。学生作为具有社会性和自然性的社会存在个体，在学习新知、解答问题过程中，表现出能动的探究解答潜在情感。初中阶段，是学生学习能力和学习素养积淀和形成的关键时期和重要阶段，在学生能力素养形成中占有重要地位。新实施的初中数学课程标准也要求，应将培养学生动手探究能力贯穿在整个教学活动始终。等腰三角形是三角形的重要“构件”之一，其自身所具有的特殊属性、所蕴含的性质定理等内容，在三角形章节体系中占据重要位置。这就为学生探究能力培养提供了丰富的载体和平台。近年来，培养具有动手实践的技能型人才，已成为学科教学的重要目标和任务。

一、在创设等腰三角形问题情境中，激励学生主动动手探究

情感是学生自主学习的重要“因子”，也是学习状态持之以恒的重要“保障”。而初中生受自身心理影响，易受外界因素影响和制约，出现不愿探究的内在情感，想吃“现成饭”。学生探知新知、解答问题的过程，不是一蹴而就，而是克服内在因素和外在因素下，进行的有效活动。在等腰三角形教学中，教师应该将知识传授的过程变为学生探知新知的过程，抓住学生情感发展“敏感区”，利用教学资源网站，通过创设具有启发性的、学生感兴趣的、有助自主学习和探索的问题情境，使学生在活动丰富、思维积极的状态中进行探究学习，使学生朝着有利于知识建构的方向发展。

如在“等腰三角形的性质”一课教学时，教师采用问题情境法教学策略，激发学生探究内在情感。先引导学生进入教学网站，进入学习资源栏目，生活中的几何图形栏目，对出现的相关图片，进行观察活动，找出图片中的等腰三角形。接着要学生找出这些等腰三角形具有什么特征，自然而然进入到“等腰三角形的性质”探究中。上述教学活动中，教师从学生的生活和已有知识出发，创设情境，引导学生观察、联想，使学生感受到生活中处处有数学，并学会从数学的角度去观察事物，思考问题，激发学生对学习数学、探究数学、解答数学的兴趣和愿望。

二、在指导等腰三角形问题解答中，传授学生探究问题要领

案例：如图一所示，已知AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求证：DC⊥AC。

上述求证问题是关于等腰三角形知识内容的问题案例，出题的初衷是考查学生对“三线合一”的运用能力。因此，教师在问题解答中，将传授该类型问题解答方法，作为根本目标。在解题中，将探究问题“任务”交给学生，教师只作指导作用，向学生提出，通过该问题条件内容分析，可以看出，该问题是关于什么方面的求证题，这时，引导学生开展探究活动，学生在探究问题条件、内涵过程中，认识到，要证DC⊥AC，就是要证明∠ACD=90°，由于DA=DB，可以联想到“等腰三角形的三线合一”性质。这时，教师要求学生添加辅助线，这样，学生提出，可以采用“作DE⊥AB交点E，利用全等三角形内容”和“延长AC到F，使AF=AB，连结DF，利用三线合一性质求证”等两种方法，最后，教师进行总结，向学生指出，进行该问题类型求证时，可以采用两种方法，一是现构造直角，然后证明它等于∠ACD=90°，二是构建起“三线合一”的基本图形，证得足够条件，直接用性质证DC⊥AC。这样就为学生探究等腰三角形问题活动提供了方法支持。

三、在辨析等腰三角形问题过程中，提升学生探究实践素养

初中生学习能力水平受自身智力发展和思维实际的制约，对自身学习活动表现不能及时、全面的掌握，难免出“缺点”或不足。因此，在等腰三角形问题解答过程中，教师将评价问题解答过程作为学生探究能力培养的重要补充，要求学生对问题解答过程进行反思、评析，从而将问题评析的过程演变为反思探究活动方法及表现的过程，并实时引导学生进行总结提炼，指明解题思想，有效推进学生探究素养提升进程。

案例：如图二所示，已知△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：∠DEF=∠DFE。

教师出示学生解题过程：

证明：连结AD，∵AB=AC，D是BC的中点，

∴AD平分∠BAC

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∴∠DEF=∠DFE。

此时，教师引导学生组成学习小组，开展问题解答辨析评价活动，学生在探究分析问题解答过程，结合等腰三角形的性质及定理，提出：“该问题解答中，利用了等腰三角形的性质定理和全等三角形内容，通过添加辅助线的方法，进行了问题解答。”其他学生也提出“在该问题解答中，也运用了构建法，通过构建等腰三角形，借助“三线合一”性质进行证明”。这时，教师进行课堂总结，向学生指出，该问题解答过程中，利用了构建法，借助“三线合一”性质，进行了问题的解答。在实际问题解答中，添加辅助线是经常运用的一种方法。同时，该解题过程渗透了数形结合思想，让学生对数学解题思想有初步的感知。

上述解题过程中，教师通过评析解题过程，使学生将自主反思探析融入到问题评析活动中，既得到了对问题过程的有效辨析，又促进了学生探究思维效能的有效提升。