等腰三角形性质说课

等腰三角形性质说课（共12篇）

1.等腰三角形性质说课 篇一

人教版八年级《等腰三角形的性质》说课稿

尊敬的各位评委，老师上午好！非常高兴能有机会在这个说课活动与大家交流。今天我说课的内容是人教版八年级上册第十二章第三节《等腰三角形》第一课时。我从从教材与学情分析、教学目标分析，教法的确定与学法指导、教学过程这四个方面来说明我对这节课的设计。

一、教材与学情分析

等腰三角形是特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质之外，还具有一些特殊的性质。本节内容是在认识了轴对称以及掌握了全等三角形的判定和等腰三角形的定义基础上进行的。这节课主要学习等腰三角形的“等边对等角”和“等腰三角形的三线合一”的性质。它既是前面知识的深化和应用，又是今后学习等边三角形和等腰梯形的预备知识，具有承上启下的重要作用。同时还是今后证明线段、角相等及两直线互相垂直的重要依据，它在理论上有这样重要的地位，并在实际生活中也有广泛的应用，等腰三角形的广泛性能激发学生学习数学的兴趣和热情，能让学生体会到学数学、做数学、用数学的快乐。因此本节课无论是在本章教学中，还是初中数学教学中都占有非常重要的位置。

大量事实表明,学生对于等腰三角形的性质一比较容易接受，但是初二学生的几何知识有限，而且本节课性质的证明又添加了辅助线，同时性质二其中包括三个命题需要证明和应用，所以性质二的证明和应用是本节课的难点。

二、教学目标与教学重点、难点：

1、知识与技能：能够探究，归纳，验证等腰三角形的性质，并学会应用等腰三角形的性质。

2、过程与方法：通过实践，观察，证明等腰三角形的性质，发展学生合情推理能力和演绎推理能力。

3、情感态度与价值观：引导学生对图像的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答实际问题的活动中获取成功的喜悦，建立学习的自信心。

重点：等腰三角形的性质和应用 难点：等腰三角形性质的证明

三、教法的确定与学法指导

在上学期我们学校实行学习动车组的建设，经过一年的训练，学生们已经有一定的自学能力和小组合作能力，实践表明，学生给学生讲题，同学们会更有兴趣，也更容易接受，学生通过自我展示不但能激发他们的表现欲，还能提高语言表达能力和竞争意识。本学期学校推行高效课堂建设的四环节、八步骤，课堂教学的八步骤：编制学案、有效预习、合作交流、精讲点拨、达标测试、针对性的作业设计与布置、课后反思、学生的拓展延伸及再学习。因此本节课，推行高效课堂的四环节、八步骤，决定先印发学案，并给每个小组分配了展示任务，在编写学案时，我注意引导学生主动预习，小组合作探究，小组交流，最后教师精讲点拨，课后进行反思。同时采用多媒体辅助教学，呈现更直观的形象，突破重点，难点。激发学生的积极性、主动性，增大课堂容量，提高教学效率。

四、教学过程

心理学研究表明，当外部刺激唤起主体的情感活动时，就更容易成为注意的中心，所以我安排了以下问题：

（一）回顾与思考

1、课件出示精美的图片，提问：（1）、屋顶设计成了哪种几何图形？（2）、它有什么特征？它是轴对称图形吗？对称轴是哪一条？（设计意图：由日常生活中的等腰三角形引出课题，目的在于让学生体会数学来源于生活，培养学生从实际问题中抽象出数学问题的能力.）

2、学生思考回答后，教师再提问引入课题：等腰三角形还有其他的特殊性质吗？这节课我们就来研究等腰三角形的性质。

（二）观察与表达

剪一剪：学生小组展示自己小组准备的长方形纸片按教材要求对折后剪下的图形，再把它展开，看得到了一个什么图形？再引导学生思考以下四个问题： 1.剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？这个问题在学习了轴对称学生应该容易回答。（可以让后进生回答这个问题，从而增强他们的自信心）

2.把剪出的等腰三角形对折，找出其中重合的线段和角？（利用轴对称变换的性质，得到相等的线段和角，这样为后面这个问题起到铺垫作用）

3.由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想。（这个问题留给小组探究，合作交流）（设计意图：通过让学生动手剪纸，获得图形的直观感受，并为下面的折纸操作做好铺垫，为学生提供参与数学活动的时间和空间，调动学生的主观能动性，激发其好奇心和求知欲。利用小组合作充分调动学生的积极性，发挥学生动车组的带动作用）

（三）成果展示，探究新知

通过学生小组合作探究讨论，交流，有学生代表展示讨论成果。可能学生会有以下几个猜想：

①∠B=∠C 引导学生得到两个底角相等，从而得到性质一 性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）； ②BD=CD →AD为底边BC上的中线 ③∠BAD=∠CAD →AD为顶角∠BAC的平分线 ④∠ADB=∠ADC=90°→AD为底边BC上的高

性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）（设计意图：通过教师的引导，学生利用等腰三角形的对称性，讨论、归纳出等腰三角形的两条性质，在这个过程中训练学生文字语言与符号语言的互换，培养学生自主探究的学习品质和观察分析、归纳概括的能力，发展形象思维。）

（四）合作交流、再次探究

教师引导学生对等腰三角形的性质进行证明。首先放手让学生决定自己的探 索方向，鼓励学生选用不同的方法，把期望带给学生，让学生最大限度地发现自己的潜能，使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。但是，对于这种用文字语言叙述的几何命题证明，包括了证明的三个步骤：题设（已知）、结 论（求证）、推理（证明过程），对于一般学生来说有一定的难度，因此，我设计 了以下三个问题，通过对这三个问题的解答，帮助学生理顺思路、化解难点。

1、找出命题等腰三角形的两底角相等的题设和结论，根据刚才画出的图形 写出已知和求证。（意图：使学生能顺利的将文字语言转化成数学语言）

2、证明两角相等和两条线段有哪些方法？（提供给学生解题的思路和方法，引导学生用旧知识解决新问题，体会数学 中的转化思想）

3、你认为用什么方法来证明∠B=∠C ？（添加辅助线是本节课的又一重点，所以，让学生再次重叠刚才的三角形，使两腰重合。使学生意识到要证明∠B=∠C 的关键，就将它们放到两个三角形中 去，构造两个三角形全等，从而引入添加辅助线的方法）由辅助线带来的条件是不同的，因此将学生分组进行讨论，在学生讨论的 过程中，可能得到的三种添加辅助线的方法： 作顶角的角平分线、作底边上的高、作底边上的中线。以顶角的角平分线为例，让一生上黑板板演，教师指正、规范 证明过程。达到巩固的目的。其余两个由学生课后完成，并检查。通过以上训练使学生得到关于等腰三角形的性质，再次展示等腰三角形的性 质：

1、等腰三角形的两底角相等（简称为等边对等角）

2、等腰三角形的顶角平分线，底边上的高，底边上的中线相互重合（简称为三 线合一）（设计意图：等腰三角形的性质的探索与验证是本节课的重点和难点，本环节中，充分调动学生的主观能动性，让学生大胆猜想、小心求证，经历性质证明的过程，增强理性认识，体验性质的正确性和辅助线在几何论证中的作用，在学生的自主探索中，完成了重点知识的教学，突破了教学难点，培养了学生的合情推理能力和演绎推理的能力。）

（四）初步应用

为巩固学生对新知识的掌握，在这里设置一个口答练习和练习2：

练习

1、（1）如果等腰三角形的一个底角是 75°则另外两个角-------

（2）等腰三角形的一个角是 70°，它的另外两个角是-------（3）等腰三角形的一个角是 110°，它的另外两个角是-------

（设计意图：此例题的重点是运用等腰三角形“等边对等角”这一性质和三角形的内角和，突出顶角和底角的关系，让学生把变式题与例一进行比较两题的条件，让学生认识等腰三角形在没有明确顶角和底角时，应采用分类讨论）。练习2（1）.△ ABC是等腰直角三角形（AB=AC，∠ BAC=90°），AD是底边BC上的高，标出∠ B，∠ C，∠ BAD，∠ DAC的度数，图中有哪些相等的线段？

（2）.在△ ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠ B和∠ C的度数

（设计意图：这两道题是等腰三角形的“等边对等角”和“三线合一”的简单应用,让学生尝到成功的喜悦，增加了自信，为后面的学习垫定基础）

（五）归纳小结

通过本节课的探索研究，你收获到了什么？有何感受？

（设计意图：让学生谈收获，不仅有知识与技能的收获，还有过程的体验、方法的获得以及数学思想方法和情感价值观的形成。而且可以激发学生的学习兴趣，激活课堂气氛，使课堂教学达到最佳状态，教师根据情况再进行小结。）

（六）当堂检测

课后习题1,3题（题目设计相对简单，能够及时的了解学生掌握情况和教师教学效果，及时反思，查缺补漏，为以后教学奠定基础）

（七）作业布置

教科书习题12.3第1.4题.（必做题）6题（选做题）

（设计意图：学以致用、巩固提高，通过作业，内化知识，检验学生掌握知识的情况，发现和弥补教与学中的遗漏与不足。采用分层作业的形式，使不同学生都能够获得成功的喜悦，爱上数学。）

我的说课完毕，谢谢大家！

2.等腰三角形性质说课 篇二

定理1 已知△ABC中, AB=AC, 如果D为BC边上任意一点, 那么AD2-AB2=BD·DC。

现把定理1条件中的点在底边上改为点在底边的延长线上, 就得:

定理2 如图1, 已知△ABC中, AB=AC, 如果D为BC延长线上任意一点, 那么AD2-AB2=BD·DC。

证明:作△ABC的外接圆⊙O, 交AD于E, 连接CE。由切割线割定理的推论, 得BD·DC=AD·DE=AD (AD-AE) =AD2-AD·AE, 因为∠CED是圆内接四边形ABCE的外角, 所以∠CED=∠B=∠ACB, 又因为∠AEC+∠CED=180°, ∠ACD+∠ACB=180°, 所以∠AEC=∠ACD, 又因为∠CAE=∠DAC, 所以∠ACE∽∠ADC, 所以 , 所以∠AE·AD=AC2, 即AE·AD=AB2, 因此AD2-AB2=BD·DC。

由定理1和定理2得:

定理3:等腰三角形底边所在直线上任意一点到底边两端点的距离的积等于腰长与这点到顶点距离的平方差的绝对值。

灵活巧妙地应用定理2, 也可非常简捷地解一类与等腰三角形有关的问题, 举例说明如下:

例1:如图1, 在△ABC中, AB=AC=1, D是BC延长线上的一点, 且 , 求BD·DC的值。

解:由定理2得 。

例2:△ABC中, AB=AC=2, BC边延长线上有100个不同的点P1, P2…P100, 记mi=AP2i-BPi·PiC (i=1, 2, …100) , 则m1+m2+……+m100=______。

解:由定理2得APi2-BPi·PiC=AB2=22=4,

即mi=4, 故m1+m2+……+m100==4×100=400。

例3:已知△ABC为等腰锐角三角形, AB=AC, D为BC延长线上一点, 使DA⊥AB。求证:BD2+BD·CD=2AD2。

证明 因为DA⊥AB, 所以AD2+AB2=BD2, …… (1)

又由定理2得AD2-AB2=BD·DC…… (2)

由 (1) , (2) 得BD2+BD·DC=2AD2。

例4:某船在B处以每小时8千米的速度向正东方向航行, 1小时后到达C处, 在B, C两处均测得与灯塔A的距离为8千米。 (1) 问再经过2小时该船距A多少千米? (2) 设该船从B处出发后某时刻所处的位置为P, 若PB=x, PA2=y, 求y关于x的函数解析式及x与y的取值范围。

解: (1) 设再经过2小时后该船在D处 (如图1) , 由题意得AB=AC=8, BD=24, CD=16, 由定理2得AD2=BD·CD+AB2=24×16+8=448, 所以 (千米) 。

(2) (1) 当P在线段BC上时, 由定理1得AP2=AB2-BP·PC, 所以x的取值范围是0

(2) 当P在线段BC的延长线上时, 由定理2得AP2=AB2+BP·PC, 所以y=82+x (x-8) , 即y关于x的函数解析式是y=x2-8x+64。x的取值范围是x>8, y的取值范围是y>64。

综合 (1) , (2) , 得y与x的函数关系式是y=x2-8x+64, x与y的取值范围分别是x>0, y≥48。

由定理还可以得到关于直角三角形的两个性质:

性质1 在Rt△ABC中, ∠C=90°, D是BC上任一点, 那么AD2+2BD·DC+DB2=AB2。

证明:延长BC到点E, 使CE=BC, 连接AE (如图2) , 则AE=AB, 由定理1得AB2=AD2+DB·DE=AD2+BD (2DC+BD) =AD2+2BD·DC+BD2

性质2 在RT△ABC中, ∠C=90°, D是边CB延长张上任一点, 那么AD2+BC2=DC+AB2。

证明:延长BC到点E, 使CE=BC, 连接AE (如图3) , 则AE=AB, 由定理2得AD2-AB2=BD·DE= (DC-BC) (DC+BC) =DC2-BC2, 所以AD2+BC2=AB2+DC2。

参考文献

3.全等三角形性质才艺展示 篇三

1. 三角形的内角和等于180°；

2. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

例1 如图1-1所示，△ABC中，点P是∠ABC和∠ACB平分线的交点.

（1）请探索∠P与∠A之间的数量关系；

（2）如图1-2所示，若点P是∠ABC的外角和∠ACB的外角平分线的交点，判断你在（1）中探索的结论是否还成立.如果不成立，∠P和∠A又有怎样的关系，说明理由.

分析：无论是图1-1，还是图1-2，都有∠P+（∠PBC+∠PCB）=180°. 要探索∠P与∠A之间的数量关系，应考虑将∠PBC+∠PCB转化，看看能否用∠A的代数式表示.

解：（1）∠P=90°+■∠A，理由如下：

∵ 点P是∠ABC和∠ACB平分线的交点，

∴∠PBC=■∠ABC，∠PCB=■∠ACB.

∴ ∠PBC+∠PCB=■（∠ABC+∠ACB）.

∵ ∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

∴ ∠PBC+∠PCB=90°-■∠A.

∵ ∠P+（∠PBC+∠PCB）=180°，

∴ ∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=90°+■∠A.

（2）不成立.∠P=90°-■∠A，理由如下：

∵ 点P是∠DBC和∠ECB平分线的交点，

∴ ∠PBC=■（180°-∠ABC），∠PCB=■（180°-∠ACB）.

∴ ∠PBC+∠PCB=180°-■（∠ABC+∠ACB）.

∵ ∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

∴ ∠PBC+∠PCB=90°+■∠A.

∵ ∠P+（∠PBC+∠PCB）=180°，

∴ ∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=90°-■∠A.

例2 如图2-1中，AB∥CD，点P在直线BD上运动.

4.《等腰三角形的性质》教案 篇四

【教材分析】

本节是在学生学习了三角形的基本概念，全等三角形和轴对称知识的基础上，进一步研究的一种特殊三角形——等腰三角形。等腰三角形的性质为证明两个角相等、两条线段相等、两条直线垂直提供了方法、也是后继学习等边三角形、菱形、正方形、圆等内容的重要

基础，因此本节具有承上启下的重要作用

等腰三角形性质的探索是通过轴对称进行的，借助于轴对称发现了等腰三角形的性质，也获得了添加辅助线证明性质的方法。性质的证明是将欲证明相等的两个角（或线段）置于两个全等的三角形之中，这是证明两个角相等或两条线段相等的基本策略之一。等腰三角形性质的探索与证明体现了转化的思想

【教学目标】

知识与能力

探索并证明等腰三角形的性质

2能利用等腰三角形的性质证明两个角相等

３结合等腰三角形的性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用

过程与方法

１经历等腰三角形性质的探究，学生通过实践、操作、观察、猜想、论证，发展合情推理的能力和演绎推理的能力，同时增强语言表达能力

２在应用等腰三角形的性质的过程中培养学生应用数学的意识

情感、态度与价值观

在活动中，培养学生自主探究、合作交流的意识，提高学习兴趣

【教学重点】

等腰三角形的性质的探索和应用

【教学难点】

等腰三角形性质的验证

【教学方法】

创设情境－主体探究－合作交流－应用提高．

【教学工具】

长方形的纸片、剪刀、多媒体、【教学过程】

一、创设情境，导入新

活动1师：仔细观察下列图片，你能找出它们的共同特点吗？《等腰三角形的性质》教学设计《等腰三角形的性质》教学设计《等腰三角形的性质》教学设计《等腰三角形的性质》教学设计

（展示图片）（图1）

生：这四幅图片中都存在着等腰三角形。

师：前面我们已经对等腰三角形有了初步的了解，今天我们来探究等腰三角形的性质（板书题）下面我们一起回顾一下等腰三角形的有关概念:

《等腰三角形的性质》教学设计有两边相等的三角形叫

，A

相等的两边叫

，另一边叫

，两腰的夹角叫

，腰和底的夹角叫

B

（图2）

设计意图:通过观察图片和复习，为进一步探究等腰三角形的性质作好充分的准备

二、合作交流，解读探究

探究等腰三角形的性质

活动2:如图（3），把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△AB有什么特点？

《等腰三角形的性质》教学设计

图（3）

师生活动：教师指导学生折叠剪纸，学生动手操作，剪出三角形，然后小组交流

生:等腰三角形

师：上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？把剪出的等腰三角形AB沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，填入下表

重合的线段

重合的角

AB=A

∠B=∠

BD=D

∠ADB=∠AD

AD=AD

∠BAD=∠AD

设计意图：让学生利用轴对称性折叠等腰三角形，为等腰三角形的性质探究做准备

师：根据这些重合的线段和角，等腰三角形除了两腰相等以外,你还能发现它的其它性质吗?

师生活动设计：学生经过观察，然后小组讨论总结，学生如果对性质概括的不全面，教师作适当的引导，教师板书学生猜想

命题

等腰三角形的两个底角相等

设计意图：通过折叠的过程，引起学生学习的兴趣，认识等腰三角形中的相等关系，得出等腰三角形的性质，培养学生乐于思考，善于观察、总结的学习品质

2验证等腰三角形的性质

师：利用实验操作的方法我们发现并概括出等腰三角形的性质，你能用所学知识验证上述命题吗？

师生活动:学生根据结论画出图形，写出已知和求证，老师启发学生，学生互相交流，教师反馈结果，引导学生说出证明思路，教师展示不同的证明方法，提醒学生注意表述的准确性和严谨性

已知：如图（4），已知△AB中，AB=A

求证：∠B=∠

《等腰三角形的性质》教学设计图（4）

证明：作底边中线AD，在△ABD和△AD中，《等腰三角形的性质》教学设计

∴△ABD≌△AD（SSS），∴∠B=∠

设计意图:让学生逐步实现由实验几何到论证几何的过渡

师：你还能用其他做辅助线的方法证明命题1吗？

生1：可以作底边上的高AD，利用“HL”证明△ABD≌△AD来证明∠B=∠

生2：可以作顶角的平分线AD，利用“SAS”证明△ABD≌△AD来证明∠B=∠

设计意图：让学生运用不同方法证明命题1，提高学生思维的深刻性和广阔性

（板书）

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；

符号语言：∵在△AB中，AB=A

∴∠B=∠

三、应用迁移，巩固提高：

等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______

2等腰三角形一个角为70°,其它的另外两个角为_________

3等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为___________

总结:

在等腰三角形中,①顶角度数+2×底角度数=180°

②0°＜顶角度数＜180°

③0°＜底角度数＜90°

设计意图：使学生知道解决等腰三角形有关角度计算问题时,要注意分类讨论,以免漏解

四、畅所欲言谈收获

本节你学到了什么知识?

2你是如何获得的?

3你的能力有什么提高?

4你和同学合作的愉快吗?

你还有什么困惑?

五、应用提高、拓展创新

已知一梁架，与架底的夹角为12°，为了分解A的受力，现打算在上面焊接一些钢条，其方法是在A上选一点1,然后取一些与1等长的钢条进行焊接，你能知道一共要准备多少根这样的钢条吗?

《等腰三角形的性质》教学设计

《等腰三角形的性质》教学设计

学生活动设计：

学生小组合作、分组讨论、交流并完成。

六、作业布置

（必做题）：本习题133，第4,6题。

2（选做题）：本习题133，第9题。

七、板书设计

七板书设计:

八、教学反思

本节的学习任务比较重要,有等腰三角形性质的推导、性质的应用,所以针对学生的特点,应充分地发挥学生的主观能动性,让学生自己去发现去联想

2通过学生自己动手实验得到等腰三角形性质的内容,可以使他们比较好地掌握知识,提高学习数学的兴趣,达到事半功倍之效

5.等腰三角形性质教学反思 篇五

在教学设计上，我把重点放在了学生交流展示和解疑点评上，由个别形象到一般抽象，体现出了学生从感性认识到理性知识发生发展的认知过程。在教学过程中，我注重引导学生对解题思路和方法进行总结，渗透化归思想与分类讨论数学思想；注重培养学生形成积极探索、主动学习的态度，关注学生学习兴趣和体验，充分体现数学教学主要是数学活动的教学；注重培养学生之间的合作、交流意识与语言表达能力，增强小组合作意识。

存在的问题：

1、本课主要放在学生知识的形成过程上，因此对等腰三角形性质的应用及知识的拓展方面较薄弱，显得深度不够。还需要在习题的设计上来补充体现。

6.等腰三角形的性质教学评价 篇六

焦作市武陟县实验中学

董红峰

人们常说“数学是思维的体操”，这主要指通过数学知识学习，来培养、训练学生的逻辑思维，同时发展学生的创造性思维和批判思维。本节课重点研究等腰三角形的性质。

首先，从学生熟悉的亲身经历的现实生活入手，符合学生原有认知结构，营造使学生亲自体验新知识的氛围，创设有利于引向数学问题本质的真实情境，引导学生发现问题、提出问题，激发学生学习兴趣及探究的欲望，显示实际生活中等腰三角形的广泛应用，引出研究等腰三角形的重要性。

其次，通过对折、测量等活动，培养学生的合作意识、探究意识和动手能力。引导学生自主探究、发现、猜想、验证等腰三角形的性质，体验数学的学习活动过程，发展合理推理能力，符合学生认知规律。然后，在学生经历“实验---发现---猜想---验证”的基础上，引导学生讨论交流，分别作出不同的辅助线，利用不同的方法证明，猜想，符合学生的原有知识结构，使学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认，把证明作为学生探索等腰三角形性质活动的自然延续和必要发展，发展演绎推理的能力，激发学生对数学证明的兴趣，提高学生思维的广阔性和灵活性。启发引导学生：要证明两个角相等，可以通过构造 两个全等三角形进行证明。在学生独立思考后，引导学生讨论交流，分别作出不同的辅助线，用不同的 思路、方法 证明性质，教师对学生及时进行鼓励评价，归纳示范，形成定理，并 揭示 等腰三角形 性质 定理的实质，体会转化思想，同时帮助引导学生总结证明两个角相等的方法，开阔学生思路。

最后，本节课充分展现了学用结合的先进教学思想。课堂上通过“我尝试、我辨别、我攀登、我挑战、我放飞”等一系列数学活动充分运用所学知识，在学中用，在用中学，通过用找到解决问题的方法，步骤，思路，在用中掌握方法，提升能力，从而用所学的知识解决新问题。

7.等腰三角形性质说课 篇七

命题如果三角形的重心、外心、垂心3点共线, 且它们的连线平行于三角形的一条边, 那么这条边所对的顶点的轨迹是一个椭圆.

证明如图1, 取△ABC的一边AB为x轴, 线段AB的垂直平分线为y轴, 建立直角坐标系.

设点A, B的坐标分别为 (-a, 0) , (a, 0) (a>0) , 点C的坐标为 (x, y) .

根据三角形重心、外心、垂心的定义, 不难求得△ABC重心G的坐标为 (x/3, y/3) , 外心M的坐标为, 垂心N的坐标为

(ⅰ) 当点G, M的连线平行与底边AB时, 则点G, M的纵坐标相等, 即

化简整理得

故点C的轨迹是一个椭圆 (除去A, B两个顶点) .

(ⅱ) 当点G, N的连线平行于底边AB时, 则点G, N的纵坐标相等, 即

整理得

于是点C的轨迹是与 (ⅰ) 相同的一个椭圆.

故当△ABC的重心G, 外心M, 垂心N3点共线, 且3点连线平行于底边AB时, 点C的轨迹是以AB为短轴的一个椭圆 (除去A, B两个顶点) , 且椭圆的长轴长是短轴长的倍.

特别地, 当点C位于椭圆长轴上的两个顶点时, △ABC为等边三角形, 此时, 它的重心、外心、垂心3点重合, 可看作3点连线平行于底边AB的特殊情况.

这个命题的逆命题也成立.

逆命题如果椭圆的长轴长是短轴长的倍, 点A, B为椭圆短轴上的两个顶点, 点C为椭圆上的任意一点 (异于A, B) , 那么△ABC的重心、外心、垂心3点共线, 且连线平行于底边AB.

证明不妨设椭圆方程为

如图1, 取A (-a, 0) , B (a, 0) , 设C (x0, y0) 是椭圆上异于A, B的任意一点, 则△ABC的重心

在△ABC中, 线段BC的垂直平分线方程为

线段AB的垂直平分线方程为x=0, 联立BC和AB垂直平分线的方程, 求得△ABC的外心, 又点C (x0, y0) 在椭圆上, 所以

因此,

即△ABC的外心M和重心G的纵坐标相等.

在△ABC中, BC边上的高线方程为

AB边上的高线方程为x=x0, 联立BC和AB的高线方程, 求得△ABC的垂心N的坐标为, 由于点C (x0, y0) 在椭圆上, 所以

因此, △ABC的垂心N与重心G的纵坐标也相等.

故点M, G, N 3点共线, 且它们的连线平行于△ABC底边AB.

特别地, 当点C位于椭圆长轴上的两个顶点时, △ABC为正三角形, 此时, 它的重心、外心、垂心3点重合, 可视为平行于底边AB的特殊情况.

8.《三角形分类》说课稿 篇八

一、激趣导入

1.男同学起立，女同学起立。我是按什么标准给学生分类的？

2.住校生请坐，走读生请坐。我又是按什么标准给学生分类的？

3.今天我带来了6个图形，它们是 ？

4.三角形有哪几种角？

（设计意图：引导学生复习与新知识有密切联系的旧知识，为学习新知识做好迁移铺垫，为突破难点打下基础。情境导入使学生对本节课所学知识产生浓厚的兴趣和亲切感，激发学生主动探索的欲望。）

二、探索新知

1.出示学习任务。

2.引导学生小组合作：看—分—贴—说—评—结。

（设计意图：揭示课题的同时让学生明确新课的学习任务，使学生学有目标，克服了盲目性。通过独立思考、小组交流、共同创造出三角形分类方法这一活动，能激发学生的学习兴趣，能真正让学生用眼观察、用手操作、用口表达、用脑创造，参与获取知识的全过程，使不同的学生在数学上得到不同的发展。学生的互评、老师的点评体现了新课程标准中评价方法的多样化。）

欣赏按角分类的课件后，让学困生再次汇报按角分类的三角形，板书：

引导学生用集合图表示三角形按角分的关系。

（设计意图，让学生在听取他人汇报—再次自己动手—欣赏反思中多次感知，照顾到学困生。这样人人都能获得良好的数学教育，大面积地培养学生分析问题和解决问题的能力，有效地突破了难点。）

练习：

A.三角形按角的大小来分，可以分为（ ）、（ ）、（ ）。

B.一个三角形中，最多有（ ）个锐角，最少有（ ）个锐角。

C.一个三角形中，最多有（ ）个钝角。

独立把三角形按边分，欣赏按边分类的课件后，让学困生汇报，板书。

等边三角形也是等腰三角形吗？

引导学生用集合图表示三角形按边分的关系。

（设计意图：注重发挥学困生的主体性，培养他们良好的数学学习习惯，帮助他们掌握恰当的数学学习方法。）

三、深化理解

判断

（1）等腰三角形一定是锐角三角形。（ ）

（2）直角三角形一定不是等腰三角形。（ ）

（3）等腰三角形都是等边三角形。（ ）

（4）一个直角三角形中只有一个直角。（ ）

游戏

我在信封里装一个三角形，只露出一个角，你猜是什么样的三角形？

（设计意图：通过基础练习、趣味活动，达到了巩固新知，形成技能，缓解疲劳，持续发展的目的。）

四、课堂总结

这节课你有什么收获？

（设计意图：在梳理知识的过程中有效地巩固了所学知识，训练了学生的语言表达能力，更重要的是，可以使学生从中亲身体验到一个探究者的成功快乐。尤其是对学习方法的总结，有利于学生可持续发展。）

（作者单位 黑龙江省虎林市858农场学校）

？誗编辑 张珍珍

【教学过程】

一、激趣导入

1.男同学起立，女同学起立。我是按什么标准给学生分类的？

2.住校生请坐，走读生请坐。我又是按什么标准给学生分类的？

3.今天我带来了6个图形，它们是 ？

4.三角形有哪几种角？

（设计意图：引导学生复习与新知识有密切联系的旧知识，为学习新知识做好迁移铺垫，为突破难点打下基础。情境导入使学生对本节课所学知识产生浓厚的兴趣和亲切感，激发学生主动探索的欲望。）

二、探索新知

1.出示学习任务。

2.引导学生小组合作：看—分—贴—说—评—结。

（设计意图：揭示课题的同时让学生明确新课的学习任务，使学生学有目标，克服了盲目性。通过独立思考、小组交流、共同创造出三角形分类方法这一活动，能激发学生的学习兴趣，能真正让学生用眼观察、用手操作、用口表达、用脑创造，参与获取知识的全过程，使不同的学生在数学上得到不同的发展。学生的互评、老师的点评体现了新课程标准中评价方法的多样化。）

欣赏按角分类的课件后，让学困生再次汇报按角分类的三角形，板书：

引导学生用集合图表示三角形按角分的关系。

（设计意图，让学生在听取他人汇报—再次自己动手—欣赏反思中多次感知，照顾到学困生。这样人人都能获得良好的数学教育，大面积地培养学生分析问题和解决问题的能力，有效地突破了难点。）

练习：

A.三角形按角的大小来分，可以分为（ ）、（ ）、（ ）。

B.一个三角形中，最多有（ ）个锐角，最少有（ ）个锐角。

C.一个三角形中，最多有（ ）个钝角。

独立把三角形按边分，欣赏按边分类的课件后，让学困生汇报，板书。

等边三角形也是等腰三角形吗？

引导学生用集合图表示三角形按边分的关系。

（设计意图：注重发挥学困生的主体性，培养他们良好的数学学习习惯，帮助他们掌握恰当的数学学习方法。）

三、深化理解

判断

（1）等腰三角形一定是锐角三角形。（ ）

（2）直角三角形一定不是等腰三角形。（ ）

（3）等腰三角形都是等边三角形。（ ）

（4）一个直角三角形中只有一个直角。（ ）

游戏

我在信封里装一个三角形，只露出一个角，你猜是什么样的三角形？

（设计意图：通过基础练习、趣味活动，达到了巩固新知，形成技能，缓解疲劳，持续发展的目的。）

四、课堂总结

这节课你有什么收获？

（设计意图：在梳理知识的过程中有效地巩固了所学知识，训练了学生的语言表达能力，更重要的是，可以使学生从中亲身体验到一个探究者的成功快乐。尤其是对学习方法的总结，有利于学生可持续发展。）

（作者单位 黑龙江省虎林市858农场学校）

？誗编辑 张珍珍

【教学过程】

一、激趣导入

1.男同学起立，女同学起立。我是按什么标准给学生分类的？

2.住校生请坐，走读生请坐。我又是按什么标准给学生分类的？

3.今天我带来了6个图形，它们是 ？

4.三角形有哪几种角？

（设计意图：引导学生复习与新知识有密切联系的旧知识，为学习新知识做好迁移铺垫，为突破难点打下基础。情境导入使学生对本节课所学知识产生浓厚的兴趣和亲切感，激发学生主动探索的欲望。）

二、探索新知

1.出示学习任务。

2.引导学生小组合作：看—分—贴—说—评—结。

（设计意图：揭示课题的同时让学生明确新课的学习任务，使学生学有目标，克服了盲目性。通过独立思考、小组交流、共同创造出三角形分类方法这一活动，能激发学生的学习兴趣，能真正让学生用眼观察、用手操作、用口表达、用脑创造，参与获取知识的全过程，使不同的学生在数学上得到不同的发展。学生的互评、老师的点评体现了新课程标准中评价方法的多样化。）

欣赏按角分类的课件后，让学困生再次汇报按角分类的三角形，板书：

引导学生用集合图表示三角形按角分的关系。

（设计意图，让学生在听取他人汇报—再次自己动手—欣赏反思中多次感知，照顾到学困生。这样人人都能获得良好的数学教育，大面积地培养学生分析问题和解决问题的能力，有效地突破了难点。）

练习：

A.三角形按角的大小来分，可以分为（ ）、（ ）、（ ）。

B.一个三角形中，最多有（ ）个锐角，最少有（ ）个锐角。

C.一个三角形中，最多有（ ）个钝角。

独立把三角形按边分，欣赏按边分类的课件后，让学困生汇报，板书。

等边三角形也是等腰三角形吗？

引导学生用集合图表示三角形按边分的关系。

（设计意图：注重发挥学困生的主体性，培养他们良好的数学学习习惯，帮助他们掌握恰当的数学学习方法。）

三、深化理解

判断

（1）等腰三角形一定是锐角三角形。（ ）

（2）直角三角形一定不是等腰三角形。（ ）

（3）等腰三角形都是等边三角形。（ ）

（4）一个直角三角形中只有一个直角。（ ）

游戏

我在信封里装一个三角形，只露出一个角，你猜是什么样的三角形？

（设计意图：通过基础练习、趣味活动，达到了巩固新知，形成技能，缓解疲劳，持续发展的目的。）

四、课堂总结

这节课你有什么收获？

（设计意图：在梳理知识的过程中有效地巩固了所学知识，训练了学生的语言表达能力，更重要的是，可以使学生从中亲身体验到一个探究者的成功快乐。尤其是对学习方法的总结，有利于学生可持续发展。）

（作者单位 黑龙江省虎林市858农场学校）

9.等腰三角形性质说课 篇九

特殊三角形

2.3

等腰三角形的性质定理

第2课时

等腰三角形的性质定理2

1、经历利用轴对称变换推导等腰三角形的性质，并加深对轴对称变换的认识.2、掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形三线合一．

3、会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图.理解并掌握等腰三角形的性质：等边对等角；三线合一.等腰三角形三线合一性质的运用.1.温故检测：叫做等腰三角形；等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是。

2.悬念、引子、思考：

将一把三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗？

1．等腰三角形的性质

合作学习：分三组教学活动材料

教学活动材料1：

如图2－5，在等腰三角形ABC中，AB＝AC,AD平分∠BAC，交BC于D，（1）把这个等腰三角形剪下来，然后沿着顶角平分

线对折，仔细观察重合的部分，并写出所发现的结论。

（2）你发现了等腰三角形的哪些性质？

教学活动材料2：如图2－5，在等腰三角形ABC中，AB＝AC,AD平分∠BAC，交BC于D，（1）根据我们已经获得的等腰三角形是轴对称图形，图2-5中等腰三角形ABC的对称轴是什么？△ABD各个顶点的对称点分别是什么？由此可见，将△ABD作关于直线AD的轴对称变换，所得的像是什么？

（2）根据轴对称变换的性质：轴对称变换不改变图形的形状和大小.找出图中的全等三角形，以及所有相等的线段和相等的角.（3）你有什么发现？能得出等腰三角形的哪些性质？

教学活动材料3：如图2－5，在等腰三角形ABC中，AB＝AC,AD平分∠BAC，交BC于D，（1）根据学过的全等三角形判定方法找出图中的全等三角形，根据全等三角形的性质找出所有相等的线段和角

（2）你发现了等腰三角形的哪些性质？

（发给学生活动材料，四人一组先合作学习，再交流讨论，经历等腰三角形性质的发现过程，教师应给学生一定的时间和机会，来清晰地、充分地讲出自己的发现，并加以引导，用规范的数学语言进行归纳，最后得出等腰三角形的性质.）

结论：①

等腰三角形的两个底角相等。或“在一个三角形中，等边对等角”

②

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合.简称等腰三角形三线合一.2．多媒体演示：教师借助媒体的动态效果，介绍在一个三角形中，等边对等角和三角形一边上中线、高线及角平分线的相对位置，帮助学生在理解的基础上，掌握等腰三角形的性质.3．解决节前图中的悬念，如果重锤经过三角尺斜边的中点，那么可以判定梁是水平的.你能说明理由吗？

4．应用定理时的推理格式：

用几何语言表述为：

在△ABC中，如图，∵AB＝AC

∴∠B＝∠C（在一个三角形中等边对等角）

在△ABC中，如图

（1）∵AB＝AC

，∠1＝∠2

∴AD⊥BC，BD＝DC

（等腰三角形三线合一）

（2）∵AB＝AC，BD＝DC

∴AD⊥BC，∠1＝∠2

（3）∵AB＝AC，AD⊥BC

∴BD＝DC，∠1＝∠2

例1

如图2-6,在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°,求∠B，∠C的度数.（板书解答过程）

例2

（P36课内练习2）

已知线段a，h（如图2-7）用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使底边BC＝a,BC边上的高线为h.教学中可作如下启发：

（1）假设图形已经作出，如课本图2－8，BC长已知，可以先作出BC边，要作等腰三角形ABC,关键是要作出哪一个点？

（2）已知BC边上的高线的长度为h，你能作出BC边上的高线吗？等腰三角形底边上的高线与中线有什么关系？由此能确定顶点A的位置吗？

（例2是运用尺规作等腰三角形，作法思路需要作一些分析转换，是本节教学的难点，在操作过程中要让学生体验等腰三角形三线合一的性质）

10.等腰三角形性质说课 篇十

[关键词]椭圆双曲线 焦点三角形面积离心率

【中国分类法】：G633.6

正文：椭圆（或双曲线）上一点与它的两个焦点的连线构成的三角形称之为焦点三角形。

椭圆（或双曲线）中焦点三角形问题是一类常见的圆锥曲线题型，教学中有两个极富魅力的性质，这些性质有趣地揭示了解析几何的性质特征。

性质1：①证明：设 ， 由椭圆的定义：

例1：设椭圆 的两个焦点为 ，椭圆上 点满足 ，则

△F1PF2的面积是

解析：本题属于焦点三角形问题，

例2：已知 、 是椭圆 （ ＞ ＞0）的两个焦点， 为椭圆 上一点，且 .若 的面积为9，则 =__________

解析：本题属于焦点三角形问题，

例3．已知点 是中心在原点,长轴在x轴上的椭圆的一个顶点,离心率为 ,椭圆的左右焦点分别为F1和F2 .试探究椭圆上是否存在一点P,使 ,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

解析：本题属于焦点三角形问题，依题意，可求得椭圆方程是： ，设上顶点为 ， ，当 与 重合时， 达到最大，此时在△F1BF2由中由余弦定理可知： ，故椭圆上存在四个点使得 ，设 使得 ，由等面积法得：

代入 得

故 ， ， ，

性质1：②证明：设 ， 由双曲线定义：

例4．已知 为双曲线 的两个焦点，P在双曲线上，且 =32。

则 （）（A） （B）（C） （D）

解析：本题属于焦点三角形问题，由面积公式：

另外故 所以易知选（B）

例5.已知双曲线 的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且 则点M到x轴的距离为（）

（A）（B） （C）（D）

解析：本题属于焦点三角形问题，由面积公式：

而故 所以易知选（C）

例6【2012高考辽宁文15】已知双曲线x2 y2 =1,点F1,F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若P F1⊥P F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________.

【解析】焦点三角形面积公式求解：

性质2：③证明：设 ，

由椭圆的定义：

性质2：④证明：设 ，由双曲线的定义：

例7．（2013年高考湖南（文））设F1,F2是双曲线C,(a>0,b>0)的两个焦点.若在C上存在一点P.使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30°,则C的离心率为___________.

解析：本题考查的是双曲线中焦点三角形的离心率。

对应的

例8．椭圆 的左、右焦点分别为 ，焦距为 ．若直线

经过点 且与椭圆 有一个交点 ，满足 ，则该椭圆的离心率等于

【解析】本题考查的是椭圆中焦点三角形的离心率．由题意可知， 中，

结束语：我们对焦点三角形问题的研究，不仅可以深入了解圆锥曲线的有关性质特征，还可以有利于解决与焦点三角形有关的问题。能够熟练运用这两组性质，既方面解题又可增强我们在教学活动中对问题的研究。

参与文献：

[1] 2004年05期《数学通报》, 熊光汉，“椭圆焦点三角形的若干性质”；

[2] 《考试》，朱益民 ，“独具魅力的焦点三角形”；

[3] 《数学通讯》2000年12期, 魏华， “关于焦点三角形面积的求法”。

11.等腰三角形性质说课 篇十一

三角形“五心”的向量问题在近年高考与竞赛中屡见.2009年全国高中数学联赛吉林省预赛中, 就有这样一道题:已知I是△ABC的内心, AC=2, BC=3, AB=4, 若$\overrightarrow{A{\rm I}}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$, 则x+y的值为.

本文探求该题的起始, 探究该题的演变, 分析三角形“五心”的性质.

一、三角形重心的性质

例1 (同上教版课本高中二年级第一学期第67页练习8.3第3题) 已知G是△ABC的重心, 若$\overrightarrow{AG}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$, 则x+y的值为.

分析 如图1所示, 连接AG并延长, 交BC于点D.

重心是三角形三条中线的交点.而根据三角形重心的性质, $BD=DC‚AG=\frac{2}{3}AD.$

解$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}+(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD})$,

$\begin{array}{l}\text{解}\text{得}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}‚\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}.\\ \therefore x+y=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.\end{array}$

二、三角形内心的性质

例2 已知I是△ABC的内心, AC=2, BC=3, AB=4, 若$\overrightarrow{A{\rm I}}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$, 则x+y的值为.

分析 如图2所示, 连接AI并延长, 交BC于点D, 连接BI.

内心是三角形三条内角平分线的交点.而根据三角形内角平分线的性质, $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{2}=2$, 由BC=3, 得BD=2.又根据三角形内角平分线的性质, $\frac{A{\rm I}}{{\rm I}D}=\frac{BA}{BD}=\frac{4}{2}=2.$

解$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}+2(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD})$,

$\begin{array}{l}\text{解}\text{得}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}‚\overrightarrow{A{\rm I}}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{2}{9}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{9}\overrightarrow{AC}.\\ \therefore x+y=\frac{2}{9}+\frac{4}{9}=\frac{2}{3}.\end{array}$

三、三角形旁心的性质

例3 已知IA是△ABC内角A所对的旁心, AC=2, BC=3, AB=4, 若$\overrightarrow{A{\rm I}{}_A}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$, 则x+y的值为.

分析 如图3所示, 连接BIA并延长, 交AC的延长线于点D, 连接AIA.

旁心是三角形一个内角的内角平分线与另两个内角的外角平分线的交点.而根据三角形外角平分线的性质, $\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{CB}=\frac{4}{3}$, 由AC=2, 得AD=8.又根据三角形内角平分线的性质, $\frac{B{\rm I}{}_A}{{\rm I}{}_{A}D}=\frac{AB}{AD}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}.$

$\begin{array}{l}\text{解}\overrightarrow{A{\rm I}{}_A}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{\rm I}{}_A}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{{\rm I}{}_{A}D}\\ =\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{A{\rm I}{}_A})=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}(4\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{A{\rm I}{}_A})‚\end{array}$

解得$\overrightarrow{A{\rm I}{}_A}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{4}{3}\overrightarrow{AC}.\therefore x+y=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=2.$

四、三角形垂心的性质

例4 已知H是△ABC的垂心, AC=2, BC=3, AB=4, 若$\overrightarrow{A{\rm H}}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$, 则x+y的值为.

分析 如图4所示, 连接HA, HB, HC.

垂心是三角形三条高所在直线的交点.而根据三角形垂心的性质, AB⊥CH, AC⊥BH.

$\begin{array}{l}\text{解}\because \overrightarrow{AB}{}^2=16‚\overrightarrow{AC}{}^2=4‚\\ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{11}{2}‚\\ \overrightarrow{C{\rm H}}=\overrightarrow{A{\rm H}}-\overrightarrow{AC}=(x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC})-\overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{AB}+(y-1)\overrightarrow{AC}‚\\ \overrightarrow{B{\rm H}}=\overrightarrow{A{\rm H}}-\overrightarrow{AB}=(x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC})-\overrightarrow{AB}=(x-1)\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}‚\\ \therefore 0=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{C{\rm H}}=\overrightarrow{AB}\cdot [x\overrightarrow{AB}+(y-1)\overrightarrow{AC}]\\ =x\overrightarrow{AB}{}^2+(y-1)\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=16x+\frac{11}{2}(y-1)‚\\ 0=\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{B{\rm H}}=\overrightarrow{AC}\cdot [(x-1)\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}]\\ =(x-1)\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+y\overrightarrow{AC}{}^2=\frac{11}{2}(x-1)+4y.\end{array}$

解得$x=-\frac{11}{45}‚y=\frac{77}{45}.\therefore x+y=-\frac{11}{45}+\frac{77}{45}=\frac{22}{15}.$

五、三角形外心的性质

例5 已知O是△ABC的外心, AC=2, BC=3, AB=4, 若$\overrightarrow{A{\rm O}}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$, 则x+y的值为.

分析 如图5所示, 连接OA, OB, OC.

外心是三角形三边垂直平分线的交点.而根据三角形外心的性质, $A{\rm O}\cdot \cos \angle {\rm O}AB=\frac{1}{2}AB‚A{\rm O}\cdot \cos \angle {\rm O}AC=\frac{1}{2}AC.$

$\begin{array}{l}\text{解}\because \overrightarrow{AB}{}^2=16‚\overrightarrow{AC}{}^2=4‚\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\frac{11}{2}‚\\ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{A{\rm O}}=|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{A{\rm O}}|\cdot \cos \angle {\rm O}AB=|\overrightarrow{AB}|\cdot \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|=8‚\\ \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{A{\rm O}}=|\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{A{\rm O}}|\cdot \cos \angle {\rm O}AC=|\overrightarrow{AC}|\cdot \frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|=2‚\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{又}\because \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{A{\rm O}}=\overrightarrow{AB}\cdot (x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC})\\ =x\overrightarrow{AB}{}^2+y\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=16x+\frac{11}{2}y‚\\ \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{A{\rm O}}=\overrightarrow{AC}\cdot (x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC})=x\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+y\overrightarrow{AC}{}^2=\frac{11}{2}x+4y‚\\ \therefore 16x+\frac{11}{2}y=8‚\frac{11}{2}x+4y=2.\end{array}$

解得$x=\frac{28}{45}‚y=-\frac{16}{45}.\therefore x+y=\frac{28}{45}+\left(-\frac{16}{45}\right)=\frac{4}{15}.$

12.等腰三角形的性质教学设计方案 篇十二

甜水中学中学部

王萍

2014-11-11

一、概述

教材版本：义务教育课程标准人教版 年级：八年级上册

章节：第十四章轴对称第三小节等腰三角形 课时：第一课时

二、教学目标分析

1、知识与能力：

 了解等腰三角形的概念；  掌握等腰三角形的性质；

 能应用性质进行计算和解决生产、生活中的有关问题。

2、过程与方法：

 进一步熟悉利用几何画板构造图形、观察图形、探索图形性质的方法；

 进一步提高结合具体情境发现并提出问题，并进一步进行观察、猜想、推理、归纳的思维方法。

3、情感态度价值观：

 进一步培养好奇心和探究心理；

 更进一步体会到数学知识在生活中是非常有用的

三、学习者特征分析

学生已学习过一般三角形的概念和构成三角形的主要元素，对三角形边、角的关系有比较好的掌握，已认识了三角形的分类。本班学生一直在网络课时上课，对计算机操作特别是几何画板的操作相当熟悉，并且熟悉利用几何画板构造图形、测量等方法。一直以来学生对于网络环境下的几何主题探究都十分的感兴趣，学习投入程度大。他们观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、结密性、灵活性比较欠缺，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步加强和引导。

四、教学策略选择与设计

利用教学资源网站，通过创设具有启发性的、学生感兴趣的、有助自主学习和探索的问题情境，使学生在活动丰富、思维积极的状态中进行探究学习，组织好合作学习，并对合作过程进行引导，使学生朝着有利于知识建构的方向发展。

五、教学资源与工具设计 学具：网络教室及作图工具

教具：黑板、粉笔、网络教室及作图工具

六、教学过程：

（一）创设情境，观察联想

教师活动：引导学生进入教学网站，进入学习资源栏目，生活中的几何图形栏目，观察相关图片。

学生活动：学生观察找出其中的几何图形?(等腰三角形、四边形、梯形…….)

设计意图：从学生的生活和已有知识出发，创设情境，引导学生观察、联想，使学生感受到生活中处处有数学，并学会从数学的角度去观察事物，思考问题，激发学生对学习数学的兴趣和愿望。(二)设问质疑，探究尝试 教师活动：

1、板书课题：等腰三角形性质。

2、请同学们拿出准备好的等腰三角形，与教师一起按照要求，把两腰叠在一起。

[问题]通过观察，你发现了什么结论？ [结论]等腰三角形的两个底角相等.学生活动：

1、学生动手折叠，当两腰重合时，找出发现哪些结论。

2、交流发现的结论。（等腰三角形的两个底角相等）或(两底重合，折痕是顶角角平分线，底边上的高，底边上的中线。)

3、用语言表达得出的结论。设计意图：

让学生温习、重现已学相关知识，为学习新知识做铺垫。通过实践、思考探索、交流获得知识，所以，在这里力图通过学生动手操作、动眼观察、动口交流表达，使学生充分感知等腰三角形性质。(三)独立思考，探究新知。

教师活动：[辨疑]由观察发现的命题不一定是真命题，需要证明，怎样证明？

提示：对于观察得出的结论是否能进行论证，请学生动手试一试。学生活动：

学生独立思考证明思路，并写出证明过程。

设计意图：放手让学生决定自己的探索方向，鼓励学生选用不同的方法，把期望带给学生，让学生最大限度地发现自己的潜能，使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。(四)合作探究，交流创新。教师活动：

请一名学生板书证明过程。总结： 性质定理：

等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）

等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、中线互相重合。(三线合一)学生活动：

交流讨论后，请学生讲解证明思路：（共有三种辅助方法）（1）作∠A的角平分线AD

（2）作AD⊥BC（分析此种方法目前是不行的）（3）作BC边上的中线AD 学生讨论：

（4）由BD=CD,∠ADB=∠ADC=90°可知：AD平分BC，并且AD⊥BC，从而得出等腰三角形性质定理的推论：

设计意图： 组织学生探索、交流，有利于开阔学生的视野，形成一个既有独立思考，又有互相合作，广泛交流的学习氛围，培养学生合作精神。强化学生的创新思维训练。

（五）实践应用，巩固提高。

教师活动：

例1.如图：某房屋的顶角∠BAC=100°,过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋檐AB=AC，求顶架上的∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数。例2．

（1）已知：如图，AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，M是CD中点.求证：AM⊥CD(2)(3)通过变化条件与结论，强化对推论的理解.（4）要求学生书写.设计意图：

掌握等腰三角形性质定理的应用，训练学生的类比思维，让学生获得从问题中探索共同的属性和规律的思维能力。

（六）反思归纳 总结提高 教师活动：

1、引导学生对学习过程进行小结： ①本节课你学习哪些知识

②到目前为止，证明两个角相等的方法有哪些？ ③本节课所运用的学习方法对你今后学习有什么启示?

2、布置作业： 课堂反馈： 学生活动：

学生对内容进行反思后，口述本节课的重点内容.设计意图：

这样进行课堂小结，关注学生个体差异，使每一个学生都有成功的学习体验，得到相应的提高和发展，进一步培养学生的主体意识，锻炼学生的归纳总结能力。