数学应用题

数学应用题（精选8篇）

1.数学应用题 篇一

1、打折前，买60件 商品和30件 商品用了1080元，买50件 商品和10件 商品用了840元，打折后，买50件 商品和50件 商品用了960元，比不打折少花多少钱？

2、甲、乙两人各有书若干本，如果甲从乙处拿来10本，那么甲拥有的书是乙所剩书的5倍；如果乙从甲处拿来10本，那么乙所有的书与甲所剩的书相等，问甲、乙两人原来各有几本书？

3、汽车在相距70km的甲、乙两地之间往返行驶，因为行程中有一坡度均匀的小山，该汽车从甲地到乙地需要2小时30分钟，而从乙地回到甲地需要2小时48分钟，已知汽车在平地每小时行30km，上坡路每小时行20km，下坡路每小时行40km，求从甲地到乙地的行程中，平路、上坡路、下坡路各是多少？

4、某中学组织一批学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，已知45座客车租金每辆220元，60座客车租金为每辆300元，试问：

⑴这批学生人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？

⑵若租用同一种车，要使每位学生都有座位，怎样租用更合算？

5、某旅社在黄金旅游期间为一旅游团体安排住宿，若每间宿舍住5人，则有4人住不下；若每间住6人，则有一间只住了4人，且空两间宿舍，求该团体有多少人和宿舍间数．

6、有甲、乙两种债券，年利率分别是10％与12％，现有400元债券，一年后获利45元，问两种债券各有多少？

7、李明与王云分别从、两地相向而行，若两人同时出发，则经过80分钟两人相遇；若李明出发60分钟后王云再出发，则经过40分钟两人相遇，问李明与王云单独走完 全程各需多少小时？

8、在一次足球比赛中规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队在足球比赛的4场比赛中得6分，这个队胜了几场，平了几场，负了几场？

2.数学应用题 篇二

一、初中数学应用题教学的意义

在初中数学教学过程中开展应用题教学,不仅能培养学生的逻辑思维能力,还能将学生日常所学与实际生活结合起来,以培养学生应用数学知识的能力.因此,老师在初中数学课堂的实际教学过程中,应该通过创新应用题形式,充分激发学生的学习兴趣,从而帮助学生全面提高数学水平.其中,在初中数学学习阶段,应用题的题目具有一定的典型性,且与学生日常生活息息相关,所以通过初中应用题教学,能有效拉近学生与数学之间的距离,进而对数学产生亲切感,引导学生深入理解数学应用知识,突破学生局限于枯燥的理论知识的限制,从而增强初中数学课堂教学的趣味性.

初中数学应用题具有一定的综合性,同一道题目便能对数学多个知识点同时进行考查,这便要求学生必须结合之前所学才能解决问题,有利于帮助学生巩固知识点.除此之外,数学应用题的灵活性使得同一数学应用题能采取多种解题策略,学生在尝试使用各种方式解题的过程中,有利于培养学生的发散性思维和创新能力.当学生使用多种方式解决应用之后,能够大幅度提升学生的学习自信心,充分激发学生学习数学知识的兴趣.尤其是在新课程改革教学理念中明确指出,现代初中数学教学,教师不仅要教授课本相关的数学知识,更要让学生掌握学习的方法,所以通过强化初中数学应用题教学,采用讲解问题的方式开展教学能够有效提升学生分析问题的能力和逻辑思维能力,从根本上提高初中数学课堂的教学水平.

二、初中数学应用题教学策略

(一)创新传统教学模式,激发学生学习兴趣

为提升学生解决数学应用题的能力,首先应该激发学生学习数学应用题的兴趣.兴趣是学生学习的内动力,能让学生自主积极地参与到应用题教学中,并在此过程中充分发挥自身的主观能动性,继而提升数学课堂的教学效率.因此,教师在初中数学应用题教学过程中,应结合学生的实际生活,创新传统教学模式,以激发学生的学习兴趣.

例如:小明家附近有一停车场,其收费标准为:中型车每辆车3元,小型车每辆2元,现在停车场中共有30辆车,共计收费70元,问:停车场中中型车与小型车分别为多少辆?这样的题目来源于学生的日常生活,教学创设这样的生活情境,能有效激发学生的学习兴趣.在解决问题过程中,教师要引导学生积极探索,找出题目中的两个相等关系,即:(1)中型车与小型车的数学总和为30;(2)中型车和小型车的停车费共计70元,根据上述两个相等关系建立相应的一元二次方程组,答案也就显而易见了.通过这样的方式,培养了学生分析与解决问题的能力.

(二)进行应用题分类教学,引导学生找出应用题解题规律

在初中数学教材中应用题的比例不是很高,不能完全培养学生的数学思维,因此,初中数学教师应在课本应用题基础上进行分类教学,以培养学生的分类解题思维.

例如:通过应用题探讨“找等量关系”过程中,教师可分类教学内容,分类行程、工效、等积变形等问题,引导学生以模仿的方式进行学习,以掌握列方程解应用题的思维方式.学生在拥有一定的思维方式后,教师要引导学生逐步将模仿转化为自身的思维模式,无论是问题或条件,都让学生选择符合自己认知规律的理解方式;在设置题目时,应尽量围绕学生的生活实际进行问题的设置,以提升学生对数学知识的实际运用能力.

(三)将应用题的文字表述具象化,理顺解题思路

初中数学应用题,大部分内容均为文字表述,具有一定的复杂性,这样也容易造成学生逻辑和理解上的混乱.针对此点,教师在开展数学应用题教学过程中,如在进行正方形、圆柱体等教学时,可引入生活中实体将文字具象化.通过这样的方式,能让学生的头脑始终保持在清醒状态,有利于学生找出各因素之间的关系.

例如,学校准备了两千四百元用于购买树苗,用于校园的绿化工作.现有甲、乙两种树苗,甲树苗比乙树苗每棵都少两元钱,若将全部资金用于购买甲树苗,则能比乙树苗多出两百棵,并且乙树苗的种植量是甲树苗的两倍,请问,甲、乙树苗分别为多少元钱每棵?这样的应用题,文字表述较为烦琐,学生理解也有一定的困难,针对这样的题目,教师便可引导学生首先找出题目中所包含的参量,然后具象化其中的条件,采取逐步分析的方式,帮助学生理顺思路进而掌握解决的办法.

综上所述,数学应用题是初中数学教学的重难点内容,能有效培养学生分析并解决实际问题的能力.因此,初中数学教师在教学过程中,应围绕数学的学科特点,加强初中数学应用题训练以提高学生分析与解决实际问题的能力,进而提升数学的整体教学效果.

摘要：为了掌握初中数学应用题有效教学策略,本文首先分析初中数学应用题教学的意义,再具体论述应用题有效教学策略,有利于提升初中数学应用题的教学水平,促使学生解决应用题的能力得到有效提升.

关键词：初中数学,应用题教学

参考文献

[1]汤炳兴,叶红.把学生带回到现实中去——浅淡初中数学应用题教学[J].数学通报,2002(6):32-34.

3.初中数学应用题中数学建模探究 篇三

关键词：初中数学应用题；数学建模；分析方法与应用

【中图分类号】G633.6

伴随着我国新一轮的课程改革，十分注重数学知识与实际的运用，培养学生的应用意识。数学的特点在于概念的抽象，逻辑的严密性以及结论的准确性，并且应用广泛，它的应用不仅在工程技术，自然科学领域，而且已经向经济、金融、医学等方面发展。所以要想使数学得到充分的应用，必须学好数学应用题。教师在教学中应使用数学建模的模式来教学。

一、在初中数学应用题中建立数学模型的过程

首先我们应该了解什么是数学建模。所谓的数学建模就是对遇到实际问题时，不是直接就现实材料本身来寻找解决问题的方法，而是经过抽象，简化，假设，引进变量等处理过程后，恰当的运用数学工具得到的一个数学结构，通过结果来显示在实际问题中的含义，合理的运用到实际中去，这个过程就是数学建模。

1、认真审题。建立数学模型，就必须认真审题。实际的应用题中，一般都比较长，内容比较多，涉及到的专有名词、概念比较多，因此在读题目的时候必须耐心，不可浮躁。深刻的弄清楚实际问题的背景，弄清楚问题中的主要已知事项，有利于建立模型。尽量掌握多的建模的信息，挖掘实际问题的内在规律，还要弄清楚所求结论的限制条件等等，都必须认认真真的做好审题工作。

2、进行抽象分析。通过了解已知条件与所求问题，适当的建立坐标系，把文字语言简化成数学语言，就是用数学符号表示出来，将数量关系通过数学公式或者图形形象的表示出来，这就是数学建模。

3、简化问题。对应用题的问题进行简化，抓住主要的事项，明白它让你所求的内容，再根据数量之间的关系，联系数学知识，用精准的语言将问题简化。

4、大胆假设。对一些问题可以进行大胆的假设，当然这是在符合实际的基础上，不能够凭空想象。

二、在初中数学应用题中具体的建模分析方法

1、列表分析方法。在应用题的解决中，通过运用列表的方式来探索问题，这样一来，就比较直观的看出问题所在。

2、图像分析方法。通过图像中的数量关系来解决问题的数学模型方法。图形给人明朗的感觉，将数量之间的关系展现在学生面前。

3、关系分析方法。通过寻找关键量之间的关系，来解决问题的模型方法。

三、数学建模在初中数学应用题中的应用。

在日常的教学中，我们尽量采用问题情境——建立模型——解释——应用的基本教学方式，让学生在熟悉问题的情境中掌握重要的现代数学思想方法。那么在应用题中的常建立的数学建模有如下几种：

（1）通过直观图形，来显示解题过程。我国著名的数学家华罗庚说过：“数无形，少直观，形无数，难入微”。这充分的说明了图形在应用题解答中的重要作用。通过调查研究发现，近几年的应用题中的概念较多，字母符号也比较多，文字的叙述也相对来说比较繁琐，这就增加了应用题的难度，这时候，通过直观的图像将这些复杂的关系表达出来，有助于解题。

（2）通过整合相关信息，把应用题的数量关系展现出来。适用于题型比较长，而且内容繁多，数据也较多，这时候就需要整合信息，加以梳理，来解决问题。例如：据有关信息统计，防城港港口2008年、2012年内外贸吞吐总量分别为3700万吨和1.0058亿吨，其中2012年的内贸和外贸吞吐量分别比2008年增长30%和25%，问题就是分别确定这个港口2012年的内贸和外贸吞吐量。这类的应用题就比较复杂了，学生突然看到这类的题目就傻了眼，但是静下心来，慢慢对信息进行整合，发现其实没有那么难。

（3）用数学方程式或者函数解析式来表示。通常情况下，问题比较多，那么相应的模型也比较复杂，学生应该把实际具体的问题用数学语言来展现出来，然后从数学的角度反映实际问题，常用数学方程式和函数解析式来表示。

四、结束语

总而言之，数学建模是一种新型的学习方式，顺应社会发展以及教育改革的要求，有助于培养学生的学习兴趣和对知识的求知欲，特别是在应用题的解决上，能够形象直观的将内容展现出来，有助于学生解答问题。教师在教学中应该不断的完善应用题的教学策略，提高学生的综合素质，促进学生的全面发展。

参考文献

[1]宿维军，数学建模活动对培养人才的作用[J].数学的实践与认识，2002，32（5）：865-868

[2]冯永明，中学数学建模的教学构想与实践[J].数学通讯，2000，（7）.

[3]孔凡海，中学数学建模的几点思考与建议[J].中学数学教学参考，1998（1～2）：24-25

4.数学与应用数学 篇四

学科：理学

门类：数学类

专业名称：数学与应用数学

业务培养目标：本专业培养掌握数学科学的基本理论与基本方法，具备运用数学知识、使用计算机解决实际问题的能力，受到科学研究的初步训练，能在科技、教育和经济部门从事研究、教学工作或在生产经营及管理部门从事实际应用、开发研究和管理工作的高级专门人才。

业务培养要求：本专业学生主要学习数学和应用数学的基础理论、基本方法，受到数学模型、计算机和数学软件方面的基本训练，具有较好的科学素养，初步具备科学研究、教学、解决实际问题及开发软件等方面的基本能力。

毕业生应获得以下几方面的知识和能力：

1．具有扎实的数学基础，受到比较严格的科学思维训练，初步掌握数学科学的思想方法；

2．具有应用数学知识去解决实际问题，特别是建立数学模型的初步能力，了解某应用领域的基本知识；

3．能熟练使用计算机(包括常用语言、工具及一些数学软件)，具有编写简单应用程序的能力；

4．了解国家科学技术等有关政策和法规；

5．了解数学科学的某些新发展和应用前景；

6．有较强的语言表达能力，掌握资料查询、文献检索及运用现代信息技术获取相关信息的基本方法，只有一定的科学研究和教学能力。

主干学科：数学

主要课程：分析学、代数学、儿何学、概率论、物理学、数学模型、数学实验、计算机基础、数值法、数学史等，以及根据应用方向选择的基本课程。

主要实践性教学环节：包括计算机实习、生产实习、科研训练或毕业论文等，一般安排10-20周。

修业年限：四年

授予学位：理学学士

开设院校

5.小学数学应用题类型 篇五

小学数学中把含有数量关系的实际问题用语言或文字叙述出来，这样所形成的题目叫做应用题。任何一道应用题都由两部分构成。第一部分是已知条件（简称条件），第二部分是所求问题（简称问题）。应用题的条件和问题，组成了应用题的结构。应用题可分为一般应用题与典型应用题。没有特定的解答规律的两步以上运算的应用题，叫做一般应用题。题目中有特殊的数量关系，可以用特定的步骤和方法来解答的应用题，叫做典型应用题。这本资料主要研究以下30类典型应用题：

1、归一问题

2、归总问题

3、和差问题

4、和倍问题

5、差倍问题

6、倍比问题

7、相遇问题

8、追及问题

9、植树问题

10、年龄问题

11、行船问题

12、列车问题

13、时钟问题

14、盈亏问题

15、工程问题

16、正反比例问题

17、按比例分配

18、百分数问题

19、“牛吃草”问题20、鸡兔同笼问题

21、方阵问题

22、商品利润问题

23、存款利率问题

24、溶液浓度问题

25、构图布数问题

26、幻方问题

27、抽屉原则问题

28、公约公倍问题

29、最值问题

30、列方程问题

1、归一问题

【含义】

在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。

【数量关系】

总量÷份数＝1份数量

1份数量×所占份数＝所求几份的数量

另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数 【解题思路和方法】

先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。

例1 买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？

解（1）买1支铅笔多少钱？

0.6÷5＝0.12（元）

（2）买16支铅笔需要多少钱？0.12×16＝1.92（元）

列成综合算式

0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）

答：需要1.92元。

例2 3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6 天耕地多少公顷？

解（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷？ 90÷3÷3＝10（公顷）

（2）5台拖拉机6天耕地多少公顷？ 10×5×6＝300（公顷）

列成综合算式 90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公顷）

答：5台拖拉机6 天耕地300公顷。

例3 5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？ 解（1）1辆汽车1次能运多少吨钢材？ 100÷5÷4＝5（吨）

（2）7辆汽车1次能运多少吨钢材？

5×7＝35（吨）

（3）105吨钢材7辆汽车需要运几次？ 105÷35＝3（次）

列成综合算式 105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）

答：需要运3次。、归总问题

【含义】

解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。

【数量关系】 1份数量×份数＝总量

总量÷1份数量＝份数

总量÷另一份数＝另一每份数量

【解题思路和方法】 先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。

例1

服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？

解（1）这批布总共有多少米？

3.2×791＝2531.2（米）

（2）现在可以做多少套？

2531.2÷2.8＝904（套）

列成综合算式 3.2×791÷2.8＝904（套）

答：现在可以做904套。

例2

小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》？

解（1）《红岩》这本书总共多少页？ 24×12＝288（页）

（2）小明几天可以读完《红岩》？ 288÷36＝8（天）

列成综合算式 24×12÷36＝8（天）

答：小明8天可以读完《红岩》。

例3

食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？

解（1）这批蔬菜共有多少千克？ 50×30＝1500（千克）

（2）这批蔬菜可以吃多少天？ 1500÷（50＋10）＝25（天）

列成综合算式

50×30÷（50＋10）＝1500÷60＝25（天）

答：这批蔬菜可以吃25天。

3、和差问题

【含义】 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。

【数量关系】

大数＝（和＋差）÷ 2

小数＝（和－差）÷ 2 【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。

例1

甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？

解 甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人）

乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人）

答：甲班有52人，乙班有46人。

例2

长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。

解 长＝（18＋2）÷2＝10（厘米）宽＝（18－2）÷2＝8（厘米）

长方形的面积＝10×8＝80（平方厘米）

答：长方形的面积为80平方厘米。

例3

有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。

解 甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多（32－30）＝2千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知

甲袋化肥重量＝（22＋2）÷2＝12（千克）

丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（千克）

乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克）

答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。

例4

甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？

解 “从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐”，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是（14×2＋3），甲与乙的和是97，因此

甲车筐数＝（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐）

乙车筐数＝97－64＝33（筐）

答：甲车原来装苹果64筐，乙车原来装苹果33筐。

4、和倍问题

【含义】

已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。

【数量关系】 总和 ÷（几倍＋1）＝较小的数

总和 －较小的数＝较大的数

较小的数 ×几倍 ＝ 较大的数

【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。例1

果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？

解（1）杏树有多少棵？ 248÷（3＋1）＝62（棵）

（2）桃树有多少棵？

62×3＝186（棵）

答：杏树有62棵，桃树有186棵。

例2

东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨？

解（1）西库存粮数＝480÷（1.4＋1）＝200（吨）

（2）东库存粮数＝480－200＝280（吨）

答：东库存粮280吨，西库存粮200吨。

例3

甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？

解 每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，相当于每天从甲站开往乙站（28－24）辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这时乙站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数（52＋32）就相当于（2＋1）倍，那么，几天以后甲站的车辆数减少为

（52＋32）÷（2＋1）＝28（辆）

所求天数为

（52－28）÷（28－24）＝6（天）

答：6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。

例4

甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？

解 乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1倍量。

因为乙比甲的2倍少4，所以给乙加上4，乙数就变成甲数的2倍；

又因为丙比甲的3倍多6，所以丙数减去6就变为甲数的3倍；

这时（170＋4－6）就相当于（1＋2＋3）倍。那么，甲数＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28

乙数＝28×2－4＝52

丙数＝28×3＋6＝90

答：甲数是28，乙数是52，丙数是90。

5、差倍问题

【含义】

已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数 各是多少，这类应用题叫做差倍问题。

【数量关系】

两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数

较小的数×几倍＝较大的数

【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1

果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？

解（1）杏树有多少棵？

124÷（3－1）＝62（棵）

（2）桃树有多少棵？

62×3＝186（棵）答：果园里杏树是62棵，桃树是186棵。

例2

爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁？

解（1）儿子年龄＝27÷（4－1）＝9（岁）

（2）爸爸年龄＝9×4＝36（岁）

答：父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。

例3

商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元？

解 如果把上月盈利作为1倍量，则（30－12）万元就相当于上月盈利的（2－1）倍，因此

上月盈利＝（30－12）÷（2－1）＝18（万元）本月盈利＝18＋30＝48（万元）

答：上月盈利是18万元，本月盈利是48万元。

例4

粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍？

解 由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（138－94）。把几天后剩下的小麦看作1倍量，则几天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（138－94）就相当于（3－1）倍，因此

剩下的小麦数量＝（138－94）÷（3－1）＝22（吨）

运出的小麦数量＝94－22＝72（吨）

运粮的天数＝72÷9＝8（天）

答：8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。

6、倍比问题

【含义】

有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。

【数量关系】 总量÷一个数量＝倍数

另一个数量×倍数＝另一总量

【解题思路和方法】 先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。

例1

100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？

解（1）3700千克是100千克的多少倍？ 3700÷100＝37（倍）（2）可以榨油多少千克？

40×37＝1480（千克）

列成综合算式

40×（3700÷100）＝1480（千克）

答：可以榨油1480千克。

例2

今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师生共植树多少棵？

解（1）48000名是300名的多少倍？ 48000÷300＝160（倍）

（2）共植树多少棵？

400×160＝64000（棵）

列成综合算式

400×（48000÷300）＝64000（棵）

答：全县48000名师生共植树64000棵。

例3

凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元？全县16000亩果园共收入多少元？

解（1）800亩是4亩的几倍？

800÷4＝200（倍）

（2）800亩收入多少元？

11111×200＝2222200（元）（3）16000亩是800亩的几倍？16000÷800＝20（倍）

（4）16000亩收入多少元？

2222200×20＝44444000（元）

答：全乡800亩果园共收入2222200元，全县16000亩果园共收入44444000元。

7、相遇问题

【含义】

两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。

【数量关系】

相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）

总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间 【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

例1

南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？

解

392÷（28＋21）＝8（小时）

答：经过8小时两船相遇。

例2

小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？

解

“第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。因此总路程为400×2

相遇时间＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）

答：二人从出发到第二次相遇需100秒时间。

例3

甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。

解 “两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此，相遇时间＝（3×2）÷（15－13）＝3（小时）

两地距离＝（15＋13）×3＝84（千米）

答：两地距离是84千米。

8、追及问题

【含义】两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。

【数量关系】

追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）

追及路程＝（快速－慢速）×追及时间 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1

好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？

解（1）劣马先走12天能走多少千米？ 75×12＝900（千米）（2）好马几天追上劣马？

900÷（120－75）＝20（天）

列成综合算式

75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）

答：好马20天能追上劣马。

例2

小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。

解 小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了（500－200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒，则跑500米用［40×（500÷200）］秒，所以小亮的速度是

（500－200）÷［40×（500÷200）］＝300÷100＝3（米）

答：小亮的速度是每秒3米。

例3

我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人？

解 敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（22－16）小时，这段时间敌人逃跑的路程是［10×（22－6）］千米，甲乙两地相距60千米。由此推知

追及时间＝［10×（22－6）＋60］÷（30－10）＝220÷20＝11（小时）

答：解放军在11小时后可以追上敌人。

例4

一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。

解 这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车（16×2）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，这个时间为

16×2÷（48－40）＝4（小时）

所以两站间的距离为

（48＋40）×4＝352（千米）列成综合算式

（48＋40）×［16×2÷（48－40）］＝88×4＝352（千米）

答：甲乙两站的距离是352千米。

例5 兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？

解 要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。从题中可知，在相同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（180×2）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（90－60）米，那么，二人从家出走到相遇所用时间为

180×2÷（90－60）＝12（分钟）

家离学校的距离为

90×12－180＝900（米）

答：家离学校有900米远。

例6

孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。

解 手表慢了10分钟，就等于晚出发10分钟，如果按原速走下去，就要迟到（10－5）分钟，后段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了（10－5）分钟。如果从家一开始就跑步，可比步行少9分钟，由此可知，行1千米，跑步比步行少用［9－（10－5）］分钟。所以

步行1千米所用时间为

1÷［9－（10－5）］＝0.25（小时）＝15（分钟）

跑步1千米所用时间为

15－［9－（10－5）］＝11（分钟）

跑步速度为每小时

1÷11／60＝1×60／11＝5.5（千米）

6.小学数学典型应用题 篇六

01归一问题

【含义】

在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。

【数量关系】

总量÷份数＝1份数量

1份数量×所占份数＝所求几份的数量

另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数

02解题思路和方法

先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。

例1：3头牛4天吃了24千克的草料，照这样计算5头牛6天吃草

_____

千克。

解:

1.根据题意先算出1头牛1天吃草料的质量：24÷3÷4=2(千克)。

2.那么5头牛一天吃2×5=10(千克)的草料。

3.那么6天就能吃10×6=60(千克)草料。

例2：5名同学8分钟制作了240张正方形纸片。如果每人每分钟制作的数量相同，并且又来了2位同学，那么再过15分钟他们又能做

_____

张正方形纸片？

解：

1.可以先算出5名同学1分钟能制作正方形纸片的数量，240÷8=30(张)。

2.再算出1名同学1分钟制作的数量，30÷5=6(张)。

3.现在有5+2=7(名)同学，每人每分钟做6张，要做15分钟，那么他们能做7×6×15=630(张)正方形纸片。

例3：某车间用4台车床5小时生产零件600个，照这样计算，增加3台同样的车床后，如果要生产6300个零件，需要

_____

小时完成？

解：

1.4台车床5小时生产零件600个，则每台车床每小时生产零件600÷4÷5=30（个）。

2.增加3台同样的车床，也就是4+3=7（台）车床，7台车床每小时生产零件7×30=210（个）。

3.如果生产6300个零件，需要6300÷210=30（小时）完成。

02归总问题

【含义】

解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。

所谓“总数量”是指货物的总价.几小时（几天）的总工作量.几公亩地上的总产量.几小时走的总路程等。

【数量关系】

1份数量×份数＝总量

总量÷1份数量＝份数总量÷另一份数＝另一每份数量

解题思路和方法

先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。

例1:王大伯家的干草够8只牛吃一个星期的，照这样计算，这些草够4只牛吃（）天？

解：

1.可以算出这些草够1只牛吃多少天，用8×7=56(天)。

2.算4只牛能吃多久，用56÷4=14(天)。

例2小青家有个书架共5层，每层放36本书。现在要空出一层放碟片，把这层书平均放入其它4层中，每层比原来多放

（）本书。

解：

方法一：

1.根据题意可以算出书架上有5×36=180(本)书。

2.现在还剩下5-1=4(层)书架。

3.所以每层书架上有180÷4=45(本)书。比原来多45-36=9(本)书。

方法二：

也可以这样考虑，就是要把其中一层的36本书平均分到其他4层，所以每层比原来多放36÷4=9（本）书。

例3一个长方形的水槽可容水480吨，水槽装有一个进水管和一个排水管。单开进水管8小时可以把空池注满；单开排水管6小时可以把满水池排空，两管齐开需要多少小时把满池水排空？

解：

1.要求两管齐开需要多少小时把满池水排光，关键在于先求出进水速度和排水速度，进水每小时480÷8=60（吨）；排水每小时480÷6=80（吨）。

2.当两管齐开，排水速度大于进水速度，即每小时排80-60=20（吨）。

3.再根据总水量就可以求出排空满池水所需的时间。480÷20=24（小时）。

03和差问题

【含义】

已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。

【数量关系】

大数＝(和＋差)÷2小数＝(和－差)÷2

解题思路和方法

简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。

例1:两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多18千克，第一筐水果重

_____

千克，第二筐水果重

_____

千克。

解：

因为第一筐比第二筐重

1.根据大大数＝(和＋差)÷2的数量关系，可以求出第一筐水果重(150+18)÷2=84（千克）。

2.根据小数＝(和－差)÷2的数量关系，可以求出第二筐水果重(150-18)÷2=66（千克）。

例2:登月行动地面控制室的成员由两组专家组成，两组共有专家120名，原来第一组人太多，所以从第一组调了20人到第二组，这时第一组和第二组人数一样多，那么原来第二组有（）名专家。

解：

1.原来从第一组调了20人到第二组，这时第一组和第二组人数一样多，说明原来第一组比第二组多20+20=40（人）

2.根据小数＝(和－差)÷2的数量关系，第二组人数应该为(120-40)÷2=40（人）。

例3:某工厂第一.二.三车间共有工人280人，第一车间比第二车间多10人，第二车间比第三车间多15人，三个车间各有多少人？

解：

1.第一车间比第二车间多10人，第二车间比第三车间多15人；

那么第一车间就比第三车间多25人，因此第三车间的人数是（280-25-15）÷3=80（人）。

据此可得出第一.二车间的人数。

04和倍问题

【含义】

已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。

【数量关系】

总和÷（几倍＋１）＝较小的数

总和－较小的数＝较大的数

较小的数×几倍＝较大的数

解题思路和方法

简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例１：甲、乙两仓库共存粮２６４吨，甲仓库存粮是乙仓库存粮的１０倍。甲仓库存粮吨，乙仓库存粮＿＿＿＿＿吨。

解：

１.根据“甲仓库存粮是乙仓库存粮的１０倍”，把甲仓库存粮数看成“大数”，乙仓库存粮数看成“小数”。

２.根据和倍公式总和－（几倍＋１）＝较小的数，即可求乙仓库存粮２６４＝（１０＋１）＝２４（吨）。

３.根据和倍公式较小的数×几倍＝较大的数，即可求甲仓库存粮２４×１０＝２４０（吨）。

例２：已知苹果.梨.桃子的总质量为４０千克，苹果的质量是桃子的４倍，梨的质量是桃子的３倍，求苹果.梨.桃子的质量。

解：

１.根据“苹果的质量是桃子的４倍，梨的质量是桃子的３倍”；

把桃子看成１倍数，则苹果是４倍数，梨是３倍数。

２.根据“苹果、梨、桃子的总质量为４０千克”和和倍公式：

总和＝（几倍＋１）＝较小的数

可求出桃子的质量，４０＝（４＋３＋１）＝５（千克）

３.根据桃子质量可以求出苹果和梨的质量。

例３：欢欢、乐乐和多多一共带了1４８元去公园。

已知欢欢带的钱数比乐乐的２倍多１元，多多带的钱数比欢欢多２倍，那么多多带了（）元。

解：

１.在三个量的和倍问题中，我们可以选择其中一个标准量，然后通过三个量之间的和倍关系进行计算即可。

需要注意，多２倍就是３倍。

２.由题可知，三人里乐乐的钱数最少。

我们可以把乐乐看成标准量，那么欢欢就是２份标准量再加１元。

３.多多比欢欢多两倍，就是２×３＝６份标准量再加１×３＝３（元）。

４.那么他们三个合起来就是１＋２＋６＝９

份标准量再加１＋３＝４（元）。

５.所以标准量是

（１４８－４）÷９＝１６（元），即乐乐带了１６元。

６.根据乐乐的钱数可以求出欢欢带了

１６×２＋１＝３３（元），所以多多带了

３３×３＝９９（元）。

05差倍问题

【含义】

已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少；

这类应用题叫做差倍问题。

【数量关系】

两个数的差÷（几倍－1）

=较小的数较小的数×几倍

=较大的数

解题思路和方法

简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1：莉莉的科技书比故事书多16本，科技书是故事书3倍，莉莉有科技书（）本。

A.8

B.12

C.16

D.24

解：

1.解决差倍问题，可以画线段图解决，也可以直接套用公式解决。

2.把故事书的本数看作1倍数，科技书的本数就是3倍数，科技书比故事书多16本，所以根据差倍公式两个数的差÷（几倍－1）=较小的数，可以求出故事书有16÷2=8本。

3.根据差倍公式较小的数×几倍=较大的数，可以求出科技书有8×3=24本。

例2：甲桶油是乙桶油4倍，如果从甲桶倒出15千克给乙桶，两桶油的重量就相等了，则原来甲桶有油

____

千克，乙桶有油

____

千克。

解：

1.根据题意，从甲桶倒出15千克给乙桶，两桶油的重量就相等了，说明原来甲桶油比乙桶油多15×2=30（千克）。

2.根据差倍公式两个数的差÷（几倍-1）=较小的数，可以求出乙桶有油30÷（4-1）=10（千克）。

3.根据差倍公式较小的数×几倍=较大的数，可以求出甲桶原有油10×4=40（千克）。

例3：每件成品需要5个甲零件，2个乙零件。

开始时，甲零件的数量是乙零件数量的2倍，加工了30个成品之后甲零件和乙零件的数量一样多，那么还可以加工

_____

个成品。

解：

1.加工一个成品，甲零件比乙零件多用5-2=3（个），加工30个成品，甲零件比乙零件多用3×30=90（个）。

根据“加工了30个成品之后甲零件和乙零件的数量一样多”说明原来甲零件比乙零件多90个。

2.把乙原来的零件数看成1倍，甲就是这样的2倍，甲比乙多1倍，对应90个，求出乙原来有90÷（2-1）=90（个）

3.那么甲原来有90×2=180（个）零件。

4.每件成品需要5个甲零件，2个乙零件，那么加工30个成品，甲零件用了5×30=150（个），乙零件用了2×30=60（个），所以甲零件还剩180-150=30（个），乙零件还剩90-60=30（个）。

剩下的甲零件还能做30÷5=6（个）成品，剩下的乙零件还能做30÷2=15（个）成品。

因为每件成品需要甲.乙两种零件共同完成，所以剩下的零件数还可以加工6个成品。

06和倍问题

【含义】

已知两个或多个人年龄关系，求各自年龄或年龄关系，这类应用题叫做和倍问题。

【数量关系】

大数＝(和＋差)÷2小数

＝(和－差)÷2总和÷(几倍+1)

＝较小的数

总和-较小的数＝较大的数较小的数×几倍

＝较大的数两个数的差÷（几倍－1）

=较小的数较小的数×几倍

=较大的数

解题思路和方法

年龄问题具有年龄同增同减，年龄差不变的特性。

年龄问题都可以转化为和差.和倍.差倍问题。

简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例1：爸爸今年38岁，妈妈今年36岁，当爸爸42岁时，妈妈

_____

岁。

解：

1.本题考查的年龄差不变（简单），不管过了多少年年龄差是不变的。

2.爸爸比妈妈大2岁，根据不管过了多少年年龄差是不变的，当爸爸42岁时，妈妈是40岁。

例2：姐姐今年15岁，妹妹今年12岁，当她们的年龄和是39岁时，那时妹妹

_____

岁。

解：

方法一：

1.利用年龄同增同减的思路。

2.姐妹俩今年的年龄之和是：

15+12=27（岁），年龄之和到达39岁时需要的年限是：

（39-27）÷2=6（年）。

3.那是妹妹的年龄是12+6=18（岁）。

方法二：

1.利用年龄差不变的思路。

2.两姐妹的年龄差为15-12=3（岁），再根据小数＝(和－差)÷2的公式，可以求出妹妹的年龄为（39-3）÷2=18（岁）。

例3：爸爸今年50岁，哥哥今年14岁，_____

年前，爸爸的年龄是哥哥的5倍。

解：

1.不管过了多少年，年龄差是不变的，当爸爸的年龄是哥哥的5倍时，年龄差仍是50-14=36（岁）。

2.问什么时候爸爸的年龄是哥哥的5倍，实际上年龄差就是哥哥的5-1=4倍。

3.根据两个数的差÷（几倍－1）=较小的数，可以求出哥哥当时的年龄是（50-14）÷4=9（岁）。

4.再根据题意可求出14-9=5（年）前。

例4：今年姐妹两人的年龄和是50岁，曾经有一年，姐姐的年龄与妹妹今年的年龄相同，且那时姐姐的年龄恰好是妹妹年龄的2倍。

那么姐姐今年

_____

岁。

解：

1.当姐姐的年龄恰好是妹妹年龄的2倍时，我们设那时妹妹的年龄是1份，那么姐姐的年龄就是2份，那么姐姐与妹妹的年龄差就是1份。

2.因为那时姐姐的年龄与妹妹今年的年龄相同，所有妹妹今年的年龄也是2份。

因为年龄差不变，所以今年姐姐的年龄应该是2+1=3份。

3.今年姐妹两人的年龄和是50岁，对应2+3=5份，求出1份是50÷5=10（岁），那么姐姐今年是10×3=30（岁）。

07相遇问题

【含义】

两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。

这类应用题叫做相遇问题。

这类应用题叫做相遇问题。

【数量关系】

相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）总路程

＝（甲速＋乙速）×相遇时间

解题思路和方法

简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式，利用线段图分析可以让解题事半功倍。

例1：欢欢和乐乐在一条马路的两端相向而行，欢欢每分钟行60米，乐乐每分钟行80米，他们同时出发5分钟后相遇。这条马路长（）。

解：

根据公式总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间，可以求出这条马路长（60＋80）×5

=700（米）。

例2：甲乙两车分别以不变的速度从AB两地同时出发，相向而行。到达目的地后立即返回。

已知第一次相遇地点距离A地50千米，第二次相遇地点距离B地60千米，AB两地相距

_____

千米。

解：

1.本题考查的是二次相遇问题，灵活的运用画线段图的方法来分析是解决这类问题的关键。

2.画线段图

3.从图中可以看出，第一次相遇时甲行了50千米。甲乙合行了一个全程的路程。

从第一次相遇后到第二次相遇，甲乙合行了两个全程的路程。

由于甲乙速度不变，合行两个全程时，甲能50×2=100(千米)。

4.因此甲一共行了50+100=150(千米)，从图中看甲所行路程刚好比AB两地相距路程还多出60千米。

所以AB两地相距150-60=90(千米)。

例3：欢欢和乐乐在相距80米的直跑道上来回跑步，乐乐的速度是每秒3米，欢欢的速度是每秒2米。

如果他们同时分别从跑道两端出发，当他们跑了10分钟时，在这段时间里共相遇过

_____

次。

解：

1.根据题意，第一次相遇时，两人共走了一个全程，但是从第二次开始每相遇一次需要的时间都是第一次相遇时间的两倍。（线段图参考例2。）

2.根据“相遇时间=总路程÷速度和”得到，欢欢和乐乐首次相遇需要80÷（3+2）=16（秒）。

3.因为从第一次相遇结束到第二次相遇，欢欢和乐乐要走两个全程，所以从第二次开始每相遇一次需要的时间是16秒的2倍，也就是32秒，则经过第一次相遇后，剩下的时间是600-16=584（秒），还要相遇584÷32=18.25（次），所以在这段时间里共相遇过18+1=19（次）。

追及问题（含解析）

01追及问题

【含义】

两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）

作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。

这类应用题就叫做追及问题。

【数量关系】

★

追及时间＝

追及路程÷（快速－慢速）

★

追及路程＝（快速－慢速）×追及时间

02解题思路和方法

简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式，利用线段图

分析可以让解题事半功倍。

例1：某警官发现前方100米处有一匪徒，匪徒正以每秒2米的速度逃跑。

警官赶紧以每秒3米的速度追，（）秒后警官可以追上这个匪徒。

解：

1.从警官追开始到追上匪徒，这就是一个追及过程。

根据公式：路程差÷速度差=追及时间。

2.路程差为100米，警官每秒比匪徒多跑3-2=1（米），即速度差为1米/秒。

所以追及的时间为100÷1=100（秒）。

例2：甲乙二人同时从400米的环形跑道的起跑线出发，甲每秒跑6米，乙每秒跑8米，同向出发。

那么甲乙二人出发后（）秒第一次相遇？

解：

1.由题可知，甲乙同时出发后，乙领先，甲落后，那么两人第一次相遇时，乙从后方追上甲。

所以，乙的路程=甲的路程+一周跑道长度，即追及路程为400米。

2.由追及时间=总路程÷速度差可得：经过400÷（8-6）=200（秒）

两人第一次相遇。

例3：小轿车、面包车和大客车的速度分别为60千米/时.48千米/时和42千米/时，小轿车和大客车从甲地.面包车从乙地同时相向出发，面包车遇到小轿车后30分钟又遇到大客车。

那么甲.乙两地相距多远？

解：

1.根据题意，将较复杂的综合问题分解为若干个单一问题。

首先是小轿车和面包车的相遇问题；

其次是面包车和大客车的相遇问题；

然后是小轿车与大客车的追及问题。

最后通过大客车与面包车共行甲.乙两地的一个单程，由相遇问题可求出甲.乙两地距离。

2.画线段图，图上半部分是小轿车和面包车相遇时三车所走的路程。

图下半部分是第一次相遇30分钟之后三车所走的路程。

3.由图可知，当面包车与大客车相遇时，大客车与小轿车的路程差为小轿车与大客车30分钟所走的路程。

有小轿车与大客车的速度差，有距离，所以可以求出车辆行驶的时间。

（60+48）×0.5÷（60-42）=3（小时）。

4.由于大客车与面包车相遇，共行一个行程，所以AB两地路程为

（42+48）×3=270（千米）。

01

植树问题

【含义】

按相等的距离植树，在距离.棵距.棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。

【数量关系】

线形植树：

一端植树：棵数＝间隔数=距离÷棵距

两端植树：

棵数＝间隔数+1=距离÷棵距＋1

两端都不植树：

棵数＝间隔数-1=距离÷棵距-1

环形植树：

棵数＝间隔数=距离÷棵距

正多边形植树：

一周总棵数=每边棵数×边数-边数

每边棵树=一周总棵数÷边数+1

面积植树：

棵数＝面积÷（棵距×行距）

02解题思路和方法

先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。

例1：植树节到了，少先队员要在相距72米的两幢楼房之间种8棵杨树。

如果两头都不栽，平均每两棵树之间的距离应是多少米？

解：

1.本题考察的是植树问题中的两端都不栽的情况，解决此类问题的关键是要理解棵数比间隔数少1。

2.因为棵数比间隔数少1，所以共有8+1=9个间隔，每个间隔距离是72÷9=8米。

3.所以每两棵树之间的距离是8米。

例2：佳一小学举行运动会，在操场周围插上彩旗。

已知操场的周长是500米，每隔5米插一根红旗，每两面红旗之间插一面黄旗，那么一共插红旗多少面，一共插黄旗多少面。

解：

1.本题考查的是植树问题中封闭图形间隔问题。

本题中只要抓住棵数＝间隔数，就能求出插了多少面红旗和黄旗。

2.棵数＝间隔数，一共插红旗500÷5＝100（面），这一百面红旗中一共有100个间隔，所以一共插黄旗100面。

例3：多多从一楼爬楼梯到三楼需要6分钟，照这样计算，从三楼爬到十楼需要多少分钟？

解：

1.本题考查的是植树问题中锯木头.爬楼梯问题的情况。

需要理解爬的楼层.锯的次数与层数.段数之间的关系。

所在楼层=爬的层数+1；

木头段数=锯的次数+1。

2.从一楼爬楼梯到三楼，需要爬2层，需要6分钟，所以每层需要6÷2=3（分钟）。

因此从三楼爬到十楼，需要（10-3）×3=21（钟）。

例4：时钟敲3下要2秒钟，敲6下要多少秒？

解：

1.本题考查的是植树问题中敲钟声问题，与锯木头爬楼问题类似。

本题中只要抓住敲的次数＝间隔数+1。

2.时钟敲3下，中间有2个间隔，2个间隔需要2秒钟，那么1个间隔需要1秒钟。

时钟敲6下，中间有5个间隔，需要5秒。

01行船问题

【含义】

行船问题也就是与航行有关的问题。

解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度；

也就是船只在静水中航行的速度；

水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；

船只逆水航行的速度是船速与水速之差。

【数量关系】

（顺水速度＋逆水速度）÷2

＝船速（顺水速度－逆水速度）÷2

＝水速顺水速＝船速×2－逆水速

＝逆水速＋水速×2逆水速

＝船速×2－顺水速

＝顺水速－水速×2

02解题思路和方法

简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式，利用线段图分析可以让解题事半功倍。

例1：某船在同一条河中顺水船速是每小时20千米，逆水船速是每小时10千米，这条河的水流速度是每小时

_____

千米？

解：

顺水船速=船速+水流速度，逆水船速=船速-水流速度，可以看出，顺水船速比逆水船速多2个水流速度，因此，水流速度=(20-10)÷2=5(千米/时)。

例2：某条大河水流速度是每小时5千米，一艘静水船速是每小时20千米的货轮逆水航行5小时能到达目的地，这艘货轮原路返回到出发地需要多少小时？

解：

1.逆水速度=静水船速-水流速度，所以货轮逆水速度是20-5=15(千米/时)，行驶5小时共行了15×5=75(千米)。

2.原路返回时是顺水航行，顺水速度是静水船速+水速，即20+5=25(千米/时)，所以返回用时75÷25=3(小时)。

例3：小船在两个码头间航行，顺水需4小时，逆水需5小时，若一只木筏顺水漂过这段距离需

_____

小时？

解：

1.我们可以假设一个路程。

假设两个码头之间的距离是200千米，顺水需4小时，则顺水的速度是每小时200÷4=50（千米），逆水需5小时，则逆水的速度是每小时200÷5=40（千米）。

2.根据“水速=（顺水行驶速度-逆水行驶速度）÷2”得到，水流速度是每小时（50-40）÷2=5（千米）。

3.一只木筏顺水漂过的速度就是水流速度，所以木筏顺水漂过这段距离需要200÷5=40（小时）。

01列车问题

【含义】

与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。

【数量关系】

★

火车过桥：

过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速

★

火车追及：

追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速－乙车速）

★

火车相遇：

相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速＋乙车速）

02解题思路和方法

简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式，利用线段图分析可以让解题事半功倍。

例1：一列火车全长126米，全车通过611米的隧道需要67秒，火车的速度是多少米/秒？

解：

1.本题考查的是火车过桥的问题。

解决本题的关键是知道火车完全经过隧道所走的路程是一个车身长＋隧道长，进而求出车速。

2.因此火车的速度为：（126＋611）÷67＝11（米/秒）。

例2：在两行轨道上有两列火车相对开来，一列火车长208米，每秒行18米，另一列火车每秒行19米，两列火车从相遇到完全错开用了12秒钟，那么另一列火车长多少

米？

解：

两列火车从相遇到完全错开，所行路程之和刚好是它们的车身长度之和。

根据“路程和=速度和×时间”

可得，另一列火车长=（18+19）×12-208=236（米）。

例3：一列火车通过一座长90米的桥需要24秒，如果火车的速度加快1倍，它通过长为222米的隧道只用了18秒。

原来火车每秒行多少米？

解：

1.根据“火车的速度加快1倍，它通过长为222米的隧道只用了18秒”可知，如果火车用原来的速度通过222米的隧道，则要用18×2=36（秒）。

2.隧道比大桥长222-90=132（米），火车要多用36-24=12（秒）行驶这一段路程，根据速度=路程÷时间，可以求出原来火车每秒行132÷12=11（米）。

01时钟问题

【含义】

就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合.两针垂直.两针成一线.两针夹角为60度等，这类问题可转化为行程问题中的追及问题。

【数量关系】

分针的速度是时针的12倍，二者的速度差为5.5度/分。

通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。

02解题思路和方法

将两针重合，两针垂直，两针成一线，两针夹角60°等为“追及问题”后可以直接利用公式。

例1：钟面上从时针指向8开始，再经过多少分钟，时针正好与分针第一次重合?（精确到1分）

解：

1.此类题型可以把钟面看成一个环形跑道。

那么本题就相当于行程问题中的追及问题，即分针与时针之间的路程差是240°。

2.分针每分钟比时针多转6°-0.5°=5.5°，所以240÷5.5≈44（分钟）。

也就是从8时开始，再经过44分钟，时针正好与分针第一次重合。

例2：从早晨6点到傍晚6点，钟面上时针和分针一共重合了多少次？

解：

我们可以把钟面看成一个环形跑道，这样分针和时针的转动就可以转化成追及问题。

从早晨6点到傍晚6点，一共经过了12小时，12个小时分针要跑12圈，时针只能跑1圈，分针比时针多跑12-1=11（圈），而分针每比时针多跑1圈，就会追上时针一次，也就是和时针重合1次，所以12小时内两针一共重合了11次。

例3：一部记录中国军队时代变迁的纪录片时长有两个多小时。

小明发现，纪录片播放结束时，手表上时针.分针的位置正好与开始时时针.分针的位置交换了一下。

这部纪录片时长多少分钟？（精确到1分）

解：

1.解决本题的关键是认识到时针与分针合走的路程是1080°，进而转化成相遇问题来解决。

2.两个多小时，分针与时针位置正好交换。

所以分针与时针所走的路程和正好是三圈，也就是分针和时针合走360°×3=1080°，而分针和时针每分钟的合走6°+0.5°=6.5°，所以合走1080°

需要1080÷6.5≈166（分钟），即这部纪录片时长166分钟。

01

工程问题

【含义】

工程问题主要研究工作量.工作效率和工作时间三者之间的关系。

这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”.“一块土地”.“一条水渠”.“一件工作”等。

在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。

【数量关系】

工作量＝工作效率×工作时间工作时间

＝工作量÷工作效率工作时间

＝工作总量÷（甲工作效率＋乙工作效率）

02解题思路和方法

解答工程问题的关键是把工作总量看作单位“1”。

这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几）。

进而就可以根据工作量.工作效率.工作时间三者之间的关系列出算式。

例1：一项工程，甲队独做要12天完成，乙队独做要15天完成，两队合做4天可以完成这项工程的（）。

解：

1.本题考察的是两个人的工程问题，解决本题的关键是求出甲.乙两队的工作效率之和。

进而用工作效率×工作时间=工作量。

2.甲队的工作效率为:1÷12=，乙队的工作效率为:1÷15=，两队合做4天，可以完成这项工程的（+）×4=。

例2：一项工程，甲.乙两队合作30天完成。

如果甲队单独做24天后，乙队再加入合做，两队合做12天后，甲队因事离去，由乙队继续做了15天才完成。

这项工程如果由甲队单独做，需要多少天完成？

解：

1.我们可以将“甲队单独做24天后，乙队再加入合做，两队合做12天后，甲队因事离去。

由乙队继续做了15天才完成”转化为“甲.乙两队合做27天，甲再单独做9天”，由此可以求出甲9天的工作量为：，甲每天的工作效率为：，这项工程如果由甲队单独做，需要。

例3：有一项工程，甲单独做需要6小时，乙单独做需要8小时，丙单独做需要10小时，上午8时三人同时开始，中间甲有事离开，如果到中午12点工程才完工，则甲上午离开的时间是几时几分？

解：

1.根据题意，知道了甲乙丙的工作时间可求出相应的工作效率。

甲的工作量是全部工作量减去乙丙的工作量，所以甲的工作时间也可以求出来，即甲上午离开的时间也可以求出来。

2.甲的工作量=1-（+）×4=；

甲的工作效率为：1÷6=

所以甲的工作时间为：÷=（小时）

所以甲离开的时间是8时36分。

01盈亏问题

【含义】

根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。

【数量关系】

一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：

参加分配总量＝（盈＋亏）÷分配差如果两次都盈或都亏，则有：

参加分配总量＝（大盈－小盈）÷分配差参加分配总量＝（大亏－小亏）÷分配差

02解题思路和方法

大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例1：小明从家到学校，如果每分钟走50米，就要迟到3分钟；

如果每分钟走70米，则可提前5分钟到校，小明家到学校的路程是多少米？

解：

1.分析题意，类比“盈亏问题”，我们可以把“迟到3分钟”，转化为比计划路程少行50×3=150（米），把“提前5分钟”转化为比计划路程多行70×5=350（米）

这时题目被转化成了“一盈一亏”问题。

2.根据公式，求出原计划到校的时间：（350+150）÷（70-50）=25（分钟）。

3.所以小明家到学校的路程：50×（25+3）=1400（米），或者70×（25-5）=1400（米）。

例2：若干人擦玻璃窗，其中2人各擦4块，其余的人各擦5块，则余12块；

若每人擦6块，正好擦完。

擦玻璃窗的共有多少人，玻璃共有多少块？

解：

1.由题意可知，本题属于分配不均型的盈亏问题，需要将题目条件转化成一般盈亏问题。

“其中2人各擦4块，其余的人各擦5块，则余12块”可以转化为“每人擦5块，则余10块”。

2.这样就转化为了双盈问题，擦玻璃的有：

（10-0）÷（6-5）=10人，玻璃共有10×5+10=60块。

例3：动物园饲养员把一堆桃子分给一群猴子。如果每只猴子分10个桃子，则有两只猴子没有分到；

如果有两只猴子分8个桃子，其余猴子分9个，则还差3个桃子。

一共有多少只猴子？

解：

1.分析题意，题中有两种分配方式。

联系“盈亏问题”，我们可以把“两只猴子没有分到”理解为桃子的数量少

2×10=20（个），再把“有两只猴子分8个桃子，其余猴子分9个，则还差3个桃子”理解为每只猴子分9个，则还少（9-8）×2+3=5（个）。

2.这时把题目看成“双亏问题”，求出猴子的数量：（20-5）÷（9-8）=15（只）。

01百分数问题

【含义】

百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。

分数常常可以通分.约分，而百分数则无需；

分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只显“率”；

分数的分子.分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；

百分数有一个专门的记号“%”。

在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。

【数量关系】

掌握“百分数”.“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：

百分数＝比较量÷标准量标准量＝比较量÷百分数

02解题思路和方法

一般有三种基本类型：

（1）求一个数是另一个数的百分之几；

（2）已知一个数，求它的百分之几是多少；

（3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。

例1：在植树节里，某校六年级学生在校园内种树8棵，占全校植树数的20%，则该校在植树节里共植树多少棵？

解：

已知六年级学生的种树棵数以及所种棵数占全校植树数的比值，直接用除法运算即可。

所以：8÷20%=40（棵）

例2：商店新上架了一批连衣裙，第一天卖出总数的25%，第二天卖出45件，第三天卖出的是前两天卖出的总和的三分一，最后剩下20件，则商店原先进了多少件连衣裙？

解：

1.把这批连衣裙的总数看作单位“1”，已知第三天卖出的是前两天卖出的总和的三分之一，也就是第三天卖出了25%的和45的，由此可以求出与（45+45×+20）对应的分率。

2.根据已知一个数的几分之几或百分之几是多少，求这个数，用除法解答。

（45+45×+20）÷（1-25%-25%×）=120（件）

例3：一堆围棋子黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，白子占总数的40%；再拿走49枚黑棋子后，白子占总数的75%，则原来这堆棋子一共有多少枚？

解：

1.本题考察的是百分数应用题的相关知识，解决本题的关键是当一种棋子变化时，抓住另一种棋子的数量不变，统一不变量的份数，进而解决问题。

2.由条件可知，当拿走49枚黑子时，此时白子的数量没有变化，那么拿走49枚黑子前，黑子与白子的数量比为（1-40%）：40%=3：2=9：6，拿走49枚黑子后，黑子与白子的数量比为（1-75%）：75%=1：3=2：6，所以拿走的49枚黑子相当于9-2=7（份），故每一份是49÷7=7（枚）棋子

3.拿走49枚棋子之前，黑子有7×9=63（枚），白子有7×6=42（枚）。

4.再往前推，由“拿走15枚白棋子”可知，黑子的数量没有变化，所以原来黑子有63枚，白子有42+15=57（枚），那么原来这堆棋子一共有63+57=120（枚）棋子。

03知识补充

百分数又叫百分率，百分率在工农业生产中应用很广泛，常见的百分率有：

★ 增长率＝增长数÷原来基数×100%

★ 合格率＝合格产品数÷产品总数×100%

★ 出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%

★ 出勤率＝实际出勤天数÷应出勤天数×100%

★ 缺席率＝缺席人数÷实有总人数×100%

★ 发芽率＝发芽种子数÷试验种子总数×100%

★ 成活率＝成活棵数÷种植总棵数×100%

★ 出粉率＝面粉重量÷小麦重量×100%

★ 出油率＝油的重量÷油料重量×100%

★ 废品率＝废品数量÷全部产品数量×100%

★ 命中率＝命中次数÷总次数×100%

★ 烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%

方阵问题

【含义】

将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵）。

根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。

【数量关系】

（1）方阵每边人数与四周人数的关系：

四周人数 ＝（每边人数－1）×4

每边人数 ＝四周人数÷4＋1

（2）方阵总人数的求法：

实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数

空心方阵：总人数＝外每边的人数平方－内每边的人

数平方内每边人数＝外每边人数－层数×2

（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：

总人数＝（每边人数－层数）×层数×4

解题思路和方法

方阵问题有实心与空心两种。

实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。

例1：佳一学校参加运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少23人。

那么参加团体操表演的运动员一共有

多少人？

解：

1.要知道参加表演的运动员共有多少人，只需要找到最外层每边有多少人即可。

2.一个正方形队列，减去一行和一列，就是去掉了两条边上的人数，其中顶点上的人数计算了两次，所以减少的人数=每边的人数×2-1。

所以开始每边有（23+1）÷2=12（人），参加表演的有12×12=144（人）。

例2：欢欢用围棋子围成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子16枚，欢欢摆这个方阵共用了多少枚围棋子？

解法1：

1.本题考查的空心方阵，根据四周的枚数和每边上的枚数之间的关系，算出每一层的棋子数。

2.方阵每向里一层，每边的枚数就减少2枚。

知道最外一层每边放16枚，就可求出第二层及第三层每边枚数，知道各层每边的枚数，就可以求出各层的总数。

最外一层的棋子的枚数：（16-1）×4=60（枚），第二层棋子的枚数：（16-2-1）×4=52（枚），第三层棋子的枚数：（16-2-2-1×4=11×4=44（枚），摆这个方阵共用了60+52+44=156（枚）棋子。

解法2:

若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：

总人数＝（每边人数－层数）×层数×4。则：

（16-3）×3×4=156(枚)

例3：一个实心方阵由81人组成，这个方阵的最外层有

多少人？

解：

方阵的行数和列数相同，9×9=81，所以这是一个9行9列的方阵。

最外层人数与一边人数的关系：一边人数×4-4=一层人数。

所以最外层的人数是9×4-4=32(人)。

例4：明明在一个用棋子排成的实心方阵的下面和右面各多排一排棋子，一共用了23个棋子，这样排成了一个新方阵，他又把这个新方阵改排成一个4层的空心阵，这个方阵最外层每边有

多少个棋子？

解：

1.根据题意，排成的这个新方阵的每边棋子数是（23+1）÷2=12（个）,那么这个实心方阵的棋子总数是12×12=144（个）。

2.根据空心方阵中，每相邻的两层的棋子数相差8的关系，我们可以找出等量关系，列方程解决。

设最外层有x个棋子，则从外到内每层的棋子数分别是（x-8）个.（x-16）个.（x-24）个。

则：x+

x-8+x-16+x-24=144，x=48

所以这个方阵最外层每边有48÷4+1=13（个）棋子。

01牛吃草问题

【含义】

“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。

这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。

【数量关系】

草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数

02解题思路和方法

解这类题的关键是求出草每天的生长量。

例1：这是一片新鲜的牧场，现有400份草，每天都均匀地生长6份草。

若一开始放26头奶牛，每头奶牛每天吃1份草。

这片牧场的草够奶牛吃多少天？

解：

1.本题考查的是牛吃草的问题。

解决本题的关键是要求出每天新增加的草量，在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草。

2.由题目可知：原有的草量+新长的草量=总的草量。

奶牛除了要吃掉原有的草，也要吃掉新长的草。

原有的草量是不变的，每天新长的草量是匀速的，每天都长6份，每头奶牛每天吃1份，新长的草刚好够6头奶牛吃的量。

那么剩下的20头奶牛吃的就是原有的草，每天吃20份，400÷20=20（天），够吃20天。

例2：一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库。

5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。

若要求6天抽干，需要

多少台同样的抽水机？

解：

设每台抽水机每天可抽1份水。

5台抽水机20天抽水：5×20=100（份）

6台抽水机15天抽水：6×15=90（份）

每天入库的水量：（100-90）÷（20-15）=2（份）

原有的存水量：100-20×2=60（份）

需抽水机台数：60÷6+2=12（台）

答：要求6天抽干，需要12台同样的抽水机。

例3：某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。

从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。

如果同时打开7个检票口，那么需

多少分钟？

解：

1.本题考查的是牛吃草的问题，“旅客”相当于“草”，检票口相当于“牛”。

2.由题目可知，旅客总数由两部分组成：

一部分是开始检票前已经排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。

设1个检票口1分钟检票的人数为1份。

那么4个检票口30分钟检票4×30=120（份），5个检票口20分钟检票5×20=100（份），多花了10分钟多检了120-100=20（份）

那么每分钟新增顾客数量为：20÷10=2（份）。

那么原有顾客总量为：120-30×2=60（份）。

同时打开7个检票口，我们可以让2个检票口专门通过新来的顾客，其余的5个检票口通过原来的顾客，需要60÷5=12（分钟）。

01鸡兔同笼问题

【含义】

这是古典的算术问题。已知笼子里鸡.兔共有多少只头和多少只脚，求鸡.兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。

已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡.兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。

【数量关系】

第一鸡兔同笼问题：

✦ 假设全都是鸡，则有兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）

✦ 假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）

第二鸡兔同笼问题：

✦ 假设全是鸡，则有兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

✦ 假设全是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

02解题思路和方法

解此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。

如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；

如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。

这类问题也叫置换问题。

通过先假设，再置换，使问题得到解决。

例1：鸡和兔在一个笼子里，共有35个头，94只脚，那么鸡有多少只，兔有多少只？

假设笼子里全部都是鸡，每只鸡有2只脚，那么一共应该有35×2=70（只）脚，而实际有94只脚，这多出来的脚就是把兔子当作鸡多出来的，每只兔子比鸡多2只脚，一共多了94-70=24（只），则兔子有24÷2=12（只），那么鸡有35-12=23（只）。

例2：动物园里有鸵鸟和长颈鹿共70只，其中鸵鸟的脚比长颈鹿多80只，那么鸵鸟有多少只，长颈鹿有多少只？

解：

假设全部都是鸵鸟，则一共有70×2=140（只）脚，此时长颈鹿的脚数是0，鸵鸟脚比长颈鹿脚多140只，而实际上鸵鸟的脚比长颈鹿多80只。

因此鸵鸟脚与长颈鹿脚的差数多了140-80=60（只），这是因为把其中的长颈鹿换成了鸵鸟。

把每一只长颈鹿换成鸵鸟，鸵鸟的脚数将增加2只，长颈鹿的脚数减少4只，那么鸵鸟脚数与长颈鹿脚数的差就增加了6只，所以换成鸵鸟的长颈鹿有60÷6=10（只），鸵鸟有70-10=60（只）。

例3：李阿姨的农场里养了一批鸡和兔，共有144条腿，如果鸡数和兔数互换，那么共有腿156条。鸡和兔一共有多少只？

解：

根据题意可得：前后鸡的总只数=前后兔的总只数。

把1只鸡和1只兔子看做一组，共有6条腿。

前后鸡和兔的总腿数有144+156=300（条）

所以共有300÷6=50（组），也就是鸡和兔的总只数有50只。

例4：一次数学考试，只有20道题。做对一题加5分，做错一题倒扣3分（不做算错）。

乐乐这次考试得了84分，那么乐乐做对了多少道题？

解：

如果20题全部做对，应该得20×5=100（分），而实际得了84分，少了100-84=16（分）。

做错一题和做对一题之间，相差5+3=8（分），所以少了的16分，也就是做错了16÷8=2（题）。

一共20题，所以乐乐做对了20-2=18（题）。

01抽屉问题

【含义】

在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，如367个人中至少有两个人是同一天过生日，这类问题在生活中非常常见。

它所依据的理论，我们称之为“抽屉原理”。

抽屉原理又名狄利克雷原则，是符合某种条件的对象存在性问题有力工具。

【数量关系】

基本的抽屉原则是：

如果把n＋1个物体（也叫元素）放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）。

抽屉原则可以推广为：

如果有m个抽屉，元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么至少有一个抽屉要放（k＋1）个或更多的元素。

02

解题思路和方法

目前,处理抽屉原理问题最基本和常用的方法是运用“最不利原则”,构造“最不利”“点最背”的情形。

例1：不透明的箱子中有红.黄.蓝.绿四种颜色的球各20个，一次至少摸出多少个球才能保证摸出两个相同颜色的球？

解：

解决这个问题要考虑最不利的情况，因为有4种颜色，想要摸出两个相同颜色的球。

那么最不利的情况就是，每种颜色的各摸出一个，这时再摸一个球，一定与前几个球有颜色相同的。

因此至少要摸4+1=5(个)球。

例2：袋子中有2个红球，3个黄球，4个蓝球，5个绿球，一次至少摸出多少个球就能保证摸到两种颜色的球？

解：

解决这个问题要考虑最不利情况，想要摸出两种颜色的球。

最不利的情况应该是将一种颜色的球都拿出来时，不论接下来摸的球是什么颜色都与之前颜色不同。

因为4种球的个数各不相同。

所以最不利的情况应该是先将个数最多的球都拿出来，接下来摸的球都一定与之前颜色不同。

因此至少摸出5+1=6(个)球

例3：一次数学竞赛共5道选择题，评分标准为：基础分5分，答对一题得3分，答错扣1分，不答不得分。

要保证至少有4人得分相同，最少需要多少人参加竞赛？

解：

1.本题考察的是抽屉原理的相关知识，解决本题的关键是要知道得分一共有多少种不同的情况。

进而从最坏的情况开始考虑解决问题。

2.一共有5题，且有5分的基础分，那么每道题就有1分的基础分。

也就相当于答对一题得4分，答错不得分，不答得1分。

这次数学竞赛的得分情况有以下几种：

5题全对的只有1种情况：得20分；

对4题的有2种情况：1题答错得16分，1题没答得17分；

对3题的有3种情况：2题全错得12分，只错1题得13分，2题不做得14分；

对2题的有4种情况：3题全错得8分，只错2题得9分，只错1题得10分；3题全不答得11分；

对1题的有5种情况：4题全错得4分，只错3题得5分，只错2题得6分，只错1题得7分，4题全不答得8分；

答对0题有6

种情况：5题全错得0分；错4题得1分，错3题得2分，错2题得3分，错1题得4分，5题全不答得5分。

我们发现从0分到20分，只有19分.18分.15分这三个分数没有，其它都有。

所以一共有20+1-3=18（种）不同的得分，要保证有四人得分相同。

最少需要18×3+1

=

55（人）参加竞赛。

01浓度问题【含义】

在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。

这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）.溶质.溶液.浓度这几个量的关系。

例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。

溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。

【数量关系】

溶液＝溶剂＋溶质浓度＝溶质÷溶液×100%

02解题思路和方法

找出不变量，简单题目直接利用公式，复杂题目变通后再利用公式。

例1：要将浓度为25％的酒精溶液1020克，配制成浓度为17％的酒精溶液，需加水多少克？

解：

1.根据题意可知，配制前后酒精溶液的质量和浓度发生了改变，但纯酒精的质量并没有发生改变。

2.纯酒精的质量：1020×25%=255（克），占配制后酒精溶液质量的17%。

所以配制后酒精溶液的质量：255÷17%=1500（克）。

加入的水的质量：1500-1020=480（克）。

例2：有浓度为30%的盐水溶液若干，添加了一定数量的水后稀释成浓度为24%的盐水溶液。

如果再加入同样多的水，那么盐水溶液的浓度变为多少？

解：

1.分析题意，假设浓度为30%的盐水溶液有100克，则100克溶液中有100×30%=30（克）的盐，加入水后，盐占盐水的24%。

此时盐水的质量为：30÷24%=125（克），加入的水的质量为：125-100=25（克）。

2.再加入相同多的水后，盐水溶液的浓度为：30÷（125+25）=20%。

例3：两个杯中分别装有浓度为45%与15%的盐水，倒在一起后混合盐水的浓度为35%。

若再加入300克浓度为20%的盐水，则变成浓度为30%的盐水，则原来浓度为45%的盐水有多少克？

解：

1.本题考察的是浓度和配比问题的相关知识。

解决本题的关键是先求出原溶液与混合后的溶液浓度差的比。

从而求出所需溶液质量的比，并解决问题。

2.根据题意可知，浓度为35%的盐水和浓度为20%的盐水混合成浓度为30%的盐水，因为浓度为35%的盐水比混合后的浓度多35%-30%=5%，浓度为20%的盐水比混合后的浓度少30%-20%=10%，5%：10%=1:2，即混合时，2份浓度为35%的盐水才能补1份浓度为20%的盐水。

故浓度为35%的盐水与浓度为20%的盐水所需质量比为2:1

所以浓度为35%的盐水一共300÷1×2=600（克）。

3.同理，浓度为45%和15%的盐水溶液与混合后浓度为35%的盐水溶液差的比为（45%-35%）:（35%-15%）=1:2，那么浓度为45%和15%的盐水溶液所需要的质量比为2:1，即2份浓度为45%的盐水才能补上1份浓度为15%的盐水。

故原来浓度为45%的盐水有600÷（1+2）×2=400（克）。

01利润问题【含义】

这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本.利润.利润率和亏损.亏损率等方面的问题。

【数量关系】

利润＝售价－进货价利润率

＝（售价－进货价）÷进货价×100%售价

＝进货价×（1＋利润率）亏损

＝进货价－售价亏损率

＝（进货价－售价）÷进货价×100%

02解题思路和方法

简单题目直接利用公式，复杂题目变通后再利用公式。

例1：某服装店从韩国代购100件羽绒服，每件进价300元，另外还需要付10元/件的代购费和200元的国际快递费。

该服装店要想每件羽绒服获得75%的利润率，则每件定价为多少元？

解：

由题意可知，每件羽绒服实际总成本包括每件羽绒服的进价.代购费和运费，总成本为300+10+200÷100=312（元），要想每件获得75%的利润，那么每件定价应该是成本的1+75%=175%，故每件定价为312×175%=546（元）。

例2：一件上衣打七折后的售价是140元，老板说：“如果这件上衣打对折就不赚也不亏”。

这件上衣成本是多少元？

解：

1.本题关键是理解打折的含义，打几折后现价就是原价的百分之几十，打对折就是指现价是原价的50%。

2.打七折是指现价是原价的70%，若把原价看成单位“1”，它的70%对应的数量是140元，所以原价是140÷70%=200（元）。

打对折是指打折后的价格是原价的50%，再用原价乘50%就是这件上衣的成本价。

7.初中数学应用题教学 篇七

(一) 应用题解题让学生明确目标, 理清思路

应用题可以让学生学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会, 去解决日常生活中和其他学科学习中的问题, 增强应用数学的意识;体会数学与自然及人类社会的密切联系, 了解数学价值, 增进对数学的理解和学好数学的信心;具备初步的创新精神和实践能力, 在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展。

(二) 应用题解题让学生自主探究, 提高解决问题的能力

在应用题解题过程中, 教师要引导学生投入到学习与探究活动中, 在独立思考的基础上, 使学生的形象思维明确化, 有助于他们分析数量关系, 提高解答问题的能力。

二、如何进行应用题教学

(一) 创设生活化情景

有些数学应用题单凭字面理解十分抽象, 只凭口头讲解很难解释清楚, 如果创设一些学生熟悉的有利于数学思维的问题情景, 则可以起到事半功倍的效果。一个好的生活情景能激发强烈的问题意识, 有利于引发学生的探究欲望, 从而培养创新意识。这就要求教师选择的应用题的素材必须是学生熟悉的, 或者是学生在生活中感受过的, 因为这些问题与他们的生活世界密切相关, 也更容易理解。

(二) 加强基础训练

在教学中, 应用题解题要与学生的实际能力相吻合, 不可随意拔高, 也不能随意加重学生的学习负担, 要引导学生在学中用, 在用中学。在教学中, 教师要注意学生的实际情况, 根据他们的认知特点来安排平时的练习, 同时在练习的过程中要注意练习题目的可行性、实际性。教学经验表明:学生的学习贵在平时。如果平时没有注意基础练习, 而突然让学生来做难度较大的题目那可真是强人所难。

(三) 帮助学生养成良好的审题习惯

应用题一般都是由一些汉字书面的表达组成, 如果审题不明, 则无法正确解题。审题就要读题, 读题必须认真、仔细, 通过边读边想掌握题中讲的是什么事情, 经过怎样, 这就是我们常说的应用题的条件。结果怎样, 则是所讲的问题。要想弄清楚题中给定的条件是什么, 要求的问题是什么, 学生在读题达到一定的标准后, 就应思考题目中的已知条件和问题该如何表述, 在这个过程中, 教师要留给学生充分思考的余地, 使学生主动而积极地产生遐想, 引发思维的火花, 为学生提供独立思考的机会, 切忌以教师的说教来代替学生的思维, 力求实现“不同的人在数学上得到不同的发展”。

(四) 提炼思想方法, 优化解题过程

数学思想方法是数学内容的精髓, 是数学教学的灵魂。它渗透于数学教学的各个环节及问题解答过程的始终。教师有意识地引导学生感悟数学思想方法在解题过程中的应用, 并加以提炼, 使学生形成独特的解题技能。久而久之, 学生就能够快而准确地找到解一类新问题的路径。同时, 学生还能体验到解题思维的严谨性、条理性及其书写格式的规范性, 使学生知识的储备、解题技能的提炼、解题策略的类化得到优化。一位数学家说过:“学习数学, 要多做练习, 边做边思考, 先知其然, 然后弄清所以为然。”如果解完题后就以为大功告成, 不再进行思考, 这样的解题不会有太大的收获, 这也可能是一部分学生学不好数学的重要原因之一。因此, 教师不但要教学生学会解题, 还要培养学生解题后再思考的良好习惯, 以求在解题过程中得到多方面的启示, 提高解题效率。

(五) 注重学生能力的培养

1. 注重运算能力的培养

应用性的问题接近于生产、生活实际, 但大多数学生却害怕应用性问题的运算。怕复杂、怕繁琐等心理是导致失败的又一道坎。有的教师碰到运算往往直截了当地给出答案, 这也是造成学生运算能力差的根源之一, 这样的做法直接助长了学生的懒惰心理, 造成了学生思维的断层。因此, 教师在教学中应当不断地提高学生合理运用运算技巧、运算方法的能力, 使学生的运算思维达到一个高境界的层面, 从而树立起学生顽强的运算毅力和学习毅力。

2. 注重学生反思能力的培养

在应用题解题教学中, 教师要引导学生在求得答案后, 检验是否与实际意义相符, 是否还可以有其它解法。同时, 教师还要引导学生对自己解决问题的过程进行总结、评价与反思, 积累解题的经验与方法, 养成反思的习惯。

3. 注重学生举一反三能力的培养

应用题虽然题目很多, 但是内容也仅仅就是那几种。因此, 要想让学生完全掌握, 教师就要注重对学生举一反三能力的培养, 让学生通过一个题能了解更多的知识, 掌握更多的解题方法, 这样才能达到教学目的。

4. 注重学生运用能力的培养

解应用题就是为了将数学知识应用到生活中, 有一个衔接点, 因此在应用题教学中, 教师一定要注重对学生运用能力的培养。

在新一轮课程改革顺利实施的今天, 在强调学生各方面能力普遍提升的今天, 如何更好地培养学生运用数学知识解决应用题的能力显得尤为重要, 因此, 作为数学教师, 我们应依据学科教学和应用题教学的特点, 不断探索新的教学模式, 提升学生的解题能力。

摘要：初中数学应用题教学一直困扰着许多辛苦耕耘的一线数学教师。学生也普遍反映初中应用题灵活多样、联系广泛, 思路较难把握。但是, 提高应用题的解题能力不是一蹴而就的事情, 它需要教师施以有效的方法和学生点滴的积累。因此, 本文中笔者从应用题教学的重要性入手, 就如何进行应用题教学进行了具体的探究, 以期为广大同仁提供一些参考。

关键词：数学,应用题,策略

参考文献

[1].殷新毅.初中数学应用题教学方法分析[J].中学时代, 2012 (14) .

[2].郑良.新课程背景下初中数学应用题教学策略探析[J].数学大世界 (教师适用) , 2011 (05) .

[3].苏琳.浅谈初中数学应用题教学[J].中学生数理化 (高中版·学研版) , 2011 (05) .

8.数学应用题教学感悟 篇八

本人在应用题教学中采用以下分析方法，取得了较好的效果。与大家共同分享一下。

一、图解分析法

这实际是一种模拟法，具有很强的直观性和针对性，数学教学中运用得非常普遍。如工程问题、速度问题、调配问题等，多采用画图进行分析，通过图解，帮助学生理解题意，从而根据题目内容，设出未知数，列出方程解之。

例：长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地，公路运价为1.5元/（吨.千米），铁路运价为1.2元/（吨.千米），且这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元。这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？

分析：销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关。设产品重x吨，原料重y吨。根据题中数量关系填写下表。

由上表，列方程组

1.5×（20x+10y）=15000

1.2×（110x+120y）=97200

解这个方程组得：

x=300

y=400

所以，

8000x—1000y—（15000+97200）=1887800

因此，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800 元。

二、亲身体验法

如讲逆水行船与顺水行船问题。有很多学生都没有坐过船，对顺水行船、逆水行船、水流的速度，学生难以弄清。为了讓学生明白，我举骑自行车为例（因为大多数学生会骑自行车），学生有亲身体验，顺风骑车觉得很轻松，逆风骑车觉得很困难，这是风速的影响。并同时讲清，行船与骑车是一回事，所产生影响的不同因素一个是水流速，一个是风速。这样讲，学生就好理解。

同时讲清：顺水行船的速度，等于船在静水中的速度加上水流的速度；逆水行船的速度，等于船在静水中的速度减去水流的速度。

三、直观分析法

如浓度问题，首先，要讲清百分浓度的含义，同时讲清百分浓度的计算方法。（浓度= 溶液=溶质+溶剂）。其次，重要的是上课前要准备几个杯子，称好一定重量的水，和几小包盐进教室，以便讲例题用。

如：一杯含盐15%的盐水200克，要使盐水含盐20%，应加盐多少呢？

分析这个例题时，教师先当着学生的面配制15%的盐水200克（学生知道其中有盐30克），现要将15%的盐水200克配制成20%的盐水，老师要加入盐，但不知加入多少重量的盐，只知道盐的重量发生了变化。即设应加盐为x克，则（200+x）×20%—200×15%=x解此方程，便得后加盐的重量。

初一年级提高了学生的分析能力，打好基础，在以后的学习中就会事半功倍了。从实际问题中选取素材，并通过实际问题考查学生的应用意识和实践能力，是数学教育改革的一个重要方面，增加应用性问题试题的分量将是今后中考数学命题的一个新趋势。因此在平时的教学中十分重视这方面的研究和训练，提高学生解决应用题的能力。

要更新观念，解放思想。以往解应用题都局限于列方程（组）解应用题和常规应用题的解答上。教师在平时的应用题教学中要打破常规，改变以往应用题的归类复习，把上述各题型的应用题混合在一起让学生自己分析、讨论，并加以区别。提高学生自己分析问题和解决问题的能力。

重视学生的阅读理解能力的训练和培养。解决有关应用性问题时。关键是弄清题意，找出题中的数量关系。近几年来一些应用题都是新编题，背景新颖，文字内容较长，解答这类应用性问题需要一定的阅读能力。通过对题意阅读、分析、理解从而把实际问题转化为数学问题。

说了那么多，其实最重要的是在应用题的教学中提高学生对学习数学的兴趣。兴趣是动力的源泉。其实大多数的数学知识在现实生活中是用不上的。但很多应用题却与我们的生活息息相关。