高中数学平面向量免费

高中数学平面向量免费（通用11篇）

1.高中数学平面向量免费 篇一

目的：

通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。

过程：

一、复习：

1.实数与向量的积(强调：“模”与“方向”两点)

2.三个运算定律(结合律，第一分配律，第二分配律)

3.向量共线的充要条件

4.平面向量的基本定理(定理的本身及其实质)

二、例题

1.当λZ时，验证：λ(+)=λ+λ

证：当λ=0时，左边=0(+)=右边=0+0=分配律成立

当λ为正整数时，令λ=n,则有：

n(+)=(+)+(+)+…+(+)

=++…+++++…+=n+n

即λ为正整数时，分配律成立

当为负整数时，令λ=n(n为正整数)，有：

n(+)=n[(+)]=n[+()]=n()+n()=n+(n)=nn

分配律仍成立

综上所述，当λ为整数时，λ(+)=λ+λ恒成立。

2.1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态(如图)，已知两细绳与水平线分别成30,60角，问两细绳各受到多大的力?

解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90

1(kg)P1OP=60P2OP=30

∴cos60=1=0.5(kg)

cos30=1=0.87(kg)

即两根细绳上承受的拉力分别为0.5kg和0.87kg。

2.高中数学平面向量免费 篇二

在高三复习教学的过程中,教师应站在新的高度把握向量的教学,这就要求教师应熟悉高考考试要求.《高考数学科考试说明》对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次( 在下表中分别用A,B,C表示) ,其中:

了解: 要求对所列知识的含义有最基本的认识,并能解决相关的简单问题;

理解: 要求对所列知识有较深刻的认识,并能解决有一定综合性的问题;

掌握: 要求系统地掌握知识的内在联系,并能解决综合性较强的或较为困难的问题.

下表是平面向量的考查要求:

从表中可以看出,教师在高三复习教学时没有必要盲目挖深,当然也不能要求过低. 而应根据学生的能力水平,以教科书为基础,紧扣考试说明,精心选题,以达到良好的教学效果,下面以具体的实例进行说明.

例1如图,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域内 ( 不含边界) 运动,且则x的取值范围是 ; 当时,y的取值范围是 .

解由向量加法的平行四边形法则,OP为平行四边形的对角线,该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边,∴x的取值范围是( - ∞ ,0) .

当时,要使P点落在指定区域内,即P点应落在线段DE( 不含端点) 上,,∴y的取值范围是

评析本题以平面向量基本定理为背景主要考查了平面向量的加法运算,本题的难点是要求学生能够理清平面中点P与平面的一组基底→OA,→OB的相对位置关系,需要学生有一定的分析和综合能力.

例2如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD = DC =1,AB = 3,动点P在△BCD内运动( 含边界) ,设,则α + β的取值范围是 .

解以A为原点,AB为x轴,AD为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设P( x,y) ,则( x,y) = α( 3,0) + β( 0,1) ,∴

,即Z表示直线的纵截距.

∵B( 3,0) ,D( 0,1) ,C( 1,1) ,∴DB的方程为BC的方程为x + 2y - 3 = 0.

根据图像,可得在DB边取得最小值1,在点C处取得最大值,∴α + β的取值范围是

评析平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言———“坐标语言”,其实质是“形”转化为“数”. 解决平面向量坐标运算的关键是熟练掌握坐标运算的法则,并注意向量运算的几何意义,其本质是根据相等的向量坐标相同这一原理解题. 本题将向量与不等式( 线性规划) 巧妙地结合在一起,这就提醒一线教师在复习巩固相关的平面向量知识时,既要注重回顾和梳理基础知识,又要注意平面向量与其他知识的综合运用,渗透用向量解决问题的思想方法,从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力,站在新的高度来认识和理解向量.

3.高中数学平面向量免费 篇三

【关键词】高中数学 平面向量 问题分析

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）29-0177-01

使用向量的定义来处理数学问题，因为向量具有代数形式和几何形式的两种身份，这便是使得它成为了多项数学内容的连接中心。所有在高中数学教材中引进向量已经势在必行，而且向量的应用在很多方面都引起了数学专家的思考。改革后的数学课程以简洁为主，简化教学内容，提升数学教学效率，加强数学各部分之间的联系和知识的综合应用，将几何、代数等教学内容进行综合编制。将向量引入到高中数学教材中，增强了各部分内容之间的联系，使得高中的数学知识和大学的数学知识衔接更为紧密了。

1 平面向量的学习内容和特点

1.1 平面向量的定义

在二维平面内能同时体现方向和大小的量为平面向量，在物理学科中将这种量称之为矢量，将只有大小而没有方面的物理量称之为标量，也就是数量。平面向量的表示方式一般是在英文字母a，b，c上面添加一个箭头，这种表示方式不但可以表示向量有向线段的起点，还能表示有向线段的终点。由此可以引出一些新的概念，例如平行向量、有向线段、单位向量等名词。对于平面向量的学习应该从物理学的立场出发，通过物理学中的学习经验来形成一个物理问题情景。

1.2 平面向量的基本定律

规定 是同一平面内两条不共线的向量，那么这个平面内任意向量则为 ，而且只有一对有效实数 ，那么任意向量的计算公式则为 。我们将 称之为这个平面中所有向量的基底。

1.3 平面向量的特点

基础知识是向量的基本特点，同时它也是一种方法和工具相结合的数学知识。向量的运算体系非常具有优势，它所提供的坐标法、向量法等都成为了研究高中数学的主要手段。向量的运算体系解决了几何中长度、角度的计算，线段平行、垂直的证明，正余弦定律的导出。这些例子都充分体现了数学中数形结合的思想。

向量中“数”和“形”同时都有，是数学数形结合的媒介。在介绍向量概念的时候，教材中使用了几何图形，而在解答几何问题时，又使用了向量知识，这些都体现了数形结合的理论思想。

几何代数化、形式化除了可以使用函数，还可以通过向量的方式。向量是现在数学中重要的数学概念，同时它也是联系代数、三角、几何的工具。新高中数学教材引入向量，充分体现了新课程理念。它的引入将几何与代数的关系变得更加紧密了，维度之间的过渡显得十分顺畅。向量是一种数学知识，更是一种解决数学问题的方法。

向量的概念是从生活实践中引出来的，而且它也是解决工程技术和物理学等问题的主要工具。教材中十分看中理论与实际的结合，尤其是应用，比如物理学中通过位移、加速度、速度等概念引入了向量的概念，又从物体做功引入了向量数量积的概念。对于向量应用的例子生活中随处可以，例如速度的分解与合成、工程技术中的曲柄连杆结构问题等。课本每章都安排了实习作业，最引人注意的是，教材在向量这章结束的时候还安排了一个研究性作业——向量在物理学中应用，然后利用数学模型来解释生活中出现的与向量有关的物理问题。

2 解答平面向量的综合问题

在数学学习过程中，平面向量一般会和其他内容联系起来，这种问题在考试中经常会遇到。若是学生对平面向量概念的理解不透彻，或是没有搞明白与其联系的内容，在做题过程中很容易陷入困境。数学中平面向量一般与以下几个方面的内容综合使用。

2.1 平面向量与平面解析几何的综合

平面向量自身就具有数形结合的特点，所以将平面向量和解析几何联系起来也非常常见，学生也经常在考试过程中遇到此類综合性的题目。学生在遇到这类问题时，要使用数形结合的思想解题，这样的话在综合问题上才不会陷入困境，比如已知在平面直角坐标系上有两个点，计算这两个点之间的距离。解这个问题的关键在于求解一个平面内两个点对应平面向量的长度。又或者对一条线段进行分析，求解线段中按照比例分段点的坐标。根据平面向量的性质，求出线段与分段点之间的坐标，对这两个坐标进行计算即可。需要注意的是，在计算平面向量乘积的时候，必须要考虑到向量之间的夹角。在平面几何计算中，一般都是使用这个方法，解答相对应的问题。

2.2 平面向量和三角函数的综合

以直角三角形为基础形成的新函数是三角函数，其中主要包含余弦函数、正切函数、正弦函数等，三角函数一般用来计算平面向量的数量积问题。例如两个平面向量的乘积，是由两个向量的大小和它们之间角度的余弦值相乘而求得。在高中数学学习中，学生总是会遇到这个利用平面向量解决三角函数的题目。再例如使用平面向量的运算方式将平面向量问题转变为三角函数问题，以此来分析三角函数的特点和性质。有些数学题目，学校需要使用三角函数的概念来解决三角形问题，这时也可以利用平面向量的概念，对正余弦定律巧妙使用，对边角进行互换，解决与三角形面积、角度、长度的问题。解决平面向量和三角函数综合问题的关键是学生必须明确向量数量积和三角函数知识之间的联系。

2.3 平面向量和函数的综合

在函数学习中，学生经常会遇到函数图象平移题目，例如指数函数中线段的平移。学习平面向量其实就是在学习点平移的向量，所以在遇到这个函数图象平移问题时，可以将其看作是平面向量中的点进行平移。再例如已知X与Y之间的关系，求出函数中X或Y的最大值和最小值。解答这类问题可以将Z看作平面向量，然后对其计算，利用函数之间的联系简化运算式，最后分析题目中X和Y在什么情况下函数值最小或是最大，进而的出计算结果。学生在遇到平面向量和函数的综合性题目时，学生一定要学会在平面向量特点的基础上转化成为函数式。

3 结束语

总而言之，平面向量知识在学习过程中经常会与其他数学内容联系在一起，这是由于平面向量自身的特点。平面向量具有数形结合的特点，可以解决与解析几何相关的数学题目。

参考文献：

[1]胡小平，任全红.平面向量在高等数学领域中的应用初探[J].绵阳师范学院学报，2007，（02）：15-20

[2]傅拥军.渗透平面向量构建知识网络[J].金华职业技术学院学报，2005，（03）：50-53

4.高中数学平面向量免费 篇四

1、知道平面向量数量积的定义的产生过程，掌握其定义，了解其几何意义;

2、能够由定义探究平面向量数量积的重要性质;

3、能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直、共线关系

(二)过程与方法目标

(1)通过物理学中同学们已经学习过的功的概念引导学生探究出数量积的定义并由定义探究性质;

(2)由功的物理意义导出数量积的几何意义;

(三)情感、态度与价值观目标

通过本节的自主性学习，让学生尝试数学研究的过程，培养学生发现、提出、解决数学问题的能力，有助于发展学生的创新意识。

三、学习者特征分析 学生已经学习了有关向量的基本概念和基础知识，同时也已经具备一定的自学能力，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。但在探究问题的能力、合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强。 四、教学策略选择与设计 教法：观察法、讨论法、比较法、归纳法、启发引导法。

学法：自主探究、合作交流、归纳总结。

教师与学生互动：学生自主探究，教师引导点拨。 五、教学环境及资源准备 三角尺 六、教学过程 教学过程 教师活动 学生活动 设计意图及资源准备

创设情景引入新课

问题1 在物理学中，我们学过功的概念，如果给出力的大小和位移的大小能否求出功的大小? 师】：提出学生已学过的问题设置疑问，激发学生兴趣。

【生】：W=FS cos 让学生复习已学过的物理知识激发学生兴趣，并能够分析此公式的形式。 问题2 在上述公式中的 角是谁与谁的夹角?两向量的夹角是如何定义的? 【师】：提问 角从而引出两向量夹角的定义。

【生】：指出 角是力与所发生的位移的夹角 能够通过物理学中功的概念及公式中夹角的定义，从而给出两向量夹角的定义。

师生互动探索新知

1 引出两个向量的夹角的定义

定义：向量夹角的定义：设两个非零向量a=OA与b=OB，称∠AOB= 为向量a与b的夹角， (00≤θ≤1800)。

(此概念可由老师用定义的方式向学生直接接示)

【师】：给出任意两个向量由学生作出夹角并通过作图引导学生归纳、总结出两向量夹角的特征及各种特殊情况。

【生】：学生作图，任意两向量的夹角包括垂直，同向及反向的情况。

注：(1)当非零向量a与b同方向时，θ=00

(2)当a与b反方向时θ=1800 (共线或平行时)

(3)0与其它非零向量不谈夹角问题

(4)a⊥b时θ=900

(5)求两向量夹角须将两个向量平移至公共起点

实际应用巩固新知

1 实际问题我能行

5.高中数学平面向量免费 篇五

要点透视：

1．正弦定理有以下几种变形，解题时要灵活运用其变形公式．

（1）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；

abc（2）sinA＝，sinB＝，sinC＝： 2R2R2R

（3）sinA：sinB：sinC＝a：b：c．

可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形中的边角关系转化，如常把a，b，c换成2Rsin A，2Rsin B，2Rsin C来解题．

2．判断三角形的形状特征，必须从研究三角形的边与边关系，或角与角的关系入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行边角转化，由三角形的边或角的代数运算或三角运算，找出边与边或角与角的关系，从而作出正确判断．

3．要注意利用△ABC中 A＋B＋C＝π，以及由此推得的一些基本关系式

BCAsin(B＋C)＝sinA，cos(B＋C)=－sinA，sin＝cos等，进行三角变换的运2

2用．

4．应用解三角形知识解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的三角形，它的哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，应选用正弦定理还是余弦定理进行求解．

5．应用解三角形知识解实际问题的解题步骤：

（1）根据题意画出示意图．

（2）确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的已知元和末知元．

（3）选用正、余弦定理进行求解，并注意运算的正确性．

（4）给出答案．

活题精析：

例1．(2001年全国卷)已知圆内接四边形ABCD的边长是AB＝2，BC＝6，CD=DA＝4，求四边形ABCD的面积．

要点精析：本题主要考查三角函数的基础知识，以及应用三角形面积公式和余弦定理解三角形的方法，考查应用数学知识分析、解决实际问题的能力．

解：如图所示，连BD，四边形ABCD的面积

11S=SABDSCDB=AB·AD·sinA+BC·CDsinC，2

21∵ A＋C=180°，∴ sin A= sin C，于是 S=(2×4＋4×6)·sin A=16sin A． 2

222在△ABD中，BD=AB＋AD－2AB·ADcosA＝20－16cosA．

在△CBD中，BD2＝CD2＋BC2－2CD·BCcosC＝52－48cosC．

213又cosA=－cosC, cosA=－, ∵ A∈(0, π), ∴ A=π, sinA=.232

3∴ S=16×=8.2

例2．（2004春北京卷）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对

边长，已知a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，求∠A的大小及bsinB的c值。

要点精析：（1）∵ a，b，c成等差数列，∴ b2=ac．

又a2－c2=ac－bc，∴ b2＋c2－a2＝bc，在△ABC中，由余弦定理得

b2c2a21cosA==．∴ A=60°； 22bc

bsinA（2）解法1：在△ABC中，由正弦定理得sinB=，a

bsinBb2sin6032∵ b=ac，∠A=60°，∴ ==sn60=． cca2

11解法2.在△ABC中，由面积公式得bcsinA=acsinB，∵ b2=ac，22

bsinB3∠A＝60°，∴ bcsinA＝b2 sinB，∴ ＝sinA＝.c2

例3．（2001年上海卷）已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，S是△ABC的面积，若a＝4，b＝5，S＝5，求c的长度．

13要点精析：∵ S=absinC，∴sinc=，于是∠C=60°或∠C=120°． 22

又∵ c2＝a2+b2－2abcosC，当∠C=60°时，c2＝a2＋b2－ab，c

当∠C=120°时，c2=a2＋b2＋ab，c，∴ c

.练习题

一、选择题

tanAa

21．在△ABC中，若，则△ABC是（）tanBb2

A．等腰（非直角）三角形B．直角（非等腰）三角形

C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形

ABab2．在△ABC中，tan，则三角形中（）2ab

A．a＝b且c>2aB．c2=a2＋b2且a≠b

2cD．a=b或c2=a2+b2

3．为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是（）

33A．20(1+)mB．20(1+)m 32

C．20(1+)mD．30m

4．设α，β是钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是（）

1A．tanαtanβ<1B．sinβ<2C．cosβ>1D．tan(α+β)

5．已知锐角三角形的三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是（）C．a=b=

A．1

C．0

56．△ABC的三边分别为 2m＋3，m2＋2m，m2＋3m＋3（m＞0），则最大内角的度数为（）

A．150°B．120°C．90°D．135°

二、填空题：

abc7．在△ABC中，已知A=60°，b=1，S△ABC=3，则 sinAsinBsinC

1138．△ABC的三边满足：，则∠B＝ abbcabc

4129．在△ABC中，已知sinA=，sinB=，则sinC的值是.51

310．在△ABC中，BC边上的中线长是ma，用三边a，b，c表示ma，其公式是.三、解答题

11．设a，b，c是△ABC中A，B，C的对边，当m>0时，关于x的方程b(x2＋m)＋c(x2－m)－

ax=0有两个相等实根，且sinCcosA－cosCsinA=0，试判断△ABC的形状。

12．已知⊙O的半径为R，若它的内接三角形ABC中，等式2R(sin2A－sin2C)=(2a－b)sinB成立，（1）求∠C的大小；

（2）求△ABC的面积S的最大值．

13．在△ABC中，∠C＝60°，BC＝a，AC＝b，a＋b＝16．

（1）试写出△ABC的面积S与边长a的函数关系式；

（2）当a等于多少时，S有最大值并求出最大值；

（3）当a等于多少时，周长l有最小值并未出最小值．

14．在△ABC中，已知面积S＝a2－(b－c)2，且b＋c=8，求S的最大值．

CCCC15．在△ABC中，m(cos,sin)，n(cos,sin)，且m与n的夹角是． 22222

（1）求C；

6.高中数学平面向量免费 篇六

教材：余弦定理

目的：要求学生掌握余弦定理及其证明，并能应用余弦定理解斜三角形。过程：

一、复习正弦定理及正弦定理能够解决的两类问题。提出问题：1．已知两边和它们的夹角能否解三角形？

2．在Rt△ABC中(若C=90)有：c2a2b2在斜三角形中一边的平

方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？

二、提出课题：余弦定理1．余弦定理的向量证明：设△ABC三边长分别为a, b, c b

AC=AB+BC

A

B

•=(+)•(+)=2+2•+

2=| |2+2||•||cos(180-B)+||2=c22accosBa2

即：b2a2c22accosB

同理可得：a2b2c22bccosAc2a2b22abcosC

2．语言叙述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它

们夹角的余弦的积的两倍。

3．强调几个问题：1熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等2知三求一

3当夹角为90时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）

4变形：cosAb2c2a2a2c2b2a2b2c2

2bccosB2accosC2ac

三、余弦定理的应用

能解决的问题：1．已知三边求角

2．已知三边和它们的夹角求第三边

例

一、(P130例4)在△ABC中，已知a=7, b=10, c=6求A,B,C（精确到期1）解略

例

二、(P131例5)在△ABC中，已知a=2.730, b=3.696, C=8228’解这个三角

形（边长保留四个有效数字，角度精确到期1’）解略

例

三、设a=(x=(x1, y1)b2, y2)a

与b的夹角为（0≤≤），求证：

x+ ya||b

121y2=||cos

证：如图：设a, b

起点在原点，终点为A，B

A

则A=(x=ba

1, y1)B=(x2, y2)在△ABC中，由余弦定理 B

a

|ba|2=|a|2+|b|22|a||b

| cos

b

O

∵|ba|2

=|AB|2=|(x2-x1, y2-y1)|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2 |a|2=xb12+y12

||2= x22+y22 ∴(x2-x1)2

+(y2-y1)

= x2+ x

12+y122+y222|a

||b

| cos

∴xy

1x2+ y12=|a||b|cos即有a•b= x1x2+ y1y2=|a||b|cos

四、小结：余弦定理及其应用

五、作业：P131练习P132习题5.9余下部分

7.高中数学平面向量免费 篇七

一、利用向量知识特性, 创设问题情境, 培养学生自主学习能力。

数学是生活的艺术, 是现实问题或现象的精确反映。我们在任何学科知识内容中都可以找寻到现实生活问题或现象的影子。学生作为教学活动的重要因素, 是整个学习活动的主人。高中生与初中生相比, 自觉性和自制性都有了一定, 但由于他们易受外界现象和观念的影响, 其学习的自主性也削弱了。爱因斯坦说过:“兴趣是最好的老师。”当代著名教育学家刘思明也曾经提出“快乐学习”的教育理念。因此, 教师在平面向量知识教学中, 就可以抓住学生心理发展规律, 根据平面向量的知识特性, 设置出贴近学生生活的问题情境, 激发学生的求知欲, 促进学生学习自觉性和主动性的良好形成。如在“向量的概念及表示”教学中, 我在新课导入时, 向学生设置了如下的生活情境:“如图1所示, 湖面上有三个点, 一艘旅艇将游客从景点1送到景点2, 半小时后, 游艇再将游客送到景点3。从景点1到景点2有一个位移, 从景点2到景点3也有一个位移。”接下来我向学生提出问题:“在上述的问题情境中, 蕴含着什么数学知识?如何用数学语言来表达?”在这一教学过程中, 学生学习的欲望和潜能被充分地激发和挖掘, 能动学习的特性得到了有效增强, 自然而然地投入到学习知识全过程中。

二、紧扣向量定理内容, 设置探究问题, 提升学生动手实践能力。

在对平面向量知识章节体系内容进行分析的过程中, 我们可以发现, 平面向量基本定理说明以平面内两个不共线向量为基底可以表示任意向量, 是平面向量坐标表示的基础, 平面向量的坐标表示是平面向量基本定理的特例。这部分内容高考中经常以填空题的形式出现。平面向量的数量积把向量运算转化为数量运算, 是平面向量章节中的核心内容。运用向量的数量积可以处理长度、角度、判断两个向量垂直等问题, 可以与三角函数、函数等问题综合在考试中以解答题形式出现。因此, 教师可以抓住平面向量的基本定理内容, 设置探究性问题, 让学生进行解答, 从而在有效巩固所学知识内容基础上, 培养学生实践探究能力。

通过对这两个案例的分析, 可以清楚地了解向量知识基本定理内容的应用。在探究活动中, 我以探究问题为载体, 让学生根据平面向量知识对问题进行思考分析, 找出解答问题的方法和途径, 能够有效提升学生解答问题的能力和水平。

三、抓住向量问题特点, 设置发散问题, 提高学生思维创新能力。

案例三:求证:△ABC的三条高交于一点。

此题是一道文字叙述题, 需要先把文字语言转化为数学语言, 进而转化为具体的平面向量问题, 然后进行求证。学生根据问题, 将其内容转化为数学语言:

已知:在△ABC中, CF, AD, BE分别是AB, BC, AC边上的高。

求证:AD, BE, CF交于一点。

接下来, 我让学生先画图, 根据所学知识, 组成学习小组对问题进行分析。学生通过分析发现, 本题实际上是考查向量的数量积的性质的运用。要证明三线共点问题, 一般先从两线交点入手, 证明第三条线经过该点, 垂直问题一般都利用数量积为0来进行解答。因此, 可以采用两种证明方法进行问题的求证。

在这一问题证明过程中, 可以看出, 平面向量章节问题的解答形式多种多样。教师可以抓住向量问题知识点之间的关系和内涵, 向学生设置“一题多解”、“一题多问”等类型的发散性数学问题, 让学生进行思考分析, 根据相关知识要点内容, 从不同角度进行问题的有效解答, 实现学生思维创新能力的有效提升。

又如在“向量知识的应用”一节教学时, 我在教学过程中, 为了培养学生解题思维的灵活性, 设置了2009年山东省的高考模拟试题:“如图2所示, 在直角△ABC中, 已知BC=a, ∠CAB=90°, 若长为2a的线段PQ以点A为中点, 则PQ与BC的夹角θ取何值时, 的值最大?并求出这个最大值。”我引导学生对此题进行分析, 学生分析得出, 此题主要是考查向量的概念, 平面向量的运算法则与运算向量及函数知识的能力。因此, 在进行这一问题解答时, 可以利用向量的运算列出关系式进行求解, 也可以建立适当的坐标系方法, 把各个点的坐标求出来, 再利用数量积的坐标表示, 列出关系式, 然后求出最值。学生在这一思路的引导下, 有效地进行了问题的解答。

四、联系知识要点, 设置错解问题, 提高学生学习反思能力。

案例四:已知, 求a+b与a-b的夹角的余弦值。

有学生进行了如下解答:

我接下来引导学生对该学生的解答过程进行分析。学生结合所学知识内容, 分析后发现, 上述解答错误在于误认为|a+b||a-b|=| (a+b) (a-b) |=|a2-b2|将向量模的运算看成实数绝对值的运算, 从而形成了错误解答过程。因此, 正确解答过程为:

在这一教学过程中, 我紧紧抓住了学生自主反思能动特性, 充分利用学生解题错误这一有利时机, 引导学生分析思考, 找出问题所在, 为学生在学习知识、解答问题过程中进行认真反思、促进良好学习习惯和品质的养成, 奠定了深厚的思想基础。

8.平面向量中的数学思想方法 篇八

一、化归思想

侧1 若α，β∈0，π），求满足cosα+cosβ-cos（α+β）=3/2的α，β值。

解：原等式化为（1-cosβ）cosα+sinβsinα=构造向量α=（1-cosβ，sinβ），b=（cosα，sina）。

由，可得

由，可得，即，所以，即得。同理可得。故。

评析：向量的引入大大拓宽了本题的解题思路，利用向量这个工具解题，可以简捷、规范地处理三角函数中的许多问题。

二、函数与方程思想

例2 已知向量a，b不共线，，若A，B，D三点共线，求实数k的值。

解：因为而a与b不共线，所以。

又A，B，D三点共线，所以共线。由两个向量共线，可知存在实数A，使得，即2a+kb=λa-4λb。

因为向量a与b不共线，所以由平面向量基本定理可得

评析：利用两个向量共线的条件与平面向量基本定理解题，其实质是解二元一次方程组问题。

三、分类讨论思想

侧≥ 试确定由向量所作的△ABC，它的一个角为直角时的k值。

解：①当A为直角时，由，得2×。②当B为直角时，，由，得2×，即。③当C为直角时，由，即

综上可知，或或

评析：解此题时有些同学容易考虑不周，以偏概全，只解一种情况（即A为直角时），应引起大家注意。

四、数形结合思想

例4 求，的值。

解：如图1所示，将边长为1的正七边形ABCDEFG放入直角坐标系中，则AB=（1，O），

由，可得

9.高中数学平面向量免费 篇九

教材分析

平面向量的基本定理是说明同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合，它是平面向量坐标表示的基础，也是平面图形中任一向量都可由某两个不共线向量量化的依据．这节内容以共线向量为基础，通过把一个向量在其他两个向量上的分解，说明了该定理的本质．教学时无须严格证明该定理，只要让学生弄清定理的条件和结论，会用该定理就可以了．

向量的加法、减法、实数与向量的积的混合运算称为向量的线性运算，也叫“向量的初等运算”．由平面向量的基本定理，知任一平面内的直线型图形都可表示为某些向量的线性组合，这样在证明几何命题时，可先把已知和结论表示成向量形式，再通过向量的运算，有时能很容易证明几何命题．因此，向量是数学中证明几何命题的有效工具之一．为降低难度，目前要求用向量表示几何关系，而不要求用向量证明几何命题．

平面向量的基本定理的理解是学习的难点，而应用基本向量表示平面内的某一向量是学习的重点．

教学目标

1.了解平面向量基本定理的条件和结论，会用它来表示平面图形中任一向量，为向量坐标化打下基础．

2.通过对平面向量基本定理的归纳、抽象和概括，体验数学定理的产生、形成过程，提升学生的抽象和概括能力．

3.通过对平面向量基本定理的运用，增强向量的应用意识，进一步体会向量是处理几何问题的强有力的工具之一．

任务分析

这节课是在学生熟悉向量加、减、数乘线性运算的基础上展开的，为了使学生理解和掌握好平面向量的基本定理，教学时，常应用构造式的作图方法，同时采用师生共同操作，增强直观认识，归纳和总结出任意向量与基本向量的线性组合关系，并且通过适当的练习，使学生进一步认识和理解这一基本定理．

教学设计

一、问题情景 1.在ABCD中，（1）已知＝ａ，＝ｂ，试用ｂ，ｂ来表示，；

（2）已知＝ｃ，＝ｄ，试用ｃ，ｄ表示向量，.2.给定平面内任意两个不共线向量e1，e2，试作出向量3e1＋2e2，e1－2e2． 3.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e1＋λ2e2的向量表示？

二、建立模型 1.学生回答

（1）由向量加法，知＝ａ＋ｂ；由向量减法，知＝ａ－ｂ，＝ａ＋0·ｂ．

（2）设AC，BD交于点O，由向量加法，知

2.师生总结

以ａ，ｂ为基本向量，可以表示两对角线的相应向量，还可表示一边对应的向量估计任一向量都可以写成ａ·ｂ的线性表达．

任意改成另两个不共线向量ｃ，ｄ作基本向量，也可表示其他向量． 3.教师启发，通过了e1＋2e2，e1－2e2的作法，让学生感悟通过改变λ1，λ2的值，可以作出许多向量ａ＝λ1e1＋λ2e2．在此基础上，可自然形成一个更理性的认识———平面向量的基本定理．

4.教师明晰

如图，设e1，e2是平面内两个不共线的向量，ａ是这一平面内的任一向量．

在平面内任取一点O，作

＝e1，＝e2，＝ａ；过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于N．这时有且只有实数λ1，λ2，使

＝λ1e1，＝λ2e2．由于

＝

＋，所以ａ＝λ1e1＋λ2e2，也就是说任一向量ａ都可表示成λ1e1＋λ2e2的形式，从而有

平面向量的基本定理 如果e1，e2是一平面内的两个不平行向量，那么该平面内的任一向量ａ，存在唯一的一对实数λ1，λ2，使ａ＝λ1e1＋λ2e2．

我们把不共线向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底，有序实数对（λ1，λ2）叫ａ在基底e1，e2下的坐标．

三、解释应用 ［例 题］

1.已知向量e1，e2（如图38-3），求作向量－2.5e1＋3e2． 注：可按加法或减法运算进行．

2.如图38-4，解：∵，不共线，＝t（t∈R），用，表示．

［练习］

1.已知：不共线向量e1，e2，求作向量ａ＝e1－2e2．

2.已知：不共线向量e1，e2，并且e1－3e2＝λ1e1＋λ2e2，求实数λ1，λ2． 3.已知：基底｛a，b｝，求实数ｘ，ｙ满足向量等式：3xa＋（10－y）b＝（4y＋7）a＋2xb．

4.在△ABC中，＝ａ，＝ｂ，点G是△ABC的重心，试用ａ，ｂ表示．

5.已知：ABCDEF为正六边形，＝ａ，．

＝ｂ，试用a，b表示向量6.已知：M是平行四边形ABCD的中心，求证：对于平面上任一点O，都有

.四、拓展延伸

点 评

10.高中数学平面向量免费 篇十

教学目的：

1掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；

3了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 4掌握向量垂直的条件

教学重点：平面向量的数量积定义

教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：

本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律

教学过程：

一、复习引入：

a1． 向量共线定理 向量b与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa

2．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

3．平面向量的坐标表示

分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axiyj 把(x,y)叫做向量a的（直角）坐标，记作a(x,y)4．平面向量的坐标运算 若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2)，a(x,y)若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1 5．a∥b(b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0

6．线段的定比分点及λ

P1, P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1, P2的任一点，存在实数λ，使 P1P=λ叫做点P分PPP2，λ1P2所成的比，有三种情况：

λ>0(内分)(外分)λ<0(λ<-1)(外分)λ<0(-1<λ<0)

7定比分点坐标公式：

若点P１(x1,y1)，Ｐ２(x2,y2)，λ为实数，且P1P＝λPP2，则点P的坐标为（x1x2y1y2,），我们称λ为点P分P1P2所成的比

118点P的位置与λ的范围的关系：

①当λ＞０时，P1P与PP2同向共线，这时称点P为P1P2的内分点

②当λ＜０(1)时，P1P与PP2反向共线，这时称点P为P1P2的外分点 9线段定比分点坐标公式的向量形式：

在平面内任取一点O，设OP1＝ａ，OP2＝ｂ，可得OP=ab1ab

11110．力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角

二、讲解新课：

1．两个非零向量夹角的概念

已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角 说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；

（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；

（3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； 2≤≤180

（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0

2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0 探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

C（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定

（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替

（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0因为其中cos有可能为0（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc  a=c但是ab = bc a = c

如右图：ab = |a||b|cos = |b||OA|，bc = |b||c|cos = |b||OA|  ab = bc 但a

c

(5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c

a(bc)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线 3．“投影”的概念：作图

定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影

投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b| 4．向量的数量积的几何意义：

数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积 5．两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量 1ea = ae =|a|cos 2ab

ab = 0 3当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b| 特别的aa = |a|或|a|aa 45cos =2ab

|a||b||ab| ≤ |a||b|

三、讲解范例：

例1 判断正误，并简要说明理由

①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB＝BA；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向

２２量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ＝ｂ 解：上述8个命题中只有③⑧正确；

对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０； 对于②：应有０·ａ＝0；

对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cosθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；

对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс 则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ

评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律

例2 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ

解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°，∴ａ·ｂ＝０；

③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有

ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×

1＝9 2评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能

四、课堂练习：

五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题

六、课后作业：

七、板书设计（略）

八、课后记及备用资料：

1概念辨析：正确理解向量夹角定义

对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错一些易见的错误，如：

1已知△ABC中，ａ＝５，ｂ＝８，Ｃ＝６０°，求BC·CA

对此题，有同学求解如下：

解：如图，∵｜BC｜＝ａ＝５，｜CA｜＝ｂ＝８，Ｃ＝６０°，∴BC·CA＝｜BC｜·｜CA｜cosＣ＝5×8cos60°＝20 分析：上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，即上例中BC与CA两向量的起点并不同，因此，Ｃ并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是C的补角120°

2向量的数量积不满足结合律 分析：若有（ａ·ｂ）с＝ａ·（ｂ·с），设ａ、ｂ夹角为α，ｂ、с夹角为β，则(ａ·ｂ)

向量

误是с＝｜ａ｜·｜ｂ｜cosα·с，ａ·(ｂ·с)＝ａ·｜ｂ｜｜с｜cosβ

∴若ａ＝с，α＝β，则｜ａ｜＝｜с｜，进而有：（ａ·ｂ）с＝ａ·(ｂ·с)这是一种特殊情形，一般情况则不成立举反例如下：

已知｜ａ｜＝１，｜ｂ｜＝１，｜с｜＝2，ａ与ｂ夹角是60°，ｂ与с夹角是45°，则：

(ａ·ｂ)·с＝（｜ａ｜·｜ｂ｜cos60°）с＝

1с，2ａ·(ｂ·с)＝（｜ｂ｜·｜с｜cos45°）ａ＝ａ

11.高中数学平面向量免费 篇十一

一、向量教学的意义

1.可以帮助学生用代数方法来解决几何问题

向量既是几何的对象，又是代数的对象。作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面、切线等几何对象；作为代数对象，向量可以进行运算。向量有长度，可以解决长度、体积、面积等几何度量问题。向量的代数运算可以解决向量刻画几何对象和几何度量问题。因此向量是一种通过代数运算刻画几何对象及其位置关系、几何度量问题的工具。向量集数、形于一身，是沟通代数与几何的重要工具。学生通过向量的学习，可以掌握处理几何问题的代数方法，并体会数形结合的思想。

2.可以帮助学生理解数学运算，并发展数学运算能力

向量作为代数对象，在实践中可以进行运算。数运算、字母、多项式运算、向量运算、函数、映射、变换运算、矩阵运算等是高中数学教学中运用最多的运算。从数运算、字母、多项式运算过渡到向量运算，是一次质的飞跃。向量的数量积运算可以刻画向量的长度，我们如果想刻画长度、面积、体积等几何度量问题，可以通过向量的代数运算。在教学中运用向量，有助于学生进一步体会运算在建构数学系统中的作用以及数学运算的意义，并为学生理解映射、函数矩阵运算、变换运算奠定基础。

3.有助于增进学生对数学本质的理解

向量来源于力、位移、速度等现实原型，是重要的数学模型。向量运算使向量的集合具有特定的数学结构。如引入数与向量的乘法后，向量连同加法、数乘运算一起构成线性空间结构；引入向量的加法后，向量连同其加法运算一起构成群结构；引入向量的数量积运算后，向量连同加法、数乘数量积运算一起构成线性空间结构。这些特点的存在使得运用向量的运算刻画几何对象及几何度量问题以及位置关系成为可能。因此学习向量可以帮助学生认识数学运算对于建构数学系统、刻画数学对象的重要性以及数学概念形成过程中的多层次抽象性，从而理解高中数学的本质。

二、关于数学向量教学的几点建议

1.让学生从现实中形成向量概念及其运算

学生的向量概念首先是从接触物理课程中的各种矢量开始的。在现实中，有许多教师都认为自己在向量概念，教学中是借助物理背景引入向量概念，在概念引入过程中通过一个物理情境，就匆匆转入向量及相关概念的教学，并且把整节课的重点和难点放在后面的概念辨析中，这是学生无法建构概念对象的主要原因。因此，教师在选择物理情境时应该注意既要包括有固定起点这样的基本情境，也要包括不是固定起点的变式情境；既要涉及力、速度这些学生熟悉的情境，也要有平移等不熟悉的情境。然后通过鼓励学生不断反思，让学生建立关于各种物理活动的一致的观念，并最终把向量概念和及其运算压缩成一个认知整体，使学生的向量概念及其运算可以灵活地应用于各种情境。

2.加强对向量语言的教学

数学语言是数学交流中传递信息和情感的重要工具，向量是中学阶段数学语言表现形式较为丰富的载体，熟练运用向量的自然语言、符号语言、图形语言，通过交流可以加强学生对数学的认识和理解。因为在交流的过程中，可以更好地理解和使用数学语言和符号，可以组织和强化学生的数学思维，同时通过思考他人的想法和策略来丰富和扩展自己的知识和思维。向量语言贯穿于向量教学的始末，其数学环境及为丰富，教师在教学中要重视向量运算的学习阶段和平面向量概念的建立，要遵循循序渐进原则，在教学和学生学习的每一阶段，让学生经历向量语言的模仿—口头语言—书面语言，规范的口头表达，尤其重要的是教师要给学生充分的“表现”机会，通过间接或直接的方式规范数学语言，使学生使用数学向量解决实际问题时能合理地使用三种语言形式，从而形成用数学的能力。

3.加强法向量在解题中的通法教学

教学过程中使用空间向量处理立体几何问题，为传统方法解决技巧性大、随机性强调问题提供了一些通法，使对向量问题的研讨达到了有效运算的水平；不仅不会增加学生的负担，相反，由于学生掌握了一套有力的工具，可以降低学生学习的难度，减轻他们的负担。所说的“通法”主要体现在证明有关垂直（线、线垂直与线、面垂直）的问题上，并没有涉及用向量怎样求解线、面角与二面角的问题；笔者所说的“通法”更应体现在求解空间角和空间距上。教师如果在教学中只是照本宣科，就会使学生对向量的优越性产生怀疑。因此，在教学中能在加强法向量的教学的基础上，全面体现用向量处理立体几何问题的通法，真正让学生感受到其“威力”，这对我们的向量教学是很有益的。