分式方程一轮复习

分式方程一轮复习（共14篇）

1.分式方程一轮复习 篇一

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（8）分式方程

〖考试内容〗

可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）.〖考试要求〗

会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）.〖考点复习〗

[例1]方程11的解是（）

x1x21

A、1B、-1C、±1D、0

[例2] 解方程：41． x4x1

解方程： 2x1 xx3

11x1的两边同时乘以（x-2），约去分母，得（）x22x〖考题训练〗 1．把分式方程

A、1-（1-x）=1B、1+（1-x）=1

C、1-（1-x）= x-2D、1+（1-x）= x-2

2．方程2x1的解是xx3

x31． 14xx43．解方程

4．解方程x13x32 x1x1

5．解方程：

631.x1x12

〖课后作业〗

1．方程111的解是________。

x1x1

2．解方程：13x2x

3．解方程3xx411 4x

4．解方程：53 x1x1

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2.分式方程一轮复习 篇二

一、能化简时先化简

例1 解分式方程undefined

分析:在这个分式方程中, 左边能用2进行约分, 右边能用3进行约分, 应先化简再去分母。

解:化简, 得:undefined

方程两边同乘2x (x+3) , 得整式方程x+3=4x

解之得:x=1.

检验:把x=1代入2x (x+3) =8≠0.

所以x=1是原分式方程的解。

例2 求分式方程undefined的解。

分析:在这个分式方程中, 左边能用0.1进行约分, 右边能用0.01进行约分, 先化简再去分母, 大大降低运算量。

解:化简, 得:undefined

方程两边同乘 (x-3) (x-1) , 得整式方程:

x (x-1) = (x+1) (x-3)

解之得:x=-3.

检验:把x=-3代入 (x-3) (x-1) =24≠0.

所以x=-3是原分式方程的解。

二、不要通分应去分母

例3 解方程:undefined

分析:有的同学解此方程时, 常先把方程左边进行通分, 再去分母。

如:通分, 得undefined, 再去分母,

得: (x+1) 2+5x2=6x (x+1) .

这样就增加了一步运算, 还不如直接去分母。

解:方程两边同乘x (x+1) , 得:

(x+1) 2+5x2=6x (x+1)

解之得:undefined

检验:把undefined代入undefined

所以undefined是原分式方程的解。

三、分母中的因式应按降幂 (或升幂) 排列

例4 解方程:undefined

分析:先把因式 (2-x) 按降幂排列, 得:

undefined, 然后再去分母。

解:由原方程, 得:

undefined

方程两边同乘 (x-2) , 得:

x-3+ (x-2) =-3.

解之得:x=1.

检验:把x=1代入x-2=-1≠0.

所以x=1是原分式方程的解。

四、当分母能分解因式时, 要先分解因式

例5 解方程:undefined

分析:因为2x2+6x=2x (x+3) , x2-9= (x+3) (x-3) 所以最简公分母为2x (x+3) (x-3) .

解:由方程, 得:undefined

方程两边同乘2x (x+3) (x-3) , 得:x-3=4x.

解之得:x=-1.

检验:把x=-1代入2x (x+3) (x-3) =16≠0.

所以x=-1是原分式方程的解。

五、去分母时每项都要乘最简公分母

例6 求分式方程undefined的解。

分析:去分母时, -2也要乘最简公分母2 (x-1) .

解:由方程, 得:undefined

方程两边同乘2 (x-1) , 得:

2x=3-4 (x-1) .

解之得:undefined

检验:把undefined代入undefined

所以undefined是原分式方程的解。

六、分式方程都要检验

例7 解方程undefined

解:由方程, 得:undefined

方程两边同乘 (2x-1) (2x+1) , 得:2 (2x+1) =4.

解之得:undefined

检验:把undefined代入 (2x-1) (2x+1) =0.

所以undefined是原分式方程的增根, 应舍去。

3.分式方程检测题 篇三

1. 下列分式方程中，有解的是（）.

A．= 0 B．= 0

C．= 0 D．= 0

2. 要使与互为倒数，则x的值为（）.

A. 0 B. -1

C. D. 3

3. 若关于x的方程 = 无解，则m的值为（）.

A. 10或6B. 10或 - 6

C. 10D. - 10

4. 某林场原计划在一定期限内固沙造林240 km2，实际每天固沙造林的面积比原计划多4 km2，结果提前5天完成任务.设原计划每天固沙造林x km2，根据题意，下列各方程正确的是（）.

A．+ 5 =B．- 5 =

C．+ 5 =D．- 5 =

5. 甲、乙两班学生参加植树造林活动.已知每天甲班比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用天数与乙班植70棵树所用天数相等.若设甲班每天植树x棵，则（）.

A.= B.=

C.= D.=

6. A、B两地相距36 km.甲、乙两人从A地出发去B地，乙先走0.5 h，甲才出发，甲的时速是乙的时速的1.2倍，结果两人同时到达B地.若设乙的时速为x km，则下列方程中正确的是（）.

A.=+ 30B.-=

C.-= D.=-

二、填空题

7. 方程 = 的解是〓〓.

8. 方程 = 的解是〓〓.

9. 轮船顺水航行150 km所需时间与逆水航行120 km所需时间相等.已知水流速度为3 km/h，设轮船在静水中的速度为x km/h，由题设可列方程为〓〓.

10. 社区艺术节需用红纸花3 000朵.某班全体同学自愿承担这批红纸花的制作任务.但在实际制作时有10名同学因排节目而没有参加，这样，参加劳动的同学平均每人制作的花比原定全班同学平均每人所制作的花多15朵.设这个班共有x名同学，则可列方程为〓〓.

11. 某校师生到距学校20 km的公园义务植树.甲班师生骑自行车先走，45 min后，乙班师生乘汽车出发，结果两班师生同时到达.已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，则汽车的速度是〓〓.

三、解答题

12. 解下列分式方程：

（1）-= 1.

（2）-= .

（3）+= .

（4）+= .

13. 已知 += ，求 + 的值.

14. 一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u、像距v和凸透镜的焦距f满足关系式： += .若v = f + 2，试用f表示u，并求当f = 6 cm时u的值.

15. 华联超市用50 000元从外地采购回一批T恤衫.由于销路好，商场又紧急调拨18.6万元采购回比上一次多2倍的T恤衫，但第二次比第一次进价每件贵12元.商场在出售时统一按每件80元的标准出售.为了缩短库存时间，最后的400件按6.5折处理并很快售完.商场在T恤衫生意上盈利多少元？

16. 小颖和几位同学去文具店购买练习本.该文具店规定，如果购买本数达到一定数量，则可以按批发价购买.于是他们凑了60元钱以批发价购买，这样购得的练习本比用零售价购得的练习本多30本.若每本练习本的批发价是零售价的，问：每本练习本的零售价是多少元？

17. 甲、乙两人合做一项工作，两人合做2天后，由乙独做1天就可完成.已知乙独做全部工作所需天数是甲独做所需天数的1.5倍.甲、乙两人单独做各需多少天？

18. 某项工程，甲、乙两人合做，8天可以完成，需费用3 520元；若甲独做6天后，剩下的工程由乙独做，乙还需12天才能完成，共需3 480元.问：

（1）甲、乙两人单独完成此项工程，各需多少天？

（2）甲、乙两人单独完成此项工程，各需费用多少元？

19. 一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可租用.已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变.若甲、乙两车单独运这批货物，则分别用2a次、a次能运完；若甲、丙两车合运相同次数，运完这批货物时，甲车共运了180 t；若乙、丙两车合运相同次数，运完这批货物时，乙车共运了270 t.

（1）乙车每次所运货物量是甲车每次所运货物量的几倍？

4.分式方程一轮复习 篇四

§21圆的方程

【考点及要求】

1.了解确定圆的几何要素；

2.掌握圆的标准方程与一般方程，能根据条件选择恰当的圆的方程，理解圆的标准方程与一般方程的关系，会进行相互转化.【基础知识】

1.圆的定义：在平面内，到的距离等于叫圆.2.确定一个圆基本的要素是和.3.圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中为半径.4.圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是，其中圆心为，半径.5.点与圆的位置关系

圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2，点M（x0,y0), 点在圆上点在圆外点在圆内【基本训练】

1.圆x2y22x6y70的标准方程为___________________.2.若O(0，0)，A(6，－8)，则以OA为直径的圆的方程为___________________.3.过3点00,0,M1,1,N4,2的圆的方程是___________________.4.方程xyax2ay2aa10表示圆,则a的取值范围是_____________.5.过点P12,0且与y轴切于原点的圆的方程为_____________________.6.已知点A是圆xy2ax4y60上任意一点,点A关于直线x2y10的对称点仍然在此圆上,则a的值为__________.7.过点1,2总可以向圆xykx2yk150作两条切线,则k的取值范围 22222222

是_______________.8.圆(x2)2y25关于原点(0,0)对称的圆的方程为_______________.【典型例题】

例1.求过点A2,3，B2,5，且圆心在直线x2y30上圆的方程.练习.求与x轴相切，圆心在直线3xy0上，且被直线xy0截下的弦长为 27 的圆的方程．

例2.已知曲线C:x2y24mx2my20m200

(1)求证不论m取何实数，曲线C恒过一定点；

(2)若曲线C与y轴相切，求m的值.练习.一圆经过A(4,2),B(1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和为2,求此圆的 方程.思考.若圆x2y11上任意一点x,y都使不等式xym0恒成立,则实 2

数m的取值范围是_______________.【课堂小结】

【课堂检测】

5.八年级下册分式与分式方程练习题 篇五

1、化简下列分式

-2ac24-a2x2-162x1-（1）

（2）

（3）

（4）222x-4x-2a-2a14abc2x+8

2、计算

5x-5y9xy22a2b5xy（-2xb）（1）

（2）

（3）

xy15x23x2yx2-y2

a2-b2a-bca11-

（6）-（4）

2（5）abbcx-33+x4a+12aba+3b

（7）

a3a+12a112abnn++（+）（-）（1+）（1-）

（8）

（9）222a-1a-11-aabbamm21m2+n2m2n2m-62m+2（）（5n）（++2）（10）m1+2

（11）

m9m+3mnn2nm

3、解方程

（1）111x-12x11=2+3==+

(2)

(3)x1x1x-2（4）xx21x24=1

（6）1x2+1=x+12x4

x23+x2x+35）13x6=34x8

（7）2x+3+32=72x+6

6.分式方程教学反思 篇六

（一）本节课的重点是探究分式方程的解法，我首先举一道一元一次方程复习其解法，然后通过解一道分式方程，启发引导学生参照一元一次方程的解法，由学生自己探索、归纳分式方程的解法。学生不是停留在会课本知识层面，而是站在研究者的角度深入其境，使学生的思维得到发挥。

在教学设计上，以探究任务启发引导学生自学自悟的方式，提供了学生自主探究的舞台，营造了锻练思维的空间，在经历知识的发现过程中，培养了学生探究、归纳的能力。在课堂教学中，我时时注意营造思维氛围，让学生在探究中学会思考、表达。

在本课的教学过程中，我认为应从这样的几个方面入手：

1.分式方程和整式方程的区别：分清楚分式分式方程必须满足的两个条件，⑴方程式里必须有分式，⑵分母中含有未知数。这两个条件是判断一个方程是否为分式方程的充要条件。同时，由于分母中含有未知数，所以将其转化为整式方程后求出的解就应使每一个分式有意义，否则，这个根就是原方程的增根。正是由于分式方程与整式方程的区别，在解分式方程时必须进行检验。

2．分式方程和整式方程的联系：分式方程通过方程两边都乘以最简公分母，约去分母，就可以转化为整式方程来解，教学时应充分体现这种化归思想的教学。

3.解分式方程时，如果分母是多项式时，应先写出将分母进行因式分解的步骤来，从而让学生准确无误地找出最简公分母

4．对分式方程可能产生增根的原因，要启发学生认真思考和讨论。

在教学方法上，我采用类比渗透思想方法进行教学，通过与一元一次方程解法相比较，启发引导学生自主探究、归纳分式方程的解法。运用类比教学法具有以下三方面的优点：

1.通过复习一元一次方程的解法，学生在探究、归纳分式方程解法的同时进行类比，让学生在解分式方程时有法可循，而不会觉得无从下手。

2.把分式方程的解法与一元一次方程的解法进行相比较，让学生既可以温习旧知识，又可以加深对新知识的记忆。

3.通过对一元一次方程和分式方程解法的类比，更能突显分式方程解法中验根的重要性。

分式方程教学反思

（二）教师想方设法为学生设计好的问题情景，同时给学生提供充分的思维空间，学生在参与发现和探索的过程中思维就会创在一个又一个的点上，这样的教学日积月累对于培养学生的创新意识和创新能力是有巨大的作用的。我认为学好数学最好的方法是在发现中学习，在学生的再创造中学习，并引导学生去学习。

教学设计中教师要根据目的要求，内容多少，重点难点，学生的条件，以及教学设备等合理地分配教学时间。其次，要注意节省时间，特别是在讲授新知识时，要抓住重点，不能企图一下讲深讲透。要安排一定的练习时间。通过练习的反馈，再采取必要的讲解或补充练习。()再次，要注意尽量安排全班学生的活动，如操作、练习巩固，解应用题等，避免由少数人代替全班学生的思维活动，使大多数学生成为旁观者。要注意在一节课内提高学生的平均做题率。此外，还要注意选择有效的练习方式和收集反馈信息的方式，以便节约教学时间，并能及时发现问题。

班级的学生有整体的特点，当一定存在个体差异。如果要求每一个教学目标都人人过关，实属不智行为。效率是整体利益的平衡结果，不能因为个别同学目标未达成而牺牲整体的时间利益，这会造成新的教学问题。所以在集体教学时，把握大多数，将整体利益平衡好，这样的集体教学才是有效率可言的。当然教师在教学过程还是要关注每一位学生，关注其是否在听教师的讲解分析，以及自身是否在积极思考问题。千万不可只顾自己按照教案设计去讲，而忽视学生的思维。

分式方程教学反思

（三）本节课作为分式方程的第一节课，是在学生掌握了一元一次方程的解法及分式四则混合运算的基础上展开的，既是前一节的深化，同时解决了解方程的问题，又为以后的教学——“应用”打下了良好的基础，因而在教材中具有不可忽略的地位与作用。

本节的教学重点是探索分式方程概念、会解可化为一元一次方程的分式方程、明确分式方程与整式方程的区别和联系。教学难点是如何将分式方程转化成整式方程。本节教材中的引例分式方程较复杂，学生直接探索它的解法有些困难。我是从简单的整式方程引出分式方程后，再引导学生探究它的解法。这样很轻松地找到新知识的切入点：用等式性质去分母，转化为整式方程再求解。因此，学生学的效果也较好。

我认为比较成功的1、把思考留给学生，课堂教学试一试这个环节中，我把更多的思维空间留给学生。问题不轻易直接告诉学生答案，而由学生通过动手动脑来获得，从而发挥他们的主观能动性。我主要在做题方法上指导，思维方式上点拨。改变那种让学生在自己后面亦步亦趋的习惯，从而成为爱动脑、善动脑的学习者。

2、积极正确的引导，点拨。保证学生掌握正确知识，和清晰的解题思路。由于学生总结的语言有限，我就把本节课的重点内容：解分式方程的思路，步骤，如何检验等都用多媒体形式给学生展示出来。还有在解分式方程过程中容易出现的问题都给学生做了强调。

3、及时检查纠正，保证学生认识到自己的错误并在第一时间内更正。学生在做题过程中我就在教室巡视，及时发现学生的错误，及时纠正。对于困难的学生也做个别辅导。

7.分式方程一轮复习 篇七

一、课例1:以课本为主线的讲练结合法

课本是教师教学的主要依据, 也是学生学习的主要材料.大部分教师都注意贯彻数学教学大纲的要求, 按照教学参考书的建议, 关于分式方程的增根, 教师采用以下的方法: (1) 从例题:解方程xx-6-6x-6=2, 归纳总结出解分式方程的步骤为:去分母→去括号→合并同类项→化系数为1. (2) 例题解出x=6, 由于这时分母为零, 从而把x=6叫做分式方程的增根. (3) 强调分式方程要检验. (4) 课堂练习 (解分式方程, 共4题) .教师认为, 该课题的概念简单易懂, 不必过多地分析, 学生学习的主要矛盾表现在是否能正确地解分式方程, 是否记得解分式方程的必不可少的一步———检验.

二、课例2:以学生为主体的讨论探索法

1. 开门见山, 引入课题

上课开始, 教师写出:xx-6-6x-6=2, 然后提出问题:这是什么方程?你能求出方程的解吗?

(学生积极思考, 纷纷尝试, 教师请一位基础较薄弱的同学在黑板上写解题过程.)

这位同学带着微笑走上讲台, 他写的过程是这样的:

解原方程可变为:xx--66=2.

1=2.

∴原方程无解.

此时, 台下的部分同学面对解题过程有些惊讶!也有的同学说:老师, 这怎么可能呢?一定是他解错了.过一会, 又有一些同学说:我有不同的做法.

教师期待学生充分发表不同的看法, 于是, 用鼓励的眼神微笑地说道:“××同学, 你来试一试, 好吗?”他很自信地在黑板上把解题过程写出来, 具体是这样:

解方程两边同乘以x-6, 得

(学生感到疑问:为什么同一道题会结果不一样呢?)

2. 方法不同, 激发讨论

学生计算出两种不同的结果中, 究竟是哪个答案正确呢?不同答案的支持者展开了争论, 支持前一答案的学生说:

学生B:方程的左边可以进行同分母的分式相减, 接着对式子进行约分, 得出1=2这样一个矛盾等式, 显然原方程无解.

支持后一答案的学生这样认为:

学生C:第一步变形是去分母得到的, 然后后面的变形都没有出错呀!

(两种意见各执一词, 互不相让, 学生们等待教师评理.) 如何处理学生这一场争论呢?教师可以有不同的选择:策略1:直接告诉学生谁对谁错, 而且说明对或错的原因.这样, 可以迅速地解决问题, 但剥夺学生独立思考问题的机会, 是新课标所不倡导的.

策略2:提问学生, 原方程的两边能否同乘以x-6?这样, 有助于学生针对性地思考问题, 培养和提高发现问题、解决问题的能力.

3. 转移焦点, 深化理解

教师不想直接判断结果的对与错, 事实上, 学生不能解释清楚的关键在于没有真正理解同解原理, 而同解原理是解方程的根本.为了加深学生对它的理解, 教师决定转移焦点, 讨论问题, 提出了如下问题:我们所作的每一步都是同解变形吗?

学生D:第一种解法的每一步变形都是同解变形.

学生E:在第二种解法中, 第一步不是同解变形, 因为原方程的未知数的取值范围是x≠6, 解此方程时, 在其两边同乘x-6, 得到x-6=2 (x-6) , 这时方程未知数的取值范围是全体实数, 这就是说, 变形过程中已经扩大了未知数的取值范围.

学生F:把x=6代入原方程, 方程没有意义啦!所以, x不能等于6.

以上的回答都有正确的成分, 学生经过讨论也有了共识:“第一种解法是正确的, 而第二种解法的第一步变形中, 未知数的取值范围扩大了, 但并不知道如何处理x=6, 对于是对还是错还不能确定.”

4. 把握方向, 促进学习

虽说学生逐步了解了问题的本质, 但教师也没有直接表态, 而是提出如下问题:“第二种解法是不是不可取呢?”学生再一次陷入沉思之中.

学生G:需添加过程, 把x=6代入原方程, 得方程无意义, 则原方程无解.这样, 和第二种解法的结果并没有矛盾

学生H:把x=6代入最简公分母x-6, 得x-6=0, 所以原方程无解.

经过这样的分析, 对于第二种解法只需写上添加过程, 并强调这是解分式方程的重要一步, 这才使学生真正掌握了这两种解法的区别和联系, 把添加过程称为检验教师进一步启发:既然x=6不是原方程的根, 那它又是什么呢?我们共同给它起一个名字———增根.继续问道:分式方程的增根有什么特点?爱思考的学生易得出: (1) 使分式方程的最简公分母为零; (2) 增根不是分式方程的根, 但它是去分母后的整式方程的根.这样, 正确的答案就由学生发现、思考、讨论得到了.

参考文献

[1]人民教育出版社中学数学室.九年义务教育初中代数第二册教师教学用书.北京:人民教育出版社, 2001.

8.分式方程“增根”之刍议 篇八

1 对“增根”理解上的问题

笔者查阅了一些文献资料，对于“增根”的理解，存在以下几方面的错误认识：

（1）使分母为零的值为增根.

如习题：①[1]方程x（x+1）x-1=0的增根是（ ）.

（2）分式方程会产生增根.如习题：①，题意已确认其必有增根；③m为何值时，方程x+1x-2-mx-2=2有增根？去分母，得x+1-m=2x-4，当x=2时，m=3.所以当m=3时，原分式方程有增根[3].也就是说，题解是在x=2一定是方程增根的前提下进行的，且分式方程x+1x-2-3x-2=2一定有增根.

（3）不同的非同解变形产生不同的增根.我们知道，在解分式方程时，通过去分母，把分式方程转化为整式方程，以整式方程的解来求得原分式方程的解.但由于这一转化可能为非同解变形，所以分式方程就可能产生增根.准确地说，是因为去分母的缘故，使得分式方程可能产生增根.罗峻在解答分式方程④6（x+1）（x-1）-3x-1=1时，对方程采用了三种不同的变形即三种不同的去分母方式，得到了三种不同的增根.解答1：将方程两边同时乘以（x+1）（x-1），原方程有一个增根x=1；解答2：将方程两边同时乘以（x2-1）（x+1），得到原方程有两个增根x=±1；解答3：将方程的两边同时乘以x（x2-1）（x+1），得到原方程有三个增根x=0、±1[4].

2 “增根”概念包含的三个基本条件

对以上问题的分析，我们需要从概念入手.受能力局限，笔者查阅了很多资料，关于“增根”未曾获得一个较为权威的、严格的定义.这里不妨以北师大版初中数学教材（2002年版，八年级下册，P80～81）为例.

教材在利用去分母求解分式方程⑤1-xx-2=12-x-2之后，对“增根”作了如下描述：“在这里，x=2不是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零，我们称它为原方程的增根.产生增根的原因是，我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为零的整式.”

笔者对这段关于“增根”的描述作如下理解：1、x=2是原分式方程变形后的整式方程的解；2、x=2使得原分式方程的分母为零；3、“在这里”意指对方程⑤进行了两边同乘整式x-2的变形，这时的x-2是原分式方程⑤的最简公分母，而不是其它的公分母，其“最简”是数学简洁性的特点要求.综上可见，分式方程“增根”的概念包含了三个基本条件：1、在解法上，采取的是通过“去分母”（分式方程两边同乘“最简公分母”）把分式方程转化为整式方程求解的方法（不妨简称为“去分母”法）；2、“增根”是变形后整式方程的解；3、“增根”使得原分式方程的分母为零.

3 关于“增根”问题的两个结论

根据以上对“增根”的分析，容易判断“使分母为零的值为增根”的理解是错误的.“增根”首先是变形后的整式方程的解，如果不是整式方程的解，也就谈不上原方程的“增根”.同时，我们还能得到以下两个重要结论：

3.1 “增根”是分式方程“去分母”解法的产物

“增根”的产生与分式方程的解法有关，与方程本身无关.笔者曾撰文认为“无论是分式方程，还是其它形式的方程，方程自身是不可能产生增根的”、“方程有没有解、有怎样的解是由方程自身决定的，与我们有没有求解无关，与怎样求解无关”、“分式方程求解的过程中之所以可能产生增根，与我们求解的方式有关”[5].

其实，对于分式方程而言，如果我们采取“通分、移项、合并”的方法是不会产生增根的.如方程⑤可作如下解答：1-xx-2=-1x-2-2（x-2）x-2，1-xx-2+1x-2+2（x-2）x-2=0，x-2x-2=0，得出该方程无解（x=2不是原方程的解）.

之所以人们把分式方程与“增根”联系起来，是因为我们默认了“去分母”是分式方程最为便捷的解法，因而为人们一贯采用，以致被一些教师片面地认为这是分式方程的唯一解法.需要注意的是，我们在理解“增根”的概念时，切不可忽略“去分母”解法这基本前提，而这也正是被很多教师所忽略的.“‘增根是由于选择了‘去分母这样一个不能确保同解变形的方法而产生的‘副产品，而不是方程自身的‘副产品！严格地讲，称之为‘原方程的增根是不贴切的，叫做‘去分母法的增根才准确恰当”[6].

关于分式方程的“增根”问题，笔者认为有两种处理方式：1）根据上述分式方程“增根”所包含的三个基本条件，给分式方程的“增根”作类似如下明确的定义：“在方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程时，如果该整式方程的解使得原方程的分母为零，那么我们称之为原方程的增根.”这样，我们说“原方程的增根”便有了充足的理由，因为尽管“增根”并非分式方程的固有属性，但给其作这样一个定义，亦未尝不可.2）回避“增根”问题.人教社2004年版教材（八年级下册）在分式方程内容的安排上即采取了这种处理策略.教材在介绍了分式方程解答的全部过程后，作了如下归纳：“一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.”

笔者以为，人教版教材的处理比较恰当.一方面，在教材未对“增根”概念作明确定义的前提下提出、使用“增根”，容易产生片面的，甚至是错误的理解，并在数学学习中出现诸多有争议的，甚至是错误的问题.在中学阶段，只需能够检验出变形后的整式方程的解是否是原分式方程的根即可，无需涉及较为模糊的“增根”概念.另一方面，即便对分式方程的“增根”给出了严格的定义，那么无理方程以及其它方程的“增根”亦需定义，况且类似概念的定义对于中学阶段的数学学习有多大意义，笔者实难判断.

3.2 去分母时，方程两边所乘整式应为“最简”公分母

用“去分母”法求解分式方程时，我们在方程两边同乘一个整式，将分式方程转化为整式方程.因为这样的转变有可能是非同解变形，那么就有可能产生增根.但值得注意的是，方程两边同乘的这个整式是不是一定为最简公分母？如果如罗峻在解方程④时那样，方程两边分别同乘了（x+1）（x-1）、（x2-1）（x+1）、x（x2-1）（x+1），能否认为原分式方程有三种不同的增根？笔者根据自己对“增根”的理解，认为在中学阶段求解分式方程的解法已基本统一的前提下，方程两边同乘的整式应该是最简公分母.一方面，数学讲究简洁，繁琐的解答过程不利于分式方程的求解；另一方面，若按罗峻的做法——方程两边同乘的只是公分母，而非最简公分母，即会出现除根之外的任何一个数都可以成为原方程的增根，这既对解题无益，亦对“增根”问题的研究无益.

参考文献

[1][3] 孟祥静.分式方程增根问题的讨论[J].数学学习与研究：教研版，2008（3）：1.

[2] 杨波.由一道分式方程题引起对增根的思考[J].中学教与学，2009（7）：29

[4] 罗峻.中考题也会出错——对“有增根”类中考试题的讨论[J].中学数学（初中版），2013（5）：34-35

[5] 黄良春.分式方程增根之我见[J].中小学数学（初中），2014（9）：14-16

[6] 武海娟.不会产生增根的分式方程解法——兼谈关于分式方程增根的辩论[J].中小学数学（初中），2015（3）：19-20

9.《分式方程》教学反思 篇九

本节课的关键是如何过渡，究竟是给学生一个完全自由的空间还是让学生在老师的引导下去完成，“完全开放”符合设计思路，符合课改要求，但是经过教学发现，学生在有限的时间内难以完成教学任务，因此，先讲解，做示范，再练习更好些。

在教学过程中，由于种种原因，存在着不少的不足。

1、回顾引入部分题目有点多，难度有些高，没有达到原来设想的调动积极性的作用。应该选择简单有代表性的一两个题目，循序渐进，符合人类认知规律。

2、由于经验不足，随机应变的能力有些欠缺，对在教学中出现的新问题，应对的不理想，没有立刻采取有效措施解决问题。例如，在复习整式方程时，学生并不像想象中对整式方程解题过程很了解，我就引导大家一起复习了一下，在这里，如果再临时出几个题目巩固一下，效果也许更好些。

3、教学重点强调力度不够。对学生理解消化能力过于相信，在看例一的过程中，每一步的依据都进行了讲解，而分式方程的难点就是第一步，即将分式方程转化成整式方程。在这里，需要特别强化这个过程，应该对其进行专项训练或重点分析。例如，就学生的不同做法进行分析，让他们明白课本的这种方法最简单最方便。同时，通过板书示范分式方程的解题。

4、时间掌握不够。备学生不够充分，导致突发事件过多，时间被浪费了，以致总结过于匆忙。

10.分式方程一轮复习 篇十

一 教学目标:(一)知识教育点

1.理解分式方程的意义,掌握分式方程的一般解法.2.了解解分式方程时可能产生增根的原因,并掌握验根的方法.(二)能力训练点

1.培养学生的分析能力.2.训练学生的运算技巧,提高解题能力.(三)德育渗透点

转化的数学思想.(四)美育渗透点.通过本节的学习,进一步渗透化归的数学美.二 学法引导: 1.教学方法: 演示法和同学练习相结合，以练习为主．

2.学生学法:选择一个较简单的题目入手,总结归纳出解分式方程的一般步骤..三 重点 难点 疑点及解决办法:(一)重点

分式方程的解法及把分式方程化为整式方程求解的转化思想的渗透.(二)难点

了解产生增根的原因,掌握验根的方法.(三)疑点

分式方程产生增根的原因.(四)解决办法

注重渗透转化的思想，同时要适当复习一元一次方程的解法.四 课时安排: 一课时 五 教具准备:

投影仪 六 教学过程:

(一)课堂引入

1．回忆一元一次方程的解法，并且解方程

x22x31 462．提出P53的问题

李老师的家离学校3千米,某一天早晨7点30分,她离开家骑自行车去学校.开始以每分钟150米的速度匀速行驶了6分钟,遇到交通堵塞,耽搁了4分钟;然后她以每分钟v米的速度匀速行驶到学校.设她从家到学校总共花的时间为t分钟.问:(1)写出t的表达式;

(2)如果李老师想在7点50分到达学校,v应等于多少? 分析:① 李老师在遇到交通堵塞时,已经走了多少米?还剩下多少米? ② 剩下的这一段路需要多少分钟? ③ 如果李老师想在7点50分到达学校,那么她从家到学校总共花的时间t等于多少? 由此可以得出:

2100 v2100(2)v应满足

20=6+4+

v(1)t的表达式 t=6+4+

观察(2)有何特点？

【概括】方程（2）中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.辨析：判断下列各式哪个是分式方程．

(1)；(2)

；(3)

；

(4)

；(5)

根据定义可得：(1)、(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程． 1.思 考: 怎样解分式方程呢？

这节课我们就来研究一下怎样解一个分式方程.(板书:可化为一元一次方程的分式方程)为了解决本问题，请同学们先思考并回答以下问题：

1）回忆一下解一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？ 2）有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？ 上面的例子可以整理成:

10=

2100 v

两边乘以v,得10v=2100

两边除以10,得v=210 因此,李老师想在7点50分到达学校,她在后面一段的路上骑车速度应为每分钟210米.概 括: 上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.例1 解方程:

53 x2x解: 方程两边都乘最简公分母x(x-2),得

5x=3(x-2)

解这个一元一次方程,得

x=-3

检验:把x=-3带入原方程的左边和右边,得

左边= 533，右边= =-1 x2x3142 x2x4

因此x=-3是原方程的解 例2 解方程: 解: 方程两边都乘最简公分母(x+2)(x-2),得

x+2=4

解这个一元一次方程,得

x=2

检验:把x=2代入原方程的左边,得

11 2201

由于0不能作除数,因此不存在,说明x=2不是分式方程的根,从而原分式方程没有

0左边= 根.注意：由于分式方程转化为一元一次方程过程中，要去掉分母就必须同乘一个整式，但整式可能为零，不能满足方程变换同解的原则，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根.因此，在解分式方程时必须进行检验.由此可以想到，只要把求得的x的值代入所乘的整式(即最简公分母)，若该式的值不等于零，则是原方程的根；若该式的值为零，则是原方程的增根．如能保证求解过程正确，则这种验根方法比较简便．

例3: 解方程:

解(略)

随堂练习: P57 练习

小

结: 解分式方程的一般步骤：

7x3 x1x11．在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程． 2．解这个整式方程．

3．把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．

作

11.分式方程一轮复习 篇十一

一、 根据方程增根求待定系数

例1 (2015·营口) 若关于x的分式方程有增根, 则m的值是 () .

A.m=-1 B.m=0

C.m=3 D.m=0或m=3

【 剖析】方程两边都乘最简公分母 (x-3) , 把分式方程化为整式方程, 得2-x-m=2 (x-3) . 再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x的值为3, 所以2-3-m=2 (3-3) , 解得m=-1.

【 解答】 本题应该选A.

【 点评】 解答这类方程增根问题, 往往先根据最简公分母为0确定增根, 再化分式方程为整式方程, 最后把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.

二、 根据方程无解确定待定系数值

例2 (2015·龙东地区) 关于x的分式方程无解, 则m=_________.

【 剖析 】 分式方程两边乘最简公分母 (x+2) (x-2) , 得关于x的一元一次方程m- (x-2) =0, 解得:x=2+m. 由于该分式方程的增根可能是x=2, 也可能是x=-2.当x=2时, 2+m=2, ∴m=0时方程无解;当x=-2时, 2+m=-2, ∴m=-4时方程无解. 因此, m=0或m=-4.

【 解答】 本题应该填:m=0或m=-4.

【 点评】 分式方程无解的条件有两种: (1) 分式方程化成的整式方程无解, 则分式方程也无解; (2) 化成的整式方程的解都是该分式方程的增根, 均被舍掉, 则分式方程无解. 本题属于第2种情形, 需要对方程的两个增根进行分类讨论.

例3 (2015·东营) 若分式方程无解, 则a的值为_______.

【 剖析 】 分式方程两边乘最简公分母 (x+1) , 得关于x的一元一次方程x-a=a (x+1) , 整理得 (a-1) x=-2a. 由于该分式方程无解, 所以, 有可能得到的整式方程无解, 也有可能得到的整式方程的解就是原方程的增根.当a=1时, 0·x=-2, 该方程无解;当a≠1时, , 若x=-1原分式方程无解, 此时, 解得a=-1. 综上可知, 当a=±1时原分式方程无解.

【 解答】本题应该填:1或-1.

【 点评】本题从两种情形分别加以讨论:分式方程化成的整式方程无解, 则分式方程也无解;化成的整式方程的解也是该分式方程的增根, 则分式方程无解.

三、 根据方程有解确定待定系数的取值范围

例4 (2015·齐齐哈尔) 关于x的分式方程有解, 则字母a的取值范围是 ( ) .

A. a=5或a=0B. a≠0

C.a≠5 D.a≠5且a≠0

【 剖析】 分式方程两边乘最简公分母x (x-2) , 得关于x的一元一次方程5 (x-2) =ax, 得 (a -5) x =-10. 因为这个分式方程有解, 所以a≠5, 且解得;又由该分式方程的增根可能是x=2, 也可能是x=0.当x=2时, a-5=-5, 解得a=0;当x=0时, a无解.因为分式方程有解, 所以x≠2, 即a≠0.所以字母a的取值范围是a≠5且a≠0.

【 解答】 本题应该选D.

【 点评】 解答这类问题时, 往往先根据所给的分式方程有解的条件确定转化为整式方程有解, 进而取值确定其中待定系数的取值范围, 再应用分式方程有解隐含其解不可能是增根的条件, 求得待定系数取值范围.

例5 若解关于x的方程不会产生增根, 则k的值为 ( ) .

A.2 B.1

C.不为±2的数D.无法确定

【 剖析】 去分母, 把分式方程化为整式方程, x (x+1) -k=x (x-1) , 解关于k的方程, 得k=2x.由题意, 分式方程无增根, 则公分母 (x+1) (x-1) ≠0, 即x≠-1且x≠1, 则k≠±2.

【 解答】本题应该选C.

【 点评 】方程无增根, 就意味着对应的整式方程的根使分式方程的公分母不等于0, 利用这一点可以确定字母系数的值或取值范围.

四、 根据方程解的取值确定待定系数取值范围

例6 (2015·荆州) 若关于x的分式方程的解为非负数, 则m的取值范围是 ( ) .

A.m>-1

B.m≥-1

C.m>-1且m≠1

D.m≥-1且m≠1

【 剖析】 先在这个分式方程的两边同时乘 (x-1) , 使其转化为关于x的一元一次方程2 (x-1) =m-1, 并解得, 再根据条件“解为非负数”, 建立不等式, 解得m≥-1.又由该分式方程的增根只能是x=1, 则该方程的解x≠1, 即, ∴m≠1.即m的取值范围是m≥-1且m≠1.

【 解答】本题应该选D.

12.分式方程应用题 篇十二

一、工程问题

1.现要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务。求原来每天装配的机器数.2.打字员甲的工作效率比乙高25%，甲打2000字所用时间比乙打1800字的时间少5分钟，求甲乙二人每分钟各打多少字？

3.一项工程，如果甲、乙两队合做，12天可以完成。现在，先由甲队独做5天，接着由甲、乙两队合做4天，结果只完成了全部工程的一半。问：如果让甲、乙两队单独做，要完成这项工程各需多少天？

4.有一工程需在规定日期内完成，如果甲单独工作，刚好能够按期完成；如果乙单独工作，就要超过规定日期3天.现在甲、乙合作2天后，余下的工程由乙单独完成，刚好在规定日期完成，求规定日期是几天？

二、路程问题

1.某人骑自行车比步行每小时多走8千米，已知他步行12千米所用时间和骑自行车走36千米所用时间相等，求这个人步行每小时走多少千米？

2.供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修.技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果他们同时到达.已知抢修车的速度是摩托车的1.5倍，求这两种车的速度.三、水流问题

1.轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相等，已知水流速度每小时3千米，求轮船在静水中的速度

2.一船自甲地顺流航行至乙地，用2.5小时，再由乙地返航至距甲地尚差2千米处，已用了3小时，若水流速度每小时2千米，求船在静水中的速度.四、数字问题：

1.一个两位数，个位上的数比十位上的数大4，用个位上的数去除这个两位数商是3，求这个两位数.2.一个两位数，它的十位数比个位数小5。如果把个位数与十位数对调后所得的两位数作为分母，原两位数作为分子，所得分数的值是3。求原两位数。

8五.其他：

1.总价9元的甲种糖果和总价是9元的乙种糖果混合，混合后所得的糖果每千克比甲种糖果便宜1元，比乙种糖果贵0.5元，求甲、乙两种糖果每千克各多少元？

六、提升

1.“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元？

2.某机械加工车间共有26名工人,现要加工2100个A零件,1200个B零件,已知每人每天加工A零件30个或B 零 件20个,问怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务（每人只能加工一种零件）？ 求详解

3.东营市某学校2015年在某商场购买甲、乙两种不同足球,购买甲种足球共花费2 000元,购买乙种足球共花费1 400元,购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍.且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元.(1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元;(2)2016年为响应习总书记“足球进校园”的号召,这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个.恰逢该商场对两种足球的售价进行调整,甲种足球售价比第一次购买时提高了10%,乙种足球售价比第一次购买时降低了10%.如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2 900元,那么这所学校最多可购买多少个乙种足球?

4.在南宁市地铁1号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要150天，甲队单独施工30天后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工程的 1（1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？ 3 1（2）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是

a，甲队的工作效率是乙队的m倍（1≤m≤2），若两队合作40天完成剩余的工程，请写出a关于m的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？

5.烟台享有“苹果之乡”的美誉．甲、乙两超市分别用3000元以相同的进价购进质量相同的苹果．甲超市销售方案是：将苹果按大小分类包装销售，其中大苹果400千克，以进价的2倍价格销售，剩下的小苹果以高于进价10%销售．乙超市的销售方案是：不将苹果按大小分类，直接包装销售，价格按甲超市大、小两种苹果售价的平均数定价．若两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利2100元（其它成本不计）．问：（1）苹果进价为每千克多少元？

13.16.3 分式方程教案 篇十三

作者：孙红

教学目标：

1、使学生更加深入理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.2、使学生检验解的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法 重点难点：

1.了解分式方程必须验根的原因；

2.培养学生自主探究的意识，提高学生观察能力和分析能力.教学过程： 一．复习引入 解方程：

x51 4xx4x51解： 1 x4x4（1）1方程两边同乘以得

∴

检验：把x=5代入 x-5，得x-5≠0 所以，x=5是原方程的解.（2）

，．

x216x22 x2x4x2，得 解：方程两边同乘以

∴ ．

，检验：把x=2代入 x2—4，得x2—4=0.所以，原方程无解..思考：上面两个分式方程中，为什么(1)去分母后所得整式方程的解就是（1）的解，而（2）去分母后所得整式的解却不是（2）的解呢？

学生活动：小组讨论后总结

二．总结

（1）为什么要检验根？

在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根）.对于原分式方程的解来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为零，但变形后得到的整式方程则没有这个要求.如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零，也就是说使变形时所乘的整式（各分式的最简公分母）的值为零，它就不适合原方程，则不是原方程的解.（2）验根的方法

一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：

将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，这个解不是原分式方程的解.三．应用 例1 解方程23 x－3x解：方程两边同乘x（x－3），得 2x＝3x－9 解得 x＝9 检验：x＝9时 x（x－3）≠0，9是原分式方程的解.例2 解方程 x3 －1x－1(x1)(x2)解：方程两边同乘（x－1）（x＋2），得

x（x＋2）－（x－1）（x＋2）＝3 化简，得

x＋2＝3 解得

14.分式方程说课稿 篇十四

(2) = (a,h常数)

[分析]强调解分式方程的三个步骤：一去分母;二解整式方程;三验根。

解：(1)去分母，方程两边同时乘以x(x+3000)，得9000(x+3000)=15000x

解这个整式方程，得x=4500

检验：把x=4500代入x(x+3000)≠0.

所以原方程的根为4500

(2) = (a,h是常数且都大于零)

去分母，方程两边同乘以2x(a-x)，得

h(a-x)=2ax

解整式方程，得x= (2a+h≠0)

检验：把x= 代入原方程中，最简公分母2x(a-x)≠0,所以原方程的根为

x= .

Ⅳ。课时小结

[师]同学们这节课的表现很活跃，一定收获不小。

[生]我们学会了解分式方程，明白了解分式方程的三个步骤缺一不可。

[生]我明白了分式方程转化为整式方程为什么会产生增根。

[生]我又一次体验到了“转化”在学习数学中的重要作用，但又进一步认识到每一步转化并不一定都那么“完美”,必须经过检验，反思“转化”过程。

……

Ⅴ。课后作业